Informații

Distribuția numerelor prime

Distribuția numerelor prime


We are searching data for your request:

Forums and discussions:
Manuals and reference books:
Data from registers:
Wait the end of the search in all databases.
Upon completion, a link will appear to access the found materials.

Vom face acum o incursiune într-una dintre cele mai vechi și mai interesante zone ale Teoriei numerelor: distribuția numerelor prime. Această anchetă a fascinat mintea bărbaților încă din Antichitatea clasică: Cum se distribuie numerele primare pe numere întregi?

Studierea distribuției numerelor prime a dezvoltat teoria funcțiilor unei variabile complexe, în special teoria funcțiilor întregi. Pe parcursul dezvoltării acestei investigații, au apărut metode profunde de algebră și analiză, dar nu întotdeauna produc succesul scontat. Pe de altă parte, unele dintre cele mai importante rezultate pot fi obținute prin raționamente surprinzător de simple, dar ingenioase, cum ar fi demonstrația lui Euclid despre infinitatea mulțimii de numere prime.

Mai întâi trebuie să știm care este un număr prim, în toate privințele teoriei numerelor, noțiunea esențială. Dat fiind două întregi, suma lor, diferența lor și produsul dvs. sunt, de asemenea, numere întregi. Cu toate acestea, coeficientul de împărțire a unui număr întreg la altul nu poate duce la un număr întreg, de exemplu, rezultatul divizării numărului întreg 5 la numărul întreg 3 nu este un număr întreg. Eforturile de a construi seturi care să dea rezultate din operațiunile dorite au condus matematicienii la generalizări succesive ale conceptului de număr. De exemplu, dacă luăm în considerare setul de numere raționale, adică fracțiile a / bunde și b sunt numere întregi și b ¹ 0, deci coeficientul de divizare este întotdeauna definit, adică (a / b) ¸ (c/ d) = (ab)/(CD). Cu toate acestea, date numerele întregi și b, dacă există un număr întreg q astfel încât a = bq spunem asta este divizibil cu b, sau asta b divizat . Numărul b este divizor de numere și numărul este un multiplu al numărului b. Adesea indicăm faptul că b divizat după cum urmează: b½. De exemplu, 2½4 (citiți 2 divizii 4), 4 este un multiplu de două și 2 este un divizor de 4.

Fiecare număr întreg pozitiv care este mai mare decât 1 are doi divizori evidenti, 1 și el însuși . Dacă dincolo de acești divizori, numărul întreg deține un alt împărțitor să zicem b, 1< b < atunci Se numește un număr compus. În caz contrar, numărul întreg se cheamă un număr prim, sau pur și simplu un văr. De exemplu, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 sunt numere prime, deoarece au exact doi divizori. Numărul 6 are ca divizori 1, 2, 3 și 6 și, prin urmare, este numit un număr compus. Prin urmare, cu excepția 1, numerele naturale referitoare la comportamentul lor de divizibilitate sunt împărțite în două seturi numerice: numere prime și numere compuse.

Când înmulțim numerele prime, obținem un număr compus și, invers, când izolăm divizori primi de un număr reprezentăm ca produs al factorilor primi, adică De exemplu, numărul 90 este divizibil cu 2, și astfel obținem: 90 = 2 x 45. La rândul său 45 este divizibil cu 3 și apoi 45 = 3 x 15. Dacă continuăm acest proces, obținem: 90 = 2 x 3 x 3 x 5.

O întrebare interesantă este dacă această descompunere este unică. Răspunsul este da, adică orice număr întreg pozitiv poate fi reprezentat ca un produs al numerelor prime, iar această reprezentare este unică dacă nu este de ordinul factorilor. Din acest motiv, numerele prime sunt adesea numite blocuri întregi de construcție.

Observăm că există multe seturi cu operații de adăugare și înmulțire în care descompunerea în factori primi nu este unică, vom reveni la această problemă în alte coloane.

Reprezentarea numerelor întregi ca produs al verișorilor a fost văzută mult timp ca un fapt evident, dar matematicianul Gauss a demonstrat această afirmație în celebra sa lucrare. Dispoziții Arithmeticae 1801. Această afirmație este cunoscută sub numele de teorema de aritmetică fundamentală (APT), sau factorizare unică.

Această teoremă arată că numerele prime formează o bază multiplicativă. Cunoașterea unor proprietăți ale acestei baze este foarte importantă, deoarece acest lucru este echivalent cu cunoașterea unor proprietăți ale numerelor prime. Prima întrebare care apare este legată de infinitatea numerelor prime, adică există un număr infinit de numere prime? Răspunsul este da și această teoremă a fost demonstrată de Euclid:

Să presupunem că setul de numere prime, P, fii finit. Fie r numărul exact al numerelor prime, adică cardinalitatea setului P. În acest caz , ... Până la care este cel mai mare (și ultimul) număr prim. Subliniem astfel că setul P conține toate numerele primare existente. Luați în considerare acum un nou număr întreg n = TFA precizează că nu poate fi luat în considerare, n = unde verii sunt elemente ale setului P și k> 1. Rezultă că ½n cazul în care este un văr al setului P. prin urmare pentru unii j unde 1 £ j £ r. prin urmare ½ . prin urmare ½n e ½ ; curând ½n - . Pe de altă parte, n - = 1 și astfel ½n - = 1, adică ½1, contrar definiției numărului prim. Această contradicție arată că nu există un set finit P poate conține toate numerele prime.

O altă problemă foarte interesantă legată de numerele prime se referă la frecvența apariției numerelor prime în ordinea lor naturală de apariție în setul de numere. naturale. Cu alte cuvinte, câte prime există între numerele naturale 1, 2, ..., X când X este un număr mare? Acest număr, de care depinde în general X, este notat cu p (X), adică p (X) este numărul verișorului mai mic sau egal cu X. De exemplu, p (4) = 2, p (7) = 4.

Prima conjectură despre magnitudinea lui p (X) în funcție de X a fost realizat de matematicienii Gauss și Legendre independent la sfârșitul secolului al XVIII-lea. Pe baza unor calcule extinse, Gauss și Legendre au făcut conjectura că

p (X) ~ X / jurnal X,

adică p (X) este aproximativ X / jurnal X când X Este un număr natural foarte mare. Această conjectură sugerează că coeficientul pX) de X / jurnal X tinde să limiteze 1 când X tinde la infinit. Această formulare este cunoscută sub numele de Teorema numerelor prime și a fost demonstrată în mod independent de de la Vallée - Poussin și Hadamard în 1896 folosind noi metode analitice puternice ale teoriei variabilelor complexe. În 1948, Atle Selberg și Paul Erdös au dat o altă demonstrație fără utilizarea teoriei variabilei complexe. Mulți matematicieni au contribuit la demonstrarea teoremei numerelor prime: Riemann, Mertens, von Mangoldt, Hadamard, de la Vallée-Poussin, Tchebychev etc. Aceasta a fost una dintre cele mai mari realizări ale matematicii secolului al XIX-lea și a dat naștere Teoriei Numerelor Analitice.

Înapoi la coloane

<


Video: Legea de distributie a numerelor prime (Iulie 2022).


Comentarii:

  1. Yolabar

    Vă pot sugera să vă vizitați un site pe care există multe articole despre această întrebare.

  2. Burgess

    Este desen?

  3. Clive

    I congratulate, your idea is magnificent

  4. Nicol

    I think, what is it - a lie.

  5. Dietz

    Eu refuz.



Scrie un mesaj