We are searching data for your request:
Upon completion, a link will appear to access the found materials.
Matematica 381 TemelePrimăvara 2021
Pagina de sfaturi pentru teme are sfaturi despre modul în care ar trebui făcute problemele de teorie a graficelor, nu în totalitate la fel ca problemele din alte cursuri de matematică de 300 de niveluri.
Folosim ora de curs miercuri (și, eventual, joi) pentru discuții despre teoria graficelor, inclusiv probleme de temă și întrebări despre text sau orice altceva.
Regula importantă a temelor: În rezolvarea problemelor cu temele, ești nepermis pentru a justifica răspunsul dvs. prin apel la orice veți găsi în afara cărții noastre sau la orice din carte care este înaintea citirilor pe care le-am făcut.
Indexul temelor pentru teme
Boldface problemele au fost notate. Alte probleme nu au fost notate.
Set de teme I (atribuit 15/2)
Această sarcină este pentru discuții în clasă (cu excepția „Înmânării”). Veniți cu IDEI și aduceți-le pe toate!
Do pentru discuție pe Miercuri. și joi, 2 / 17-18 (să nu se predea):
## A1 & ndashA5 pentru G = G1 și G2.
Set de probleme A
- Ordin: numărul de vârfuri.
- mărimea: numărul muchiilor.
- Set de separare: un set de vârfuri a cărui eliminare lasă un grafic deconectat.
- Set deconectare: un set de margini a cărui eliminare lasă un grafic deconectat.
A1. (a) Găsiți un set de separare. (b) Găsiți unul care este cel mai mic.
A2. (a) Găsiți un set de deconectare. (b) Găsiți unul care este cel mai mic.
A3. Notați secvența de grade.
A4. Tratați-l pe G ca pe un grafic în care vârfurile reprezintă oameni și marginile se alătură perechilor care nu se înțeleg împreună, deci nu pot fi în același comitet. Care este cel mai mare comitet posibil?
A5. Este graficul planar, adică, îl puteți desena în plan fără traversări?
Set teme II (2/17)
Data scadenței joi, 18.02: Citit Secțiunea 1.2.
Luni vineri, 2/19: Citit Secțiunea 1.3 și fișa tehnică a automorfismelor.
Nu uitați să verificați pagina de anunțuri pentru corecții la manual.
Trebuie discutat miercuri, 2/24:
## B1 (c), B2 (c) (gândiți-vă la ele câteva minute le vom discuta în clasă).
Sectă. 1.1, ## 1, 2, 4 (a-c), 6.
Sectă. 1.2, # 1, 4, 7.
Faceți pentru discuție joi. 25.02:
Sectă. 1.1, # 9.
Sectă. 1.2, ## 2, 3, 6, 8.
# C2.
Mână în Sâmbătă, 27.02 Duminică, 28.02, 15:00 (prin e-mail în format PDF):
## B1 (a, b), B2 (a, b).
Sectă. 1.1, ## 3, 4 (d), 5, 7, 8.
Sectă. 1.2, # 5.
## C1, C3.
Set de probleme B
- Arată că | E (G) | = | E (H) |.
- Arătați că fie G și H sunt conectate, fie ambele sunt deconectate.
- Arată că G și H au aceeași succesiune de grade.
Ideea este că, dacă G și H sunt grafice care nu reușesc una dintre aceste proprietăți, atunci ele nu pot fi izomorfe (prin contradicție). Dar inversul nu este adevărat, așa cum arată următoarea problemă.
- Găsiți G și H care au același număr de muchii.
- Găsiți G și H care sunt ambele conectate și au același număr de margini. De asemenea, găsiți G și H care sunt ambele deconectate și au același număr de margini.
- Găsiți G și H care au aceeași secvență de grade și sunt conectați amândoi.
Set de probleme C
- În acest exemplu ce sunt s, t1,. ts, n, d1,. dn? (Dă-le valorile.)
- Etichetați vârfurile lui G0 de S, T1,. Ts, D1,. Dn ca în dovada teoremei.) Faceți această problemă pentru fiecare dintre cele trei alegeri posibile ale lui S.
- Dacă ștergeți vârful S, noul grafic G0 & minus S au (S3) ca secvență de grade?
- Utilizare metoda din dovadă pentru a modifica G0 astfel încât, atunci când ștergeți S, obțineți (S3) ca secvență de grade a noului grafic.
- Găsiți cea mai lungă cale P. (Apelați punctele finale x și y).
- Alegeți o margine e de P care se află într-un ciclu de F. În F și minus e, găsiți o cale care leagă x și y.
- Alegeți o margine f de P care nu se află într-un ciclu F. În F și minus f, există o cale care să conecteze x și y?
C3. Fie G un grafic care are un ciclu. Fie C un ciclu în G. Fie a, b vârfuri arbitrare în G și fie e orice margine din C. Explicați în detaliu de ce, dacă G are o cale care leagă a de la b, la fel G și minus e.
Set teme III (2/24)
Pentru vineri. 2/26: Citiți teoremele suplimentare pentru secțiunea 1.3. De asemenea, am postat câteva formule de bază de numărare a teoriei graficelor.
Începând cu HW III, Voi acorda 4 puncte bonus pentru temele din latex.
Pentru luni. 3/1: Citiți secțiunea 2.1.
Faceți pentru discuție miercuri. 3/3:
Sectă. 2.1, ## 1-4, 8, 13, 18 și 9-10 (pentru P5, K4,4, D și O).
## D1, D4.
Faceți pentru discuție joi. 3/4:
Sectă. 2.1, ## 6, 11, 14, 16, 17.
# D5.
Mâna în soare. 3/7 până la 15:00:
Sectă. 2.1, ## 5, 7, 15 (a), 19, 20 (vezi anunț) și 9-10 (pentru I).
## D2, D3, D6, D7 (ab), (c), (d).
În general (consultați sfaturile pentru teme), ar trebui să începeți temele cu mult înainte de data scadentă, deoarece unele dintre probleme sunt ușoare, dar unele se gândesc mult, ceea ce se face cel mai bine în bucăți, chiar și în zilele succesive. Acest lucru este valabil mai ales în acest set.
Corecții manuale
- Definiția unui ciclu la p. 16 este valabil pentru n & ge 3, dar nu pentru n = 1 sau 2.
- În dovada teoremei 1.3.5, în partea de sus a pag. 20, introduceți propoziția: „Apoi urmați P2 înapoi la v1"înainte" Atunci avem un ciclu. "
- În Exercițiul 2.1 # 4, ar trebui să găsiți
(a) orice subgraf critic
(b) un subgraf critic al cărui număr cromatic este egal cu cel al întregului grafic. - Graficul I din Figura 1.2.5 este cel fără etichetă. (Este graficul icosaedric.)
Amintiți-vă întotdeauna să verificați corecțiile pe pagina de anunțuri! Există mai multe altele pentru această secțiune.
Set de probleme D
D1. Să presupunem că G este un grafic conectat al cărui grad mediu este & gt 2. (Sugestie: Vezi pagina 19.) Demonstrați că este posibil ca G să aibă exact 2 cicluri.
D2. Să presupunem că G este un grafic conectat al cărui grad mediu este 3. (Sugestie: utilizați o idee similară cu D1, dar trebuie să adăugați ceva.)
(a) Arătați că G are cel puțin 4 cicluri.
(b) Este 4 cel mai bun număr posibil? Sau poți dovedi că G trebuie să aibă 5 sau mai multe cicluri? 6 sau mai multe?
- Dovediți sau respingeți teorema presupusă 1.3.B: Un grafic G este un arbore dacă și numai dacă este conectat și gradul său mediu este & lt 2.
- Dovediți teorema 1.3.C: Un grafic este un ciclu dacă și numai dacă este conectat și 2-regulat.
D4. Găsiți numărul cromatic și chi (G) unde G este graficul din Figura 2.1.5.
D5. Graficul din Figura 2.1.5 este critic? Dovedi. (Nu credeți tot ce citiți!)
D6. Graficul din Figura 2.1.6 este critic? Dovedi.
Set teme IV (3/9)
Pentru joi. 3/11: Citiți secțiunile 2.2, 2.3 și prospectul graficelor liniare.
Faceți pentru discuție joi. 3/11:
Sectă. 2.2, ## 3, 5, 6.
Sectă. 2.3, ## 1-3.
## E1 (a), E5 (a), E7 (a, b).
Faceți pentru discuție vineri. 3/12:
Sectă. 2.2, ## 8, 9.
Sectă. 2.3, ## 4, 5-7 (pentru Q3 și I), 8, 10, 12.
## E5 (b, c), E7 (c), E8-9 (a-c).
Mâna în Lun. 3/15 Marți. 3/16 (oricând, chiar și după miezul nopții):
Sectă. 2.2, ## 4, 7, 10.
Sectă. 2.3, ## 5-7 (pentru D), 17.
## E1 (b), E2, E5 (d), E6, E7 (d), E8 (d), E9 (c).
Corecții manuale
- Teorema 2.2.4 este valabilă numai pentru n & ge 2.
- Consultați corecțiile pentru o adăugare la explicația componentelor unui grafic.
Notă de notare
- 2.2.10: Am dat 2/4 doar pentru afișarea celor două grafice. Am dat 4/4 pentru că am explicat și de ce p = q = 4 este singura posibilitate.
Set de probleme E
E1. Dovediți că nu există un factor 1 în graficul din figura 2.2.6 (a) la stânga, (b) la dreapta.
E2. Graficul din Figura 2.1.2 este critic? Dovedi.
Primul exemplu teoreticienilor graficului se uită atunci când au o idee nouă complicată este Kp. Următorul ar putea fi Kp & minus margine.
E3. Fie G = Kp & minus margine. Găsiți numărul cromatic și chi (G).
E4. Fie G = Kp & minus margine. Găsiți numărul cromatic de margine & chi '(G) când p este egal, adică p = 2n (n & ge 1). Cum se compară cu gradul maxim și Delta (G)?
E5. Fie V (K2n) = <0, 1, 2,. 2n și minus2, x>. Avem o modalitate standard de a descompune K2n în 1-factori (a se vedea secțiunea 2.2). În K8, care factor "1" standard conține următoarea margine? (Pentru răspunsul dvs. puteți enumera toate marginile care aparțin factorului 1.)
(a) 23.
(b) 2x.
(c) 36.
(d) 15.
E6. Demonstrați că, dacă G este un copac, atunci numărul său cromatic de margine & chi '(G) este egal cu gradul său maxim & Delta (G).
E7. Găsiți un ciclu Hamilton sau demonstrați că nu există.
(a) Figura 2.3.4.
(b) Figura 2.3.5. (Sfat: nu există!)
(c) Figura 2.1.6.
(d) Figura 2.3.7.
E8. Găsiți graficul liniar al fiecărui grafic.
(a) Pn pentru n & ge 1.
(b) Cn pentru n & ge 3.
(c) K4.
(d) K4 & minus margine.
E9. Graficul liniar este regulat? Dacă da, care este gradul (adică gradul fiecărui vârf)?
(a) Pn pentru n & ge 1.
(b) Cn pentru n & ge 3.
(c) Kn pentru n & ge 4.
Set teme V (3/13)
Citiți secțiunile 2.4, 3.1. (Dovezile din 3.1 vă arată cum să construiți trasee, descompuneri etc.)
„Test” înseamnă că este probabil ca această întrebare să apară într-un test din clasă, deschis.
Anunț în campus: fără cursuri miercuri. 3/17! Este Ziua Întineririi.
Recomandare: Pentru a înțelege cubul cu 4 dimensiuni (sau „tesseract”), citiți nuvela „- Și a construit o casă strâmbă”.
Faceți pentru discuție joi. 3/18:
Sectă. 2.3, # 18 (a).
Sectă. 2.4, ## 1, 4, 10.
Sectă. 3.1, ## 1-3, 4 (pentru Q3, K4,4 numai), 7 (test).
## F3 (a), F4 (a), F8 (a), F9.
Faceți pentru discuție vineri. 3/19:
Sectă. 2.3, ## 18 (b).
Sectă. 2.4, ## 2, 8, 12 (vezi corecția).
Sectă. 3.1, ## 5, 8, 11, 13.
## F1 (a, b), F5 (a), F6, F7 (a), F8 (b) (test).
Mână în Marți. 3/23 | Joi. 3/25 Vineri 3/26 (orice oră din zi sau din noapte):
Sectă. 2.3, # 18 (c).
Sectă. 2.4, # 7, 22, 25.
Sectă. 3.1, ## 6, 12, 14.
## F1 (d), F2, F3 (b, c), F4 (b, c), F5 (b), F8 (d), F10.
Corecții manuale
- Ultima linie de la p. 38 (cel pentru (Cn)) trebuie citit
n-1, n-2, n, n-3, n + 1, n-4,. 2n-2, 2n-1, x.
(Acest lucru este echivalent cu linia tipărită, dar linia tipărită nu urmează modelul pe care ar trebui să-l facă.) - A se vedea corecțiile pentru secțiunea 3.1.
Set de probleme F
F1. Fie V (K2n + 1) = <0, 1, 2,. 2n-1, x>. Avem un mod standard de descompunere a K2n + 1 în ciclurile Hamilton (vezi secțiunea 2.3). În K11, care ciclu Hamilton „standard” conține muchia
(a) 23?
(b) de 3 ori?
(c) 46?
(d) 37?
F2. Definim un grafic care să fie conectat dacă pentru oricare două vârfuri există o cale între ele (pagina 17). Un fapt fundamental este că, dacă există o plimbare între vârfurile u și v, atunci există o cale între ele (vezi Teorema conexiunii). Dovediți acest lucru. (Este posibil ca dovada C3 să sugereze o idee.)
F3. Descompuneți-vă în cel mai puțin posibil trasee:
(a) Fig. 1.2.3 (stânga).
(b) Fig. 2.1.9.
(c) Fig. 2.2.6 (dreapta).
F4. Descompuneți-vă în cel mai puțin posibil cărări: (a, b, c) din # F3.
F5. Decideți dacă graficul este hamiltonian (adică are un ciclu Hamilton):
(a) Fig. 2.1.3.
(b) Fig. 2.4.1, graficul Petersen.
F6. Verificați că, în demonstrația teoremei 2.3.2, primii doi factori 1 se unesc pentru a forma un ciclu Hamilton. Dovada dvs. ar trebui să fie valabilă pentru toate n & ge 2.
- Luați în considerare familia de „grafice stelare”, K1, i. Sunt copaci fiecare are i margini. Descompune Kp în subgrafe izomorfe la graficele stelare K1,1, K1,2,. K1, p și minus1.
- (Opțional: problema bonus.) Alegeți o familie de copaci Teu pentru i = 1, 2,. unde Teu are i margini. Vedeți dacă puteți descompune K2n în subgrafe izomorfe pentru acești copaci, câte unul pe copac. (Toate cărările sau toate stelele sunt terminate.) Aceasta este o întrebare deschisă, există multe opțiuni posibile pentru familia copacilor. Poți rezolva câteva?
- graficul Petersen, Fig. 1.1.13,
- Fig. 2.3.6,
- Fig. 2.3.7,
- graficul Gr & oumltzsch, Fig. 2.1.6.
F9. (a) Găsiți un grafic E care are un circuit eulerian, dar nu are un ciclu Hamilton.
(b) Găsiți un grafic H care are un ciclu Hamilton, dar nu are circuit eulerian.
F10. (Problema bonusului). Exercițiul 2.4.14 vă solicită să descompuneți graficul Petersen în 3 subgrafe izomorfe între ele, adică toate sunt izomorfe pentru un grafic H. Întrebarea bonus este: Câte grafuri neizomorfe H există, pentru care este posibil? Fiecare trebuie să aibă 5 margini, deoarece Petersen are 15 margini. Aceasta este o întrebare deschisă, vedeți câte H-uri puteți veni.
Set teme VI (3/22, 25)
Pentru joi. 3/25 citiți secțiunea 3.2. Pentru vineri. 3/26 citiți secțiunile 4.1 și 4.2. (Nu vom face prea multe cu 4.2. Obțineți impresia generală.) Pentru luni. 3/29 citiți secțiunea 3.3.
Pentru luni. 3/29: Citiți fișa „LG” pe grafice. (Acest lucru nu este în carte. A se vedea definiția.) Pentru completa a unui grafic vezi definiția.
Faceți pentru discuție miercuri. 3/31:
LG, ## 2, 3.
Sectă. 1.3, ## 1, 2, 6.
Sectă. 3.2, ## 1-3.
Sectă. 3.3, ## 1, 4, 5.
Sectă. 4.1, ## 1, 2.
Sectă. 4.2, ## 2 (a).
# H1 (a).
Faceți pentru discuție joi. 4/1 (ha ha! Nu v-am păcălit!):
LG, # 9.
Sectă. 1.3, ## 11, 14.
Sectă. 3.2, # 4.
Sectă. 3.3, # 17 (a se vedea corecția).
Sectă. 4.1, ## 4, 6, 7.
Sectă. 4.2, ## 2 (b).
# H2 (a).
Mâna în Lun. 4/5 (oricând) (nu se datorează duminica Paștelui):
LG, ## 7, 10.
Sectă. 1.3, ## 7, 10.
Sectă. 3.1, ## 15, 16.
Sectă. 3.2, # 8.
Sectă. 4.1, ## 3, 5.
Sectă. 4.2, # 2 (c), 3, 6.
# H1 (b).
-->
Set de probleme H
H1. Această întrebare privește dovada teoremei 4.1.2 * (adică cazul de bază k = 2 al teoremei lui Turan). Vi se dă graficul „de pornire” G al dovezii, care nu are triunghi.
(i) Construiți noul grafic H în demonstrația teoremei 4.1.2 *. Care sunt x și W?
(ii) Comparați gradele vârfurilor în G și H.
(iii) Comparați qG și qH. Care este mai mare? De ce este semnificativ acest lucru pentru dovada teoremei?
(iv) Comparați H cu cel mai mare grafic posibil fără triunghi pe același număr de vârfuri. Cum sunt ele similare?
(a) Pentru G = GA, graficul Petersen cu un vârf șters. (Vezi mai jos.)
(b) Pentru G = G7, prezentat mai jos.
H2. Unicitatea graficului maxim din teoremele 4.1.2 * și 4.1.2 nu este dovedită în carte.
(a) Dovediți unicitatea în teorema 4.1.2 *.
(b) Dovediți unicitatea în teorema 4.1.2.
Set teme VII (3/31)
Pentru joi. 4/1: Citește Sect. 5.1 (omiteți materialul de pe aranjamente și numerele Dn).
Pentru vineri. 4/2: Citiți sect. 5.2.
Faceți pentru discuție luni. 4/5:
Sectă. 5.2, ## 1, 2, 3, 4 (a), 5.
LG, # 14.
Faceți pentru discuție miercuri. 4/7:
Sectă. 5.2, ## 8, 10.
Mâna în joi. 4/8 (nu există curs în această zi!) Până la ora 13:00 așa că o pot returna la ora de vineri:
Sectă. 5.2, ## 4 (b), 7, 9, 11.
LG, # 15.
Examen intermediar: 12 aprilie și ndash13.
Set teme VIII (4/14)
Pentru joi. 15.04: Citiți sect. 5.3 și fișa de pe Teorema Matrix-Tree.
Pentru vineri. 16/04: Citiți sect. 6.1.
Faceți pentru discuție vineri. 16.04:
Sectă. 5.3, ## 3, 4,7 (a), 11 (a).
Mână în lun. 4/19:
Sectă. 5.3, ## 1, 2.
Set teme IX (4/14, 16, 19)
Citiți pentru luni. 4/19: Secte. 6.2, 7.1. Verificați pagina de anunțuri pentru matricea de incidență.
Faceți pentru discuție miercuri. 21/04:
Sectă. 6.1, ## 1-3, 5.
Sectă. 6.2, ## 1, 5.
Sectă. 7.1, ## 1 (a), 2 (stânga), 5.
Faceți pentru discuție joi. 22.04:
Sectă. 6.1, ## 6, 8, 10, 19.
Sectă. 6.2, ## 6, 9.
Sectă. 7.1, ## 3, 6.
Mână în Luni. 26.04 (nu vineri, 23.04) de 18:00 oricând:
Sectă. 6.1, ## 7, 11, 21(A, b, c).
Sectă. 6.2, ## 7, 10, 12, 14.
Sectă. 7.1, ## 2 (dreapta).
## I1, I2 (opțional), I3 (opțional).
Probleme de provocare bonus voluntar, datorate în orice moment înainte de examenul final:
# I4, orice piese.
Set de probleme I
I1. Să presupunem că G este un digraf conectat cu vârfuri p. Dovediți că rangul matricei de incidență M (G) este egal cu p & minus 1. (Pentru informații, consultați pagina de anunțuri).
I2. Să presupunem că G este un digraf puternic conservator. Apoi, există o etichetare de margine f folosind numerele 1, 2,. q, odată fiecare, astfel încât f îndeplinește Legea curentă a lui Kirchhoff (KCL) și, de asemenea, pentru fiecare număr întreg h, etichetarea f + h satisface KCL. Amintiți-vă că f + h este etichetarea care atribuie muchia e eticheta f (e) + h.
I3. Să presupunem că G este un digraf puternic conservator. Apoi, pentru fiecare vârf v, numărul de muchii cu capul la v = numărul de margini cu coada la v. (Sugestie: Folosiți # I2.)
- Teorema propusă 1. Dacă G este un grafic cub bipartit de ordinul p unde p & echiv 4, 6 (mod 8), atunci G este neconservativ. (Aceasta include K3,3 ca cel mai simplu caz. De asemenea, include graficul Heawood, vezi secțiunea cuști.)
- Teorema propusă 2. Dacă G este un grafic bipartit cu q margini unde q & echiv 1, 2 (mod 4), atunci G este neconservativ. (Aceasta este o generalizare a teoremei propuse 1.)
- Există o teoremă care implică p, pentru grafice bipartite care sunt k-regulate pentru k arbitrare (cazul k = 3 ar trebui să fie propus teorema 1).
- Există o teoremă similară care nu se limitează la graficele bipartite? Ar avea nevoie de o idee nouă.
Set teme X (4/14, 26)
Citiți pentru luni. 26/04: Secte. 8.1-3. (Este mult de discutat. Studiați cu atenție și veniți cu multe întrebări.)
Vezi Teorema 8.1.A despre relația dintre grafele plane maxime și triangulațiile plane.
Faceți pentru discuție miercuri. 28/04:
Sectă. 8.1, ## 1-5, 7, 10.
## J4 (a).
Faceți pentru discuție joi. 29/04:
Sectă. 8.1, ## 8, 9, 12, 13.
Sectă. 8.2, ## 1, 2.
## J1 (a, b).
Faceți pentru discuție vineri. 30 aprilie:
Sectă. 8.2, ## 3, 4.
Sectă. 8.3, ## 2, 3.
Mâna în Vineri 4/30 Lun. 5/3 înainte de curs:
Sectă. 8.1, # 11.
Sectă. 8.2, ## 5, 6.
Sectă. 8.3, ## 4, 7.
## J1 (c), J2, J3, J4 (b-c).
Corecții și completări
- Definiție pentru exercițiul 8.3.7: A triangulare plană este un grafic plan în care fiecare regiune este un triunghi.
- Definim circumferința unei păduri (cum ar fi un copac) ca fiind infinită. Atunci circumferința unui grafic este întotdeauna & ge 3.
Vedea Teorema G pe pagina de anunțuri.
Set de probleme J
J1. (a) Dovediți că, dacă p & ge 11, atunci Kp nu are descompunere în două grafice plane.
(b) Poate K8 să fie descompuse în două grafice plane?
(c) Dovediți: dacă p & ge 17, atunci Kp nu poate fi descompus în trei grafice plane.
J2. Scrieți o dovadă completă a teoremei cu 6 culori.
J3. (a) Dovediți teorema G.
(b) Ce spune dacă g = 3?
(c) Ce spune dacă G este bipartit?
J4. Folosiți teorema G pentru a face (a, b).
(a) Dovediți: un grafic cub cu circumferința g = 6 nu poate fi plan.
(b) Dovediți: un grafic cub cu g & ge 6 nu poate fi plan.
(c) Un grafic cub cu g = 5 poate fi plan?
Set teme XI (5/3)
Citiți secțiunile 9.1 și 9.2. Dovada teoremei 9.1.7 este opțională.
Lucrul surprinzător al dovezii teoremei 9.1.6 este că folosește teorema lui Tur & aacuten!
Faceți pentru discuție miercuri. 5/5:
Sectă. 9.1, # 6.
## K1, K3, K4 (a).
Faceți pentru discuție joi. 5/6:
Sectă. 9.1, ## 5, 14.
Sectă. 9.2, ## 2, 6.
## K2 (a, b), K5 (a).
Faceți pentru discuție vineri. 5/7:
Sectă. 9.1, ## 3, 4, 12, 13.
Sectă. 9.2, ## 3, 7.
## K5 (b), K8.
Mână în Luni. 5/10 înainte de curs:
Sectă. 9.1, ## 1, 7, 11, 15.
Sectă. 9.2, ## 3, 4.
## K2 (c), K4 (b), K5 (c), K6, K7.
Corecții și completări
- Vedeți pagina de anunțuri pentru explicații despre „Teorema lui Kuratowski”.
- În sectă. 9.1, p. 180: A desen simplu trebuie, de asemenea, să satisfacă:
d) nici o margine nu trece prin vreun vârf
e) ori de câte ori marginile se intersectează, acestea se încrucișează. - Definim circumferința unei păduri (cum ar fi un copac) ca fiind infinită. Atunci circumferința unui grafic este întotdeauna & ge 3.
Vedea Teorema CR și Teorema SPL pe pagina de anunțuri.
Set de probleme K
K1. Arătați că graficul din Fig. 9.1.16 este nonplanar.
K2. Planar sau nonplanar? Dovedește-o!
(a) Fig. 9.1.19.
(b) Fig. 9.1.18.
(c) Fig. 9.1.17.
(d) Fig. 9.2.1, stânga.
(e) Fig. 9.2.1, dreapta.
K3. Demonstrați că cr (P) & ge 2, unde P este graficul Petersen, fără a utiliza teorema CR.
K4. Utilizați teorema CR pentru a rezolva:
(a) Găsiți cr (P), P = graficul Petersen. Este mai ușor decât # K3?
(b) Găsiți cr (H), H = graficul Heawood (Fig. 4.2.4).
K5. Faceți atât (i), cât și (ii) pentru
(a) Fig. 2.3.6.
(b) Fig. 4.2.4.
(c) Fig. 1.3.3.
(i) Este graficul plan?
(ii) Găsiți numărul de trecere. Dacă nu îl puteți calcula exact, aflați cât de mult puteți despre asta. De exemplu, este = 0 sau> 0? Este = 1? = 2? & ge 2? & ge 3? Puteți găsi vreo limită superioară?
K7. (a) Dovediți teorema CR.
(b) Ce spune dacă g = 3?
(c) Ce spune dacă G este bipartit?
K8. Utilizați teorema G pentru a găsi o margine inferioară pe cr (G) atunci când G este cubic și are circumferința 6.
Set teme XII (5/11)
Citiți: Secte. 9.3 (pentru miercuri 5/12 ați văzut deja majoritatea acestui lucru în clasă) și 10,3 (pentru joi 5/13). (În 10.3 omiteți orice despre „scheme”, „rotații maxime” și „grafice curente” și paginile 235-237.)
Asigurați-vă că studiați Supliment la secțiunea 10.3 pe pagina de anunțuri.
Faceți pentru discuție joi. 13.05 și vineri. 14.05:
Sectă. 9.3, ## 3, 13.
Sectă. 10.3, ## 1, 8, 9.
## L2, L3, L5, L7, L8.
Mâna în soare. 16.05:
Sectă. 9.3, ## 1, 4.
Sectă. 10.3, ## 7, 10.
## L4, L6, L9.
Definiție
Set de probleme L
L1. Dovediți că cr (K6 & margine minus) = 2.
L2. Găsiți & theta (P), unde P este graficul Petersen.
L3. Dovediți că & theta (Kn) & ge plafon [(n + 2) / 6] pentru toate n & ge 1.
L4. Fie c (G) = numărul de cicluri din graficul G.
(a) Dovediți Teorema M: Dacă c (G) & lt min (c (K5), c (K3,3)), atunci G este plan. (Sugestie: utilizați teorema lui Kuratowski.)
(b) Evaluează minimul din Teorema M. Dacă nu găsești minimul exact, dovedește că este & gt 3.
(c) Folosiți (b) pentru a rezolva exercițiul 8.1.3.
L5. Fie H = graficul Heawood, Fig. 4.2.4.
(a) Demonstrați & sigma (H) & ge 2.
(b) Știm & sigma (H) & le 3. Decideți dacă & sigma (H) = 2 sau 3.
L6. Găsiți o dovadă ușoară că & sigma (P) & ge 2, unde P = graficul Petersen. (Astfel & sigma (P) = 2, prin exercițiul 9.3.4.)
L7. Încercați să încorporați grafuri complete neplanare în tor. Începeți cu K5 (în mod natural), iar dacă reușiți, încercați K6 și apoi K7 și apoi .
L8. La fel ca # L7, pentru torul dublu.
Utilizați teoremele din secțiunea 10.3 pentru a decide unde să opriți încorporarea în torul dublu.
L9. Încercați să încorporați grafuri bipartite complete neplanare în tor. Începeți cu K3,3 (în mod natural), iar dacă reușiți, încercați K3,4 și apoi K3,5 și K4,4 & ndash și apoi (intrăm aici în planuri de vară).
Utilizați teoremele din secțiunea 10.3 pentru a decide unde să opriți încorporarea în tor.
Set teme XIII (5/11)
Faceți pentru discuție luni. 17.05:
M1, M4, M5, M6 (deosebit de valoros).
Înmânați marți. 18.05:
M2, M3.
Set de probleme M (revizuiți problemele)
M1. Fie G graficul Gr & oumltzsch (Fig. 2.1.6).
(a) Demonstrați & chi (G) = 4.
(b) G este critic?
M2. Găsiți & chi '(Z) unde Z este graficul din figura 2.3.1.
M3. Dovediți că K3,3 este unica cușcă cu 4.
M5. Comparați limita inferioară p (g) pe ordinea unei colivii g (teorema 4.2.A) cu ordinea reală a fiecărei colivii g cunoscute din carte. Care cuști au ordinul egal cu p (g)? Care au ordinea mai mare decât p (g)? Ce înseamnă când o g-cușcă are ordine & gt p (g)?
M6. Voi defini un grafic R. V (R) este mulțimea tuturor perechilor neordonate ij de elemente ale mulțimii S5 = <1, 2, 3, 4, 5>. (Folosesc notația simplificată ij pentru a însemna setul Inainte si dupa Modele de număr par și impar Explorări: explorarea modelelor, formelor și modelelor numerice Inainte si dupa Mizând pe linia numerică Adunarea și scăderea pe linia numerică Spunând timp până la jumătatea orei Introducere în rutina Frames-and-Arrows Mai multe probleme cu cadrele și săgețile Numărând cu un calculator Counting Dimes, Nickels și Pennies Matematică cotidiană pentru părinți: Ce trebuie să știți pentru a vă ajuta copilul să reușească Universitatea din Chicago School Mathematics Project Universitatea din Chicago Press MATEMATICA 1314 Pentru a reuși în acest curs, trebuie să rezolvați un număr mare de probleme. Iată lista exercițiilor cu numere impare selectate, pe care toată lumea este așteptată să le facă. Mulți studenți ar putea considera necesar să aibă mai multă practică, ar trebui să aleagă probleme similare din fiecare secțiune sau din exercițiile de revizuire sau testele practice care pot fi găsite la sfârșitul fiecărui capitol. Sec 1.1 # 1,7,9,17,21,25,29,31,41,45,47,49 Sec 2.1 # 1,3,5,13,15 Sec 3.1 # 3,5,13,19,21,23,37,39,45,51,53,55,57 Sec 4.1 # 7,13,21,23,25,27,33,41,45,49,55 Sec 5.1 # 1,7,9,11 Secțiunea 6.1 # 9,11,13 Sec 7.1 # 3,13,17,19,25,35,39,43,51,53,59,61,63,69,73,75,79,81,85,89,93,95,99.101 Secțiunea 8.1 # 5 Sec 9.1 # 13,17,23,25,29,33,35,39 Sec 10.1 # 1,3,9,15,17,19,21,23 Bine ați venit la Math 3A & # 8211 distracție liniară! În acest curs, vom învăța cum să rezolvăm sisteme de ecuații și să le interpretăm geometric și vor exista o mulțime de miracole. Aceasta este matematica la maxim! Pe această pagină puteți găsi programa, temele propuse și examenele de practică. Bucurați-vă de plimbare! Iată programa pentru curs: Program Note de lectură și videoclipuri
(a) Dovediți că R este izomorf pentru graficul Petersen, P.
(De fapt, aceasta este o modalitate de a defini graficul Petersen. De acum înainte voi numi acest grafic P, deoarece nu există nicio diferență.)
(b) Demonstrați că P este complementul graficului liniar al lui K5.
(c) Demonstrați că pentru fiecare două margini din P, să spunem e și e ', există un automorfism f al lui P astfel încât f (e) = e'.
(Acest fapt este util în probleme precum # K3, deoarece toate marginile pot fi tratate simultan în loc de în trei cazuri.) Accesați indexul temelor | anunțuri | informații despre curs | programa | programa + înregistrări.
Resurse unitare
(Cartea mea de referință, pag. 126-127)
(Cartea mea de referință, pag. 126-127)
3.13: Temă - Matematică
Teme pentru teme
Sec 1.2 # 9,11,13,15,17,19,31,33,43,53,63,65,67,75,77,79,91,93
Sec 1.3 # 13,15,25,29,35,41,45,53,59,67
Sec 1.4 # 23,25,27,29
Sec 1.5 # 11,15,19,27,33,37,45,49,53,55,57,59,65,67
Sec 2.2 # 31,35,39,51,55,57,61,65,69,83
Sec 2.3 # 17,33,39,45,49,53,59,67,71,73,75,77,81
Sec 2.4 # 1,3,5,21,29,33,37,39,45,47,53
Sec 3.2 # 3,5,7,11,13,21
Sec 3.3 # 3,9,15,17,23,25,27,45,47,49,53,55,57,59,61,73,75,81,89
Sec 3.4 # 7,9,13,15,19,23,25,27,29,33,41,43
Sec 3.5 # 1,7
Sec 4.2 # 9,13,17,21,23,29,31,33,37,41,49,57,59,67
Sec 4.3 # 3,7,11,23,29,39,43,49,57,59,67
Sec 4.4 # 9,21,23,39,41
Sec 5,2 # 7,13,17,23,27,31,35,37,43,47,49,61,67,69,71
Sec 5.3 # 9,17,21,25,35,43,47,63,65,71,73,85
Sec. 5.4 # 5.7,11,19,23,25,35,37,41,51,53
Sec 5.5 # 3.7,17,35,55,65,73,89,97
Sec. 5.6 # 1,7,9,19,27,29
Secțiunea 5.7 # 1,3,7,11,19
Sec 6.2 # 1,5,9,13,19,25,41
Sec 6.3 # 1,3,5,9,11,15,23,31,41,43
Sec 6.4 # 9,11,15,19,21,25,29,33,39,43, 45,69,71
Sec 6.5 # 1,5,7,19,35
Sec. 6.6 # 1,3,11,15,19,21,23,31,47,53
Sec 6.7 # 1,3,9,15,21,25,29,31,37
Sec. 6.8 # 5.7,15,21,23,27,29,55,65
Sec 7.2 # 7,13,15,19,23,25
Sec 7.3 # 1,3,5,11,13,23,25,27,29,33,35,37,39,43,45,49,53,59,67,69,77,81,91,97
Sec 7.4 # 3,7,19,21,25,27,33,35,47,59,77,79
Sec 7.5 # 3,13,15,17,21,23,37,43,49,55
Sec 7.6 # 3,7,13,19,23,25,29,31,33,39,41,43,45,51,53,55,57,61,65
Sec 7.7 # 1,3,7,11,17,21,27,29,33,35
Secțiunea 7.8
Sec 8.2 # 1,7,9,13,35,47,53,79,81,91,97.101
Sec 8.3 # 1,5,7,13,25
Sec 8.4 # 1,5,23,31,35,47,49,53
Sec 8,5 # 1,3,9,15,21,29,33
Sec 8.6 # 1,3,9,13,15,17,29,35,39
Sec 8.7 # 1,7,11,19,21,29,31,37,39,51
Secțiunea 8.8
Sec 9.2 # 3,5,9,15,19,21,25,27,39,47,49
Sec 9.3 # 25,27,29,33,39,51,53
Sec 9.4 # 3,7,15,19,21,23,31,39,43,47,49
Sec 9,5 # 1,5,9,13,17,21
Sec 10.2 # 1,5,7,11,21,25,29,35,39,41,45,53,55,63,65,69,73,75,77
Sec 10.3 # 1,11,15,17,19,21,23,29,33,35,37,43,51
Sec 10.4 # 1,3,5,11,13,21,27,31,33,41
Sec 10,5 # 1,5,7,11,17,23,29,31,37
Matematica 3A & # 8211 Algebră liniară
Note de curs Videoclipuri YouTube Lectura 1 Reducerea rândurilor Sisteme incoerente Lectura 2 Infinit multe soluții Rezolvarea toporului + prin Prelegerea 3 Prelegerea 4 Span Teorema Rândurilor Lectura 5 Independență liniară Lectura 6 Afișarea T este liniară Lectura 7 Matrice de T și One-to-one și Onto Matricea de rotație Lectura 8 Multiplicarea matricei AB vs BA Lectura 9 Găsirea A-1 Produsul matricilor elementare (opțional) Factorizarea LU (opțional) Lectura 10 Emisiunea A este inversabilă Matricile inversabile trebuie să fie pătrate Afișarea H este un sub spațiu Afișarea H nu este un subspatiu Spanul este un subspatiu Lectura 11 Nul (A) Nul (A) este un subspatiu Verificarea a ceva este o bază Lectura 12 Bază și dimensiune Nul (A), Col (A), Rank (A) Coordonatele Spațiu infinit-dimensional (opțional) Matrici și produse exterioare de rangul 1 (opțional) Lectura 13 Determinanți Determinanți și reducerea rândurilor Mai mulți factori determinanți și reducerea rândurilor Determinanți și inversibilitate Lectura 14 Regula lui Cramer A-1 folosind determinanți Zona paralelogramului Determinanți și volume Prelegerea 15 111 Întrebări adevărate / false Prelegerea 16 Pe termen mediu Lectura 17 Diagonalizați matricea 2 & # 2152 Lectura 18 Diagonalizați matricea 3 & # 2153 Analogia diagonalizării Valori proprii complexe (opțional) Lectura 19 Nu diagonalizabil Lectura 20 B-matrice a lui A Derivat într-o cutie (opțional) Matricea unei matrice (opțional) Lectura 21 Pokemon Battle Secvența Fibonacci Limita matricei 1 Limita matricei 2 Rădăcina pătrată a unei matrice Exponențială matricială Ca o matrice Sisteme de ecuații diferențiale (opțional) Lectura 22 Prelegerea 23 Seturi ortogonale Prelegerea 24 Proiecții ortogonale Dovada lui Cauchy-Schwarz Minunat Cauchy-Schwarz (opțional) Prelegerea 25 Procesul Gram-Schmidt Descompunerea QR Lectura 26 Cele mai mici pătrate Modele liniare Prelegerea 27 Matrici simetrice (opțional) Forme pătratice (opțional) Prelegerea 28 Lectura 29 Prezentare generală a algebrei liniare 111 Întrebări adevărate / false
Teme sugerate
Tema recomandată este nu să fie predat, dar important pentru teste și examene. Amintiți-vă că cele mai mici 2 teste sunt abandonate și că nu există teste în ziua de 26 septembrie (săptămâna 0) și în ziua de 28 septembrie (Ziua Recunoștinței)
Sugestii / Soluții la unele dintre probleme: Soluție & # 8211 Bank (de la un mai in varsta ediție, deci fii atent)
| Teme pentru acasă | & # 8220 Data scadenței & # 8221 | Probleme |
| Tema 1 | 3 octombrie | 1.1: 11, 13, 21, 23, 24, 28 1.2: 11, 19, 21, 22, 24, 25, 30 1.3: 11, 17, 23, 24, 25, 26 1.4: 23, 24, 25, 31 |
| Tema 2 | 10 octombrie | 1.4: 22 1.5: 9, 11, 23, 24, 31, 32 1.7: 2, 7, 11, 17, 21, 22, 27, 34, 37 1.8: 15, 17, 21, 32, 33, 35 1.9: 3, 8, 10 |
| Tema 3 | 17 octombrie | 1.8: 3, 11, 22, 34 1.9: 23, 24, 25, 27 2.1: 2, 3, 9, 10, 15, 16, 24, 25, 27 2.2: 1, 5, 9, 10, 18, 21, 29, 31 |
| Tema 4 | 24 octombrie | 2.3: 5, 11, 12, 16, 18, 30, 33 2.8: 1, 2, 7, 9, 13, 17, 21, 22, 25, 31 2.9: 1, 3, 10, 16, 17, 18, 20, 25 |
| Tema 5 | 31 octombrie | 3.1: 3, 13, 37, 39, 40 3.2: 5, 23, 27, 28, 32, 33, 34, 35, 39 3.3: 3, 13, 18, 22, 31, 32 |
| Tema 6 | 7 noiembrie | 5.1: 5, 10, 15, 21, 22, 24, 25, 26, 32 5.2: 1, 7, 9, 15, 19, 21, 22, 24 |
| Tema 7 | 14 noiembrie | 5.3: 1, 9, 13, 21, 22, 23, 24, 27, 31, 32 5.4: 11, 13, 17, 19, 20, 21, 22, 23 |
| Tema 8 | 21 noiembrie | 5.3: Aplicații 6.1: 1, 5, 10, 14, 17, 19abc, 20abd, 22, 24, 28 6.2: 1, 7, 17, 20, 23abc, 24ab |
| Tema 9 | 5 decembrie | 6.1: 19de, 20ce, 31 6.2: 11, 13, 15, 23de, 24cde, 25 6.3: 3, 10, 11, 17, 21, 22 6.4: 3, 7, 9, 17, 18 6.5: 3, 7, 9, 13, 15, 17, 18, 24, 25 6.6: 4 |
Site-ul Canvas Course (în principal pentru a vă verifica testele și scorurile examenelor)
| Playlist | Legătură |
| Capitolul 1 | Ecuații liniare în algebră liniară |
| capitolul 2 | Algebra matricială |
| capitolul 3 | Determinanți |
| capitolul 5 | Valori proprii și vectori proprii |
| Capitolul 6 | Ortogonalitate |
| Subiecte distractive | Algebră liniară |
Aici puteți găsi informații despre examene, precum și alte bunătăți, cum ar fi examenele de practică.
Examen intermediar: vineri, 1 noiembrie, 2 - 14:50 în 178 HH
Acoperă capitolele 1, 2 și 3
Examen final: vineri, 13 decembrie, 1:30 & # 8211 3:30 pm în 178 HH
Acoperă capitolele 1, 2, 3, 5 și 6
Avertizare: Examenul final este cumulativ, deci asigurați-vă că vă uitați la toate practicile jumătatea perioadei pentru o revizuire completă. De asemenea, ignorați orice întrebări despre spațiile rândurilor
3.13: Temă - Matematică
Exercițiul 3.3.13. Folosind cele mai mici pătrate, găsiți linia care se potrivește cel mai bine următoarelor măsurători:
găsiți proiecția asupra spațiului coloanei.
Răspuns: Presupunând că linia în cauză are forma, problema poate fi exprimată ca fiind aceea de a găsi o soluție la sistem
sau unde este soluția exactă.
În acest caz nu există o soluție exactă, deci căutăm soluția celor mai mici pătrate care minimizează vectorul de eroare. Vectorul de eroare este minimizat atunci când este ortogonal cu spațiul coloanei și, prin urmare, este în spațiul nul stâng al Atunci avem astfel încât aceasta este o soluție pentru sistem.
astfel încât sistemul să se reducă la
exprimat ca un sistem de ecuații.
Înmulțirea primei ecuații cu și adăugarea ei la a doua ecuație produce sistemul
Din a doua ecuație avem. Înlocuind acea valoare în prima ecuație pe care o avem sau.
Linia de potrivire cea mai bună este, așadar.
matricea de proiecție pe spațiul coloanei de poate fi calculată ca
Proiecția vectorului pe spațiul coloanei este atunci
Vectorul corespunde punctelor de pe linia celor mai mici pătrate de cea mai bună potrivire pentru timpuri:
NOTĂ: Aceasta continuă o serie de postări care conțin exerciții elaborate din cartea (epuizată) Algebra liniară și aplicațiile sale, ediția a treia de Gilbert Strang.
Dacă vi se par utile aceste postări, vă încurajez să verificați și cele mai actuale Algebra liniară și aplicațiile sale, ediția a patra, manualul introductiv Dr Strang & # 8217s Introducere în algebra liniară, ediția a cincea și cursul online gratuit însoțitor și Dr Strang & # 8217s alte cărți.
3.13: Temă - Matematică
Analiza reală II: Matematica 624
Instructor : Luc Rey-Bellet
Birou : 1423 J LGRT
Telefon: 545-6020
E-mail : [email protected]
Ore de birou : TuTh 2: 45-3: 45, sau cu programare.
- Analiză reală. Măsura teorie, integrare și spații Hilbert, de E. M. Stein și R. Shakarchi. Note de lectură Princeton în analiza III, Princeton University Press 2005.
- Analiza reală: tehnici moderne și aplicațiile lor, de G.B. Folland. A 2-a ed. Wiley 1999.
- Analiza după istoria sa, de E. Hairer și G. Wanner. Texte de licență în matematică. Springer
Programă: Aceasta este a doua parte a unei introduceri de 2 semestre la analiza reală (Matematica 623-624). Condițiile preliminare pentru această clasă sunt Math 623 sau echivalent. Printre subiectele abordate în această clasă se numără
Grad: Va fi un mijloc și o finală. Temele vor fi atribuite în mod regulat și notate.
Tema nr. 1 (expirat la 2/13): & nbsp HWK # 1 fișier PDF & nbsp & nbsp & nbsp
Tema nr. 2 (expirat la 27.02): & nbsp HWK # 2 fișier PDF & nbsp & nbsp & nbsp
Tema nr. 3 (expirat la 3/13): & nbsp HWK # 3 fișier PDF & nbsp & nbsp & nbsp
Tema nr. 4 (expirat la data de 3/27): & nbsp HWK # 4 fișier PDF & nbsp & nbsp & nbsp
Tema nr. 5 (expirat la 19.04): & nbsp HWK # 5 fișier PDF & nbsp & nbsp & nbsp
Tema 6 (expirat la 5/3): & nbsp HWK # 6 fișier PDF & nbsp & nbsp & nbsp
Tema nr. 7 (expirat la 15.05): & nbsp HWK # 7 fișier PDF & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp
3.13: Temă - Matematică
Math 42 Primăvara 2004 Programul aproximativ Profesorul Jackson
Zilele de lectură Probleme de practică
29 ianuarie Secțiunea 1.1 1.1: 8,13,16,18,22,28,32,34,39,45
Februarie 3,5 Secțiuni 1.2,1.3,1.4 1.2: 6,11,14,16ceg, 26,30,35,37,39
1.3: 9,10,15,22,25,28,31,36,41 1.4: 2,6,10,15,17,19,23,25,27,31,32
10,12 februarie Secțiuni 1,5,2,1,2,2 1,5: 3,5,7,10,12,14,16,37,39,42
2.1: 5,11,12,15,21,30,32,34 2.2: 4,8,12,17,19,23,27,32,36
HW # 1 20 de puncte Datorită joi. 19 februarie
1.1: 13,31,45 1.2: 6,13,21 1.3: 10,25,39 1.4: 17,19,32 1.5: 5,37,43 2.1: 11,25,32
17,19 februarie Secțiuni 2.3,3.1,3.2 2.3: 11,13,14,15,17,22,24,26,28
3.1: 6,9,14,16,18,26,32,34,42 3.2: 2,7,15,17,19,22,24,26
Feb. 24,26 Sections 3.3,3.4,3.5 3.3: 4,12,15,22,25,35,36,38,41
3.4 3.4: 8,10,16,18,20,22,25,28,31 3.5 3.5: 2,4,9,13,16,20,21,27,29
Quiz #1 20 points Thurs. Feb. 26
Mar. 2 Section 3.6,3.7,4.1 3.6: 4,8,11,14,20,22 3.7: 3,6,10,12 4.1: 6,14,21,28,30,36,43,53
HW #2 20 points Due Thurs. Mar. 4
2.3: 13,17,24 3.1: 18,31 3.2: 7,15 3.3: 15,25 3.4: 18,26 3.5: 16,21 3.6: 8,22 3.7: 3,10
Tues. Mar. 9 Midterm #1 Chapters 1-3
One page of notes and a calculator allowed.
Mar. 11 Section 4.2 Oct. 8 4.2: 4,10,11,13,15,20,23,27
Mar. 16,18 Sections 4.3,4.4,5.1 4.3: 5,7,9,10,12,15,17,19,22,25 4.4: 2,5,8
Mar. 23,25 Sections 5.2,5.3,6.1 5.2: 11,14,17,20,22,24,27,31,34
5.3: 8,11,14,17,22,25,28,38 6.1: 6,11,13,16,18,21
HW #3 10 points Due Thurs. Mar. 25
4.1: 15,25,36 4.2: 10,13,15 4.3: 10,18,25 4.4: 3,5 5.1: 14,19 5.2: 12,20
April 6,8 Sections 6.2-6.4 6.2: 5,7,12,13,15,20,27,29,30,35,36
6.3 6.3: 5,10,15,18,22,24,28 6.4: 7,9,11eg,14,16,20,22,25
Quiz #2 Thurs. Apr. 8 20 points
April 13,15 Section 6.5-6.7,7.1 6.5: 4,12,14,17,19 6.6: 4,7,11,14,18,20 6.7: 3,8,10,16
HW #4 20 points Due Tues. Apr. 20
5.3: 13,17 6.1: 11,18 6.2: 15,20 6.3: 10,22 6.4: 9,20 6.5: 4,13 6.6: 18,20 6.7: 10,16
3.13: Homework - Mathematics
Differential equations represent an important branch of mathematics. Many of their properties have been understood mathematically and they have a history of being successfully applied to important problems in all areas of science and engineering. This course will introduce primarily linear, first-order, and second-order differential equations. Solution techniques for separable equations and homogeneous and inhomogeneous equations as well as a range of modeling-based applications arising in the context of engineering, physics and chemistry will be presented. The application of Laplace transforms to differential equations, systems of linear differential equations, linearization of nonlinear systems, and phase plane methods will be covered. Fourier series, a useful tool in signal processing, will also be introduced, and we will discuss how the Fourier series arises in solving the famous heat equation by separation of variables. The idea of approximating and visualizing solutions using a computer, such as with Matlab, will be introduced early in the term and students are expected to use Matlab as a resource in their work for this course.
Textbooks
- Polking, Boggess and Arnold, Differential Equations with Boundary Value Problems, second edition, Pearson Prentice-Hall.
Grades
- Your course grade will be determined as follows: Two midterm exams 40% (20% each), Final exam 40%, Homework 20%.
Midterm Exams: There will be two in class midterm examinations given. The second midterm will not be cumulative to the first. In other words, the second midterm will only cover course material not covered by first midterm exam. Each midterm exam grade will be 20%(x2) of the course grade.
Final Exam: The final exam grade will be 40% of the course grade and will take place during exams week. Your course grade will not exceed your final exam grade by more than one letter grade.
A/A-:90-100%, B/B±: 80-89%, C/C±: 70-79%, D/D+: 60-69%, F: Introduction to Differential Equations (DE),
numerical methods and computer tools
including Matlab for DEs
1.1 Number 1-11. Homework: 1,2,5,7,11
2.1 Number 1-6, 12-15. Homework: 1,3,5,12,13,15
6.1 Number 1-5 Homework: 3,5
Week 2:
Numerics (cont.), Separation of variables
6.2 Number 1-9. Homework: 23
6.3 Number 1-6, 11-13.
2.2 Number 1-22, 23-29, 33-35 Homework: 3,5,9,33
Solutions
Week 3:
Modeling, linear first-order equations
2.3 Number 1-10 Homework: 9
2.4 Number 1-21 Homework: 5,15,19
2.5 Number 1-7, 9-10 Homework: 5, 9b
Solutions
Week 4:
Modeling (cont.), second order equations
3.4 Number 1-19 Homework: 1,3,5,7,11
4.1 Number 1-20, 26-30 Homework: 1,3,9,17
4.3 Number 1-36 Homework: 1,9
Solutions
Week 5:
Second order equations (cont.), harmonic motions
4.3 (cont) Number 1-36 Homework: 17,35
4.4 Number 1-12, 14-16, 18 Homework: 1,7
4.5 Number 1-29 Homework: 1,5,11
Solutions
Week 6:
Inhomogeneous second order equations
4.5 (cont.) Number 1-29 Homework: 15,19
4.6 Number 1-10 Homework: 1,3,5
4.7 Number 3-11 Homework: 3,13
Solutions
Week 7:
Midterm 1, Laplace Transform
5.1 Number 1-29 Homework: 7,13,15,29
Solutions
Week 8:
Laplace Transform (cont.)
5.2 Number 1-41 Homework: 5,11,19,29
5.3 Number 1-36 Homework: 3,7,11,19
5.4 Number 1-26 Homework: 7,11,21
Solutions
Week 9:
Laplace Transform (cont.)
5.5 Number 1-25 Homework: 1,3,11,17
5.6 Number 1-9 Homework: 2,3,5,7
5.7 Number 4-24 Homework: 6,8,10
Solutions
Week 10:
Systems of differential equations pplane, dfield
8.1 Number 1-16 Homework: 5,7,13,15
8.2 Number 1-6, 13-16 Homework: 11,13,15 (use pplane.jar)
8.3 Number 1-6 Homework: 1,3,5
Solutions
Week 11:
Constant coefficient homogeneous 2x2 systems
9.1 Number 1-8, 16-23 Homework: 3,5,17,19
9.2 Number 1-27, 58-61 Homework: 3,13,15,59
9.3 Number 20-23 Homework: 21
9.4 Number 1-12
Solutions
Week 12:
Midterm 2, nonlinear systems
10.1 Number 1-16 Homework: 3,7,15
Solutions
Week 13-14:
Fourier series
12.1 Number 1-22 Homework: 5,7,13,17
12.3 Number 1-32 Homework: 3,7,19,31
12.4 Number 1-11 Homework: 3
Solutions
Week 15:
Separation of variables for the Heat equation
Review
13.2 Number 1-18
Exercise 3.3.14. Find the projection matrix onto the plane spanned by the vectors and . Find a nonzero vector that projects to zero. Answer: The plane in question is the column space of the matrix The projection matrix . We have &hellip Continue reading &rarr
Exercise 3.3.13. Using least squares, find the line that is the best fit to the following measurements: at at at at Also, given the matrix find the projection of onto the column space . Answer: Assuming that the line in &hellip Continue reading &rarr
