Articole

7.1: Mai multe despre intervale în Eⁿ. Semirings of Sets - Matematică

7.1: Mai multe despre intervale în Eⁿ. Semirings of Sets - Matematică



We are searching data for your request:

Forums and discussions:
Manuals and reference books:
Data from registers:
Wait the end of the search in all databases.
Upon completion, a link will appear to access the found materials.

I. Ca prolog, ne întoarcem la intervale în (E ^ {n} ) (Capitolul 3, §7).

Teorema ( PageIndex {1} )

Dacă (A ) și (B ) sunt intervale în (E ^ {n}, ) atunci

(i) (A cap B ) este un interval ( ( emptyset ) se consideră ca un interval);

(ii) (A-B ) este uniunea a mai multor intervale disjuncte (dar nu trebuie să fie un interval în sine).

Dovadă

Dovada ușoară pentru (E ^ {1} ) este lăsată în seama cititorului.

Un interval în (E ^ {2} ) este produsul încrucișat al două intervale de linie.

Lăsa

[A = X times Y text {și} B = X ^ { prime} times Y ^ { prime}, ]

unde (X, Y, X ^ { prime}, ) și (Y ^ { prime} ) sunt intervale în (E ^ {1}. ) Apoi (vezi Figura 29)

și

[AB = left [ left (XX ^ { prime} right) times Y right] cup left [ left (X cap X ^ { prime} right) times left ( YY ^ { prime} right) right]; ]

vezi Problema 8 din Capitolul 1, §§1-3.

Așa cum se menține teorema în (E ^ {1} ),

[X cap X ^ { prime} text {și} Y cap Y ^ { prime} ]

sunt intervale în (E ^ {1}, ) în timp ce

[X-Y ^ { prime} text {și} Y-Y ^ { prime} ]

sunt uniuni finite de intervale de linie disjuncte. (În Figura 29 sunt doar intervale, dar în general nu sunt.)

Rezultă cu ușurință că (A cap B ) este un interval în (E ^ {2}, ) în timp ce (A-B ) se împarte în multe astfel de intervale. (Verificați!) Astfel teorema se menține în (E ^ {2} ).

În cele din urmă, pentru (E ^ {n}, ) folosiți inducția. Un interval în (E ^ {n} ) este produsul încrucișat al unui interval din (E ^ {n-1} ) cu un interval de linie. Astfel, dacă teorema se menține în (E ^ {n-1}, ) același argument arată că se menține și în (E ^ {n}, ). (Verifica!)

Aceasta completează dovada inductivă. ( Quad square )

De fapt, teorema 1 se aplică multor alte familii de mulțimi (nu neapărat intervale sau mulțimi în (E ^ {n}). ) Acum le dăm astfel de familii un nume.

Definiția 1

O familie ( mathcal {C} ) de seturi arbitrare se numește semiremâncare dacă

(i) ( emptyset in mathcal {C} ) ( ( emptyset ) este membru) și

(ii) pentru orice seturi (A ) și (B ) din ( mathcal {C}, ) avem (A cap B în mathcal {C}, ) în timp ce (AB ) este uniunea a multor seturi disjuncte din ( mathcal {C}. )

Pe scurt: ( mathcal {C} ) este un semiremâncare dacă îndeplinește teorema 1.

Rețineți că aici ( mathcal {C} ) nu este doar un set, ci o întreagă familie de seturi. Reamintim (capitolul §§1-3) că o familie de seturi (familia de seturi) este un set ( mathcal {M} ) ai cărui membri sunt alte seturi. Dacă (A ) este membru al ( mathcal {M}, ) numim (A ) an ( mathcal {M} ) - set și scriem (A in mathcal {M } ) (nu (A subseteq mathcal {M}) ).

Uneori folosim notația index:

[ mathcal {M} = left {X_ {i} | i in I right }, ]

scurt

[ mathcal {M} = left {X_ {i} right }, ]

unde (X_ {i} ) sunt ( mathcal {M} ) - seturi distinse între ele prin indicii (i ) care variază în funcție de un anumit set de indici (I. )

O familie set ( mathcal {M} = left {X_ {i} right } ) și unirea sa

[ bigcup_ {i} X_ {i} ]

se spune că sunt disjuncte if

[X_ {i} cap X_ {j} = emptyset text {ori de câte ori} i neq j. ]

Notaţie:

[ bigcup X_ {i} text {(disjunct).} ]

În cazul nostru, (A in mathcal {C} ) înseamnă că (A ) este un ( mathcal {C} ) - set (un membru al semiremiterii ( mathcal {C}) ).

Formula

[( forall A, B in mathcal {C}) quad A cap B in mathcal {C} ]

înseamnă că intersecția a două ( mathcal {C} ) - setează într-un ( mathcal {C} ) - setat singur.

În continuare, vom vorbi adesea despre semirings ( mathcal {C} ) în general. În special, acest lucru se va aplica cazului ( mathcal {C} = ) {intervale}. Păstrați întotdeauna acest caz în minte!

Nota 1. Prin teorema 1, intervalele din (E ^ {n} ) formează o semiremâncare. Deci, faceți și intervalele pe jumătate deschise și pe jumătate închise separat (aceeași dovadă!), Dar nu și pe cele deschise (sau închise). (De ce?)

Prudență. Unirea și diferența a două seturi ( mathcal {C} ) - nu trebuie să fie un set ( mathcal {C} ) -. Pentru a remedia acest lucru, mărim acum ( mathcal {C}. )

Definiția 2

Spunem că un set (A ) (din ( mathcal {C} ) sau nu) este ( mathcal {C} ) - simplu și scrie

[A in mathcal {C} _ {s} ^ { prime} ]

if (A ) este o uniune finită a disjunctului ( mathcal {C} ) - seturi (cum ar fi (A-B ) în teorema 1).

Astfel ( mathcal {C} _ {s} ^ { prime} ) este familia tuturor ( mathcal {C} ) - seturi simple.

Fiecare ( mathcal {C} ) - set este, de asemenea, un ( mathcal {C} _ {s} ^ { prime} ) - set, adică un ( mathcal {C} ) - simplu unu. (De ce?) Pe scurt:

[ mathcal {C} subseteq mathcal {C} _ {s} ^ { prime}. ]

Dacă ( mathcal {C} ) este setul tuturor intervalelor, un set ( mathcal {C} ) - simplu poate arăta ca în Figura 30.

Teorema ( PageIndex {2} )

Dacă ( mathcal {C} ) este un semiremâncare și dacă (A ) și (B ) sunt ( mathcal {C} ) - simple, așa sunt și

[A cap B, A-B, text {și} A cup B. ]

În simboluri,

[ left ( forall A, B in mathcal {C} _ {s} ^ { prime} right) quad A cap B in mathcal {C} _ {s} ^ { prime }, AB in mathcal {C} _ {s} ^ { prime}, text {și} A cup B in mathcal {C} _ {s} ^ { prime}. ]

Dovadă

Oferim o schemă de probă și sugerăm dovada ca exercițiu. Înainte de a încerca, cititorul ar trebui să revizuiască temeinic legile și problemele din capitolul 1, §§1-3.

(1) Pentru a dovedi (A cap B in mathcal {C} _ {s} ^ { prime}, )

[A = bigcup_ {i = 1} ^ {m} A_ {i} ( text {disjoint}) text {și} B = bigcup_ {k = 1} ^ {n} B_ {k} text {(disjunct),} ]

cu (A_ {i}, B_ {k} în mathcal {C}. ) Verificați că

[A cap B = bigcup_ {k = 1} ^ {n} bigcup_ {i = 1} ^ {m} left (A_ {i} cap B_ {k} right) text {(disjoint ),} ]

și așa (A cap B in mathcal {C} _ {s} ^ { prime} ).

(2) Apoi demonstrați că (AB in mathcal {C} _ {s} ^ { prime} ) dacă (A in mathcal {C} _ {s} ^ { prime} ) și (B in mathcal {C} ).

Într-adevăr, dacă

[A = bigcup_ {i = 1} ^ {m} A_ {i} text {(disjunct),} ]

atunci

[AB = bigcup_ {i = 1} ^ {m} A_ {i} -B = bigcup_ {i = 1} ^ {m} left (A_ {i} -B right) text {(disjoint ).} ]

Verificați și utilizați definiția 2.

(3) Dovediți că

[ left ( forall A, B in mathcal {C} _ {s} ^ { prime} right) quad AB in mathcal {C} _ {s} ^ { prime}; ]

vă sugerăm următorul argument.

Lăsa

[B = bigcup_ {k = 1} ^ {n} B_ {k}, quad B_ {k} în mathcal {C}. ]

Atunci

[A-B = A- bigcup_ {k = 1} ^ {n} B_ {k} = bigcap_ {k = 1} ^ {n} left (A-B_ {k} right) ]

prin legi de dualitate. Dar (A-B_ {k} ) este ( mathcal {C} ) - simplu la pas (2). Prin urmare, așa este

[A-B = bigcap_ {k = 1} ^ {m} left (A-B_ {k} right) ]

la pas (1) plus inducție.

(4) Pentru a dovedi (A cup B in mathcal {C} _ {s} ^ { prime}, ) verificați dacă

[A cup B = A cup (B-A), ]

unde (B-A in mathcal {C} _ {s} ^ { prime}, ) de (3).

Nota 2. Prin inducție, teorema 2 se extinde la orice număr finit de seturi ( mathcal {C} _ {s} ^ { prime} ). Este un fel de „lege de închidere”.

Astfel spunem pe scurt că ( mathcal {C} _ {s} ^ { prime} ) este închis sub uniuni finite, intersecții și diferențe stabilite. Orice familie de seturi (fără gol) cu aceste proprietăți se numește set de inele (vezi și §3).

Astfel Teorema 2 afirmă că dacă ( mathcal {C} ) este un semiremiter, atunci ( mathcal {C} _ {s} ^ { prime} ) este un inel.

Prudență. O uniune infinită de ( mathcal {C} ) - seturile simple nu trebuie să fie ( mathcal {C} ) - simple. Totuși, putem lua în considerare asemenea uniuni, așa cum vom face mai departe.

În Corolarul 1 de mai jos, ( mathcal {C} _ {s} ^ { prime} ) poate fi înlocuit cu orice inel stabilit ( mathcal {M} ).

Corolar ( PageIndex {1} )

Dacă ( left {A_ {n} right } ) este o secvență finită sau infinită de seturi dintr-o semiremâncare ( mathcal {C} ) (sau dintr-un inel ( mathcal {M} ), cum ar fi ( mathcal {C} _ {s} ^ { prime} )), atunci există o secvență disjunctă de ( mathcal {C} ) - seturi simple (sau ( mathcal {M } ) - seturi) (B_ {n} subseteq A_ {n} ) astfel încât

[ bigcup_ {n} A_ {n} = bigcup_ {n} B_ {n}. ]

Dovadă

Fie (B_ {1} = A_ {1} ) și pentru (n = 1,2, ldots ),

[B_ {n + 1} = A_ {n + 1} - bigcup_ {k = 1} ^ {n} A_ {k}, quad A_ {k} in mathcal {C}. ]

Prin teorema 2, (B_ {n} ) sunt ( mathcal {C} ) - simple (la fel ca și (A_ {n + 1} ) și ( bigcup_ {k = 1} ^ { n} A_ {k}). ) Arătați că sunt disjuncte (presupuneți opusul și găsiți o contradicție) și verificați dacă ( bigcup A_ {n} = bigcup B_ {n}: ) Dacă (x în bigcup A_ {n}, ) luați cel mai mic (n ) pentru care (x în A_ {n}. ) Apoi (n> 1 ) și

[x în A_ {n} - bigcup_ {k = 1} ^ {n-1} A_ {k} = B_ {n}, ]

sau (n = 1 ) și (x în A_ {1} = B_ {1}. quad pătrat )

Nota 3. În Corolarul 1, (B_ {n} în mathcal {C} _ {s} ^ { prime}, ) adică, (B_ {n} = bigcup_ {i = 1} ^ {m_ {n }} C_ {ni} ) pentru unele seturi disjuncte (C_ {ni} în mathcal {C}. ) Astfel

[ bigcup_ {n} A_ {n} = bigcup_ {n} bigcup_ {i = 1} ^ {m_ {n}} C_ {n i} ]

este, de asemenea, o uniune disjunctibilă contabilă a ( mathcal {C} ) - seturi.

II. Amintiți-vă că volumul intervalelor este aditiv (problema 9 din capitolul 3, §7). Adică, dacă (A in mathcal {C} ) este împărțit în multe subintervalele disjuncte, atunci (v A ) (volumul lui (A) ) este egal cu suma volumelor părților .

Vom avea nevoie de următoarea lemă.

lema 1

Fie (X_ {1}, X_ {2}, ldots, X_ {m} în mathcal {C} ) (intervale în (E ^ {n}). ) Dacă (X_ {i } ) sunt disjuncte reciproc, atunci

(i) ( bigcup_ {i = 1} ^ {m} X_ {i} subseteq Y in mathcal {C} ) implică ( sum_ {i = 1} ^ {m} v X_ {i } leq v Y; ) și

(ii) ( bigcup_ {i = 1} ^ {m} X_ {i} subseteq bigcup_ {k = 1} ^ {p} Y_ {k} left ( text {with} Y_ {k} în mathcal {C} right) ) implică ( sum_ {i = 1} ^ {m} v X_ {i} leq sum_ {k = 1} ^ {p} v Y_ {k} ) .

Dovadă

(i) Prin teorema 2, setul

[Y- bigcup_ {i = 1} ^ {m} X_ {i} ]

este ( mathcal {C} ) - simplu; asa de

[Y- bigcup_ {i = 1} ^ {m} X_ {i} = bigcup_ {j = 1} ^ {q} C_ {j} ]

pentru unele intervale disjuncte (C_ {j}. ) Prin urmare

[Y = bigcup X_ {i} cup bigcup C_ {j} text {(toate disjuncte).} ]

Astfel, prin aditivitate,

[v Y = sum_ {i = 1} ^ {m} v X_ {i} + sum_ {j = 1} ^ {q} v C_ {j} geq sum_ {i = 1} ^ {m } v X_ {i}, ]

după cum se susține.

(ii) Prin teoria mulțimilor (problema 9 din capitolul 1, §§1-3),

[X_ {i} subseteq bigcup_ {k = 1} ^ {p} Y_ {k} ]

presupune

[X_ {i} = X_ {i} cap bigcup_ {k = 1} ^ {p} Y_ {k} = bigcup_ {k = 1} ^ {p} left (X_ {i} cap Y_ {k} dreapta). ]

Dacă se întâmplă ca și (Y_ {k} ) să fie disjuncte reciproc, la fel sunt cu siguranță și intervalele mai mici (X_ {i} cap Y_ {k}; ) deci prin aditivitate,

[v X_ {i} = sum_ {k = 1} ^ {p} v left (X_ {i} cap Y_ {k} right). ]

Prin urmare

[ sum_ {i = 1} ^ {m} v X_ {i} = sum_ {i = 1} ^ {m} sum_ {k = 1} ^ {p} v left (X_ {i} cap Y_ {k} right) = sum_ {k = 1} ^ {p} left [ sum_ {i = 1} ^ {m} v left (X_ {i} cap Y_ {k} right )dreapta].]

Dar prin (i),

[ sum_ {i = 1} ^ {m} v left (X_ {i} cap Y_ {k} right) leq v Y_ {k} text {(de ce?);} ]

asa de

[ sum_ {i = 1} ^ {m} v X_ {i} leq sum_ {k = 1} ^ {p} v Y_ {k}, ]

după cum este necesar.

Cu toate acestea, dacă (Y_ {k} ) nu sunt disjuncte, Corolarul 1 cedează

[ bigcup Y_ {k} = bigcup B_ {k} text {(disjunct)}, ]

cu

[Y_ {k} supseteq B_ {k} = bigcup_ {j = 1} ^ {m_ {k}} C_ {kj} ( text {disjoint}), quad C_ {kj} in mathcal { C}. ]

Prin (i),

[ sum_ {j = 1} ^ {m_ {k}} v C_ {k j} leq v Y_ {k}. ]

La fel de

[ bigcup_ {i = 1} ^ {m} X_ {i} subseteq bigcup_ {k = 1} ^ {p} Y_ {k} = bigcup_ {k = 1} ^ {p} B_ {k} = bigcup_ {k = 1} ^ {p} bigcup_ {j = 1} ^ {m_ {k}} C_ {kj} text {(disjunct),} ]

totul se reduce la cazul anterior disjuns. ( quad square )

Corolar ( PageIndex {2} )

Fie (A in mathcal {C} _ {s} ^ { prime} ) ( ( mathcal {C} = ) intervale în (E ^ {n} )). Dacă

[A = bigcup_ {i = 1} ^ {m} X_ {i} ( text {disjoint}) = bigcup_ {k = 1} ^ {p} Y_ {k} text {(disjoint)} ]

cu (X_ {i}, Y_ {k} în mathcal {C}, ) atunci

[ sum_ {i = 1} ^ {m} v X_ {i} = sum_ {k = 1} ^ {p} v Y_ {k}. ]

(Folosiți partea (ii) din lemă de două ori.)

Astfel, putem (și facem) să definim fără echivoc (v A ) ca fiind una dintre aceste sume.


Afilieri

A.A. Institutul Kharkevich pentru probleme de transmitere a informațiilor și Universitatea Națională de Cercetare Școala Superioară de Economie, Moscova, Rusia

G. L. Litvinov & amp A. N. Sobolevski

Centrul de Educație Matematică Continuă din Moscova, Moscova, Rusia

A. Da. Rodionov & amp S. N. Sergeev

Universitatea din Birmingham, Școala de matematică, Edgbaston, B15 2TT, Marea Britanie

Puteți căuta acest autor și în PubMed Google Scholar

Puteți căuta acest autor și în PubMed Google Scholar

Puteți căuta acest autor și în PubMed Google Scholar

Puteți căuta acest autor și în PubMed Google Scholar

Autorul corespunzator


Aho AW, Ullman JD (1979) Introducere în teoria automatelor, limbaje și calcul. Addison Wesley, Reading

Ahsan J, Saifullah K, Khan MF (1993) Semirings Fuzzy. Fuzzy Sets Syst 60: 309-320

Akram M, Dudek WA (2011) Interval apreciat grafice fuzzy. Comput Math Appl 61: 289-299

Bhakat SK (1999) (( in vee q) ) -nivel subset. Fuzzy Sets Syst 103: 529-533

Bhakat SK, Das P (1996) Sub-ringuri și idealuri neclare redefinite. Fuzzy Sets Syst 81: 383-393

Davvaz B (2006) (( in, in vee q) ) - subnearrings și idealuri neclare. Soft Comput 10: 206–211

Dudek WA, Shabir M, Irfan Ali M (2009) (α, β) -idealuri fuzzy de hemirings. Comput Math Appl 58: 310-321

Ghosh S (1998) Fuzzy k-ideals of semirings. Fuzzy Sets Syst 95: 103–108

Glazek K (2002) Un ghid pentru litratură despre semirings și aplicațiile lor în matematică și științele informației: cu bibliografie completă. Kluwer, Olanda

Golan JS (1999) Semirings și aplicațiile lor. Editori Academici Kluwer, Dodrecht

Henriksen M (1958) Idealuri în semirings cu adăugare comutativă. Am Math Soc Notices 6: 321

Jun YB, Song SZ (2006) Idealuri interioare fuzzy generalizate în semigrupuri. Informează Sci 176: 3079-3093

Jun YB, Kim HS, Özürk MA (2005) Fuzzy k-ideală în semirings. J Fuzzy Maths 13: 351-364

Kim CB, Park M (1996) k-idealele neclare în semirings. Fuzzy Sets Syst 81: 281-286

Ma X, Zhan J (2007) Despre h-idealuri fuzzy de hemirings. J Syst Sci Complex 20: 470–478

Ma X, Zhan J (2009) H-bi-idealuri și h-cvasi-idealuri fuzzy generalizate ale hemirings. Informează Sci 179: 1249–1268

Mahmood T, On interval valoare (( in, in vee q_) ) -idealele neclare de hemirings, depuse

Mordeson JN, Malik DS (2002) Automate și limbaje neclare, teorie și aplicații, serie matematică de calcul. Chapman și Hall / CRC, Boca Raton

Murali V (2004) Puncte fuzzy ale unor subseturi fuzzy echivalente. Informează Sci 158: 277-288

Pu PM, Liu YM (1980) Topologie fuzzy, structura de vecinătate I a unui punct fuzzy și convergența Moore-Smith. J Math Anal Appl 76: 571-599

Rosenfeld A (1971) Grupuri neclare. J Math Anal Appl 35: 512-517

Shabir M, Mahmood T (2011) Caracterizări ale hemirings prin (( in, in vee q_) ) -idealuri neclare. Comput Math Appl 61: 1059–1078

Shabir M, Nawaz Y, Mahmood T Caracterizări ale hemirings prin (( overline < in>, overline < in> vee overline) ) -idealele neclare. Neural Comput Appl. doi: 10.1007 / s00521-011-0693-4

Shabir M, Anjum R Caracterizări ale hemirings prin lor k-idealuri, depuse

Shabir M, Anjum R On k-regulară și k-hemirings intra-regulate, prezentate

Shabir M, Mahmood T Interval evaluat (( overline < in>, overline < in> vee overline<>>) ) -idealuri neclare de hemirings, depuse

Sun G, Yin Y, Li Y (2010) Intervalul a apreciat idealurile h-fuzzy ale hemirings. Int Math Forum 5: 545–556

Vandiver HS (1934) Notă asupra unui tip simplu de algebră în care legea de anulare a adăugării nu se menține. Bull Am Math Soc 40: 914-920

Wechler W (1978) Conceptul de fuzziness în automate și teoria limbajului. Verlog Akademic, Berlin

Yin Y, Zhan J (2010) Noi tipuri de filtre fuzzy de algebre BL. Comput Math Appl 60: 2115-2125

Yin Y, Huang X, Xu D, Li H (2009) Caracterizarea h-hemirings semisimple. Int J Fuzzy Syst 11: 116–122

Zadeh LA (1965) Seturi fuzzy. Informați controlul 8: 338–353

Zadeh LA (1975) Conceptul unei variabile lingvistice și aplicarea acesteia la raționamentul aproximativ-1. Inform Control 18: 199–249


1. Introducere

În teoria graficelor, celebra problemă a traseului cel mai scurt (SPP, pe scurt) este problema găsirii unei căi între două vârfuri într-un grafic ponderat, astfel încât suma greutăților marginilor sale constitutive să fie redusă la minimum [1]. Un exemplu este găsirea celui mai rapid mod de a ajunge dintr-o locație în alta pe o hartă rutieră. În acest caz, vârfurile reprezintă locații, iar marginile reprezintă segmente de drum și sunt ponderate de timpul necesar pentru a parcurge acel segment.

Dacă presupunem că funcția ponderată nu este negativă, atunci fundamentul algebric aferent al SPP este semiremiterea ([0, +& # x0221e], min & # x02061, +). Acolo, folosim operația & # x0201c + & # x0201d pentru a calcula lungimea căilor și folosim operația & # x0201cmin & # x0201d pentru a găsi cea mai mică. Pentru cea mai largă problemă de cale (WPP, pe scurt) sau numită cea mai mare problemă de capacitate (GCP, pe scurt), fundamentul algebric aferent este semiremiterea& # x0221e], max & # x02061, min & # x02061). În consecință, folosim operația & # x0201cmin & # x0201d pentru a calcula capacitățile și folosim operația & # x0201cmax & # x0201d pentru a găsi cea mai mare. Pentru cea mai fiabilă problemă a căii (MRPP, pe scurt), fundamentul algebric aferent este semiremiterea ([0,1], max & # x02061 și & # x000d7). În consecință, folosim operația & # x0201c & # x000d7 & # x0201d pentru a calcula fiabilitatea căilor și folosim operația & # x0201cmax & # x0201d pentru a găsi cea mai mare. Există multe alte probleme clasice care utilizează diferite semirings în teoria graficelor [2].

Pentru ambele ([0, +& # x0221e], min & # x02061, +) pentru SPP și ([0, +& # x0221e], max & # x02061, min & # x02061) pentru WPP precum și algoritmii corespunzători, valoarea & # x0201c +& # x0221e& # x0201d este folosit pentru a acționa ca greutatea marginilor artificiale între perechile de vertex fără margine. Din aceste motive, SPP, WPP și MRPP (și alte probleme potențiale) pot fi puse într-un cadru mai generalizat: problema căii algebrice [2]. Primul scop al acestei lucrări este de a uni SPP, WPP, WPP și alte probleme de cale în grafice ponderate într-o semiremiterie idempotentă (cunoscută și sub numele de dioid) [3]. Vom oferi o abordare unificată pentru a găsi cea mai scurtă cale, cea mai largă cale și cea mai fiabilă cale, precum și lungimea lor.

În 1935, Whitney a introdus matroizele ca generalizare atât a graficelor, cât și a independenței liniare în spațiile vectoriale [4]. Este bine cunoscut faptul că matroizii joacă un rol important în matematica aplicată, în special în teoria optimă, care sunt tocmai structurile pentru problema maximă a setului independent (MISP, pe scurt) pe care algoritmul lacom foarte simplu și eficient lucrează [5]. Al doilea obiectiv al acestei lucrări este de a studia matroizele ponderate într-un dioid liniar și MISP aferent.


O abordare algebrică a analizei rețelei temporale bazată pe mărimi temporale

Într-o rețea temporală, prezența și activitatea nodurilor și a legăturilor se pot schimba în timp. Pentru a descrie rețelele temporale, introducem noțiunea de mărimi temporale. Definim adunarea și multiplicarea mărimilor temporale într-un mod care poate fi utilizat pentru definirea adunării și multiplicării rețelelor temporale. Structurile algebrice corespunzătoare sunt semirings. Abordarea obișnuită a analizei (de date) a rețelelor temporale este transformarea rețelei într-o secvență de felii de timp - rețele statice corespunzătoare intervalelor de timp selectate și analizarea fiecăreia dintre ele folosind metode standard pentru a produce o succesiune de rezultate. Abordarea propusă în această lucrare ne permite să calculăm direct aceste rezultate. Am dezvoltat algoritmi rapidi pentru operațiunile propuse. Acestea sunt disponibile ca o bibliotecă open source Python TQ (Temporal Quantities) și un program Ianus. Abordarea propusă ne permite să tratăm ca mărimi temporale și alte caracteristici ale rețelei, cum ar fi grade, componente de conectivitate, măsuri de centralitate, scheletul Pathfinder, etc. reţea.

Aceasta este o previzualizare a conținutului abonamentului, acces prin intermediul instituției dvs.


Tipuri de seturi

Seturile pot fi clasificate în mai multe tipuri, dintre care unele sunt finite, infinite, subset, universal, adecvat, set unic, etc.

Set finit

Un set care conține un număr definit de elemente se numește set finit.

Set infinit

Un set care conține un număr infinit de elemente se numește un set infinit.

Subset

O mulțime X este un subset al mulțimii Y (Scris ca X & sube Y) dacă fiecare element al lui X este un element al mulțimii Y.

Exemplul 1 & minus Fie, X = <1,2,3,4,5,6> și Y = <1,2>. Aici mulțimea Y ​​este un subset al mulțimii X deoarece toate elementele mulțimii Y se află în mulțimea X. Prin urmare, putem scrie Y și subeX.

Exemplul 2 & minus Fie, X = <1,2,3> și Y = <1,2,3>. Aici mulțimea Y ​​este un subset (nu un subset adecvat) al mulțimii X, deoarece toate elementele mulțimii Y se află în mulțimea X. Prin urmare, putem scrie Y și subeX.

Subset adecvat

Termenul „subset adecvat” poate fi definit ca „subset al dar nu egal cu”. Un set X este un subset corespunzător al mulțimii Y (Scris ca X și sub Y) dacă fiecare element al lui X este un element al mulțimii Y și | X | & lt | Y |.

Exemplu & minus Fie, X = <1,2,3,4,5,6> și Y = <1,2>. Aici setați Y și sub X, deoarece toate elementele din Y sunt conținute și în X și X are cel puțin un element care este mai mult decât setul Y.

Set universal

Este o colecție de elemente dintr-un anumit context sau aplicație. Toate seturile din acel context sau aplicație sunt în esență subseturi ale acestui set universal. Seturile universale sunt reprezentate ca U.

Exemplu & minus Putem defini U ca ansamblul tuturor animalelor de pe pământ. În acest caz, un set al tuturor mamiferelor este un subgrup al lui U, un set al tuturor peștilor este un subgrup al lui U, un set al tuturor insectelor este un subgrup al lui U și așa mai departe.

Set gol sau Set nul

Un set gol nu conține elemente. Este notat cu & Phi. Deoarece numărul de elemente dintr-un set gol este finit, setul gol este un set finit. Cardinalitatea setului gol sau a setului nul este zero.

Set Singleton sau Unit Unit

Un set Singleton sau un set conține un singur element. Un set singleton este notat cu .

Set egal

Dacă două seturi conțin aceleași elemente, se spune că sunt egale.

Exemplu & minus Dacă A = <1,2,6> și B = <6,1,2>, acestea sunt egale deoarece fiecare element al mulțimii A este un element al mulțimii B și fiecare element al mulțimii B este un element al mulțimii A.

Set echivalent

Dacă cardinalitățile a două mulțimi sunt aceleași, ele se numesc mulțimi echivalente.

Exemplu & minus Dacă A = <1,2,6> și B = <16,17,22>, acestea sunt echivalente cu cardinalitatea lui A este egală cu cardinalitatea lui B. adică | A | = | B | = 3

Set de suprapuneri

Două seturi care au cel puțin un element comun se numesc seturi suprapuse. În caz de seturi suprapuse & minus

$ n left (A cup B right) = n left (A right) + n left (B right) - n left (A cap B right) $

$ n left (A cup B right) = n left (A-B right) + n left (B-A right) + n left (A cap B right) $

$ n left (A right) = n left (A-B right) + n left (A cap B right) $

$ n left (B right) = n left (B-A right) + n left (A cap B right) $

Exemplu & minus Fie, A = <1,2,6> și B = <6,12,42>. Există un element comun „6”, prin urmare aceste seturi sunt seturi care se suprapun.

Set disjunct

Două mulțimi A și B se numesc mulțimi disjuncte dacă nu au nici măcar un element în comun. Prin urmare, seturile disjuncte au următoarele proprietăți și minus

$ n left (A cap B right) = phi $

$ n left (A cup B right) = n left (A right) + n left (B right) $

Exemplu & minus Fie, A = <1,2,6> și B = <7,9,14>, nu există un singur element comun, prin urmare aceste seturi sunt seturi care se suprapun.


Probleme de constrângere soft evaluate la intervale

Constrângerile și preferințele cantitative sau costurile sunt foarte utile pentru modelarea multor probleme din viața reală. Cu toate acestea, în multe setări, este dificil să specificați valori de preferință precise și este mult mai rezonabil să permiteți intervale de preferință. Definim mai multe noțiuni de soluții optime pentru astfel de probleme, oferind algoritmi pentru a găsi soluții optime și, de asemenea, pentru a testa dacă o soluție este optimă. De cele mai multe ori, acești algoritmi necesită doar soluționarea problemelor de constrângere soft, ceea ce sugerează că ar putea fi posibil să se gestioneze această formă de incertitudine în constrângeri soft fără a crește semnificativ efortul de calcul necesar pentru a rezona cu astfel de probleme. Acest lucru este susținut și de rezultate experimentale. Identificăm, de asemenea, clase de probleme în care se păstrează aceleași rezultate dacă utilizatorii au voie să folosească mai multe intervale disjuncte decât mai degrabă decât unul singur.

Jurnal

Annals of Mathematics and Artificial Intelligence & ndash Springer Journals


7.1: Mai multe despre intervale în Eⁿ. Semirings of Sets - Matematică

Toate articolele publicate de MDPI sunt puse la dispoziție imediat în întreaga lume sub o licență de acces deschis. Nu este necesară nicio permisiune specială pentru refolosirea totală sau parțială a articolului publicat de MDPI, inclusiv cifrele și tabelele. Pentru articolele publicate sub o licență Creative BY CC Open acces, orice parte a articolului poate fi refolosită fără permisiune, cu condiția ca articolul original să fie clar citat.

Documentele de funcții reprezintă cea mai avansată cercetare cu potențial semnificativ de impact ridicat în domeniu. Lucrările sunt prezentate la invitația sau recomandarea individuală de către editorii științifici și sunt supuse unei evaluări inter pares înainte de publicare.

Feature Paper poate fi fie un articol de cercetare original, un studiu substanțial de cercetare roman care implică adesea mai multe tehnici sau abordări, fie o lucrare de revizuire cuprinzătoare cu actualizări concise și precise cu privire la ultimele progrese în domeniu care revizuiesc sistematic cele mai interesante progrese în domeniul științific. literatură. Acest tip de hârtie oferă o perspectivă asupra direcțiilor viitoare de cercetare sau a posibilelor aplicații.

Articolele Editor’s Choice se bazează pe recomandările editorilor științifici ai revistelor MDPI din întreaga lume. Editorii selectează un număr redus de articole publicate recent în revistă, care consideră că vor fi deosebit de interesante pentru autori sau importante în acest domeniu. Scopul este de a oferi un instantaneu al unora dintre cele mai interesante lucrări publicate în diferitele domenii de cercetare ale revistei.


7.1: Mai multe despre intervale în Eⁿ. Semirings of Sets - Matematică

Toate articolele publicate de MDPI sunt puse la dispoziție imediat în întreaga lume sub o licență de acces deschis. Nu este necesară nicio permisiune specială pentru refolosirea totală sau parțială a articolului publicat de MDPI, inclusiv cifrele și tabelele. Pentru articolele publicate sub o licență Creative BY CC Open acces, orice parte a articolului poate fi refolosită fără permisiune, cu condiția ca articolul original să fie clar citat.

Documentele de funcții reprezintă cea mai avansată cercetare cu potențial semnificativ de impact ridicat în domeniu. Lucrările sunt prezentate la invitația sau recomandarea individuală de către editorii științifici și sunt supuse unei evaluări inter pares înainte de publicare.

Feature Paper poate fi fie un articol de cercetare original, un studiu substanțial de cercetare roman care implică adesea mai multe tehnici sau abordări, fie o lucrare de revizuire cuprinzătoare cu actualizări concise și precise cu privire la ultimele progrese în domeniu care revizuiesc sistematic cele mai interesante progrese în domeniul științific. literatură. Acest tip de hârtie oferă o perspectivă asupra direcțiilor viitoare de cercetare sau a posibilelor aplicații.

Articolele Editor’s Choice se bazează pe recomandările editorilor științifici ai revistelor MDPI din întreaga lume. Editorii selectează un număr redus de articole publicate recent în revistă, care consideră că vor fi deosebit de interesante pentru autori sau importante în acest domeniu. Scopul este de a oferi un instantaneu al unora dintre cele mai interesante lucrări publicate în diferitele domenii de cercetare ale revistei.


Priveste filmarea: Matematică, Clasa a XI-a, Intervalele de monotonie (August 2022).