Articole

5.1: Interpretarea numerelor negative - Matematică

5.1: Interpretarea numerelor negative - Matematică


We are searching data for your request:

Forums and discussions:
Manuals and reference books:
Data from registers:
Wait the end of the search in all databases.
Upon completion, a link will appear to access the found materials.

5.1: Interpretarea numerelor negative - Matematică

Lecția 1 Interpretarea numerelor negative

Iată un termometru meteo. Trei dintre numere au fost lăsate.


Teoria numerelor - Tipuri de numere matematice

Acele zece simboluri simple, cifre sau numere pe care le învățăm cu toții la începutul vieții, care ne influențează viața în mai multe moduri decât ne-am putea imagina vreodată. V-ați întrebat vreodată cum ar fi viața noastră fără aceste 10 cifre elegante și gama infinită de alte numere pe care le pot crea? Zile de naștere, vârste, înălțime, greutate, dimensiuni, adrese, numere de telefon, numere de înmatriculare, numere de card de credit, numere PIN, numere de cont bancar, numere posturi de radio / TV, ora, date, ani, direcții, ore de trezire, scoruri sportive , prețuri, contabilitate, secvențe / serii de numere, pătrate magice, numere poligonale, factori, pătrate, cuburi, numere Fibonacci, numere perfecte, deficitare și abundente, iar lista continuă ad infinitum. Inginerii, contabilii, funcționarii de magazine, producătorii, casieri, bancheri, brokeri, dulgheri, matematicieni, oameni de știință și așa mai departe, nu ar putea supraviețui fără ei. Într-un anumit sens, s-ar putea concluziona cu ușurință că nu am putea trăi fără ele. În mod surprinzător, există o varietate aproape nemăsurată de minuni ascunse care înconjoară sau emană din aceste simboluri familiare pe care le folosim în fiecare zi, numerele naturale.

De-a lungul timpului, multe dintre matricile sau modelele infinite ale numerelor derivabile din cele zece cifre de bază au fost clasificate sau clasificate într-o varietate de tipuri de numere în funcție de un anumit scop pe care îl servesc, regulă fundamentală pe care o urmează sau proprietate pe care o posedă . Mulți, dacă nu toți, sunt minunat de unici și servesc pentru a ilustra frumusețea naturală extremă și minunea numerelor noastre, folosite atât în ​​matematica clasică, cât și în cea recreativă.

În interesul stimulării unui interes mai larg pentru teoria numerelor și matematica recreativă, această colecție se va strădui să prezinte definiții de bază și descrieri scurte pentru mai multe dintre tipurile de numere întâlnite atât de des în domeniul larg al matematicii recreative. Descrierile de tipuri de numere care urmează nu vor fi exhaustive în detaliu, deoarece spațiul este limitat și unele ar necesita volume pentru a acoperi în detaliu. O listă de referințe excelente pentru citire este oferită celor care doresc să afle mai multe despre orice tip de număr specific sau să exploreze altele care nu sunt incluse. Se speră sincer că materialul conținut aici vă va stimula să citiți și să explorați mai departe. Sper, de asemenea, că după ce ați citit, digerat și înțeles materialul oferit aici, că vă veți bucura de experiență și că nu veți rosti niciodată acele cuvinte teribile, de neuitat, „Urăsc matematica”.

Unele definiții de bază ale termenilor întâlniți în mod normal în clasă sunt date mai întâi.

Întregi - Oricare dintre numerele întregi pozitive și negative, . - 3, - 2, - 1, 0, + 1, + 2, + 3, . Numerele întregi pozitive, 1, 2, 3. se numesc numere naturale sau numere de numărare. Mulțimea tuturor numerelor întregi este de obicei notată cu Z sau Z +

Cifre - cele 10 simboluri 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 și 9, utilizate pentru a crea numere în sistemul numeric zecimal de bază.

Numere - simbolurile utilizate pentru a indica numerele naturale. Cifrele arabe 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sunt cele utilizate în sistemul numeric hindu-arab pentru a defini numerele.

Numere naturale - setul de numere, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17. pe care le vedem și le folosim în fiecare zi. Numerele naturale sunt adesea denumite numere de numărare și numere întregi pozitive.

Numere întregi - numerele naturale plus zero.

Numere rationale - orice număr care este fie un întreg "a" sau este exprimabil ca raportul a două numere întregi, a / b. Numărătorul, „a”, poate fi orice număr întreg, iar numitorul, „b”, poate fi orice număr întreg pozitiv mai mare decât zero. Dacă numitorul se întâmplă să fie unitate, b = 1, raportul este un număr întreg. Dacă „b” este altul decât 1, a / b este o fracție.

Numere fracționare - orice număr exprimabil prin coeficientul a două numere ca în a / b, „b” mai mare decât 1, unde „a” se numește numărător și „b” se numește numitor. Dacă „a” este mai mic decât „b” este o fracție adecvată. Dacă „a” este mai mare decât „b” este o fracție necorespunzătoare care poate fi împărțită într-un număr întreg și o fracție adecvată.

Numere irationale - orice număr care nu poate fi exprimat printr-un număr întreg sau raportul a două numere întregi. Numerele iraționale sunt exprimabile numai ca fracții zecimale în care cifrele continuă pentru totdeauna, fără niciun model care se repetă. Câteva exemple de numere iraționale sunt

Numere transcendentale - orice număr care nu poate fi rădăcina unei ecuații polinomiale cu coeficienți raționali. Acestea sunt un subgrup de numere iraționale, dintre care exemple sunt Pi = 3,14159. și e = 2,7182818. baza logaritmilor naturali.

Numere reale - ansamblul numerelor reale incluzând toate numerele raționale și iraționale.

Numerele iraționale sunt numere precum

Numerele raționale includ numerele întregi (0, 1, 2, 3,.), Numerele întregi (. - 2, - 1, 0, 1, 2,.), Fracțiile și zecimale repetitive și terminale.

Puneți-l pe toate numerele întregi 1,2,3,4,5,6,7. etc.

apoi puneți toate negativele numerelor întregi în stânga lui 0

Apoi puneți toate fracțiile.

Apoi introduceți toate zecimalele [unele zecimale nu sunt fracții]

Acum aveți ceea ce se numește „linia numerică reală”

Modul de a obține un număr care nu este „real” este să încercați să găsiți rădăcina pătrată a lui - 1

nu poate fi 1 deoarece 1 pătrat este 1, nu -1

nu poate fi -1 deoarece pătratul -1 este 1, nu -1

Deci, nu există un număr pe linia dvs. de număr

iar noile numere ar trebui puse undeva.

Tipurile de numere introduse în prezent și / sau planificate pentru a fi introduse sunt enumerate mai jos și vor fi actualizate pe măsură ce se vor face noi intrări în viitor. Atunci când este cazul, și timpul permite, unele dintre definițiile / descrierile numerelor vor fi extinse în continuare pentru a furniza informații suplimentare.

Abundent, algebric, amiabil, Aranjament, Automorf, Binar, Cardinal, Catalan, Complex, Compozit, Congruent, Numărare, Cubic, Zecimal, Deficient, Par, Factor, Factorial, Fermat, Fibonacci, Figurat, Fracțional, Prieten, Generator, Gnomon, Auriu, Giratoriu, Fericit, Hardy-Ramanujan, Heronian, Imaginar, Infinit, Întregi, irațional, Mersenne, Monodigit, Narcisic, Natural, Alungit, Octahedru, Impar, Ordinal, Parazit, Pell, Pentatop, Perfect, Persistent, Poligonal, Pronic, Piramidal, Pitagoric, Quasiperfect, Aleator, Rațional, Real, Rectangular, Relativ Prim, Semi-perfect, Secvență, Sociabil, Pătrat, Superabundant, Etichetă, Tetraedric, Transcendental, Triangular, Fracție unitară, Întreg.

Mai multe dintre numere formează modele unice care sunt adesea folosite în soluționarea problemelor matematice. Când sunt aplicabile modele distincte, primele zece numere ale modelelor vor fi date împreună cu relații specifice sau ecuații, care vă vor permite să găsiți orice număr în model.

Un număr n pentru care suma divizorilor σ(n) & gt2nsau, echivalent, suma divizorilor proprii (sau suma alicotă) s(n) & gtn.

Un număr abundent este un număr n pentru care suma divizorilor σ(n) & gt2nsau, echivalent, suma divizorilor proprii (sau suma alicotă) s(n) & gtn.

Numerele abundente fac parte din familia numerelor care sunt fie deficitare, perfecte, fie abundente.

Numerele abundente sunt numere în care suma, Sa (N), a părților alicote / divizorilor săi este mai mare decât numărul în sine Sa (N) & gt N sau S (N) & gt 2N. (În limba matematicienilor greci, divizorii unui număr N au fost definiți ca orice număr întreg mai mic decât N care, împărțit în N, a produs numere întregi. Factorii / divizorii unui număr N, mai puțin numărul în sine, sunt denumit părți alicote, divizoare alicote sau divizoare proprii ale numărului.) În mod echivalent, N este, de asemenea, abundent dacă suma, S (N), a "tuturor" divizorilor săi este mai mare decât 2N.

Sa (N) - & gt1..1..1..3..1. 6. 1. 7. 4. 8. 1. 16. 1. 10. 9. 15. 1. 21. 1. 22..11..12. 1. 36

. 12,18,20 și 24 sunt abundente.

Se poate vedea cu ușurință că folosind suma părților alicote, sa (24) = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 8 + 12 = 36 & gt N = 24 în timp ce s (24) = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 8 + 12 + 24 = 60 & gt 2N = 48, făcând 24 abundente folosind oricare dintre definiții.

Numai 21 din numerele de la 1 la 100 sunt abundente. Numărul 945 este primul număr ciudat din abundență.

Fiecare număr întreg mai mare de 46 este exprimabil prin suma a două numere abundente.

Fiecare număr întreg mai mare de 83.159 este exprimabil prin suma a două numere abundente.

Orice multiplu dintr-un număr abundent este abundent.

Un număr prim sau orice putere a unui număr prim este deficitar. Divizorii unui număr perfect sau deficitar sunt deficienți.

Numerele abundente sub 100 sunt 20, 24, 30, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 66, 70, 72, 78, 80, 84, 88, 90 și 96.

(A se vedea perfect, semi-perfect, multiplu-perfect, cvasi-perfect, deficient, cel mai puțin deficient, super abundent)

Numerele algebrice sunt soluțiile de număr real sau complex la ecuațiile polinomiale de formă:

Coeficienții a, b, c, d,. p, q, sunt numere întregi sau fracții. Toate numerele raționale sunt algebrice, în timp ce unele numere iraționale sunt algebrice.

O parte alicotă este orice divizor al unui număr, care nu este egal cu numărul în sine. Divizorii sunt adesea denumiți divizori corespunzători. Părțile alicote ale numărului 24 sunt 1, 2, 3,4, 6, 8 și 12 ..

Un număr aproape perfect se aplică de obicei puterilor lui 2 deoarece suma părților alicote este

sau doar 1 în afară de a fi un număr perfect. Rezultă că orice putere de 2 este un număr deficitar

Numerele alfametice formează criptaritmi în care un set de numere sunt atribuite literelor care, de obicei, explică unele gânduri semnificative. Numerele pot forma o problemă de adunare, scădere, multiplicare sau divizare. Unul dintre primele criptaritmi a apărut în 1924 sub forma unei probleme de adăugare, cuvintele fiind destinate să reprezinte scrisoarea unui student de la facultate către părinți. Puzzle-ul citea TRIMITE + MAI MULTE = BANI. Răspunsul a fost 9567 + = 1085 = 10.652. Desigur, trebuie să folosiți logica pentru a obține numerele reprezentate de fiecare literă ..

Numerele amiabile sunt perechi de numere, fiecare dintre ele fiind suma celorlalți divizori alicot. De exemplu, 220 și 284 sunt numere amiabile, în timp ce toți divizorii alicoti ai lui 220, adică 110, 55, 44, 22, 10, 5, 4, 2, 1 se adună la 284 și toți divizorii alicotului din 284, adică, 142, 71, 4, 2, 1 se adaugă la 220. De asemenea, este adevărat pentru oricare două numere amiabile, N1 și N2, este faptul că suma tuturor factorilor / divizorilor ambilor, Sf (N1 + N2) = N1 + N2. Mai spus, Sf (220 + 284) = 220 + 284 = 504. Alte numere amiabile sunt:

Există mai mult de 1000 de perechi amiabile cunoscute. Numerele amiabile sunt uneori denumite numere prietenoase.

Din păcate, există mai multe metode pentru a obține numere amiabile, deși nu toate. Un matematician arab a conceput o metodă. Pentru valori mai mari de 1, numerele amiabile iau forma:

dat fiind faptul că x, y și z sunt numere prime. n = 2 produce x = 11, y = 5 și z = 71, care sunt toate prime și, prin urmare, rezultă în perechea de numere amiabile de 220/284. n = 3 produce x = 23, y = 11 și z = 287, dar 287 este compus, fiind 7x41. n = 4 produce x = 47, y = 23 și z = 1151, toate prime, rezultând astfel perechea amiabilă de 17.296 și 18.416. În revizuirea celor câteva perechi amiabile arătate mai devreme, este evident că această metodă nu produce toate perechile amiabile.

Dacă numărul 1 nu este utilizat la adunarea divizorilor alicotului a două numere, iar divizorii alicotului rămași ai fiecărui număr se adună încă la celălalt număr, numerele sunt numite semi-amiabile. De exemplu, suma divizorilor alicotului a 48, excluzând 1, este 75, în timp ce suma divizorilor alicotului a 75, excluzând 1, este 48.

Ca informație generală:

Suma tuturor factorilor / divizorilor unui număr N este dată de

care atunci când se aplică unui exemplu de 60 = 2 ^ 2x3x5 are ca rezultat

. Sf (60) = (2^3 - 1) X (3^2 - 1) X (5^2 - 1) = 7 x 4 x 6 = 168.

Într-un alt mod, suma factorilor unui număr N este dată de

care atunci când este aplicat unui exemplu de

După cum sa menționat anterior, suma factorilor / divizorilor alicot este suma tuturor factorilor / divizorilor minus numărul în sine.

Numărul apocalipsei, 666, denumit adesea numărul fiarei, este menționat în Biblie, Apocalipsa 13:18.

În timp ce semnificația reală sau relevanța numărului rămân neclare, numărul în sine are câteva caracteristici surprinzător de interesante.

Suma primelor 36 de numere pozitive este 666 ceea ce îl face al 36-lea număr triunghiular.

Suma pătratelor primelor șapte numere prime este 666.

Înmulțind laturile triunghiului dreptunghiular primitiv 12-35-37 cu 18 rezultă laturi neprimitive de 216-630-666.

Și mai surprinzător este faptul că aceste laturi pot fi scrise în forma teoremei pitagoreice:

Numerele de aranjament, numite mai frecvent numere de permutare, sau pur și simplu permutări, sunt numărul de moduri în care un număr de lucruri pot fi ordonate sau aranjate. În mod obișnuit, acestea evoluează de la întrebarea câte aranjamente ale obiectelor „n” sunt posibile folosind toate obiectele „n” sau „r” la un moment dat. Desemnăm permutațiile „n” lucrurilor luate „n” la un moment dat ca nPn și permutațiile „n” lucrurilor luate „r” la un moment ca nPr unde P reprezintă permutări, „n” reprezintă numărul de lucruri implicate, iar „r” este mai mic decât „n”. Pentru a găsi numărul de permutări de „n” lucruri diferite luate „n” la un moment dat, formula este nPn = n! care este factorial "n", ceea ce înseamnă:

Exemplu: Câte moduri puteți aranja literele A și amp B. Clar 2, care este 2 x 1 = 2, și anume AB și BA.

În câte moduri puteți aranja literele A, B & amp C în seturi de trei? Clar 3P3 = 3 x 2 x 1 = 6, și anume ABC, CBA, BAC, CAB, ACB și BCA.

În câte moduri puteți aranja A, B, C și amp D în seturi de patru? Clar 4P4 = 4 x 3 x 2 x 1 = 24.

Pentru a găsi numărul de permutări de „n” lucruri diferite luate „r” la un moment dat, formula este:

Exemplu: În câte moduri puteți aranja literele A, B, C și D folosind 2 simultan? Avem 4P4 = 4 x (4-2 + 1) = 4 x 3 = 12 și anume AB, BA, AC, CA, AD, DA, BC, CB, BD, DB, CD și DC.

Câte numere cu 3 locuri pot fi formate din cifrele 1, 2, 3, 4, 5 și 6, fără cifre repetate? Atunci noi avem 6P3 = 6 x 5 x (6-3 + 1) = 6 x 5 x 4 = 120.

Câte aranjamente din 3 litere pot fi făcute din întregul alfabet de 26 de litere fără litere repetate? Acum avem 26P3 = 26 x 25 x (26-3 + 1) = 26 x 25 x 24 = 15.600.

În cele din urmă, patru persoane intră într-o mașină în care sunt șase locuri. În câte moduri se pot așeza? 6P4 = 6 x 5 x 4 x (6-4 + 1) = 6 x 5 x 4 x 3 = 360.

Un alt scenariu de permutare este acela în care doriți să găsiți permutările de „n” lucruri, luate tot odată, când lucrurile „p” sunt de un fel, „q” lucruri de alt fel, „r” lucruri de un al treilea tip , iar restul sunt toate diferite. Fără a intra în derivare,

Exemplu, câte permutări diferite sunt posibile din literele cuvântului comitet luate toate împreună? Există 9 litere din care 2 sunt m, 2 sunt t, 2 sunt e și 1 c, 1 o și 1 i. Prin urmare, numărul de permutări posibile ale acestor 9 litere este:

Numerele automorfe sunt numere de "n" cifre ale căror pătrate se termină cu numărul în sine. Astfel de numere trebuie să se termine cu 1, 5 sau 6, deoarece acestea sunt singurele numere ale căror produse produc 1, 5 sau 6 în locul unităților. De exemplu, pătratul de 1 este 1 pătratul de 5 este 25 pătratul de 6 este 36.

Ce zici de numerele din 2 cifre care se termină cu 1, 5 sau 6? Este binecunoscut faptul că toate numerele de 2 cifre care se termină cu 5 au ca rezultat un număr care se termină cu 25, făcând din 25 un număr automorf de 2 cifre cu un pătrat de 625. Niciun alt număr de 2 cifre care se termină cu 5 nu va produce un număr automorf.

Există un număr automorf de 2 cifre care se termină cu 1? Știm că produsul 10A + 1 și 10A + 1 este 100A 2 + 20A + 1. „A” trebuie să fie un număr astfel încât 20A să producă un număr a cărui cifră a zecilor este egală cu „A”. Pentru „A” = 2, 2 x 20 = 40 și 4 nu este 2. Pentru „A” = 3, 3 x 20 = 60 și 6 nu este 3. Continuând în acest mod, nu găsim niciun număr automorf de 2 cifre care se termină cu 1.

Există un număr automorf de 2 cifre care se termină în 6? Din nou, știm că produsul 10A + 6 și 10A + 6 este 100A 2 + 120A + 36. „A” trebuie să fie un număr astfel încât 120A să producă un număr a cărui cifră de zeci adăugată la 3 este egală cu „A”. Pentru „A” = 2, 2 x 120 = 240 și 4 + 3 = 7 care nu este 2. Pentru „A” = 3, 3 x 120 = 360 și 6 + 3 = 9 care nu este 3. Continuarea în acest mod prin A = 9, pentru "A" = 7, obținem 7 x 120 = 840 și 4 + 3 = 7 = "A" făcând 76 singurul alt număr automatoric cu 2 cifre al cărui pătrat este 5776.

Prin același proces, se poate arăta că pătratele fiecărui număr care se termină în 625 sau 376 se vor termina în 625 sau 376.

Succesiunea pătratelor care se termină în 25 sunt 25, 225, 625, 1225, 2025, 3025 etc. Al n-lea număr pătrat care se termină în 25 poate fi derivat direct din N (n) 2 = 100n (n - 1) + 25. ( Această expresie derivă din seria de diferențe finite a pătratelor.)

Numerele binare sunt numerele naturale scrise în baza 2 mai degrabă decât în ​​baza 10. În timp ce sistemul de bază 10 utilizează 10 cifre, sistemul binar folosește doar 2 cifre, și anume 0 și 1, pentru a exprima numerele naturale în notație binară. Cifrele binare 0 și 1 sunt singurele numere utilizate în computere și calculatoare pentru a reprezenta orice număr de bază 10. Acest lucru derivă din faptul că numerele secvenței binare familiare, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 etc., pot fi combinate pentru a reprezenta fiecare număr. Pentru a ilustra, 1 = 1, 2 = 2, 3 = 1 + 2, 4 = 4, 5 = 1 + 4, 6 = 2 + 4, 7 = 1 + 2 + 4, 8 = 8, 9 = 1 + 8 , 10 = 2 + 8, 11 = 1 + 2 + 8, 12 = 4 + 8 și așa mai departe. În acest mod, numerele de numărare pot fi reprezentate într-un computer folosind doar cifrele binare ale 0 și 1 după cum urmează.

Număr B I N A R Y S E Q U E N C E
128 64 32 16 8 4 2 1
1 1 B
2 1 0 Eu
3 1 1 N
4 1 0 0 A
5 1 0 1 R
6 1 1 0 Da
7 1 1 1
8 1 0 0 0 N
9 1 0 0 1 O
10 1 0 1 0 T
11 1 0 1 1 A
12 1 1 0 0 T
13 1 1 0 1 Eu
14 1 1 1 0 O
15 1 1 1 1 N
76 1 0 0 1 1 0 0
157 1 0 0 1 1 0 1 1

După cum puteți vedea, locația cifrelor unice în reprezentarea binară indică numerele secvenței binare care urmează să fie adunate pentru a produce numărul de bază 10 de interes.

Un număr cardinal este un număr care definește câte articole există într-un grup sau o colecție de articole. De obicei, un întreg grup de elemente este denumit „set” de articole, iar articolele din set sunt denumite „elemente” ale setului. De exemplu, numărul, grupul sau setul de jucători dintr-o echipă de baseball este definit de numărul cardinal 9. Setul de 200 de liceeni din clasa de absolvire este definit de numărul cardinal 200. (Vezi numerele ordinale și eticheta numere.)

Numerele catalane sunt una dintre multele secvențe speciale de numere care derivă din problemele combinatorii în matematica recreativă. Combinația se ocupă de selectarea elementelor dintr-un set de elemente întâlnite în mod obișnuit sub temele probabilității, combinațiilor, permutărilor și eșantionării. Numerele catalane specifice sunt 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16.796 și așa mai departe derivând din

Acest set particular de numere derivă din mai multe probleme combinatorii, dintre care una este următoarea.

Având în vedere „2n”, oamenii s-au adunat la o masă rotundă. Câte persoane la persoană, fără încrucișare, strângeri de mână pot fi făcute, adică nu există perechi de brațe care se încrucișează peste masă? Câteva schițe rapide de cercuri cu seturi uniforme de puncte și linii vă vor conduce cu ușurință la primele trei răspunsuri. Două persoane, o strângere de mână. Patru persoane, două strângeri de mână. Șase persoane, 5 strângeri de mână. Cu puțină răbdare și perseverență, opt persoane te vor conduce la 14 strângeri de mână. Dincolo de asta, probabil că cel mai bine este să te bazezi pe expresia dată.

Numerele de alegere, numite mai frecvent numere de combinație sau pur și simplu combinații, reprezintă numărul de moduri în care un număr de lucruri pot fi selectate, alese sau grupate. Combinațiile se referă doar la gruparea articolelor și nu la aranjarea acestor articole. În mod obișnuit, acestea evoluează de la întrebarea câte combinații de obiecte „n” sunt posibile folosind toate obiectele „n” sau obiecte „r” la un moment dat? Pentru a găsi numărul de combinații de „n” lucruri diferite luate „r” la un moment dat, formula este:

care poate fi afirmat ca factorial "n" împărțit la produsul factorial "r" timp factorial (n - r).

Exemplu: Câte moduri diferite puteți combina literele A, B, C și D în seturi de trei? Clar,

și anume ABC, ABD, ACD și BCD. (Rețineți că ACB, BAC, BCA, CAB și CBA sunt toate aceeași combinație doar aranjată diferit. În câte moduri poate fi selectat un comitet de trei persoane dintr-un grup de 12 persoane? Avem:

Câte strângeri de mână vor avea loc între șase persoane într-o cameră când fiecare își dă mâna cu toți ceilalți oameni din cameră o dată? Aici,

Observați că nu se ia în considerare ordinea sau dispunerea articolelor, ci pur și simplu combinațiile.

Un alt mod de vizualizare a combinațiilor este următorul. Luați în considerare numărul de combinații de 5 litere luate 3 la un moment dat. Acest lucru produce:

Acum presupuneți că permutați (aranjați) r = 3 litere în fiecare dintre cele 10 combinații în toate modurile posibile. Fiecare grup ar produce r! permutări. Leasing x = 5C3 pentru moment, am avea deci un total de x (r!) permutări diferite. Totuși, acest total reprezintă toate permutările posibile (aranjamente) ale n lucruri luate r la un moment dat, care este prezentat sub numerele de aranjament și definit ca nPr. Prin urmare,

Folosind un exemplu al comitetului format din 3 din 12 persoane de mai sus,

Luați în considerare următoarele: Câte moduri diferite puteți intra într-o mașină cu 4 uși? Este clar că există 4 moduri diferite de a intra în mașină. Un alt mod de a exprima acest lucru este:

Dacă ignorăm prezența scaunelor din față în scopul acestui exemplu, câte modalități diferite puteți ieși din mașină presupunând că nu ieșiți prin ușa pe care ați intrat? În mod clar, aveți 3 opțiuni. Și acest lucru poate fi exprimat ca:

Făcând acest pas mai departe, câte modalități diferite puteți intra în mașină printr-o ușă și ieșiți prin alta? Intrarea prin ușa # 1 vă lasă cu alte 3 uși pentru a ieși. Același rezultat există dacă intrați prin oricare dintre celelalte 3 uși. Prin urmare, numărul total de căi de intrare și ieșire în condițiile specificate este:

Un alt exemplu al acestui tip de situație este modul în care poate fi selectat un comitet format din 4 fete și 3 băieți dintr-o clasă de 10 fete și 8 băieți? Acest lucru are ca rezultat:

Consultați NUMERE DE ARANJAMENT pentru a determina numărul de aranjamente posibile între articole.

Un număr prim circular este unul care rămâne un număr prim după ce a mutat în mod repetat prima cifră a numărului la sfârșitul numărului. De exemplu, 197, 971 și 719 sunt toate numere prime. În mod similar, 1193, 1931, 9311 și 3119 sunt numere prime. Alte numere care satisfac definiția sunt 11, 13, 37, 79, 113, 199 și 337.

Primele de două sau mai multe cifre pot conține doar cifrele 1, 3, 7 deoarece, dacă 0, 2, 4, 5,6 sau 8 ar fi parte a numărului, în locul unităților, numărul ar fi divizibil cu 2 sau 5.

Se crede că există un număr infinit de primii circulari, dar nu a fost încă dovedit.

Numerele complexe sunt formate prin adăugarea unui număr real și a unui număr imaginar, a cărui formă generală este a + bi unde i =

= numărul imaginar și a și b sunt numere reale. Se spune că „a” este partea reală a numărului complex și b partea imaginară.

Probabil cel mai ușor număr de definit după numerele prime.

Teorema fundamentală a aritmeticii afirmă că fiecare număr întreg pozitiv mai mare de 1 este fie un număr prim, fie un număr compus. După cum știm, un număr prim "p" este orice număr pozitiv al cărui singur divizor este 1 și p (sau -1 și -p). Astfel, prin definiție, orice număr care nu este un număr prim trebuie să fie un număr compus.

Un număr compus este orice număr având 3 sau mai mulți factori / divizori și este rezultatul înmulțirii numerelor prime împreună. Majoritatea numerelor întregi pozitive sunt produsul unor numere prime mai mici.

Exemple: 4, 6, 8, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 39, 40, 42, 44, 45, 46, 48, 49, 50 etc. sunt toate numerele compuse, fiecare fiind divizibil cu numere prime inferioare. Fiecare număr divizibil cu 2, singurul prim par, este compus.

Fiecare număr compus poate fi împărțit la un singur set unic de factori primi și exponenții lor.

Exemple: 210 = 2 x 3 x 5 x 7 495 = 3 2 x 5 1 x 11 1 sau 4500 = 2 x 2 x 3 x 3 x 5 x 5 x 5 = 2 2 x 3 2 x 5 3. Aceasta este singura și factorizarea posibilă a numărului 210.

Dacă un număr pozitiv N este divizibil în mod egal cu orice număr prim mai mic decât

, numărul N este compus.

Teorema lui Wilson afirmă că pentru fiecare număr prim "p", [(p + 1)! + 1] este divizibil în mod egal cu „p”. S-a arătat că inversul este adevărat și prin faptul că fiecare număr întreg „N” care împarte în mod egal [(N + 1)! + 1] este prim. Combinarea acestora duce la celebra teoremă generală că o condiție necesară și suficientă ca un număr întreg „N” să fie prim este aceea că „N” împarte în mod egal [(n + 1)! + 1]. Dimpotrivă, dacă „N” nu împarte [(N + 1)! + 1], „N” este compus.

Din păcate, utilizarea practică a acestei metode este minimă datorită numărului mare întâlnit cu N-uri mari.

Se spune că un număr N este congruent dacă există două numere întregi, x și y, care au ca rezultat expresiile x 2 + Ny 2 și x 2 - Ny 2 fiind pătrate perfecte. Cel mai mic număr congruent cunoscut este 5 care satisface 41 2 + 5 (12 2) = 49 2 și 41 2 - 5 (12 2) = 31 2. Utilizarea pătratului unui număr negativ are ca rezultat o altă soluție de 2 2 + 5 (1 2) = 3 2 și 2 2 - 5 (1 2) = (-1) 2. Deși există multe numere congruente, găsirea lor este o sarcină dificilă. Expresiile x 2 + Ny 2 și x 2 - Ny 2 sunt adesea utile în rezolvarea multor probleme din matematica recreativă.

Numerele de numărare sunt setul familiar de numere întregi, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11. pe care le vedem și le folosim în fiecare zi. (0 este uneori inclus.) Setul de numărare a numerelor este adesea denumit numerele naturale.

Un număr cub este a treia putere a unui număr ca într-un x a x a = a 3. Cei familiarizați cu evoluția pătratelor de la adăugarea numerelor impare succesive s-ar putea să nu fie prea surprinși să descopere modul în care cuburile evoluează și din însumarea numerelor impare. În mod clar, al n-lea cub este pur și simplu n 3. Cuburile pot fi derivate și în alte moduri:

Cubul oricărui număr întreg, „n”, este suma seriei de numere impare care încep cu (n 2 - n + 1) și se termină cu (n 2 + n - 1). Exemplu: Pentru n = 6, (n 2 - n + 1) = 31 și 31 + 33 + 35 + 37 + 39 + 41 = 216 = 6 3.

n 3 (n) 3 n 3 (n 2 - n + 1) (n 2 + n - 1)
1 1 3 = 1 1 = 1(1)
2 2 3 = 8 3 + 5 = 2(1 + 2 + 1)
3 3 3 = 27 7 + 9 + 11 = 3(1 + 2 + 3 + 2 + 1)
4 4 3 = 64 13 + 15 + 17 + 19 = 4(1 + 2 + 3 + 4 + 3 + 2 + 1)
5 5 3 = 125 21 + 23 + 25 + 27 + 29 = 5(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1)

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21

Tăiați fiecare al treilea număr care ne dă

1. 2. 4. 5. 7. 8. 10. 11. 13. 14. 16. 17. 19. 20

1. 3. 7. 12. 19. 27. 37. 48. 61. 75. 91. 108. 127..147

Tăiați fiecare al doilea număr care ne dă

Ultima linie de numere sunt cuburile perfecte.

Primele zece cuburi sunt 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729 și 1000.

Suma primelor n cuburi începând cu 1 este 1 3 + 2 3 + 3 3 +. + n 3.

care, destul de surprinzător, este pătratul celui de-al n-lea număr triunghiular, definit de Tn = n (n + 1) / 2.

Suma cuburilor primelor n numere impare este 2n 4 - n 2 = n 2 (2n 2 - 1).

Suma cuburilor primelor n numere pare este 2n 4 + 4n 3 + 2n 2 = 2n 2 (n + 1) 2.

Suma primelor n cuburi, 1 3 + 2 3 + 3 3 + 4 3 +. + n 3 este egal cu pătratul sumei primelor n numere întregi. Astfel, 1 3 + 2 3 + 3 3 + 4 3 +. + n 3 = (1 + 2 + 3 + 4 +. + n) 2.

Cubul oricărui număr întreg este diferența pătratelor altor două numere întregi.

Fiecare cub este fie un multiplu de 9, fie chiar lângă unul.

Un cub perfect se poate termina cu oricare dintre cifrele de la 0 la 9.

Numere din trei cifre care reprezintă suma cuburilor cifrelor lor: 153, 370, 371, 407.

Cel mai mic număr care este suma a 2 cuburi în două moduri diferite. 1729 = 1 3 + 12 3 = 10 3 + 9 3.

Care sunt dimensiunile a două cuburi cu laturi integrale care au volumul lor combinat egal cu lungimea combinată a marginilor lor. Care sunt dimensiunile cuburilor? x = 2 și y = 4.

Suma oricăror două cuburi nu poate fi niciodată un cub.

Suma unei serii de trei sau mai multe cuburi poate fi egală cu un cub.

11 3 + 12 3 + 13 3 + 14 3 = 20 3

1134 3 + 1135 3 + . 2133 3 = 16,830 3

Rădăcina cubică a unui număr N este numărul "a" care, înmulțit de două ori cu el însuși, are ca rezultat numărul N sau N = axaxa. Nu există nicio formulă pentru extragerea rădăcinii cubice a unui număr. Poate fi obținut prin intermediul unei metode de divizare lungă sau a unei metode simple de estimare.

Suma termenilor „n” ai unei progresii aritmetice cu primul termen este egală cu suma primelor numere naturale „n” și o diferență comună a „n” este n 3.

În primul rând, o metodă pentru aproximarea rădăcinii cubice a unui număr la câteva zecimale, care este de obicei suficientă pentru utilizarea de zi cu zi.

1 - Faceți o estimare a rădăcinii cubice a lui N = n situată între numerele întregi succesive a și b.

2 - Calculați A = N - a 3 și B = b 3 - N

Exemplu: Găsiți rădăcina cubului 146

1 - Cu 146 cuprins între 125 și 216, să fie a = 5 și b = 6.

3 - n = 5 + (6 x 21) / [6 x 21 + 5 x 70] = 5 + 126/476 = 5 + .264 = 5.2647

4 - Rădăcina cubică a lui 146 este 5,2656

O metodă mai exactă pentru determinarea rădăcinilor cubului întreg.

Rețineți că fiecare cub al numerelor de la 1 la 10 se termină cu o cifră diferită:

n 3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

n 3. 1. 8. 27. 64. 125. 216. 343. 512. 729. 1000

De asemenea, rețineți că ultima cifră este rădăcina cubului pentru toate cazurile, cu excepția 2, 3, 7 și 8. O trecere în revistă rapidă a acestor excepții duce la faptul că aceste patru cifre reprezintă diferența dintre 10 și rădăcina cubică, adică 8 = 10 - 2, 7 = 10 - 3, 3 = 10 - 7 și 2 = 10 - 8. Cum pot fi utilizate aceste informații pentru a determina rădăcina cubică a unui număr?

Având în vedere cubul unui număr între 1 și 100, să spunem 300.763.

Ultima cifră ne spune că ultima cifră a rădăcinii cubului este 10 - 3 = 7.

Eliminarea ultimelor 3 cifre ale cubului lasă numărul 300.

Numărul 300 se află între cuburile 6 și 7 din lista noastră de mai sus.

Prima cifră a rădăcinii noastre cubice va fi cea mai mică dintre aceste două numere, în acest caz 6.

Prin urmare, rădăcina cubică de 30.763 devine 67.

Ultima cifră din 4 este ultima cifră a rădăcinii cubului.

Numărul 592 se află între 512 și 729, cuburile de 8 și 9.

Prin urmare, rădăcina cubică de 592.704 devine 84.

Desigur, acest lucru este util numai dacă știți din timp că cubul este un cub perfect, adică având o rădăcină cub integrală.
NUMERE CICLICE

Un număr ciclic este un număr de "n" cifre care atunci când este înmulțit cu 1, 2, 3. n, are ca rezultat aceleași cifre, dar într-o ordine diferită. De exemplu, numărul 142.857 este un număr ciclic, deoarece 142.857 x 2 = 285.714, 142.857 x 3 = 428.571, 142.857 x 4 = 571.428 și așa mai departe. Nu se știe doar câte numere ciclice există.

Numerele zecimale sunt numere exprimate prin sistemul numeric zecimal, sau baza 10, în care fiecare cifră reprezintă un multiplu de o anumită putere de 10. Termenul se aplică în primul rând numerelor care au părți fracționate astfel indicate printr-un punct zecimal. Un număr mai mic de 1 se numește fracție zecimală, de exemplu, .673. O zecimală mixtă este una care constă dintr-un număr întreg și o fracție zecimală, de exemplu, 37.937.

Numerele raționale pot fi exprimate sub forma unei fracții, 1/2 sau ca zecimală, 0,50, 1/8 sau ca zecimală, 0,125. Din experiență, știm că o fracțiune exprimată în formă zecimală se va termina fie fără un rest cum ar fi 3/8 = 0,375 sau 7/8 = 0,875, se repetă aceeași cifră la nesfârșit, cum ar fi 1/3 = .3333333. sau 2/3 = .6666666. repetați în mod repetat o serie de cifre diferite, cum ar fi 1/27 = .037037037. sau 1/7 = .142857142857. sau repetați o serie de cifre după unele cifre care nu se repetă, cum ar fi 1/12 = .0833333.

Toți numitorii primi produc zecimale repetate. Fracțiile cu același numitor produc adesea zecimale cu aceeași perioadă și lungime de perioadă, dar cu cifrele care încep cu un număr diferit în perioadă. De exemplu, 1/7 = .142857142857142857. 2/7 = .285714285714285714. 3/7 = .428571428571428571. 4/7 = .571428571428571428. 5/7 = .714285714285714285. și 6/7 = .857142857142857142. Alți numitori produc două sau mai multe perioade repetate în ordine diferite. Investigați-i pe cei cu numitorii primi 11, 13, 17, 19 etc. și apoi 9, 12, 14, 16, 18 etc. și vedeți ce rezultate. Ce observi?

O altă proprietate interesantă de a repeta zecimale cu lungimea perioadei pare este ilustrată de următoarele. Luați echivalentul zecimal al 2/7 = .285714285714. Perioada care se repetă este 285714. Împărțiți perioada în două grupuri de trei cifre și adăugați-le împreună. Rezultatul este 999. Faceți același lucru cu orice altă perioadă zecimală repetată și rezultatul va fi întotdeauna o serie de nouă. Luați 1/17 = .0588235294117647. Adăugarea 05882352 și 94117647 vă oferă 99999999.

Toate zecimalele care se repetă, indiferent de perioadă și lungime, sunt numere raționale. Acest lucru înseamnă pur și simplu că poate fi exprimat ca coeficientul a două numere întregi. O întrebare care apare frecvent este cum să convertim o zecimală repetată, despre care știm că este rațională, la o fracțiune.

Fracțiile zecimale raționale pot fi convertite în fracții după cum urmează:

Dat fiind numărul zecimal N = 0,078078078.

Înmulțiți N cu 1000 sau 1000N = 78,078078078.

. 999N = 78 făcând N = 78/999 = 26/333.

Dat fiind numărul zecimal N = .076923076923.

Muliply N cu 1.000.000 sau 1.000.000N = 76.923,0769230769230.

Scăderea N = .0769231769230.

. 999.999N = 76.923 făcând N = 76.923 / 999.999 = 1/13

O modalitate mai ușoară de a obține fracția este de a plasa pur și simplu cifrele repetate peste același număr de 9. De exemplu, zecimalul care se repetă .729729729729 se transformă în fracțiunea 729/999 = 27/37.

Un alt truc în care sunt implicate zerouri este de a plasa cifrele care se repetă peste același număr de 9 cu tot atâtea zerouri după 9, cât există zerouri în zecimalul care se repetă. De exemplu, .00757575 duce la 075/9900 = 1/132.

Numerele deficitare fac parte din familia numerelor care sunt fie deficitare, perfecte, fie abundente.

Numerele deficitare, dN, sunt numere în care suma părților alicote ale sale (divizorii proprii), sa (N), este mai mică decât numărul în sine sa (N) & lt N. (În limba matematicienilor greci, divizorii unui numărul N a fost definit ca orice număr întreg mai mic decât N care, atunci când este împărțit în N, a produs numere întregi. Factorii / divizorii unui număr N, mai mic numărul în sine, sunt denumiți părți alicote sau divizori alicote, ale număr.) În mod echivalent, N este, de asemenea, deficitar dacă suma, s (N), a tuturor divizorilor săi este mai mică de 2N. Se poate vedea cu ușurință că folosind suma părților alicote, sa (16) = 1 + 2 + 4 + 8 = 14 & lt N = 16 în timp ce se utilizează toți divizorii, s (16) = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31 & lt 2N = 32, făcând numărul 16 deficitar în ambele definiții.

Sa (N) - & gt1..1..1..3..1. 6. 1. 7. 4. 8. 1. 16. 1. 10. 9. 15. 1. 21. 1. 22..11..12. 1. 36

1,2,3,4,5,7,8,9,10,11,13,14,15,16,17,19,21,22,23 sunt toate deficitare.

Un număr prim sau orice putere a unui număr prim este deficitar. Divizorii unui număr defect sau defect este deficitar.

Rădăcina digitală a unui număr este singura cifră care rezultă din însumarea continuă a cifrelor numărului și a numerelor rezultate din fiecare însumare. De exemplu, luați în considerare numărul 7935. Suma cifrelor sale este 24. Suma 2 și 4 este 6, rădăcina digitală a 7935. Rădăcinile digitale sunt utilizate pentru a verifica adunarea și înmulțirea prin intermediul unei metode numite aruncarea nouă. De exemplu, verificați suma de 378 și 942. DR de 378 este 9, 3 + 7 + 8 = 18, 1 + 8 = 9 .. DR de 942 este 6, 9 + 4 + 2 = 15, 1+ 5 = 6. Adăugarea 9 și 6 produce 15, DR de 15 este 6, 1 + 5 = 6. Suma de 378 și 942 este 1320. DR de 1320 este 6. Cu cele două DR finale sunt egale, adăugarea este corectă.

Fracțiile egiptene sunt reciprocele numerelor întregi pozitive unde numărătorul este întotdeauna unul. Ele sunt adesea denumite fracții unitare. Au fost folosite exclusiv de egipteni pentru a reprezenta toate formele de fracțiuni. Cele două fracții pe care le-au folosit care nu aveau o fracție unitară au fost 2/3 și 3/4. Singurele alte fracții în care păreau că au un interes puternic au fost cele de forma 2 / n unde n a fost orice număr impar pozitiv.Papirusul Rhind conține o listă de fracții unitare reprezentând o serie de 2 / n pentru n-uri impare de la 5 la 501. Nu este clar de ce au găsit aceste fracții 2 / n atât de importante. Aceste și alte fracții 2 / n pot fi derivate din 2 / n = 1 / [n (n + 1) / 2] + 1 / [n + 1) / 2].

În anul 1202, Leonardo Fibonacci a demonstrat că orice fracție obișnuită poate fi exprimată ca suma unei serii de fracții unitare într-un număr infinit de moduri. El a folosit metoda lacomă numită atunci pentru a obține expansiuni ale fracției unității de bază. El a descris metoda lacomă din Liber Abaci ca fiind simpla scădere a celei mai mari fracții unitare mai mică decât fracția neunitară dată și repetarea procesului până când au rămas doar fracțiile unitare. Ulterior s-a arătat că metoda lacomă, atunci când este aplicată oricărei fracții m / n, are ca rezultat o serie de cel mult „m” fracțiuni unitare. Un exemplu va ilustra cel mai bine procesul.

Reduceți fracția 13/17 la o sumă de fracții unitare. Împărțirea fracției produce .7647. Dintre fracțiile unitare 1/2, 1/3, 1/4, 1/5 etc., 1/2 este cea mai mare care este mai mică decât 13/17, deci calculăm 13/17 - 1/2 = 9/34 făcând 13/17 = 1/2 + 9/34. Repetând cu 9/34, avem 9/34 - 1/4 = 2/136 = 1/68 făcând 13/17 = 1/2 + 1/4 + 1/68. Alternativ, împărțiți numărătorul în numitor și folosiți următorul număr întreg ca noul numitor. 17/13 = 1,307 făcând 2 numitorul fracției de scăzut din 13/17.

Reduceți fracțiunea 23/37 la o sumă de fracții unitare. 23/37 - 1/2 = 9/74 - 1/16 = 70/1184 - 1/17 = 6 / 20.128 - 1/3355 = 1 / 33.764.720 făcând 23/37 = 1/2 + 1/16 + 1 / 17 + 1/3355 + 1 / 33.764.720.

Există multe metode sau algoritmi care derivă fracțiile unitare pentru orice fracție m / n. Mai multe informații despre fracțiile unitare pot fi găsite la

Algoritmi pentru fracțiunile egiptene la http://www1.ics.uci.edu/

Fracțiile unitare derivate prin metoda prezentată sau orice altă metodă pot fi descompuse în alte fracții unitare prin intermediul identității 1 / a = 1 / (a ​​+ 1) + 1 / a (a + 1) , cunoscut și de Fibonacci. De exemplu, 1/2 = 1 / (2 + 1) + 1/2 (2 + 1) = 1/3 + 1/6. Mai departe, 1/3 = 1 / (3 + 1) + 1/3 (3 + 1) = 1/4 + 1/12 și 1/6 = 1 / (6 + 1) + 1/6 (6+ 1) = 1/7 + 1/42 producând 1/2 = 1/4 + 1/7 + 1/12 + 1/42. În timp ce numărul de fracții unitare derivabile pentru o anumită fracție este, prin urmare, infinit, aparent nu există o procedură cunoscută pentru derivarea unei serii cu cel mai mic număr de fracții unitare sau cel mai mic numitor cel mai mare. .

O formă se numește echivalentă dacă aria sa este egală cu perimetrul său. Există exact cinci triunghiuri Heronian egale: cele cu lungimi laterale (5,12,13), (6,8,10), (6,25,29), (7,15,20) și (9,10 , 17).

Numerele echivalente sunt numere în care părțile alicote (divizorii proprii, altele decât numărul în sine) sunt identice. De exemplu, 159, 559 și 703 sunt numere echivalente, deoarece părțile alicote ale acestora se ridică la 57.

f (159) = 1, 3, 53 și 159 unde 1 + 3 + 53 = 57.

f (559) = 1, 13, 43 și 559 unde 1 + 13 + 43 = 57.

f (703) = 1, 19, 37 și 703 unde 1 + 19 + 37 = 57.

Probabil cel mai ușor număr de definit, un număr par este orice număr care este divizibil uniform cu 2.

Al n-lea număr par este dat de Ne = 2n.

Suma mulțimii de „n” numere pare consecutive începând cu 2 este dată de Se = n (n + 1).

Suma mulțimii de m numere pare consecutive începând cu n1 și terminând cu n2 este dată de Se (n1-n2) = n2 ^ 2 - n1 ^ 2 + (n1 + n2) sau (n1 + n2) (1 + n1) - n2).

Suma pătratelor numerelor pare începând cu 2 ^ 2 este dată de Se ^ 2 = (4n ^ 3 + 6n ^ 2 + 2n) / 3.

Un număr par înmulțit cu orice număr sau crescut la orice putere, are ca rezultat un alt număr par.


Numere complexe

Numerele imaginare devin cele mai utile atunci când sunt combinate cu numere reale pentru a face numere complexe cum ar fi 3 + 5i sau 6−4i

Analizor de spectru

Ecranele alea grozave pe care le vedeți când se joacă muzică? Da, numerele complexe sunt folosite pentru a le calcula! Folosind ceva numit „Transformate Fourier”.

De fapt, multe lucruri inteligente pot fi făcute cu sunetul folosind numerele complexe, cum ar fi filtrarea sunetelor, auzirea șoaptelor într-o mulțime și așa mai departe.

Face parte dintr-un subiect numit „Procesare semnal”.

Electricitate

AC (curent alternativ) Electricitatea se schimbă între pozitiv și negativ într-o undă sinusoidală.

Când combinăm doi curenți de curent alternativ, este posibil ca aceștia să nu se potrivească corect și poate fi foarte greu pentru a afla noul curent.

Dar utilizarea numerelor complexe face mult mai ușoară efectuarea calculelor.

Și rezultatul poate avea curent „imaginar”, dar totuși te poate răni!

Set Mandelbrot

Frumosul set Mandelbrot (o parte din el este ilustrat aici) se bazează pe numere complexe.

Ecuația pătratică

Ecuația pătratică, care are multe utilizări,
poate da rezultate care includ numere imaginare

De asemenea, Știința, mecanica cuantică și relativitatea folosesc numere complexe.


Resurse unitare

Carte de referință pentru elevi pagina 6

Carte de referință pentru elevi paginile 216-219

Notare exponențială pentru puteri de 10

Carte de referință pentru elevi paginile 4-6, 376

Carte de referință pentru elevi pagina 8

Lansarea notației științifice
(Carte de referință pentru elevi, pagina 329)

Paranteze în propoziții numerice

Carte de referință pentru elevi paginile 222-223

Denumiți acel număr
(Carte de referință pentru elevi, pagina 325)

Carte de referință pentru elevi pagina 223

American Tour: Line Graphs

Carte de referință pentru elevi pagina 124

Carte de referință pentru elevi paginile 32, 66-67, 91

Denumiți acel număr
(Carte de referință pentru elevi, pagina 325)

Adăugarea numerelor pozitive și negative

Carte de referință pentru elevi paginile 81, 91-94

Carte de referință pentru elevi paginile 231-232

Scăderea numerelor pozitive și negative

Carte de referință pentru elevi paginile 92-94

Utilizarea unei reguli de diapozitive pentru a adăuga și a scădea
(Ediția a 3-a)

Carte de referință pentru elevi paginile 92-94, 221, 223

Practica calculatorului: lucrul cu numerele negative

Carte de referință pentru elevi paginile 5-9

Matematică cotidiană pentru părinți: Ce trebuie să știți pentru a vă ajuta copilul să reușească

Universitatea din Chicago School Mathematics Project

Universitatea din Chicago Press


Adunarea și scăderea numerelor pozitive și negative


Suntem adesea frustrați când îi auzim pe elevi spunând „Două minusuri fac un plus”, pentru că arată o frază învățată de memorie care este adesea aplicată greșit. De exemplu, am auzit cu toții elevii spunând lucruri precum „minus patru minus doi este egal cu șase, deoarece două minusuri fac un plus!”

Modelele pentru predarea adunării și scăderii numerelor pozitive și negative pe care le împărtășim în acest articol sunt concepute pentru a conduce la înțelegere. Vom face sugestii despre cum să utilizați limbajul cu precizie pentru a sprijini înțelegerea distincției dintre operații și numere direcționate.

Există patru posibilități pe care trebuie să le putem înțelege cu modelele noastre:
Adăugarea unui număr pozitiv
Adăugarea unui număr negativ
Scăderea unui număr pozitiv
Scăderea unui număr negativ

Balon cu aer cald
Primul model pe care îl oferim este balonul cu aer cald, așa cum se vede în jocul Sus, Jos, Flying Around.
În acest model, reprezentăm numere pozitive ca „pufuri” de aer fierbinte și numere negative ca saci de nisip.

Model Calcul Rezultat
Adăugarea pufurilor de aer fierbinte Adăugarea unui număr pozitiv Crește
(in inaltime)
Adăugarea de saci de nisip Adăugarea unui număr negativ Scădea
(in inaltime)
Scăderea pufurilor de aer fierbinte Scăderea unui număr pozitiv Scădea
(in inaltime)
Scăderea sacilor de nisip Scăderea unui număr negativ Crește
(in inaltime)

Acum putem descrie un calcul precum 4 + (-2) - (+5) - (-1) + (+7) în felul următor:

Balonul meu începe la înălțimea +4. Adăug două saci de nisip (două jos), scad cinci pufuri de aer fierbinte (jos cinci), scădem un sac de nisip (sus unul), apoi adaug șapte pufuri de aer fierbinte (sus șapte). Balonul meu ajunge la înălțimea de +5.

În cele din urmă, dorim ca elevii să citească calculul ca "Patru adună două negative, scade cinci pozitive, scade unul negativ, adaugă șapte pozitive" (sau înlocuirea cuvintelor de operație adăugare / scădere cu plus / minus, dar insistând întotdeauna pe pozitiv și negativ pentru semnele care însoțesc numerele) și gândiți-vă singuri "Patru, jos două, jos cinci, sus unul, sus șapte" sau echivalent.

Mulțumită Alan Mesfin, care a sugerat o alternativă de legare a baloanelor cu heliu (ca în filmul „Sus”) în loc să adauge pufuri de aer fierbinte pentru a reprezenta adăugarea unui număr pozitiv.

Modelul fericirii
Mary Cleare folosește o abordare similară:

„Cred că adunarea și scăderea cu numere negative are sens.

Am o linie numerică mare ($ ^ - 10 $ la 10 $ $, să zicem) deasupra sau de-a lungul părții superioare a tabelei mele. Cu elevii, facem o brainstorming asupra lucrurilor care sunt POZITIVE și a lucrurilor care sunt NEGATIVE. Vorbim despre cum te simți dacă cineva îți dă un lucru pozitiv sau dacă cineva îți ia unul. Vorbim despre cum te simți dacă cineva îți dă un lucru negativ sau dacă cineva îți ia unul.

Astăzi mă simt bine, poate câștig 2 $ (indicând linia numerică) pe această scară de fericire.
Cum m-aș simți dacă cineva mi-ar da bomboane de ciocolată de 4 $ (un pozitiv generic!)? Da, trec de la 4 $ la 6 $.
Cum ar fi dacă cineva mi-ar da o detenție (negativă)? Da, în jos de 1 $, până la 5 $.
Ce-ar fi dacă mi-ați luat 7 $ din bomboanele mele? Cum m-aș simți? Mai trist? Da, trebuie să cobor cu 7 $, la $ ^ - 2 $.
Dacă mi-ai acordat detenții de 3 $? Etc.

La un moment dat, obțin de obicei toți studenții care indică direcția în care ar trebui să mă deplasez de-a lungul scalei, așa că este ușor de văzut cine nu are încă ideea. Odată ce clasa devine încrezătoare, încep de obicei să înregistrez unele calcule pe tablă sau să pun un student să o facă pentru mine! De obicei le las să sugereze mișcări care să-mi ia fericirea de pe scara pe care o am pe linia mea de număr.

Ca final, înainte să le cer să facă o mulțime de întrebări standard + și -, inventăm o problemă precum:
$6 - (^+7 )+ (^-2) -(^+1) - (^-4) + (^+9) + (-3) -(^+1) - (^-7) - (^+4) - (^-8) =$ ?
să facem împreună. "

Fotbal Model
În acest model, reprezentăm cifre pozitive ca fotbaliști buni care înscriu o mulțime de goluri, iar cifre negative ca fotbaliști răi care înscriu autogoluri. Când este momentul transferurilor, putem adăuga jucători noi în echipa noastră sau îi putem scoate pe jucători din echipă.

Model Calcul Rezultat
Cumpără jucători buni Adăugarea unui număr pozitiv Crește
(în poziția ligii)
Cumpără jucători răi Adăugarea unui număr negativ Scădea
(în poziția ligii)
Vinde jucători buni Scăderea unui număr pozitiv Scădea
(în poziția ligii)
Vinde jucători răi Scăderea unui număr negativ Crește
(în poziția ligii)

Imaginați-vă că am cumpărat 5 jucători buni, am vândut 2 jucători buni, am cumpărat 3 jucători răi și am vândut 7 jucători răi. Putem scrie următorul calcul pentru a afla efectul general:
(^+5) - (^+2) + (^-3) - (^-7)$
Deci, în general, ne îmbunătățim poziția cu 7.

În toate aceste modele, folosim o analogie în care adăugarea a ceva pozitiv sau scăderea a ceva negativ îmbunătățește situația (poziția mai fericită, mai înaltă a ligii, ridicarea balonului).
În anumite privințe, nu contează ce model folosiți, atâta timp cât sunteți pedant în ceea ce privește utilizarea limbajului corect pentru a separa operațiunile de numerele direcționate și pentru a raporta modelul la calcule. Vă sfătuim să alegeți unul (sau cel mult două) modele la început, pentru a evita confuzia elevilor cu o mulțime de imagini conflictuale.

Problema Contului bancar ciudat folosește contextul depunerii și retragerii de bani, dar nu are o analogie atât de puternică pentru a explica toate cele patru posibilități surprinse în tabelele de mai sus. Cu toate acestea, poate fi folosit pentru a introduce conceptul de număr direcționat și apoi utilizat împreună cu un alt model.

În cele din urmă, oferim un mod mai abstract de a privi adunarea și scăderea numerelor pozitive și negative, fără a ne baza pe o analogie:

Modelul contoarelor
Acest model ne-a fost prezentat de Don Steward.

Elevii ar putea fi rugați să sugereze alte posibilități.
Pot explica de ce reprezintă toți 4 $?


Să începem cu # 128 & # 153 prin graficarea tuturor pe aceeași linie numerică.

Linia numerică are numere pozitive la dreapta zero și numere negative la stânga zero. Aceasta înseamnă că numerele mai îndepărtate spre dreapta sunt întotdeauna mai mari decât cele din stânga. În ceea ce privește temperatura, cea mai rece temperatură (cel mai mic număr) se află până la stânga, iar cea mai caldă temperatură (cel mai mare număr) este tot la dreapta.

Acum putem enumera temperaturile de la cea mai rece la cea mai caldă:

Sophia este incorectă. Este obișnuit ca elevii să compare numerele negative ca și cum ar fi pozitive și să presupună că cel cu cea mai mare magnitudine este cel mai mare număr. Cu toate acestea, -23 $ $ este la stânga de -14 $ $ pe linia numerică, deci este mai mic de -14 $ $. Astfel, $ -23 lt -14 $ și Anchorage a fost mai rece.

Din nou, cea mai rece temperatură corespunde numărului cel mai mic. Deci cea mai caldă temperatură corespunde numărului cel mai mare. De când -55 $ gt -89 $ temperatura medie pe Marte este mai caldă decât cea mai rece temperatură de pe Pământ.


2.5 & ndash Expressions

Expresiile de bază din Lua sunt următoarele:

Numerele și șirurile literale sunt explicate în & sect2.1 variabilele sunt explicate în & sect2.3 definițiile funcției sunt explicate în & sect2.5.9 apelurile de funcții sunt explicate în & sect2.5.8 constructorii de tabele sunt explicați în & sect2.5.7. Expresiile Vararg, notate cu trei puncte ('.'), Pot fi utilizate numai atunci când direct în interiorul unei funcții vararg sunt explicate în & sect2.5.9.

Operatorii binari cuprind operatori aritmetici (vezi & sect2.5.1), operatori relaționali (vezi & sect2.5.2), operatori logici (vezi & sect2.5.3) și operatorul de concatenare (vezi & sect2.5.4). Operatorii unari cuprind minusul unar (a se vedea & sect2.5.1), unarul nu (vezi & sect2.5.3), și unarul operator de lungime (vezi & sect2.5.5).

Atât apelurile funcționale, cât și expresiile vararg pot duce la valori multiple. Dacă o expresie este utilizată ca instrucțiune (posibilă numai pentru apelurile de funcții (vezi & sect2.4.6)), atunci lista sa de returnare este ajustată la zero elemente, eliminând astfel toate valorile returnate. Dacă o expresie este utilizată ca ultim (sau singurul) element al unei liste de expresii, atunci nu se face nicio ajustare (cu excepția cazului în care apelul este inclus între paranteze). În toate celelalte contexte, Lua ajustează lista de rezultate la un singur element, eliminând toate valorile, cu excepția primei.

Orice expresie inclusă între paranteze are ca rezultat întotdeauna o singură valoare. Astfel, (f (x, y, z)) este întotdeauna o singură valoare, chiar dacă f returnează mai multe valori. (Valoarea lui (f (x, y, z)) este prima valoare returnată de f sau zero dacă f nu returnează nicio valoare.)

2.5.1 & ndash Operatori aritmetici

Lua acceptă operatorii aritmetici obișnuiți: binarul + (adunarea), - (scăderea), * (înmulțirea), / (divizarea),% (modulul) și ^ (exponențierea) și unarul - (negarea). Dacă operanzii sunt numere sau șiruri care pot fi convertite în numere (vezi & sect2.2.1), atunci toate operațiile au semnificația obișnuită. Exponențierea funcționează pentru orice exponent. De exemplu, x ^ (- 0,5) calculează inversul rădăcinii pătrate a lui x. Modulo este definit ca

Adică, este restul unei diviziuni care rotunjește coeficientul spre minus infinit.

2.5.2 & ndash Operatori relaționali

Operatorii relaționali din Lua sunt

Acești operatori duc întotdeauna la fals sau Adevărat.

Egalitatea (==) compară mai întâi tipul operanzilor săi. Dacă tipurile sunt diferite, atunci rezultatul este fals. În caz contrar, valorile operanzilor sunt comparate. Numerele și șirurile sunt comparate în mod obișnuit. Obiectele (tabele, date utilizator, fire și funcții) sunt comparate de referinţă: două obiecte sunt considerate egale numai dacă sunt la fel obiect. De fiecare dată când creați un obiect nou (un tabel, date de utilizator, fir sau funcție), acest nou obiect este diferit de orice obiect existent anterior.

Puteți schimba modul în care Lua compară tabelele și datele utilizatorului utilizând metametoda „eq” (vezi & sect2.8).

Regulile de conversie ale & sect2.2.1 nu face se aplică comparațiilor de egalitate. Astfel, „0” == 0 evaluează la fals, și t [0] și t ["0"] denotă intrări diferite într-un tabel.

= este exact negarea egalității (==).

Operatorii de comandă funcționează după cum urmează. Dacă ambele argumente sunt numere, atunci ele sunt comparate ca atare. În caz contrar, dacă ambele argumente sunt șiruri, atunci valorile lor sunt comparate în funcție de locația curentă. În caz contrar, Lua încearcă să numească metametoda "lt" sau "le" (vezi & sect2.8). O comparație a & gt b se traduce în b & lt a și a & gt = b se traduce în b & lt = a.

2.5.3 & ndash Operatori Logici

Operatorii logici din Lua sunt și, sau, și nu. La fel ca structurile de control (a se vedea & sect2.4.4), toți operatorii logici iau în considerare ambele fals și zero la fel de fals și orice altceva la fel de adevărat.

Operatorul de negare nu revine mereu fals sau Adevărat. Operatorul de conjuncție și returnează primul său argument dacă această valoare este fals sau zero in caz contrar, și returnează al doilea argument. Operatorul de disjuncție sau returnează primul său argument dacă această valoare este diferită de zero și fals in caz contrar, sau returnează al doilea argument. Ambii și și sau folosiți o scurtătură de evaluare, adică al doilea operand este evaluat numai dacă este necesar. Aici sunt cateva exemple:

(În acest manual, - & gt indică rezultatul expresiei precedente.)

2.5.4 Concatenare & ndash

Operatorul de concatenare șir din Lua este notat cu două puncte („..”). Dacă ambii operanzi sunt șiruri sau numere, atunci sunt convertiți în șiruri conform regulilor menționate în & sect2.2.1. În caz contrar, se numește metametoda „concat” (vezi & sect2.8).

2.5.5 & ndash Operatorul de lungime

Operatorul de lungime este notat de operatorul unar #. Lungimea unui șir este numărul său de octeți (adică semnificația obișnuită a lungimii șirului când fiecare caracter este de un octet).

Lungimea unui tabel t este definită ca fiind orice index întreg n astfel încât t [n] nu este zero iar t [n + 1] este zero în plus, dacă t [1] este zero, n poate fi zero. Pentru o matrice obișnuită, cu valori nenule de la 1 la un n dat, lungimea sa este exact aceea n, indicele ultimei sale valori. Dacă matricea are „găuri” (adică zero valori între alte valori care nu sunt nule), atunci #t poate fi oricare dintre indicii care precede direct a zero valoare (adică poate lua în considerare oricare dintre acestea zero ca sfârșitul matricei).

2.5.6 & ndash Precedence

Prioritatea operatorului în Lua urmează tabelul de mai jos, de la prioritate mai mică la cea mai mare:

Ca de obicei, puteți utiliza paranteze pentru a schimba precedențele unei expresii. Operatorii de concatenare ('..') și exponențiere ('^') sunt asociativi drept. Toți ceilalți operatori binari sunt lăsați asociativi.

2.5.7 Constructori de tabel & ndash

Constructorii de tabele sunt expresii care creează tabele. De fiecare dată când este evaluat un constructor, se creează un nou tabel. Un constructor poate fi folosit pentru a crea un tabel gol sau pentru a crea un tabel și pentru a inițializa unele dintre câmpurile sale. Sintaxa generală pentru constructori este

Fiecare câmp al formularului [exp1] = exp2 adaugă la noul tabel o intrare cu cheia exp1 și valoarea exp2. Un câmp al formei nume = exp este echivalent cu ["nume"] = exp. În cele din urmă, câmpurile formei exp sunt echivalente cu [i] = exp, unde i sunt numere întregi consecutive, începând cu 1. Câmpurile din celelalte formate nu afectează această numărare. De exemplu,

Dacă ultimul câmp din listă are forma exp și expresia este un apel funcțional sau o expresie vararg, atunci toate valorile returnate de această expresie intră consecutiv în listă (vezi & sect2.5.8). Pentru a evita acest lucru, includeți apelul funcțional sau expresia vararg între paranteze (consultați & sect2.5).

Lista de câmpuri poate avea un separator opțional, ca o comoditate pentru codul generat de mașină.

2.5.8 Apeluri funcționale & ndash

Un apel funcțional în Lua are următoarea sintaxă:

Într-un apel de funcție, se evaluează primul prefixexp și args. Dacă valoarea prefixexp are tip funcţie, atunci această funcție este apelată cu argumentele date. În caz contrar, se apelează metametoda prefixexp „apel”, având ca prim parametru valoarea prefixexp, urmată de argumentele de apel originale (vezi & sect2.8).

poate fi folosit pentru a apela „metode”. Un apel v: nume (argumente) este zahăr sintactic pentru v.name (v,argumente), cu excepția faptului că v este evaluat o singură dată.

Argumentele au următoarea sintaxă:

Toate expresiile argumentelor sunt evaluate înainte de apel. Un apel de forma f <câmpuri> este zahăr sintactic pentru f (<câmpuri>) adică lista argumentelor este un singur tabel nou. Un apel de forma f 'şir'(sau f "şir"sau f [[şir]]) este zahăr sintactic pentru f ('şir') adică lista argumentelor este un singur șir literal.

Ca o excepție de la sintaxa în format liber a Lua, nu puteți pune o întrerupere de linie înainte de „(” într-un apel de funcție. Această restricție evită unele ambiguități în limbă. Dacă scrieți

Lua ar vedea că, ca o singură afirmație, a = f (g) .x (a). Deci, dacă doriți două afirmații, trebuie să adăugați un punct și virgulă între ele. Dacă doriți efectiv să apelați f, trebuie să eliminați întreruperea de linie înainte de (g).

Un apel al formularului revine functioncall se numește a apel de coadă. Unelte Lua apeluri de coadă adecvate (sau recursivitate adecvată a cozii): într-un apel de căutare, funcția apelată reutilizează intrarea în stivă a funcției de apelare. Prin urmare, nu există nicio limită a numărului de apeluri coadă imbricate pe care un program le poate executa. Cu toate acestea, un apel de coadă șterge orice informație de depanare despre funcția de apelare. Rețineți că un apel de căutare se întâmplă numai cu o anumită sintaxă, unde întoarcere are un singur apel de funcție ca argument, această sintaxă face ca funcția de apelare să returneze exact returnările funcției apelate. Deci, niciunul dintre următoarele exemple nu sunt apeluri de coadă:

2.5.9 & Definiții ale funcției ndash

Sintaxa pentru definirea funcției este

Următorul zahăr sintactic simplifică definițiile funcției:

(Acest lucru face diferența numai atunci când corpul funcției conține referințe la f.)

O definiție a funcției este o expresie executabilă, a cărei valoare are tip funcţie. Când Lua precompilează o bucată, toate corpurile funcției sale sunt precompilate. Apoi, ori de câte ori Lua execută definiția funcției, funcția este instantaneu (sau închis). Această instanță de funcție (sau închidere) este valoarea finală a expresiei. Diferite instanțe ale aceleiași funcții se pot referi la diferite variabile locale externe și pot avea tabele de mediu diferite.

Parametrii acționează ca variabile locale care sunt inițializate cu valorile argumentului:

Când se apelează o funcție, lista de argumente este ajustată la lungimea listei de parametri, cu excepția cazului în care funcția este variadică sau funcția vararg, care este indicat de trei puncte ('.') la sfârșitul listei de parametri. O funcție vararg nu își ajustează lista de argumente în schimb, colectează toate argumentele suplimentare și le furnizează funcției prin intermediul unui expresie vararg, care este, de asemenea, scris ca trei puncte. Valoarea acestei expresii este o listă cu toate argumentele suplimentare reale, similar cu o funcție cu rezultate multiple. Dacă o expresie vararg este utilizată în interiorul altei expresii sau în mijlocul unei liste de expresii, atunci lista sa de returnare este ajustată la un singur element. Dacă expresia este utilizată ca ultim element al unei liste de expresii, atunci nu se face nicio ajustare (cu excepția cazului în care ultima expresie este inclusă între paranteze).

De exemplu, luați în considerare următoarele definiții:

Apoi, avem următoarea mapare de la argumente la parametri și la expresia vararg:

Rezultatele sunt returnate folosind întoarcere declarație (vezi & sect2.4.4). Dacă controlul ajunge la sfârșitul unei funcții fără a întâlni un întoarcere , apoi funcția revine fără rezultate.

colon sintaxa este utilizată pentru definire metode, adică funcții care au un parametru suplimentar implicit de sine. Astfel, afirmația


5.1: Interpretarea numerelor negative - Matematică

Puteți vizualiza numere întregi pozitive și negative utilizând linia numerică.

Este important să înțelegeți linia numerică, deoarece vă arată că fiecare număr are un opus. Faimosul matematician german Leopold Kronecker a spus odată: „Dumnezeu a făcut numerele întregi pozitive, orice altceva este opera omului.” „De ce, atunci, am confundat lucrurile cu numerele negative? După cum se dovedește, există multe, multe probleme de zi cu zi în care numerele negative sunt utile. De exemplu, putem crește și pierde în greutate.

Temperatura poate crește sau scădea. Locațiile de pe pământ pot fi deasupra nivelului mării sau sub nivelul mării.

Un număr întreg este un număr întreg care poate fi mai mare decât 0, numit pozitiv, sau mai mic decât 0, numit negativ. Zero nu este nici pozitiv, nici negativ. Două numere întregi care sunt la aceeași distanță de origine în direcții opuse se numesc contrari.

Săgețile de pe fiecare capăt al liniei numerice ne arată că linia se întinde până la infinit atât în ​​direcția negativă, cât și în cea pozitivă. Nu trebuie să includem un semn pozitiv (+) atunci când scriem numere pozitive. Cu toate acestea, trebuie să includem semnul negativ (-) atunci când scriem numere negative. Zero este numit origine și nu este nici negativ, nici pozitiv.

Pentru fiecare număr întreg pozitiv, există un număr întreg negativ la o distanță egală de la origine. Două numere întregi care se află la aceeași distanță de origine în direcții opuse sunt numite contrare. De exemplu, „negativ 5” este opusul „pozitiv 5.”

Fiecare număr de pe linia numerică are, de asemenea, o valoare absolută, ceea ce înseamnă pur și simplu cât de departe este numărul de la zero. Simbolul pentru valoarea absolută este două linii verticale. Deoarece contrariile sunt la aceeași distanță de origine, au aceeași valoare absolută. De exemplu, valoarea absolută a "negativ 10" este de zece, iar valoarea absolută a "pozitiv 10" este, de asemenea, 10. Valoarea absolută a zero este zero.


Deși acum semnele par la fel de familiare ca alfabetul sau cifrele hindu-arabe, ele nu sunt de mare vechime. Semnul hieroglific egiptean pentru adunare, de exemplu, seamănă cu o pereche de picioare care mergeau în direcția în care a fost scris textul (egipteanul putea fi scris fie de la dreapta la stânga, fie de la stânga la dreapta), cu semnul invers care indica scăderea: [3 ]

Manuscrisele lui Nicole Oresme din secolul al XIV-lea arată care poate fi una dintre primele utilizări ale + ca semn al plusului. [4]

La începutul secolului al XV-lea Europa, literele „P” și „M” erau utilizate în general. [5] [6] Simbolurile (P cu linie superioară, p̄, pentru mai (mai mult), adică plus și M cu linie overline, m̄, pentru eu nu (mai puțin), adică minus) a apărut pentru prima dată în compendiul de matematică al lui Luca Pacioli, Sumă de aritmetică, geometrie, proporții și proporționalitate, tipărită și publicată pentru prima dată la Veneția în 1494. [7]

Semnul + este o simplificare a latinei: et (comparabil cu evoluția ampersand & amp). [8] - - poate fi derivat dintr-o tildă scrisă peste ⟨m⟩ atunci când este utilizată pentru a indica scăderea sau poate proveni dintr-o versiune stenogramă a literei ⟨m⟩ în sine. [9]

În tratatul său din 1489, Johannes Widmann s-a referit la simboluri - și + ca minus și mer (Germană modernă mehr "Mai mult"): "was - ist, das ist minus, und das + ist das mer". [10] Nu au fost folosite pentru adunare și scădere în tratat, ci au fost folosite pentru a indica surplus și deficit prima lor utilizare în sensul lor modern apare într-o carte de Henricus Grammateus în 1518. [11] [12]

Robert Recorde, proiectantul semnului egal, a introdus plus și minus în Marea Britanie în 1557 în Piatra de piatră a lui Witte: [13] „Există alte 2 semne în care adesea se folosește primul dintre care se face astfel + și se vorbește mai mult: celălalt este astfel făcut - și se rosteste pe locatar”.

Semnul plus, +, este un operator binar care indică adunarea, ca în 2 + 3 = 5. Poate servi și ca operator unar care își lasă operandul neschimbat (+X înseamnă la fel ca X ). Această notație poate fi utilizată atunci când se dorește sublinierea pozitivității unui număr, mai ales în contrast cu numerele negative (+5 față de -5).

Semnul plus poate indica, de asemenea, multe alte operații, în funcție de sistemul matematic în cauză. Multe structuri algebrice, cum ar fi spațiile vectoriale și inelele matriciale, au o anumită operație care se numește sau este echivalentă cu adunarea. [14] Este, deși convențional, să folosiți semnul plus pentru a indica doar operațiile comutative. [15]

Simbolul este folosit și în chimie și fizică. Pentru mai multe informații, consultați § Alte utilizări.

Semnul minus, -, are trei utilizări principale în matematică: [16]

  1. Operatorul de scădere: un operator binar pentru a indica operația de scădere, ca în 5 - 3 = 2. Scăderea este inversul adunării. [2]
  2. Funcția a cărei valoare pentru orice argument real sau complex este inversul aditiv al acelui argument. De exemplu, dacă X = 3, apoi -X = −3, dar dacă X = −3, apoi -X = +3. În mod similar, - (-X) = X .
  3. Un prefix al unei constante numerice. Când este plasat imediat înaintea unui număr nesemnat, combinația denumește un număr negativ, inversul aditiv al numărului pozitiv pe care altfel ar numi-l numeralul. În această utilizare, „−5” numește un număr în același mod în care „semicercul” numește o figură geometrică, cu avertismentul că „semi” nu are o utilizare separată ca nume de funcție.

În multe contexte, nu contează dacă al doilea sau al treilea dintre aceste utilizări este destinat: −5 este același număr. Când este important să le deosebim, un semn minus ridicat ¯ este uneori folosit pentru constante negative, ca în educația elementară, limbajul de programare APL și unele calculatoare grafice timpurii. [A]

Toate cele trei utilizări pot fi denumite „minus” în vorbirea de zi cu zi, deși operatorul binar este uneori citit ca „take away”. [17] În engleza americană din zilele noastre, −5 (de exemplu) este denumită în general „negativ cinci”, deși vorbitorii născuți înainte de 1950 se referă adesea la „minus cinci”. (Temperaturile tind să urmeze o utilizare mai veche -5 ° este în general numită „minus cinci grade”.) [18] Mai mult, câteva manuale din Statele Unite încurajează -X să fie citit ca „opusul X "sau" inversul aditiv al X "- pentru a evita impresia că -X este neapărat negativ (din moment ce X în sine poate fi deja negativ) [19]

În matematică și în majoritatea limbajelor de programare, regulile pentru ordinea operațiilor înseamnă că −5 2 este egal cu -25: Exponențierea se leagă mai puternic decât minusul unar, care se leagă mai puternic decât înmulțirea sau divizarea. Cu toate acestea, în unele limbaje de programare (în special Microsoft Excel), operatorii unari se leagă cel mai puternic, deci în acele cazuri −5 ^ 2 este 25, dar 0−5 ^ 2 este −25. [20]

Similar cu semnul plus, semnul minus este utilizat și în chimie și fizică. Pentru mai multe informații, consultați § Alte utilizări de mai jos.

Unii profesori elementari folosesc semnele ridicate plus și minus înainte de numere pentru a arăta că sunt numere pozitive sau negative. [ este necesară citarea ] De exemplu, scăderea −5 din 3 ar putea fi citită ca „pozitivă trei elimină negativul 5” și arătată ca

În sistemele de notare (cum ar fi notele de examinare), semnul plus indică o notă cu un nivel mai mare și semnul minus o notă mai mică. De exemplu, B− („B minus”) este cu un grad mai mic decât B. În unele ocazii, acest lucru este extins la două semne plus sau minus (de exemplu, A ++ fiind cu două grade mai mari decât A).

Pozitiv și negativ sunt uneori prescurtate ca + ve și −ve. [21]

Matematică Edit

În matematică limita unilaterală XA + înseamnă X abordari A din dreapta (adică limita din partea dreaptă) și XA - înseamnă X abordari A din stânga (adică limita din partea stângă). [22] De exemplu, 1 /X → + ∞ < displaystyle infty> as X → 0 + dar 1 /X → - ∞ < displaystyle infty> as X → 0 − .

Editarea sângelui

Grupurile de sânge sunt adesea calificate cu un plus sau un minus pentru a indica prezența sau absența factorului Rh. De exemplu, A + înseamnă sânge de tip A cu factor Rh prezent, în timp ce B− înseamnă sânge de tip B cu factor Rh absent.

Editare muzică

În muzică, acordurile augmentate sunt simbolizate cu un semn plus, deși această practică nu este universală (deoarece există și alte metode pentru ortografia acelor acorduri). De exemplu, „C +” se citește „C acord crescut”. Uneori plusul este scris ca un supercript.

Pe lângă utilizarea matematică normală, semnele plus și minus pot fi utilizate în alte scopuri în calcul.

Semnele plus și minus sunt adesea folosite în vizualizarea arborescentă pe ecranul computerului - pentru a arăta dacă un folder este sau nu colapsat.

În unele limbaje de programare, concatenarea șirurilor este scrisă "a" + "b" și are ca rezultat "ab".

În majoritatea limbajelor de programare, scăderea și negarea sunt indicate cu caracterul ASCII cratimă-minus, -. În APL, un semn minus ridicat (Unicode U + 00AF) este utilizat pentru a indica un număr negativ, ca în ¯3. În timp ce în J un număr negativ este notat cu un subliniere, ca în _5.

În C și în alte limbaje de programare a computerului, două semne plus indică operatorul de creștere și două semne minus o scădere a poziției operatorului înainte sau după variabilă indică dacă valoarea nouă sau veche este citită din aceasta. De exemplu, dacă x este egal cu 6, atunci y = x ++ crește x la 7, dar setează y la 6, în timp ce y = ++ x ar seta atât x, cât și y la 7. Prin extensie, ++ este uneori folosit în terminologia de calcul pentru a semnifica o îmbunătățire, ca în numele limbajului C ++.

În expresiile regulate, + este adesea folosit pentru a indica „1 sau mai mult” într-un model care trebuie asortat. De exemplu, x + înseamnă „una sau mai multe din litera x”.

Nu există un concept de zero negativ în matematică, dar în calcul −0 poate avea o reprezentare separată de zero. În standardul cu virgulă mobilă IEEE, 1 / −0 este infinit negativ (- ∞ < displaystyle infty>) în timp ce 1/0 este infinit pozitiv (∞).

În fizică, utilizarea semnelor plus și minus pentru diferite sarcini electrice a fost introdusă de Georg Christoph Lichtenberg.

În chimie, semnele plus și minus superscriptate sunt utilizate pentru a indica un ion cu o sarcină pozitivă sau negativă de 1 (de exemplu, NH +
4). Dacă taxa este mai mare de 1, un număr care indică taxa este scris înainte de semn (ca în SO 2−
4). Semnul minus este, de asemenea, utilizat, în locul unei liniuțe, pentru o legătură covalentă simplă între doi atomi ca în formula scheletică. [ este necesară citarea ]

În Alfabetul Fonetic Internațional, semnele plus și minus subscrise sunt utilizate ca diacritice pentru a indica articulații avansate sau retrase ale sunetelor vorbirii.

Semnul minus este folosit și ca literă de ton în ortografiile lui Dan, Krumen, Karaboro, Mwan, Wan, Yaouré, Wè, Nyabwa și Godié. [23] Caracterul Unicode utilizat pentru litera tonului (U + 02D7) este diferit de semnul matematic minus.

Semnul plus reprezintă uneori / ɨ / în ortografia Huichol. [24]

În notația algebrică utilizată pentru a înregistra jocuri de șah, semnul plus + este utilizat pentru a desemna o mișcare care pune adversarul în frâu, în timp ce un dublu plus ++ este uneori folosit pentru a indica dublu control. Combinațiile semnelor plus și minus sunt utilizate pentru a evalua o mișcare (+/−, + / =, = / +, - / +).

În lingvistică, un superindice plus + înlocuiește uneori asteriscul, ceea ce denotă reconstrucție lingvistică neatestată.

Un semn plus scris la începutul unui număr de telefon internațional este „simbolul prefixului internațional” care „servește pentru a reaminti abonatului să formeze prefixul internațional care diferă de la țară la țară și servește, de asemenea, pentru a identifica numărul care urmează ca număr de telefon internațional . " [25]

Semnele plus și minus sunt, de asemenea, simbolurile Pokémon Plusle și Minun, simbolurile care apar pe obraji și ca cozile lor.

semn cratimă-minus, -, este versiunea originală ASCII a semnului minus, care se dublează ca o cratimă. De obicei, are o lungime mai mică decât semnul plus și adesea la o înălțime diferită de bara transversală a semnului plus. Poate fi folosit ca substitut pentru semnul minus adevărat atunci când setul de caractere este limitat la ASCII. Majoritatea limbajelor de programare și a altor limbaje care pot fi citite de computer fac acest lucru, deoarece ASCII este în general disponibil ca subset al majorității codificărilor de caractere, în timp ce U + 2212 este doar o caracteristică Unicode.De asemenea, alte câteva programe software utilizabile pentru calcule nu acceptă minusul U + 2212. De exemplu, lipirea = 3−2 în Excel sau 3−2 = în calculatorul Windows nu va funcționa.

Deoarece adevăratul minus nu este disponibil pe majoritatea aspectelor tastaturii, tipografii folosesc uneori simbolul en similar, U + 2013, pentru a reprezenta semnul minus, deși nu este „preferat” în compunerea matematică. [26] Modurile de producere a liniuței en sunt disponibile pe majoritatea computerelor, a se vedea Dash § Rendering linii pe computere.

Există un semn comercial minus, ⁒, care este utilizat în Germania și Scandinavia. Simbolul ÷ este utilizat pentru a indica scăderea în Norvegia.



Comentarii:

  1. Jacky

    Este un mesaj valoros

  2. Bursuq

    original. Trebuie să privesc

  3. Donavon

    Parafrază, te rog

  4. Pattin

    De bună voie accept. Întrebarea este interesantă, și eu voi participa la discuții.

  5. Welch

    Da, varianta bună



Scrie un mesaj