Articole

15.1: Integrale duble peste dreptunghiuri - Matematică

15.1: Integrale duble peste dreptunghiuri - Matematică


We are searching data for your request:

Forums and discussions:
Manuals and reference books:
Data from registers:
Wait the end of the search in all databases.
Upon completion, a link will appear to access the found materials.

obiective de invatare

  • Recunoașteți când o funcție a două variabile este integrabilă pe o regiune dreptunghiulară.
  • Recunoașteți și utilizați unele dintre proprietățile integralelor duble.
  • Evaluați o integrală dublă peste o regiune dreptunghiulară scriind-o ca integrală iterată.
  • Utilizați o integrală dublă pentru a calcula aria unei regiuni, volumul sub o suprafață sau valoarea medie a unei funcții pe o regiune plană.

În această secțiune investigăm integralele duble și arătăm cum le putem folosi pentru a găsi volumul unui solid peste o regiune dreptunghiulară în planul xy. Multe dintre proprietățile integralelor duble sunt similare cu cele pe care le-am discutat deja pentru integrale simple.

Volume și integrale duble

Începem prin a lua în considerare spațiul de deasupra unei regiuni dreptunghiulare (R ). Luați în considerare o funcție continuă (f (x, y) ≥0 ) a două variabile definite pe dreptunghiul închis (R ):

[R = [a, b] times [c, d] = left {(x, y) ∈ mathbb {R} ^ 2 | , a ≤ x ≤ b, , c ≤ y ≤ d right } nonumber ]

Aici ([a, b] times [c, d] ) denotă produsul cartezian al celor două intervale închise ([a, b] ) și ([c, d] ). Se compune din perechi dreptunghiulare ((x, y) ) astfel încât (a≤x≤b ) și (c≤y≤d ). Graficul lui (f ) reprezintă o suprafață deasupra planului (xy ) - cu ecuația (z = f (x, y) ) unde (z ) este înălțimea suprafeței în punctul ((X y)). Fie (S ) solidul care se află deasupra (R ) și sub graficul (f ) (Figura ( PageIndex {1} )). Baza solidului este dreptunghiul (R ) în planul (xy ) -. Vrem să găsim volumul (V ) al solidului (S ).

Împărțim regiunea (R ) în dreptunghiuri mici (R_ {ij} ), fiecare cu aria (ΔA ) și cu laturile (Δx ) și (Δy ) (Figura ( PageIndex { 2} )). Facem acest lucru împărțind intervalul ([a, b] ) în subintervalele (m ) și împărțind intervalul ([c, d] ) în subintervalele (n ). Prin urmare, ( Delta x = frac {b - a} {m} ), ( Delta y = frac {d - c} {n} ) și ( Delta A = Delta x Delta y ).

Volumul unei cutii dreptunghiulare subțiri deasupra (R_ {ij} ) este (f (x_ {ij} ^ *, , y_ {ij} ^ *) , Delta A ), unde ( (x_ {ij} ^ *, , y_ {ij} ^ * )) este un punct de eșantionare arbitrar în fiecare (R_ {ij} ) așa cum se arată în figura următoare, (f (x_ {ij} ^ *, , y_ {ij} ^ *) ) este înălțimea casetei dreptunghiulare subțiri corespunzătoare și ( Delta A ) este aria fiecărui dreptunghi (R_ {ij} ).

Folosind aceeași idee pentru toate subrectangulele, obținem un volum aproximativ al solidului S ca.

[V approx sum_ {i = 1} ^ m sum_ {j = 1} ^ n f (x_ {ij} ^ *, , y_ {ij} ^ *) Delta A. nonumber ]

Această sumă este cunoscută sub numele de suma Riemann dublă și poate fi folosit pentru a aproxima valoarea volumului solidului. Aici suma dublă înseamnă că pentru fiecare subrectangul evaluăm funcția la punctul ales, înmulțim cu aria fiecărui dreptunghi și apoi adăugăm toate rezultatele.

După cum am văzut în cazul variabilei unice, obținem o aproximare mai bună la volumul real dacă (m ) și (n ) devin mai mari.

[V = lim_ {m, n rightarrow infty} sum_ {i = 1} ^ m sum_ {j = 1} ^ nf (x_ {ij} ^ *, , y_ {ij} ^ *) Delta A nonumber ]

sau

[V = lim _ { Delta x, , Delta y rightarrow 0} sum_ {i = 1} ^ m sum_ {j = 1} ^ nf (x_ {ij} ^ *, , y_ { ij} ^ *) Delta A. nonumber ]

Rețineți că suma se apropie de o limită în ambele cazuri, iar limita este volumul solidului cu baza (R ). Acum suntem gata să definim integralul dublu.

Definiție

Integrala dublă a funcției (f (x, , y) ) peste regiunea dreptunghiulară (R ) în planul (xy ) - este definită ca

[ iint_R f (x, , y) dA = lim_ {m, n rightarrow infty} sum_ {i = 1} ^ m sum_ {j = 1} ^ nf (x_ {ij} ^ * , , y_ {ij} ^ *) Delta A. ]

Dacă (f (x, y) geq 0 ), atunci volumul (V ) al solidului (S ), care se află deasupra (R ) în planul (xy ) - și sub graficul (f ), este integralul dublu al funcției (f (x, y) ) peste dreptunghiul (R ). Dacă funcția este vreodată negativă, atunci integralul dublu poate fi considerat un volum „semnat” într-un mod similar cu modul în care am definit zona semnată netă în The Definite Integral.

Exemplu ( PageIndex {1} ): Configurarea unei integrale duble și aproximarea acesteia prin sume duble

Luați în considerare funcția (z = f (x, , y) = 3x ^ 2 - y ) peste regiunea dreptunghiulară (R = [0, 2] times [0, 2] ) (Figura ( PageIndex {4} )).

  1. Configurați o integrală dublă pentru a găsi valoarea volumului semnat al solidului (S ) care se află deasupra (R ) și „sub” graficul lui (f ).
  2. Împărțiți (R ) în patru pătrate cu (m = n = 2 ) și alegeți punctul de eșantionare ca colțul din dreapta sus al fiecărui pătrat (1,1), (2,1), (1,2 ) și (2,2) (Figura ( PageIndex {4} )) pentru a aproxima volumul semnat al solidului (S ) care se află deasupra (R ) și „sub” graficul lui ( f ).
  3. Împarte (R ) în patru pătrate cu (m = n = 2 ) și alege punctul de eșantionare ca punct mediu al fiecărui pătrat: (1/2, 1/2), (3/2, 1/2 ), (1 / 2,3 / 2) și (3/2, 3/2) pentru a aproxima volumul semnat.

Soluţie

  1. După cum putem vedea, funcția (z = f (x, y) = 3x ^ 2 - y ) este deasupra planului. Pentru a găsi volumul semnat de (S ), trebuie să împărțim regiunea (R ) în dreptunghiuri mici (R_ {ij} ), fiecare cu zonă (ΔA ) și cu laturi (Δx ) și (Δy ), și alegeți ((x_ {ij} ^ *, y_ {ij} ^ *) ) ca puncte de eșantionare în fiecare (R_ {ij} ). Prin urmare, o integrală dublă este configurată ca

    [V = iint_R (3x ^ 2 - y) dA = lim_ {m, n → ∞} sum_ {i = 1} ^ m sum_ {j = 1} ^ n [3 (x_ {ij} ^ *) ^ 2 - y_ {ij} ^ *] Delta A. nonumber ]

  2. Aproximând volumul semnat folosind o sumă Riemann cu (m = n = 2 ) avem ( Delta A = Delta x Delta y = 1 times 1 = 1 ). De asemenea, punctele de probă sunt (1, 1), (2, 1), (1, 2) și (2, 2) așa cum se arată în figura următoare.

Prin urmare,

[ begin {align *} V & approx sum_ {i = 1} ^ 2 sum_ {j = 1} ^ 2 f (x_ {ij} ^ *, y_ {ij} ^ *) Delta A [4pt]
& = sum_ {i = 1} ^ 2 (f (x_ {i1} ^ *, y_ {i1} ^ *) + f (x_ {i2} ^ *, y_ {i2} ^ *)) Delta A [4pt]
& = f (x_ {11} ^ *, y_ {11} ^ *) Delta A + f (x_ {21} ^ *, y_ {21} ^ *) Delta A + f (x_ {12} ^ * , y_ {12} ^ *) Delta A + f (x_ {22} ^ *, y_ {22} ^ *) Delta A [4pt]
& = f (1,1) (1) + f (2,1) (1) + f (1,2) (1) + f (2,2) (1) [4pt]
& = (3 - 1) (1) + (12 - 1) (1) + (3 - 2) (1) + (12 - 2) (1) [4pt]
& = 2 + 11 + 1 + 10 = 24. end {align *} ]

  1. Aproximând volumul semnat folosind o sumă Riemann cu (m = n = 2 ) avem ( Delta A = Delta x Delta y = 1 times 1 = 1 ). În acest caz, punctele de probă sunt (1/2, 1/2), (3/2, 1/2), (1/2, 3/2) și (3/2, 3/2).
    Prin urmare,
    [ begin {align *} V & approx sum_ {i = 1} ^ 2 sum_ {j = 1} ^ 2 f (x_ {ij} ^ *, y_ {ij} ^ *) Delta A [4pt]
    & = f (x_ {11} ^ *, y_ {11} ^ *) Delta A + f (x_ {21} ^ *, y_ {21} ^ *) Delta A + f (x_ {12} ^ * , y_ {12} ^ *) Delta A + f (x_ {22} ^ *, y_ {22} ^ *) Delta A [4pt]
    & = f (1 / 2,1 / 2) (1) + f (3 / 2,1 / 2) (1) + f (1 / 2,3 / 2) (1) + f (3/2, 3/2) (1) [4pt]
    & = left ( frac {3} {4} - frac {1} {4} right) (1) + left ( frac {27} {4} - frac {1} {2} dreapta) (1) + left ( frac {3} {4} - frac {3} {2} right) (1) + left ( frac {27} {4} - frac {3} {2} right) (1) [4pt]
    & = frac {2} {4} + frac {25} {4} + left (- frac {3} {4} right) + frac {21} {4} = frac {45} {4} = 11. end {align *} ]

Analiză

Observați că răspunsurile aproximative diferă din cauza opțiunilor punctelor de eșantionare. În ambele cazuri, introducem o eroare deoarece folosim doar câteva puncte de eșantionare. Astfel, trebuie să investigăm cum putem obține un răspuns corect.

Exercițiu ( PageIndex {1} )

Utilizați aceeași funcție (z = f (x, y) = 3x ^ 2 - y ) peste regiunea dreptunghiulară (R = [0,2] × [0,2] ).

Împărțiți (R ) în aceleași patru pătrate cu (m = n = 2 ) și alegeți punctele de eșantionare ca punct de colț din stânga sus al fiecărui pătrat (0,1), (1,1), (0 , 2) și (1,2) (Figura ( PageIndex {5} )) pentru a aproxima volumul semnat al solidului (S ) care se află deasupra (R ) și „sub” graficul (f ).

Aluzie

Urmați pașii din exemplul anterior.

Răspuns

[V approx sum_ {i = 1} ^ 2 sum_ {j = 1} ^ 2 f (x_ {ij} ^ *, y_ {ij} ^ *) , Delta A = 0 nonumber ]

Rețineți că am dezvoltat conceptul de integrală dublă folosind o regiune dreptunghiulară (R ). Acest concept poate fi extins la orice regiune generală. Cu toate acestea, atunci când o regiune nu este dreptunghiulară, este posibil ca subrectangulele să nu se potrivească perfect în (R ), mai ales dacă zona de bază este curbată. Examinăm această situație mai detaliat în secțiunea următoare, unde studiem regiunile care nu sunt întotdeauna dreptunghiulare și subrectangulele pot să nu se potrivească perfect în regiunea (R ). De asemenea, înălțimile pot să nu fie exacte dacă suprafața (z = f (x, y) ) este curbată. Cu toate acestea, erorile de pe laturi și înălțimea în care piesele pot să nu se potrivească perfect în interiorul solidului (S ) se apropie de 0 ca (m ) și (n ) se apropie de infinit. De asemenea, integrala dublă a funcției (z = f (x, y) ) există cu condiția ca funcția (f ) să nu fie prea discontinuă. Dacă funcția este mărginită și continuă peste (R ) cu excepția unui număr finit de curbe netede, atunci integrala dublă există și spunem că ff este integrabil peste (R ).

Deoarece ( Delta A = Delta x Delta y = Delta y Delta x ), putem exprima (dA ) ca (dx , dy ) sau (dy , dx ). Aceasta înseamnă că, atunci când folosim coordonate dreptunghiulare, integrala dublă peste o regiune (R ) notată cu

[ iint_R f (x, y) , dA nonumber ]

poate fi scris ca

[ iint_R f (x, y) , dx , dy nonumber ]

sau

[ iint_R f (x, y) , dy , dx. fără număr]

Acum, să enumerăm câteva dintre proprietățile care pot fi utile pentru calcularea integralelor duble.

Proprietățile integralelor duble

Proprietățile integralelor duble sunt foarte utile atunci când le calculăm sau lucrăm altfel cu ele. Enumerăm aici șase proprietăți ale integralelor duble. Proprietățile 1 și 2 sunt denumite liniaritatea integralei, proprietatea 3 este aditivitatea integralei, proprietatea 4 este monotonitatea integralei, iar proprietatea 5 este utilizată pentru a găsi limitele integralei. Proprietatea 6 este utilizată dacă (f (x, y) ) este un produs cu două funcții (g (x) ) și (h (y) ).

Teorema: PROPRIETĂȚILE INTEGRALELOR DUBLE

Să presupunem că funcțiile (f (x, y) ) și (g (x, y) ) sunt integrabile peste regiunea dreptunghiulară (R ); (S ) și (T ) sunt subregiuni ale (R ); și presupunem că (m ) și (M ) sunt numere reale.

  1. Suma (f (x, y) + g (x, y) ) este integrabilă și

[ iint_R [f (x, y) + g (x, y)] , dA = iint_R f (x, y) , dA + iint_R g (x, y) , dA. fără număr]

  1. Dacă c este o constantă, atunci (cf (x, y) ) este integrabil și

[ iint_R cf (x, y) , dA = c iint_R f (x, y) , dA. fără număr]

  1. Dacă (R = S∪T ) și (S∩T = ∅ ), cu excepția unei suprapuneri pe limite, atunci

[ iint_R f (x, y) , dA = iint_S f (x, y) , dA + iint_T f (x, y) , dA. fără număr]

  1. Dacă (f (x, y) geq g (x, y) ) pentru ((x, y) ) în (R ), atunci

[ iint_R f (x, y) , dA geq iint_R g (x, y) , dA. fără număr]

  1. Dacă (m leq f (x, y) leq M ) și (A (R) = , text {zona din} , R ), atunci

[m cdot A (R) leq iint_R f (x, y) , dA leq M cdot A (R). fără număr]

  1. În cazul în care (f (x, y) ) poate fi luată în considerare ca produs al unei funcții (g (x) ) din (x ) numai și o funcție (h (y) ) a numai (y ), apoi peste regiune (R = big {(x, y) , | , a leq x leq b, , c leq y leq d big } ), integralul dublu poate fi scris ca

[ iint_R f (x, y) , dA = left ( int_a ^ b g (x) , dx right) left ( int_c ^ d h (y) , dy right). fără număr]

Aceste proprietăți sunt utilizate în evaluarea integralelor duble, așa cum vom vedea mai târziu. Vom deveni calificați în utilizarea acestor proprietăți odată ce ne vom familiariza cu instrumentele de calcul ale integralelor duble. Așadar, să ajungem la asta acum.

Integrale iterate

Până acum, am văzut cum să setăm o integrală dublă și cum să obținem o valoare aproximativă pentru aceasta. Ne putem imagina, de asemenea, că evaluarea integralelor duble prin utilizarea definiției poate fi un proces foarte lung dacă alegem valori mai mari pentru (m ) și (n ). Prin urmare, avem nevoie de o tehnică practică și convenabilă pentru calcularea integralelor duble. Cu alte cuvinte, trebuie să învățăm cum să calculăm integrale duble fără a folosi definiția care folosește limite și sume duble.

Ideea de bază este că evaluarea devine mai ușoară dacă putem rupe o integrală dublă în integrale simple prin integrarea mai întâi față de o variabilă și apoi față de cealaltă. Instrumentul cheie de care avem nevoie se numește integral iterat.

Definiții: integrale iterate

Să presupunem că (a ), (b ), (c ) și (d ) sunt numere reale. Definim un integrală iterată pentru o funcție (f (x, y) ) peste regiunea dreptunghiulară (R = [a, b] × [c, d] ) ca

[ int_a ^ b int_c ^ d f (x, y) , dy , dx = int_a ^ b left [ int_c ^ d f (x, y) , dy right] dx ]

sau

[ int_c ^ d int_a ^ b f (x, y) , dx , dy = int_c ^ d left [ int_a ^ b f (x, y) , dx right] dy. ]

Notarea ( int_a ^ b left [ int_c ^ df (x, y) , dy right] dx ) înseamnă că integrăm (f (x, y) ) în raport cu (y ) ținând constant (x ) constantă. În mod similar, notația ( int_c ^ d left [ int_a ^ bf (x, y) , dx right] dy ) înseamnă că integrăm (f (x, y) ) în raport cu ( x ) ținând constant (y ) constant. Faptul că integralele duble pot fi împărțite în integrale iterate este exprimat în teorema lui Fubini. Gândiți-vă la această teoremă ca la un instrument esențial pentru evaluarea integralelor duble.

Teorema: TEOREMA FUBINI

Să presupunem că (f (x, y) ) este o funcție a două variabile care este continuă pe o regiune dreptunghiulară (R = big {(x, y) ∈ mathbb {R} ^ 2 | , a leq x leq b, , c leq y leq d big } ). Apoi vedem din Figura ( PageIndex {6} ) că integralul dublu al (f ) peste regiune este egal cu o integrală iterată,

[ iint_R f (x, y) , dA = iint_R f (x, y) , dx , dy = int_a ^ b int_c ^ df (x, y) , dy , dx = int_c ^ d int_a ^ bf (x, y) , dx , dy. ]

Mai general, teorema lui Fubini este adevărată dacă (f ) este mărginită de (R ) și (f ) este discontinuă numai pe un număr finit de curbe continue. Cu alte cuvinte, (f ) trebuie să fie integrabil peste (R ).

Exemplu ( PageIndex {2} ): folosind teorema lui Fubini

Folosiți teorema lui Fubini pentru a calcula integralul dublu ( displaystyle iint_R f (x, y) , dA ) unde (f (x, y) = x ) și (R = [0, 2] times [0, 1] ).

Soluţie

Teorema lui Fubini oferă o modalitate mai ușoară de evaluare a integralei duble prin utilizarea unei integrale iterate. Rețineți cum valorile limită ale regiunii (R ) devin limitele superioare și inferioare ale integrării.

[ begin {align *} iint_R f (x, y) , dA & = iint_R f (x, y) , dx , dy [4pt]
& = int_ {y = 0} ^ {y = 1} int_ {x = 0} ^ {x = 2} x , dx , dy [4pt]
& = int_ {y = 0} ^ {y = 1} left [ frac {x ^ 2} {2} bigg | _ {x = 0} ^ {x = 2} right] , dy [4pt]
& = int_ {y = 0} ^ {y = 1} 2 , dy = 2y bigg | _ {y = 0} ^ {y = 1} = 2 end {align *} ]

Dubla integrare în acest exemplu este suficient de simplă pentru a utiliza teorema lui Fubini direct, permițându-ne să convertim o integrală dublă într-o integrală iterată. În consecință, suntem acum gata să convertim toate integralele duble în integrale iterate și să demonstrăm cum proprietățile enumerate mai devreme ne pot ajuta să evaluăm integralele duble atunci când funcția (f (x, y) ) este mai complexă. Rețineți că ordinea integrării poate fi modificată (vezi Exemplul 7).

Exemplu ( PageIndex {3} ): ilustrarea proprietăților i și ii

Evaluează integralul dublu [ iint_R (xy - 3xy ^ 2) , dA, , text {unde} , R = big {(x, y) , | , 0 leq x leq 2, , 1 leq y leq 2 big }. Nonumber ]

Soluţie

Această funcție are două piese: o piesă este (xy ) și cealaltă este (3xy ^ 2 ). De asemenea, a doua piesă are o constantă 3. Observați modul în care folosim proprietățile i și ii pentru a ajuta la evaluarea integralei duble.

[ begin {align *} iint_R (xy - 3xy ^ 2) , dA & = iint_R xy , dA + iint_R (-3xy ^ 2) , dA & & text {Proprietatea i: Integrală a o sumă este suma integralelor.} [4pt]
& = int_ {y = 1} ^ {y = 2} int_ {x = 0} ^ {x = 2} xy , dx , dy - int_ {y = 1} ^ {y = 2} int_ {x = 0} ^ {x = 2} 3xy ^ 2 , dx , dy & & text {Convertiți integralele duble în integrale iterate.} [4pt]
& = int_ {y = 1} ^ {y = 2} left ( frac {x ^ 2} {2} y right) bigg | _ {x = 0} ^ {x = 2} , dy - 3 int_ {y = 1} ^ {y = 2} left ( frac {x ^ 2} {2} y ^ 2 right) bigg | _ {x = 0} ^ {x = 2} , dy & & text {Integrare față de $ x $, menținând constant $ y $.} [4pt]
& = int_ {y = 1} ^ {y = 2} 2y , dy - int_ {y = 1} ^ {y = 2} 6y ^ 2 dy & & text {Proprietatea ii: plasarea constantei înainte de integral.} [4pt]
& = 2 int_1 ^ 2 y , dy - 6 int_1 ^ 2 y ^ 2 , dy & & text {Integrare față de y.} [4pt]
& = 2 frac {y ^ 2} {2} bigg | _1 ^ 2 - 6 frac {y ^ 3} {3} bigg | _1 ^ 2 [4pt]
& = y ^ 2 bigg | _1 ^ 2 - 2y ^ 3 bigg | _1 ^ 2 [4pt]
& = (4−1) - 2 (8−1) = 3 - 2 (7) = 3 - 14 = −11. end {align *} ]

Exemplu ( PageIndex {4} ): ilustrarea proprietății v.

Peste regiunea (R = big {(x, y) , | , 1 leq x leq 3, , 1 leq y leq 2 big } ), avem (2 leq x ^ 2 + y ^ 2 leq 13 ). Găsiți o margine inferioară și una superioară pentru integral ( displaystyle iint_R (x ^ 2 + y ^ 2) , dA. )

Soluţie

Pentru o limită inferioară, integrați funcția constantă 2 peste regiunea (R ). Pentru o limită superioară, integrați funcția constantă 13 peste regiunea (R ).

[ begin {align *} int_1 ^ 2 int_1 ^ 3 2 , dx , dy & = int_1 ^ 2 [2x bigg | _1 ^ 3] , dy = int_1 ^ 2 2 (2) dy = 4y bigg | _1 ^ 2 = 4 (2 - 1) = 4 [4pt] int_1 ^ 2 int_1 ^ 3 13dx , dy & = int_1 ^ 2 [13x bigg | _1 ^ 3] , dy = int_1 ^ 2 13 (2) , dy = 26y bigg | _1 ^ 2 = 26 (2 - 1) = 26. end {align *} ]

Prin urmare, obținem ( displaystyle 4 leq iint_R (x ^ 2 + y ^ 2) , dA leq 26. )

Exemplu ( PageIndex {5} ): ilustrarea proprietății vi

Evaluează integralul ( displaystyle iint_R e ^ y cos x , dA ) peste regiune (R = big {(x, y) , | , 0 leq x leq frac { pi} {2}, , 0 leq y leq 1 big } ).

Soluţie

Acesta este un exemplu excelent pentru proprietatea vi, deoarece funcția (f (x, y) ) este în mod clar produsul a două funcții cu o singură variabilă (e ^ y ) și ( cos x ). Astfel putem împărți integrala în două părți și apoi le putem integra pe fiecare ca o problemă de integrare cu o singură variabilă.

[ begin {align *} iint_R e ^ y cos x , dA & = int_0 ^ 1 int_0 ^ { pi / 2} e ^ y cos x , dx , dy [4pt ]
& = left ( int_0 ^ 1 e ^ y dy right) left ( int_0 ^ { pi / 2} cos x , dx right) [4pt]
& = (e ^ y bigg | _0 ^ 1) ( sin x bigg | _0 ^ { pi / 2}) [4pt]
& = e - 1. end {align *} ]

Exercițiu ( PageIndex {2} )

A. Utilizați proprietățile integralei duble și teorema lui Fubini pentru a evalua integralul

[ int_0 ^ 1 int _ {- 1} ^ 3 (3 - x + 4y) , dy , dx. fără număr ]

b. Arată că ( displaystyle 0 leq iint_R sin pi x , cos pi y , dA leq frac {1} {32} ) unde (R = left (0, frac {1} {4} right) left ( frac {1} {4}, frac {1} {2} right) ).

Aluzie

Utilizați proprietățile i. și ii. și evaluați integrala iterată, apoi folosiți proprietatea v.

Răspuns

A. (26 )

b. Răspunsurile pot varia.

După cum am menționat anterior, atunci când folosim coordonate dreptunghiulare, integrala dublă peste o regiune (R ) notată cu ( iint_R f (x, y) , dA ) poate fi scrisă ca f (x, y) , dx , dy ) sau ( iint_R , f (x, y) , dy , dx. ) Următorul exemplu arată că rezultatele sunt aceleași indiferent de ordinea de integrare pe care o alegem.

Exemplu ( PageIndex {6} ): evaluarea unei integrale iterate în două moduri

Să revenim la funcția (f (x, y) = 3x ^ 2 - y ) din Exemplul 1, de data aceasta peste regiunea dreptunghiulară (R = [0,2] times [0,3] ). Folosiți teorema lui Fubini pentru a evalua ( iint_R f (x, y) , dA ) în două moduri diferite:

  1. Întâi se integrează în ceea ce privește (y ) și apoi în ceea ce privește (x );
  2. Mai întâi integrați în ceea ce privește (x ) și apoi în ceea ce privește (y ).

Soluţie

Figura ( PageIndex {6} ) arată cum funcționează calculul în două moduri diferite.

  1. Mai întâi se integrează cu (y ) și apoi se integrează cu (x ):

[ begin {align *} iint_R f (x, y) , dA & = int_ {x = 0} ^ {x = 2} int_ {y = 0} ^ {y = 3} (3x ^ 2 - y) , dy , dx [4pt]
& = int_ {x = 0} ^ {x = 2} left ( int_ {y = 0} ^ {y = 3} (3x ^ 2 - y) , dy right) , dx = int_ {x = 0} ^ {x = 2} left [3x ^ 2y - frac {y ^ 2} {2} bigg | _ {y = 0} ^ {y = 3} right] , dx [4pt]
& = int_ {x = 0} ^ {x = 2} left (9x ^ 2 - frac {9} {2} right) , dx = 3x ^ 3 - frac {9} {2} x bigg | _ {x = 0} ^ {x = 2} = 15. end {align *} ]

  1. Întâi se integrează cu (x ) și apoi se integrează cu (y ):
    [ begin {align *} iint_R f (x, y) , dA & = int_ {y = 0} ^ {y = 3} int_ {x = 0} ^ {x = 2} (3x ^ 2 - y) , dx , dy [4pt]
    & = int_ {y = 0} ^ {y = 3} left ( int_ {x = 0} ^ {x = 2} (3x ^ 2 - y) , dx right) , dy [ 4pt]
    & = int_ {y = 0} ^ {y = 3} left [x ^ 3 - xy bigg | _ {x = 0} ^ {x = 2} right] dy [4pt]
    & = int_ {y = 0} ^ {y = 3} (8 - 2y) , dy = 8y - y ^ 2 bigg | _ {y = 0} ^ {y = 3} = 15. end { alinia*}]

Analiză

Cu oricare ordine de integrare, integrala dublă ne oferă un răspuns de (15 ). Am putea dori să interpretăm acest răspuns ca un volum în unități cubice ale solidului (S ) sub funcția (f (x, y) = 3x ^ 2 - y ) peste regiunea (R = [0, 2] times [0,3] ). Totuși, amintiți-vă că interpretarea unei integrale duble ca volum (nesemnat) funcționează numai atunci când integrandul (f ) este o funcție non-negativă peste regiunea de bază (R ).

Exercițiu ( PageIndex {3} )

A evalua

[ int_ {y = -3} ^ {y = 2} int_ {x = 3} ^ {x = 5} (2 - 3x ^ 2 + y ^ 2) , dx , dy. fără număr]

Aluzie

Folosiți teorema lui Fubini.

Răspuns

(- frac {1340} {3} )

În exemplul următor vedem că poate fi de fapt benefic să comutăm ordinea integrării pentru a face calculul mai ușor. Vom reveni la această idee de mai multe ori în acest capitol.

Exemplu ( PageIndex {7} ): Comutarea ordinii de integrare

Luați în considerare integralul dublu ( displaystyle iint_R x , sin (xy) , dA ) peste regiune (R = big {(x, y) , | , 0 leq x leq pi, , 1 leq y leq 2 big } ) (Figura ( PageIndex {7} )).

  1. Exprimați integrala dublă în două moduri diferite.
  2. Analizați dacă evaluarea integralei duble într-un fel este mai ușoară decât cealaltă și de ce.
  3. Evaluează integralul.
  1. Putem exprima ( iint_R x , sin (xy) , dA ) în următoarele două moduri: mai întâi prin integrarea față de (y ) și apoi cu privire la (x ); în al doilea rând prin integrarea față de (x ) și apoi față de (y ).
    [ iint_R x , sin (xy) , dA = int_ {x = 0} ^ {x = pi} int_ {y = 1} ^ {y = 2} x , sin (xy ) , dy , dx nonumber ]
    Integrați mai întâi în ceea ce privește (y ).
    [= int_ {y = 1} ^ {y = 2} int_ {x = 0} ^ {x = pi} x , sin (xy) , dx , dy nonumber ]
    Integrați mai întâi în ceea ce privește (x ).
  2. Dacă vrem să ne integrăm cu privire la y mai întâi și apoi se integrează față de (x ), vedem că putem utiliza substituția (u = xy ), care dă (du = x , dy ). Prin urmare, integrala interioară este pur și simplu ( int sin u , du ) și putem schimba limitele pentru a fi funcții de (x ),

[ iint_R x , sin (xy) , dA = int_ {x = 0} ^ {x = pi} int_ {y = 1} ^ {y = 2} x , sin (xy ) , dy , dx = int_ {x = 0} ^ {x = pi} left [ int_ {u = x} ^ {u = 2x} sin (u) , du right] , dx. nonumber ]

Cu toate acestea, integrarea față de (x ) mai întâi și apoi integrarea față de (y ) necesită integrarea de părți pentru integrala interioară, cu (u = x ) și (dv = sin (xy) dx )

Apoi (du = dx ) și (v = - frac { cos (xy)} {y} ), deci

[ iint_R x sin (xy) , dA = int_ {y = 1} ^ {y = 2} int_ {x = 0} ^ {x = pi} x sin (xy) , dx , dy = int_ {y = 1} ^ {y = 2} left [- frac {x , cos (xy)} {y} bigg | _ {x = 0} ^ {x = pi} + frac {1} {y} int_ {x = 0} ^ {x = pi} cos (xy) , dx right] , dy. nonumber ]

Deoarece evaluarea se complică, vom face doar calculul mai ușor de făcut, care este în mod clar prima metodă.

  1. Evaluați integrala dublă folosind calea mai ușoară.

[ begin {align *} iint_R x , sin (xy) , dA & = int_ {x = 0} ^ {x = pi} int_ {y = 1} ^ {y = 2} x , sin (xy) , dy , dx [4pt]
& = int_ {x = 0} ^ {x = pi} left [ int_ {u = x} ^ {u = 2x} sin (u) , du right] , dx = int_ { x = 0} ^ {x = pi} left [- cos u bigg | _ {u = x} ^ {u = 2x} right] , dx [4pt]
& = int_ {x = 0} ^ {x = pi} (- cos 2x + cos x) , dx [4pt]
& = left (- frac {1} {2} sin 2x + sin x right) bigg | _ {x = 0} ^ {x = pi} = 0. end {align *} ]

Exercițiu ( PageIndex {4} )

Evaluează integralul ( displaystyle iint_R xe ^ {xy} , dA ) unde (R = [0,1] times [0, ln 5] ).

Aluzie

Integrați mai întâi față de (y ).

Răspuns

( frac {4 - ln 5} { ln 5} )

Aplicații de integrale duble

Integralele duble sunt foarte utile pentru a găsi aria unei regiuni mărginită de curbele funcțiilor. Descriem această situație mai detaliat în secțiunea următoare. Cu toate acestea, dacă regiunea are o formă dreptunghiulară, îi putem găsi aria integrând funcția constantă (f (x, y) = 1 ) peste regiunea (R ).

Definiție: zona regiunii

Zona regiunii (R ) este dată de [A (R) = iint_R 1 , dA. ]

Această definiție are sens, deoarece folosirea (f (x, y) = 1 ) și evaluarea integralei îl fac un produs de lungime și lățime. Să verificăm această formulă cu un exemplu și să vedem cum funcționează.

Exemplu ( PageIndex {8} ): Găsirea zonei utilizând o integrală dublă

Găsiți zona regiunii (R = big {, (x, y) , | , 0 leq x leq 3, , 0 leq y leq 2 big } ) după folosind o integrală dublă, adică prin integrarea (1 ) peste regiune (R ).

Soluţie

Regiunea este dreptunghiulară cu lungimea (3 ) și lățimea (2 ), deci știm că zona este (6 ). Primim același răspuns atunci când folosim o integrală dublă:

[A (R) = int_0 ^ 2 int_0 ^ 3 1 , dx , dy = int_0 ^ 2 left [x big | _0 ^ 3 right] , dy = int_0 ^ 2 3 dy = 3 int_0 ^ 2 dy = 3y bigg | _0 ^ 2 = 3 (2) = 6 , text {units} ^ 2. Nonumber ]

Am văzut deja cum se pot utiliza integrale duble pentru a găsi volumul unui solid delimitat de o funcție (f (x, y) geq 0 ) pe o regiune (R ) furnizată (f (x, y) geq 0 ) pentru toate ((x, y) ) din (R ). Iată un alt exemplu pentru a ilustra acest concept.

Exemplu ( PageIndex {9} ): volumul unui paraboloid eliptic

Găsiți volumul (V ) al solidului (S ) care este delimitat de paraboloidul eliptic (2x ^ 2 + y ^ 2 + z = 27 ), planurile (x = 3 ) și (y = 3 ), și cele trei planuri de coordonate.

Soluţie

Observați mai întâi graficul suprafeței (z = 27 - 2x ^ 2 - y ^ 2 ) în Figura ( PageIndex {8} ) (a) și deasupra regiunii pătrate (R_1 = [-3,3 ] times [-3,3] ). Cu toate acestea, avem nevoie de volumul solidului delimitat de paraboloidul eliptic (2x ^ 2 + y ^ 2 + z = 27 ), de planele (x = 3 ) și (y = 3 ) și de trei planuri de coordonate.

Să vedem acum graficul suprafeței din Figura ( PageIndex {8} ) (b). Determinăm volumul (V ) evaluând integralul dublu peste (R_2 ):

[ begin {align *} V & = iint_R z , dA = iint_R (27 - 2x ^ 2 - y ^ 2) , dA [4pt]
& = int_ {y = 0} ^ {y = 3} int_ {x = 0} ^ {x = 3} (27 - 2x ^ 2 - y ^ 2) , dx , dy & & text { Conversia la integral literal.} [4pt]
& = int_ {y = 0} ^ {y = 3} [27x - frac {2} {3} x ^ 3 - y ^ 2x] bigg | _ {x = 0} ^ {x = 3} , dy & & text {Integrare în raport cu $ x $.} [4pt]
& = int_ {y = 0} ^ {y = 3} (63 - 3y ^ 2) dy = 63 y - y ^ 3 bigg | _ {y = 0} ^ {y = 3} = 162. end {alinia*}]

Exercițiu ( PageIndex {5} )

Găsiți volumul solidului delimitat mai sus de graficul (f (x, y) = xy sin (x ^ 2y) ) și mai jos de planul (xy ) - pe regiunea dreptunghiulară (R = [0,1] ori [0, pi] ).

Aluzie

Graficează funcția, configurează integralul și folosește o integrală iterată.

Răspuns

( frac { pi} {2} )

Reamintim că am definit valoarea medie a unei funcții a unei variabile pe un interval ([a, b] ) ca

[f_ {ave} = frac {1} {b - a} int_a ^ b f (x) , dx. ]

În mod similar, putem defini valoarea medie a unei funcții a două variabile într-o regiune (R ). Principala diferență este că împărțim la o zonă în loc de lățimea unui interval.

Definiție: VALOAREA MEDIE A UNEI FUNCȚII

valoarea medie a unei funcții a două variabile peste o regiune (R ) este

[F_ {ave} = frac {1} { text {Area of} , R} iint_R f (x, y) , dx , dy. ]

În exemplul următor găsim valoarea medie a unei funcții peste o regiune dreptunghiulară. Acesta este un bun exemplu de obținere a informațiilor utile pentru o integrare prin efectuarea de măsurători individuale pe o grilă, în loc să încercați să găsiți o expresie algebrică pentru o funcție.

Exemplu ( PageIndex {10} ): calcularea precipitațiilor medii de furtuni

Harta meteo din Figura ( PageIndex {9} ) prezintă un sistem de furtuni neobișnuit de umed asociat cu resturile uraganului Karl, care a aruncat 4–8 inci (100-200 mm) de ploaie în unele părți ale Midwestului în septembrie. 22-23, 2010. Suprafața precipitațiilor a măsurat 300 de mile est-vest și 250 mile nord-sud. Estimează precipitațiile medii pe întreaga zonă în acele două zile.

Soluţie

Plasați originea în colțul sud-vestic al hărții, astfel încât toate valorile să poată fi considerate ca fiind în primul cadran și, prin urmare, toate sunt pozitive. Acum împărțiți întreaga hartă în șase dreptunghiuri ((m = 2 ) și (n = 3) ), așa cum se arată în Figura ( PageIndex {9} ). Să presupunem că (f (x, y) ) indică precipitațiile furtunii în centimetri într-un punct de aproximativ (x ) mile la est de origine și (y ) mile la nord de origine. Fie (R ) să reprezinte întreaga suprafață de (250 ori 300 = 75000 ) mile pătrate. Atunci aria fiecărui subrectanglu este

[ Delta A = frac {1} {6} (75000) = 12500. nonumber ]

Să presupunem că ((x_ {ij} *, y_ {ij} *) ) sunt aproximativ punctele medii ale fiecărui subrectangul (R_ {ij} ). Rețineți regiunea codificată în culori în fiecare dintre aceste puncte și estimați precipitațiile. Precipitațiile din fiecare dintre aceste puncte pot fi estimate ca:

  • La ( (x_ {11}, y_ {11} )), precipitațiile sunt de 0,08.
  • La ( (x_ {12}, y_ {12} )), precipitațiile sunt de 0,08.
  • La ( (x_ {13}, y_ {13} )), precipitațiile sunt de 0,01.
  • La ( (x_ {21}, y_ {21} )), precipitațiile sunt de 1,70.
  • La ( (x_ {22}, y_ {22} )), precipitațiile sunt de 1,74.
  • La ( (x_ {23}, y_ {23} )), precipitațiile sunt de 3,00.

Conform definiției noastre, precipitațiile medii de furtună din întreaga zonă în acele două zile au fost

[ begin {align *} f_ {ave} = frac {1} {Area , R} iint_R & = f (x, y) , dx , dy = frac {1} {75000} iint_R f (x, y) , dx , dy [4pt]
& approx frac {1} {75000} sum_ {i = 1} ^ 3 sum_ {j = 1} ^ 2 f (x_ {ij} ^ *, y_ {ij} ^ *) Delta A [4pt]
& = frac {1} {75000} [f (x_ {11} ^ *, y_ {11} ^ *) Delta A + f (x_ {12} ^ *, y_ {12} ^ *) Delta A + f (x_ {13} ^ *, y_ {13} ^ *) Delta A + f (x_ {21} ^ *, y_ {21} ^ *) Delta A + f (x_ {22} ^ *, y_ {22} ^ *) Delta A + f (x_ {23} ^ *, y_ {23} ^ *) Delta A] [4pt]
& approx frac {1} {75000} [0,08 + 0,08 + 0,01 + 1,70 + 1,74 + 3,00] Delta A [4pt]
& = frac {1} {75000} [0,08 + 0,08 + 0,01 + 1,70 + 1,74 + 3,00] 12500 [4pt]
& = frac {1} {6} [0,08 + 0,08 + 0,01 + 1,70 + 1,74 + 3,00] [4pt] & approx 1,10 ; text {în}. end {align *} ]

În perioada 22-23 septembrie 2010, această zonă a avut o precipitație medie de furtună de aproximativ 1,10 inci.

Exercițiu ( PageIndex {6} )

O hartă de contur este afișată pentru o funcție (f (x, y) ) pe dreptunghi (R = [-3,6] times [-1, 4] ).

A. Utilizați regula punctului de mijloc cu (m = 3 ) și (n = 2 ) pentru a estima valoarea ( displaystyle iint_R f (x, y) , dA. )

b. Estimează valoarea medie a funcției (f (x, y) ).

Aluzie

Împărțiți regiunea în șase dreptunghiuri și utilizați liniile de contur pentru a estima valorile pentru (f (x, y) ).

Răspuns

Răspunsuri la ambele părți a. și b. poate varia.

Concepte cheie

  • Putem folosi o sumă dublă Riemann pentru a aproxima volumul unui solid delimitat mai sus de o funcție de două variabile pe o regiune dreptunghiulară. Luând limita, aceasta devine o integrală dublă reprezentând volumul solidului.
  • Proprietățile integralei duble sunt utile pentru a simplifica calculul și pentru a găsi limite asupra valorilor lor.
  • Putem folosi teorema lui Fubini pentru a scrie și a evalua o integrală dublă ca integrală iterată.
  • Integralele duble sunt utilizate pentru a calcula aria unei regiuni, volumul sub o suprafață și valoarea medie a unei funcții a două variabile pe o regiune dreptunghiulară.

Ecuații cheie

  • [ iint_R f (x, y) , dA = lim_ {m, n rightarrow infty} sum_ {i = 1} ^ m sum_ {j = 1} ^ nf (x_ij *, y_ij *) , ΔA nonumber ]
  • [ int_a ^ b int_c ^ d f (x, y) , dx , dy = int_a ^ b left [ int_c ^ d f (x, y) , dy right] dx nonumber ] sau

    [ int_c ^ d int_a ^ b f (x, y) , dx , dy = int_c ^ d left [ int_a ^ b f (x, y) , dx right] dy nonumber ]

  • [f_ {ave} = frac {1} { text {Area of} , R} iint_R f (x, y) , dx , dy nonumber ]

Glosar

integral dublu
a funcției (f (x, y) ) peste regiunea (R ) în planul (xy ) - este definit ca limita unei sume duble Riemann,
[ iint_R f (x, y) , dA = lim_ {m, n rightarrow infty} sum_ {i = 1} ^ m sum_ {j = 1} ^ nf (x_ {ij} ^ * , y_ {ij} ^ *) , Delta A. nonumber ]
suma Riemann dublă
a funcției (f (x, y) ) peste o regiune dreptunghiulară (R ) este
[ sum_ {i = 1} ^ m sum_ {j = 1} ^ n f (x_ {ij} ^ *, y_ {ij} ^ *) , Delta A, nonumber ]
unde (R ) este împărțit în subrectanguli mai mici (R_ {ij} ) și ((x_ {ij} ^ *, y_ {ij} ^ *) ) este un punct arbitrar în (R_ {ij} )
Teorema lui Fubini
dacă (f (x, y) ) este o funcție a două variabile care este continuă pe o regiune dreptunghiulară (R = big {(x, y) in mathbb {R} ^ 2 , | , a leq x leq b, , c leq y leq d big } ), atunci integrala dublă a (f ) peste regiune este egală cu o integrală iterată,
[ displaystyle iint_R f (x, y) , dA = int_a ^ b int_c ^ df (x, y) , dx , dy = int_c ^ d int_a ^ bf (x, y) , dx , dy nonumber ]
integrală iterată
pentru o funcție (f (x, y) ) peste regiunea (R ) este

A. (displaystyle int_a^b int_c^d f(x,y) ,dx , dy = int_a^b left[int_c^d f(x,y) , dy ight] , dx,)

b. (displaystyle int_c^d int_a^b f(x,y) , dx , dy = int_c^d left[int_a^b f(x,y) , dx ight] , dy,)

where (a,b,c), and (d) are any real numbers and (R = [a,b] imes [c,d])

Contributors and Attributions

  • Gilbert Strang (MIT) și Edwin „Jed” Herman (Harvey Mudd) cu mulți autori care contribuie. Acest conținut de OpenStax este licențiat cu o licență CC-BY-SA-NC 4.0. Descărcați gratuit la http://cnx.org.


15.1: Double Integrals over Rectangles - Mathematics

In accordance with official USC policy, a grade penalty of up to 10% may be assessed for any student missing more than 3 classes during the semester. Roll will be taken at the beginning of each class.

      Points/650     % of grade  
  Three hour exams:     100 pts. x 3     15% x 3  
  Examenul final:     200 pts.     30%  
  Quizzes:     150 pts.     25%  
  Total:     650 pts.     100%  

Extra credit voi nu be offered.

Letter grades will be assigned according to the following approximate scale unless otherwise noted:

  A     B     C     D     F  
  90 - 100     80 - 90     70 - 80     60 - 70     0 - 60  

Notă : The deadline to drop without a WF is Monday, October 10.

Make-up policy Neither missed quizzes nor missed exams will be made up. Exceptions may be made for exams missed due to documented illness/family emergency.

Please silence cell phones prior to class meetings.

Quiz and exam grades may be discussed only up to 7 days after being returned.

If you plan to leave class early, I ask that you inform before the lecture begins.

Do not be late to lecture. If you know that you will arrive late, I ask that you inform me in advance students arriving late should discreetly find an open seat.


Math 1451H

Final grades will be based on the total of 1000 points. You are guaranteed a grade based on the standard scale, that is: A >=9O% > B >=8O% > C >= 7O% > D >= 6O% > F . However, I will adjust the scale downward in case the distribution of scores indicates that I should.

Getting help

Syllabus (numbering follows chapters in the textbook)

VECTORS AND THE GEOMETRY OF SPACE

12.1 Coordinate systems
12.2 Vectors
12.3 The dot product
12.4 The cross product
12.5 Equations of lines and planes

13.1 Vector functions and space curves
13.2 Derivatives and integrals of vector functions
13.3 Arc length and curvature

14.1 Vector functions and space curves
14.2 Limits and continuity
14.3 Partial derivatives
14.4 Tangent planes and linear approximation
14.5 The chain rule
14.6 Directional derivatives
14.7 Maximum and minimum values
14.8 Lagrange multipliers

15.1 Double integrals over rectangles
15.2 Iterated integrals
15.3 Double integrals over general regions
15.4 Double integrals in polar coordinates

15.5 Applications of double integrals
15.6 Triple integrals
15.7 Triple integrals in cylindrical coordinates
15.8 Triple integrals in spherical coordinates
15.9 Change of variables

16.1 Vector fields
16.2 Line integrals
16.3 The fundamental theorem for line integrals
16.4 Green's theorem
16.5 Curl and divergence
16.6 Parametric surfaces
16.7 Surface integrals
16.8 Stokes's theorem
16.9 Divergence integrals


MATH 2060 @ Clemson University

MATH 2060 is a four credit hour course covering topics typically found in a multivariable calculus class. These topics include vectors and the geometry of space, functions of several variables, multiple integrals, vector functions, and vector calculus.

Basic Skills Test to Assess Readiness for MATH 2060

A basic skills test over topics from first-year calculus needed for success in MATH 2060 will be given online via WebAssign. The purpose of the test is help students assess their readiness for MATH 2060. The topics covered in MATH 1060 may be found at the MATH 1060 Homepage, while the topics from MATH 1080 are located at the MATH 1080 Homepage. A sheet of problems that review some of the concepts from a first-year calculus course at Clemson University can be downloaded here. Disclaimer: these problems are not to be considered a practice test for the content of the Basic Skills Test.

Manual

  • Option 1: The complete paperback version of Calculus: Early Transcendentals, Custom Edition for Clemson University, 7th edition, by James Stewart + access to WebAssign for the life of the edition of the text + a free student start guide to WebAssign. All text materials are in the paperback text and online homework, tutorials, and videos are accessed via WebAssign. NOTE: If you prefer to read the problems at the end of each section in your text instead of looking them up online, this is the option you should choose. This may also be the most expensive option.
  • Option 2: A used copy of Calcul multivariabil, Hybrid Edition, 7th edition, by James Stewart. Access to WebAssign will need to be purchased separately. The complete text is accessed online via WebAssign. Students should be aware that the problems at the end of each section are not in the printed paperback, but can be accessed online by opening the eBook in WebAssign. NOTE: If you don't mind going online to get to the problems at the end of each section, this option might suit your needs.
  • Option 3: A used copy of Calcul multivariabil, eBook, 7th edition, by James Stewart. Access to WebAssign will need to be purchased separately.
  • Option 4: A used copy of the complete hardback version of Calculus: Early Transcendentals, 7th edition, by James Stewart. Access to WebAssign will need to be purchased separately.

NOTĂ: If a student purchased a used text without access to WebAssign, he or she can purchase WebAssign access separately. WebAssign access also contains the eBook. WebAssign access codes can be purchased at the bookstore or from the textbook publisher.

Topic Coverage

MATH 2060 covers material found in the following sections of the textbook:

Capitol Sections Subiecte Notes
12 §§12.1-12.6 Three-Dimensional Coordinate Systems, Vectors, Dot Product, Cross Product, Equations of Lines and Planes, Cylinders and Quadric Surfaces
13 §§13.1-13.4 Vector Functions and Space Curves, Derivatives and Integrals of Vector Functions, Arc Length and Curvature, Motion in Space: Velocity and Acceleration
14 §§14.1-14.8 Functions of Several Variables, Limits and Continuity, Partial Derivatives, Tangent Planes and Linear Approximations, The Chain Rule, Directional Derivatives and the Gradient Vector, Maximum and Minimim Values, Lagrange Multipliers
15 §§15.1-15.9 Double Integrals over Rectangles, Iterated Integrals, Double Integrals over General Regions, Double Integrals in Polar Coordinates, Applications of Double Integrals, Triple Integrals, Triple Integrals in Cylindrical Coordinates, Triple Integrals in Spherical Coordinates §15.10 is optional
16 §§16.1-16.9 Vector Fields, Line Integrals, The Fundamental Theorem for Line Integrals, Green&rsquos Theorem, Curl and Divergence, Parametric Surfaces and Their areas, Surface Integrals, Stokes&rsquo Theorem, The Divergence Theorem

Learning Outcomes

  • Perform basic vector operations such as the dot product and cross product and utilize these operations in applications.
  • Find equations of lines and planes in 3-space, and identify basic quadric surfaces and cylinders.
  • Evaluate limits, derivatives, and integrals of vector-valued functions of one variable and for the associated curves find arc length, curvature, tangent lines, unit tangent vectors, principle unit normal vectors, and binormal vectors.
  • Compute limits, partial derivatives, directional derivatives, and gradients for functions of several variables, and use differentiation to determine tangent planes, relative extrema, and absolute extrema of continuous functions on closed and bounded regions for functions of several variables.
  • Use Lagrange multipliers to find extrema of a function subject to one constraint.
  • Evaluate multiple integrals in 2 and 3 dimensions, in various coordinate systems, and apply these integrals to calculate areas, volumes, surface areas, mass, and centers of mass.
  • Evaluate line integrals, surface integrals and flux integrals directly, and be able to apply the Fundamental Theorem of Calculus for Line Integrals, and Green&rsquos Theorem, Stokes&rsquo Theorem, and the Divergence Theorem appropriately.
  • Identify conservative vector fields and find potential functions for conservative vector fields.

Spring 2017 Instructors

Instructor Section(s) Technology Used
Sofia Alexeeva 006, 007, 009 WebAssign
Jonathan Leverenz 010 WebAssign
Hiram Lopez Valdez 001, 003 WebAssign
Muhammad Mohebujjaman 004 WebAssign
Timothy Parrott 002, 005, 100 WebAssign
Martin Schmoll 008 WebAssign

Last updated on 12/29/16. Maintained by Department of Mathematical Sciences . Server maintained by College Relations.
Copyright © 2016, Clemson University. All rights reserved.


Exemplul 1

Let $f(x, y) = 3x + 2y + 1$ and let $R = [0,1] imes [0, 1]$ . Find the volume trapped between $R$ , the surface generated by $f$ over $R$ , and the vertical lines that pass through $(0,0)$ , $(1,0)$ , $(1,1)$ and $(0, 1)$ .

First notice that $f$ lies above the $xy$ plane on $R = [0,1] imes [0, 1]$ .

We note that $Delta x = frac = frac<1 - 0> = frac<1>$ and $Delta y = frac = frac<1-0> = frac<1>$ , and so $Delta A = Delta x Delta y = frac<1> frac<1> = frac<1>$ .

Now we note that $x_i = iDelta x = frac$ and $y_j = j Delta y = frac$. Therefore $f(x_i, y_j) = frac<3i> + frac<2j> + 1$ .

Before we compute the limit, recall that $sum_^ a = frac<2>$ , $sum_^ C = bC$ where $C$ is any term that contains no $a$ 's. We use these identities a few times in simplifying the following limit:


Double integrals over rectangles

Finding volumes using double integrals

  • bounded below by the rectangle, $R=[a,b] imes[c,d]$ in the $xy$ plane,
  • Goes straight up from $R$,
  • Is bounded above by the surface, $f(x,y)$.
  • Split up $[a,b]$ into $m$ sub-intervals, split up $[c,d]$ into $n$ sub-intervals.

Approximate volume is $Vapproxsum_^msum_^n f(x_^*,y_^*)Delta A.$ where. $(x_^*,y_^*)$ is the coordinate of niste point in rectangle $R_$ $Delta A$ is the area of a rectangle with sides $Delta x=(b-a)/m$ and $Delta y=(d-c)/n$.

In the limit $Delta A o dA o 0$ this sum becomes exactly this integral $V=iint_R f(x,y)dA.$

To do

$langle f(x,y) angle$ above a rectangular region

Average value of a 1-dimensional function on the interval $[a,b]$: $egineq langle f(x) angle&=& frac<1>int_a^b f(x),dx &=&frac<1>int_a^b f(x),dx endeq$

If you chopped off all the area in the peaks above this line at $y=langle f(x) angle$, it would just fill in the area in the valleys below the line.

Analogously, for a function of $x$ and $y$. $egineqlangle f(x,y) angle &=& frac<1><(b-a)(d-c)>int_a^bint_c^d f(x,y),dy,dx &=& frac<1>int_a^bint_c^d f(x,y),dy,dx.endeq$

If you chopped off all the volume in the peaks above this plane surface at $z=langle f(x,y) angle$, it would just fill in the volume of the valleys below this plane.


Double Integral Tutorial



A series of free Engineering Mathematics video lessons.
How to cast and evaluate double integrals in polar co-ordinates and how to use double integrals to compute areas of shapes and regions.

Double integral tutorial
This video shows how to integrate over rectangles. The ideas use double integral and are seen in university mathematics.

Încercați calculatorul gratuit Mathway și rezolvarea problemelor de mai jos pentru a practica diverse subiecte matematice. Încercați exemplele date sau introduceți propria problemă și verificați răspunsul cu explicații pas cu pas.

Vă mulțumim pentru feedback, comentarii și întrebări despre acest site sau pagină. Vă rugăm să trimiteți feedback-ul sau întrebările dvs. prin intermediul paginii noastre de feedback.


Calculus III: Double Integrals

We have seen the definition of a definite integral for functions of single variables, by using the Riemann sum.

The definition of a definite integral of a function of single variable is :

b n
f(x) dx = limită Σ f(a + k Δx) Δx
A Δx → 0 k=1

Δx = (b - a)/n , and k = 1, 2, 3, .

Now we want to integrate a function of two variables f(x,y) . With functions of one variable we integrated over a region of 1D space R .

With function of two variables we will integrate over a region of 2D space R 2 . If we are integrate over the interval [a,b] for the variable x, and over the interval [c,d] for the variable y, then for the function of two variables f(x,y)we integrate over the rectangle R = [a, b] x [c, d]

Let's consider the graph of the surface S given by graphing a function of two variables f(x,y) over the rectangle R.

The integrale of a function of one variable is the area under its curve. The integrale of a function of two variables is its volume under its curve.

The integrale of f(f,y) is the volume delimited by the curve S and the rectangle R.

We divide up [a,b] into n subintervals and divide up [c,d] into m subintervals. This will divide up the rectangle R into a series of smaller rectangles and from each of these we will choose a point (a + iΔx, c + jΔy).

Over each of these smaller rectangles we will construct a box whose height is given by f(a + iΔx, c + jΔy).

Each of the boxes has a base area of Δx Δy and a height of f(a + iΔx, c + jΔy). So the volume of each of these boxes is f(a + iΔx, c + jΔy) Δx Δy .

The volume under the surface S is then approximately

To get a better estimation of the volume we will take n and m larger and larger and to get the exact volume we will need to take the limit as both n and m go to infinity. Acesta este

Finaly, all in one expression:

The double integral of f(x,y) over the rectangle R [a,b] x [c,d] is the volume under the function f(x,y) and above the xy-plane.

2. Computing Double Integrals : Iterated Integrals

Computing the integral, single integral or double integral Using the definition with the Riemann sum, is often tedious. We need a technique to actually compute double integrals.

We use, in practice, the method of iterated integrals. That is, we integrate over a first variable, and then we repete for the second variable.

Let's consider the function of two variables f(x,y) to integrate over the rectangle R = [a, b] x [c, d].

We need to calculate ∫∫ R f(x,y) dA

There are two ways, a similar process done with partial derivatives, to compute the integral:

• We think of all the x s as constants and integrate with respect to y or

• we think of all y s as constants and integrate with respect to x.

A first way is to integrate over the inner differential dx with its limits a and b, and then iterate for the outer differential dy with its limits c and d.

A second possibility is to integrate over the inner differential dy with its limits c and d, and then iterate for the differential dx with its limits a and b.

Fubini's theorem shows that the two ways leads to the same results:

3. Examples

Exemplul 1

∫∫R 2 x y dA, over the rectangle R = [2, 3] x [3, 8]

∫∫ R 2 x y dA =
2 3 ∫3 8 2 x y dx dy = ∫2 3 [∫3 8 2 x y dy] dx = ∫2 3 [∫3 8 2 x y dy] dx

We compute this by holding x constant and integrating with respect to y as if this were a single integral. This will give a function involving only x s which we can in turn integrate:

3 8 2 x y dy = 2 x (y 2 /2)|3 8 = 2 x (1/2) ( 64 - 9) = 55 x

2 3 55 x dx = 55 (x 2 /2)|2 3 = 55 (1/2) (9 - 4) = 275/2.

2 3 ∫3 8 2 x y dx dy = 275/2

Exemplul 2

∫∫R (x y 2 + 1) dA, over the rectangle R = [0, 1] x [0, x]

∫∫ R (x y 2 + 1) dA = ∫0 1 ∫0 x (x y 2 + 1) dx dy

To begin with, we integrate with respect to y:

[∫0 x (x y 2 + 1) dy] = (xy 3 /3 + y)|0 x = x 4 /3 + x

0 1 [x 4 /3 + x] dx = (x 5 /15 + x 2 /2)|0 1 = 1/15 + 1/2 = 17/30

0 1 ∫0 x (x y 2 + 1) dx dy = 17/30

Exemplul 3

As the derivative by parts, we can do the integral in either direction. However, sometimes one direction of integration is significantly easier than the other. Il is essential, before actually doing the integral, to make sure that the taken way is the easier one .

∫∫R x exp dA, over the rectangle R = [0, 1] x [0, 1]

To begin with, we integrate with respect to x:

The easier way is to do the following substitution:

u = x y , so du = y dx (y is taken constant)

∫ x exp dx = ∫ exp du = exp = exp . Asa de

0 1 (exp - 1 ) dy = (exp - y)|0 1 = (e - 1) - (1)) = e - 2

0 1 ∫0 1 x exp dx dy = e - 2

4. Separable functions

A function of two independent variables is said to be separable if it can be expressed as a product of two functions, each of them depending on only one variable.

So, if we can break up the function into a function only of x times a function of y then we can do the two integrals individually and multiply them together. Acesta este:

Exemplul 4


∫∫R x ln(y) dA, over the rectangle R = [0, 1] x [1, 2]

0 1 ∫1 2 x ln(y) dx dy = (∫0 1 x dx) (∫1 2 ln(y) dy) =
((x 2 /2)|0 1 ) ((y ln(y) - y )|1 2 ) = (1/2) (2ln(2) - 2 - (0 - 1)) =
(1/2) (2ln(2) - 2 - (0 - 1)) = ln(2)


How the Double Integral Calculator Works

The calculator on this page computes your double integral symbolically by using a computer algebra system. In symbolic integration, the computer uses algebra and integral rules to take the antiderivative of the function before applying the fundamental theorem of calculus. In essence, symbolic integration follows the same steps as a human with a paper and pencil would. It has the capability to attain near perfect solution accuracy. The calculator on this page is accurate to a minimum of the 5th decimal place!

The alternative to using symbolic integration to solve integrals is called numerical methods/integration. A numerical routine performs a relatively small, approximated version of the problem as many times as necessary to converge to an accurate solution. Generally, numerical routines can solve a greater range of problems but can take longer and potentially be less accurate.


Calculus: Early Transcendentals

Express $ D $ as a region of type $ I $ and also as a region of type $ II $. Then evaluate the double integral in two ways.

$ displaystyle iintlimits_D x dA $, $ D $ is enclosed by the lines $ y = x $ , $ y = 0 $, $ x = 1 $

Problema 14

Express $ D $ as a region of type $ I $ and also as a region of type $ II $. Then evaluate the double integral in two ways.

$ displaystyle iintlimits_D xy dA $, $ D $ is enclosed by the curves $ y = x^2 $ , $ y = 3x $

Problema 15

Set up iterated integrals for both orders of integration. Then evaluate the double integral using the easier order and explain why it's easier.

$ displaystyle iintlimits_D y dA $, $ D $ is bounded by $ y = x - 2 $, $ x = y^2 $

Problem 16

Set up iterated integrals for both orders of integration. Then evaluate the double integral using the easier order and explain why it's easier.

$ displaystyle iintlimits_D y^2 e^ dA $, $ D $ is bounded by $ y = x $, $ y = 4 $, $ x = 0 $

Problema 17

Evaluate the double integral.

$ displaystyle iintlimits_D x cos y dA $, $ D $ is bounded by $ y = 0 $, $ y = x^2 $, $ x = 1 $

Problem 18

Evaluate the double integral.

$ displaystyle iintlimits_D (x^2 + 2y) dA $, $ D $ is bounded by $ y = x $, $ y = x^3 $, $ x ge 0 $

Problem 19

Evaluate the double integral.

$ displaystyle iintlimits_D y^2 dA $, $ D $ is the triangular region with vertices $ (0, 1) $, $ (1, 2) $, $ (4, 1) $

Problem 20

Evaluate the double integral.

$ displaystyle iintlimits_D xy dA $, $ D $ is enclosed by the quarter-circle $ y = sqrt <1 - x^2>$, $ x ge 0 $, and the axes

Problema 21

Evaluate the double integral.

$ displaystyle iintlimits_D (2x - y) dA $, $ D $ is bounded by the circle with center the origin and radius 2

Problema 22

Evaluate the double integral.
$iint_ y d A, quad D$ is the triangular region with vertices (0,0) $(1,1),$ and (4,0)

Problem 23

Find the volume of the given solid.

Under the plane $ 3x + 2y - z = 0 $ and above the region enclosed by the parabolas $ y = x^2 $ and $ x = y^2 $

Problem 24

Find the volume of the given solid.

Under the surface $ z = 1 + x^2 y^2 $ and above the region enclosed by $ x = y^2 $ and $ x = 4 $

Problema 25

Find the volume of the given solid.

Under the surface $ z = xy $ and above the triangle with vertices $ (1, 1) $, $ (4, 1) $, and $ (1, 2) $

Problem 26

Find the volume of the given solid.

Enclosed by the paraboloid $ z = x^2 + y^2 + 1 $ and the planes $ x = 0 $, $ y = 0 $, $ z = 0 $, and $ x + y = 2 $

Problem 27

Find the volume of the given solid.

The tetrahedron enclosed by the coordinate planes and the plane $ 2x + y + z = 4 $

Problem 28

Find the volume of the given solid.

Bounded by the planes $ z = x $, $ y = x $, $ x + y = 2 $, and $ z = 0 $

Problem 29

Find the volume of the given solid.

Enclosed by the cylinders $ z = x^2 $, $ y = x^2 $ and the planes $ z = 0 $, $ y = 4 $

Problem 30

Find the volume of the given solid.

Bounded by the cylinder $ y^2 + z^2 = 4 $ and the planes $ x = 2y $, $ x = 0 $, $ z = 0 $ in the first octant

Problem 31

Find the volume of the given solid.

Bounded by the cylinder $ x^2 + y^2 = 1 $ and the planes $ y = z $, $ x = 0 $, $ z = 0 $ in the first octant

Problem 32

Find the volume of the given solid.

Bounded by the cylinders $ x^2 + y^2 = r^2 $ and $ y^2 + z^2 = r^2 $

Problem 33

Use a graphing calculator or computer to estimate the x-coordinates of the points of intersection of the curves $ y = x^4 $ and $ y = 3x - x^2 $. If $ D $ is the region bounded by these curves, estimate $ iint_D x dA $

Problem 34

Find the approximate volume of the solid in the first octant that is bounded by the planes $ y = x $, $ z = 0 $, and $ z = x $ and the cylinder $ y = cos x $. (Use a graphing device to estimate the points of intersection.)

Problem 35

Find the volume of the solid by subtracting two volumes.

The solid enclosed by the parabolic cylinders $ y = 1 - x^2 $, $ y = x^2 - 1 $ and the planes $ x + y + z = 2 $, $ 2x + 2y - z + 10 = 0 $

Problem 36

Find the volume of the solid by subtracting two volumes.

The solid enclosed by the parabolic cylinder $ y = x^2 $ and the planes $ z = 3y $, $ z = 2 + y $

Problem 37

Find the volume of the solid by subtracting two volumes.

The solid under the plane $ z = 3 $, above the plane $ z = y $, and between the parabolic cylinders $ y = x^2 $ and $ y = 1 - x^2 $

Problem 38

Find the volume of the solid by subtracting two volumes.

The solid in the first octant under the plane $ z = x + y $, above the surface $ z = xy $, and enclosed by the surfaces $ x = 0 $, $ y = 0 $, and $ x^2 + y^2 = 4 $

Problem 39

Sketch the solid whose volume is given by the iterated integral.

$ int_0^1 int_0^ <1 - x>(1 - x - y) dy dx $

Problem 40

Sketch the solid whose volume is given by the iterated integral.

Problem 41

Use a computer algebra system to find the exact volume of the solid.

Under the surface $ z = x^3 y^4 + xy^2 $ and above the region bounded by the curves $ y = x^3 - x $ and $ y = x^2 + x $ for $ x ge 0 $

Problem 42

Use a computer algebra system to find the exact volume of the solid.

Between the paraboloids $ z = 2x^2 + y^2 $ and $ z = 8 - x^2 - 2y^2 $ and inside the cylinder $ x^2 + y^2 = 1 $

Problem 43

Use a computer algebra system to find the exact volume of the solid.

Enclosed by $ z = 1 - x^2 - y^2 $ and $ z = 0 $

Problem 44

Use a computer algebra system to find the exact volume of the solid.

Enclosed by $ z = x^2 + y^2 $ and $ z = 2y $

Problem 45

Sketch the region of integration and change the order of integration.

$ displaystyle int_0^1 int_0^y f(x, y) dx dy $

Problem 46

Sketch the region of integration and change the order of integration.

$ displaystyle int_0^2 int_^4 f(x, y) dy dx $

Problem 47

Sketch the region of integration and change the order of integration.

$ displaystyle int_0^<2>> int_0^ f(x, y) dy dx $

Problem 48

Sketch the region of integration and change the order of integration.

$ displaystyle int_<-2>^2 int_0^> f(x, y) dx dy $

Problem 49

Sketch the region of integration and change the order of integration.

$ displaystyle int_1^2 int_0^ f(x, y) dy dx $

Problem 50

Sketch the region of integration and change the order of integration.

Problem 51

Evaluate the integral by reversing the order of integration.

$ displaystyle int_0^1 int_<3y>^3 e^ dx dy $

Problem 52

Evaluate the integral by reversing the order of integration.

$ displaystyle int_0^1 int_^1 sqrt sin y dy dx $

Problem 53

Evaluate the integral by reversing the order of integration.

$ displaystyle int_0^1 int_>^1 sqrt dy dx $

Problem 54

Evaluate the integral by reversing the order of integration.

$ displaystyle int_0^2 int_<2>>^1 y cos (x^3 - 1) dx dy $

Problem 55

Evaluate the integral by reversing the order of integration.

Problem 56

Evaluate the integral by reversing the order of integration.

$ displaystyle int_0^8 int_>^3 e^ dx dy $

Problem 57

Express $ D $ as a union of regions of type I or type II and evaluate the integral.

$ displaystyle iintlimits_D x^2 dA $, $ (1, 1) $

Problem 58

Express $ D $ as a union of regions of type I or type II and evaluate the integral.

$ displaystyle iintlimits_D y dA $, $ y = (x + 1)^2 $, $ x = y - y^3 $

Problem 59

Use Property 11 to estimate the value of the integral.

Problem 60

Use Property 11 to estimate the value of the integral.

$ displaystyle iintlimits_T sin^4 (x + y) dA $, $ T $ is the triangle enclosed by the lines $ y = 0 $, $ y = 2x $, and $ x = 1 $

Problem 61

Find the average value of $ f $ over the region $ D $.

$ f(x, y) = xy $, $ D $ is the triangle with vertices $ (0, 0) $, $ (1, 0) $, and $ (1, 3) $

Problem 62

Find the average value of $ f $ over the region $ D $.

$ f(x, y) = x sin y $, $ D $ is enclosed by the curves $ y = 0 $, $ y = x^2 $, and $ x = 1 $

Problem 63

Problem 64

In evaluating a double integral over a region $ D $, a sum of iterated integrals was obtained as follows:
$ displaystyle iintlimits_D f(x, y) dA = int_0^1 int_0^ <2y>f(x, y) dx dy + int_1^3 int_0^ <3 - y>f(x, y) dx dy $
Sketch the region $ D $ and express the double integral as an iterated integral with reversed order of integration.

Problem 65

Use geometry or symmetry, or both, to evaluate the double integral.

Problem 66

Use geometry or symmetry, or both, to evaluate the double integral.

$ displaystyle iintlimits_D sqrt dA $
$ D $ is the disk with center the origin and radius $ R $

Problem 67

Use geometry or symmetry, or both, to evaluate the double integral.

$ displaystyle iintlimits_D (2x + 3y) dA $
$ D $ is the rectangle $ 0 le x le a, 0 le y le b $

Problem 68

Use geometry or symmetry, or both, to evaluate the double integral.

$ displaystyle iintlimits_D (2 + x^2 y^3 - y^2 sin x) dA $
$ D = <(x, y) mid | x | + | y | le 1 >$

Problem 69

Use geometry or symmetry, or both, to evaluate the double integral.

$ displaystyle iintlimits_D (ax^3 + by^3 + sqrt) dA $
$ D = [-a, a] imes [-b, b] $

Problem 70

Graph the solid bounded by the plane $ x + y + z = 1 $ and the paraboloid $ z = 4 - x^2 - y^2 $ and find its exact volume. (Use your $ CAS $ to do the graphing, to find the equations of the boundary curves of the region of integration, and to evaluate the double integral.)


Priveste filmarea: Całka podwójna Oblicz całkę podwójną po obszarze D. Współrzędne biegunowe (Iulie 2022).


Comentarii:

  1. Zulkigul

    Cred că veți permite greșeala. Îmi pot apăra poziția.

  2. Osten

    Îmi cer scuze, dar, după părerea mea, nu ai dreptate. Sunt asigurat. Îi sugerez să discute. Scrie -mi în PM, vom comunica.

  3. Brentan

    Cred că te înșeli. Sa discutam.

  4. Wynn

    Nu ai dreptate. O pot dovedi. Trimite un e-mail la PM, vorbim.

  5. Ninos

    Gresesti. Îmi propun să discut despre asta. Trimiteți -mi un e -mail la pm, vom vorbi.



Scrie un mesaj