Articole

1.7: Teorema lui Lame - Matematică

1.7: Teorema lui Lame - Matematică


We are searching data for your request:

Forums and discussions:
Manuals and reference books:
Data from registers:
Wait the end of the search in all databases.
Upon completion, a link will appear to access the found materials.

În această secțiune, oferim o estimare a numărului de pași necesari pentru a găsi cel mai mare divizor comun al a două numere întregi folosind algoritmul euclidian. Pentru a face acest lucru, trebuie să introducem numerele Fibonacci pentru a demonstra o lemă care oferă o estimare a creșterii numerelor Fibonacci în secvența Fibonacci. Lema pe care o dovedim va fi folosită în dovada teoremei lui Lame.

Secvența Fibonacci este definită recursiv prin (f_1 = 1 ), (f_2 = 1 ) și [f_ {n} = f_ {n-1} + f_ {n-2} mbox {for} n geq 3. ] Termenii din succesiune se numesc numere Fibonacci.

În lema următoare, dăm o limită inferioară creșterii numerelor Fibonacci. Vom arăta că numerele Fibonacci cresc mai repede decât o serie geometrică cu raport comun ( alpha = (1+ sqrt {5}) / 2 ).

[lem2] Pentru (n geq 3 ), avem (f_n> alpha ^ {n-2} ) unde ( alpha = (1+ sqrt {5}) / 2 ).

Folosim al doilea principiu al inducției matematice pentru a ne dovedi rezultatul. Este ușor de văzut că acest lucru este adevărat pentru (n = 3 ) și (n = 4 ). Să presupunem că ( alpha ^ {k-2}

Prezentăm acum teorema lui Lame.

folosind algoritmul euclidian pentru a găsi cel mai mare divizor comun al a două numere întregi pozitive are un număr de diviziuni mai mic sau egal de cinci ori numărul de cifre zecimale din minimul celor două numere întregi.

Fie (a ) și (b ) două numere întregi pozitive unde (a> b ). Aplicând algoritmul euclidian pentru a găsi cel mai mare divizor comun din două numere întregi cu (a = r_0 ) și (b = r_1 ), obținem [ begin {align} r_0 & = & r_1q_1 + r_2 leq r_2 alpha ^ {n-1} ) pentru (n> 2 ). Drept urmare, avem (b> alpha ^ {n-1} ). Acum observați, deoarece [ log_ {10} alpha> frac {1} {5}, ] vedem că [log_ {10} b> (n-1) / 5. ] Astfel avem [ n-1 <5log_ {10} b. ] Acum, să (b ) are (k ) cifre zecimale. Ca rezultat, avem (b <10 ^ k ) și astfel (log_ {10} b

Exerciții

  1. Găsiți o limită superioară pentru numărul de pași din algoritmul euclidian care este utilizat pentru a găsi cel mai mare divizor comun al 38472 și 957748838.
  2. Găsiți o limită superioară pentru numărul de pași din algoritmul euclidian care este utilizat pentru a găsi cel mai mare divizor comun al 15 și 75. Verificați rezultatul folosind algoritmul euclidian pentru a găsi cel mai mare divizor comun al celor două numere întregi.

Matematică discretă - Curs 1.7 Introducere în dovezi

Definiție: o teoremă este o afirmație care poate fi demonstrată a fi adevărată.

Demonstrăm că o teoremă este adevărată cu o dovadă (argument valid) folosind: - Definiții - Alte teoreme - Reguli de inferență - Axiome

O lemă este o „teoremă de ajutor” sau un rezultat necesar pentru a demonstra o teoremă.

Un corolar este un rezultat care rezultă direct dintr-o teoremă.

Teoreme mai puțin importante sunt uneori numite propoziții.

O presupunere este o afirmație care se propune a fi adevărată. Odată găsită o dovadă a unei presupuneri, aceasta devine o teoremă. Se poate dovedi a fi fals.

Forme de teoreme - Multe teoreme afirmă că o proprietate este valabilă pentru toate elementele dintr-un domeniu, cum ar fi numerele întregi, numerele reale sau unele dintre structurile discrete pe care le vom studia în această clasă. - Adesea cuantificatorul universal (necesar pentru o afirmație precisă a teoremei) este omis de convenția matematică standard.

„Dacă 푥푥 & ampampgt 푦푦, unde 푥푥 și 푦푦 sunt numere reale pozitive, atunci 푥푥 2 & ampampgt 푦푦 2”

Metode de demonstrare a teoremelor

În dovada directă arătăm că condiționalul 푝푝 → 푞푞 este adevărat. Presupunem că 푝푝 este adevărat și arătăm că 푞푞 trebuie să fie adevărat

Definiție: Întregul 푛푛 este chiar dacă există un întreg 푘푘 astfel încât 푛푛 = 2 푛푛, iar 푛푛 este impar dacă există un întreg 푘푘, astfel încât 푛푛 = 2 푘푘 + 1. Rețineți că fiecare număr întreg este par sau impar și nici un număr întreg nu este atât par, cât și impar.

Exemplu: Dați o dovadă directă a teoremei „Dacă 푛푛 este un număr impar, atunci 푛푛 2 este impar.”

Exemplu: Dați o dovadă directă a teoremei „Dacă 푛푛 este un pătrat perfect, atunci 푛푛 + 2 NU este un pătrat perfect.”

Să presupunem că vrem să dovedim că o afirmație 푝푝 este adevărată. Presupunem 푝푝 ∧¬ 푞푞, apoi arătăm că acest lucru duce la o contradicție.

Exemplu: Dovediți că dacă 푛푛 este un număr întreg și 푛푛 3 + 5 este impar, atunci 푛푛 utilizează chiar și a. o dovadă prin contrapunere b. o dovadă prin contradicție

Exemplu: Arătați că, dacă alegeți trei șosete dintr-un sertar care conține doar șosete albastre și șosete negre, trebuie să obțineți fie o pereche de șosete albastre, fie o pereche de șosete negre.

Exemplu: „Dacă plouă, atunci 1 = 1”.

Exemplu: „Dacă sunt bogat și sărac, atunci 2 + 2 = 5.”

Chiar dacă aceste exemple par prostești, atât dovezi banale, cât și vacante sunt adesea folosite în inducția matematică, așa cum vom vedea mai târziu.

Dovezi ale echivalenței: Pentru a dovedi o teoremă care este afirmație bicondițională, adică 푝푝 ↔ 푞푞, arătăm că 푝푝 → 푞푞 și 푞푞 → 푝푝 sunt AMBI adevărate.

Contraexemple: Când considerăm că o afirmație a formei ∀ 푥푥 푥푥 (푥푥) este falsă, căutăm un contraexemplu.

Exemplu: Arătați că afirmația „Fiecare număr întreg pozitiv este suma pătratelor a două numere întregi” este falsă.


Capitolul 7. Ecuația Laplace

Luați în considerare problema begin & amp Delta u-cu = f & amp & amp text mathcal, eticheta [3pt] & amp u = g & amp & amp textEticheta Gamma_- [3pt] & amp partial_ nu u - alpha u = h & amp & amp textEticheta Gamma _ + Sfârșit unde $ mathcal$ este un domeniu delimitat conectat, $ Gamma $ limita sa (netedă), constând din două părți care nu se intersectează $ Gamma _- $ și $ Gamma _ + $ și $ nu $ o unitate interioară normală la $ Gamma $ , $ partial_ nu u: = nabla u cdot nu $ este un derivat normal al funcțiilor cu valoare reală de $ u $, $ c $ și $ alpha $.

începe - & amp int_ mathcal fu , dxdy = - int_ mathcal (u Delta u-cu ^ 2) , dxdy [3pt] = & amp int_ mathcal (| nabla u | ^ 2 + cu ^ 2) , dxdy + int _ Gamma u partial_ nu u , ds [3pt] = & amp int_ mathcal (| nabla u | ^ 2 + cu ^ 2) , dxdy + int _ < Gamma _-> g partial_ nu u , ds + int _ < Gamma _ +> ( alpha u ^ 2 + hu) , ds end unde să trecem de la prima linie la a doua am folosit egalitatea $ u Delta u = nabla (u cdot u) - | nabla u | ^ 2 $ și formula Gauss și pentru a trece la a treia linie am folosit $ u = g $ pe $ Gamma _- $ și $ partial_ nu u = alpha u + h $ pe $ Gamma _ + $. Prin urmare, presupunând că begin c ge 0, qquad alpha ge 0 label Sfârșit concluzionăm că $ f = g = h0 implică nabla u = 0 $ și apoi $ u = const $ și dacă nu begin c equiv 0, quad alpha equiv 0, qquad Gamma _- = emptyset label Sfârșit concluzionăm că $ u = 0 $.

Deci, dacă ( ref) este îndeplinită dar ( ref) nu reușește problema ( ref) - ( ref) nu are mai mult de o soluție (explicați de ce). Se poate demonstra că soluția există (scuze, nu avem instrumente analitice pentru aceasta).

Teorema 1. Dacă ( ref) este îndeplinită dar ( ref) nu reușește problema ( ref) - ( ref) este soluționabil în mod unic.

Să presupunem acum că ( ref) este îndeplinită. Atunci $ u = C $ este o soluție cu $ f = h = 0 $. Deci, problema nu are mai mult de o soluție modulo constantă. De asemenea begin int_ mathcalf , dxdy = int_ mathcal Delta u , dxdy = - int_ Gamma partial_ nu u , ds end și deci soluție de begin & amp Delta u = f & amp & amp text mathcal,eticheta [3pt] & amp partial_ nu u = h & amp & amp textEticheta Gamma Sfârșit nu există decât dacă begin int_ mathcalf , dxdy + int_ Gamma h , ds = 0. eticheta Sfârșit Se poate dovedi că în ipoteza ( ref) soluția există (îmi pare rău, nu avem instrumente analitice pentru aceasta).

  1. Dacă ( ref) este îndeplinită problema ( ref) - ( ref) are o soluție if ( ref) este îndeplinită.
  2. Această soluție este unică în condiții suplimentare begin int_ mathcal u , dx = 0. eticheta Sfârșit

Observația 1. Sigur, aceste argumente și rezultate sunt în orice dimensiune.


1.7: Teorema lui Lame - Matematică

Toate articolele publicate de MDPI sunt puse la dispoziție imediat în întreaga lume sub o licență de acces deschis. Nu este necesară nicio permisiune specială pentru refolosirea totală sau parțială a articolului publicat de MDPI, inclusiv cifrele și tabelele. Pentru articolele publicate sub o licență Creative BY CC Open acces, orice parte a articolului poate fi refolosită fără permisiune, cu condiția ca articolul original să fie clar citat.

Documentele de funcții reprezintă cea mai avansată cercetare cu potențial semnificativ de impact ridicat în domeniu. Lucrările sunt prezentate la invitația sau recomandarea individuală de către editorii științifici și sunt supuse unei evaluări inter pares înainte de publicare.

Feature Paper poate fi fie un articol original de cercetare, un studiu substanțial de cercetare roman care implică adesea mai multe tehnici sau abordări, fie o lucrare de revizuire cuprinzătoare cu actualizări concise și precise cu privire la ultimele progrese în domeniu care revizuiesc sistematic cele mai interesante progrese în domeniul științific literatură. Acest tip de hârtie oferă o perspectivă asupra direcțiilor viitoare de cercetare sau a posibilelor aplicații.

Articolele Editor’s Choice se bazează pe recomandările editorilor științifici ai revistelor MDPI din întreaga lume. Editorii selectează un număr redus de articole publicate recent în revistă, care consideră că vor fi deosebit de interesante pentru autori sau importante în acest domeniu. Scopul este de a oferi un instantaneu al unora dintre cele mai interesante lucrări publicate în diferitele domenii de cercetare ale revistei.


1.7: Teorema lui Lame - Matematică

Toate articolele publicate de MDPI sunt puse la dispoziție imediat în întreaga lume sub o licență de acces deschis. Nu este necesară nicio permisiune specială pentru refolosirea totală sau parțială a articolului publicat de MDPI, inclusiv cifrele și tabelele. Pentru articolele publicate sub o licență Creative BY CC Open acces, orice parte a articolului poate fi refolosită fără permisiune, cu condiția ca articolul original să fie clar citat.

Documentele de funcții reprezintă cea mai avansată cercetare cu potențial semnificativ de impact ridicat în domeniu. Lucrările sunt prezentate la invitația sau recomandarea individuală de către editorii științifici și sunt supuse unei evaluări inter pares înainte de publicare.

Feature Paper poate fi fie un articol original de cercetare, un studiu substanțial de cercetare roman care implică adesea mai multe tehnici sau abordări, fie o lucrare de revizuire cuprinzătoare cu actualizări concise și precise cu privire la ultimele progrese în domeniu care revizuiesc sistematic cele mai interesante progrese în domeniul științific literatură. Acest tip de hârtie oferă o perspectivă asupra direcțiilor viitoare de cercetare sau a posibilelor aplicații.

Articolele Editor’s Choice se bazează pe recomandările editorilor științifici ai revistelor MDPI din întreaga lume. Editorii selectează un număr redus de articole publicate recent în revistă, care consideră că vor fi deosebit de interesante pentru autori sau importante în acest domeniu. Scopul este de a oferi un instantaneu al unora dintre cele mai interesante lucrări publicate în diferitele domenii de cercetare ale revistei.


Micile goluri între primii

Introducem un rafinament al metodei site-ului GPY pentru studierea primelor $ k $ -tupluri și a diferențelor mici între primele. Acest rafinament evită limitările anterioare ale metodei și ne permite să arătăm că pentru fiecare $ k $, conjectura primară $ k $ -tuple este valabilă pentru o proporție pozitivă de $ k $ -tuple admisibile. În special, $ liminf_(p_-p_n) [ElliottHalberstam] P. D. T. A. Elliott și H. Halberstam, „o conjectură în teoria numerelor prime”, „în Symposia Mathematica, Vol. IV, Londra: Academic Press, 1970, pp. 59-72.

[FriedlanderGranville] J. Friedlander și A. Granville, „Limitări la distribuția echi a primilor. Eu, & quot Ann. de matematică., vol. 129, iss. 2, pp. 363-382, 1989. [GGPY] D. A. Goldston, S. W. Graham, J. Pintz și C. Y. Yildirim, "Micile decalaje între produsele a două numere prime" Proc. Lond. Matematica. Soc., vol. 98, iss. 3, pp. 741-774, 2009. [GPY: ManyPrimes] D. A. Goldston, J. Pintz și C. Y. Yildirim, „Primele în tupluri. III. La diferența $ p_-p_n $, & quot Funct. Aproximativ. Cometariu. Matematica., vol. 35, pp. 79-89, 2006. [GPY] D. A. Goldston, J. Pintz și C. Y. Yildirim, „Primele în tupluri. Eu, & quot Ann. de matematică., vol. 170, iss. 2, pp. 819-862, 2009. [GoldstonYildirim] D. A. Goldston și C. Y. Yildirim, & „Corelații mai mari ale sumelor divizoare legate de primii. III. Distanțe mici între primii, & quot Proc. Lond. Matematica. Soc., vol. 95, iss. 3, pp. 653-686, 2007.

Soluții matematice pentru clasa 7 Matematică Capitolul 14 - Teorema lui Pitagora

Soluții de Matematică Soluții pentru Clasa 7 Matematică Capitolul 14 Teorema lui Pitagora sunt furnizate aici cu explicații simple pas cu pas. Aceste soluții pentru teorema lui Pitagora sunt extrem de populare în rândul studenților din clasa a 7-a pentru Matematica. Soluțiile teoremei lui Pitagora sunt la îndemână pentru finalizarea rapidă a temelor și pregătirea pentru examene. Toate întrebările și răspunsurile din Cartea Soluțiilor de matematică din clasa 7 Matematica Capitolul 14 sunt furnizate aici gratuit. Vă va plăcea, de asemenea, experiența fără reclame la soluțiile de soluții matematice ale Meritnation. Toate soluțiile de soluții de matematică pentru clasa a 7-a de matematică sunt pregătite de experți și sunt 100% precise.

Pagina nr. 90:

Intrebarea 1:

În figurile de mai jos, găsiți valoarea lui # 39X'.

Răspuns:

În triunghiul dreptunghiular LMN, & angM = 90 ∘. Prin urmare, partea LN este hipotenuza.
Conform teoremei lui Pitagora,
l(LN) 2 = l(LM) 2 + l(MN) 2
& rArr (X) 2 = (7) 2 + (24) 2
& rArrX 2 = 49 + 576
& rArrX 2 = 625
& rArrX 2 = (25) 2
& rArrX = 25
& acolo4 valoarea lui X este 25.

În triunghiul unghiular PQR, & angQ = 90 ∘. Prin urmare, partea PR este hipotenuza.
Conform teoremei lui Pitagora,
l(PR) 2 = l(QR) 2 + l(PQ) 2
& rArr (41) 2 = (X) 2 + (9) 2
& rArr1681 = X 2 + 81
& rArrX 2 = 1681 și minus 81
& rArrX 2 = 1600
& rArrX 2 = (40) 2
& rArrX = 40
& acolo4 valoarea lui X este 40.

În triunghiul unghiular EDF, & angD = 90 ∘. Prin urmare, latura EF este hipotenuza.
Conform teoremei lui Pitagora,
l(EF) 2 = l(ED) 2 + l(DF) 2
& rArr (17) 2 = (X) 2 + (8) 2
& rArr289 = X 2 + 64
& rArrX 2 = 289 și minus 64
& rArrX 2 = 225
& rArrX 2 = (15) 2
& rArrX = 15
& acolo4 valoarea lui X este 15.

Pagina nr. 90:

Intrebarea 2:

În ∆PQR unghiular, & ang P = 90 & deg. Dacă l(PQ) = 24 cm și l(PR) = 10 cm, găsiți lungimea seg QR.

Răspuns:


În triunghiul unghiular PQR, & angP = 90 ∘. Prin urmare, partea QR este hipotenuza.
Conform teoremei lui Pitagora,
l(QR) 2 = l(PQ) 2 + l(PR) 2
& rArrl(QR) 2 = (24) 2 + (10) 2
& rArrl(QR) 2 = 576 + 100
& rArrl(QR) 2 = 676
& rArrl(QR) 2 = (26) 2
& rArrl(QR) = 26
& there4 Lungimea seg QR = 26 cm.

Pagina nr. 90:

Întrebarea 3:

În ∆LMN unghi drept, & ang M = 90 & deg. Dacă l(LM) = 12 cm și l(LN) = 20 cm, găsiți lungimea seg MN.

Răspuns:

În triunghiul unghi drept LMN, & angM = 90 ∘. Prin urmare, partea LN este hipotenuza.
Conform teoremei lui Pitagora,
l(LN) 2 = l(MN) 2 + l(LM) 2
& rArr (20) 2 = l(MN) 2 + (12) 2
& rArr400 = l(MN) 2 + 144
& rArrl(MN) 2 = 400 și minus 144
& rArrl(MN) 2 = 256
& rArrl(MN) 2 = (16) 2
& rArrl(MN) = 16
& there4 Lungimea seg MN = 16 cm.

Pagina nr. 90:

Întrebarea 4:

Vârful unei scări de 15 m lungime ajunge la o fereastră la 9 m deasupra solului. Care este distanța dintre baza peretelui și cea a scării?

Răspuns:

Să fie LN scara de lungime 15 m care se sprijină de un perete. Fie M baza peretelui și L poziția ferestrei.
Fereastra este la 9 m deasupra solului. Acum, MN este distanța dintre baza peretelui și cea a scării.
În triunghiul dreptunghiular LMN, & angM = 90 ∘. Prin urmare, partea LN este hipotenuza.
Conform teoremei lui Pitagora,
l(LN) 2 = l(MN) 2 + l(LM) 2
& rArr (15) 2 = l(MN) 2 + (9) 2
& rArr225 = l(MN) 2 + 81
& rArrl(MN) 2 = 225 și minus 81
& rArrl(MN) 2 = 144
& rArrl(MN) 2 = (12) 2
& rArrl(MN) = 12
& there4 Lungimea seg MN = 16 m.
Prin urmare, distanța dintre baza peretelui și cea a scării este de 12 m.

Pagina nr. 90:

Intrebarea 1:

Găsiți tripletele pitagoreice dintre următoarele seturi de numere.
(i) 3, 4, 5
(ii) 2, 4, 5
(iii) 4, 5, 6
(iv) 2, 6, 7
(v) 9, 40, 41
(vi) 4, 7, 8

Răspuns:


Se știe că, dacă într-un triplet de numere naturale, pătratul celui mai mare număr este egal cu suma pătratelor celorlalte două numere, atunci cele trei numere formează un triplet pitgorean.

(i) Setul de numere dat este (3, 4, 5).
Cel mai mare număr dintre setul dat este 5.
5 2 = 25 4 2 = 16 3 2 = 9
Acum, 16 + 9 = 25
& there4 4 2 + 3 2 = 5 2
Astfel, (3, 4, 5) formează un triplet pitagoric.

(ii) Setul de numere dat este (2, 4, 5).
Cel mai mare număr dintre setul dat este 5.
5 2 = 25 4 2 = 16 2 2 = 4
Acum, 16 + 4 = 20 & ne 25
& there4 4 2 + 2 2 & ne 5 2
Astfel, (2, 4, 5) nu formează un triplet pitagoric.

(iii) Setul de numere dat este (4, 5, 6).
Cel mai mare număr dintre setul dat este 6.
6 2 = 36 5 2 = 25 4 2 = 16
Acum, 25 + 16 = 41 & ne 36
& there4 5 2 + 4 2 & ne 6 2
Astfel, (4, 5, 6) nu formează un triplet pitagoric.

(iv) Setul de numere dat este (2, 6, 7).
Cel mai mare număr dintre setul dat este 7.
7 2 = 49 6 2 = 36 2 2 = 4
Acum, 4 + 36 = 40 & ne 49
& there4 2 2 + 6 2 & ne 7 2
Astfel, (2, 6, 7) nu formează un triplet pitagoric.

(v) Setul de numere dat este (9, 40, 41).
Cel mai mare număr dintre setul dat este 41.
9 2 = 81 40 2 = 1600 41 2 = 1681
Acum, 81 + 1600 = 1681
& there4 9 2 + 40 2 = 41 2
Astfel, (9, 40, 41) formează un triplet pitagoric.

(vi) Setul de numere dat este (4, 7, 8).
Cel mai mare număr dintre setul dat este 8.
8 2 = 64 7 2 = 49 4 2 = 16
Acum, 16 + 49 = 65 & ne 64
& there4 4 2 + 7 2 & ne 8 2
Astfel, (4, 7, 8) nu formează un triplet pitagoric.

Pagina nr. 90:

Intrebarea 2:

Laturile unor triunghiuri sunt date mai jos. Aflați care sunt triunghiurile unghiulare?
(i) 8, 15, 17
(ii) 11, 12, 15
(iii) 11, 60, 61
(iv) 1,5, 1,6, 1,7
(v) 40, 20, 30

Răspuns:


Se știe că, dacă într-un triplet de numere naturale, pătratul celui mai mare număr este egal cu suma pătratelor celorlalte două numere, atunci cele trei numere formează un triplet pitgorean. Dacă lungimile laturilor unui triunghi formează un astfel de triplet, atunci triunghiul este un triunghi unghiular dreptunghiular.

(i) Laturile triunghiului dat sunt 8, 15 și 17.
Să verificăm dacă setul dat (8, 15, 17) formează un triplet pitagoric sau nu.
Cel mai mare număr dintre setul dat este 17.
(17) 2 = 289 (15) 2 = 225 (8) 2 = 64
Acum, 225 + 64 = 289
& there4 (15) 2 + (8) 2 = (17) 2
Astfel, (8, 15, 17) formează un triplet pitagoric.
Prin urmare, triunghiul dat cu laturile 8, 15 și 17 este un triunghi unghiular.

(ii) laturile triunghiului dat sunt 11, 12 și 15.
Să verificăm dacă setul dat (11, 12, 15) formează un triplet pitagoric sau nu.
Cel mai mare număr dintre setul dat este 15.
(15) 2 = 225 (11) 2 = 121 (12) 2 = 144
Acum, 121 + 144 = 265 și ne 225
& there4 (11) 2 + (12) 2 & ne (15) 2
Astfel, (11, 12, 15) nu formează un triplet pitagoric.
Prin urmare, triunghiul dat cu laturile 8, 15 și 17 nu este un triunghi unghiular.

(iii) laturile triunghiului dat sunt 11, 60 și 61.
Să verificăm dacă setul dat (11, 60, 61) formează un triplet pitagoric sau nu.
Cel mai mare număr dintre setul dat este 61.
(61) 2 = 3721 (11) 2 = 121 (60) 2 = 3600
Acum, 121 + 3600 = 3721
& there4 (11) 2 + (60) 2 = (61) 2
Astfel, (11, 60, 61) formează un triplet pitagoric.
Prin urmare, triunghiul dat cu laturile 11, 60 și 61 este un triunghi unghiular.

(iv) Laturile triunghiului dat sunt 1,5, 1,6 și 1,7.
Să verificăm dacă setul dat (1.5, 1.6, 1.7) formează un triplet pitagoric sau nu.
Cel mai mare număr dintre setul dat este de 1,7.
(1.7) 2 = 2.89 (1.5) 2 = 2.25 (1.6) 2 = 2.56
Acum, 2,25 + 2,56 = 4,81 și ne 2,89
& there4 (1,5) 2 + (1,6) 2 & ne (1,7) 2
Astfel, (1,5, 1,6, 1,7) nu formează un triplet pitagoric.
Prin urmare, triunghiul dat cu laturile 1.5, 1.6 și 1.7 nu este un triunghi unghiular.

(v) Laturile triunghiului dat sunt 40, 20 și 30.
Să verificăm dacă setul dat (40, 20, 30) formează un triplet pitagoric sau nu.
Cel mai mare număr dintre setul dat este 40.
(40) 2 = 1600 (20) 2 = 400 (30) 2 = 900
Acum, 400 + 900 = 1300 și 1600
& there4 (20) 2 + (30) 2 & ne (40) 2
Astfel, (40, 20, 30) nu formează un triplet pitagoric.
Prin urmare, triunghiul dat cu laturile 40, 20 și 30 nu este un triunghi unghiular.


Gabriel Lamé

Gabriel Lamé a fost student la École Polytechnique, a intrat în 1813 și a absolvit în 1817. Deja în acești ani de licență, Lamé scria lucrări de cercetare și a publicat prima sa lucrare Mémoire sur les intersections des lines and des surfaces Ⓣ în Jurnalul lui Gergonne în 1816 - 17. După ce a absolvit École Polytechnique, Lamé a studiat ingineria la École des Mines din Paris, absolvind acolo în 1820. În timp ce la École des Mines Lamé și-a publicat a doua lucrare, de data aceasta pe o metodă pe care a inventat-o ​​pentru a calcula unghiurile dintre fețele cristalelor.

În 1820, Lamé, împreună cu colegul său Émile Clapeyron, au plecat în Rusia. Ar trebui să oferim un anumit fundal acestui eveniment care, în fața acestuia, pare mai degrabă o mișcare de carieră ciudată pentru cei doi tineri matematicieni. Alexandru I a fost împărat al Rusiei între 1801 și 1825. Revoluția franceză și evenimentele din Franța care au urmat-o au arătat lui Alexandru importanța cunoștințelor științifice și a aplicațiilor sale la tehnicile militare și la dezvoltarea industrială. El a înțeles că pentru ca Rusia să fie puternică, trebuie să urmeze exemplul. El a privit spre Europa și oamenii de știință europeni și a încercat să introducă politici care să îi încurajeze să coopereze cu oamenii de știință ruși. El i-a încurajat pe profesori să meargă în Rusia pentru a preda cele mai noi teorii științifice și pentru a crea contacte științifice între Rusia și Europa. În conformitate cu această politică, guvernul rus a făcut o cerere Franței, care a răspuns trimițându-i pe Lamé și Clapeyron la Sankt Petersburg.

Lamé a fost numit profesor și inginer la Institut et Corps du Genie des Voies de Communication din St Petersburg. La început lucrurile au fost destul de dificile pentru Lamé, dar mai târziu vizita sa sa dovedit extrem de productivă. A ținut prelegeri pe teme de analiză, fizică, mecanică, chimie și inginerie. A publicat lucrări atât în ​​jurnalele rusești, cât și în cele franceze, în cei 12 ani petrecuți acolo, unele împreună cu Clapeyron. Au publicat, de exemplu, în Journal des voies de communications, Journal du genie civil, Bulletin des sciences mathématiques, Receuil des savants etrangers, și Journal für die reine und angewandte Mathematik (Jurnalul lui Crelle) după ce a început publicarea în 1826.

În [6] este relatat un episod interesant care a avut loc în timpul lui Lamé la Sankt Petersburg. Se referă la încercarea lui Lamé de a răspândi noile idei de analiză riguroasă ale lui Cauchy. Un profesor de la Institutul în care a predat Lamé scrisese o carte care conținea o dovadă a teoremei lui Taylor. Lamé a produs un manuscris care critica dovada folosind argumentele lui Cauchy. O altă latură a muncii lui Lamé la Sankt Petersburg a fost implicarea sa în a ajuta la planurile care erau în curs de elaborare pentru construirea de poduri și drumuri în jurul orașului. În acest moment a devenit mai conștient de potențialul vast al dezvoltării căilor ferate, iar acesta ar fi un subiect de mare interes pentru el după întoarcerea sa în Franța. Înainte de aceasta, el a fost prezent când linia Liverpool-Manchester s-a deschis în Anglia la 15 septembrie 1830.

Bradley [4] oferă mult mai multe detalii cu privire la timpul lui Lamé în Rusia. Ea concluzionează în lucrarea sa că: -

În 1832, Lamé s-a întors la Paris și la început a făcut parte dintr-o firmă de inginerie înființată împreună cu Clapeyron și alți doi. După doar câteva luni, și încă în 1832, Lamé a acceptat catedra de fizică la École Polytechnique. Cu toate acestea, el nu și-a limitat interesele la predare și cercetare, pentru că a rămas un inginer pregătit pentru consultanță în acea zonă. În 1836 a fost numit inginer șef de mine și a fost implicat și în construirea căii ferate de la Paris la Versailles și a căii ferate de la Paris la St Germain, care a fost deschisă în 1837.

Lamé a fost ales la Academia de Științe în 1843, când Louis Puissant a murit, lăsând un post vacant în secțiunea de geometrie. În anul următor și-a părăsit catedra de fizică la École Polytechnique și a acceptat un post la Sorbona în fizică și probabilitate matematică. A fost numit la catedra de fizică și probabilitate matematică la Sorbona în 1851.

A lucrat la o mare varietate de subiecte diferite. De multe ori problemele în sarcinile de inginerie pe care le-a întreprins l-au determinat să studieze întrebări matematice. De exemplu, munca sa privind stabilitatea bolților și proiectarea podurilor suspendate l-a determinat să lucreze la teoria elasticității. De fapt, acesta nu a fost un interes trecător, pentru că Lamé a adus contribuții substanțiale la acest subiect. Un alt exemplu este munca sa privind conducerea căldurii care l-a condus la teoria sa generală a coordonatelor curvilinee.

Coordonatele curvilinee s-au dovedit un instrument foarte puternic în mâinile lui Lamé. El le-a folosit pentru a transforma ecuația lui Laplace în coordonate elipsoidale și astfel separa variabilele și rezolva ecuația rezultată. Marca comercială a carierei lui Lamé se deplasa de la un subiect la altul într-un mod destul de logic, dar deseori ajungea să studieze probleme foarte îndepărtate de original. Acest lucru s-a întâmplat cu coordonatele curvilinei, pentru că a fost condus să studieze ecuația

De asemenea, a făcut o lucrare importantă asupra geometriei diferențiale și, într-o altă contribuție la teoria numerelor, a arătat că numărul de diviziuni din algoritmul euclidian nu depășește niciodată de cinci ori numărul de cifre din numărul mai mic.

Așa cum am menționat mai sus, el a lucrat la ingineria matematicii și elasticității, unde două constante elastice sunt numite după el. El a studiat difuzia în material cristalin.

Lamé a fost considerat principalul matematician francez al timpului său de mulți, în special Gauss, care nu a fost niciodată unul care să dea laude, a susținut cu ușurință această opinie. Mai degrabă ciudat, se gândea mai mult în afara Franței decât în ​​interior, pentru că francezii păreau să simtă că era prea practic pentru un matematician și totuși prea teoretic pentru un inginer. Propria sa părere a fost că coordonatele curvilinei au fost cea mai importantă contribuție a sa, dar există răsuciri ciudate în istoria matematicii și foarte curând după ce Lamé le-a introdus coordonatele curvilinee au devenit învechite prin generalizările introduse de Hermite, Klein și Bôcher.


1.7: Teorema lui Lame - Matematică

Un punct natural de curiozitate ar fi să ne întrebăm câți pași ia algoritmul euclidian pentru o pereche dată de numere întregi. Ca o ușoară variație, ne-am putea întreba care este „cea mai mică” pereche de numere care produce $ n $ pași.

Pentru a ajuta la formularea de presupuneri despre cele de mai sus, putem apela la tehnologie pentru a găsi numărul de pași pe care algoritmul euclidian îl face pentru mai multe perechi de numere întregi.

Mai jos sunt câteva calcule pe care le puteți executa fie în Mathematica, fie în R în acest scop:

În R, următoarea funcție va număra câți pași necesită algoritmul euclidian pentru a calcula $ gcd (m, n) $:

Apoi, trebuie pur și simplu să aplicăm acest lucru pentru a funcționa la mai multe perechi de valori $ (m, n) $ și a înregistra rezultatele într-o matrice - care poate fi realizată pentru toate lt m, n le 35 $ cu următoarele:

Exportând această matrice într-un fișier cu valori separate prin virgulă (CSV) numit „steps.csv” cu write.csv (m, „steps.csv”) se produce un fișier pe care îl puteți deschide în Excel și formatat pentru a arăta ca tabelul prezentat de mai jos:

Mathematica

Putem implementa algoritmul euclidian în Mathematica apelând la relația recursivă din inima sa. Poate că cel mai scurt mod de a face acest lucru ar fi următorul:

Rețineți, cu o ușoară modificare, formula de mai sus poate urmări cu ușurință câți pași face algoritmul euclidian pentru a găsi mcd de două numere:

Putem crea un tabel cu câte pași au nevoie diferite perechi de valori în algoritmul euclidian pentru a calcula cel mai mare divizor comun al acestora cu următorul cod suplimentar:

Rularea celor de mai sus produce un tabel similar cu cel prezentat anterior, realizat de R

Acum, la examinarea tabelului, observați cel mai mic număr pozitiv $ a $ pentru care există un număr mai mic $ b $ astfel încât algoritmul euclidian aplicat la $ a $ și $ b $ se oprește în pași de $ n $ este $ ( n + 2) $ nd numărul Fibonacci. În plus, $ b $ corespunzător este numărul $ (n + 1) $ st Fibonacci.

Nu este interesant! Acest rezultat este cunoscut sub numele de Teorema lui Lame - numit după Gabriel Lame, un matematician francez în anii 1800.


Estimări rezolvate pentru operatorul Lamé și eșecul estimărilor Carleman

În această lucrare, considerăm operatorul Lamé (- Delta ^ * ) și studiem estimarea rezolvată, estimarea Sobolev uniformă și estimarea Carleman pentru (- Delta ^ * ). În primul rând, obținem estimări rezolvate clare (L ^ p ) - (L ^ q ) pentru (- Delta ^ * ) pentru admisibile p, q. Aceasta extinde cazul particular (q = frac

) datorită Barceló et al. [4] și Cossetti [8]. În al doilea rând, arătăm eșecul estimării uniforme Sobolev și Carleman pentru (- Delta ^ * ). În acest scop, analizăm direct multiplicatorul Fourier al rezolvantului. Acest lucru ne permite să dovedim nu numai limita superioară, ci și limita inferioară pe rezolvat, astfel încât să obținem limitele ascuțite (L ^ p ) - (L ^ q ) pentru rezolvarea lui (- Delta ^ * ). În mod izbitor, uniformele relevante ale estimărilor Sobolev și Carleman s-au dovedit a fi false pentru operatorul Lamé (- Delta ^ * ), chiar dacă estimările uniforme rezolvate pentru (- Delta ^ * ) sunt valabile pentru anumite intervale de p, q. Acest lucru contrastează cu rezultatul clasic în ceea ce privește laplacianul ( Delta ) datorat lui Kenig, Ruiz și Sogge [23], în care estimarea rezolvată uniformă joacă un rol crucial în dovedirea estimărilor uniforme Sobolev și Carleman pentru ( Delta ). De asemenea, descriem locațiile valorilor proprii (L ^ q ) ale (- Delta ^ * + V ) cu potențial complex V utilizând estimările rezolvate clare (L ^ p ) - (L ^ q ) pentru (- Delta ^ * ).


Priveste filmarea: Ayudantías S4P1: Teorema del transporte de Reynolds (Iulie 2022).


Comentarii:

  1. Paget

    Dimineața este mai înțeleaptă decât seara.

  2. Anglesey

    Dumnezeu! Well, me!

  3. Banning

    Ce frază bună



Scrie un mesaj