Articole

1.4: Aplicații - Matematică

1.4: Aplicații - Matematică



We are searching data for your request:

Forums and discussions:
Manuals and reference books:
Data from registers:
Wait the end of the search in all databases.
Upon completion, a link will appear to access the found materials.

obiective de invatare

În această secțiune, veți învăța să utilizați funcții liniare pentru a modela aplicații din lumea reală

Acum, că am învățat să determinăm ecuații de linii, ajungem să aplicăm aceste idei într-o varietate de situații din viața reală.

Citiți cu atenție problema. Evidențiați informații importante. Urmăriți ce valori corespund variabilei independente (x) și care corespund variabilei dependente (y).

Exemplu ( PageIndex {1} )

Un serviciu de taxi percepe 0,50 USD pe milă plus o taxă fixă ​​de 5 USD. Care va fi costul de a călători 20 de mile? Care va fi costul deplasării (x ) mile?

Soluţie

(x ) = distanța parcursă, în mile și (y ) = costul în dolari

Costul de a călători 20 de mile este

[y = (0,50) (20) + 5 = 10 + 5 = 15 nonumber ]

Costul deplasării (x ) mile este

[y = (0,50) (x) + 5 = 0,50x + 5 nonumber ]

În această problemă, 0,50 USD pe milă este denumit Costul variabil, iar tariful plat este de 5 USD ca Costul fix. Acum, dacă ne uităm la ecuația noastră de cost (y = .50x + 5 ), putem vedea că costul variabil corespunde pantei și costul fix al interceptării (y ).

Exemplu ( PageIndex {2} )

Costul variabil pentru fabricarea unui produs este de 10 USD per articol și costul fix de 2500 USD. Dacă (x ) reprezintă numărul de articole fabricate și (y ) reprezintă costul total, scrieți funcția de cost.

Soluţie

  • Costul variabil de 10 USD per articol ne spune că (m = 10 ).
  • Costul fix reprezintă interceptarea (y ) -. Deci (b = 2500 ).

Prin urmare, ecuația costului este (y = 10x + 2500 ).

Exemplu ( PageIndex {3} )

Costă 750 USD pentru fabricarea a 25 de articole și 1000 USD pentru fabricarea a 50 de articole. Presupunând că există o relație liniară, găsiți ecuația costurilor și utilizați această funcție pentru a prezice costul a 100 de articole.

Soluţie

Lăsăm (x ) = numărul de articole fabricate și lăsăm (y ) = costul.

Rezolvarea acestei probleme este echivalentă cu găsirea unei ecuații a unei linii care trece prin punctele (25, 750) și (50, 1000).

[m = frac {1000-750} {50-25} = 10 nonumber ]

Prin urmare, ecuația parțială este (y = 10x + b )

Înlocuind unul dintre punctele din ecuație, obținem (b = 500 )

Prin urmare, ecuația costului este (y = 10x + 500 )

Pentru a găsi costul a 100 de articole, înlocuiți (x = 100 ) în ecuația (y = 10x + 500 )

Deci costul este

[y = 10 (100) + 500 = 1500 nonumber ]

Costă 1500 USD pentru fabricarea a 100 de articole.

Exemplu ( PageIndex {4} )

Temperatura de îngheț a apei în grade Celsius este de 0 grade și în grade Fahrenheit de 32 de grade. Iar temperaturile de fierbere ale apei în grade Celsius și Fahrenheit sunt de 100 de grade și, respectiv, de 212 de grade. Scrieți o ecuație de conversie de la Celsius la Fahrenheit și utilizați această ecuație pentru a converti 30 de grade Celsius în Fahrenheit.

Soluţie

Să ne uităm la ceea ce este dat.

CelsiusFahrenheit
032
100212

Din nou, rezolvarea acestei probleme este echivalentă cu găsirea unei ecuații a unei drepte care trece prin punctele (0, 32) și (100, 212).

Deoarece găsim o relație liniară, căutăm o ecuație (y = mx + b ), sau în acest caz (F = mC + b ), unde (x ) sau (C ) reprezintă temperatura în Celsius, iar y sau F temperatura în Fahrenheit.

[ text {panta m} = frac {312-32} {100-0} = frac {9} {5} nonumber ]

Ecuația este (F = frac {9} {5} C + b )

Înlocuind punctul (0, 32), obținem

[F = frac {9} {5} C + 32 nonumber. ]

Pentru a converti 30 de grade Celsius în Fahrenheit, înlocuiți (C = 30 ) în ecuație

begin {align}
& mathrm {F} = frac {9} {5} mathrm {C} +32
& mathrm {F} = frac {9} {5} (30) + 32 = 86
end {align}

Exemplu ( PageIndex {5} )

Populația Canadei în anul 1980 era de 24,5 milioane, iar în anul 2010 era de 34 de milioane. Populația Canadei în această perioadă de timp poate fi aproximativ modelată printr-o funcție liniară. Fie x să reprezinte timpul ca număr de ani după 1980 și să reprezinte dimensiunea populației.

  1. Scrieți funcția liniară care oferă o relație între timp și populație.
  2. Presupunând că populația continuă să crească liniar în viitor, utilizați această ecuație pentru a prezice populația Canadei în anul 2025.

Soluţie

Problema poate fi ușurată folosind anul 1980 ca an de bază, adică alegem anul 1980 ca anul zero. Aceasta va însemna că anul 2010 va corespunde cu anul 30. Acum ne uităm la informațiile pe care le avem:

AnPopulația
0 (1980)24,5 milioane
30 (2010)34 de milioane

A. Rezolvarea acestei probleme este echivalentă cu găsirea unei ecuații a unei linii care trece prin punctele (0, 24.5) și (30, 34). Folosim aceste două puncte pentru a găsi panta:

[m = frac {34-24.5} {30-0} = frac {9.5} {30} = 0.32 nonumber ]

Intercepția (y ) - apare atunci când (x = 0 ), deci (b = 24,5 )

[y = 0,32x + 24,5 nonumber ]

b. Acum, pentru a prezice populația în anul 2025, lăsăm (x = 2025-1980 = 45 )

begin {align}
& y = 0,32 x + 24,5
& y = 0,32 (45) + 24,5 = 38,9
end {align}

În anul 2025, prezicem că populația Canadei va fi de 38,9 milioane de oameni.

Rețineți că am presupus că tendința populației va continua să fie liniară. Prin urmare, dacă tendințele populației se schimbă și această presupunere nu continuă să fie adevărată în viitor, este posibil ca această predicție să nu fie exactă.


1.4: Aplicații - Matematică

Exercițiul 1.4.3. Înmulțiți matricile de mai jos:

Răspuns: Primul exemplu înmulțește o matrice 1 & # 2153 cu o matrice 3 & # 2151 producând o matrice 1 & # 2151, adică o valoare scalară:

După cum sa menționat în carte, rezultatul este egal cu pătratul lungimii vectorului (1, -2, 7).

Pentru al doilea exemplu, înmulțim și o matrice 1 și # 2153 de ori cu o matrice 3 și # 2151 pentru a produce o valoare scalară:

Ultimul exemplu înmulțește o matrice 3 & # 2151 de ori cu o matrice 1 & # 2153 pentru a produce o matrice 3 & # 2153:

NOTĂ: Aceasta continuă o serie de postări care conțin exerciții elaborate din cartea (epuizată) Linear Algebra and its Applications, Ediția a treia de Gilbert Strang.

Dacă vi se par utile aceste postări, vă încurajez să verificați și cele mai actuale Algebră liniară și aplicațiile sale, ediția a patra, manual introductiv Dr Strang & # 8217s Introducere în algebră liniară, ediția a patra și cursul online gratuit însoțitor și Dr Strang & # 8217s alte cărți.


1.4: Aplicații - Matematică

Exercițiul 1.4.14. Arată matricea de exemplu 2 și # 2152 având următoarele proprietăți:

  1. O matrice A cu intrări reale astfel încât
  2. O matrice B nulă astfel încât
  3. Două matrice C și D cu produs diferit de zero, astfel încât CD = -DC
  4. Două matrice E și F cu toate intrările diferite de zero, astfel încât EF = 0

Avem apoi următoarele:

Asuma ca . Din prima și a patra ecuații de mai sus avem apoi

care se reduce la ecuația unică. Să presupunem că pentru un anumit non-zero a. Atunci avem.

Deci, o matrice A care îndeplinește criteriul de mai sus este

unde a este diferit de zero, pentru care

Putem obține un exemplu specific de A setând a = 1, caz în care

Avem apoi următoarele:

Să presupunem că și sunt nenule și alegeți unde b este un număr real diferit de zero. Apoi, din a doua și a treia ecuație avem. Din prima și a patra ecuații ar trebui să avem și acest lucru este într-adevăr cazul, deoarece.

Înlocuind în prima ecuație avem apoi

(Am fi putut folosi la fel de bine a patra ecuație pentru asta.)

Dacă alegem, atunci avem. Acest lucru ne oferă următoarea matrice

Dacă stabilim b = 1 atunci obținem exemplul specific

După regulile înmulțirii matricei avem atunci

Luând a doua și a treia ecuație de mai sus și rearanjând termenii pe care îi avem

Cel mai simplu mod de a satisface ecuațiile rezultate este setarea

ceea ce ne oferă următoarele ecuații:

care se reduc la ecuația unică. Dacă stabilim unde avem. Dacă stabilim unde. Avem apoi următoarele matrici C și D:

Un exemplu de C și D poate fi găsit prin setarea:

(d) Folosind rezultatul de la (b) de mai sus, dacă stabilim

atunci vom avea EF = 0 cu atât E cât și F având toate intrările diferite de zero.

NOTĂ: Aceasta continuă o serie de postări care conțin exerciții elaborate din cartea (epuizată) Linear Algebra and its Applications, Ediția a treia de Gilbert Strang.

Dacă vi se par utile aceste postări, vă încurajez să verificați și cele mai actuale Algebră liniară și aplicațiile sale, ediția a patra, manual introductiv Dr Strang & # 8217s Introducere în algebră liniară, ediția a patra și cursul online gratuit însoțitor și Dr Strang & # 8217s alte cărți.


Fracțiuni în lumea reală

Fracțiile ne înconjoară activitățile de zi cu zi. Iată câteva exemple de fracțiuni din viața reală:

Mâncare la restaurant: Gândiți-vă la un moment în care mergeți la un restaurant cu prietenii, iar chelnerița aduce o singură factură. Pentru a împărți totalul între prieteni, utilizați fracții.

Cumpărături: Gândește-te la momentul în care ai fost la cumpărături pentru o nouă geantă școlară. A fost jumătate din reducere la toate din cauza unei vânzări, deci calculați noul preț folosind fracțiuni.

După o rețetă: Rețetele uneori sugerează utilizarea ( frac <1> <2> ) o linguriță de zahăr, ( frac <3> <4> ) lingură de sare. Unele rețete au și cantități de servit 2. Dacă facem același fel de mâncare pentru a servi 3 persoane, se utilizează fracții pentru a regla ingredientele în consecință.

Sport: Fracțiile sunt frecvent utilizate pentru a analiza performanța unui anumit jucător și a unei echipe.

Fitness: Folosim fracții pentru a ne înțelege indicele de masă corporală (IMC) pentru a determina dacă ne aflăm într-un interval sănătos de masă corporală sau nu.

Băuturi: Pentru a face băuturi precum cocktailuri, diferite fracții de lichide sunt amestecate în cantități potrivite pentru a obține cel mai bun rezultat.

Pizza: Împărțirea feliilor de pizza în mod egal între toată lumea necesită fracțiuni.

Fotografie și videografie: Viteza obturatorului unei camere este calculată folosind fracțiuni.

Teste și examene: Scorurile testelor și examenelor sunt exprimate în general ca fracții, cum ar fi ( frac <18> <20> ).

Prescripții medicale: Când cineva este bolnav, medicul prescrie doze diferite pentru persoanele de diferite dimensiuni. Un adult adult poate consuma 500 mg, în timp ce un copil poate consuma jumătate din asta.

Progres sau declin: Progresul sau declinul oricărui proiect pot fi măsurate. Dacă vânzările unui anumit produs scad cu 25% sau cu ( frac <1> <4> ) th.

Timp: O jumătate de oră este un mod obișnuit de a exprima 30 de minute.

Puteți găsi mai multe bloguri aici:


Matematică (MATH)

îndrăzneț prima linie începe cu o abreviere cu majuscule care desemnează aria subiectului urmată de numărul cursului și titlul. Se afișează și valoarea unității.

CR / NC: Indică că un curs este oferit numai pe bază de notare credit / fără credit.
Zona GE: Indică zona Educației Generale (GE) pentru care cursul poate îndeplini o cerință. Consultați descrierea cursului pentru detalii.
USCP: Indică faptul că creditul în curs îndeplinește cerința de pluralism cultural din S.U.A.
GWR: Indică că cursul va satisface cerința de scriere a absolvirii, dacă studentul obține o notă C sau mai bună ȘI primește certificarea competenței în scris pe baza unui eseu de 500 de cuvinte în clasă.

Condiție preliminară: Cursurile de finalizat și / sau cerințele care trebuie îndeplinite înainte de a lua cursul
Obiect de bază: Curs sau cursuri care trebuie urmate într-un termen anterior sau în același termen
Concurente: Curs sau cursuri care trebuie urmate în același termen
Recomandat: Curs cu conținut de susținere care este recomandat, dar nu este necesar să fie urmat într-un termen anterior sau în același termen

Descrierea cursului rezumă scopul și domeniile tematice cheie ale cursului și include cerințe speciale, dacă acestea există. Acesta indică modul de instruire, cum ar fi prelegerea și / sau laboratorul, dacă nu este indicat nici un mod, cursul este un studiu independent supravegheat. Dacă un curs poate fi luat de mai multe ori pentru credit, descrierea va indica faptul că fie creditul major, fie creditul total este limitat la un număr specificat de unități. Unele descrieri ale cursului se încheie cu informații despre dacă cursul a fost „anterior” și alt curs sau dacă cursul este încrucișat. Un curs încrucișat este același curs oferit în mai multe domenii, de exemplu MCRO / WVIT 301 Wine Microbiology.

Cursuri de MATEMATICĂ

MATEMATICA 92. Începutul revizuirii algebrei. 3 unități

Revizuirea abilităților de bază de algebră la începutul nivelului de algebră destinate în primul rând pregătirii elevilor pentru MATH 96. Curs deschis numai studenților care au susținut examenul ELM și nu sunt calificați pentru MATH 96. Nu pentru credit de bacalaureat. Numai credit / fără credit. 3 prelegeri.

MATEMATICA 94. Începutul Atelierului de Algebră. 1 unitate

Simultan: Înscriere în secțiunea asociată din MATH 92.

Studiul și discuția facilitată a teoriei, problemelor și aplicațiilor algebrei de început. Nu pentru credit de bacalaureat. Numai credit / fără credit. 1 laborator.

MATEMATICA 95. Atelier de algebră Precalculus Stretch I. 1 unitate

Cerință preliminară: nivel adecvat de plasare matematică. Simultan: MATH 115.

Revizuirea abilităților de bază de algebră destinate în primul rând pregătirii elevilor pentru conținutul precalcul din MATEMATICĂ 115. Nu pentru credit de bacalaureat. Numai credit / fără credit. 1 activitate.

MATEMATICĂ 96. Algebră intermediară. 3 unități

Condiție preliminară: punctaj adecvat la examenul ELM sau credit în MATH 92.

Revizuirea abilităților de bază de algebră la nivelul intermediar de algebră destinate în primul rând pregătirii elevilor pentru MATEMATICĂ 116. Nu pentru credit de bacalaureat. Numai credit / fără credit. 3 prelegeri.

MATEMATICA 98. Atelier intermediar de algebră. 1 unitate

Simultan: Înscriere în secțiunea asociată din MATH 96.

Studiul și discuția facilitată a teoriei, problemelor și aplicațiilor algebrei intermediare. Nu pentru credit de bacalaureat. Numai credit / fără credit. 1 laborator.

MATEMATICĂ 112. Natura matematicii moderne. 4 unități

Catalog 2020-21 sau ulterior: zona GE B4

Catalog 2019-20 sau anterior: GE Area B1

Condiție preliminară: MATH 95 sau un nivel adecvat de plasare matematică.

Subiecte din matematica contemporană, dezvoltarea, aplicațiile și rolul lor în societate. Unele subiecte tipice care trebuie alese de instructor: teoria graficelor, analiza căilor critice, inferența statistică, codarea, teoria jocurilor și simetria. 4 prelegeri. Îndeplinește zona GE B4 (zona GE B1 pentru studenții din cataloagele 2019-20 sau anterioare) este necesară o notă C sau mai bună într-un curs în această zonă GE.

MATEMATICĂ 115. Algebra Precalculului Stretch I. 3 unități

Catalog 2020-21 sau ulterior: zona GE B4

Catalog 2019-20 sau anterior: GE Area B1

Cerință preliminară: nivel adecvat de plasare matematică. Simultan: MATH 95.

Primul curs în algebra facultății precalcul fără trigonometrie, cu revizuire integrată a abilităților de bază ale algebrei necesare pentru a avea succes în precalcul. Factorizare, exponenți și radicali. Numere reale și complexe. Modelarea cu ecuații și inegalități. Funcții liniare, pătratice și polinomiale și graficele lor. MATH 115 sau MATH 116 și MATH 117 sunt echivalente cu MATH 118, dar sunt predate într-un ritm mai lent. La finalizarea MATH 115 sau MATH 116 și MATH 117, un student va primi 4 unități de credit GE pentru Zona B4. Pentru a îndeplini cerințele de educație generală este necesară o notă C sau mai bună într-un singur curs în zona GE B4. Nu este deschis studenților cu credit la MATH 116, MATH 118, MATH 141, MATH 161 sau MATH 221. 3 prelegeri.

MATEMATICĂ 116. Algebra Precalculului I. 3 unități

Catalog 2020-21 sau ulterior: zona GE B4

Catalog 2019-20 sau anterior: GE Area B1

Condiție preliminară: MATH 96 sau un nivel adecvat de plasare matematică.

Primul curs în algebra facultății de precalcul fără trigonometrie. Factorizare, exponenți și radicali. Numere reale și complexe. Modelarea cu ecuații și inegalități. Funcții liniare, pătratice și polinomiale și graficele lor. MATH 115 sau MATH 116 și MATH 117 sunt echivalente cu MATH 118, dar sunt predate într-un ritm mai lent. La finalizarea MATH 115 sau MATH 116 și MATH 117, un student va primi 4 unități de credit GE pentru Zona B4. Pentru a îndeplini cerințele de educație generală este necesară o notă C sau mai bună într-un singur curs în zona GE B4. Nu este deschis studenților cu credite la MATH 115, MATH 118, MATH 141, MATH 161 sau MATH 221. Creditul va fi acordat doar la unul dintre următoarele cursuri: MATH 115, MATH 116 sau MATH 118. 3 cursuri.

MATEMATICĂ 117. Algebra Precalcul II. 3 unități

Catalog 2020-21 sau ulterior: zona GE B4

Catalog 2019-20 sau anterior: GE Area B1

Condiție prealabilă: MATH 115 cu o notă C sau mai bună sau MATH 116 cu o notă C sau mai bună sau consimțământul instructorului.

Al doilea curs în algebră de precalcul colegial fără trigonometrie. Funcții raționale, exponențiale și logaritmice. Matrici, determinanți și sisteme de ecuații liniare. MATH 115 sau MATH 116 și MATH 117 sunt echivalente cu MATH 118, dar sunt predate într-un ritm mai lent. La finalizarea MATH 115 sau MATH 116 și MATH 117, un student va primi 4 unități de credit GE pentru Zona B4. Pentru a îndeplini cerințele de educație generală este necesară o notă C sau mai bună într-un singur curs în zona GE B4. Nu este deschis studenților cu credit în MATH 118. 3 prelegeri.

MATEMATICA 118. Algebra Precalcul. 4 unități

Catalog 2020-21 sau ulterior: zona GE B4

Catalog 2019-20 sau anterior: GE Area B1

Condiție preliminară: plasare adecvată la nivel de matematică.

Algebra Precalcul fără trigonometrie. Factorizare, exponenți și radicali. Numere reale și complexe. Modelarea cu ecuații și inegalități. Funcții raționale, exponențiale și logaritmice. Matrici, determinanți și sisteme de ecuații liniare. MATH 118 este echivalent cu MATH 115 sau MATH 116 și MATH 117. Nu este deschis studenților cu credit în MATH 117, MATH 141, MATH 161 sau MATH 221. Creditul va fi acordat doar la unul dintre următoarele cursuri: MATH 115, MATH 116, sau MATH 118. 4 prelegeri. Îndeplinește zona GE B4 (zona GE B1 pentru studenții din cataloagele 2019-20 sau anterioare) este necesară o notă C sau mai bună într-un curs în această zonă GE.

MATEMATICA 119. Trigonometrie Precalcul. 4 unități

Catalog 2020-21 sau ulterior: zona GE B4

Catalog 2019-20 sau anterior: GE Area B1

Condiție preliminară: nivel adecvat de plasare matematică sau MATH 117 sau MATH 118.

Coordonatele dreptunghiulare și polare. Funcții trigonometrice, identități fundamentale. Funcții și relații trigonometrice invers. Numere complexe, secțiuni conice și geometrie analitică. Nu este deschis studenților cu credit la MATH 141, MATH 161 sau MATH 221. 4 prelegeri. Îndeplinește zona GE B4 (zona GE B1 pentru studenții din cataloagele 2019-20 sau anterioare) este necesară o notă C sau mai bună într-un curs în această zonă GE.

MATEMATICĂ 126. Atelier de calcul algebră pre-calcul I. 1 unitate

Simultan: Înscriere în secțiunea asociată din MATH 116.

Studiul și discuția facilitată a teoriei, problemelor și aplicațiilor algebrei precalculului. Numai credit / fără credit. 1 laborator.

MATEMATICĂ 127. Atelierul de calcul algebrei II. 1 unitate

Simultan: Înscriere în secțiunea asociată din MATH 117.

Studiul și discuția facilitată a teoriei, problemelor și aplicațiilor algebrei pre-calcul. Numai credit / fără credit. 1 laborator.

MATEMATICĂ 128. Atelier de calcul algebrelor înainte de calcul. 1 unitate

Simultan: Înscriere în secțiunea asociată din MATH 118.

Studiul și discuția facilitată a teoriei, problemelor și aplicațiilor algebrei pre-calcul. Numai credit / fără credit. 1 laborator.

MATEMATICA 129. Atelierul de trigonometrie Precalcul. 1 unitate

Corequisite: Înscriere simultană în secțiunea asociată din MATH 119.

Studiul și discuția facilitată a teoriei, problemelor și aplicațiilor trigonometriei pre-calcul. Numai credit / fără credit. 1 laborator.

MATEMATICA 141. Calcul I. 4 unități

Catalog 2020-21 sau ulterior: zona GE B4

Catalog 2019-20 sau anterior: GE Area B1

Condiție preliminară: Nivel adecvat de plasare matematică sau MATH 117 și trigonometrie de liceu sau MATH 118 și trigonometrie de liceu sau MATH 119.

Limite, continuitate, diferențiere. Introducere în integrare. 4 prelegeri. Încrucișat ca HNRS / MATH 141. Îndeplinește zona GE B4 (zona GE B1 pentru studenții din cataloagele 2019-20 sau anterioare) este necesară o notă C sau mai bună într-un curs în această zonă GE.

MATEMATICA 142. Calcul II. 4 unități

Catalog 2020-21 sau ulterior: zona GE B4

Catalog 2019-20 sau anterior: GE Area B1

Condiție prealabilă: MATH 141 cu nota C sau mai bună sau consimțământul instructorului.

Tehnici de integrare, aplicații la fizică, funcții transcendentale. 4 prelegeri. Încrucișat ca HNRS / MATH 142. Îndeplinește zona GE B4 (zona GE B1 pentru studenții din cataloagele 2019-20 sau anterioare) este necesară o notă C sau mai bună într-un singur curs în această zonă GE.

MATEMATICA 143. Calculul III. 4 unități

Catalog 2020-21 sau ulterior: zona GE B4

Catalog 2019-20 sau anterior: GE Area B1

Condiție preliminară: MATH 142 cu o notă C sau mai bună sau consimțământul instructorului.

Secvențe și serii infinite, algebră vectorială, curbe parametrice. 4 prelegeri. Încrucișat ca HNRS / MATH 143. Îndeplinește zona GE B4 (zona GE B1 pentru studenții din cataloagele 2019-20 sau anterioare) este necesară o notă C sau mai bună într-un singur curs în această zonă GE.

MATEMATICA 151. Atelier de calcul I. 1 unitate

Simultan: Înscriere în secțiunea asociată din MATH 141.

Studiul și discuția facilitată a teoriei, problemelor și aplicațiilor calculului. Numai credit / fără credit. 1 laborator.

MATEMATICA 152. Atelierul de calcul II. 1 unitate

Simultan: Înscriere în secțiunea asociată din MATH 142.

Studiul și discuția facilitată a teoriei, problemelor și aplicațiilor calculului. Numai credit / fără credit. 1 laborator.

MATEMATICA 153. Atelierul de calcul III. 1 unitate

Simultan: Înscriere în secțiunea asociată din MATH 143.

Studiul și discuția facilitată a teoriei, problemelor și aplicațiilor calculului. Numai credit / fără credit. 1 laborator.

MATEMATICA 161. Calcul pentru Științele Vieții I. 4 unități

Catalog 2020-21 sau ulterior: zona GE B4

Catalog 2019-20 sau anterior: GE Area B1

Condiție preliminară: nivel adecvat de plasare matematică sau MATH 117 sau MATH 118.

Calcul diferențial cu aplicații în științele biologice. Revizuirea funcțiilor exponențiale, logaritmice și trigonometrice. Limite, continuitate, diferențiere. Exemple, exerciții și aplicații pentru a sublinia problemele din științele biologice. Nu este deschis studenților cu credit în MATH 141. 4 prelegeri. Îndeplinește zona GE B4 (zona GE B1 pentru studenții din cataloagele 2019-20 sau anterioare) este necesară o notă C sau mai bună într-un curs în această zonă GE.

MATEMATICA 162. Calcul pentru științele vieții II. 4 unități

Catalog 2020-21 sau ulterior: zona GE B4

Catalog 2019-20 sau anterior: GE Area B1

Calcul integrat cu aplicații în științele biologice. Tehnici de integrare. Matrici, derivate parțiale și introducere în ecuații diferențiale și modelare matematică. Exemple, exerciții și aplicații pentru a sublinia problemele din științele biologice. Nu este deschis studenților cu credit în MATH 142. 4 prelegeri. Îndeplinește zona GE B4 (zona GE B1 pentru studenții din cataloagele 2019-20 sau anterioare) este necesară o notă C sau mai bună într-un curs în această zonă GE.

MATEMATICA 171. Calcul pentru atelierul de științe ale vieții I. 1 unitate

Simultan: Înscriere în secțiunea asociată din MATH 161.

Studiul și discuția facilitată a teoriei, problemelor și aplicațiilor de calcul pentru științele vieții. Numai credit / fără credit. 1 laborator.

MATEMATICA 172. Calcul pentru atelierul de științe ale vieții II. 1 unitate

Simultan: Înscriere în secțiunea asociată din MATH 162.

Studiul și discuția facilitată a teoriei, problemelor și aplicațiilor de calcul pentru științele vieții. Numai credit / fără credit. 1 laborator.

MATEMATICA 182. Calcul pentru managementul arhitecturii și construcțiilor. 4 unități

Catalog 2020-21 sau ulterior: zona GE B4

Catalog 2019-20 sau anterior: GE Area B1

Calcul integrat cu aplicații pentru arhitectură și managementul construcțiilor. Algebra vectorilor. Sisteme de coordonate polare, cilindrice și sferice. Nu este deschis studenților cu credit în MATH 142. 4 prelegeri. Îndeplinește zona GE B4 (zona GE B1 pentru studenții din cataloagele 2019-20 sau anterioare) este necesară o notă C sau mai bună într-un curs în această zonă GE.

MATEMATICA 192. Calcul pentru atelierul de arhitectură și managementul construcțiilor. 1 unitate

Simultan: Înscriere în secțiunea asociată din MATH 182.

Studiul și discuția facilitată a teoriei, problemelor și aplicațiilor calculului în arhitectură și managementul construcțiilor. Numai credit / fără credit. 1 laborator.

MATEMATICA 202. Orientare către matematică majoră. 1 unitate

Oportunități de carieră în domeniul matematicii, pregătirea unui domeniu de studiu și o anchetă a facilităților departamentale și a procedurilor legate de cercetare, studiu și absolvire. Numai credit / fără credit. 1 prelegere.

MATEMATICA 206. Algebră liniară I. 4 unități

Sisteme de ecuații liniare. Algebra matricială, inclusiv inversele și determinanții. Vectori, spații vectoriale, baze și transformări liniare în spațiu de coordonate reale de n dimensiuni. Valori proprii, vectori proprii și diagonalizare. Aplicații ale algebrei liniare. Introducere în produse interioare și ortogonalitate. 4 prelegeri.

MATEMATICA 221. Calcul pentru afaceri și economie. 4 unități

Catalog 2020-21 sau ulterior: zona GE B4

Catalog 2019-20 sau anterior: GE Area B1

Condiție preliminară: nivel adecvat de plasare matematică sau MATH 117 sau MATH 118.

Limite, continuitate, diferențiere. Funcții exponențiale și logaritmice. Introducere în integrare. Exemple, exerciții și aplicații pentru a sublinia problemele din afaceri și economie. Nu este deschis studenților cu credit în MATH 141. 4 prelegeri. Îndeplinește zona GE B4 (zona GE B1 pentru studenții din cataloagele 2019-20 sau anterioare) este necesară o notă C sau mai bună într-un curs în această zonă GE.

MATEMATICA 227. Matematică pentru predarea elementară I. 4 unități

Catalog 2020-21 sau ulterior: zona GE B4

Catalog 2019-20 sau anterior: GE Area B1

Condiție preliminară: MATH 95 sau un nivel adecvat de plasare matematică.

Introducere în rezolvarea problemelor, teoria mulțimilor, sistemele numerice, operațiile aritmetice, modelele și teoria numerelor. Această clasă este concepută pentru specializările în Studii Liberale. Alți studenți vor fi admiși cu acordul instructorului. 4 prelegeri. Îndeplinește zona GE B4 (zona GE B1 pentru studenții din cataloagele 2019-20 sau anterioare) este necesară o notă C sau mai bună într-un curs în această zonă GE.

MATEMATICA 231. Calcul pentru atelierul de afaceri și economie. 1 unitate

Simultan: Înscriere în secțiunea asociată din MATH 221.

Studiu și discuții facilitate despre teoria, problemele și aplicațiile calculului afacerii. Numai credit / fără credit. 1 laborator.

MATEMATICA 241. Calcul IV. 4 unități

Derivate parțiale, integrale multiple, introducere în analiza vectorială. 4 prelegeri. Încrucișat ca HNRS / MATH 241.

MATEMATICA 242. Ecuații diferențiale I. 4 unități

Ecuații diferențiale ordinare: ecuații liniare de ordinul întâi, ecuații separabile, ecuații exacte, ecuații liniare de ordinul doi, ecuații neomogene, sisteme de ecuații liniare de ordinul întâi, sisteme de ecuații neliniare, modelare și aplicații. Nu este deschis studenților cu credit în MATH 244. 4 prelegeri.

MATEMATICA 244. Analiza liniară I. 4 unități

Ecuații diferențiale ordinare separate și liniare cu aplicații selectate soluții numerice și analitice. Algebră liniară: vectori în spațiul n, matrici, transformări liniare, valori proprii, vectori proprii, aplicații de diagonalizare la studiul sistemelor de ecuații diferențiale liniare. 4 prelegeri. Încrucișat ca HNRS / MATH 244.

MATEMATICA 248. Metode de probă în matematică. 4 unități

Metode de probă (directe, contradictorii, condiționate, contrapuse) argumente valabile și invalide. Exemple din teoria mulțimilor. Afirmații cuantificate și negațiile acestora. Funcții, seturi indexate, setări de funcții. Dovezi în teoria numerelor, algebră, geometrie și analiză. Dovadă prin inducție. Echivalență și operațiuni și funcții bine definite. Metoda axiomatică. 4 prelegeri.

MATEMATICA 251. Atelierul de calcul IV. 1 unitate

Simultan: Înscriere în secțiunea asociată din MATH 241.

Studiul și discuția facilitată a teoriei, problemelor și aplicațiilor calculului. Numai credit / fără credit. 1 laborator.

MATEMATICA 254. Atelier de analiză liniară I. 1 unitate

Simultan: Înscriere în secțiunea asociată din MATH 244.

Studiul și discuția facilitată a teoriei, problemelor și aplicațiilor analizei liniare. Numai credit / fără credit. 1 laborator.

MATEMATICA 258. Metode de probă în atelierul de matematică. 1 unitate

Simultan: Înscriere în secțiunea asociată din MATH 248.

Studiul și discuția facilitată a metodelor și tehnicilor de probă în matematică. Numai credit / fără credit. 1 laborator.

MATEMATICA 270. Subiecte selectate. 1-4 unități

Condiție prealabilă: Consimțământul instructorului.

Studiu de grup regizat de subiecte selectate. Programul clasei va lista subiectul selectat. Credit total limitat la 8 unități. 1 la 4 prelegeri.

MATH 300. Tehnologia în educația matematică. 4 unități

Examinarea componentelor hardware și software existente concepute pentru utilizări educaționale. Discutarea subiectelor matematice adecvate pentru îmbunătățirea computerului. Metode și tehnici speciale pentru utilizări educaționale ale computerelor. Accent pe învățarea activității și aplicații. Computerul ca dispozitiv de gestionare a clasei. 4 prelegeri.

MATEMATICA 304. Analiza vectorială. 4 unități

2020-21 sau mai târziu: zona B superioară Div-GE

Catalog 2019-20 sau anterior: GE Area B5, B6 sau B7

Condiție preliminară: finalizarea juniorului a zonei GE A cu note C sau mai bune și un curs în zona GE B4 cu nota C sau mai bună (zona GE B1 pentru studenții din cataloagele 2019-20 sau anterioare) MATH 206 sau MATH 244 și MATH 241.

Calcul diferențial și integral al funcțiilor cu valoare vectorială. Teorema lui Green, teorema lui Stokes și teorema divergenței. Aplicații și generalizări. 4 prelegeri. Îndeplinește zona GE Divizia Superioară B (zonele GE B5, B6 sau B7 pentru studenții din catalogul 2019-20).

MATEMATICA 306. Algebra liniară II. 4 unități

Condiție preliminară: MATH 206 sau MATH 244 MATH 241 și un C- sau mai bun în MATH 248 sau consimțământul instructorului.

Dezvoltarea riguroasă a spațiilor vectoriale reale și complexe, inclusiv spații dimensionale infinite. Subspatii, baze, produse si sume directe. Exemple și proprietăți ale transformărilor liniare. Similitudine, valori proprii, vectori proprii și diagonalizare. Polinoame caracteristice și minime, teorema Cayley-Hamilton. 4 prelegeri.

MATEMATICA 316. Introducere în Atelierul de algebră liniară II. 1 unitate

Simultan: Înscriere în secțiunea asociată din MATH 306.

Studiul și discuția facilitată a metodelor și tehnicilor de probă în algebră liniară. Numai credit / fără credit. 1 laborator.

MATEMATICA 328. Matematica pentru predarea elementară II. 4 unități

Condiție prealabilă: MATH 227 cu nota C sau mai bună sau consimțământul instructorului.

Introducere în numere raționale și reale, probabilitate și tehnici de numărare, statistici și raționamente proporționale. Aplicații informatice. 4 prelegeri.

MATEMATICA 329. Matematica pentru predarea elementară III. 4 unități

Introducere în conceptele de geometrie euclidiană, inclusiv forma, vizualizarea și atributele de măsurare, cu accent pe rezolvarea problemelor și gândirea critică. Aplicații informatice. 4 prelegeri.

MATEMATICA 330. Gândirea algebrică cu tehnologia. 4 unități

Concepte algebrice pentru profesorii elementari. Modele matematice, ecuații și inegalități, funcții liniare și pătratice, funcții exponențiale și logaritmice, sisteme de ecuații, rădăcini ale polinoamelor, factorizarea polinoamelor și trigonometrie cu triunghi dreptunghiular. Aplicații informatice. 4 prelegeri.

MATEMATICA 335. Teoria graficelor. 4 unități

Condiție preliminară: MATH 248 sau junior în picioare.

Introducere în teoria graficelor și aplicațiile sale: izomorfism, căi și căutare, conectivitate, copaci, turnee, planaritate, colorare a graficelor, teoria potrivirii, fluxul rețelei, adiacența și matricele de incidență. Alte subiecte care vor fi selectate din teoria mașinilor cu stări finite, teoria Ramsey, teoria extremă și enumerarea grafică. 4 prelegeri.

MATEMATICĂ 336. Matematică combinatorie. 4 unități

Condiție preliminară: MATH 248 sau junior în picioare.

Metode de combinatorie enumerativă: sumă, produs și reguli de divizare, tehnici bijective și recursive, incluziune și excludere, funcții de generare și calculul diferenței finite. Advanced topics to be selected from the theory of partitions, Polya theory, designs, and codes. 4 lectures.

MATH 341. Theory of Numbers. 4 units

Prerequisite: MATH 248 with a grade of C- or better or consent of instructor.

Properties of numbers. Euclid's Algorithm, greatest common divisors, diophantine equations, prime numbers, congruences, number theoretic functions, the quadratic reciprocity laws, primitive roots and indices. 4 lectures.

MATH 344. Linear Analysis II. 4 units

2020-21 or later: Upper-Div GE Area B

2019-20 or earlier catalog: GE Area B5, B6, or B7

Prerequisite: Junior standing completion of GE Area A with grades of C- or better and one course in GE Area B4 with a grade of C- or better (GE Area B1 for students on the 2019-20 or earlier catalogs) MATH 206 and MATH 242, or MATH 241 and MATH 244.

Linear methods applied to the solution of differential equations. Laplace se transformă. Series solutions to ordinary differential equations. Orthogonality in n-space, Gram-Schmidt orthogonalization and least squares methods. Orthogonal bases in function spaces, Sturm-Liouville theory. Fourier series and transforms. Special functions of applied mathematics. 4 lectures. Fulfills GE Area Upper-Division B (GE Areas B5, B6, or B7 for students on the 2019-20 catalog).

MATH 350. Mathematical Software. 4 units

Prerequisite: MATH 206 or MATH 244, and MATH 241, and an introductory college-level programming course, or consent of instructor.

Problem-solving using mathematical software. 4 lectures.

MATH 351. Typesetting with LaTeX. 1 unit

Prerequisite: Junior standing.

Preparing documents, especially mathematical ones, using LaTeX and AMS-LaTeX. Credit/No Credit grading only. 1 lecture.

MATH 370. Putnam Exam Seminar. 2 units

Prerequisite: Consent of instructor.

Directed group study of mathematical problem solving techniques. Open to undergraduate students only. Class members are expected to participate in the annual William Lowell Putnam Mathematical Competition. Course may be repeated up to eight units. 2 seminars.

MATH 371. Math Modeling Seminar. 2 units

Prerequisite: Consent of instructor.

Directed group study of mathematical modeling techniques. Open to undergraduate students only. Class members are expected to participate in the annual Mathematical Competition in Modeling. Total credit limited to 8 units. 2 seminars.

MATH 400. Special Problems for Advanced Undergraduates. 1-4 units

Prerequisite: Junior standing and consent of department chair.

Individual investigation, research, studies, or surveys of selected problems. Total credit limited to 8 units.

MATH 404. Introduction to Differential Geometry. 4 units

Theory of curves and surfaces in space. Topics such as Frenet formulas, curvature, geodesics, Cartan structural equations, Gauss-Bonnet Theorem. 4 lectures.

MATH 406. Linear Algebra III. 4 units

Rigorous development of real and complex inner product spaces. Orthogonal bases and direct sums of subspaces. Linear transformations on inner product spaces. Properties of self-adjoint and normal operators. Additional topics such as the Jordan Decomposition Theorem and the Spectral Theorem. 4 lectures.

MATH 408. Complex Analysis I. 4 units

2020-21 or later: Upper-Div GE Area B

2019-20 or earlier catalog: GE Area B5, B6, or B7

Elementary analytic functions and mappings. Cauchy's Integral Theorem Poisson's Integral Formula. Taylor and Laurent series, theory of residues, and the evaluation of integrals. Harmonic functions, conformal mappings. 4 lectures. Fulfills GE Upper-Division B (GE Area B5, B6, or B7 for students on the 2019-20 or earlier catalogs).

MATH 409. Complex Analysis II. 4 units

Further applications of the calculus of residues, analytic continuation, Rouche's theorem, and the argument principle. Conformal maps, the Riemann mapping theorem, Mobius transformations and applications. Additional topics may include Riemann surfaces, special functions, Weierstrass and Hadamard factorization, and asymptotic methods. 4 lectures.

MATH 412. Introduction to Analysis I. 4 units

Introduction to concepts and methods basic to real analysis. Topics such as the real number system, sequences, continuity, uniform continuity and differentiation. 4 lectures.

MATH 413. Introduction to Analysis II. 4 units

A continuation of Introduction to Analysis I covering such topics as integration, infinite series, uniform convergence and functions of several variables. 4 lectures.

MATH 414. Introduction to Analysis III. 4 units

Continuation of Introduction to Analysis II covering such topics as differentiation and integration of functions of several variables and other advanced topics. 4 lectures.

MATH 416. Differential Equations II. 4 units

Qualitative theory of ordinary differential equations: Existence and Uniqueness Theorem, phase portraits, limit sets, stability of fixed points and periodic orbits, energy functions, Poincare-Bendixson Theorem, Poincare maps, bifurcations, attractors, chaos. 4 lectures.

MATH 418. Partial Differential Equations. 4 units

Mathematical formulation of physical laws. Separation of variables. Orthogonal functions and generalized Fourier series. Bessel functions, Legendre polynomials. Sturm-Liouville problem. Boundary value problems nonhomogeneous techniques. Applications to heat flow, potential theory, vibrating strings and membranes. 4 lectures.

MATH 419. Introduction to the History of Mathematics. 4 units

Prerequisite: MATH 248 with a grade of C- or better and at least one upper division course in mathematics, or consent of instructor.

Evolution of mathematics from earliest to modern times. Major trends in mathematical thought, the interplay of mathematical and technological innovations, and the contributions of great mathematicians. Appropriate for prospective and in-service teachers. 4 lectures.

MATH 422. Introduction to Analysis I Workshop. 1 unit

Concurrent: Enrollment in the associated section of MATH 412.

Facilitated study and discussion of the methods and techniques of proof in introductory analysis. Credit/No Credit grading only. 1 laboratory.

MATH 423. Advanced Mathematics for Teaching. 4 units

Introduction to mathematics education research and advanced exploration of the mathematics taught in California's public high schools and middle schools through problem analysis, concept analysis, and problem connections. 4 lectures.

MATH 424. Organizing and Teaching Mathematics. 4 units

Prerequisite: Acceptance into the Mathematics Single Subject Credential Program.

Organization, selection, presentation, application and interpretation of subject matter in mathematics. Introduction to current issues in mathematics education. For students who will be teaching in secondary schools. Credit/No Credit grading only. 4 lectures.

MATH 425. Mathematics Student Teaching Seminar. 2 units

Prerequisite: Acceptance into Step II of the Single Subject Credential Program in Mathematics. Concurrent: EDUC 469 or EDUC 479.

Principles and practice in effective teaching of mathematics at the middle and high school level, learning theories, curriculum content and structure, classroom issues, and the teaching profession. Credit/No Credit grading only. Total credit limited to 4 units. 2 seminars.

MATH 435. Discrete Mathematics with Applications I. 4 units

Prerequisite: MATH 248 with a grade of C- or better and MATH 336, or consent of instructor.

Methods of discrete mathematics with applications. Generating functions and Lagrange inversion, partition theory, permutation statistics and q-analogues, posets and Moebius inversion. Additional topics including lattice paths and basic hypergeometric series. 4 lectures. Not open to students with credit in MATH 530.

MATH 436. Discrete Math with Applications II. 4 units

Methods of discrete mathematics with applications. Polya theory, codes, designs, matroids, the combinatorics of symmetric functions, and tableaux combinatorics. Additional topics including transversals and Latin squares, asymptotics, and discrete probability theory. 4 lectures. Not open to students with credit in MATH 531.

MATH 437. Game Theory. 4 units

Prerequisite: MATH 206 or MATH 244, and MATH 248 with a grade of C- or better, or consent of instructor.

Development of the mathematical concepts, techniques, and models used to investigate optimal strategies in competitive situations games in extensive, normal, and characteristic form, Nash equilibrium points and Nash Bargaining Model. 4 lectures.

MATH 440. Topology I. 4 units

Introduction to general topological spaces with emphasis on surfaces and manifolds. Open and closed sets, continuity, compactness, connectedness. Quotient spaces. 4 lectures. Not open to students with credit in MATH 540.

MATH 441. Topology II. 4 units

Introduction to general topological spaces with emphasis on surfaces and manifolds. Fundamental group. Triangulations of spaces, classification of surfaces. Other topics may include covering spaces, simplicial homology, homotopy theory and topics from differential topology. 4 lectures. Not open to students with credit in MATH 541.

MATH 442. Euclidean Geometry. 4 units

Prerequisite: MATH 248 with a grade of C- or better or consent of instructor. Recommended: MATH 300 or familiarity with dynamic geometry software.

Foundations of Euclidean geometry, finite geometries, congruence, similarities, polygonal regions, circles and spheres. Constructions, mensuration, the parallel postulate. Appropriate for prospective and in-service mathematics teachers. 4 lectures.

MATH 443. Modern Geometries. 4 units

Non-Euclidean and projective geometries. Properties of parallels, biangles, Saccheri and Lambert quadrilaterals, angle-sum and area. Limiting curves: hyperbolic trigonometry, duality, perspectivity, quadrangles, fundamental theorems of projective geometry, conics. 4 lectures.

MATH 451. Numerical Analysis I. 4 units

Prerequisite: MATH 206 and MATH 242, or MATH 241 and MATH 244, and an introductory college-level programming course.

Topics in interpolation and approximation methods, initial value problems, and boundary value problems of ordinary differential equations. 4 lectures.

MATH 452. Numerical Analysis II. 4 units

Numerical techniques for solving partial differential equations of the parabolic, hyperbolic and elliptic type. Further topics in approximation theory. 4 lectures.

MATH 453. Numerical Optimization. 4 units

Algorithms for solving optimization problems that cannot be solved analytically. Descent algorithms including exact and practical line-searches, steepest descent method, and Newton and quasi-Newton methods for unconstrained minimization. Optimality conditions for constrained optimization, linear programming. Projection and Lagrangian methods, and interior point methods for constrained minimization. 4 lectures.

MATH 459. Senior Project Seminar. 4 units

Written and oral analyses and presentations by students on topics from advanced mathematics and mathematical modeling. Not open to students with credit in MATH 460. 4 seminars.

MATH 460. Senior Project Applied Seminar. 4 units

Written and oral analyses and presentations by students on topics in applied mathematics, including applications to sustainability. Construction of mathematical models for physical and biological problems, with analysis and interpretation of the solutions of these models using both analytical and numerical techniques. Not open to students with credit in MATH 459. 4 seminars.

MATH 461. Senior Project I. 2 units

Prerequisite: Senior Standing.

Selection and development of a mathematics project under faculty supervision. Minimum 60 hours total time.

MATH 462. Senior Project II. 2 units

Completion of a mathematics project under faculty supervision. Project results are presented in a formal report. Minimum 60 hours total time.

MATH 470. Selected Advanced Topics. 1-4 units

Prerequisite: Consent of instructor.

Directed group study of selected topics for advanced students. Open to undergraduate and graduate students. The Schedule of Classes will list title selected. Total credit limited to 8 units. 1 to 4 lectures.

MATH 474. Advanced Topics in Geometry and Topology. 1 unit

Prerequisite: MATH 248 and consent of instructor. Recommended: MATH 404 and MATH 440.

Exploration of advanced topics and problems in geometry and topology through reading, writing and oral presentations. The Class Schedule will list topic selected. Total credit limited to 6 units. 1 seminar.

MATH 475. Advanced Topics in Mathematics. 4 units

Prerequisite: MATH 306 and consent of instructor.

Exploration of advanced topics and problems in mathematics. The Class Schedule will list topic selected. Total credit limited to 8 units. 4 lectures.

MATH 476. Advanced Topics in Applied Mathematics. 4 units

Prerequisite: MATH 306 and consent of instructor.

Exploration of advanced topics and problems in applied mathematics. The Class Schedule will list topic selected. Total credit limited to 8 units. 4 lectures.

MATH 481. Abstract Algebra I. 4 units

Introduction to the study of groups. Topics include groups of permutations, cyclic groups, normal subgroups and quotient groups. Homomorphisms, Lagrange's Theorem, Cayley's Theorem, the Isomorphism Theorems and the Fundamental Theorem of Finite Abelian Groups. 4 lectures.

MATH 482. Abstract Algebra II. 4 units

Introduction to rings and fields. Reducible and irreducible polynomials, ideals, prime and maximal ideals, quotient rings, ring homomorphisms, the Isomorphism Theorems, integral domains, unique factorization domains, principal ideal domains, Euclidean domains, fields of fractions, field extensions and finite fields. 4 lectures.

MATH 483. Abstract Algebra III. 4 units

Algebraic field extensions, the tower law, ruler-and-compass constructions, the primitive element theorem, algebraic and transcendental numbers, algebraic closure, the fundamental theorem of algebra, finite fields, Galois extensions and the fundamental theorem of Galois theory. Not open to students with credit in MATH 560. 4 lectures.

MATH 485. Cooperative Education Experience. 6 units

Prerequisite: Consent of instructor.

Part-time work experience in business, industry, government, and other areas of student career interest. Positions are paid and usually require relocation and registration in course for two consecutive quarters. Formal report and evaluation by work supervisor required. No major credit allowed total credit limited to 12 units. Credit/No Credit grading only.

MATH 491. Abstract Algebra I Workshop. 1 unit

Concurrent: Enrollment in the associated section of MATH 481.

Facilitated study and discussion of the methods and techniques of proof in abstract algebra. Credit/No Credit grading only. 1 laboratory.

MATH 495. Cooperative Education Experience. 12 units

Prerequisite: Consent of instructor.

Full-time work experience in business, industry, government, and other areas of student career interest. Positions are paid and usually require relocation and registration in course for two consecutive quarters. Formal report and evaluation by work supervisor required. No major credit allowed total credit limited to 12 units. Credit/No Credit grading only.

MATH 500. Individual Study. 1-4 units

Prerequisite: Graduate standing and consent of department chair.

Individual research or advanced study planned and completed under the direction of a departmental faculty member. Open only to graduate students demonstrating ability to do independent work. Total credit limited to 12 units.

MATH 501. Analytic Methods in Applied Mathematics. 4 units

Prerequisite: MATH 344 or AERO 300, and graduate standing.

Introduction to advanced methods of mathematics useful in the analysis of engineering problems. Selected topics in perturbation theory, optimization and Fourier analysis. Not open to students in math major or master's degree program in mathematics. 4 lectures.

MATH 502. Numerical Methods in Applied Mathematics. 4 units

Prerequisite: Graduate standing, or CSC/CPE 101 or CSC 231 or CSC 232 and one of the following: AERO 300 or EE 228 or MATH 344 or PHYS 321.

Introduction to advanced numerical analysis. Numerical techniques for solving ordinary and partial differential equations, error analysis, stability, methods for linear systems. 4 lectures.

MATH 505. Graduate Teaching Seminar. 1 unit

Prerequisite: Graduate standing.

Principles and practice in effective teaching of college-level mathematics. Issues related to present and future teaching experiences, including time management, professionalism, student assessment, grading, classroom management, and qualities of good mathematics teachers. Reflection on individual teaching, and consideration of improvements in instruction. Credit/No Credit grading only. Total credit limited to 2 units. 1 seminar.

MATH 520. Applied Analysis I. 4 units

Prerequisite: MATH 408 MATH 412 and graduate standing. Recommended: MATH 418.

Advanced mathematical methods of applied mathematics, integrated with modeling of physical phenomena. Topics include dimensional analysis, applications of complex analysis, and advanced techniques for ordinary differential equations. Additional topics selected from dynamical systems, calculus of variations, or other applied subjects. 4 lectures.

MATH 521. Applied Analysis II. 4 units

Advanced mathematical methods of applied mathematics, integrated with modeling of physical phenomena. Topics include asymptotic expansions, advanced techniques for partial differential equations, and Fourier analysis. Additional topics selected from integral equations, discrete time systems, numerical analysis, or other applied subjects. 4 lectures.

MATH 530. Discrete Mathematics with Applications I. 4 units

Prerequisite: MATH 248 with a grade of C- or better and MATH 336 and graduate standing, or consent of instructor.

Methods of discrete mathematics with applications. Generating functions and Lagrange inversion, partition theory, permutation statistics and q-analogues, posets and Möbius inversion. Additional topics including lattice paths and basic hypergeometric series. 4 lectures. Not open to students with credit in MATH 435.

MATH 531. Discrete Mathematics with Applications II. 4 units

Prerequisite: MATH 435 or MATH 530. Corequisite: MATH 482 or graduate standing in Mathematics.

Methods of discrete mathematics with applications. Polya theory, codes, designs, matroids, the combinatorics of symmetric functions, and tableaux combinatorics. Additional topics including transversals and Latin squares, asymptotics, and discrete probability theory. 4 lectures. Not open to students with credit in MATH 436.

MATH 540. Topology I. 4 units

Prerequisite: MATH 412 or graduate standing in Mathematics. Corequisite: MATH 481 or graduate standing in Mathematics.

Introduction to general topological spaces with emphasis on surfaces and manifolds. Open and closed sets, continuity, compactness, connectedness. Quotient spaces. 4 lectures. Not open to students with credit in MATH 440.

MATH 541. Topology II. 4 units

Introduction to general topological spaces with emphasis on surfaces and manifolds. Fundamental group. Triangulations of spaces, classification of surfaces. Other topics may include covering spaces, simplicial homology, homotopy theory and topics from differential topology. 4 lectures. Not open to students with credit in MATH 441.

MATH 548. Transition to Graduate Mathematics. 4 units

Prerequisite: Graduate standing.

Interactive construction and analysis of mathematical proof and exposition at the graduate level. Topics drawn from standard advanced material in real analysis, linear algebra, and modern algebra. Major credit limited to 4 units total limited to 8 units. 2 lectures, 2 seminars.

MATH 550. Real Analysis. 4 units

Prerequisite: Satisfactory completion of the Graduate Written Examination in Analysis or consent of the Graduate Committee.

Introduction to Lebesgue measure and integration, convergence theorems, Lp spaces, Radon-Nikodym Theorem and Fubini's Theorem. 4 lectures.

MATH 560. Field Theory. 4 units

Prerequisite: MATH 482 or graduate standing.

Polynomial rings, field extensions, normal and separable extensions, automorphisms of fields, fundamental theorem of Galois theory, and further topics such as solvable groups, solution by radicals, insolvability of the quintic. Not open to students with credit in MATH 483. 4 lectures.

MATH 561. Graduate Algebra. 4 units

Prerequisite: Completion of the Graduate Written Exam in Algebra or consent of the Graduate Committee.

An introduction to advanced topics from modern algebra, including group actions, the Sylow theorems, semi-direct products, and modules over a principal ideal domain. Other topics may include commutative algebra, homological algebra, cryptography applications, and topics from advanced linear algebra. 4 lectures.

MATH 570. Selected Advanced Topics. 1-4 units

Prerequisite: Graduate standing and consent of instructor.

Directed group study of selected topics for graduate students. The Class Schedule will list topic selected. Total credit limited to 8 units. 1 to 4 lectures.

MATH 580. Seminar. 1-4 units

Prerequisite: Graduate standing and consent of instructor.

Built around topics in advanced mathematics chosen according to the common interests and needs of the students enrolled. Each seminar will have a subtitle according to the nature of the content. Total credit limited to 12 units. 1-4 seminars.

MATH 599. Thesis. 3 units

Prerequisite: Graduate standing and consent of instructor.

Serious research endeavor devoted to the development, pedagogy or learning of mathematics. Total credit limited to 9 units.

© 2021-2022 California Polytechnic State University San Luis Obispo, California 93407
Phone: 805-756-1111


1.4: Applications - Mathematics

Exercise 1.4.18. Given arbitrary nxn matrices A and B, show that the first column of AB is the same as A times the first column of B. Hint: Let x = (1, 0, …, 0) be a column vector with n components, and use the fact that A(Bx) = (AB)x.

So Bx is equal to the first column of B. Similarly if C = AB we have

So again Cx is equal to the first column of C or, to put it another way, (AB)x is equal to the first column of AB.

But we also have A(Bx) = (AB)x, which means that A times the first column of B is equal to the first column of AB.

NOTE: This continues a series of posts containing worked out exercises from the (out of print) book Linear Algebra and Its Applications, Third Edition by Gilbert Strang.

If you find these posts useful I encourage you to also check out the more current Linear Algebra and Its Applications, Fourth Edition , Dr Strang’s introductory textbook Introduction to Linear Algebra, Fourth Edition and the accompanying free online course, and Dr Strang’s other books.


1.4: Applications - Mathematics

Exercise 1.4.15. Given the matrix E given by

and an arbitrary 2ࡨ matrix A, describe the rows of the product matrix EA and the columns of AE.

The first row of EA is a linear combination of the two rows of A, with coefficients 1 and 7 respectively in other words, the first row of EA is equal to the first row of A plus 7 times the second row of A. The second row of EA is equal to the second row of A.

The first column of AE is equal to the first column of A. The second column of AE is a linear combination of the two columns of A, with coefficients 7 and 1 respectively in other words, the second column of AE is equal to 7 times the first column of A plus the second column of A.

NOTE: This continues a series of posts containing worked out exercises from the (out of print) book Linear Algebra and Its Applications, Third Edition by Gilbert Strang.

If you find these posts useful I encourage you to also check out the more current Linear Algebra and Its Applications, Fourth Edition , Dr Strang’s introductory textbook Introduction to Linear Algebra, Fourth Edition and the accompanying free online course, and Dr Strang’s other books.


1.4: Applications - Mathematics

Exercise 1.4.24. The following matrices can be multiplied using block multiplication, with the indicated submatrices within the matrices multiplied together:

  1. Provide example matrices matching the templates above and use block multiplication to multiply them together.
  2. Provide two example templates for multiplying a 3ࡪ matrix A and 4ࡨ matrix B using block multiplication.

Answer: (a) For the first example we multiply the following matrices using block multiplication on the indicated submatrices:

To do block multiplication we must multiply all submatrices that are capable of being multiplied, i.e., the number of columns in the first submatrix is equal to the number of columns in the second submatrix. We then take the product of each pair of submatrices, assign it a spot in the final product matrix, and sum the resulting matrices to get the answer.

In the above example we start by multiplying the upper left 2ࡨ submatrix in the first matrix with the upper left 2ࡨ submatrix in the second matrix:

and then with the upper right 2ࡧ submatrix in the second matrix:

We next multiply the 2ࡧ upper right submatrix in the first matrix with the 1ࡨ lower left submatrix in the second matrix:

and then with the 1ࡧ lower right submatrix in the second matrix:

We next multiply the lower left 1ࡨ submatrix in the first matrix with the upper left 2ࡨ submatrix in the second matrix:

and then with the upper right 2ࡧ submatrix in the second matrix:

Finally we multiple the 1ࡧ submatrix in the lower right of the first matrix with the 1ࡨ submatrix in the lower left of the second matrix:

and with the 1ࡧ submatrix in the lower right of the second matrix:

Then we add all of the resulting matrices together:

and compare to the result of conventional matrix multiplication:

For the second example we multiply the following matrices using block multiplication on the indicated submatrices:

We start by multiplying the left 2ࡨ submatrix in the first matrix with the upper 2ࡨ submatrix in the second matrix:

and then multiply the right 2ࡨ submatrix in the first matrix with the lower 2ࡨ submatrix in the second matrix:

Then we add the two resulting matrices together:

and compare to the result of conventional matrix multiplication:

(b) In multiplying a 3ࡪ matrix by a 4ࡨ matrix using block multiplication, one possible way to divide the matrices is as follows:

This results in multiplying the left 3ࡨ submatrix of the first matrix by the upper 2ࡨ submatrix of the second matrix to produce a 3ࡨ matrix, and multiplying the right 3ࡨ submatrix of the first matrix by the lower 2ࡨ submatrix of the second matrix to produce a second 3ࡨ matrix. The two 3ࡨ matrices are then added to produce the final 3ࡨ product matrix.

Another slightly more complicated approach is as follows:

This results in multiplying the left 3ࡩ submatrix of the first matrix by the upper 3ࡨ submatrix of the second matrix to produce a 3ࡨ matrix, and multiplying the right 3ࡧ submatrix of the first matrix by the lower 1ࡨ submatrix of the second matrix to produce a second 3ࡨ matrix. The two 3ࡨ matrices are then added to produce the final 3ࡨ product matrix.

NOTE: This continues a series of posts containing worked out exercises from the (out of print) book Linear Algebra and Its Applications, Third Edition by Gilbert Strang.

If you find these posts useful I encourage you to also check out the more current Linear Algebra and Its Applications, Fourth Edition , Dr Strang’s introductory textbook Introduction to Linear Algebra, Fourth Edition and the accompanying free online course, and Dr Strang’s other books.


Learning Outcomes

Upon successful completion, students will have the knowledge and skills to:

On satisfying the requirements of this course, students will have the knowledge and skills to:

1. Explain the fundamental concepts of calculus and linear algebra and their role in modern mathematics and applied contexts
2. Demonstrate accurate and efficient use of calculus and linear algebra techniques
3. Demonstrate capacity for mathematical reasoning through analyzing, proving and explaining concepts from calculus and linear algebra
4. Apply problem-solving using calculus and linear algebra techniques applied to diverse situations in physics, engineering and other mathematical contexts


1.4: Applications - Mathematics

Lectures: Tuesday and Thursday, 12:30-2:00pm, Valley Life Sciences 2050

Professor: L. Williams (office 913 Evans, e-mail wil [email protected] berkeley .edu)

Office Hours: Mondays 3:30-4:30pm in 913 Evans, and Tuesdays 2-3:30pm in 961 Evans. (On Tues Feb 20, office hours will instead be 10am to 11:30am)

Teaching assistants:

  • Albert Ai, 845 Evans.
  • Aaron Brookner, 1006 Evans.
  • Jeremy Meza, 775 Evans.
  • Chris Miller, 1049 Evans.
  • Melissa Sherman-Bennett, 824 Evans.
  • Charles Wang, 828 Evans.

For extra help: check out the Student Learning Center. You are also welcome to attend the office hours of the instructor or of ANY GSI (see the list of office hours at the bottom of the page).

ANNOUNCEMENTS: Here is a summary of the topics we've covered in this class.

During RRR week, Professor Williams will hold review sessions at the time/place of the usual lecture (VLSB 12:30pm-2pm Tues/Thurs). Additionally, Aaron will have meetings at the time/place of his recitation, and also his usual office hour (11am-1pm Friday). Albert will have meetings at the time/place of his recitation, and also his usual office hour. Melissa will have meetings at the time/place of her recitation, and also her usual office hour. Charles will have his usual office hour 11-12:30pm on Tues/Thurs. Jeremy will have his usual office hours 10am-12pm on Wednesday. Chris will have office hours 11am-1pm on Wednesday (note unusual time).

During finals week, Jeremy will have his usual office hours Wednesday 10am-12pm. Charles will have his usual office hour Tues/Thurs 11am-12:30pm. Chris will have office hours on Wednesday May 9 11am-1pm (note unusual time). All students are welcome at all of the activities listed above.

Here is a sample Midterm 1, and here are the solutions. Midterm 1 will cover all the material we've covered so far (in class or in homework) up through Section 4.3.

Here is a sample Midterm 2 and here are the solutions. Midterm 2 will cover all the material we've covered so far (in class or in homework) up through Section 9.3 and a bit of 9.4.

Midterms: In-class, Tuesday, February 13 and Tuesday, April 10. Examenul final: Thursday May 10, 3-6pm, Wheeler Auditorium 150.

For fun

  • Applications of combinatorics at an Ethiopian restaurant in Berkeley: how many vegetarian combinations are there?
  • Socrates and the three little pigs: how many ways are there to put three pigs in five houses?

Enrollment questions

Course description

This course provides an introduction to logic and proof techniques, basics of set theory, elementary number theory and cryptography, combinatorial enumeration, discrete probability, and graph theory, with a view towards applications. It is designed for majors in mathematics, computer science, statistics, and other related science and engineering disciplines.

Textbooks

Required text: information can be found here. This is a custom edition of the 7th edition of the textbook Discrete Mathematics and its Applications, by Kenneth H. Rosen, McGraw-Hill. (More specifically, it is identical to the 7th edition except a few chapters are missing as a result, it is somewhat less expensive than the full-length version.)

Note that the 6th and 7th editions of Rosen are quite similar, but the order of presentation of topics is slightly different. I will be assigning a number of problems out of the book, so if you have an older edition of the textbook, you'll have to look at the 7th edition in order to find out what problems to do.

Problem Sets

All solutions that you submit must be your own work and must not be copied from somewhere else. A solution that is blatantly copied from another source will receive zero credit. There will be serious consequences for repeat offenders. You ARE are allowed to discuss the homework problems with other students, but if you do this, you must list at the top of your homework the names of any collaborators. If you used sources besides the textbook, you must list those as well.

Midterms

There will be two in-class midterms. *No books, notes, calculators, scratch paper or collaboration are permitted at any exam*. Your student photo ID is required at the midterms and final exam. No make-up midterms will be given instead, missing midterm scores will be overridden by the final exam score.

Final

The final exam will be on Thursday, May 10, 3-6pm. Note that there are no makeups for the final exam.

Grading

Homework 15%, Midterms 25% each, Final 35%. Your lowest two homework scores will be dropped, and the final exam score will override any lower midterm score. This means that, a posteriori, your final exam may count as 60% or 85% instead of 35%. Incomplete grades are rarely given, and only for a documented serious medical problem or genuine personal/family emergency, provided you have a C average on the previous coursework.

According to the College academic calendar, the last day to add or drop this course is Friday, February 16, shortly after the first midterm. The last day to change your grading option via CalCentral is March 23.

Lectures

I will post some partial lecture notes in advance of each lecture, which you can print out in advance and annotate during lecture if you wish. (Since these notes are not complete, they won't substitute for the lecture itself, but are meant to make your note-taking easier.)

No laptops, phones, or other electronic equipment can be used during lecture or discussion sections unless explicitly permitted by the instructor for in-class activities. The only permanent exceptions are for students with a document disability which requires it. Such students should explain the situation to the instructor or GSI and sit in the first 3 rows.


Priveste filmarea: TOP 5 aplicații utile pentru elevi și studenți (August 2022).