Articole

3.5: Tarife conexe - Matematică

3.5: Tarife conexe - Matematică



We are searching data for your request:

Forums and discussions:
Manuals and reference books:
Data from registers:
Wait the end of the search in all databases.
Upon completion, a link will appear to access the found materials.

Dacă mai multe cantități sunt legate de o ecuație, atunci diferențierea ambelor părți ale acelei ecuații în raport cu o variabilă (de obicei (t ), reprezentând timpul) produce o relație între ratele de schimbare ale acelor cantități. Ratele de modificare cunoscute sunt apoi utilizate în această relație pentru a determina o rată necunoscută.

Exemplu ( PageIndex {1} ): relrate1

Adăugați text aici.

Soluţie

Să presupunem că apa este pompată într-o piscină dreptunghiulară cu o rată de 60.000 de metri cubi pe minut. Dacă piscina are o lungime de 300 ft, o lățime de 100 ft și o adâncime de 10 ft, cât de rapidă se schimbă înălțimea apei din piscină?

Soluţie: Fie (V ) volumul de apă din bazin. Deoarece volumul unui solid dreptunghiular este produsul lungimii, lățimii și înălțimii solidului, atunci

[V ~ = ~ (300) (100) h ~ = ~ 30000h ~~ text {ft} ^ 3 ] unde (h ) este înălțimea apei, ca în imaginea din dreapta. Atât (V ), cât și (h ) sunt funcții de timp (t ) (măsurate în minute), iar ( dVdt = 60000 ~ text {ft} ^ 3 ) / min a fost dat. Scopul este de a găsi ( frac {d ! H} { dt} ). De cand

[ dVdt ~ = ~ ddt , (30000h) ~ = ~ 30000 , frac {d ! h} { dt} ] apoi

[ frac {d ! h} { dt} ~ = ~ frac {1} {30000} dVdt ~ = ~ frac {1} {30000} cdot 60000 ~ = ~ 2 ~ text {ft / min}. ]

Exemplu ( PageIndex {1} ): relrate2

Adăugați text aici.

Soluţie

Să presupunem că unghiul de înclinare de la vârful unui pol de 100 ft spre soare scade cu o rată de (0,05 ) radiani pe minut. Cât de rapidă crește lungimea umbrei polului pe sol atunci când unghiul de înclinare este ( pi / 6 ) radiani? Puteți presupune că polul este perpendicular pe sol.

Soluţie: Fie ( theta ) unghiul de înclinare și fii (x ) lungimea umbrei, ca în imaginea din dreapta. Ambele ( theta ) și (x ) sunt funcții ale timpului (t ) (măsurate în minute) și ( frac {d negmedspace theta} { dt} = -0,05 ) rad / min a fost dat (derivatul este negativ deoarece ( theta ) este în scădere). Scopul este de a găsi ( dxdt ) când ( theta = pi / 6 ), notat cu ( dxdt Biggr | _ { theta = pi / 6} ) (bara verticală înseamnă „Evaluat la” valoarea indicelui în dreapta barei). De cand

[x ~ = ~ 100 ; cot , theta quad Rightarrow quad dxdt ~ = ~ -100 ; csc ^ 2 theta cdot frac {d negmedspace theta} { dt } ~ = ~ -100 ; csc ^ 2 theta cdot (-0.05) ~ = ~ 5 ; csc ^ 2 theta ] atunci

[ dxdt Biggr | _ { theta = pi / 6} ~ = ~ 5 ; csc ^ 2 ( pi / 6) ~ = ~ 5 ; (2) ^ 2 ~ = ~ 20 ~ text {ft / min}. ]

Exemplu ( PageIndex {1} ): relrate3

Adăugați text aici.

Soluţie

Raza unui cilindru circular drept scade cu o rată de (3 ) cm / min, în timp ce înălțimea crește cu o rată de (2 ) cm / min. Găsiți rata de schimbare a volumului cilindrului atunci când raza este (8 ) cm și înălțimea este (6 ) cm.

Soluţie: Fie (r ), (h ) și (V ) să fie raza, înălțimea și respectiv volumul cilindrului. Apoi (V = pi , r ^ 2 , h ). Întrucât ( frac { dr} { dt} = -3 ) cm / min și ( frac {d negmedspace h} { dt} = 2 ) cm / min, atunci după regula produsului:

[ dVdt ~ = ~ ddt ( pi , r ^ 2 , h) ~ = ~ left (2 pi , r ; cdot ; drdt right) , h ~ + ~ pi , r ^ 2 ; cdot ; frac {d negmedspace h} { dt} quad Rightarrow quad dVdt Biggr | _ { text { scriptsize {$ begin {matrix} r = 8 h = 6 end {matrix} $}}} ~ = ~ 2 pi , (8) , (- 3) , (6) ~ + ~ pi , (8 ^ 2 ) , (2) ~ = ~ -160 pi ~ frac { text { scriptsize cm} ^ 3} { text { scriptsize min}} ]

[sec3dot5]

  1. O piatră este aruncată în apă liniștită. Dacă raza ondulației exterioare circulare crește cu o rată de (4 ) ft / s, cât de rapidă crește aria cercului de apă perturbată când raza este (10 ​​) ft?
  2. Raza unei sfere scade cu o rată de 3 mm / oră. Determinați cât de repede se schimbă volumul și suprafața sferei atunci când raza este de 5 mm.
  3. Un zmeu (80 ) ft deasupra nivelului solului se deplasează orizontal la o rată de (4 ) ft / s departe de persoana care îl zboară. Cât de rapid se eliberează șirul în momentul în care au fost eliberate (100 ) ft de șir?
  4. O scară (10 ​​) - ft se sprijină de un perete pe un teren plan. Dacă partea inferioară a scării este trasă de perete cu o viteză de (5 ) ft / s, cât de repede va coborî partea de sus a scării în momentul când se află (8 ) ft de la sol?
  5. O persoană (6 ) ft înălțime merge cu o viteză de (6 ) ft / s distanță de o lumină care este (15 ) ft deasupra solului. Cu ce ​​ritm se deplasează capătul umbrei persoanei de-a lungul solului, departe de lumină?
  6. Un obiect se deplasează de-a lungul curbei (y = x ^ 3 ) în planul (xy ) -. În ce puncte de pe curbă se schimbă în același ritm coordonatele (x ) și (y ) ale obiectului?
  7. Raza unui con circular drept scade cu o rată de (4 ) cm / min, în timp ce înălțimea crește cu o rată de (3 ) cm / min. Găsiți rata de schimbare a volumului conului atunci când raza este (6 ) cm și înălțimea este (7 ) cm.
  8. Două bărci părăsesc același doc în același timp, una merge spre nord la 25 mph și cealaltă merge spre est la 30 mph. Cât de rapidă se schimbă distanța dintre bărci când sunt la o distanță de 100 mile?
  9. Repetați exercițiul 8 cu unghiul dintre bărci fiind (110 grade ). [[1.]]
  10. Un unghi ( theta ) se modifică cu timpul. Pentru ce valori de ( theta ) se schimbă ( sin , theta ) și ( tan , theta ) în același ritm?
  11. Repetați exemplul

    Exemplu ( PageIndex {1} ): relrate2

    Adăugați text aici.

    Soluţie

    dar cu solul făcând un unghi (100 grade ) cu stâlpul din stânga stâlpului. [[1.]]
  12. Un rezervor vertical cilindric plin cu apă este răsturnat la o viteză unghiulară constantă. Să presupunem că înălțimea rezervorului este cel puțin de două ori mai mare decât raza sa. Arătați că în momentul în care rezervorul a fost răsturnat (45 grade ), apa iese din rezervor de două ori mai repede decât a făcut-o în momentul în care rezervorul a fost răsturnat prima dată. (Sugestie: Gândiți-vă cum arată apa în interiorul rezervorului în timp ce este răsturnată.


Priveste filmarea: Geometria - Problema 10 (August 2022).