Articole

1.2: Mecanica Newton - Cădere liberă - Matematică

1.2: Mecanica Newton - Cădere liberă - Matematică


We are searching data for your request:

Forums and discussions:
Manuals and reference books:
Data from registers:
Wait the end of the search in all databases.
Upon completion, a link will appear to access the found materials.

Dimensiunile sunt utile nu numai pentru a dezbate argumente incorecte, ci și pentru a genera altele corecte. Ca exemplu contrar care arată ce nu trebuie făcut, iată câte manuale de calcul introduc o problemă clasică în mișcare:

O minge inițial în repaus cade de la o înălțime de h picioare și lovește solul cu o viteză de v picioare pe secundă. Găsiți v presupunând o accelerație gravitațională de g picioare pe secundă pătrat și neglijarea rezistenței la aer.

Unitățile, cum ar fi picioarele sau picioarele pe secundă, sunt evidențiate cu caractere aldine, deoarece includerea lor este atât de frecventă încât să scape altfel de notificare, iar includerea lor creează o problemă semnificativă. Deoarece înălțimea este de h picioare, variabila h nu conține unitățile de înălțime: h este deci adimensională. (Pentru ca h să aibă dimensiuni, problema ar afirma în schimb pur și simplu că mingea cade de la o înălțime h; atunci dimensiunea lungimii ar aparține h.) O specificație similară explicită a unităților înseamnă că variabilele g și v sunt, de asemenea, adimensionale. Deoarece g, h și v sunt adimensionale, orice comparație a lui v cu mărimi derivate din g și h este o comparație între mărimi adimensionale. Prin urmare, este întotdeauna valabilă din punct de vedere dimensional, astfel încât analiza dimensională nu ne poate ajuta să ghicim viteza impactului.

Renunțarea la instrumentul valoros al dimensiunilor este ca și cum ai lupta cu o mână legată la spate. Prin urmare, trebuie să rezolvăm următoarea ecuație diferențială cu condițiile inițiale:

[ frac {d ^ {2} y} {dt ^ {2}} = -g, text {cu} y (0) = h text {și} dy / dt = 0 text {at} t = 0, etichetă {1.1} ]

unde y (t) este înălțimea mingii, dy / dt este viteza mingii și g este accelerația gravitațională.

Problema 1.3 Soluție de calcul

Utilizați calculul pentru a arăta că ecuația diferențială de cădere liberă (d ^ {2} y / dt ^ {2} ) = −g cu condițiile inițiale y (0) = h și dy / dt = 0 la t = 0 are următoarea soluție:

[ frac {dy} {dt} = -gt text {și} y = - frac {1} {2} gt ^ {2} + h. label {1.2} ]

Întrebare

Folosind soluțiile pentru poziția și viteza mingii în problema 1.3, care este viteza de impact?

Când y (t) = 0, mingea se întâlnește cu solul. Astfel, timpul de impact t este ( sqrt {2h / g} ). Viteza de impact este −gt (_ {0} ) sau - ( sqrt {2gh} ). Prin urmare, viteza de impact (viteza nesemnată) este ( sqrt {2gh} ).

Această analiză invită mai multe greșeli de algebră: uitarea de a lua o rădăcină pătrată atunci când se rezolvă pentru (t_ {0} ), sau divizarea, mai degrabă decât înmulțirea cu g la găsirea vitezei de impact. Practicați cu alte cuvinte, a face și a corecta multe greșeli reduce prevalența lor în probleme simple, dar problemele complexe cu mai mulți pași rămân câmpuri minate. Am dori metode mai puțin predispuse la erori.

O alternativă robustă este metoda analizei dimensionale. Dar acest instrument necesită ca cel puțin o cantitate dintre v, g și h să aibă dimensiuni. În caz contrar, fiecare viteză de impact a candidatului, oricât de absurdă este, echivalează cu cantități adimensionale și, prin urmare, are dimensiuni valide.

Prin urmare, să reformulăm problema căderii libere, astfel încât cantitățile să-și păstreze dimensiunile:

  • O minge inițial în repaus cade de la o înălțime h și lovește solul cu viteza v. Găsiți v presupunând o accelerație gravitațională g și neglijând rezistența aerului.

Reformularea este, mai întâi, mai scurtă și mai clară decât expresia originală:

  • O minge inițial în repaus cade de la o înălțime de h picioare și lovește solul cu o viteză de v picioare pe secundă. Găsiți v presupunând o accelerație gravitațională de g picioare pe secundă pătrată și neglijând rezistența aerului.

În al doilea rând, reformularea este mai generală. Nu face nicio presupunere cu privire la sistemul de unități, deci este util chiar dacă metri, coți sau lungimi sunt unitatea de lungime. Cel mai important, retratarea oferă dimensiuni h, g și v. Dimensiunile lor vor determina aproape unic viteza de impact - fără a fi nevoie să rezolvăm o ecuație diferențială.

Dimensiunile înălțimii h sunt pur și simplu lungime sau, pe scurt, L. Dimensiunile accelerației gravitaționale g sunt lungimea pe timp pătrat sau (LT ^ {- 2} ), unde T reprezintă dimensiunea timpului. O viteză are dimensiuni de (LT ^ {- 1} ), deci v este o funcție a lui g și h cu dimensiuni de (LT ^ {- 1} ).

Problema 1.4 Dimensiunile cantităților familiare

În ceea ce privește dimensiunile de bază, lungimea L, masa M și timpul T, care sunt dimensiunile energiei, puterii și cuplului?

Întrebare

Ce combinație de g și h are dimensiuni de viteză?

Combinația ( sqrt {gh} ) are dimensiuni de viteză.

(( underbrace { mathrm {LT} ^ {- 2}} _ { mathrm {g}} times underbrace { mathrm {L}} _ { mathrm {h}}) ^ {1/2 } = sqrt { mathrm {L} ^ {2} mathrm {~ T} ^ {- 2}} = underbrace { mathrm {LT} ^ {- 1}} _ { text {speed}}. ) [ label {1.3} ]

Întrebare

Este ( sqrt {gh} ) singura combinație de g și h cu dimensiuni de viteză?

Pentru a decide dacă ( sqrt {gh} ) este singura posibilitate, utilizați propagarea constrângerii [43]. Cea mai puternică constrângere este că combinația g și h, fiind o viteză, ar trebui să aibă dimensiuni ale timpului invers ( (T ^ {- 1} )). Deoarece h nu conține dimensiuni de timp, nu poate ajuta la construirea (T ^ {- 1} ).

Deoarece g conține (T ^ {- 2} ), (T ^ {- 1} ) trebuie să provină de la ( sqrt {g} ). A doua constrângere este că combinația conține (L ^ {1} ). ( Sqrt {g} ) contribuie deja (L ^ {1/2} ), deci lipsa (L ^ {1/2} ) trebuie să provină de la ( sqrt {h} ) . Cele două constrângeri determină astfel modul unic în care apar g și h în viteza de impact v.

Cu toate acestea, expresia exactă pentru v nu este unică. Poate fi ( sqrt {gh} ), ( sqrt {2gh} ) sau, în general, ( sqrt {gh} ) × constantă adimensională. Idioma multiplicării cu o constantă adimensională apare frecvent și merită o notație compactă asemănătoare semnului egal:

[v∼ sqrt {gh} label {1.4} ]

Incluzând această notație, avem mai multe specii de egalitate:

∝ egalitate, cu excepția poate pentru un factor cu dimensiuni,

∼ egalitate, cu excepția poate pentru un factor fără dimensiuni,

≈ egalitate, cu excepția poate pentru un factor apropiat de 1.

Viteza exactă de impact este ( sqrt {2gh} ), deci rezultatul dimensiunilor ( sqrt {gh} ) conține întreaga dependență funcțională! Îi lipsește doar factorul adimensional ( sqrt {2} ), iar acești factori sunt adesea neimportanți. În acest exemplu, înălțimea ar putea varia de la câțiva centimetri (un purice sărit) la câțiva metri (o pisică sărind de pe o cornișă). Variația factorului de 100 în înălțime contribuie la o variație a factorului de 10 în viteza de impact. În mod similar, accelerația gravitațională poate varia de la 0,27 m (s ^ {- 2} ) (pe asteroidul Ceres) la 25 m (s ^ {- 2} ) (pe Jupiter). Variația factorului de 100 în g contribuie la o altă variație a factorului de 10 în viteza de impact. Prin urmare, o mare variație a vitezei de impact nu provine din factorul adimensional ( sqrt {2} ), ci mai degrabă din factorii simbolici care sunt calculați exact prin analiza dimensională. În plus, necalcularea răspunsului exact poate fi un avantaj. Răspunsurile exacte au toți factorii și termenii, permițând informații mai puțin importante, cum ar fi factorul adimensional, cum ar fi ( sqrt {gh} ). După cum a sfătuit William James, „Arta de a fi înțelept este arta de a ști ce să treci cu vederea” [19, Capitolul 22].

Problema 1.5 Aruncare verticală

Arunci o minge direct în sus cu viteza v0. Utilizați analiza dimensională pentru a estima cât durează mingea să vă întoarcă în mână (neglijând rezistența la aer). Apoi găsiți ora exactă rezolvând ecuația diferențială de cădere liberă. Ce factor adimensional lipsea din rezultatul analizei dimensionale?


Conținut:

În mecanică, este necesar să luați o problemă reală și să o puneți în limbaj matematic. Acest proces este cunoscut sub numele de modelare.

Terminologie

Când modelăm, de multe ori facem presupuneri pentru a simplifica matematica.

A particule este un corp a cărui întreagă greutate acționează printr-un singur punct. O particulă nu suferă de rezistență la aer.

A lamina este un corp bidimensional, este echivalentul bidimensional al unei particule. Toată greutatea acționează printr-un singur plan.

Se spune că un corp este uniformă dacă are densitate constantă. Un corp nu este uniform dacă densitatea variază de-a lungul.

A neted suprafața este una care nu are frecare.

A stare brută suprafața este una asupra căreia acționează fricțiunea.

Spunem că un obiect este ușoară dacă nu are masă. Deci, nici o greutate nu acționează asupra unui corp ușor.

Un șir inextensibil este un șir care are o lungime fixă ​​- este imposibil să se întindă.

A corp rigid este un corp care nu este un punct și a cărui formă este fixă.


ANSHS Physics Classroom-xanmechanics

Cât de repede?
Lucrurile cad din cauza forței gravitației. Atunci când un obiect în cădere este lipsit de orice reținere - fără frecare, aer sau altfel - și cade numai sub influența gravitației, acesta se află în cădere liberă.
Viteza dobândită = accelerație x timp
Pentru un obiect care cade din repaus, viteza instantanee v, oricând, t poate fi exprimată în notare stenogramă ca v = gt.
Litera v simbolizează atât viteza, cât și viteza.
Cat de departe?
Distanța parcursă de obiectul care accelerează uniform pornind de la repaus este
Distanța = 1 / 2gt2. Unde d este distanța pe care o cade obiectul, g este accelerația și t este timpul de cădere în secunde.
Exemple de probleme
1.
A. Cât durează o bilă să cadă de pe acoperiș la pământ la 7,0 m mai jos?
b. Cu ce ​​viteză lovește solul?
RĂSPUNS:
În probleme cinematice, începeți cu un tabel davfvit. Utilizați acest format pentru a enumera informațiile oferite și pentru a identifica cantitatea pentru care se rezolvă. Apoi identificați relația dintre cantitățile date și necunoscute, înlocuiți valorile în relație și rezolvați necunoscutul.

1.
d 7,0 m [jos]
a 9.8 m / s2 [jos]
vf
vi 0
nu?
PROBLEME DE ARUNCARE
Problemele de aruncare în sus se referă la situații în care viteza inițială a unui obiect este opusă accelerației sale. Cheia este să alegeți un cadru de referință. De exemplu, dacă & # 8220up & # 8221 este +, atunci & # 8220down & # 8221 este -. Cadrul de referință trebuie utilizat în mod constant pe tot parcursul procesului de rezolvare.
RĂSPUNS:
2. cadru de referință: jos = +
d 7,0 m
a 9,8 m / s2
vf
vi & # 8211 2,0 m / s *
nu?
Acum putem vedea că avem nevoie de o relație între d, a, vi și t

(7,0 m) = (-2,00) t + (0,5) (9,8) t2
t = <1,42, -1,01>
Deoarece t & lt 0 nu are sens,
t = 1,42 s

În problemele de recuperare, două obiecte cu mișcări diferite ajung în același loc în același timp. Uneori, aceste probleme au aspectul de a nu avea suficiente informații pentru a fi rezolvate. Cu toate acestea, în fizică avem încredere.


Aceste probleme sunt complexe deoarece descriu două mișcări diferite. Abordarea utilizată este simplificarea problemei prin descompunerea ei în probleme simple. Acest lucru este în jos prin utilizarea a două coloane în tabelul davfvit: o coloană pentru fiecare mișcare.


EXEMPLU
3. O minge este aruncată de pe acoperiș la pământ la 8,0 m mai jos. O piatră este aruncată în jos de pe acoperiș cu 0,600 s mai târziu. Dacă amândoi au lovit solul în același timp, care a fost viteza inițială a stâncii?

RĂSPUNS:
3.
mingea rock
d 8,0 m [jos] 8,0 m [jos]
a 9.8 m / s2 [jos] 9.8 m / s2 [jos]
vf
vi 0?
nu? ?

Avem nevoie de timp pentru a găsi viteza. Deoarece avem mai multe informații despre minge, începem să rezolvăm timpul pentru minge.
Acum putem vedea că avem nevoie de o relație între d, a, vi și t

d = vit + (0,5) at2
8,0 = (0) t + (0,5) (9,8 m / s2) t2

t = 1,28s
Timpul de deplasare pentru piatră este cu 0,600 s mai mic decât pentru minge. Acum masa noastră arată astfel:
mingea rock
d 8,0 m [jos] 8,0 m [jos]
a 9.8 m / s2 [jos] 9.8 m / s2 [jos]
vf
vi 0?
t 1,28 s 0,68 s

Pentru rock avem nevoie de o relație între d, a, vi și t

d = vit + (0,5) at2
8,0 = vi (0,68 s) + (0,5) (9,8 m / s2) (0,68 s) 2
vi = 8,43 m / s


2 Răspunsuri 2

Acest lucru depinde de obiect și de suprafață.

Ori de câte ori un obiect real lovește altul și se oprește complet, se întâmplă două lucruri din perspectivă fizică:

  1. Energia cinetică a obiectului în mișcare este redusă la 0.
  2. O forță acționează asupra obiectului.

Ori de câte ori obiecte reale se lovesc reciproc, va exista deformare. Luați în considerare o minge de bowling și o minge de coș. Dacă mingea de bowling cade pe picior, energia cinetică este convertită pe o distanță foarte mică, deoarece nu se întâmplă prea multe deformări. Mingea coșului, pe de altă parte, se poate stoarce, astfel încât energia să fie convertită pe o cale mai lungă. Aceasta corespunde unei forțe mai mici, deoarece munca $ W $ realizată (energia convertită) poate fi exprimată ca $ W = Fs $. Dacă $ s $ este mic, $ F $ trebuie să fie mare pentru a face aceeași muncă.

O modalitate de a privi problema inițială ar putea fi universal $ F = ma $ pentru a găsi forța, dar este greu să ajungi la accelerația reală. Este mare (deoarece viteza se schimbă brusc) și arată în sus.

Un alt mod, poate mai simplu, este de a privi energiile și faptul că energia cinetică a obiectului este redusă la zero de-a lungul unei căi (foarte scurte).

Deoarece $ W = Fs Rightarrow F = frac$ și $ W = Delta KE = Delta PE = mgh $ puteți calcula forța dacă faceți presupuneri despre distanța pe care trebuie să o oprească obiectul.


Care sunt exemple de forțe?

  • Când ridici ceva de pe sol, brațul tău exercită o forță în sus asupra obiectului. Acesta este un exemplu de forță activă
  • Pământul și apos gravitația trage în jos asupra unui obiect și această forță este numită greutate
  • Un buldozer poate exercita o forță uriașă, împingând materialul de-a lungul solului
  • O forță uriașă sau împingere este produsă de motoarele unei rachete care o ridică pe orbită
  • Când împingeți un perete, peretele se împinge înapoi. Dacă încercați să comprimați un arc, arcul încearcă să se extindă și vă împinge înapoi împotriva mâinii. Când stai pe pământ, acesta împinge în sus și te sprijină. Toate acestea sunt exemple de forțe reactive. Ei nu există și nu există fără o forță activă. Vezi (legile Newton și aposs mai jos)
  • Dacă polii diferiți ai doi magneți sunt adunați împreună (N și S), magneții se vor atrage reciproc. Cu toate acestea, dacă doi poli asemănători sunt mișcați unul lângă altul (N și N sau S și S), magneții se vor respinge

Cuprins

În lumea occidentală, înainte de secolul al XVI-lea, s-a presupus în general că viteza unui corp în cădere ar fi proporțională cu greutatea sa - adică se aștepta ca un obiect de 10 kg să cadă de zece ori mai repede decât un alt obiect identic de 1 kg același mediu. Filozoful antic grec Aristotel (384-322 î.Hr.) a discutat despre obiectele care cadeau în Fizică (Cartea VII), una dintre cele mai vechi cărți despre mecanică (vezi fizica aristotelică).

În Irakul secolului al XII-lea, Abu'l-Barakāt al-Baghdādī a dat o explicație pentru accelerația gravitațională a cadavrelor. Potrivit lui Shlomo Pines, teoria mișcării al-Baghdādī a fost „cea mai veche negație a legii dinamice fundamentale a lui Aristotel [și anume, că o forță constantă produce o mișcare uniformă], [și este astfel o] anticipare într-o manieră vagă a legii fundamentale a mecanica clasică [și anume că o forță aplicată continuu produce accelerație]. " [1]

Potrivit unei povești care ar putea fi apocrifă, în 1589–92 Galileo a aruncat două obiecte de masă inegală din Turnul înclinat din Pisa. Având în vedere viteza cu care s-ar produce o astfel de cădere, este îndoielnic faptul că Galileo ar fi putut extrage multe informații din acest experiment. Majoritatea observațiilor sale asupra cadavrelor cadeau în realitate despre corpuri care se rostogoleau pe rampe. Acest lucru a încetinit lucrurile suficient de mult până la punctul în care a fost capabil să măsoare intervalele de timp cu ceasuri de apă și cu propriul puls (cronometrele care nu au fost încă inventate). El a repetat acest lucru „de o sută de ori” până când a obținut „o precizie de așa natură încât abaterea dintre două observații nu a depășit niciodată o zecime din pulsul”. În 1589–92, Galileo a scris De Motu Antiquiora, un manuscris inedit despre mișcarea cadavrelor. [ este necesară citarea ]

Exemple de obiecte în cădere liberă includ:

  • O navă spațială (în spațiu) cu propulsie oprită (de exemplu, pe o orbită continuă sau pe o traiectorie suborbitală (balistică) care urcă câteva minute și apoi coboară).
  • Un obiect a căzut în partea de sus a unui tub de cădere.
  • Un obiect aruncat în sus sau o persoană care sare de pe sol la viteză mică (adică atâta timp cât rezistența la aer este neglijabilă în comparație cu greutatea).

Din punct de vedere tehnic, un obiect este în cădere liberă chiar și atunci când se deplasează în sus sau instantaneu în repaus în partea de sus a mișcării sale. Dacă gravitația este singura influență care acționează, atunci accelerația este întotdeauna descendentă și are aceeași magnitudine pentru toate corpurile, denumită în mod obișnuit g < displaystyle g>.

Deoarece toate obiectele cad în același ritm în absența altor forțe, obiectele și oamenii vor experimenta imponderabilitate în aceste situații.

Exemple de obiecte care nu sunt în cădere liberă:

  • Zborul într-o aeronavă: există, de asemenea, o forță suplimentară de ridicare.
  • Stând pe pământ: forța gravitațională este contracarată de forța normală de la sol.
  • Coborâre pe Pământ folosind o parașută, care echilibrează forța gravitației cu o forță aerodinamică de tracțiune (și cu unele parașute, o forță de ridicare suplimentară).

Exemplul unui parașutist care nu a desfășurat încă o parașută nu este considerat cădere liberă din perspectiva fizicii, deoarece experimentează o forță de tracțiune care este egală cu greutatea lor odată ce au atins viteza maximă (vezi mai jos)

Aproape de suprafața Pământului, un obiect în cădere liberă în vid va accelera la aproximativ 9,8 m / s 2, independent de masa acestuia. Dacă rezistența la aer acționează asupra unui obiect care a fost scăpat, obiectul va atinge în cele din urmă o viteză maximă, care este de aproximativ 53 m / s (190 km / h sau 118 mph [2]) pentru un parașutist uman. Viteza terminală depinde de mulți factori, inclusiv masa, coeficientul de tracțiune și suprafața relativă și va fi atinsă numai dacă căderea este de la o altitudine suficientă. Un parașutist tipic în poziție de vultur răspândit va atinge viteza maximă după aproximativ 12 secunde, timp în care vor fi căzut în jur de 450 m (1.500 ft). [2]

Căderea liberă a fost demonstrată pe lună de astronautul David Scott la 2 august 1971. El a eliberat simultan un ciocan și o pană de la aceeași înălțime deasupra suprafeței lunii. Ciocanul și penele au căzut ambele în același ritm și au lovit pământul în același timp. Aceasta a demonstrat descoperirea lui Galileo că, în absența rezistenței aerului, toate obiectele experimentează aceeași accelerație datorită gravitației. Cu toate acestea, pe Lună, accelerația gravitațională este de aproximativ 1,63 m / s 2, sau doar aproximativ 1 ⁄6 că pe Pământ.

Câmp gravitațional uniform fără rezistență la aer Edit

Acesta este cazul „manualului” al mișcării verticale a unui obiect care cade la mică distanță aproape de suprafața unei planete. Este o bună aproximare în aer atâta timp cât forța de greutate asupra obiectului este mult mai mare decât forța de rezistență a aerului sau, în mod echivalent, viteza obiectului este întotdeauna mult mai mică decât viteza finală (a se vedea mai jos).

Câmp gravitațional uniform cu rezistență la aer Edit

Acest caz, care se aplică parașutistilor, parașutiștilor sau oricărui corp de masă, m < displaystyle m> și a secțiunii transversale, A < displaystyle A>, cu numărul Reynolds cu mult peste numărul critic Reynolds, astfel încât rezistența aerului este proporțional cu pătratul vitezei de cădere, v < displaystyle v>, are o ecuație de mișcare

unde ρ < displaystyle rho> este densitatea aerului și C D < displaystyle C _ < mathrm >> este coeficientul de tragere, presupus a fi constant, deși în general va depinde de numărul Reynolds.

Presupunând că un obiect cade din repaus și nu se modifică densitatea aerului cu altitudinea, soluția este:

Viteza obiectului în funcție de timp poate fi integrată în timp pentru a găsi poziția verticală în funcție de timp:

Folosind cifra de 56 m / s pentru viteza maximă a unui om, se constată că după 10 secunde va cădea 348 metri și va atinge 94% din viteza maximă, iar după 12 secunde va cădea 455 metri și va atinge 97% din viteza terminală. Cu toate acestea, atunci când densitatea aerului nu poate fi presupusă a fi constantă, cum ar fi pentru obiectele care cad de la altitudine mare, ecuația mișcării devine mult mai dificil de rezolvat analitic și este de obicei necesară o simulare numerică a mișcării. Figura arată forțele care acționează asupra meteoroizilor care cad prin atmosfera superioară a Pământului. Salturile HALO, inclusiv salturile record ale lui Joe Kittinger și Felix Baumgartner, aparțin, de asemenea, în această categorie. [3]

Câmp gravitațional cu lege pătrată inversă Edit

Se poate spune că două obiecte din spațiu care orbitează reciproc în absența altor forțe sunt în cădere liberă una în jurul celeilalte, de ex. că Luna sau un satelit artificial „cade în jurul” Pământului sau o planetă „cade în jurul” Soarelui. Presupunând obiecte sferice înseamnă că ecuația mișcării este guvernată de legea gravitației universale a lui Newton, soluțiile la problema gravitațională cu doi corpuri fiind orbite eliptice care respectă legile Kepler ale mișcării planetare. Această legătură între obiectele care cad aproape de Pământ și obiectele care orbitează este ilustrată cel mai bine de experimentul de gândire, ghiulea lui Newton.

Mișcarea a două obiecte care se deplasează radial unul față de celălalt fără impuls unghiular poate fi considerată un caz special al unei orbite eliptice de excentricitate e = 1 (traiectoria eliptică radială). Acest lucru permite calcularea timpului de cădere liberă pentru obiecte cu două puncte pe o cale radială. Soluția acestei ecuații de mișcare produce timp în funcție de separare:

Separarea în funcție de timp este dată de inversul ecuației. Inversul este reprezentat exact de seria puterii analitice:

În relativitatea generală, un obiect în cădere liberă nu este supus nicio forță și este un corp inerțial care se mișcă de-a lungul unei geodezii. Departe de orice sursă de curbură spațiu-timp, unde spațiul-timp este plat, teoria newtoniană a căderii libere este de acord cu relativitatea generală. În caz contrar, cei doi nu sunt de acord, de exemplu, numai relativitatea generală poate explica precesiunea orbitelor, decăderea orbitală sau inspirația binarelor compacte datorate undelor gravitaționale și relativitatea direcției (precesie geodetică și trasarea cadrelor).

Observația experimentală că toate obiectele aflate în cădere liberă accelerează în același ritm, așa cum a observat-o Galileo și apoi întruchipată în teoria lui Newton ca egalitatea maselor gravitaționale și inerțiale, și confirmată ulterior cu o precizie ridicată de formele moderne ale experimentului Eötvös, este baza principiului echivalenței, de la care a început inițial teoria relativității generale a lui Einstein.


Reclamație DMCA

Dacă credeți că conținutul disponibil prin intermediul site-ului web (așa cum este definit în Termenii și condițiile noastre) încalcă unul sau mai multe drepturi de autor, vă rugăm să ne anunțați furnizând o notificare scrisă („Notificare de încălcare”) care conține informațiile descrise mai jos către persoana desemnată agent listat mai jos. Dacă Tutorii Varsity iau măsuri ca răspuns la o Notificare privind încălcarea dreptului, va face o încercare de bună credință de a contacta partea care a pus la dispoziție un astfel de conținut prin intermediul celei mai recente adrese de e-mail, dacă este cazul, furnizată de către o astfel de parte Tutorilor Varsity.

Notificarea dvs. de încălcare poate fi transmisă părții care a pus la dispoziție conținutul sau unor terțe părți, cum ar fi ChillingEffects.org.

Vă rugăm să rețineți că veți fi răspunzător pentru daune (inclusiv costurile și onorariile avocaților) dacă declarați în mod eronat că un produs sau activitate vă încalcă drepturile de autor. Astfel, dacă nu sunteți sigur că conținutul localizat sau legat de site-ul web vă încalcă drepturile de autor, ar trebui să luați în considerare mai întâi contactarea unui avocat.

Urmați acești pași pentru a depune o notificare:

Trebuie să includeți următoarele:

O semnătură fizică sau electronică a proprietarului dreptului de autor sau a unei persoane autorizate să acționeze în numele său O identificare a dreptului de autor despre care se pretinde că a fost încălcat o descriere a naturii și a locației exacte a conținutului despre care pretindeți că vă încalcă drepturile de autor, în suficient detalii pentru a permite Tutorilor Varsity să găsească și să identifice în mod pozitiv acel conținut, de exemplu, avem nevoie de un link către întrebarea specifică (nu doar numele întrebării) care conține conținutul și o descriere a porțiunii specifice a întrebării - o imagine, o link, text, etc - reclamația dvs. se referă la numele dvs., adresa, numărul de telefon și adresa de e-mail și o declarație a dvs.: (a) că credeți cu bună credință că utilizarea conținutului despre care pretindeți că vă încalcă drepturile de autor este neautorizat prin lege sau de către proprietarul drepturilor de autor sau agentul respectivului proprietar (b) că toate informațiile conținute în notificarea dvs. privind încălcarea dreptului sunt corecte și (c) sub pedeapsa mărturiei mincinoase, că sunteți fie proprietarul drepturilor de autor sau o persoană autorizată să acționeze în numele lor.

Trimiteți reclamația agentului nostru desemnat la:

Charles Cohn Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
Louis, MO 63105


Cădere liberă

Editorii noștri vor examina ceea ce ați trimis și vor stabili dacă să revizuiți articolul.

Cădere liberă, în mecanică, stare a unui corp care se mișcă liber în orice mod în prezența gravitației. Planetele, de exemplu, sunt în cădere liberă în câmpul gravitațional al Soarelui. Legile lui Newton arată că un corp în cădere liberă urmează o orbită astfel încât suma forțelor gravitaționale și inerțiale să fie egală cu zero. Aceasta explică de ce un astronaut dintr-o navă spațială care orbitează Pământul se confruntă cu o condiție de imponderabilitate: atracția gravitațională a Pământului este egală și opusă forței inerțiale - în acest caz, centrifuge - din cauza mișcării vehiculului. Forțele gravitaționale nu sunt niciodată uniforme și, prin urmare, numai centrul de masă este în cădere liberă. Toate celelalte puncte ale unui corp sunt supuse forțelor mareelor, deoarece se mișcă într-un câmp gravitațional ușor diferit. Pământul este în cădere liberă, dar atracția Lunii nu este aceeași la suprafața Pământului ca în centrul său creșterea și căderea mareelor ​​oceanice, deoarece oceanele nu sunt în cădere liberă perfectă.


Cădere liberă cu exemple

Căderea liberă este un fel de mișcare pe care toată lumea o poate observa în viața de zi cu zi. Lăsăm ceva accidental sau intenționat și vedem mișcarea acestuia. La început are viteză redusă și până la final câștigă viteză și înainte de prăbușire atinge viteza maximă. Ce factori afectează viteza obiectului în timp ce acesta este în cădere liberă? Cum putem calcula distanța necesară, timpul necesar în timpul căderii libere? Ne ocupăm de aceste subiecte în această secțiune. În primul rând, permiteți-mi să încep cu sursa creșterii cantității de viteză în timpul toamnei. După cum puteți ghici, lucrurile cad din cauza gravitației. Astfel, obiectele noastre câștigă viteză de aproximativ 10m / s într-o secundă în timp ce cad din cauza gravitației. Numim această accelerare în fizică acceleratie gravitationala și arată cu & ldquog & rdquo. Valoarea g este de 9,8m / s & sup2 totuși, în exemplele noastre presupunem că este de 10 m / s & sup2 pentru calcule simple. Acum este timpul să formulăm ceea ce am spus mai sus. Am vorbit despre creșterea vitezei care este egală cu cantitatea de g într-o secundă. Astfel viteza noastră poate fi găsită prin formula

V = g.t unde g este accelerația gravitațională și t este timpul.

Uită-te la exemplul dat mai jos și încearcă să înțelegi ce am încercat să explic mai sus.

Exemplu Băiatul aruncă mingea de pe un acoperiș al casei, care durează 3 secunde pentru a lovi pământul. Calculați viteza înainte ca mingea să se prăbușească la sol. (g = 10m / s & sup2)


V = 10m / s & sup2.3s = 30m / s

Am învățat cum să găsim viteza obiectului la un moment dat. Acum vom învăța cum să găsim distanța luată în timpul mișcării. Ofer câteva ecuații pentru a calcula distanța și alte cantități. Galileo a găsit o ecuație pentru distanța față de experimentele sale.

Folosind această ecuație putem găsi înălțimea casei în exemplul dat mai sus. Să descoperim cât de înaltă a fost scăpată mingea? Folosim 10 m / s & sup2 pentru g.

Cred că formula acum este puțin mai clară în mintea ta. Vom rezolva mai multe probleme legate de acest subiect. Acum, gândește-te că dacă arunc mingea drept în sus cu o viteză inițială. Când se oprește și cade din nou la pământ? Răspundem la aceste întrebări acum.


Imaginea arată magnitudinile vitezei în partea de jos și în partea de sus. După cum puteți vedea, mingea este aruncată în sus cu o viteză v inițială, în partea de sus viteza devine zero și o schimbă direcția și începe să cadă în jos, care este cădere liberă. În cele din urmă, în partea de jos, înainte de prăbușire, atinge viteza maximă, care se arată ca V & rsquo. Am vorbit despre creșterea vitezei în cădere liberă. Crește 9,8m / s în fiecare secundă datorită accelerației gravitaționale. În acest caz, există și g, dar direcția mingii & rsquos este în sus, astfel încât semnul lui g este negativ. Astfel, viteza noastră scade în 9,8m / s în fiecare secundă până când viteza devine zero. În partea de sus, din cauza vitezei zero, mingea își schimbă direcția și începe să cadă liber. Înainte de rezolvarea problemelor, vreau să dau graficele mișcării de cădere liberă.

După cum vedeți în grafice, viteza noastră crește liniar cu o accelerație & ldquog & rdquo, al doilea grafic ne spune că accelerația este constantă la 9,8m / s & sup2 și, în cele din urmă, al treilea grafic este reprezentarea schimbării poziției noastre. La început avem o deplasare pozitivă și, pe măsură ce trece timpul, scade și devine în cele din urmă zero. Acum putem rezolva probleme folosind aceste grafice și explicații.

Exemplu John aruncă mingea drept în sus și după 1 secundă atinge înălțimea maximă, apoi face mișcare de cădere liberă care durează 2 secunde. Calculați înălțimea și viteza maximă a mingii înainte ca aceasta să se prăbușească la sol. (g = 10m / s & sup2)

Exemplu Un obiect face mișcare de cădere liberă. Loveste pământul după 4 secunde. Calculați viteza obiectului după 3 secunde și înainte ca acesta să lovească solul. Care poate fi înălțimea aruncată?

Două exemple date mai sus încearcă să arate cum să utilizați ecuațiile de cădere liberă. Putem găsi viteza, distanța și timpul din datele date. Acum, voi da încă trei ecuații și finalizează subiectul cinematică 1D. Ecuațiile sunt


Prima ecuație este utilizată pentru a găsi viteza obiectului având viteza și accelerația inițială. Al doilea este utilizat pentru calcularea distanței obiectului cu viteză și accelerație inițială. A treia și ultima ecuație este ecuația vitezei atemporale. Dacă se cunoaște distanța, viteza inițială și accelerația obiectului, atunci puteți găsi viteza finală a obiectului. Acum, să rezolvăm câteva probleme folosind aceste ecuații pentru a înțelege subiectul în detaliu.

Exemplu Calculați viteza mașinii care are viteza inițială 24m / s și accelerația 3m / s & sup2 după 15 secunde.

Folosim prima ecuație pentru a rezolva această întrebare.

Exemplu Mașina care este inițial în repaus are o accelerație de 7m / s & sup2 și parcurge 20 de secunde. Găsiți distanța pe care o parcurge în această perioadă.


6.1 Rezolvarea problemelor cu legile lui Newton

Succesul în rezolvarea problemelor este necesar pentru a înțelege și a aplica principiile fizice. Am dezvoltat un model de analiză și configurare a soluțiilor la problemele care implică legile lui Newton în Legile mișcării lui Newton în acest capitol, continuăm să discutăm aceste strategii și să aplicăm un proces pas cu pas.

Strategii de rezolvare a problemelor

Urmăm aici elementele de bază ale rezolvării problemelor prezentate mai devreme în acest text, dar subliniem strategii specifice care sunt utile în aplicarea legilor mișcării lui Newton. Odată ce identificați principiile fizice implicate în problemă și determinați că acestea includ legile mișcării lui Newton, puteți aplica acești pași pentru a găsi o soluție. Aceste tehnici consolidează, de asemenea, concepte care sunt utile în multe alte domenii ale fizicii. Multe strategii de rezolvare a problemelor sunt enunțate direct în exemplele lucrate, astfel încât următoarele tehnici ar trebui să consolideze abilitățile pe care le-ați început deja să vă dezvoltați.

Strategia de rezolvare a problemelor

Aplicarea legilor de mișcare ale lui Newton

  1. Identificați principiile fizice implicate înscriind datele și cantitățile care urmează să fie calculate.
  2. Schițați situația, folosind săgeți pentru a reprezenta toate forțele.
  3. Determinați sistemul de interes. Rezultatul este o diagramă cu corp liber, esențială pentru rezolvarea problemei.
  4. Aplicați a doua lege a lui Newton pentru a rezolva problema. Dacă este necesar, aplicați ecuațiile cinematice corespunzătoare din capitolul despre mișcare de-a lungul unei linii drepte.
  5. Verificați soluția pentru a vedea dacă este rezonabilă.

Să aplicăm această strategie de rezolvare a problemelor la provocarea de a ridica un pian cu coadă într-un apartament cu etaj. Odată ce am stabilit că sunt implicate legile de mișcare ale lui Newton (dacă problema implică forțe), este deosebit de important să trasăm o schiță atentă a situației. O astfel de schiță este prezentată în Figura 6.2 (a). Apoi, ca în Figura 6.2 (b), putem reprezenta toate forțele cu săgeți. Ori de câte ori există suficiente informații, este mai bine să etichetați aceste săgeți cu atenție și să faceți ca lungimea și direcția fiecărei să corespundă forței reprezentate.

Ca și în cazul majorității problemelor, trebuie să identificăm în continuare ceea ce trebuie determinat și ce se știe sau care poate fi dedus din problemă așa cum sa menționat, adică să facem o listă de cunoscuți și necunoscuți. Este deosebit de important să identificăm sistemul de interes, deoarece a doua lege a lui Newton implică doar forțe externe. Putem determina apoi ce forțe sunt externe și care sunt interne, un pas necesar pentru a folosi a doua lege a lui Newton. (A se vedea Figura 6.2 (c).) A treia lege a lui Newton poate fi utilizată pentru a identifica dacă se exercită forțe între componentele unui sistem (intern) sau între sistem și ceva din exterior (extern). După cum este ilustrat în Legile mișcării lui Newton, sistemul de interes depinde de întrebarea la care trebuie să răspundem. Numai forțele sunt prezentate în diagramele corpului liber, nu accelerația sau viteza. Am desenat mai multe diagrame cu corp liber în exemplele lucrate anterior. Figura 6.2 (c) prezintă o diagramă cu corp liber pentru sistemul de interes. Rețineți că nu există forțe interne într-o diagramă a corpului liber.

Odată desenată o diagramă cu corp liber, aplicăm a doua lege a lui Newton. Acest lucru se face în Figura 6.2 (d) pentru o anumită situație. In general, once external forces are clearly identified in free-body diagrams, it should be a straightforward task to put them into equation form and solve for the unknown, as done in all previous examples. If the problem is one-dimensional—that is, if all forces are parallel—then the forces can be handled algebraically. If the problem is two-dimensional, then it must be broken down into a pair of one-dimensional problems. We do this by projecting the force vectors onto a set of axes chosen for convenience. As seen in previous examples, the choice of axes can simplify the problem. For example, when an incline is involved, a set of axes with one axis parallel to the incline and one perpendicular to it is most convenient. It is almost always convenient to make one axis parallel to the direction of motion, if this is known. Generally, just write Newton’s second law in components along the different directions. Then, you have the following equations:

(If, for example, the system is accelerating horizontally, then you can then set a y = 0 . a y = 0 . ) We need this information to determine unknown forces acting on a system.

As always, we must check the solution. In some cases, it is easy to tell whether the solution is reasonable. For example, it is reasonable to find that friction causes an object to slide down an incline more slowly than when no friction exists. In practice, intuition develops gradually through problem solving with experience, it becomes progressively easier to judge whether an answer is reasonable. Another way to check a solution is to check the units. If we are solving for force and end up with units of millimeters per second, then we have made a mistake.

There are many interesting applications of Newton’s laws of motion, a few more of which are presented in this section. These serve also to illustrate some further subtleties of physics and to help build problem-solving skills. We look first at problems involving particle equilibrium, which make use of Newton’s first law, and then consider particle acceleration, which involves Newton’s second law.

Particle Equilibrium

Recall that a particle in equilibrium is one for which the external forces are balanced. Static equilibrium involves objects at rest, and dynamic equilibrium involves objects in motion without acceleration, but it is important to remember that these conditions are relative. For example, an object may be at rest when viewed from our frame of reference, but the same object would appear to be in motion when viewed by someone moving at a constant velocity. We now make use of the knowledge attained in Newton’s Laws of Motion, regarding the different types of forces and the use of free-body diagrams, to solve additional problems in particle equilibrium .

Example 6.1

Different Tensions at Different Angles

Strategy

Solution

This gives us the following relationship:

Now consider the force components along the vertical or y-axis:

Substituting the expressions for the vertical components gives

There are two unknowns in this equation, but substituting the expression for T 2 T 2 in terms of T 1 T 1 reduces this to one equation with one unknown:

Solving this last equation gives the magnitude of T 1 T 1 to be

Significance

Particle Acceleration

We have given a variety of examples of particles in equilibrium. We now turn our attention to particle acceleration problems, which are the result of a nonzero net force. Refer again to the steps given at the beginning of this section, and notice how they are applied to the following examples.

Example 6.2

Drag Force on a Barge

Strategy

Solution

However, Newton’s second law states that

This can be solved for the magnitude of the drag force of the water F D F D in terms of known quantities:

Substituting known values gives

Significance

In Newton’s Laws of Motion, we discussed the normal force , which is a contact force that acts normal to the surface so that an object does not have an acceleration perpendicular to the surface. The bathroom scale is an excellent example of a normal force acting on a body. It provides a quantitative reading of how much it must push upward to support the weight of an object. But can you predict what you would see on the dial of a bathroom scale if you stood on it during an elevator ride? Will you see a value greater than your weight when the elevator starts up? What about when the elevator moves upward at a constant speed? Take a guess before reading the next example.

Example 6.3

What Does the Bathroom Scale Read in an Elevator?

Strategy

From the free-body diagram, we see that F → net = F → s − w → , F → net = F → s − w → , so we have

No assumptions were made about the acceleration, so this solution should be valid for a variety of accelerations in addition to those in this situation. (Note: We are considering the case when the elevator is accelerating upward. If the elevator is accelerating downward, Newton’s second law becomes F s − w = − m a . F s − w = − m a . )

Solution

Significance

Thus, the scale reading in the elevator is greater than his 735-N (165-lb.) weight. This means that the scale is pushing up on the person with a force greater than his weight, as it must in order to accelerate him upward. Clearly, the greater the acceleration of the elevator, the greater the scale reading, consistent with what you feel in rapidly accelerating versus slowly accelerating elevators. In Figure 6.5(b), the scale reading is 735 N, which equals the person’s weight. This is the case whenever the elevator has a constant velocity—moving up, moving down, or stationary.

Now calculate the scale reading when the elevator accelerates downward at a rate of 1.20 m/s 2 . 1.20 m/s 2 .

The solution to the previous example also applies to an elevator accelerating downward, as mentioned. When an elevator accelerates downward, a is negative, and the scale reading is Mai puțin than the weight of the person. If a constant downward velocity is reached, the scale reading again becomes equal to the person’s weight. If the elevator is in free fall and accelerating downward at g, then the scale reading is zero and the person appears to be weightless.

Example 6.4

Two Attached Blocks

Strategy

For block 1: T → + w → 1 + N → = m 1 a → 1 T → + w → 1 + N → = m 1 a → 1

For block 2: T → + w → 2 = m 2 a → 2 . T → + w → 2 = m 2 a → 2 .

Solution

When block 1 moves to the right, block 2 travels an equal distance downward thus, a 1 x = − a 2 y . a 1 x = − a 2 y . Writing the common acceleration of the blocks as a = a 1 x = − a 2 y , a = a 1 x = − a 2 y , we now have

From these two equations, we can express a și T in terms of the masses m 1 and m 2 , and g : m 1 and m 2 , and g :

Significance

Calculate the acceleration of the system, and the tension in the string, when the masses are m 1 = 5.00 kg m 1 = 5.00 kg and m 2 = 3.00 kg . m 2 = 3.00 kg .

Example 6.5

Atwood Machine

Strategy

Solution

Significance

Newton’s Laws of Motion and Kinematics

Physics is most interesting and most powerful when applied to general situations that involve more than a narrow set of physical principles. Newton’s laws of motion can also be integrated with other concepts that have been discussed previously in this text to solve problems of motion. For example, forces produce accelerations, a topic of kinematics , and hence the relevance of earlier chapters.

When approaching problems that involve various types of forces, acceleration, velocity, and/or position, listing the givens and the quantities to be calculated will allow you to identify the principles involved. Then, you can refer to the chapters that deal with a particular topic and solve the problem using strategies outlined in the text. The following worked example illustrates how the problem-solving strategy given earlier in this chapter, as well as strategies presented in other chapters, is applied to an integrated concept problem.

Example 6.6

What Force Must a Soccer Player Exert to Reach Top Speed?

Strategy

Solution

  1. We are given the initial and final velocities (zero and 8.00 m/s forward) thus, the change in velocity is Δ v = 8.00 m/s Δ v = 8.00 m/s . We are given the elapsed time, so Δ t = 2.50 s . Δ t = 2.50 s . The unknown is acceleration, which can be found from its definition:

This is a reasonable result: The acceleration is attainable for an athlete in good condition. The force is about 50 pounds, a reasonable average force.

Significance

The soccer player stops after completing the play described above, but now notices that the ball is in position to be stolen. If she now experiences a force of 126 N to attempt to steal the ball, which is 2.00 m away from her, how long will it take her to get to the ball?


Priveste filmarea: Lucrare Practica la Fizica cl. X - g. Caderea libera Mai 2020 Evtodiev Igor (Iulie 2022).


Comentarii:

  1. Jutilar

    Nu ai dreptate. Sunt asigurat. Scrie -mi în pm, vom vorbi.

  2. Bearnard

    Doar mâinile de aur ale autorului ar putea umple o postare atât de cool.

  3. Thackere

    După părerea mea, recunoști greșeala. Îmi pot apăra poziția. Scrie-mi in PM.

  4. Haemon

    In my opinion, you are making a mistake. Îmi pot apăra poziția. Trimiteți -mi un e -mail la pm, vom vorbi.

  5. Corky

    I think this is the wrong way.



Scrie un mesaj