Articole

7.4: Proprietate distributivă

7.4: Proprietate distributivă



We are searching data for your request:

Forums and discussions:
Manuals and reference books:
Data from registers:
Wait the end of the search in all databases.
Upon completion, a link will appear to access the found materials.

Abilități de dezvoltat

  • Simplificați expresiile folosind proprietatea distributivă
  • Evaluează expresiile folosind proprietatea distributivă

fi pregatit!

Înainte de a începe, susțineți acest test de pregătire.

  1. Înmulțiți: 3 (0,25). Dacă ați ratat această problemă, consultați Exemplul 5.3.5
  2. Simplificați: 10 - (−2) (3). Dacă ați ratat această problemă, consultați Exemplul 3.7.5.
  3. Combinați termeni asemănători: 9y + 17 + 3y - 2. Dacă ați ratat această problemă, consultați Exemplul 2.3.10.

Simplificați expresiile folosind proprietatea distributivă

Să presupunem că trei prieteni merg la film. Fiecare are nevoie de 9,25 USD; adică 9 dolari și 1 trimestru. Câți bani au nevoie de toți împreună? Vă puteți gândi la dolari separat de trimestre.

Au nevoie de 3 ori de 9 dolari, deci de 27 de dolari, și de 3 ori de un sfert, deci de 75 de cenți. În total, au nevoie de 27,75 USD. Dacă vă gândiți să faceți matematica în acest fel, utilizați Proprietatea distributivă.

Definiție: proprietate distributivă

Dacă a, b, c sunt numere reale, atunci a (b + c) = ab + ac.

Întorcându-ne prietenilor la filme, am putea arăta pașii matematici pe care îi parcurgem pentru a găsi suma totală de bani de care au nevoie astfel:

[ begin {split} 3 (9 & .25) 3 (9 & + 0.25) 3 (9) & + 3 (0.25) 27 & + 0.75 27 & .75 end {split} ]

În algebră, folosim proprietatea distributivă pentru a elimina parantezele pe măsură ce simplificăm expresiile. De exemplu, dacă ni se cere să simplificăm expresia 3 (x + 4), ordinea operațiilor spune să lucrăm mai întâi între paranteze. Dar nu putem adăuga x și 4, deoarece nu sunt termeni asemănători. Deci, folosim proprietatea distributivă, așa cum se arată în Exemplu ( PageIndex {1} ).

Exemplu ( PageIndex {1} ):

Simplificați: 3 (x + 4).

Soluţie

Distribui.3 • x + 3 • 4
Multiplica.3x + 12

Exercițiu ( PageIndex {1} ):

Simplificați: 4 (x + 2).

Răspuns

(4x + 8 )

Exercițiu ( PageIndex {2} ):

Simplificați: 6 (x + 7).

Răspuns

6x + 42

Unii studenți consideră că este util să deseneze săgeți pentru a le reaminti cum să folosească proprietatea distributivă. Apoi, primul pas din Exemplul 7.17 ar arăta astfel:

[3 cdot x + 3 cdot 4 ]

Exemplu ( PageIndex {2} ):

Simplificați: 6 (5y + 1).

Soluţie

Distribui.$$ 6 cdot 5y + 6 cdot 1 $$
Multiplica.$$ 30y + 6 $$

Exercițiu ( PageIndex {3} ):

Simplificați: 9 (3y + 8).

Răspuns

27y + 72

Exercițiu ( PageIndex {4} ):

Simplificați: 5 (5w + 9).

Răspuns

25w + 45

Proprietatea distributivă poate fi utilizată pentru a simplifica expresiile care arată ușor diferite de a (b + c). Iată alte două forme.

Definiție: proprietate distributivă

Dacă a, b, c sunt numere reale, atunci $$ a (b + c) = ab + ac $$ Alte forme $$ a (b - c) = ab - ac $$$$ (b + c) a = ba + ca ]

Exemplu ( PageIndex {3} ):

Simplificați: 2 (x - 3).

Soluţie

Distribui.$$ 2 cdot x + 2 cdot 3 $$
Multiplica.$$ 2x - 6 $$

Exercițiu ( PageIndex {5} ):

Simplificați: 7 (x - 6).

Răspuns

7x - 42

Exercițiu ( PageIndex {6} ):

Simplificați: 8 (x - 5).

Răspuns

8x - 40

Îți amintești cum să înmulțești o fracție cu un număr întreg? Va trebui să facem acest lucru în următoarele două exemple.

Exemplu ( PageIndex {4} ):

Simplificați: ( dfrac {3} {4} ) (n + 12).

Soluţie

Distribui.$$ dfrac {3} {4} cdot n + dfrac {3} {4} cdot 12 $$
Multiplica.$$ dfrac {3} {4} n + 9 $$

Exercițiu ( PageIndex {7} ):

Simplificați: ( dfrac {2} {5} ) (p + 10).

Răspuns

( frac {2} {5} p + 4 )

Exercițiu ( PageIndex {8} ):

Simplificați: ( dfrac {3} {7} ) (u + 21).

Răspuns

( frac {3} {7} u +9 )

Exemplu ( PageIndex {5} ):

Simplificați: (8 left ( dfrac {3} {8} x + dfrac {1} {4} right) ).

Soluţie

Distribui.$$ 8 cdot dfrac {3} {8} x + 8 cdot dfrac {1} {4} $$
Multiplica.$$ 3x + 2 $$

Exercițiu ( PageIndex {9} ):

Simplificați: (6 left ( dfrac {5} {6} y + dfrac {1} {2} right) ).

Răspuns

5y + 3

Exercițiu ( PageIndex {10} ):

Simplificați: (12 left ( dfrac {1} {3} n + dfrac {3} {4} right) ).

Răspuns

4n + 9

Utilizarea proprietății distributive așa cum se arată în exemplul următor va fi foarte utilă atunci când rezolvăm cererile de bani mai târziu.

Exemplu ( PageIndex {6} ):

Simplificați: 100 (0,3 + 0,25q).

Soluţie

Distribui.$ $ 100 (0,3) + 100 (0,25q) $$
Multiplica.$$ 30 + 25q $$

Exercițiu ( PageIndex {11} ):

Simplificați: 100 (0,7 + 0,15 p).

Răspuns

70 + 15p

Exercițiu ( PageIndex {12} ):

Simplificați: 100 (0,04 + 0,35d).

Răspuns

4 + 35d

În exemplul următor ne vom înmulți cu o variabilă. Va trebui să facem acest lucru într-un capitol ulterior.

Exemplu ( PageIndex {7} ):

Simplificați: (m (n - 4) ).

Soluţie

Distribui.$$ m cdot n - m cdot 4 $$
Multiplica.$$ mn - 4m $$

Observați că am scris m • 4 ca 4m. Putem face acest lucru datorită proprietății comutative a multiplicării. Când un termen este produsul unui număr și al unei variabile, scriem primul numărul.

Exercițiu ( PageIndex {13} ):

Simplificați: r (s - 2).

Răspuns

rs - 2r

Exercițiu ( PageIndex {14} ):

Simplificați: y (z - 8).

Răspuns

yz - 8y

Următorul exemplu va folosi forma „înapoi” a proprietății distributive, (b + c) a = ba + ca.

Exemplu ( PageIndex {8} ):

Simplifică: (x + 8) p.

Soluţie

Exercițiu ( PageIndex {15} ):

Simplificați: (x + 2) p.

Răspuns

xp + 2p

Exercițiu ( PageIndex {16} ):

Simplificați: (y + 4) q.

Răspuns

yq + 4q

Când distribuiți un număr negativ, trebuie să fiți foarte atenți pentru a obține semnele corecte.

Exemplu ( PageIndex {9} ):

Simplificați: −2 (4y + 1).

Soluţie

Distribui.$$ - 2 cdot 4y + (-2) cdot 1 $$
Simplifica.$$ - 8y - 2 $$

Exercițiu ( PageIndex {17} ):

Simplificați: −3 (6m + 5).

Răspuns

-18m - 15

Exercițiu ( PageIndex {18} ):

Simplificați: −6 (8n + 11).

Răspuns

-48n - 66

Exemplu ( PageIndex {10} ):

Simplificați: −11 (4 - 3a).

Soluţie

Distribui.$$ - 11 cdot 4 - (-11) cdot 3a $$
Multiplica.$$ - 44 - (-33a) $$
Simplifica.$$ - 44 + 33a $$

Puteți scrie rezultatul și ca 33a - 44. Știți de ce?

Exercițiu ( PageIndex {19} ):

Simplificați: −5 (2 - 3a).

Răspuns

-10 + 15a

Exercițiu ( PageIndex {20} ):

Simplificați: −7 (8 - 15y).

Răspuns

-56 + 105y

În exemplul următor, vom arăta cum să utilizați proprietatea distributivă pentru a găsi opusul unei expresii. Amintiți-vă, −a = −1 • a.

Exemplu ( PageIndex {11} ):

Simplificați: - (y + 5).

Soluţie

Înmulțind cu −1 rezultă opusul.$$ - 1 (y + 5) $$
Distribui.$$ - 1 cdot y + (-1) cdot 5 $$
Simplifica.$$ - y + (-5) $$
Simplifica.$$ - y -5 $$

Exercițiu ( PageIndex {21} ):

Simplificați: - (z - 11).

Răspuns

-z + 11

Exercițiu ( PageIndex {22} ):

Simplificați: - (x - 4).

Răspuns

-x + 4

Uneori trebuie să folosim proprietatea distributivă ca parte a ordinii operațiunilor. Începeți prin a privi parantezele. Dacă expresia din paranteze nu poate fi simplificată, pasul următor ar fi multiplicat folosind proprietatea distributivă, care elimină parantezele. Următoarele două exemple vor ilustra acest lucru.

Exemplu ( PageIndex {12} ):

Simplificați: 8 - 2 (x + 3).

Soluţie

Distribui.$$ 8 - 2 cdot x - 2 cdot 3 $$
Multiplica.$$ 8 - 2x - 6 $$
Combinați termeni asemănători.$$ - 2x + 2 $$

Exercițiu ( PageIndex {23} ):

Simplificați: 9 - 3 (x + 2).

Răspuns

-3x + 3

Exercițiu ( PageIndex {24} ):

Simplificați: 7x - 5 (x + 4).

Răspuns

2x - 20

Exemplu ( PageIndex {13} ):

Simplificați: 4 (x - 8) - (x + 3).

Soluţie

Distribui.$$ 4x - 32 - x - 3 $$
Combinați termeni asemănători.$$ 3x - 35 $$

Exercițiu ( PageIndex {25} ):

Simplificați: 6 (x - 9) - (x + 12).

Răspuns

5x - 66

Exercițiu ( PageIndex {26} ):

Simplificați: 8 (x - 1) - (x + 5).

Răspuns

7x - 13

Evaluați expresiile folosind proprietatea distributivă

Unii studenți trebuie să fie convinși că proprietatea distributivă funcționează întotdeauna. În exemplele de mai jos, vom practica evaluarea unora dintre expresiile din exemplele anterioare; în partea (a), vom evalua forma cu paranteze, iar în partea (b) vom evalua forma pe care am obținut-o după distribuire. Dacă evaluăm corect ambele expresii, aceasta va arăta că sunt într-adevăr egale.

Exemplu ( PageIndex {14} ):

Când y = 10 evaluați: (a) 6 (5y + 1) (b) 6 • 5y + 6 • 1.

Soluţie

(a) 6 (5y + 1)

Înlocuiți-vă cu ( textcolor {red} {10} ).$$ 6 (5 cdot textcolor {red} {10} + 1) $$
Simplificați între paranteze.$$6(51)$$
Multiplica.$$306$$

(b) 6 • 5y + 6 • 1

Înlocuiți-vă cu ( textcolor {red} {10} ).$$ 6 cdot 5 cdot textcolor {red} {10} + 6 cdot 1 $$
Simplifica.$$300 + 6$$
Adăuga.$$306$$

Observați, răspunsurile sunt aceleași. Când y = 10, 6 (5y + 1) = 6 • 5y + 6 • 1. Încercați singur pentru o valoare diferită de y.

Exercițiu ( PageIndex {27} ):

Evaluează când w = 3: (a) 5 (5w + 9) (b) 5 • 5w + 5 • 9.

Răspundeți la a

(120)

Răspunsul b

(120)

Exercițiu ( PageIndex {28} ):

Evaluează când y = 2: (a) 9 (3y + 8) (b) 9 • 3y + 9 • 8.

Răspundeți la a

(126)

Răspunsul b

(126)

Exemplu ( PageIndex {15} ):

Când y = 3, evaluați (a) −2 (4y + 1) (b) −2 • 4y + (−2) • 1.

Soluţie

(a) −2 (4y + 1)

Înlocuiți-vă cu ( textcolor {red} {3} ).$$ - 2 (4 cdot textcolor {red} {3} + 1) $$
Simplificați între paranteze.$$-2(13)$$
Multiplica.$$-26$$

(b) −2 • 4y + (−2) • 1

Înlocuiți-vă cu ( textcolor {red} {3} ).$$ - 2 cdot 4 cdot textcolor {red} {3} + (-2) cdot 1 $$
Multiplica.$$-24 - 2$$
Scădea.$$-26$$
Răspunsurile sunt aceleași când y = 3.$$ - 2 (4y + 1) = -8y - 2 $$

Exercițiu ( PageIndex {29} ):

Evaluează când n = −2: (a) −6 (8n + 11) (b) −6 • 8n + (−6) • 11.

Răspundeți la a

(30)

Răspunsul b

(30)

Exercițiu ( PageIndex {30} ):

Evaluează când m = −1: (a) −3 (6m + 5) (b) −3 • 6m + (−3) • 5.

Răspundeți la a

(3)

Răspunsul b

(3)

Exemplu ( PageIndex {16} ):

Când y = 35 evaluați (a) - (y + 5) și (b) −y - 5 pentru a arăta că - (y + 5) = −y - 5.

Soluţie

(a) - (y + 5)

Înlocuiți-vă cu ( textcolor {red} {35} ).$$ - ( textcolor {red} {35} + 5) $$
Adăugați între paranteze.$$-(40)$$
Simplifica.$$-40$$

(b) −y - 5

Înlocuiți-vă cu ( textcolor {red} {35} ).$$ - textcolor {red} {35} - 5 $$
Simplifica.$$-40$$
Răspunsurile sunt aceleași când y = 35, demonstrând că$$ - (y + 5) = -y - 5 $$

Exercițiu ( PageIndex {31} ):

Evaluează când x = 36: (a) - (x - 4) (b) −x + 4 pentru a arăta că - (x - 4) = - x + 4.

Răspundeți la a

(-32)

Răspunsul b

(-32)

Exercițiu ( PageIndex {32} ):

Evaluează când z = 55: (a) - (z - 10) (b) −z + 10 pentru a arăta că - (z - 10) = - z + 10.

Răspundeți la a

(-45)

Răspunsul b

(-45)

Practica face perfect

Simplificați expresiile folosind proprietatea distributivă

În exercițiile următoare, simplificați utilizarea proprietății distributive.

  1. 4 (x + 8)
  2. 3 (a + 9)
  3. 8 (4y + 9)
  4. 9 (3w + 7)
  5. 6 (c - 13)
  6. 7 (y - 13)
  7. 7 (3p - 8)
  8. 5 (7u - 4)
  9. ( dfrac {1} {2} ) (n + 8)
  10. ( dfrac {1} {3} ) (u + 9)
  11. ( dfrac {1} {4} ) (3q + 12)
  12. ( dfrac {1} {5} ) (4m + 20)
  13. (9 left ( dfrac {5} {9} y - dfrac {1} {3} right) )
  14. (10 ​​ left ( dfrac {3} {10} x - dfrac {2} {5} right) )
  15. (12 left ( dfrac {1} {4} + dfrac {2} {3} r right) )
  16. (12 left ( dfrac {1} {6} + dfrac {3} {4} s right) )
  17. r (s - 18)
  18. u (v - 10)
  19. (y + 4) p
  20. (a + 7) x
  21. −2 (y + 13)
  22. −3 (a + 11)
  23. −7 (4p + 1)
  24. −9 (9a + 4)
  25. −3 (x - 6)
  26. −4 (q - 7)
  27. −9 (3a - 7)
  28. −6 (7x - 8)
  29. - (r + 7)
  30. - (q + 11)
  31. - (3x - 7)
  32. - (5p - 4)
  33. 5 + 9 (n - 6)
  34. 12 + 8 (u - 1)
  35. 16 - 3 (y + 8)
  36. 18 - 4 (x + 2)
  37. 4-11 (3c - 2)
  38. 9 - 6 (7n - 5)
  39. 22 - (a + 3)
  40. 8 - (r - 7)
  41. −12 - (u + 10)
  42. −4 - (c - 10)
  43. (5m - 3) - (m + 7)
  44. (4y - 1) - (y - 2)
  45. 5 (2n + 9) + 12 (n - 3)
  46. 9 (5u + 8) + 2 (u - 6)
  47. 9 (8x - 3) - (−2)
  48. 4 (6x - 1) - (−8)
  49. 14 (c - 1) - 8 (c - 6)
  50. 11 (n - 7) - 5 (n - 1)
  51. 6 (7y + 8) - (30y - 15)
  52. 7 (3n + 9) - (4n - 13)

Evaluați expresiile folosind proprietatea distributivă

În exercițiile următoare, evaluați ambele expresii pentru valoarea dată.

  1. Dacă v = −2, evaluați
    1. 6 (4v + 7)
    2. 6 · 4v + 6 · 7
  2. Dacă u = −1, evaluați
    1. 8 (5u + 12)
    2. 8 · 5u + 8 · 12
  3. Dacă n = ( dfrac {2} {3} ), evaluați
    1. (3 left (n + dfrac {5} {6} right) )
    2. 3 • n + 3 • ( dfrac {5} {6} )
  4. Dacă y = 3 4, evaluați
    1. 4 ⎛ ⎝ y + 3 8 ⎞ ⎠
    2. 4 • y + 4 • ( dfrac {3} {8} )
  5. Dacă y = ( dfrac {7} {12} ), evaluați
    1. −3 (4y + 15)
    2. 3 • 4y + (−3) • 15
  6. Dacă p = ( dfrac {23} {30} ), evaluați
    1. −6 (5p + 11)
    2. −6 • 5p + (−6) • 11
  7. Dacă m = 0,4, evaluați
    1. −10 (3m - 0,9)
    2. −10 • 3m - (−10) (0,9)
  8. Dacă n = 0,75, evaluați
    1. −100 (5n + 1,5)
    2. −100 • 5n + (−100) (1,5)
  9. Dacă y = −25, evaluați
    1. - (y - 25)
    2. −y + 25
  10. Dacă w = −80, evaluați
    1. - (w - 80)
    2. −w + 80
  11. Dacă p = 0,19, evaluați
    1. - (p + 0,72)
    2. −p - 0,72
  12. Dacă q = 0,55, evaluați
    1. - (q + 0,48)
    2. −q - 0,48

Matematică zilnică

  1. Cumpărând după caz Joe își poate cumpăra ceaiul de gheață preferat de la un magazin cu 1,99 USD pe sticlă. La magazin alimentar, el poate cumpăra o cutie de 12 sticle pentru 23,88 dolari.
    1. Folosiți proprietatea distributivă pentru a găsi costul a 12 sticle cumpărate individual la magazinul de conveniență. (Sugestie: observați că 1,99 USD este de 2 USD - 0,01 USD.)
    2. Este o afacere să cumperi ceaiul cu gheață de la magazinul alimentar după caz?
  2. Achiziție de pachete multiple Șamponul Adele se vinde la 3,97 USD pe sticlă la farmacie. La magazinul din depozit, același șampon este vândut ca un pachet de 3 pentru 10,49 USD.
    1. Arătați cum puteți utiliza proprietatea distributivă pentru a găsi costul a 3 sticle cumpărate individual la farmacie.
    2. Cât ar economisi Adele cumpărând pachetul de 3 de la magazin?

Exerciții de scriere

  1. Simplificați (8 left (x - dfrac {1} {4} right) ) folosind proprietatea distributivă și explicați fiecare pas.
  2. Explicați cum puteți înmulți 4 (5,97 USD) fără hârtie sau calculator, gândindu-vă la 5,97 USD ca 6 - 0,03 și apoi folosind proprietatea distributivă.

Verificare personală

(a) După finalizarea exercițiilor, utilizați această listă de verificare pentru a vă evalua stăpânirea obiectivelor acestei secțiuni.

(b) Ce vă spune această listă de verificare despre stăpânirea dvs. a acestei secțiuni? Ce măsuri veți face pentru a vă îmbunătăți?


Priveste filmarea: Propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição e subtração (August 2022).