Articole

6.1: Preludiu la sisteme de ecuații și inegalități

6.1: Preludiu la sisteme de ecuații și inegalități


We are searching data for your request:

Forums and discussions:
Manuals and reference books:
Data from registers:
Wait the end of the search in all databases.
Upon completion, a link will appear to access the found materials.

Până în 1943, era evident pentru regimul nazist că înfrângerea era iminentă, cu excepția cazului în care ar putea construi o armă cu putere distructivă nelimitată, una care nu fusese văzută până acum în istoria lumii. În septembrie, Adolf Hitler a ordonat oamenilor de știință germani să înceapă construirea unei bombe atomice. Zvonurile și șoaptele au început să se răspândească de peste ocean. Refugiații și diplomații au povestit despre experimentele care au loc în Norvegia. Cu toate acestea, Franklin D. Roosevelt nu a fost vândut și chiar s-a îndoit de avertismentul prim-ministrului britanic Winston Churchill. Roosevelt dorea dovezi incontestabile. Din fericire, în curând a primit dovada pe care și-o dorea atunci când un grup de matematicieni au spart codul „Enigmei”, dovedind fără îndoială că Hitler construia o bombă atomică. A doua zi, Roosevelt a dat ordinul ca Statele Unite să înceapă să lucreze la același lucru.

Enigma este poate cel mai faimos dispozitiv criptografic cunoscut vreodată. Acesta reprezintă un exemplu al rolului esențial pe care criptografia l-a jucat în societate. Acum, tehnologia a mutat criptanaliza în lumea digitală.

Multe cifre sunt proiectate folosind matrici inversabile ca metodă de transfer al mesajelor, deoarece găsirea inversului unei matrice este în general parte a procesului de decodare. Pe lângă cunoașterea matricei și a inversului acesteia, receptorul trebuie să cunoască și cheia care, atunci când este utilizată cu inversa matricei, va permite citirea mesajului.

În acest capitol, vom investiga matricile și inversele acestora și diverse moduri de a utiliza matricele pentru a rezolva sisteme de ecuații. În primul rând, însă, vom studia sistemele de ecuații pe cont propriu: liniare și neliniare, apoi fracții parțiale. Nu vom încălca aici niciun cod secret, dar vom pune bazele pentru cursuri viitoare.


6.1: Preludiu la sisteme de ecuații și inegalități

Amintiți-vă din modulul grafic că graficul unei singure inegalități liniare împarte planul de coordonate în două regiuni. Pe de o parte se află toate soluțiile inegalității. Pe de altă parte, nu există soluții. Luați în considerare graficul inegalității [latex] y & lt2x + 5 [/ latex].

Linia punctată este [latex] y = 2x + 5 [/ latex]. Fiecare pereche ordonată în zona umbrită de sub linie este o soluție la [latex] y & lt2x + 5 [/ latex], deoarece toate punctele de sub linie vor face inegalitatea adevărată. Dacă vă îndoiți de asta, încercați să înlocuiți X și y coordonatele punctelor A și B în inegalitate veți vedea că acestea funcționează. Deci, zona umbrită arată toate soluțiile pentru această inegalitate.

Linia de delimitare împarte planul de coordonate în jumătate. În acest caz, se arată ca o linie întreruptă, deoarece punctele de pe linie nu satisfac inegalitatea. Dacă inegalitatea ar fi fost [latex] y leq2x + 5 [/ latex], atunci linia de hotar ar fi fost solidă.

Graficăm acum o altă inegalitate: [latex] y & gt − x [/ latex]. Puteți verifica câteva puncte pentru a determina ce parte a liniei de delimitare să umbriți. Punctele de verificare M și N produc afirmații adevărate. Deci, umbrim zona de deasupra liniei. Linia este întreruptă deoarece punctele de pe linie nu sunt adevărate.

Pentru a crea un sistem de inegalități, trebuie să graficați două sau mai multe inegalități împreună. Să folosim [latex] y & lt2x + 5 [/ latex] și [latex] y & gt − x [/ latex] întrucât am graficat deja fiecare dintre ele.

Zona purpurie arată unde se suprapun soluțiile celor două inegalități. Această zonă este soluția sistemului inegalităților. Orice punct din această regiune purpurie va fi adevărat atât pentru [latex] y & gt-x [/ latex], cât și pentru [latex] y & lt2x + 5 [/ latex].

În următoarele exemple video, arătăm cum să graficăm un sistem de inegalități liniare și să definim regiunea soluției.

În secțiunea următoare, vom vedea că punctele pot fi soluții la sisteme de ecuații și inegalități. Vom verifica algebric dacă un punct este o soluție la o ecuație liniară sau inegalitate.


GRAFICAREA ECUAȚIILOR LINEARE

OBIECTIVE

  1. Găsiți mai multe perechi ordonate care fac adevărata o ecuație liniară dată.
  2. Localizați aceste puncte pe sistemul de coordonate carteziene.
  3. Desenați o linie dreaptă prin acele puncte care reprezintă graficul acestei ecuații.

Un grafic este o reprezentare picturală a faptelor numerotate. Există multe tipuri de grafice, cum ar fi grafice cu bare, grafice circulare, grafice liniare și așa mai departe. Puteți găsi, de obicei, exemple ale acestor grafice în secțiunea financiară a unui ziar. Graficele sunt folosite deoarece o imagine face de obicei mai ușor de înțeles numărul de fapte.

În această secțiune vom discuta despre metoda graficării unei ecuații în două variabile. Cu alte cuvinte, vom schița o imagine a unei ecuații în două variabile.
Luați în considerare ecuația x + y - 7 și rețineți că putem găsi cu ușurință multe soluții. De exemplu, dacă x = 5 atunci y - 2, din moment ce 5 + 2 = 7. De asemenea, dacă x = 3 atunci y = 4, din moment ce 3 + 4 = 7. Dacă reprezentăm aceste răspunsuri ca perechi ordonate (x, y) , atunci avem (5,2) și (3,4) ca două puncte pe plan care reprezintă răspunsuri la ecuația x + y = 7.

Toate răspunsurile posibile la această ecuație, situate ca puncte pe plan, ne vor da graficul (sau imaginea) ecuației.

Desigur, nu am putut găsi niciodată toate numerele x și y astfel încât x + y = 7, deci trebuie să ne mulțumim cu o schiță a graficului. O schiță poate fi descrisă ca „curba cea mai potrivită”. Cu alte cuvinte, este necesar să se localizeze suficiente puncte pentru a oferi o imagine rezonabilă de exactă a ecuației.

Amintiți-vă, există infinit de multe perechi ordonate care ar satisface ecuația.

Exemplul 1 Schițați graficul 2x + y = 3.

Soluţie Dorim să găsim mai multe perechi de numere care să facă această ecuație adevărată. Vom realiza acest lucru alegând un număr pentru x și apoi găsind o valoare corespunzătoare pentru y. Un tabel de valori este utilizat pentru a înregistra datele.

În linia de sus (x) vom plasa numerele pe care le-am ales pentru x. Apoi în linia de jos (y) vom plasa valoarea corespunzătoare a lui derivată din ecuație.

Desigur, am putea începe, de asemenea, alegând valori pentru y și apoi să găsim valorile corespunzătoare pentru x.

În acest exemplu vom permite x să preia valorile -3, -2, -1,0, 1,2,3.

Aceste valori sunt arbitrare. Am putea alege orice valori.

Observați că odată ce am ales o valoare pentru x, valoarea pentru y este determinată folosind ecuația.

Aceste valori ale lui x dau numere întregi pentru valorile lui y. Astfel sunt alegeri bune. Să presupunem că am ales

Aceste fapte ne oferă următorul tabel de valori:

Acum localizăm perechile ordonate (-3,9), (-2,7), (-1,5), (0,3), (1,1), (2, -1), (3, - 3) pe planul de coordonate și conectați-le cu o linie.

Acum avem graficul 2x + y = 3.

Linia indică faptul că toate punctele de pe linie satisfac ecuația, precum și punctele din tabel. Săgețile indică că linia continuă la nesfârșit.

Graficele tuturor ecuațiilor de gradul I în două variabile vor fi linii drepte. Acest fapt va fi folosit aici, chiar dacă va fi mult mai târziu în matematică înainte de a putea dovedi această afirmație. Astfel de ecuații de gradul întâi se numesc ecuatii lineare.

Astfel, orice ecuație de forma ax + by - c unde a, b și c sunt numere reale este o ecuație liniară.

Ecuațiile din două necunoscute care sunt de grad superior dau grafice care sunt curbe de diferite tipuri. Le veți studia în cursurile viitoare de algebră.

Deoarece graficul unei ecuații de gradul I în două variabile este o linie dreaptă, este necesar doar să aveți două puncte. Cu toate acestea, munca dvs. va fi mai consistentă dacă găsiți cel puțin trei puncte. Greșelile pot fi localizate și corectate atunci când punctele găsite nu stau pe o linie. Ne referim astfel la al treilea punct ca „punct de control”.

Asta e important. Nu încercați să vă scurtați munca găsind doar două puncte. Veți fi surprins cât de des veți găsi o eroare localizând toate cele trei puncte.

Exemplul 2 Schițați graficul 3x - 2y - 7.

Soluţie Mai întâi faceți un tabel de valori și alegeți trei numere pe care să le înlocuiți cu x. Vom încerca 0, 1,2.

Din nou, ați fi putut începe și cu valori arbitrare ale lui y.

Răspunsul nu este la fel de ușor de localizat pe grafic precum ar fi un număr întreg. Deci, se pare că x = 0 nu a fost o alegere foarte bună. Uneori este posibil să privim înainte și să facem alegeri mai bune pentru x.

Deoarece atât x cât și y sunt numere întregi, x = 1 a fost o alegere bună.

Punctul (1, -2) va fi mai ușor de localizat. Dacă x = 2, vom avea o altă fracțiune.

Punctul (3,1) va fi ușor de localizat.

x = 3 a fost o altă alegere bună.

Vom reajusta tabelul valorilor și vom folosi punctele care au dat numere întregi. Poate că acest lucru nu este întotdeauna fezabil, dar încercarea valorilor integrale va oferi o schiță mai precisă. Acum avem tabelul pentru 3x - 2y = 7.

Putem face acest lucru, deoarece alegerile pentru x au fost arbitrare.

Localizarea punctelor (1, -2), (3,1), (- 1, -5) dă graficul de 3x - 2y = 7.

Câte perechi ordonate satisfac această ecuație?


Punctul (2, 1) nu este o soluție a sistemului

Deoarece (2, 1) este nu o soluție a uneia dintre inegalități, nu este o soluție a sistemului.

Iată un grafic al acestui sistem. Observați că (2, 1) nu se află în zona purpurie, care este zona suprapusă, este o soluție pentru o inegalitate (regiunea roșie), dar nu este o soluție pentru a doua inegalitate (regiunea albastră).

Care dintre punctele enumerate mai jos sunt soluții pentru sistem?

Incorect. (−5, 9) este o soluție la acest sistem, dar (1, 1) nu este, deoarece nu este o soluție la prima inegalitate. Răspunsul corect este B, (−5, 9) și (0, 7) sunt soluții la sistem.

Corect. Punctele (−5, 9) și (0, 7) sunt ambele soluții pentru ambele inegalități din sistem.

Incorect. (1, 1) este o soluție validă pentru inegalitate X - 2 & lt 0, dar nu este o soluție pentru y & gt X în consecință, nu este o soluție pentru sistem. Răspunsul corect este B, (−5, 9) și (0, 7) sunt soluții la sistem.

Incorect. (−5, 9) este o soluție validă pentru sistem, dar la fel este și (0, 7). Răspunsul corect este B, (−5, 9) și (0, 7) sunt soluții la sistem.

Rezolvarea sistemelor de inegalități prin grafic

Așa cum se arată mai sus, găsirea soluțiilor unui sistem de inegalități se poate face graficând fiecare inegalitate și identificând regiunea pe care o împărtășesc.

Găsiți soluția sistemului X + y ≥ 1 și yX ≥ 5.

Grafică o inegalitate. Mai întâi grafică linia de delimitare, folosind un tabel de valori, interceptări sau orice altă metodă pe care o preferi. Linia de hotar pentru X + y ≥ 1 este X + y = 1 sau y = − X + 1. Deoarece semnul egal este inclus cu semnul mai mare decât, linia de delimitare este solidă.

Găsiți o pereche ordonată de ambele părți ale liniei de delimitare. Introduceți fișierul X- și y-valori pentru inegalitate X + y ≥ 1 și vedeți care pereche ordonată are ca rezultat o declarație adevărată.

Deoarece (4, 1) are ca rezultat o declarație adevărată, regiunea care include (4, 1) ar trebui să fie umbrită.

Faceți același lucru cu a doua inegalitate. Graficați linia de graniță, apoi testați punctele pentru a găsi care regiune este soluția inegalității. În acest caz, linia de hotar este yX = 5 (sau y = X + 5) și este solid. Punctul de testare (- 3, 0) nu este o soluție a yX ≥ 5, iar punctul de testare (0, 6) este o soluție.

Regiunea purpurie din acest grafic arată setul tuturor soluțiilor sistemului.

Găsiți soluția sistemului 3X + 2y & lt 12 și 1 ≤ y ≤ 5.

Grafică o inegalitate. Mai întâi grafică linia de delimitare, apoi testează punctele.

Amintiți-vă, pentru că inegalitatea 3X + 2y & lt 12 nu include semnul egal, trageți o linie de margine punctată.

Testarea unui punct (cum ar fi (0, 0) va arăta că zona de sub linie este soluția la această inegalitate.

Inegalitatea - 1 ≤ y ≤ 5 este de fapt două inegalități: - 1 ≤ y, și y ≤ 5. Un alt mod de a gândi acest lucru este y trebuie să fie între - 1 și 5. Liniile de margine pentru ambele sunt orizontale. Regiunea dintre aceste două linii conține soluțiile de - 1 ≤ y ≤ 5. Facem liniile solide pentru că dorim să includem și y = - 1 și y = 5.

Graficează această regiune pe aceleași axe ca și cealaltă inegalitate.

Regiunea purpurie din acest grafic arată setul tuturor soluțiilor sistemului.

În care dintre următoarele este regiunea purpurie soluția pentru sistem?


Probleme de cuvinte

Foaia de lucru pentru probleme cu cuvântul 1 & # 8211 Această foaie de lucru cu 6 algebre te va ajuta să exersezi crearea și rezolvarea sistemelor de ecuații pentru a reprezenta situații din viața reală. Veți utiliza & # 8220eliminare& # 8221 metodă de eliminare a variabilelor din forma standard ecuații.
Foaia de lucru cu probleme de cuvinte 1 RTF
Foaia de lucru Word Problems 1 PDF
Vizualizați răspunsuri

Foaia de lucru 2 Probleme de cuvânt & # 8211 Această foaie de lucru cu 6 algebre te va ajuta să exersezi crearea și rezolvarea sistemelor de ecuații pentru a reprezenta situații din viața reală. Veți utiliza & # 8220eliminare& # 8221 metodă de eliminare a variabilelor din forma standard ecuații.
Foaia de lucru cu probleme de cuvânt 2 RTF
Foaia de lucru 2 Probleme Word 2
Vizualizați răspunsuri

Foaia de lucru cu probleme de cuvânt 3 & # 8211 Această foaie de lucru cu 6 algebre te va ajuta să exersezi crearea și rezolvarea sistemelor de ecuații pentru a reprezenta situații din viața reală. Majoritatea problemelor implică bani, așa că asigurați-vă că sunteți pregătit pentru câteva zecimale.
Foaia de lucru cu probleme de cuvinte 3 RTF
Foaia de lucru cu probleme Word 3 PDF
Vizualizați răspunsuri

Foaia de lucru Word Problems 4 & # 8211 Această foaie de lucru cu 6 algebre te va ajuta să exersezi crearea și rezolvarea sistemelor de ecuații pentru a reprezenta situații din viața reală. Majoritatea problemelor implică bani și sunt introduși câțiva distractori.
Foaia de lucru cu probleme de cuvânt 4 RTF
Foaie de lucru cu probleme Word 4 PDF
Vizualizați răspunsuri

Foaia de lucru cu probleme de cuvânt 5 & # 8211 Această foaie de lucru cu 8 algebre prezintă probleme de cuvinte mai abstracte precum & # 8220Suma lui x și y este 42. diferența dintre x și y este 13. Găsiți x și y. & # 8221 Există câteva numere întregi negative, așa că fii atent!
Foaia de lucru cu probleme de cuvânt 5 RTF
Foaia de lucru Probleme Word 5 PDF
Vizualizați răspunsuri

Fișa de lucru cu probleme de cuvânt 6 & # 8211 Această foaie de lucru cu 8 algebre prezintă probleme de cuvinte mai abstracte precum & # 8220Suma de două ori un număr, x și de două ori un alt număr, y, este 118. Valoarea lui este cu una mai mică decât dublul valorii lui x. Găsiți x și y.& # 8221 Una dintre probleme are chiar și un număr infinit de soluții!
Foaia de lucru cu probleme de cuvânt 6 RTF
Foaia de lucru cu probleme de cuvinte 6 PDF
Vizualizați răspunsuri

Acestea sunt gratuite sisteme de ecuații foi de lucru vă va ajuta să practicați rezolvarea sistemelor de ecuații din viața reală folosind & # 8220eliminare& # 8221 metoda. Va trebui să creați și să rezolvați un sistem de ecuații pentru a reprezenta fiecare situație. Exercițiile pot fi, de asemenea, rezolvate folosind alte metode algebrice, dacă alegeți.

Aceasta este o serie progresivă care începe simplu cu probleme care implică cumpărarea de bilete la filme și colectarea pentru strângerea de fonduri. În cele din urmă numere negative, zecimale, proprietate distributivă și & # 8220opusul lui x& # 8221 intră în joc.

Fiecare foaie de lucru îi va ajuta pe elevi să stăpânească abilitățile de bază comune în partea Algebra. Sunt minunate pentru studenții ambițioși din clasele de pre-algebră sau algebră.

Acestea sunt gratuite eliminare foile de lucru sunt tipărite și disponibile într-o varietate de formate. Fiecare foaie include un exemplu pentru a vă ajuta să începeți. Desigur, sunt furnizate și tastele de răspuns.


Algoritmi

Când utilizați IgnoreAnalyticConstraints, solverul aplică aceste reguli expresiilor de pe ambele părți ale unei ecuații.

Buturuga(A) + jurnal (b) = jurnal (A·b) pentru toate valorile de A și b. În special, următoarea egalitate este valabilă pentru toate valorile A, b, și c:

Buturuga(A b ) = b·Buturuga(A) pentru toate valorile de A și b. În special, următoarea egalitate este valabilă pentru toate valorile A, b, și c:

Dacă f și g sunt funcții matematice standard și f(g(X)) = X pentru toate numerele mici pozitive, f(g(X)) = X se presupune că este valabil pentru toate valorile complexe X. În special:

Solverul poate înmulți ambele părți ale unei ecuații cu orice expresie, cu excepția 0.


Scrierea ecuațiilor liniare folosind forma panta-interceptare

Unde m este panta liniei și b este interceptarea y. Puteți utiliza această ecuație pentru a scrie o ecuație dacă cunoașteți panta și interceptarea y.

Găsiți ecuația liniei

Alegeți două puncte care sunt pe linie

Calculați panta dintre cele două puncte

Putem găsi valoarea b, interceptarea y, uitându-ne la grafic

Avem o valoare pentru m și o valoare pentru b. Acest lucru ne oferă funcția liniară

În multe cazuri, valoarea lui b nu este la fel de ușor de citit. În aceste cazuri, sau dacă nu sunteți sigur dacă linia traversează de fapt axa y în acest punct, puteți calcula b rezolvând ecuația lui b și apoi înlocuind x și y cu unul dintre cele două puncte.

Putem folosi exemplul de mai sus pentru a ilustra acest lucru. Avem cele două puncte (-3, 3) și (3, -1). Din aceste două puncte am calculat panta

Acest lucru ne oferă ecuația

Din aceasta putem rezolva ecuația pentru b

Și dacă introducem valorile din primul nostru punct (-3, 3) obținem

$ b = 3 + frac <2> <3> cdot left (-3 right) = 3 + left (-2 right) = 1 $

Dacă punem această valoare pentru b în ecuația pe care o obținem

care este aceeași ecuație ca și când am citit interceptarea y din grafic.

Pentru a rezuma cum să scrieți o ecuație liniară folosind interceptarea pantei

  1. Identificați panta, m. Acest lucru se poate face prin calcularea pantei dintre două puncte cunoscute ale liniei folosind formula pantei.
  2. Găsiți interceptarea y. Acest lucru se poate face prin înlocuirea pantei și a coordonatelor unui punct (x, y) pe linia din formula de interceptare a pantei și apoi rezolvați pentru b.

Odată ce ai atât m cât și b, poți să le pui în ecuație la poziția lor respectivă.


Graficează sistemul de ecuații și găsește soluția.

Soluţie

Acum vom analiza un exemplu în care nu există nicio soluție la sistemul de ecuații. Rețineți cum arată graficul și de ce s-ar putea să nu existe o soluție.


Faceți clic sau atingeți o problemă pentru a vedea soluția.

Exemplul 1

Exemplul 2

Exemplul 3

Exemplul 4

Exemplul 5

Exemplul 6

Exemplul 7

Exemplul 8

Exemplul 9

Exemplul 10

Exemplul 11

Exemplul 12

Exemplul 1.

Luați în considerare funcția (f left (x right) = sqrt <1 + x> & # 8211 < large frac <2> normalsize> & # 8211 1 ) și găsiți derivatul său:

Luăm în considerare faptul că (f left (0 right) = 1 & # 8211 0 & # 8211 1 = 0 ). Prin urmare, (f left (x right) le 0 ) pentru (x & gt 0 ). Atunci

Exemplul 2.

Luați în considerare funcția (f left (x right) = < large frac << ln x >> normalsize> ) și calculați derivatul său:

După cum se poate observa, derivatul este negativ cu condiția (x gt e. ) Atunci pentru (x gt e, ) funcția (f (x) ) este în scădere și, prin urmare, relația ( large frac << ln 100 >> <<100>> gt frac << ln 101 >> <<101>> ) este adevărat. De aici rezultă că

Exemplul 3.

Doar un punct (x = 1 ) îndeplinește condiția (x & gt 0. ) Deoarece derivata schimbă semnul de la minus la plus când trece prin acest punct (de la stânga la dreapta), atunci punctul (x = 1 ) este minim.

Valoarea funcției în acest moment este egală cu (f left (1 right) = 1 + <1> normalsize> = 2 ). Prin urmare,

Exemplul 4.

Introducem funcția (f left (x right) = & # 8211 2 ln x & # 8211 1 ). Găsiți punctele critice:

Dintre cele trei puncte critice (x = -1 ), (x = 0 ), (x = 1, ) numai ultimul punct (x = 1 ) îndeplinește condiția (x gt 0 . ) Derivata este negativă la stânga acestui punct și pozitivă la dreapta. Prin urmare, funcția are un minim în acest moment care este egal

[f left (1 right) = 1 & # 8211 2 ln 1 & # 8211 1 = 0. ]

Astfel, (f (x) ge 0 ) pentru (x & gt 0 ) (și este zero la (x = 1 )). În acest caz


Exerciții 12.6

Ex 12.6.1 Convertiți următoarele puncte în coordonate dreptunghiulare în coordonate cilindrice și sferice:

Ex 12.6.2 Găsiți o ecuație pentru sfera $ ds x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 4 $ în coordonate cilindrice. (Răspuns)

Ex 12.6.3 Găsiți o ecuație pentru planul $ y $ - $ z $ în coordonate cilindrice. (Răspuns)

Ex 12.6.4 Găsiți o ecuație echivalentă cu $ ds x ^ 2 + y ^ 2 + 2z ^ 2 + 2z-5 = 0 $ în coordonate cilindrice. (Răspuns)

Ex 12.6.5 Să presupunem că curba $ ds ds z = e ^ <- x ^ 2> $ în planul $ x $ - $ z $ este rotită în jurul axei $ z $. Găsiți o ecuație pentru suprafața rezultată în coordonate cilindrice. (Răspuns)

Ex 12.6.6 Să presupunem că curba $ ds z = x $ în planul $ x $ - $ z $ este rotită în jurul axei $ z $. Găsiți o ecuație pentru suprafața rezultată în coordonate cilindrice. (Răspuns)

Ex 12.6.7 Găsiți o ecuație pentru planul $ y = 0 $ în coordonate sferice. (Răspuns)

Ex 12.6.8 Găsiți o ecuație pentru planul $ z = 1 $ în coordonate sferice. (Răspuns)

Ex 12.6.9 Găsiți o ecuație pentru sfera cu raza 1 și centru la $ (0,1,0) $ în coordonate sferice. (Răspuns)

Ex 12.6.10 Găsiți o ecuație pentru cilindrul $ ds x ^ 2 + y ^ 2 = 9 $ în coordonate sferice. (Răspuns)

Ex 12.6.11 Să presupunem că curba $ ds z = x $ în planul $ x $ - $ z $ este rotită în jurul axei $ z $. Găsiți o ecuație pentru suprafața rezultată în coordonate sferice. (Răspuns)

Ex 12.6.12 Trasați ecuațiile polare $ r = sin ( theta) $ și $ r = cos ( theta) $ și comentați asemănările lor. (Dacă rămâneți blocat cu privire la modul de reprezentare a acestora, puteți înmulți ambele fețe ale fiecărei ecuații cu $ r $ și puteți converti înapoi în coordonate dreptunghiulare).

Ex 12.6.13 Extindeți exercițiile 6 și 11 prin rotirea curbei $ z = mx $ în jurul axei $ z $ și convertirea atât în ​​coordonate cilindrice, cât și în coordonate sferice. (Răspuns)

Ex 12.6.14 Convertiți formula sferică $ rho = sin theta sin phi $ în coordonate dreptunghiulare și descrieți suprafața definită de formulă (Sugestie: Înmulțiți ambele părți cu $ rho $.) (Răspuns)

Ex 12.6.15 Putem descrie punctele din primul octant cu $ x> 0 $, $ y> 0 $ și $ z> 0 $. Dați inegalități similare pentru primul octant în coordonate cilindrice și sferice. (Răspuns)


Priveste filmarea: Dan Puric. Povești de viață cu Mihaela Olaru (Iulie 2022).


Comentarii:

  1. Macalpin

    It goes beyond all limits.

  2. Kalle

    Consider că este o minciună.

  3. Nabil

    This is boring to me.

  4. Lorren

    Nu poate fi!

  5. Mike

    Great, this is a valuable opinion

  6. Kagagar

    Cred că greșești.



Scrie un mesaj