Articole

6.3: Inegalități - Matematică

6.3: Inegalități - Matematică



We are searching data for your request:

Forums and discussions:
Manuals and reference books:
Data from registers:
Wait the end of the search in all databases.
Upon completion, a link will appear to access the found materials.

6.3: Inegalități - Matematică

Matematică ilustrativă Clasa a 7-a, Unitatea 6, Lecția 14: Găsirea soluțiilor la inegalități în context

Să presupunem că Elena are 5 USD și vinde stilouri cu 1,50 USD fiecare. Scopul ei este de a economisi 20 de dolari. Am putea rezolva ecuația 1.5x + 5 = 20 pentru a găsi numărul de pixuri, x, pe care Elena trebuie să le vândă pentru a economisi exact 20 USD. Adăugarea -5 la ambele părți ale ecuației ne oferă 1,5x = 15, iar apoi împărțirea ambelor părți la 1,5 dă soluția x + 10 stilouri.

Dacă Elena vrea să rămână niște bani? Inegalitatea 1,5x + 5 & gt 20 ne spune că suma de bani pe care o face Elena trebuie să fie mai mare de 20 USD. Soluția la ecuația anterioară ne va ajuta să înțelegem care vor fi soluțiile la inegalitate. Știm că, dacă vinde 10 pixuri, va câștiga 20 de dolari. Deoarece fiecare stilou îi oferă mai mulți bani, trebuie să vândă mai mult de 10 pixuri pentru a câștiga mai mult de 20 USD. Deci soluția inegalității este x & gt 10.

Lecția 14.1 Soluții la ecuații și soluții la inegalități

Linia numerică arată valorile lui x care fac inegalitatea x & gt 1 adevărată.

  1. Rezolvați -x = 10
  2. Găsiți 2 soluții pentru -x & gt 10
  3. Rezolvați 2x = -20
  4. Găsiți 2 soluții la 2x & gt -20

Lecția 14.2 Câștigă bani pentru lucruri de fotbal

  1. Andre are un loc de muncă de vară vândând abonamente la reviste. Câștigă 25 USD pe săptămână plus 3 USD pentru fiecare abonament pe care îl vinde. Andre speră să câștige cel puțin destui bani în această săptămână pentru a cumpăra o nouă pereche de crampoane de fotbal.
    A. Să reprezentăm numărul de abonamente la reviste pe care Andre le vinde săptămâna aceasta. Scrie o expresie pentru suma de bani pe care o câștigă săptămâna aceasta.
    b. Cea mai puțin costisitoare pereche de cleme pe care Andre o dorește să coste 68 USD Scrieți și rezolvați o ecuație pentru a afla câte abonamente la reviste trebuie să vândă Andre pentru a cumpăra cleme.
    c. Dacă Andre ar vinde 16 abonamente la reviste săptămâna aceasta, și-ar atinge scopul? Explicați-vă raționamentul.
    d. Care sunt alte numere de abonamente la reviste pe care Andre le-ar fi putut vinde și încă și-a atins obiectivul?
    e. Scrieți o inegalitate exprimând faptul că Andre vrea să câștige cel puțin 68 de dolari.
    f. Scrieți o inegalitate pentru a descrie numărul de abonamente pe care Andre trebuie să le vândă pentru a-și atinge scopul.
  2. Diego a bugetat 35 de dolari din câștigurile sale de vară pentru a cumpăra pantaloni scurți și șosete pentru fotbal. Are nevoie de 5 perechi de șosete și o pereche de pantaloni scurți. Șosetele costă sume diferite în diferite magazine. Pantalonii scurți pe care îi dorește costă 19,95 dolari.
    A. Fie x să reprezinte prețul unei perechi de șosete. Scrieți o expresie pentru costul total al șosetelor și pantalonii scurți.
    b. Scrieți și rezolvați o ecuație care spune că Diego a cheltuit exact 35 de dolari pe șosete și pantaloni scurți.
    c. Enumerați câteva alte prețuri posibile pentru șosete care ar permite totuși lui Diego să rămână în limita bugetului său.
    d. Scrieți o inegalitate pentru a reprezenta suma pe care Diego o poate cheltui pe o singură pereche de șosete.

Lecția 14.3 Baruri de granola și economii

  1. Kiran are 100 $ economisiți într-un cont bancar. (Contul nu câștigă dobânzi.) El i-a cerut lui Clare să-l ajute să-și dea seama cât ar putea scoate în fiecare lună dacă are nevoie de cel puțin 25 USD în cont pe an de acum.
    A. Clare a scris inegalitatea -12x + 100 ≥ 25, unde x reprezintă suma pe care Kiran o scoate în fiecare lună. Ce reprezintă -12x?
    b. Găsiți câteva valori ale lui x care ar funcționa pentru Kiran.
    c. Am putea exprima toate valorile care ar funcționa folosind fie x ≤ _, fie x ≥ _. Pe care să-l folosim?
    d. Scrieți răspunsul la întrebarea lui Kiran folosind notația matematică.
  2. Un profesor vrea să cumpere 9 cutii de bare de granola pentru o excursie la școală. Fiecare cutie costă, de obicei, 7 USD, dar multe magazine alimentare au o vânzare la barurile de granola săptămâna aceasta. Diferite magazine vând cutii cu bare de granola la diferite reduceri.
    A. Dacă a reprezintă suma în dolari a reducerii, atunci suma pe care profesorul o va plăti poate fi exprimată ca 9 (7 - x). În această expresie, ce reprezintă cantitatea 7 - x?
    b. Profesorul are 36 de dolari de cheltuit pe barurile de granola. Ecuația 9 (7 - x) = 36 reprezintă o situație în care cheltuie toți 36 $. Rezolvați această ecuație.
    c. Ce înseamnă soluția în această situație?
    d. Profesorul nu trebuie să cheltuiască toți cei 36 de dolari. Scrieți o inegalitate referitoare la 36 și 9 (7 - x) reprezentând această situație.
    e. Soluția la această inegalitate trebuie să arate fie ca ≥ 3, fie x ≤ 3. Care crezi că este? Explicați-vă raționamentul.

Ești pregătit pentru mai multe?

Jada și Diego au copt un lot mare de fursecuri.

  • Au selectat 1/4 din cookie-uri pentru a le da profesorilor lor.
  • Apoi, au aruncat un prăjit ars.
  • Au livrat 2/5 din restul de cookie-uri la un azil de bătrâni local. = Apoi, au dat 3 fursecuri unor copii din cartier.
  • Au încheiat 2/3 din cookie-urile rămase pentru a le salva pentru prietenii lor.
    După toate acestea, le-au rămas 15 fursecuri. Câte fursecuri au copt?
    • Arată răspunsul

    Lecția 14 Probleme de practică

    1. Soluția la 5 - 3x & gt 35 este fie x & gt -10, fie -10 & gt x. Care soluție este corectă? Explicați cum știți.
    2. Directorul formației școlare a stabilit din experiența trecută că, dacă taxează dolari pentru un bilet la concert, se pot aștepta la prezența de 1000 - 50 de tone. Directorul a folosit acest model pentru a afla că prețul biletului trebuie să fie de 8 USD sau mai mare pentru ca cel puțin 600 să participe. Sunteți de acord cu această afirmație? De ce sau de ce nu?
    3. Care inegalitate este adevărată atunci când valoarea lui x este -3?
      A. -x - 6 & lt -3,5
      B. -x - 6 & gt 3.5
      C. -x - 6 & gt -3,5
      D. x - 6 & gt -3,5
    4. Desenați soluția setată pentru fiecare dintre următoarele inegalități.
    5. Scrieți trei ecuații diferite care se potrivesc cu diagrama benzii.
    6. Un brutar vrea să reducă cantitatea de zahăr din rețetele sale de tort. El decide să reducă cantitatea folosită într-un tort cu 1/2 cană. Apoi folosește 4 1/2 căni de zahăr pentru a coace 6 prăjituri.
      A. Descrieți modul în care diagrama de bandă reprezintă povestea.
      b. Cât de mult zahăr a fost inițial în fiecare rețetă de tort?

    Programul de matematică Open Up Resources poate fi descărcat gratuit de pe site-ul web Open Up Resources și este disponibil și de la Illustrative Mathematics.

    Încercați calculatorul gratuit Mathway și rezolvarea problemelor de mai jos pentru a practica diverse subiecte matematice. Încercați exemplele date sau introduceți propria problemă și verificați răspunsul cu explicații pas cu pas.

    Vă mulțumim pentru feedback, comentarii și întrebări despre acest site sau pagină. Vă rugăm să trimiteți feedback-ul sau întrebările dvs. prin intermediul paginii noastre de feedback.


    Exemplul 1 - Graficarea inegalităților

    Graficul inegalității: & # xa0 y & lt 2x + 2

    Pasul 1: Graficați inegalitatea așa cum ați face o ecuație liniară.

    Gândiți-vă la: y = 2x + 2 când creați graficul.

    Nu uitați să determinați dacă linia este solidă sau punctată. În acest caz, deoarece simbolul inegalității este mai mic decât (& lt), linia este punctată. Punctele de pe linie NU sunt soluții!

    Pasul 2: & # xa0 Determinați care parte a liniei conține soluțiile. Din moment ce y este mai puțin decât expresia, vei umbri below linia.

    Dacă nu sunteți sigur de ce parte să umbriți, alegeți orice punct din grafic (care nu este pe linie). Alegeți un punct de testare pentru a determina care parte conține soluțiile.

    Voi alege (0,0) deoarece acesta este cel mai ușor punct de înlocuit în inegalitate pentru a verifica soluțiile.

    Pasul 3: Înlocuiți (0,0) inegalitatea

    Aceasta este o declarație TRUE. & # Xa0 0 este mai mic de 2.

    Deoarece (0,0) este o soluție și se află în dreapta liniei, TOATE punctele din dreapta liniei sunt soluții! & # Xa0

    Prin urmare, vom umbri ușor zona din dreapta liniei pentru a arăta că această parte a liniei conține toate soluțiile inegalității.

    Pasul 4: Umbrește latura liniei care conține soluțiile la inegalitate.

    Ați observat cum linia noastră de graniță era o linie punctată din cauza simbolului mai puțin decât folosit în inegalitate?

    De asemenea, este posibil să fi realizat că faceți umbre sub linia punctată din cauza simbolului mai mic decât din inegalitate. Cu toate acestea, dacă nu sunteți sigur, puteți alege întotdeauna un punct de testare. Folosesc întotdeauna punctul (0,0) dacă nu este pe linie.

    Înlocuiți (0,0) în inegalitatea inițială. Dacă propoziția matematică este adevărată odată ce înlocuiți (0,0), atunci asta înseamnă că (0,0) este o soluție și umbreți jumătatea planului care conține (0,0). Dacă propoziția matematică este falsă atunci când înlocuiți (0,0), atunci aceasta înseamnă că (0,0) nu este o soluție și cealaltă jumătate de plan (sau latura liniei care nu conține (0,0) ar trebui să fie fi umbrit.

    Pentru acest al doilea exemplu, va trebui să rescriem ecuația astfel încât să fie în formă de interceptare a pantei înainte de a grafica. Rețineți, de asemenea, că semnul este mai mare sau egal cu, așa că vom grafica o linie continuă de această dată în loc de o linie punctată. Acest exemplu va demonstra, de asemenea, cum să alegeți trei soluții la inegalitate.


    Rezolvați fiecare inegalitate. Apoi verificați soluția și graficați-o pe o linie numerică.

    Scădeți 14 pe ambele părți,

    Pentru a verifica soluția, trebuie să luăm orice valori mai mari sau egale cu 4 și să verificăm dacă îndeplinește sau nu condiția.

    Acum trebuie să aplicăm 5 în loc de „x” în inegalitatea dată.

    Pentru a grafica soluția, trebuie să trasăm o linie numerică și să umbrim porțiunea care îndeplinește condiția dată.

    Rezolvați fiecare inegalitate. Apoi verificați soluția și graficați-o pe o linie numerică.

    Pentru a verifica soluția, trebuie să luăm orice valoare mai mică sau egală cu 2 și să verificăm dacă îndeplinește sau nu condiția.

    Acum trebuie să aplicăm 0 în loc de „d” în inegalitatea dată.

    Pentru a grafica soluția, trebuie să trasăm o linie numerică și să umbrim porțiunea care îndeplinește condiția dată.

    Rezolvați fiecare inegalitate. Apoi verificați soluția și graficați-o pe o linie numerică.

    Dacă răsturnăm variabila în partea dreaptă și valoarea în partea stângă, atunci trebuie să îi schimbăm semnul original.

    Pentru a verifica soluția, trebuie să luăm orice valoare mai mică sau egală cu 7 și să verificăm dacă îndeplinește sau nu condiția.

    Acum trebuie să aplicăm 5 în loc de „q” în inegalitatea dată.

    Pentru a grafica soluția, trebuie să trasăm o linie numerică și să umbrim porțiunea care îndeplinește condiția dată.

    Rezolvați fiecare inegalitate. Apoi verificați soluția și graficați-o pe o linie numerică.

    Pentru a verifica soluția, trebuie să luăm orice valoare mai mare de -8.

    Acum trebuie să aplicăm -5 în loc de „y” în inegalitatea dată.

    Pentru a grafica soluția, trebuie să trasăm o linie numerică și să umbrim porțiunea care îndeplinește condiția dată.

    Rezolvați fiecare inegalitate. Apoi verificați soluția și graficați-o pe o linie numerică.

    Scădeți 2f pe ambele părți

    Pentru a verifica soluția, trebuie să luăm orice valoare mai mică de -2.

    Acum trebuie să aplicăm -2 în loc de „f” în inegalitatea dată.

    Pentru a grafica soluția, trebuie să trasăm o linie numerică și să umbrim porțiunea care îndeplinește condiția dată.

    După ce am parcurs lucrurile prezentate mai sus, sperăm că elevii ar fi înțeles cum să rezolve inegalitățile. & # xa0

    În afară de lucrurile prezentate în această secțiune, dacă aveți nevoie de alte lucruri în matematică, vă rugăm să utilizați căutarea personalizată Google aici.

    Dacă aveți feedback despre conținutul nostru matematic, vă rugăm să ne trimiteți un e-mail: & # xa0

    Apreciem întotdeauna feedback-ul dvs. & # xa0

    De asemenea, puteți vizita următoarele pagini web despre diferite lucruri din matematică. & # Xa0


    (6.3.2) & # 8211 Rezolvați inegalitățile care conțin valori absolute

    Să aplicăm ceea ce știi despre rezolvarea ecuațiilor care conțin valori absolute și ceea ce știi despre inegalități pentru a rezolva inegalitățile care conțin valori absolute. Să începem cu o inegalitate simplă.

    Această inegalitate este citită, „valoarea absolută a [latex] x [/ latex] este mai mică sau egală cu 4.” Dacă vi se cere să rezolvați pentru [latex] x [/ latex], doriți să aflați ce valori ale [latex] x [/ latex] sunt la 4 unități sau mai puțin de 0 pe o linie numerică. Puteți începe prin a vă gândi la linia numerică și la ce valori ale [latex] x [/ latex] ar satisface această ecuație.

    4 și [latex] −4 [/ latex] sunt ambele la patru unități distanță de 0, deci sunt soluții. 3 și [latex] −3 [/ latex] sunt, de asemenea, soluții, deoarece fiecare dintre aceste valori este la mai puțin de 4 unități distanță de 0. La fel și 1 și [latex] −1 [/ latex], 0,5 și [latex] −0,5 [ / latex] și așa mai departe - există un număr infinit de valori pentru [latex] x [/ latex] care vor satisface această inegalitate.

    Graficul acestei inegalități va avea două cercuri închise, la 4 și [latex] −4 [/ latex]. Distanța dintre aceste două valori pe linia numerică este colorată în albastru, deoarece toate aceste valori satisfac inegalitatea.

    Soluția poate fi scrisă astfel:

    Inegalitate: [latex] -4 leq x leq4 [/ latex]

    Situația este puțin diferită atunci când semnul inegalității este „mai mare decât” sau „mai mare decât sau egal cu”. Luați în considerare inegalitatea simplă [latex] left | x right | & gt3 [/ latex]. Din nou, v-ați putea gândi la linia numerică și la ce valori ale [latex] x [/ latex] sunt mai mari de 3 unități distanță de zero. De data aceasta, 3 și [latex] −3 [/ latex] nu sunt incluse în soluție, deci există cercuri deschise pe ambele valori. 2 și [latex] −2 [/ latex] nu ar fi soluții, deoarece acestea nu sunt la mai mult de 3 unități distanță de 0. Dar 5 și [latex] −5 [/ latex] ar funcționa, la fel și toate valorile care se extind în stânga [latex] −3 [/ latex] și în dreapta lui 3. Graficul ar arăta ca cel de mai jos.

    Soluția la această inegalitate poate fi scrisă astfel:

    Inegalitate: [latex] x & lt − 3 [/ latex] sau [latex] x & gt3 [/ latex].

    Interval: [latex] left (- infty, -3 right) cup left (3, infty right) [/ latex]

    În videoclipul următor, veți vedea exemple despre cum să rezolvați și să exprimați soluția la inegalitățile de valoare absolută care implică atât AND cât și OR.

    Soluții de scriere pentru inegalități de valoare absolută

    Pentru orice valoare pozitivă a [latex] a [/ latex] și [latex] x [/ latex], o singură variabilă sau orice expresie algebrică:

    Inegalitate cu valoare absolută Inegalitate echivalentă Notare pe intervale
    [latex] left | right | le [/ latex] [latex] <-a> le le [/ latex] [latex] left [-a, a right] [/ latex]
    [latex] left | x right | lt [/ latex] [latex] <-a> lt lt [/ latex] [latex] left (-a, a right) [/ latex]
    [latex] left | x right | ge [/ latex] [latex] le text <−a> [/ latex] sau [latex] ge [/ latex] [latex] left (- infty, -a right] cup left [a, infty right) [/ latex]
    [latex] left | x right | gt text [/ latex] [latex] displaystyle lt text <−a> [/ latex] sau [latex] gt [/ latex] [latex] left (- infty, -a right) cup left (a, infty right) [/ latex]

    Să ne uităm la câteva exemple de inegalități care conțin valori absolute.

    Exemplu

    Rezolvați pentru [latex] x [/ latex]. [latex] left | x + 3 right | gt4 [/ latex]

    Deoarece aceasta este o inegalitate „mai mare decât”, soluția poate fi rescrisă în conformitate cu regula „mai mare decât”.

    Verificați soluțiile din ecuația originală pentru a vă asigura că funcționează. Verificați punctul final al primei ecuații corelate, [latex] −7 [/ latex] și punctul final al celei de-a doua ecuații corelate, 1.

    Încercați [latex] −10 [/ latex], o valoare mai mică decât [latex] −7 [/ latex] și 5, o valoare mai mare decât 1, pentru a verifica inegalitatea.

    Răspuns

    Interval: [latex] left (- infty, -7 right) cup left (1, infty right) [/ latex]

    Exemplu

    Rezolvați pentru [latex] y [/ latex]. [latex] displaystyle 3 left | 2y + 6 right | -9 & lt27 [/ latex]

    Începeți să izolați valoarea absolută adăugând 9 la ambele părți ale inegalității.

    Împărțiți ambele părți la 3 pentru a izola valoarea absolută.

    Scrieți inegalitatea valorii absolute utilizând regula „mai puțin de”. Scădeți 6 din fiecare parte a inegalității.

    Împărțiți la 2 pentru a izola variabila.

    Răspuns

    Inegalitate: [latex] displaystyle -9 & lt , , y , , & lt3 [/ latex]

    În următorul videoclip, veți vedea un exemplu de rezolvare a inegalităților valorii absolute în mai mulți pași care implică o situație SAU.

    În următorul videoclip veți vedea un exemplu de rezolvare a inegalităților valorii absolute în mai mulți pași care implică o situație ȘI.

    În ultimul videoclip care urmează, veți vedea un exemplu de rezolvare a unei inegalități de valoare absolută în care trebuie mai întâi să izolați valoarea absolută.

    Identificați cazurile de inegalități care conțin valori absolute care nu au soluții

    Ca și în cazul ecuațiilor, pot exista cazuri în care nu există o soluție la o inegalitate.

    Exemplu

    Rezolvați pentru [latex] x [/ latex]. [latex] left | 2x + 3 right | +9 leq 7 [/ latex]

    Izolați valoarea absolută scăzând 9 din ambele părți ale inegalității.

    Valoarea absolută a unei cantități nu poate fi niciodată un număr negativ, deci nu există nicio soluție la inegalitate.

    Răspuns

    Rezumat

    Inegalitățile absolute pot fi rezolvate rescriindu-le folosind inegalități compuse. Primul pas pentru rezolvarea inegalităților absolute este izolarea valorii absolute. Următorul pas este să decideți dacă lucrați cu o inegalitate SAU sau o inegalitate ȘI. Dacă inegalitatea este mai mare decât un număr, vom folosi SAU. Dacă inegalitatea este mai mică decât un număr, vom folosi ȘI. Amintiți-vă că, dacă ajungem cu o valoare absolută mai mare sau mai mică decât un număr negativ, nu există nicio soluție.


    Inegalități în mai mulți pași

    Inegalități în mai mulți pași sunt rezolvate exact în același mod ca și inegalitățile cu un pas sau inegalitățile cu două etape. Singura diferență dintre ele este numărul de pași pe care trebuie să-i efectuați pentru a ajunge la soluție. Deoarece numărul de pași din inegalități în mai mulți pași nu este limitat, pot deveni destul de complicate. Dar, dacă urmați ordinea operațiilor, amintiți-vă tot ce ați învățat în lecțiile anterioare și cu un pic de practică, precum și de raționament logic, nu veți avea niciun fel de probleme.

    Vă vom arăta cum să faceți față acestor inegalități pe acest exemplu destul de dificil:

    Primul lucru care trebuie făcut este să scăpați de paranteze. Putem face asta înmulțind primele paranteze din stânga cu (-8) și a doua cu 6. Deci acum obținem:

    Acum trebuie să punem toate numerele în dreapta și toate variabilele în partea stângă a expresiei. Observați că singurele numere pe care le avem în această expresie sunt -48 și 48. Când le adunăm împreună, obținem 0 ca rezultat. Deci, acum expresia arată astfel:

    Acum, permiteți-ne să efectuăm restul adunărilor și scăderilor:

    Nu am terminat încă. Mai este încă un pas de realizat și anume împărțirea întregii expresii la (-61). Deoarece acesta este un număr negativ, rețineți că trebuie să schimbați semnul inegalității la opusul său. Deci, ultimul pas merge astfel:

    Rezultatul final este fiecare număr real mai mic decât zero.

    Sperăm că această lecție v-a ajutat și că ați putut învăța din ea. Dacă aveți întrebări sau comentarii suplimentare, vă rugăm să le trimiteți prin formularul nostru de contact și vom încerca să le răspundem cât mai curând posibil. Dacă vrei să exersezi rezolvarea inegalități în mai mulți pași altele, nu ezitați să folosiți fișele de lucru matematice de mai jos.


    Bine ați venit la pagina principală de tutoriale QuickMath.

    Ecuațiile liniare sunt cele mai ușor de rezolvat. Nu încercați alte ecuații înainte de a le stăpâni cu tutoriale și rezolvatori interacționali de ecuații liniare.

    Funcțiile grafice sunt ecuații grafice foarte similare. Aici veți învăța notația funcțională adecvată, precum și funcțiile de graficare care sunt mai complexe decât cele găsite în tutorialele ecuațiilor grafice.

    Valorile absolute sunt absolut de neînțeles? Aruncați o privire rapidă la tutorialele noastre pas cu pas cu rezolvători de probleme interactive cu valoare absolută.

    Rădăcini matematice mai rele decât canalele radiculare? Nu cu tutorialele noastre și cu soluțiile interactive. Veți învăța cum să adăugați, să scădați să multiplicați și să împărțiți rădăcinile, precum și să raționalizați numitorii.

    Nu sunteți sigur cu privire la regulile exponenților, operațiile polinomiale și subiecte similare? Aceste tutoriale vă vor învăța regulile și operațiunile de bază, iar rezolvatorii noștri polinomiali vor genera infinit multe soluții pas cu pas pentru o varietate de probleme

    Ecuațiile pătratice sunt puțin mai complicate decât cele liniare. Dacă nu sunteți sigur cu privire la ecuațiile liniare, consultați mai întâi tutorialele despre ecuații liniare. Dacă credeți că le puteți gestiona, utilizați tutorialele noastre de ecuații pătratice și rezolvătorii interacționali pentru a afla despre formula pătratică și alte modalități de rezolvare a ecuațiilor de ordinul doi.

    Sunt numerele complexe prea complexe pentru a învăța? Nu, nu sunt dacă utilizați soluții complexe de numere și tutoriale interactive. Veți afla de ce avem nevoie de ele, ce este o unitate imaginară și multe alte lucruri interesante.

    Aveți probleme cu factoringul? Ce regulă să aplici când? Aruncați o privire la aceste tutoriale interactive utile despre diferite metode de factoring.

    Fracțiile îți dau dureri de cap? Aflați cum să reduceți fracțiile și să simplificați o varietate de expresii raționale folosind tutorialele noastre care includ solutori de fracții interactive. & Emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp

    Ai nevoie de un pic de analiză a aritmeticii? Revedeți elementele de bază ale calculelor aritmetice și aflați despre reprezentarea numerelor întregi și reale folosind soluțiile noastre interactive.

    Graficarea ecuațiilor cu graficele noastre interactive este ușoară! Nu numai că vă permit să graficați ecuații, dar cu tutorialele noastre aflați și despre formele caracteristice și punctele ecuațiilor comune.

    Funcția exponențială este exponențial mai greu de învățat decât alte funcții? Nu este așa cu soluțiile noastre interactive, graficele și tutoriale!

    Dacă știți deja cum să graficați ecuațiile, inegalitățile sunt ușor de agitat. O mulțime de umbrire implicată! Utilizați graficele și tutorialele noastre interactive pentru a afla acest subiect important

    Acest set de tutoriale va explica modul de rezolvare și graficare a unui sistem de două ecuații liniare într-o varietate de moduri

    Nu există nimic foarte radical în ecuațiile radicale! Adică, dacă știi ce este un radical. Dacă nu, consultați mai întâi tutorialul Rădăcini și radicali. Apoi reveniți și utilizați rezolvatorii și tutorialele noastre interactive de ecuații radicale pentru a afla cum să rezolvați acest tip de ecuații.

    Acest set de tutoriale explică modul de simplificare a unei varietăți de expresii, cum ar fi fracțiile și radicalii.

    Vești bune: rezolvarea inegalităților liniare inegalitățile este foarte asemănătoare cu rezolvarea ecuațiilor liniare. Vești proaste: există acest mic semn de inegalitate plictisitor (& lt sau & gt) care poate schimba direcțiile în funcție de ceea ce faceți cu inegalitatea dvs. Citiți tutorialele noastre și utilizați soluția de rezolvare a valorii absolute pentru a afla mai multe.


    Cuprins

    medie aritmetică, sau mai puțin precis in medie, a unei liste de n numere X1, X2, . . . , Xn este suma numerelor împărțite la n:

    medie geometrică este similar, cu excepția faptului că este definit doar pentru o listă de non-negativ numere reale și folosește multiplicarea și o rădăcină în locul adunării și divizării:

    Dacă X1, X2, . . . , Xn & gt 0, aceasta este egală cu exponențiala mediei aritmetice a logaritmilor naturali ai numerelor:

    Refăcând inegalitatea folosind notația matematică, avem asta pentru orice listă de n numere reale nenegative X1, X2, . . . , Xn ,

    și că egalitatea este valabilă dacă și numai dacă X1 = X2 = · · · = Xn .

    În două dimensiuni, 2X1 + 2X2 este perimetrul unui dreptunghi cu laturile de lungime X1 și X2 . În mod similar, 4 √ X1X2 este perimetrul unui pătrat cu aceeași suprafață, X1X2 , ca acel dreptunghi. Astfel pentru n = 2 inegalitatea AM – GM afirmă că un dreptunghi al unei zone date are cel mai mic perimetru dacă acel dreptunghi este, de asemenea, un pătrat.

    Inegalitatea deplină este o extensie a acestei idei la n dimensiuni. Fiecare vârf al unei cutii n-dimensionale este conectat la n margini. Dacă lungimile acestor margini sunt X1, X2, . . . , Xn , atunci X1 + X2 + · · · + Xn este lungimea totală a muchiilor incidente vârfului. Sunt 2 n vârfuri, deci înmulțim acest lucru cu 2 n de vreme ce fiecare margine întâlnește două vârfuri, fiecare margine este numărată de două ori. Prin urmare, împărțim la 2 și concluzionăm că există 2 n−1 n margini. Există la fel de multe muchii ale fiecărei lungimi și n lungimi, deci sunt 2 n−1 margini ale fiecărei lungimi și totalul tuturor lungimilor marginilor este de 2 n−1 (X1 + X2 + · · · + Xn). Pe de altă parte,

    este lungimea totală a muchiilor conectate la un vârf pe un cub n-dimensional cu volum egal, deoarece în acest caz X1=. =Xn . Din moment ce spune inegalitatea

    poate fi retratat prin multiplicarea cu n2 n–1 pentru a obține

    cu egalitate dacă și numai dacă X1 = X2 = · · · = Xn .

    Astfel, inegalitatea AM-GM afirmă că numai n -cub are cea mai mică sumă de lungimi de margini conectate la fiecare vârf dintre toate n-cutiile dimensionale cu același volum. [2]

    pentru toate numerele reale pozitive x, y și z. Să presupunem că dorim să găsim valoarea minimă a acestei funcții. Poate fi rescris ca:

    Aplicarea inegalității AM – GM pentru n = 6, obținem

    Mai mult, știm că cele două părți sunt egale exact atunci când toți termenii mediei sunt egali:

    Toate punctele (X, y, z) care îndeplinesc aceste condiții se află pe o jumătate de linie începând de la origine și sunt date de

    O aplicație practică importantă în matematica financiară este calcularea ratei randamentului: randamentul anualizat, calculat prin media geometrică, este mai mic decât randamentul mediu anual, calculat prin media aritmetică (sau egală dacă toate randamentele sunt egale). Acest lucru este important în analiza investițiilor, deoarece randamentul mediu supraestimează efectul cumulativ.

    Dovadă folosind inegalitatea lui Jensen Edit

    Inegalitatea lui Jensen afirmă că valoarea unei funcții concavă a unei medii aritmetice este mai mare sau egală cu media aritmetică a valorilor funcției. Deoarece funcția logaritmică este concavă, avem

    Luând antiloguri ale părților extrem stânga și extremă dreaptă, avem inegalitatea AM-GM.

    Dovadă prin medierea mediei aritmetice Edit

    cu egalitate numai atunci când toate numerele sunt egale. Dacă XeuXj , apoi înlocuind ambele xeu și xj de (Xeu + Xj) / 2 va lăsa neschimbată media aritmetică din partea stângă, dar va crește media geometrică din partea dreaptă, deoarece

    Astfel partea dreaptă va fi cea mai mare atunci când toate xeu s sunt egale cu media aritmetică

    astfel, deoarece aceasta este atunci cea mai mare valoare a laturii din dreapta a expresiei, avem

    Aceasta este o dovadă validă pentru caz n = 2, dar procedura de a lua medii iterativ în perechi poate să nu reușească să producă n numere egale în caz n ≥ 3. Un exemplu al acestui caz este X1 = X2X3 : Medierea a două numere diferite produce două numere egale, dar al treilea este încă diferit. Prin urmare, nu obținem niciodată o inegalitate care să implice media geometrică a trei numere egale.

    În cazul general, procesul de mediere de mai sus tinde spre numere egale, și astfel demonstrează AM-GM.

    Editarea dovezilor de inducție

    Dovadă prin inducție # 1 Edit

    Dintre numerele reale non-negative X1, . . . , Xn , declarația AM – GM este echivalentă cu

    cu egalitate dacă și numai dacă α = Xeu pentru toți eu ∈ <1, . . . , n> .

    Pentru următoarea dovadă aplicăm inducția matematică și numai reguli bine cunoscute de aritmetică.

    Baza de inducție: Pentru n = 1 afirmația este adevărată cu egalitate.

    Ipoteza inducției: Să presupunem că afirmația AM-GM este valabilă pentru toate opțiunile de n numere reale non-negative.

    Etapa de inducție: Considera n + 1 numere reale non-negative X1, . . . , Xn+1 ,. Media lor aritmetică α satisface

    Dacă toate xeu sunt egali cu α, atunci avem egalitate în enunțul AM – GM și am terminat. În cazul în care unele nu sunt egale cu α, trebuie să existe un număr mai mare decât media aritmetică α și unul mai mic decât α. Fără pierderea generalității, putem reordona x-ul nostrueu pentru a plasa aceste două elemente particulare la final: Xn & gt α și Xn+1 & lt α . Atunci

    și ia în considerare numerele n X1, . . . , Xn–1, y, care sunt toate non-negative. De cand

    Astfel, α este, de asemenea, media aritmetică a n numere X1, . . . , Xn–1, y iar ipoteza inducției implică

    în special α & gt 0. Prin urmare, dacă cel puțin unul dintre numere X1, . . . , Xn–1 este zero, atunci avem deja o inegalitate strictă în (**). În caz contrar, partea dreaptă a (**) este pozitivă și inegalitatea strictă se obține utilizând estimarea (***) pentru a obține o limită inferioară a părții din dreapta a (**). Astfel, în ambele cazuri putem înlocui (***) cu (**) pentru a obține

    care completează dovada.

    Dovadă prin inducție # 2 Edit

    În primul rând vom demonstra că pentru numerele reale X1 & lt 1 și X2 & gt 1 urmează

    Într-adevăr, înmulțind ambele părți ale inegalității X2 & gt 1 cu 1 - X1 , dă

    de unde se obține imediat inegalitatea cerută.

    Acum, vom demonstra asta pentru numerele reale pozitive X1, . . . , Xn satisfăcător X1 . . . Xn = 1, acolo se ține

    Egalitatea este valabilă numai dacă X1 = . = Xn = 1 .

    Baza de inducție: Pentru n = 2 afirmația este adevărată din cauza proprietății de mai sus.

    Ipoteza inducției: Să presupunem că afirmația este adevărată pentru toate numerele naturale până la n – 1 .

    Etapa de inducție: Luați în considerare numărul natural n , adică pentru numere reale pozitive X1, . . . , Xn , acolo ține X1 . . . Xn = 1. Există cel puțin unul Xk & lt 1, deci trebuie să existe cel puțin unul Xj & gt 1. Fără pierderea generalității, lăsăm k =n - 1 și j = n .

    Mai mult, egalitatea X1 . . . Xn = 1 vom scrie sub forma (X1 . . . Xn–2) (Xn–1 Xn) = 1. Apoi, ipoteza inducției implică

    Cu toate acestea, luând în considerare baza de inducție, avem

    care completează dovada.

    Pentru numere reale pozitive A1, . . . , An , să denotăm

    Numerele X1, . . . , Xn satisfac condiția X1 . . . Xn = 1. Deci avem

    cu egalitatea menținând doar pentru A1 = . = An .

    Dovadă făcută de Cauchy folosind ediția de inducție înainte-înapoi

    Următoarea dovadă de cazuri se bazează direct pe reguli aritmetice bine cunoscute, dar folosește tehnica rar utilizată de inducție înainte-înapoi. Este în esență de la Augustin Louis Cauchy și poate fi găsit în al său Cours d'analyse. [3]

    Cazul în care toți termenii sunt egali Editați

    Dacă toți termenii sunt egali:

    atunci suma lor este nx1 , deci media lor aritmetică este X1 iar produsul lor este X1 n , deci media lor geometrică este X1 prin urmare, media aritmetică și media geometrică sunt egale, după cum se dorește.

    Cazul în care nu toți termenii sunt egali Editați

    Rămâne să arătăm că dacă nu toți termenii sunt egali, atunci media aritmetică este mai mare decât media geometrică. În mod clar, acest lucru este posibil numai atunci când n & gt 1.

    Acest caz este semnificativ mai complex și îl împărțim în subcazuri.

    Subcasa unde n = 2 Editați

    Dacă n = 2, atunci avem doi termeni, X1 și X2 și, deoarece (prin presupunerea noastră) nu toți termenii sunt egali, avem:

    Subcasa unde n = 2 k Editați | ×

    Luați în considerare cazul în care n = 2 k , unde k este un număr întreg pozitiv. Procedăm prin inducție matematică.

    În cazul de bază, k = 1, deci n = 2. Am arătat deja că inegalitatea se menține când n = 2, deci am terminat.

    Acum, să presupunem că pentru o dată k & gt 1, am arătat deja că inegalitatea este valabilă pentru n = 2 k−1 și dorim să arătăm că este valabil pentru n = 2 k . Pentru a face acest lucru, aplicăm inegalitatea de două ori pentru 2 k-1 numere și o dată pentru 2 numere pentru a obține:

    unde în prima inegalitate, cele două părți sunt egale numai dacă

    (caz în care prima medie aritmetică și prima medie geometrică sunt ambele egale cu X1 , și în mod similar cu a doua medie aritmetică și a doua medie geometrică) și în a doua inegalitate, cele două părți sunt egale numai dacă cele două medii geometrice sunt egale. Deoarece nu toate 2 k numerele sunt egale, nu este posibil ca ambele inegalități să fie egalități, deci știm că:

    Subcasa unde n & lt 2 k Editați | ×

    Dacă n nu este o putere naturală de 2, atunci este cu siguranță Mai puțin decât o anumită putere naturală de 2, deoarece secvența 2, 4, 8,. . . , 2 k ,. . . este nelimitat deasupra. Prin urmare, fără pierderea generalității, să fie o putere naturală de 2 mai mare decât n.

    Deci, dacă avem n termeni, atunci să denotăm media lor aritmetică cu α și să extindem lista noastră de termeni astfel:

    Dovadă prin inducție folosind calculul de bază Edit

    Următoarea dovadă folosește inducția matematică și câteva calcule diferențiale de bază.

    Baza de inducție: Pentru n = 1 afirmația este adevărată cu egalitate.

    Ipoteza inducției: Să presupunem că afirmația AM-GM este valabilă pentru toate opțiunile de n numere reale non-negative.

    Etapa de inducție: Pentru a dovedi declarația pentru n + 1 numere reale non-negative X1, . . . , Xn, Xn+1 , trebuie să dovedim asta

    cu egalitate numai dacă toate n + 1 numere sunt egale.

    Dacă toate numerele sunt zero, inegalitatea se menține cu egalitatea. Dacă unele, dar nu toate numerele sunt zero, avem o inegalitate strictă. Prin urmare, putem presupune în cele ce urmează că toate n + 1 numerele sunt pozitive.

    Considerăm ultimul număr Xn+1 ca variabilă și definiți funcția

    Dovedirea etapei de inducție este echivalentă cu a arăta că f(t) ≥ 0 pentru toți t & gt 0, cu f(t) = 0 numai dacă X1, . . . , Xn și t sunt toate egale. Acest lucru se poate face analizând punctele critice ale lui f folosind un calcul de bază.

    Prima derivată a lui f este dată de

    Un punct critic t0 trebuie să satisfacă f ′(t0) = 0, ceea ce înseamnă

    După o mică rearanjare ajungem

    care este media geometrică a X1, . . . , Xn . Acesta este singurul punct critic al lui f. De cand f ′ ′(t) & gt 0 pentru toți t & gt 0, funcția f este strict convexă și are un minim global strict la t0 . Apoi calculăm valoarea funcției la acest minim global:

    unde inegalitatea finală se menține datorită ipotezei de inducție. Ipoteza mai spune că putem avea egalitate numai atunci când X1, . . . , Xn sunt toți egali. În acest caz, media lor geometrică t0 are aceeași valoare, deci, cu excepția cazului în care X1, . . . , Xn, Xn+1 suntem toți egali, avem f(Xn+1) & gt 0. Aceasta completează dovada.

    Această tehnică poate fi utilizată în același mod pentru a demonstra inegalitatea generalizată AM-GM și inegalitatea Cauchy-Schwarz în spațiul euclidian. R n .

    Proof by Pólya using the exponential function Edit

    George Pólya provided a proof similar to what follows. Lăsa f(X) = e X–1 – X for all real x , with first derivative f′(X) = e X–1 – 1 and second derivative f′′(X) = e X–1 . Observe that f(1) = 0 , f′(1) = 0 and f′′(X) > 0 for all real x , hence f is strictly convex with the absolute minimum at X = 1 . Prin urmare X ≤ e X–1 for all real x with equality only for X = 1 .

    Consider a list of non-negative real numbers X1, X2, . . . , Xn . If they are all zero, then the AM–GM inequality holds with equality. Hence we may assume in the following for their arithmetic mean α > 0 . By n -fold application of the above inequality, we obtain that

    with equality if and only if Xeu = α pentru fiecare eu ∈ <1, . . . , n>. The argument of the exponential function can be simplified:

    which produces X1 X2 · · · Xnα n , hence the result [4]

    Proof by Lagrangian Multipliers Edit

    Weighted AM–GM inequality Edit

    There is a similar inequality for the weighted arithmetic mean and weighted geometric mean. Specifically, let the nonnegative numbers X1, X2, . . . , Xn and the nonnegative weights w1, w2, . . . , wn be given. A stabilit w = w1 + w2 + · · · + wn . Dacă w > 0 , then the inequality

    holds with equality if and only if all the xk cu wk > 0 are equal. Here the convention 0 0 = 1 is used.

    If all wk = 1 , this reduces to the above inequality of arithmetic and geometric means.

    Proof using Jensen's inequality Edit

    Using the finite form of Jensen's inequality for the natural logarithm, we can prove the inequality between the weighted arithmetic mean and the weighted geometric mean stated above.

    Since an xk with weight wk = 0 has no influence on the inequality, we may assume in the following that all weights are positive. If all xk are equal, then equality holds. Therefore, it remains to prove strict inequality if they are not all equal, which we will assume in the following, too. If at least one xk is zero (but not all), then the weighted geometric mean is zero, while the weighted arithmetic mean is positive, hence strict inequality holds. Therefore, we may assume also that all xk are positive.

    Since the natural logarithm is strictly concave, the finite form of Jensen's inequality and the functional equations of the natural logarithm imply


    Euclidean Inner Product

    Richard Bronson , . John T. Saccoman , in Linear Algebra (Third Edition) , 2014

    Chapter 6 Review

    Important Terms

    Gram-Schmidt orthonormalization process

    least-squares straight line

    orthonormal set of vectors

    QR algorithm

    QR descompunere

    Important Concepts

    The Euclidean inner product of two vectors X și y in ℝ n is a real number obtained by multiplying corresponding components of X și y and then summing the resulting products.

    The inner product of a vector with itself is positive, unless the vector is the zero vector, in which case the inner product is zero.

    The inner product of a vector with the zero vector yields the zero scalar.

    X, y〉 = 〈y, X〉 = 〈y, X〉 for vectors X și y în R n .

    λX, y〉 = λX, y〉, for any real number λ.

    X + z, y〉 = 〈X, y〉 + 〈z, y〉.

    The magnitude of a vector X ∈ ℝ n is the square root of the inner product of X with itself.

    Dacă tu și v are vectors in ℝ n , then |(u,v)| ≤ ‖tu‖ ‖v‖.

    An induced inner product on two matrices of the same order is obtained by multiplying corresponding elements of both matrices and summing the results.

    An induced inner product of two polynomials is obtained by multiplying the coefficients of like powers of the variable and summing the results.

    Two vectors can be orthogonal with respect to one basis and not orthogonal with respect to another basis.

    Subtracting from a nonzero vector X its projection onto another nonzero vector a yields a vector that is orthogonal to both a and the projection of X onto a.

    An orthonormal set of vectors is an orthogonal set of unit vectors.

    An orthonormal set of a finite number of vectors is linearly independent.

    If <X1, X2, …, Xn> is orthonormal basis for a vector space V , then for any vector X ∈ V , X = 〈X, X1X1 + 〈X, X2X2 + ⋯ + 〈X, XnXn.

    Every set of linearly independent vectors in an inner product space can be transformed into an orthonormal set of vectors that spans the same subspace.

    If the columns of a matrix A are linearly independent, then A can be factored into the product of a matrix Î, having columns that form an orthonormal set, and another matrix R, that is upper triangular.

    QR algorithm is a numerical method of locating all eigenvalues of a real matrix.

    The least-squares straight line is the line that minimizes the least-squares error for a given set of data.

    Un vector X is the least-squares solution to Ax = b dacă și numai dacă X is a solution to the normal equation A T Ax = A T b.

    If U is a subspace of an inner product space V , then so too is the orthogonal complement of U .

    If U is a subspace of an inner product space V , then the only vector common to both U and U ┴ is the zero vector.

    If S is a spanning set for a subspace U of ℝ n (considered as column matrices) and if a matrix A is created so that each row of A is the transpose of the vectors in S , then U ┴ = ker(A).

    If U is a subspace of ℝ n , atunci dim( U ) + dim( U ┴) = n.

    If U is a subspace of ℝ n , then each vector X ∈ ℝ n can be written uniquely as X = tu + tu┴, where tu ∈ U and tu┴ ∈ U ┴.


    Unit Resources

    Multiplication of Fractions and Mixed Numbers

    Student Reference Book pages 73, 90, 93

    Student Reference Book page 242

    Fraction/Whole Number Top-It
    (Student Reference Book, page 319-320)

    Division of Fractions and Mixed Numbers

    Student Reference Book page 93

    Student Reference Book page 262

    Review: Addition and Subtraction of Positive and Negative Numbers

    Student Reference Book pages 95, 96

    Student Reference Book pages 251-252

    Credits/Debits Game
    (Student Reference Book, page 308)

    Multiplication and Division of Positive and Negative Numbers

    Student Reference Book page 97

    Top-It with Positive and Negative Numbers
    (Student Reference Book, page 337-338)

    Absolute Value
    (CCSS Ed. Only)

    The Properties of Number Systems

    Student Reference Book page 105

    Student Reference Book page 247

    Student Reference Book page 219

    Student Reference Book pages 241-243

    Student Reference Book pages 242, 243

    Name That Number
    (Student Reference Book, page 329)

    Review: Pan-Balance Problems
    (CCSS Ed.)

    Review: Pan-Balance Equations
    (3rd Ed.)

    Student Reference Book page 250

    Student Reference Book pages 250-252

    The Equivalent-Equations Method
    (CCSS Ed.)

    The Equivalent-Equations Methods
    (3rd Ed.)

    Student Reference Book pages 251-252

    Student Reference Book pages 242-244, 251-252

    Everyday Mathematics for Parents: What You Need to Know to Help Your Child Succeed

    The University of Chicago School Mathematics Project

    University of Chicago Press


    Priveste filmarea: Matematică, clasa a II-a, Cazuri speciale de împărțire (August 2022).