Articole

1.3: Terminologie și aritmetică de bază

1.3: Terminologie și aritmetică de bază


We are searching data for your request:

Forums and discussions:
Manuals and reference books:
Data from registers:
Wait the end of the search in all databases.
Upon completion, a link will appear to access the found materials.

Definiție

Numere complexe sunt definite ca ansamblul tuturor numerelor

(z = x + yi ),

unde (x ) și (y ) sunt numere reale.

  • Notăm mulțimea tuturor numerelor complexe cu ( mathbb {C} ).
  • Numim (x ) parte reală din (z ). Aceasta este notată cu (x = text {Re} (z) ).
  • Numim (y ) parte imaginară din (z ). Aceasta este notată cu (y = text {Im} (z) ).

Important: Partea imaginară a (z ) este a numar real. Aceasta nu includeți (i ).

Operațiile de bază aritmetice respectă regulile standard. Tot ce trebuie să rețineți este că (i ^ 2 = -1 ). Le vom parcurge rapid folosind câteva exemple simple. Este de la sine înțeles că este esențial să devii fluent cu aceste manipulări.

  • Plus: ((3 + 4i) + (7 + 11i) = 10 + 15i )
  • Scădere: ((3 + 4i) - (7 + 11i) = -4 - 7i )
  • Multiplicare:

((3 + 4i) (7 + 11i) = 21 + 28i + 33i + 44i ^ 2 = -23 + 61i. )

Aici am folosit faptul că (44i ^ 2 = -44 ).

Înainte de a vorbi despre diviziune și valoare absolută, introducem o nouă operație numită conjugare. Se va dovedi util să ai un nume și un simbol pentru acest lucru, deoarece îl vom folosi frecvent.

Definiție: conjugare complexă

Conjugare complexă este notat cu o bară și definit prin

( overline {x + iy} = x - iy ).

Dacă (z = x + iy ) atunci conjugatul său este ( bar {z} = x - iy ) și citim acest lucru ca "z-bar = (x - iy )".

Exemplu ( PageIndex {1} )

( overline {3 + 5i} = 3 - 5i ).

Următorul este un foarte proprietate utilă a conjugării: Dacă (z = x + iy ) atunci

(z bar {z} = (x + iy) (x - iy) = x ^ 2 + y ^ 2 )

Rețineți că (z bar {z} ) este real. Vom folosi această proprietate în următorul exemplu pentru a ajuta la divizare.

Exemplu ( PageIndex {2} ) (Division).

Scrie ( dfrac {3 + 4i} {1 + 2i} ) în formularul standard (x + iy ).

Soluţie

Folosim proprietatea utilă a conjugării pentru a șterge numitorul:

( dfrac {3 + 4i} {1 + 2i} = dfrac {3 + 4i} {1 + 2i} cdot dfrac {1 - 2i} {1 - 2i} = dfrac {11 - 2i} { 5} = dfrac {11} {5} - dfrac {2} {5} i ).

În secțiunea următoare vom discuta despre geometria numerelor complexe, care oferă o oarecare perspectivă asupra semnificației magnitudinii unui număr complex. Deocamdată oferim definiția.

Definiție: Magnitudine

magnitudine din numărul complex (x + iy ) este definit ca

(| z | = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} ).

Magnitudinea se mai numește și valoare absolută, normă sau modulul.

Exemplu ( PageIndex {3} )

Norma (3 + 5i = sqrt {9 + 25} = sqrt {34} ).

Important. Norma este suma (x ^ 2 ) și (y ^ 2 ). Nu include (i ) și, prin urmare, este întotdeauna pozitiv.


1.3: Terminologie și aritmetică de bază

Количество зарегистрированных учащихся: 46 тыс.

Majoritatea fenomenelor din lumea înconjurătoare se bazează, la nivel fundamental, pe fizică, iar o mare parte din fizică se bazează pe mecanică. Mecanica începe prin cuantificarea mișcării și apoi explicarea ei în termeni de forțe, energie și impuls. Acest lucru ne permite să analizăm funcționarea multor fenomene familiare din jurul nostru, dar și mecanica planetelor, stelelor și galaxiilor. Acest curs la cerere este recomandat studenților de liceu și universitari debutanți și oricui are curiozitatea despre fizica de bază. (Sondajul ne spune că este adesea folosit și de profesorii de știință.) Cursul folosește tutoriale multimedia bogate pentru a prezenta materialul: clipuri de film cu experimente cheie, animații și exemple de lucru lucrate, toate cu un narator prietenos. Veți face o serie de probleme practice interesante și, într-o componentă opțională, vă veți folosi ingeniozitatea pentru a finaliza experimente la domiciliu folosind materiale simple, de zi cu zi. Veți avea nevoie de câteva matematici de liceu: aritmetică, puțină algebră, ecuații pătratice și funcțiile sinus, cosinus și tangente din trigonometrie. Cursul nu folosește calcul. Cu toate acestea, oferim un ajutor de studiu care introduce calculul care ar însoți acest curs dacă ar fi predat într-o universitate. Studiind mecanica în acest curs, veți înțelege cu o profunzime mai mare multe dintre minunile din jurul vostru în viața de zi cu zi, în tehnologie și în univers în general. Între timp, credem că și tu te vei distra.

Рецензии

Cu adevărat uimitor pentru studenții care aspiră în domeniul științei și în aplicația din viața reală. Și, de asemenea, pentru cei care doresc să revizuiască conceptele de fizică.

Cursul este foarte util și este prezentat într-un mod plăcut, astfel încât să putem înțelege subiectul în mod clar și să le folosim în rezolvarea problemelor din lumea reală.

Introducere și instrumente de bază

Această secțiune introductivă acoperă câteva instrumente de bază de care veți avea nevoie pentru a rezolva unele dintre problemele fizice pe care le vom întâlni mai târziu.

Преподаватели

Prof. Joe Wolfe

Dr. Elizabeth J. Angstmann

Director Fizică anul I

Domnule Sebastian Fricke

Profesor și manager de laborator

Текст видео

[MUZICĂ] Iată o distincție foarte importantă. Viteza este un exemplu din ceea ce numim o cantitate scalară. Are. Nu are mărime sau dimensiune fără direcție. Viteza este un vector, are magnitudine și direcție. [RÂS] Și direcția este importantă. O viteză de 1 metru pe secundă la est nu este bună dacă vrei să mergi spre nord. Observați notația. În scrierea de mână o literă normală V este viteza care este scalara. Pentru viteză scriu V cu o linie înclinată mai jos, care indică un vector. Unii oameni pun o săgeată deasupra vectorului în scriere de mână și în imprimarea vectorilor li se oferă deseori funcții îndrăznețe. Când specificăm un vector, trebuie să dăm magnitudine și direcție. Uită-te la aceste afirmații. Această ecuație este corectă. Avem un vector pe ambele părți ale ecuației. Al doilea nu poate fi adevărat, deoarece un vector nu poate fi egal cu un scalar. A treia ecuație este corectă. Cele două linii verticale înseamnă magnitudinea unui vector. Și magnitudinea unui vector este într-adevăr un scalar. Desigur, magnitudinea vitezei trebuie să aibă dimensiuni ale distanței pe unitate de timp. Distanța este un alt exemplu de scalar. 30 de centimetri este o distanță. În schimb, 30 de centimetri est este o deplasare. Îmi deplasez stiloul la 30 de centimetri est. Dacă îl deplasez la 30 de centimetri sud, aceasta este o deplasare diferită. Cu siguranță observ diferența când mă duc să-mi caut pixul. Scalarii au mărimea mărimii, dar nu au direcție. Vectorii au atât amploare, cât și direcție. Adăugarea și scăderea scalarilor este simplă. Ați făcut-o de ani de zile. Tot ce trebuie să faceți este să vă amintiți pentru a obține corect unitățile, apoi pentru a face aritmetica. 3 secunde + 4 secunde = 7 secunde. Adunarea și scăderea vectorilor este mai complicată. Să presupunem că vectorul A este la cinci metri nord, iar vectorul B este la cinci metri est. Le-am desenat aici ca săgeți. Lungimea săgeții reprezintă magnitudinea vectorului. În acest context, am scris de fapt nordul și estul ca vectori pentru că sunt. Au o direcție și magnitudinea lor este una. Sunt exemple de ceea ce numim vectori unitari. Bine, să mergem pe # metri cinci spre nord, întoarcem un unghi drept și cinci metri spre est. Noua noastră deplasare este la nord-est de punctul nostru de plecare. Teorema lui Pitagora și # x27 ne oferă magnitudinea noii deplasări. Magnitudinea lui A + B este rădăcină pătrată. 5 metri pătrat plus 5 metri pătrat este egal cu 7 metri. Amintiți-vă o cifră semnificativă. Deci, atunci când reprezentăm A și B cu săgeți, le adăugăm pur și simplu punându-le cap la coadă. Să scrie & # x27s suma ca vectorul C = A + B. Acum, știi cum să adaugi vectori. Ei bine, ce zici de A-B, cum scădem de vectori? Există două moduri. Am putea spune un A- B = A + (-B). B este la cinci metri est, deci (-B) este la cinci metri vest. Așadar, aici este o diagramă a lui A + (-B), care este o modalitate ușoară de a scădea vectorii. Iată un alt mod, când spun 7-4 = 3, vreau să spun că 3 este ceea ce trebuie să adaug la 4 pentru a obține 7. Deci, dacă D = A- B, atunci D este ceea ce trebuie să adaug B pentru a obține A. Voi adăuga B la ceva pentru a obține A. Ei bine, acolo este. A- B. Deci putem trage vectorii cap în cap, pentru a-i scădea. Este clar? Ei bine, nu ai știut cu adevărat până nu faci câteva exemple. Deci, să facem un test. [MUZICĂ]


Cum găsiți suma seriei aritmetice 1 + 3 + 5 +. + 27?

Suma la n termeni ai unei secvențe aritmetice este dată de:

# S_n = n / 2 [2a + (n - 1) d] #

unde a, este primul termen, d diferența comună și n, numărul de termeni care trebuie adunați.

Aici a = 1, d = 2 și n = 14

#rArr S_14 = 14/2 [(2xx1) + (13xx2)] = 196 #

Soluția reprelucrată și găsită a fi 196

Explicaţie:

Seria: # "" culoare (verde) (1 + 3 + 5 + 7 + 9 +. +27) #

#underline ("Numărul poziției (n) | Valoarea termenului | suma") #
#" 1 | 1 | 1"#
#" 2 | 3 | 4"#
#" 3 | 5 | 9"#
#" 4 | 7 | 16"#

Observați că fiecare termen este calculat cu # 2n-1 #

#color (verde) ("Deci, numărul de termeni este găsit de:" 2n-1 = 27) #

#color (maro) (= & gt n = 28/2 = 14 "termeni") # care este un număr par

#color (magenta) („Deci avem 7 perechi de numere”) #

Există un truc pentru rezolvarea acestora

Deci pentru un număr egal de valori suma este

Avem # n = 14 # termeni, ceea ce este chiar așa încât putem aplica această metodă


Să presupunem că a existat un număr impar de termeni.

Am putea împerechea valorile noastre ca mai sus, dar ar exista o singură valoare nepereche în mijloc. În acest caz, ați avea:

# "" [(n-1) / 2 ("Primul" + "Ultimul")] + "termen mediu" #

# N-1 # exclude matematic termenul mediu, așa că trebuie să îl repuneți cu # „+ termen mediu” #


#color (roșu) („Joacă-te cu acest set mai departe și îți dai seama că”) #
#color (roșu) ("că suma este valoarea medie înmulțită cu n.") #
#color (roșu) („O investigație suplimentară va arăta că suma este„ n ^ 2) #


Termeni și definiții electrice de bază

Curent alternativ (AC) & mdash Un curent electric care își inversează direcția de multe ori pe secundă la intervale regulate.

Ampermetru & mdash Un instrument pentru măsurarea fluxului de curent electric în amperi. Ammetrele sunt conectate întotdeauna în serie cu circuitul de testat.

Ampacitate & mdash Cantitatea maximă de curent electric pe care un conductor sau dispozitiv o poate transporta înainte de a susține o deteriorare imediată sau progresivă.

Ampere-oră (Ah) & mdash O unitate de măsură pentru capacitatea bateriei. Se obține înmulțind curentul (în amperi) cu timpul (în ore) în care curge curentul. De exemplu, se spune că o baterie care furnizează 5 amperi timp de 20 de ore furnizează 100 de amperi-oră.

Ampere (A) & mdash O unitate de măsură pentru intensitatea unui curent electric care curge într-un circuit. Un amper este egal cu un curent de curent de un coulomb pe secundă.

Putere aparentă & mdash Măsurat în volt-amperi (VA). Puterea aparentă este produsul tensiunii RMS și al curentului RMS.

Armatura & mdash Partea mobilă a unui generator sau motor. Este alcătuit din conductori care se rotesc printr-un câmp magnetic pentru a furniza tensiune sau forță prin inducție electromagnetică. Punctele pivotate din regulatoarele generatorului se mai numesc armături.

Capacitate & mdash Capacitatea unui corp de a stoca o sarcină electrică. Măsurată în farade ca raportul dintre sarcina electrică a obiectului (Q, măsurată în coulombi) și tensiunea pe obiect (V, măsurată în volți).

Condensator & mdash Un dispozitiv utilizat pentru stocarea unei încărcături electrice, format din una sau mai multe perechi de conductori separați de un izolator. Utilizat în mod obișnuit pentru filtrarea vârfurilor de tensiune.

Circuit & mdash O cale închisă în care curg electronii dintr-o sursă de tensiune sau curent. Circuitele pot fi în serie, paralele sau în orice combinație a celor două.

Întrerupător de circuit & mdash Un dispozitiv automat pentru oprirea fluxului de curent într-un circuit electric. Pentru a restabili service-ul, întrerupătorul trebuie resetat (închis) după corectarea cauzei supraîncărcării sau a defecțiunii. Întrerupătoarele sunt utilizate împreună cu relee de protecție pentru a proteja circuitele de defecțiuni.

Conductor & mdash Orice material în care curentul electric poate circula liber. Materialele conductoare, cum ar fi metalele, au o rezistență relativ scăzută. Sârmele de cupru și aluminiu sunt cele mai comune conductoare.

Corona & mdash O descărcare corona este o descărcare electrică provocată de ionizarea unui fluid, cum ar fi aerul care înconjoară un conductor care este încărcat electric. Descărcările spontane de coroană apar în mod natural în sistemele de înaltă tensiune, cu excepția cazului în care se acordă atenție limitării intensității câmpului electric.

Curent (I) & mdash Fluxul unei sarcini electrice printr-un conductor. Un curent electric poate fi comparat cu fluxul de apă dintr-o conductă. Măsurat în amperi.

Ciclu & mdash Schimbarea unei unde sinusoidale electrice alternative de la zero la un vârf pozitiv la zero la un vârf negativ și înapoi la zero. Vezi Frecvență.

Cerere & mdash Valoarea medie a puterii sau a cantității aferente pe o perioadă de timp specificată.

Constantă dielectrică & mdash O cantitate care măsoară capacitatea unei substanțe de a stoca energia electrică într-un câmp electric.

Rezistență dielectrică & mdash Câmpul electric maxim pe care îl poate rezista un material pur în condiții ideale fără a se descompune (adică fără a experimenta defectarea proprietăților sale izolante).

Diodă & mdash Un dispozitiv semiconductor cu două terminale, permițând de obicei fluxul de curent într-o singură direcție. Diodele permit curentul să curgă atunci când anodul este pozitiv în raport cu catodul.

Curent continuu (DC) & mdash Un curent electric care curge într-o singură direcție.

Electrolit & mdash Orice substanță care, în soluție, este disociată în ioni și este astfel făcută capabilă să conducă un curent electric. Soluția de acid sulfuric - apă dintr-o baterie de stocare este un electrolit.

Forta electromotoare & mdash (EMF) O diferență de potențial care tinde să dea naștere unui curent electric. Măsurată în volți.

Electron & mdash O particulă mică care se rotește în jurul nucleului unui atom. Are o sarcină negativă de energie electrică.

Teoria electronilor & mdash Teoria care explică natura electricității și schimbul de electroni „liberi” între atomii unui conductor. De asemenea, este folosit ca o teorie pentru a explica direcția fluxului de curent într-un circuit.

Farad & mdash O unitate de măsură pentru capacitate. Un farad este egal cu un coulomb pe volt.

Ferorezonanță & mdash (rezonanță neliniară) un tip de rezonanță în circuitele electrice care apare atunci când un circuit care conține o inductanță neliniară este alimentat de la o sursă care are capacitate de serie, iar circuitul este supus unei perturbații, cum ar fi deschiderea unui comutator. Poate provoca supratensiuni și supracurenți într-un sistem de alimentare electrică și poate reprezenta un risc pentru echipamentele de transport și distribuție și pentru personalul operațional.

Frecvență & mdash Numărul de cicluri pe secundă. Măsurat în Hertz. Dacă un curent finalizează un ciclu pe secundă, atunci frecvența este de 1 Hz 60 de cicluri pe secundă este egală cu 60 Hz.

Siguranță & mdash Un dispozitiv de întrerupere a circuitului format dintr-o bandă de sârmă care se topește și rupe un circuit electric dacă curentul depășește un nivel sigur. Pentru a restabili service-ul, siguranța trebuie înlocuită folosind o siguranță similară cu aceeași dimensiune și clasificare după corectarea cauzei defecțiunii.

Generator & mdash Un dispozitiv care transformă energia mecanică în energie electrică.

Sol & mdash Punctul de referință dintr-un circuit electric de la care sunt măsurate tensiunile, o cale comună de retur pentru curent electric sau o conexiune fizică directă cu Pământul.

Întreruptoare de circuit de defecțiune la sol (GFCI) & mdash Un dispozitiv destinat protecției personalului care funcționează pentru a dezactiva un circuit sau o porțiune a acestuia într-o perioadă de timp stabilită când un curent la masă depășește o anumită valoare predeterminată care este mai mică decât cea necesară pentru a acționa dispozitivul de protecție la supracurent al sursei de alimentare. circuit.

Henry & mdash O unitate de măsură pentru inductanță. Dacă rata de schimbare a curentului într-un circuit este de un amper pe secundă și forța electromotivă rezultată este de un volt, atunci inductanța circuitului este de un henry.

Hertz & mdash O unitate de măsură pentru frecvență. Înlocuirea termenului anterior de ciclu pe secundă (cps).

Impedanță & mdash Măsura opoziției pe care o prezintă un circuit la un curent atunci când se aplică o tensiune. Impedanța extinde conceptul de rezistență la circuitele de curent alternativ și posedă atât amploare cât și fază, spre deosebire de rezistență, care are doar magnitudine.

Inductanţă & mdash Proprietatea unui conductor prin care o schimbare a curentului care curge prin el induce (creează) o tensiune (forță electromotivă) atât în ​​conductor în sine (auto-inductanță), cât și în orice conductori din apropiere (inductanță reciprocă). Măsurat în henry (H).

Inductor & mdash O bobină de sârmă înfășurată în jurul unui miez de fier. Inductanța este direct proporțională cu numărul de ture din bobină.

Izolator & mdash Orice material în care curentul electric nu circulă liber. Materialele izolante, cum ar fi sticla, cauciucul, aerul și multe materiale plastice au o rezistență relativ ridicată. Izolatorii protejează echipamentul și viața de șocuri electrice.

Invertor & mdash Un aparat care convertește curentul continuu în curent alternativ.

Kilowatt-oră (kWh) & mdash Produsul puterii în kW și timpul în ore. Este egal cu 1000 de wați-oră. De exemplu, dacă un bec de 100W este utilizat timp de 4 ore, va fi utilizată 0,4kWhs de energie (100W x 1kW / 1000 Watt x 4 ore). Energia electrică se vinde în unități de kWh.

Kilometru-oră & mdash Un dispozitiv utilizat pentru măsurarea consumului de energie electrică.

Kilowatt (kW) & mdash Este egal cu 1000 de wați.

Sarcină & mdash Orice lucru care consumă energie electrică, cum ar fi lumini, transformatoare, încălzitoare și motoare electrice.

Respingere încărcare & mdash Starea în care există o pierdere bruscă de sarcină în sistem, ceea ce face ca echipamentul generator să fie supra-frecvent. Un test de respingere a sarcinii confirmă faptul că sistemul poate rezista la o pierdere bruscă de sarcină și poate reveni la condițiile normale de funcționare folosind regulatorul său. Băncile de sarcină sunt utilizate în mod normal pentru aceste teste ca parte a procesului de punere în funcțiune a sistemelor de energie electrică.

Inducție reciprocă & mdash Apare atunci când schimbarea curentului într-o bobină induce tensiune într-o a doua bobină.

Ohm & mdash (& # 8486) O unitate de măsură a rezistenței. Un ohm este echivalent cu rezistența într-un circuit care transmite un curent de un amper când este supus unei diferențe de potențial de un volt.

Legea lui Ohm & mdash Ecuația matematică care explică relația dintre curent, tensiune și rezistență (V = IR).

Ohmmetru & mdash Un instrument pentru măsurarea rezistenței în ohmi a unui circuit electric.

Circuit deschis & mdash Un circuit deschis sau deschis are loc atunci când un circuit este rupt, cum ar fi printr-un fir rupt sau întrerupător deschis, întrerupând fluxul de curent prin circuit. Este similar cu o supapă închisă într-un sistem de apă.

Circuit paralel & mdash Un circuit în care există mai multe căi de curgere a electricității. Fiecare sarcină conectată într-o cale separată primește tensiunea completă a circuitului, iar curentul total al circuitului este egal cu suma curenților ramificați individuali.

Piezoelectricitate & mdash Polarizarea electrică într-o substanță (în special anumite cristale) rezultată din aplicarea tensiunii mecanice (presiune).

Polaritate & mdash Un termen colectiv aplicat capetelor pozitive (+) și negative (-) ale unui magnet sau ale unui mecanism electric, cum ar fi o bobină sau o baterie.

Putere & mdash Viteza la care energia electrică este transferată de un circuit electric. Măsurat în wați.

Factor de putere & mdash Raportul dintre puterea electrică efectivă disipată de un circuit de curent alternativ și produsul r.m.s. valorile curentului și tensiunii. Diferența dintre cele două este cauzată de reactanța în circuit și reprezintă o putere care nu face nici o muncă utilă.

Releu de protecție & mdash Un dispozitiv de releu conceput pentru a declanșa un întrerupător atunci când este detectată o defecțiune.

Puterea reactivă & mdash Porțiunea de electricitate care stabilește și susține câmpurile electrice și magnetice ale echipamentelor de curent alternativ. Există într-un circuit de curent alternativ atunci când curentul și tensiunea nu sunt în fază. Măsurată în VARS.

Redresor & mdash Un dispozitiv electric care convertește un curent alternativ într-unul direct, permițând curentului să curgă prin el într-o singură direcție.

Releu & mdash Un comutator electric cu bobină care folosește un curent mic pentru a controla un curent mult mai mare.

Reticenta & mdash Rezistența pe care o oferă un circuit magnetic la liniile de forță dintr-un câmp magnetic.

Rezistenţă & mdash Opoziția la trecerea unui curent electric. Rezistența electrică poate fi comparată cu fricțiunea suferită de apă atunci când curge printr-o conductă. Măsurată în ohmi.

Rezistor & mdash Un dispozitiv realizat de obicei din sârmă sau carbon care prezintă o rezistență la curgerea curentului.

Rotor & mdash Partea rotativă a unei mașini electrice, cum ar fi un generator, un motor sau un alternator.

Autoinducția & mdash Tensiunea care apare într-o bobină atunci când există o schimbare de curent.

Semiconductor & mdash O substanță solidă care are o conductivitate între cea a unui izolator și cea a majorității metalelor, fie datorită adăugării unei impurități, fie datorită efectelor de temperatură. Dispozitivele fabricate din semiconductori, în special din siliciu, sunt componente esențiale ale majorității circuitelor electronice.

Seria-circuit paralel & mdash Un circuit în care unele componente ale circuitului sunt conectate în serie, iar altele sunt conectate în paralel.

Circuit în serie & mdash Un circuit în care există o singură cale pentru a curge electricitatea. Tot curentul din circuit trebuie să curgă prin toate sarcinile.

Serviciu & mdash Conductorii și echipamentele utilizate pentru a furniza energie din sistemul de alimentare electrică către sistemul deservit.

Scurt circuit & mdash Când o parte a unui circuit electric intră în contact cu o altă parte a aceluiași circuit, deturnând fluxul de curent din calea sa dorită.

Circuit de stare solidă & mdash Circuite electronice (integrate) care utilizează dispozitive semiconductoare, cum ar fi tranzistoare, diode și redresoare controlate cu siliciu.

Tranzistor & mdash Un dispozitiv semiconductor cu trei conexiuni, capabil de amplificare pe lângă rectificare.

Puterea adevărată & mdash Măsurat în wați. Puterea manifestată sub formă tangibilă, cum ar fi radiația electromagnetică, undele acustice sau fenomenele mecanice. Într-un circuit de curent continuu (DC) sau într-un circuit de curent alternativ (AC) a cărui impedanță este o rezistență pură, tensiunea și curentul sunt în fază.

VARS & mdash O unitate de măsură a puterii reactive. Varurile pot fi considerate fie ca parte imaginară a puterii aparente, fie ca puterea care curge într-o sarcină reactivă, unde tensiunea și curentul sunt specificate în volți și amperi.

Rezistor variabil & mdash Un rezistor care poate fi ajustat la diferite intervale de valoare.

Volt-Ampere (VA) & mdash O unitate de măsură a puterii aparente. Este produsul tensiunii RMS și al curentului RMS.

Volt (V) & mdash O unitate de măsură a tensiunii. Un volt este egal cu diferența de potențial care ar conduce un amper de curent împotriva unei rezistențe de un ohm.

Voltaj & mdash O forță sau „presiune” electromotivă care determină curgerea electronilor și poate fi comparată cu presiunea apei care determină curgerea apei într-o conductă. Măsurată în volți.

Voltmetru & mdash Un instrument pentru măsurarea forței în volți a unui curent electric. Aceasta este diferența de potențial (tensiune) între diferite puncte dintr-un circuit electric. Voltmetrele au o rezistență internă ridicată și sunt conectate (paralel cu) punctele în care trebuie măsurată tensiunea.

Watt-oră (Wh) & mdash O unitate de energie electrică echivalentă cu un consum de energie de un watt timp de o oră.

Watt (W) & mdash O unitate de energie electrică. Un watt este echivalent cu un joule pe secundă, corespunzător puterii într-un circuit electric în care diferența de potențial este de un volt și curentul de un amper.

Wattmetru & mdash Wattmetrul este un instrument pentru măsurarea puterii electrice (sau a ratei de alimentare cu energie electrică) în wați a oricărui circuit dat.

Forma de undă & mdash O reprezentare grafică a ciclurilor electrice care arată cantitatea de variație a amplitudinii pe o anumită perioadă de timp.

Referințe: Wikipedia, EPQ # 138 - Termeni și definiții electrice de bază, NFPA-70, IEEE


Matematica preșcolară oferă elemente de bază academice

Abilitățile de bază ale matematicii pe care profesorii le oferă în educația timpurie a copilului au stabilit bazele pentru întreaga carieră academică. Fără a învăța abilități simple, cum ar fi simțul numeric, conceptele matematice și aplicarea simplă a ideilor cum ar fi adăugarea, copiii nu sunt pregătiți să se mute în educația elementară. Din fericire, copiii mici pot învăța într-un ritm remarcabil, iar profesorii pot aplica concepte sau abilități matematice activităților normale din copilărie.


Sfaturi pentru părinții preșcolarilor

Probabil aveți obiceiul de a măsura creșterea preșcolarului prin verificarea înălțimii și greutății acestuia. Dar cum poți măsura dezvoltarea copilului tău în alte domenii, cum ar fi numere și numărare - abilități matematice timpurii?

Gândiți-vă la toate modurile în care numerele și numărarea fac parte din viața copilului dumneavoastră! De la degetele de la picioare cu săpun în cadă până la „pregătiți-vă!” în curte, ești bine poziționat pentru a observa și a aduna informații despre abilitățile matematice timpurii pe care le dezvoltă copilul tău de 3 până la 4 ani. Întrebările și sfaturile care urmează vă vor ajuta să înțelegeți ce conștientizarea și abilitățile matematice copilul dvs. ar trebui să aibă - și cum puteți sprijini dezvoltarea sa.

Copilul dumneavoastră dezvoltă numere adecvate vârstei și abilități de numărare?

Este util să știți ce numere și abilități de numărare ar trebui să dezvolte copilul dumneavoastră până la vârsta de 3 sau 4 ani. Consultați următoarea listă de etape și notați cum merge copilul dumneavoastră în fiecare zonă. Copilul meu:

  • Este conștient de - și curios de - modul în care numerele și numărarea se aplică vieții sale și lumii din jurul său.
  • Poate număra corect cel puțin cinci obiecte.
  • Poate indica pozițiile de pe o linie numerică și poate conta cu corespondența 1 la 1 de-a lungul liniei (de la stânga la dreapta, de la dreapta la stânga)
  • Înțelege că numărul scris „3” înseamnă trei obiecte - și același lucru cu numerele 1-5.
  • Poate adăuga și scădea un număr mic de obiecte familiare. De exemplu: „Am trei cookie-uri. Ai două. Câți avem toți împreună? ”
  • Poate pune numere scrise (cifre) de la 1 la 5 în ordinea corectă, de la mic la mare.
  • Poate conta de la unu la zece în ordinea corectă.
  • Înțelege conceptele de cantitate (de exemplu, „mai mult” și „mai puțin”) și dimensiune (cum ar fi „mai mare” și „mai mic”) și folosește acești termeni corect.

Încurajarea numărului și abilitățile de numărare acasă

Acum, că sunteți conștienți de unele dintre abilitățile și conceptele matematice de bază pe care ar trebui să le aibă preșcolarul dvs., puteți să le consolidați și să le construiți. Există multe moduri în care tu și copilul tău vă puteți juca cu numerele și numărând pe tot parcursul zilei. Iată câteva idei pentru a începe:

  • Arată-i copilului cum se aplică numerele și numărarea în viața de zi cu zi. Folosiți cuvinte numerice, indicați numerele și implicați-vă copilul în activități de numărare pe măsură ce treceți de-a lungul zilei. De exemplu: Puneți-vă copilul să vă ajute să măsurați ingredientele pentru o rețetă măsurând și numărând numărul de căni sau linguri. Vorbiți despre modul în care lucrurile sau sumele sunt mai multe, mai puține, mai mari și mai mici și asigurați-vă că îi lăudați eforturile și progresele în materie de conștientizare a matematicii.
  • Colectați o varietate de materiale pe care copilul dvs. le poate folosi pentru contorizarea practicilor. Cheile vechi, capacele pentru sticle de plastic și butoanele funcționează bine. Adunați-le într-o pungă sau borcan și alegeți un timp pentru a le număra și recontorizați din nou și din nou. (Pentru mai multă distracție, oferiți ghici cu privire la numărul total de articole și vedeți cine se apropie cel mai mult.)
  • Folosiți obiecte din toată casa pentru a experimenta adunarea, scăderea și activitățile „mai multe” și „mai puține”.
  • Citiți, spuneți povești, cântați cântece și recitați poezii care includ numere și numărare. Încercați să includeți cărți în care personajele vin și pleacă pe măsură ce povestea progresează.
  • Jucați jocuri de societate simple care fac apel la jucători să numere spații pe tablă, obiecte folosite în joc și să recunoască numerele tipărite sau reprezentarea lor (cum ar fi „puncte pe zaruri”).

Notă: Dacă copilul dvs. are un babysitter obișnuit sau un furnizor de îngrijire pentru copii, asigurați-vă că transmiteți aceste sfaturi însoțitorului.

Promovarea abilităților de numărare și numărare la preșcolar

Sala de clasă preșcolară este plină de oportunități de a învăța și exersa abilitățile de număr și numărare. Asigurați-vă că vorbiți cu profesorul copilului dvs. despre activități de predare structurate pentru a dezvolta abilități în acest domeniu. Pentru a urmări progresul copilului dvs. în materie de abilități matematice timpurii, va trebui să:

  • Întrebați-l pe profesorul copilului la ce lecții timpurii de matematică, jocuri și activități la care este expus copilul dvs. și unde copilul dvs. reușește sau se luptă.
  • Aflați ce abilități matematice timpurii va trebui să stăpânească copilul dumneavoastră pentru a asigura un început lin al anului de grădiniță
  • Uită-te la munca și proiectele pe care copilul tău le aduce acasă de la școală. Căutați numere și numărând teme și elemente și discutați-le împreună.
  • Încurajați-l pe copilul dvs. să vorbească despre școală și dacă i se pare interesant (sau dificil).

Motiv de ingrijorare? Unde să apelăm pentru sfaturi și asistență

Fiți siguri că dezvoltarea „normală” a abilităților matematice inițiale nu progresează exact în același mod pentru toți preșcolarii. Cu toate acestea, poate doriți să căutați ajutor dacă copilul dumneavoastră:

  • Are dificultăți în numărarea simplă.
  • Nu înțelege corespondența individuală între simbolurile numerice și articolele / obiectele.
  • Nu pare să înțeleagă sau să observe variații în dimensiune, modele sau forme.
  • Nu vede cum există concepte de matematică în viața de zi cu zi, chiar și atunci când sunt arătate exemple.
  • Nu-i place și evită activitățile și jocurile care implică numere și numărare.


Kristin Stanberry este scriitoare și editor specializată în probleme de creștere a copilului, educație și sănătate / bunăstare a consumatorilor. Domeniile sale de expertiză includ dizabilități de învățare și AD / HD, subiecte despre care a scris pe larg pentru Schwab Learning și GreatSchools.


6. Întrebări filozofice care înconjoară teorema lui Frege și rsquos

După cum am văzut acum, dovada teoremei Frege & rsquos poate fi realizată independent de porțiunea sistemului Frege & rsquos care a dus la inconsistență. Frege însuși nu a identificat niciodată & ldquo Teorema și rdquo Frege & rdquo ca & ldquoresult & rdquo. După cum sa menționat anterior, el a încercat să obțină principiul Hume & rsquos din Legea fundamentală V din Gg, dar odată ce i s-a făcut cunoscută contradicția, el nu s-a retras oficial în poziția & lsquofall-back & rsquo de a pretinde că doar dovada axiomelor Dedekind-Peano din principiul Hume & rsquos a constituit un rezultat important. Unul dintre mai multe motive pentru care el nu a adoptat această poziție de rezervă este că nu a considerat principiul Hume și rsquos ca un principiu suficient de general și nu a considerat că este suficient de puternic, din punct de vedere epistemologic, pentru a ne ajuta să răspundem la întrebare. numere care ni s-au dat? & rdquo. Discutăm gândirea din spatele acestei atitudini și alte lucruri, în cele ce urmează.

O discuție a întrebărilor filosofice din jurul teoremei lui Frege & rsquos ar trebui să înceapă cu o declarație despre modul în care Frege a conceput propriul său proiect atunci când scria Begr, Gl, și Gg. Pare clar că considerațiile epistemologice au motivat parțial Frege și rsquos să lucreze pe bazele matematicii. Este bine documentat că Frege a avut următorul scop, și anume, să ne explice cunoștințele despre legile de bază ale aritmeticii, oferind un răspuns la întrebarea „Cum ne sunt numerele, lsquogiven și rsquo?”, Fără a face apel la facultatea de intuiție. Dacă Frege ar putea arăta că legile de bază ale teoriei numerelor sunt derivabile din adevărurile analitice ale logicii, atunci el ar putea argumenta că trebuie doar să apelăm la facultatea de înțelegere (spre deosebire de o facultate a intuiției) pentru a explica cunoștințele noastre despre adevărurile aritmetic. Frege&rsquos goal then stands in contrast to the Kantian view of the exact mathematical sciences, according to which general principles of reasoning must be supplemented by a faculty of intuition if we are to achieve mathematical knowledge. The Kantian model here is that of geometry Kant thought that our intuitions of figures and constructions played an essential role in the demonstrations of geometrical theorems. (In Frege&rsquos own time, the achievements of Frege&rsquos contemporaries Pasch, Pieri and Hilbert showed that such intuitions were not essential.)

6.1 Frege&rsquos Goals and Strategy in His Own Words

Frege&rsquos strategy then was to show that no appeal to intuition is required for the derivation of the theorems of number theory. This in turn required that he show that the latter are derivable using only rules of inference, axioms, and definitions that are purely analytic principles of logic. This view has become known as &lsquoLogicism&rsquo. Here is what Frege says:

[Begr, Preface, p. 5:]
To prevent anything intuitive from penetrating here unnoticed, I had to bend every effort to keep the chain of inferences free of gaps. [from the Bauer-Mengelberg translation in van Heijenoort 1967]

[Begr, Part III, §23:]
Through the present example, moreover, we see how pure thought, irrespective of any content given by the senses or even by an intuition a priori, can, solely from the content that results from its own constitution, bring forth judgements that at first sight appear to be possible only on the basis of some intuition. (ldots) The propositions about sequences [(R)-series] in what follows far surpass in generality all those that can be derived from any intuition of sequences. [from the Bauer-Mengelberg translation in van Heijenoort 1967]

[Gl, §62:]
How, then, are numbers to be given to us, if we cannot have any ideas or intuitions of them? Since it is only in the context of a proposition that words have any meaning, our problem becomes this: To define the sense of a proposition in which a number word occurs. [from the Austin translation in Frege 1974]

[Gl, §87:]
I hope I may claim in the present work to have made it probable that the laws of arithmetic are analytic judgements and consequently a priori. Arithmetic thus becomes simply a development of logic, and every proposition of arithmetic a law of logic, albeit a derivative one. [from the Austin translation in Frege 1974]

[Gg I, §0:]
In my Grundlagen der Arithmetik, I sought to make it plausible that arithmetic is a branch of logic and need not borrow any ground of proof whatever from either experience or intuition. In the present book, this shall be confirmed, by the derivation of the simplest laws of Numbers by logical means alone. [from the Furth translation in Frege 1967]

[Gg II, Appendix:]
The prime problem of arithmetic is the question, In what way are we to conceive logical objects, in particular, numbers? By what means are we justified in recognizing numbers as objects? Even if this problem is not solved to the degree I thought it was when I wrote this volume, still I do not doubt that the way to the solution has been found. [from the Furth translation in Frege 1967]

6.2 The Basic Problem for Frege&rsquos Strategy

The basic problem for Frege&rsquos strategy, however, is that for his logicist project to succeed, his system must at some point include (either as an axiom or theorem) statements that explicitly assert the existence of certain kinds of abstract entities and it is not obvious how to justify the claim that we know such explicit existential statements. Given the above discussion, it should be clear that Frege at some point in Gg endorsed existence claims, either directly in his formalism or in his metalanguage, for the following entities:

  • concepts (more generally, functions)
  • extensions (more generally, courses-of-value or value-ranges)
  • truth-values
  • numere

Although Frege attempted to reduce the latter two kinds of entities (truth-values and numbers) to extensions, the fact is that the existence of concepts and extensions are derivable from his Rule of Substitution and Basic Law V, respectively.

In light of these existence claims, a Kantian might well suggest not only that explicit existence claims are synthetic rather than analytic (i.e., aren&rsquot true in virtue of the meanings of the words involved) but also that since the Rule of Substitution and Basic Law V imply existence claims, Frege cannot claim that such principles are purely analytic principles of logic. If the Kantian is right, then some other faculty (such as intuition) might still be needed to account for our knowledge of the existence claims of arithmetic.

6.3 The Existence of Concepts

Boolos (1985) noted that the Rule of Substitution causes a problem of this kind for Frege&rsquos program given that it is equivalent the Comprehension Principle for Concepts. Boolos suggests a defense for Frege with respect to this particular aspect of his logic, namely, to reinterpret (by paraphrasing) the second-order quantifiers so as to avoid commitment to concepts. (See Boolos (1985) for the details.) Boolos&rsquos suggestion, however, is one which would require Frege to abandon his realist theory of concepts. Moreover, although Boolos&rsquos suggestion might lead us to an epistemological justification of the Comprehension Principle for Concepts, it doesn&rsquot do the same for the Comprehension Principle for Relations, for his reinterpretation of the quantifiers works only for the &lsquomonadic&rsquo quantifiers (i.e., those ranging over concepts having one argument) and thus doesn&rsquot offer a paraphrase for quantification over relational concepts.

Another problem for a strategy of the type suggested by Boolos is that if the second-order quantifiers are interpreted so that they do not range over a separate domain of entities, then there is nothing appropriate to serve as the denotations of (lambda)-expressions. Although Frege wouldn&rsquot quite put it this way, our reconstruction suggests that Frege treats open formulas with free object variables as if they denoted concepts. Although Frege doesn&rsquot use (lambda)-notation, the use of such notation seems to be the most logically perspicuous way of reconstructing his work. The use of such notation faces the same epistemological puzzles that Frege&rsquos Rule of Substitution faces.

To see why, note that the Principle of (lambda)-Conversion:

(forall y([lambda x, phi ]y equiv phi^y_x))

seems to be an analytic truth of logic. It says this:

An object (y) exemplifies the complex property being such that (phi) if and only if (y) is such that (phi).

One might argue that this is true in virtue of the very meaning of the (lambda)-expression, the meaning of (equiv), and the meaning of the statement ([lambda x, phi]y) (which has the form ( Fx)). However, (lambda)-Conversion also implies the Comprehension Principle for Concepts, for the latter follows from the former by existential generalization:

(exists Fforall y(Fy equiv phi^y_x))

The point here is that the fact that an existential claim is derivable casts at least some doubt on the purely analytic status of (lambda)-Conversion. The question of how we obtain knowledge of such principles is still an open question in philosophy. It is an important question to address, since Frege&rsquos most insightful definitions are cast using quantifiers ranging over concepts and relations (e.g., the ancestrals of a relation) and it would be useful to have a philosophical explanation of how such entities and the principles which govern them become known to us. In contemporary philosophy, this question is still poignant, since many philosophers do accept that proprietăți și relations of various sorts exist. These entities are the contemporary analogues of Frege&rsquos concepts.

6.4 The Existence of Extensions

Though the existence of extensions falls right out of the theory of identity (§2.3) once terms of the form (epsilon F) are added to second-order logic, the existence of extensions that are correlated one-to-one with concepts is a consequence of Basic Law V. The question for Frege&rsquos project, then, is why should we accept as a law of logic a statement that implies the existence of individuals and a correlation of this kind? Frege recognized that Basic Law V&rsquos status as a logical law could be doubted:

Moreover, he thought that an appeal to extensions would answer one of the questions that motivated his work:

Now it is unclear why Frege thought that he could answer the question posed here by saying that we apprehend numbers as the extensions of concepts. He seems to think we can answer the obvious next question &ldquoHow do we apprehend extensions?&rdquo by saying &ldquoby way of Basic Law V&rdquo. His idea here seems to be that since Basic Law V is supposed to be purely analytic or true in virtue of the meanings of its terms, we apprehend a pair of extensions whenever we truly judge that concepts (F) and (G) are materially equivalent. Some philosophers do argue that certain consistent principles having the same logical form as Basic Law V are analytic, and that such principles justify reference to the entities described in the left-side condition by grounding such reference in the truth of the right-side condition. [14]

Why did Frege think that Basic Law V is analytic and that the material equivalence of concepts (F) and (G) is analytically equivalent to an identity that implies the existence of extensions? To hold that Basic Law V is analytic, it seems that one must hold that the right-side condition implies the corresponding left-side condition as a matter of meaning. [15] This view, however, can be questioned. Suppose the right hand condition implies the left-side condition as a matter of meaning. That is, suppose that (R) implies (L) as a matter of meaning:

Now note that (L) itself can be analyzed, from a logical point of view. The expression &lsquo(epsilon F)&rsquo, though constructed from a term-forming operator, is really a definite description (&lsquothe extension of (F)&rsquo) and so, using Russell&rsquos theory of descriptions, (L) can be logically analyzed as the claim:

There is an object (x) and an object (y) such that:
(1) (x) is a unique extension of (F),
(2) (y) is a unique extension of (G), and
(3) (x = y).

That is, for some defined or primitive notion (mathit(x,F)) (&lsquo(x) is an extension of (F)&rsquo), (L) implies the analysis (D) as a matter of meaning:

But if (R) implies (L) as a matter of meaning, and (L) implies (D) as a matter of meaning, then (R) implies (D) as a matter of meaning. This conclusion can be questioned: why should the material equivalence of (F) and (G) imply the existence claim (D) as a matter of meaning? In other words, the suggestion that Va (i.e., the right-to-left direction of Basic Law V) is analytic leads to a question that has no obvious answer. Below, this line of reasoning will be adapted to question the analyticity of the right-to-left direction of Hume&rsquos Principle. See Boolos 1997 (307&ndash309), for reasons why (Vb) (the left-to-right direction of Hume&rsquos Principle) is not analytic.]

The moral to be drawn here is that, even if Basic Law V were consistent, it is not exactly clear how its right side analytically implies the existence of extensions. In the end, we may need some other way of justifying our knowledge of principles like Basic Law V, that imply the existence of abstract objects &ndash the justification discussed so far seems to contain a gap. Even if we follow Frege in conceiving of extensions as &lsquological objects&rsquo, the question remains: how can the claims that such objects exist be true on logical or analytic grounds alone? We might agree that there must be logical objects of some sort if logic is to have a subject matter, but if Frege is to achieve his goal of showing that our knowledge of arithmetic is free of intuition, then at some point he has to address the question of how we can know that numbers exist. We&rsquoll return to this issue in the final subsection.

6.5 The Existence of Numbers and Truth-Values: The Julius Caesar Problem

Given that the proof of Frege&rsquos Theorem makes no appeal to Basic Law V, some philosophers have argued Frege&rsquos best strategy for producing an epistemologically-justified foundation for arithmetic is to replace the primitive term (epsilon F) with the primitive term (#F), replace Basic Law V with Hume&rsquos Principle, and argue that Hume&rsquos Principle is an analytic principle of logic. [16] However, we have just seen one reason why such a strategy does not suffice. The claim that Hume&rsquos Principle is an analytic principle of logic is subject to the same problem just posed for Basic Law V. A reason must be given as to why the claim:

implies, as a matter of meaning, that:

After all, the statement &ldquo(#F = #G)&rdquo is analyzable in a manner analogous to the way we analyzed &ldquo(epsilon F = epsilon G)&rdquo in the previous section, where we used Russell&rsquos theory of description to analyze the sentence (L) as the sentence (D). Following that pattern, we take the primitive notion (mathit(x,F)) and analyze (#F = #G) as:

It is not clear why we should think that this last claim is implied by (F approx G) as a matter of meaning. The right-to-left direction of Hume&rsquos Principle is not obviously analytic.

Moreover, Frege had his own reasons for not replacing Basic Law V with Hume&rsquos Principle. One reason was that he thought Hume&rsquos Principle offered no answer to the epistemological question, &lsquoHow do we grasp or apprehend logical objects, such as the numbers?&rsquo. A second reason is that Hume&rsquos Principle is clearly subject to &lsquothe Julius Caesar problem&rsquo. Frege first raises this problem in connection with an inductive definition of &lsquo(n = #F)&rsquo that he tries out in Gl, §55. Concerning this definition, Frege says:

Frege raises this same concern again for a contextual definition that gives a &lsquocriterion of identity&rsquo for the objects being defined. In Gl §66, Frege considers the following contextual definition of &lsquothe direction of line (x)&rsquo:

With regard to this definition, Frege says:

Now trouble for Hume&rsquos Principle begins to arise when we recognize that it is a contextual definition that has the same logical form as this definition for directions. It is central to Frege&rsquos view that the numbers are objects, and so he believes that it is incumbent upon him to say care objects they are. But the &lsquoJulius Caesar problem&rsquo is that Hume&rsquos Principle, if considered as the sole principle offering identity conditions for numbers, doesn&rsquot describe the conditions under which an arbitrary object, say Julius Caesar, is or is not to be identified with the number of planets. That is, Hume&rsquos Principle doesn&rsquot define the condition &lsquo(#F = x)&rsquo, for arbitrary (x). It only offers identity conditions when (x) is an object known to be a cardinal number (for then (x = #G), for some (G), and Hume&rsquos Principle tells us when (#F = #G)).

In Gl, Frege solves the problem by giving his explicit definition of numbers in terms of extensions. (We described this in §4 above.) Unfortunately, this is only a stopgap measure, for when Frege later systematizes extensions in Gg, Basic Law V has the same logical form as Hume&rsquos Principle and the above contextual definition of directions. Frege is aware that the Julius Caesar problem affects Basic Law V, as the discussion in Gg I, §10 shows. In that section, he says (remembering that for Frege, (epsilon) binds object variables and is not a function term):

In other words, Basic Law V does not tell us the conditions under which an arbitrarily chosen object (x) may be identified with some given extension, such as (epsilon F).

Until recently, it was thought that Frege solved this problem in §10 by restricting the universal quantifier (forall x) of his Gg system so that it ranges only over extensions. If Frege could have successfully restricted this quantifier to extensions, then when the question arises, whether (arbitrarily chosen) object (x) is identical with (epsilon F), one could answer that (x) has to be the extension of some concept, say ( G), and that Basic Law V would then tell you the conditions under which (x) is identical to (epsilon F). On this interpretation of §10, Frege is alleged to have restricted the quantifiers when he identified the two truth values (The True and The False) with the two extensions that contain just these objects as members, respectively. By doing this, it was thought that all of the objects in the range of his quantifier (forall x) in Gg become extensions which have been identified as such, for the truth values were the only two objects of his system that had not been introduced as extensions or courses of value.

However, recent work by Wehmeier (1999) suggests that, in §10, Frege was not attempting to restrict the quantifiers of his system to extensions (nor, more generally, to courses-of-values). The extensive footnote to §10 indicates that Frege considered, but did not hold much hope of, identifying every object in the domain with the extension consisting of just that object. [17] But, more importantly, Frege later considers cases (in Gg, Sections 34 and 35) which seem to presuppose that the domain contains objects which aren&rsquot extensions. (In these sections, Frege considers what happens to the definition of &lsquo( x) is a member of (y)&rsquo when (y) is not an extension.) [18]

Even if Frege somehow could have successfully restricted the quantifiers of Gg to avoid the Julius Caesar problem, he would no longer have been able to apply his system by extending it to include names of ordinary non-logical objects. For if he were to attempt to do so, the question, &ldquoUnder what conditions is (epsilon F) identical with Julius Caesar?&rdquo, would then be legitimate but have no answer. That means his logical system could not be used for the analysis of ordinary language. But it was just the analysis of ordinary language that led Frege to his insight that a statement of number is an assertion about a concept.

6.6 Final Observations

Even when we replace the inconsistent Basic Law V with the powerful Hume&rsquos Principle, Frege&rsquos work still leaves two questions unanswered: (1) How do we know that numbers exist?, and (2) How do we precisely specify which objects they are? The first question arises because Hume&rsquos Principle doesn&rsquot seem to be a purely analytic truth of logic if neither Hume&rsquos Principle nor the existential claim that numbers exist is analytically true, by what faculty do we come to know (the truth of) the existential claim? The second question arises because the Julius Caesar problem applies to Hume's Principle without a solution to that problem, Frege can't claim to have precisely specified which objects the numbers are, so as to delineate them within the domain of all logical and non-logical objects? So questions about the very existence and identity of numbers still affect Frege&rsquos work.

These two questions arise because of a limitation in the logical form of these Fregean biconditional principles such as Hume&rsquos Principle and Basic Law V. These contextual definitions combine two jobs which modern logicians now typically accomplish with separate principles. A properly reformulated theory of &lsquological&rsquo objects should have separate principles: (1) one or more principles which assert the existence of logical objects, and (2) a separate identity principle which asserts the conditions under which logical objects are identical. The latter should specify identity conditions for logical objects in terms of their most salient characteristic, one which distinguishes them from other objects. Such an identity principle would then be more specific than the global identity principle for all objects (Leibniz&rsquos Law) which asserts that if objects (x) and (y) fall under the same concepts, they are identical.

By way of example, consider modern set theory. Zermelo set theory ( (Z)) has several distinctive set existence principles. For example, consider the well-known Subset (or Separation) Axiom:

Subset (Separation) Axiom of Z:
(forall x[mathit(x) o exists y[mathit(y) amp forall z(z in y equiv (z in x amp phi))]]),
where (phi) is any formula in which (y) isn&rsquot free

The Subset Axiom and the other set existence axioms in Z are distinct from Z&rsquos identity principle for sets:

Identity Principle for Sets:
(mathit(x) amp mathit(y) o [forall z(z in x equiv z in y) o xeqclose y])

Note that the second principle offers identity conditions in terms of the most salient features of sets, namely, the fact that they, unlike other objects, have members. The identity conditions for objects which aren&rsquot sets, then, can be the standard principle that identifies objects whenever they fall under the same concepts. This leads us naturally to a very general principle of identity for any objects whatever:

Now, if something is given to us as a set and we ask whether it is identical with an arbitrarily chosen object (x), this specifies a clear condition that settles the matter. The only questions that remain for the theory (Z) concern its existence principle: Do we know that the Subset Axiom and other set existence principles are true, and if so, how? The question of existence is thus laid bare. We do not approach it by attempting to justify a principle that implies the existence of sets via definite descriptions which we don&rsquot yet know to be well-defined.

In some classic essays (1987 and 1986), Boolos appears to recommend this very procedure of using separate existence and identity principles. In those essays, he eschews the primitive mathematical relation of set membership and suggests that Frege could formulate his theory of numbers (&lsquoFrege Arithmetic&rsquo) by using a single nonlogical comprehension axiom which employs a special instantiation relation that holds between a concept (G) and an object (x) whenever, intuitively, (x) is an extension consisting solely of concepts and (G) is a concept &lsquoin&rsquo (x). He calls this nonlogical axiom &lsquoNumbers&rsquo and uses the notation &lsquo(G&etax)&rsquo to signify that (G) is in (x):

Numbers:
(forall Fexists !xforall G(G&etax equiv Gapprox F))

[See Boolos 1987 (5), 1986 (140).] This principle asserts that for any concept (F), there is a unique object which contains in it all and only those concepts (G) which are equinumerous to (F). Boolos then makes two observations: (1) Frege can then define (#F) as &ldquothe unique object (x) such that for all concepts (G), (G) is in (x) iff (G) is equinumerous to (F)&rdquo, and (2) Hume&rsquos Principle is derivable from Numbers. [See Boolos 1986 (140).] Given these observations, we know from our work in §§4 and 5 above that Numbers suffices for the derivation of the basic laws of arithmetic.

Since Boolos calls this principle &lsquoNumbers&rsquo, it is no stretch to suppose that he would accept the following reformulation (in which &lsquo(mathit(x))&rsquo is an undefined, primitive notion):

Numbers:
(forall Fexists !x [mathit(x) amp forall G(G&etax equiv Gapprox F)])

Though Boolos doesn&rsquot explicitly formulate an identity principle to complement Numbers, it seems clear that the following principle would offer identity conditions in terms of the most distinctive feature of numbers:

Identity Principle for Numbers:
(mathit(x) amp mathit(y) o [forall G(G&etax equiv G&etay) o xeqclose y])

It is then straightforward to formulate a general principle of identity, as we did in the case of the set theory (Z):

This formulation of Frege Arithmetic, in terms of Numbers and the General Principle of Identity, puts the Julius Caesar problem (described above) into better perspective the condition &lsquo(#F = x)&rsquo is defined for arbitrary concepts (F) and objects (x). It openly faces the epistemological questions head-on: Do we know that Numbers is true, and if so, how? This is where philosophers need to concentrate their energies. [For a reconstruction of Frege Arithmetic with a more general version of the special instantiation relation &eta, see Zalta 1999.]


In this article we have covered the fundamental information you need to know about numbers in JavaScript, for now. You'll see numbers used again and again, all the way through your JavaScript learning, so it's a good idea to get this out of the way now. If you are one of those people that doesn't enjoy math, you can take comfort in the fact that this chapter was pretty short.

In the next article, we'll explore text and how JavaScript allows us to manipulate it.

Notă: If you do enjoy math and want to read more about how it is implemented in JavaScript, you can find a lot more detail in MDN's main JavaScript section. Great places to start are our Numbers and dates and Expressions and operators articles.


Addition Basic Facts Mad Minute Drills

Logged in members can use the Super Teacher Worksheets filing cabinet to save their favorite worksheets.

Quickly access your most used files AND your custom generated worksheets!

Please login to your account or become a member and join our community today to utilize this helpful feature.


Priveste filmarea: Evaluarea Nationala media geometrica (Iulie 2022).


Comentarii:

  1. Morell

    Adică, permiteți greșeala. Mă ofer să discut. Scrie-mi în PM, ne ocupăm noi.

  2. Kein

    Clasă! Respectă la aftar!

  3. Sazilkree

    Wacker, fraza ta va veni la îndemână

  4. Dule

    Permiteți greșeala. Îmi pot apăra poziția.

  5. Attmore

    thanks, I will try

  6. Livingston

    O singură temă, interesantă pentru mine :)

  7. Cahir

    puțini

  8. Sadiq

    Sunt aici din întâmplare, dar m -am înregistrat special pe forum pentru a participa la discuția acestui număr.



Scrie un mesaj