Articole

9.0: Preludiu la identități și ecuații trigonometrice - matematică

9.0: Preludiu la identități și ecuații trigonometrice - matematică



We are searching data for your request:

Forums and discussions:
Manuals and reference books:
Data from registers:
Wait the end of the search in all databases.
Upon completion, a link will appear to access the found materials.

Matematica este peste tot, chiar și în locuri pe care s-ar putea să nu le recunoaștem imediat. Graficul sinusoidal din Figura ( PageIndex {1} ) modelează muzica redată pe un telefon, radio sau computer. Astfel de grafice sunt descrise folosind ecuații și funcții trigonometrice. În acest capitol, vom discuta despre modul de manipulare a ecuațiilor trigonometrice algebric prin aplicarea diferitelor formule și identități trigonometrice. Vom investiga, de asemenea, unele dintre modalitățile prin care ecuațiile trigonometrice sunt utilizate pentru a modela fenomenele din viața reală.


Luați în considerare exemplul familiar al unui triunghi dreptunghiular 45-45-90, ale cărui unghiuri sunt 4 5 ∘, 45 ^ circ, 4 5 ∘, 4 5 ∘, 45 ^ circ, 4 5 ∘ și 9 0 ∘. 90 ^ circ. 9 0 ∘. Prin teorema lui Pitagora, un astfel de triunghi trebuie să aibă o hipotenuză a cărei lungime este 2 sqrt <2> 2

De două ori mai mare decât a fiecăruia dintre picioare:

În acest caz, în raport cu unul dintre unghiurile acute ale triunghiului, se poate scrie raportul laturilor ca

hipotenuză opusă = 1 2, hipotenuză adiacentă = 1 2, parte opusă adiacentă = 1. frac < text> < text> = frac <1> < sqrt <2>>, quad frac < text> < text> = frac <1> < sqrt <2>>, quad frac < text> < text> = 1. hipotenuză latura opusă = 2

1, hipotenuză latură adiacentă = 2

1, latura adiacentă opusă = 1.

De două ori mai mare decât cea a piciorului mai scurt, în timp ce hipotenuza are lungimea de două ori mai mare decât cea a piciorului mai scurt:

hipotenuză opusă = 1 2, hipotenuză adiacentă = 3 2, parte opusă adiacentă = 1 3. frac < text> < text> = frac <1> <2>, quad frac < text> < text> = frac < sqrt <3>> <2>, quad frac < text> < text> = frac <1> < sqrt <3>>. hipotenuză latură opusă = 2 1, hipotenuză latură adiacentă = 2 3

, Partea adiacentă partea opusă = 3

În ambele cazuri, specificarea unghiurilor acute ale triunghiului dreptunghiular determină raporturile relative dintre fiecare parte. Pe măsură ce un unghi crește, iar celălalt crește, latura opusă unghiului mai mare crește, în timp ce partea opusă unghiului mai mic crește.

Nu există niciun motiv pentru care raporturile nu pot fi specificate orice triunghi dreptunghiular arbitrar. În principiu, având în vedere unul dintre unghiurile acute ale unui triunghi dreptunghiular, raporturile dintre fiecare pereche de laturi sunt fixe. Cu alte cuvinte, raporturile dintre părți pot fi luate în considerare funcții a măsurii unui unghi acut. În trigonometrie, cele trei rapoarte formează baza definiției celor trei funcții trigonometrice de bază, numite sinus, cosinus, și tangentă.

  • sinus din θ theta θ se scrie ca sin ⁡ θ sin < theta> sin θ și se definește ca raportul sin ⁡ θ = hipotenuză laterală opusă. sin < theta> = frac < text> < text>. sin θ = hipotenuză latură opusă.

  • cosinus din θ theta θ este scris ca cos ⁡ θ cos < theta> cos θ și definit ca raportul cos ⁡ θ = hipotenuză laterală adiacentă. cos < theta> = frac < text> < text>. cos θ = hipotenuză latură adiacentă.

  • tangentă din θ theta θ se scrie ca tan ⁡ θ tan < theta> tan θ și se definește ca raportul tan ⁡ side = partea opusă partea adiacentă = sin ⁡ θ cos ⁡ θ. tan < theta> = frac < text> < text> = frac < sin < theta >> < cos < theta >>. tan θ = partea adiacentă partea opusă = cos θ sin θ.

În plus, deoarece acestea sunt frecvent utilizate, reciprocele sinusului, cosinusului și tangentei au, de asemenea, nume: ele sunt cosecant, secantă, și cotangentă.

  • cosecant din θ theta θ este scris ca csc ⁡ θ csc < theta> csc θ și definit ca csc ⁡ θ = 1 sin ⁡ θ. csc < theta> = frac <1> < sin < theta >>. csc θ = sin θ 1.

  • secantă din θ theta θ este scris ca sec ⁡ θ sec < theta> sec θ și definit ca sec ⁡ θ = 1 cos ⁡ θ. sec < theta> = frac <1> < cos < theta >>. sec θ = cos θ 1.

  • cotangentă din θ theta θ este scris ca cot ⁡ θ cot < theta> cot θ și definit ca cot ⁡ θ = 1 tan ⁡ θ. cot < theta> = frac <1> < tan < theta >>. pătuț θ = tan θ 1.

În timp ce valorile funcțiilor trigonometrice pentru anumite unghiuri pot fi calculate pentru a fi un număr algebric (adică, exprimabil în termeni de fracții și rădăcini), în general sinusul sau cosinusul unui unghi arbitrar pot fi transcendentale. Acest lucru este dovedit de teorema lui Baker.

Calculați valoarea celor șase funcții trigonometrice pentru θ = 3 0 ∘ theta = 30 ^ circ θ = 3 0 ∘.

Din ceea ce știm despre triunghiul dreptunghiular 30-60-90, avem

sin ⁡ 3 0 ∘ = partea opusă hipotenuză = 1 2, cos ⁡ 3 0 ∘ = partea adiacentă hipotenuză = 3 2, tan ⁡ 3 0 ∘ = partea opusă partea adiacentă = 1 3. sin <30 ^ circ> = frac < text> < text> = frac <1> <2>, quad cos <30 ^ circ> = frac < text> < text> = frac < sqrt <3>> <2>, quad tan <30 ^ circ> = frac < text> < text> = frac <1> < sqrt <3>>. sin 3 0 ∘ = hipotenuză latură opusă = 2 1, cos 3 0 ∘ = hipotenuză latură adiacentă = 2 3

, Tan 3 0 ∘ = partea adiacentă partea opusă = 3

​ 1 ​ .

Prin urmare

csc ⁡ 3 0 ∘ = 1 sin ⁡ 3 0 ∘ = 2, sec ⁡ 3 0 ∘ = 1 cos ⁡ 3 0 ∘ = 2 3, cot ⁡ 3 0 ∘ = 1 tan ⁡ 3 0 ∘ = 3. □ csc <30 ^ circ> = frac <1> < sin <30 ^ circ >> = 2, quad sec <30 ^ circ> = frac <1> < cos <30 ^ circ >> = frac <2> < sqrt <3>>, quad cot <30 ^ circ> = frac <1> < tan <30 ^ circ >> = sqrt <3> . _ square csc 3 0 ∘ = sin 3 0 ∘ 1 = 2, sec 3 0 ∘ = cos 3 0 ∘ 1 = 3

2, cot 3 0 ∘ = tan 3 0 ∘ 1 = 3

​ . □ ​

Amintiți-vă că două unghiuri și latura dintre ele sau două laturi și unghiul dintre ele specifică un triunghi unic. În cele din urmă, funcțiile trigonometrice permit specificarea tuturor laturilor și unghiurilor necunoscute pentru un triunghi determinat în mod unic.


9.0: Preludiu la identități și ecuații trigonometrice - matematică

Trigonometria se acumulează. Cât timp este această latură?

(10.69-3.2 = 7.49 tan42 ^ o = frac<7.49> tan42 ^ o approx0.9 \ frac<7.49>=0.9 o dapprox6.74\\sin37^o=frac<6.74> sin37 ^ o approx0.602 \ frac <6.74>= 0.602 to e approx11.2 11.2 + 4.3 = 15.5 sin53 ^ o = frac<15.5> sin53 ^ o approx0.8 \ frac<15,5> = 0,8 la f aproximativ 12,4 )

(12.4-2.2 = 10.2 g ^ 2 = 10.2 ^ 2 + 1.7 ^ 2 to g approx10.34 cos21 ^ o = frac <10.34> cos21 ^ o approx0.934 \ frac <10.34>= 0.934 to h = 11.07 11.07 + 1.7 = 12.77 sin71 ^ o = frac<12.77> sin71 ^ o approx0.946 \ frac<12.77> = 0.946 to x approx12.1 (cm) leftarrow Răspuns )



Această lecție descompune funcțiile logaritmice dificile în componentele lor de bază: baza (b), valoarea fixă ​​de intrare (y) și ieșirea funcției, x. Logaritmul este, prin urmare, scris ca b x = y. Această lecție trece, de asemenea, pe Identitatea produsului, Identitatea cotientului, Identitatea puterii și schimbarea bazelor.

Ambele coordonate polare și dreptunghiulare se referă la un punct de pe o diagramă sau un grafic. De multe ori, teorema lui Pitagora este folosită pentru a găsi coordonatele corespunzătoare. Citiți această lecție pentru sfaturi rapide de conversie!


Trigonometrie

Din următoarea diagramă vedem că sin (& pi - & theta) = sin & theta și cos (- & theta) = cos & theta. Folosim acest lucru pentru a găsi soluțiile unor ecuații trig.

Cazul 1: -1 & ley& le 1, adică valoarea lui y este între -1 și 1, deci există o soluție.

Setul tuturor soluțiilor pentru păcat(X) = y este

Unde k poate fi orice număr întreg, adică soluțiile pentru X constă din păcat -1 (y) plus toate multiplele pare ale & pi, impreuna cu minus păcat -1 (y) plus toate ciudat multipli ai & pi.

Cazul 2: -1 & gt y sau y & gt 1, adică valoarea lui y este prea mare sau prea mică pentru ca o soluție să fie posibilă.

Cazul 1: -1 & ley& le 1

Setul tuturor soluțiilor pentru cos (X) = y este

Unde k poate fi orice număr întreg

Cazul 2: -1 & gt y sau y & gt 1

Setul tuturor soluțiilor pentru bronz (X) = y este


Derivarea formei polare

Deși Identitatea lui Euler rezultă din forma polară a numerelor complexe, este imposibil să se obțină forma polară (în special aspectul spontan al numărului e) fără calcul.

Începem cu forma dreptunghiulară a unui număr complex:

Din diagramă și trigonometrie, putem face următoarele substituții:

De aici putem lua în calcul factorii r:

Funcția cis& phi se dovedește a fi egal cu eeu și phi. Aceasta este partea imposibil de afișat fără calcul. Două derivări sunt prezentate mai jos:


9.0: Preludiu la identități și ecuații trigonometrice - matematică

Întrebare adresată de Aakash, un student:

perioada funcției f (x) = cos3x + sin4x + tan4x

Perioada unei funcții trig

Perioada unei funcții trig t (x) este distanța în x necesară pentru ca modelul să se repete.

Graficul funcției tangente tan (x) arată astfel (x în grade aici):

Deci, perioada în acest caz este de 180 grade, deoarece modelul se repetă la fiecare 180 de unități de x. Dacă înlocuim x cu 3x + 90 & deg, atunci graficul tan (3x + 90 & deg), arată astfel:

Deci perioada acestei funcții este de 60 grade. De fapt, acel factor din fața lui x ne spune care va fi perioada, dacă știm care este perioada în mod normal (fără un factor dat). În cazul bronzului () este de 180 °. Înmulțiți perioada normală cu reciprocitatea factorului din fața lui x. Ar trebui să puteți determina singur ce este normal pentru sinus și cosinus.

Adăugarea funcțiilor trig

Când adăugați funcții trig împreună, modelul general se repetă atunci când există un număr întreg din toate perioadele individuale. Să presupunem că ați avut perioade de patru funcții trig: 60 grade, 360 grade, 16 grade și 9 0 grade. Găsiți cel mai mic multiplu comun (MCM) dintre aceste cifre pentru a găsi perioada funcției generale:

Rezolvați problema în același mod: găsiți mai întâi perioada fiecărei funcții trig, apoi găsiți LCM și veți avea perioada generală a sumei funcțiilor trig.


9.0: Preludiu la identități și ecuații trigonometrice - matematică

    • Inginerie, R & ampD
    • Finanțe, statistici și analize de afaceri
    • Educaţie
    • Software și amplificator Web
      • Învăţare
      • Nevoie de ajutor?
      • Suport premium
        • Despre
        • Lucreaza cu noi
        • Inițiative

        • Editor: John Wiley & Sons, Inc.
        • An: 2008
        • ISBN: 9780471614432 (Volum broșat)
        • 540 pp
        • Bazat pe: Versiunea 6

        Descriere Concepută pentru a fi citită de studenți, această carte - scrisă folosind Mathematica 6 - se concentrează pe subiecte necesare succesului în calcul și pregătește elevii pentru calcul integral. Include o prefață pentru instructori și soluții pas cu pas pentru exerciții cu număr impar, astfel încât elevii să își poată modela propriile aplicații din ceea ce au învățat. În plus, deschizătoarele de capitole și rezumatele de la sfârșitul capitolului evidențiază materialul care trebuie studiat.

        Autorul, Sheldon Axler, este beneficiarul unui premiu al Asociației Matematice a Americii în scrieri expozitive. Cuprins Numerele reale | Funcții și graficele lor | Funcții liniare, cuadratice, polinomiale și raționale | Exponenți și logaritmi | Zonă, e, și Logaritmul natural | Funcții trigonometrice | Aplicații ale trigonometriei Secvențe, serii și limite Subiecte conexe Algebră, Calcul și analiză, Geometrie


        Întrebarea 4

        Soluția la întrebarea 4
        Lăsați necunoscutul „ce procent” să fie notat cu y%, deoarece căutăm un procent. „este” este reprezentat de egal și „de” printr-o multiplicare. Prin urmare, întrebarea de mai sus poate fi tradusă într-o ecuație matematică după cum urmează:
        4 = y% * 32
        Acum rezolvăm necunoscutul%
        y% = 4/32 = 0,125
        Am găsit forma zecimală la y% care poate fi schimbată în formă procentuală înmulțind-o și împărțind-o la 100. Prin urmare
        y% = 0,125 = 12,5 / 100 = 12,5%
        Ca exercițiu, verificați dacă 12,5% din 32 dă 4.


        Editați o ecuație în Editorul de ecuații

        Dacă ați folosit Editorul de ecuații pentru a insera o ecuație, puteți edita acea ecuație în Editorul de ecuații.

        Faceți dublu clic pe obiectul ecuației pe care doriți să îl editați.

        Utilizați simbolurile, șabloanele sau cadrele de pe Ecuaţie bara de instrumente pentru a edita ecuația.

        În Word, Excel sau Outlook, pentru a reveni la documentul dvs., faceți clic oriunde în document.

        În PowerPoint, pentru a reveni la prezentare, în Editor de ecuații, pe Fişier meniu, faceți clic pe Ieșiți și reveniți la prezentare.

        Pentru a afla cum să utilizați ecuații încorporate utilizând Ecuaţie , consultați Scrierea unei ecuații sau a unei formule.


        Priveste filmarea: Matematică;, Ecuația trigonometrică fundamentală sinx=a (August 2022).