Articole

6.4: Alte baze - Matematică

6.4: Alte baze - Matematică



We are searching data for your request:

Forums and discussions:
Manuals and reference books:
Data from registers:
Wait the end of the search in all databases.
Upon completion, a link will appear to access the found materials.

În sistemul 1 ← 3, trei puncte într-o singură casetă valorează un punct în casetă, un loc la stânga. Aceasta oferă o nouă imagine:

Fiecare punct din a doua casetă din stânga valorează trei. Fiecare punct din a treia casetă valorează trei 3, adică nouă, și așa mai departe.

Exemplu

Am spus că codul 1 ← 3 pentru cincisprezece este 120. Vedem că acest lucru este corect deoarece:

[1 cdot 9 + 2 cdot 3 + 0 cdot 1 = 15 ldotp ]

Problema 8

Răspundeți la aceste întrebări despre sistemul 1 ← 3.

  1. Ce etichetă ar trebui să apară pe caseta din stânga casetei 9?
  2. Care ar fi valoarea unei casete cu două puncte în stânga celei 9 casete?
  3. Ce număr are 1 ← 3 cod 21002?
  4. Care este codul 1 ← 3 pentru două sute de puncte?

În sistemul 1 ← 4, patru puncte într-o singură casetă valorează un punct în casetă, un loc la stânga.

Problema 9

Răspundeți la aceste întrebări despre sistemul 1 ← 4.

  1. Care este valoarea fiecărei casete din imaginea de mai sus?
  2. Care este codul 1 ← 4 pentru douăzeci și nouă de puncte?
  3. Ce număr are 1 ← 4 cod 132?

Problema 10

În sistemul 1 ← 10, zece puncte într-o singură casetă valorează un punct în casetă, un loc la stânga.

  1. Desenați o imagine a 1 ← 10 și etichetați primele patru casete cu valorile lor.
  2. Care este codul 1 ← 10 pentru opt mii patru sute douăzeci și doi?
  3. Ce număr are 1 ← 10 cod 95.753?
  4. Când scriem numărul 7.842, ce reprezintă „7”?
    „4” sunt patru grupuri cu ce valoare?
    „8” este opt grupuri cu ce valoare?
    „2” reprezintă două grupuri cu ce valoare?
  5. De ce crezi că folosim sistemul 1 ← 10 pentru scrierea numerelor?

Definiție

Amintiți-vă că numerele scrise în sistemul 1 ← 2 sunt apelate binar sau baza doi numere.

Numerele scrise în sistemul 1 ← 3 sunt numite baza trei numere.

Numerele scrise în sistemul 1 ← 4 sunt numite baza patru numere.

Numerele scrise în sistemul 1 ← 10 sunt numite baza zece numere.

În general, numerele scrise în 1 ←b sistem sunt numite baza b numere.

Într-o bază b sistem numeric, fiecare loc reprezintă o putere de b, ceea ce înseamnă (b ^ {n} ) pentru un număr întreg n. Amintiți-vă acest lucru înseamnă b multiplicat de la sine n ori:

  • Locul cel mai potrivit este unitățile sau locul. (De ce este aceasta o putere a b?)
  • Al doilea loc este „b" loc. (În baza zece, este locul zecilor.)
  • Al treilea loc este locul „ (b ^ {2} )”. (În baza zece, acesta este locul sutelor. Rețineți că (10 ​​^ {2} = 100 ).)
  • Al patrulea loc este locul „ (b ^ {3} )”. (În baza zece, acesta este locul mii, deoarece (10 ​​^ {3} = 1000 ).)
  • Și așa mai departe.

notaţie

Ori de câte ori avem de-a face cu numere scrise în baze diferite, folosim un indice pentru a indica baza, astfel încât să nu existe confuzie. Asa de:

  • (102_ {three} ) este un număr de bază trei (citiți-l ca „unu-zero-două bază trei”). Acesta este codul de bază trei pentru numărul unsprezece.
  • (222_ {four} ) este un număr de bază patru (citiți-l ca „două-două-două bază patru”). Acesta este codul de bază patru pentru numărul patruzeci și doi.
  • (5321_ {zece} ) este un număr de bază zece. (Este ok să spui „cincizeci și patru de mii trei sute douăzeci și unu”. De ce?)

Dacă baza nu este scrisă, presupunem că este baza zece.

Amintiți-vă: când vedeți indicele, vedeți cod pentru un anumit număr de puncte.

Gândiți / Asociați / Distribuiți

  1. Găsiți numărul de puncte reprezentat de fiecare dintre acestea: $$ 222_ {trei} qquad 310_ {patru} qquad 5321_ {zece} ldotp $$
  2. Reprezentați nouă puncte în fiecare bază: $$ text {trei, cinci, opt, nouă și unsprezece} ldotp $$
  3. Ce cifre sunt utilizate în sistemul de bază două? Sistemul de bază trei? Sistemul de bază patru? Sistemul de bază cinci? Sistemul de bază șase? Sistemul de bază zece?
  4. Ce face baza să vă spun despre sistemul numeric? (Gândiți-vă la cât mai multe răspunsuri puteți!)

Baza b la baza Zece

Acum vom descrie câteva metode generale pentru conversia de la bază b la baza zece, unde b poate reprezenta orice număr întreg mai mare decât unul.

Dacă baza este b, asta înseamnă că suntem într-un 1 ←b sistem. Un punct din cea mai dreaptă casetă valorează 1. Un punct din a doua casetă merită b. Merită un punct din a treia casetă și așa mai departe.

Deci, de exemplu, numărul (10123_ {b} ) reprezintă

[1 cdot b ^ {4} + 0 cdot b ^ {3} + 1 cdot b ^ {2} + 2 cdot b + 3 cdot 1, ]

pentru că ne imaginăm trei puncte în caseta din dreapta (fiecare merită unul), două puncte în a doua casetă (fiecare reprezentând b puncte), un punct în a treia casetă (reprezentând punctele (b ^ {2} )) și așa mai departe. Asta înseamnă că putem face doar un scurt calcul pentru a găsi numărul total de puncte, fără a trece prin toate problemele de a desena imaginea și de a „neexploda” punctele.

Acesta reprezintă numărul $ $ 1 cdot 5 ^ {2} + 2 cdot 5 + 3 = 25 + 10 + 3 = 38 ldotp ]

(123_ {seven} ).

[1 cdot 7 ^ {2} + 2 cdot 7 + 3 = 49 + 14 + 3 = 66 ]

Bază Zece la Bază b

Acum vom descrie câteva metode generale de conversie de la baza zece la bază b, Unde b poate reprezenta orice număr întreg mai mare decât unul.

Există două metode generale pentru realizarea acestor conversii. Pentru fiecare metodă, vom elabora un exemplu și apoi vom descrie metoda generală. Prima metodă pe care o descriem completează casetele de la stânga la dreapta.

: Metoda 1 (de la stânga la dreapta)

Pentru a converti (321_ {zece} ) într-un număr de bază cinci (fără a trece de fapt prin procesul obositor de explodare a punctelor în grupuri de cinci).

Găsiți cea mai mare putere de cinci care este mai mică decât 321. Vom lista doar puterile a cinci:

Deci, știm că cea mai stângă cutie pe care o vom folosi este cutia 125, deoarece 625 este prea mare.

Câte puncte vor fi în cutia 125? Este la fel ca a întreba câte 125 sunt în 321. De când

[2 cdot 125 = 250 qquad și qquad 3 cdot 125 = 375, ]

ar trebui să punem două puncte în cutia 125. Trei puncte ar fi prea mult.

Câte puncte rămân necontestate? (321 - 250 = 71 ) sunt lăsate puncte.

Acum repetați procesul: cea mai mare putere din cinci, care este mai mică de 71 este (5 ^ {2} = 25 ). Dacă punem două în cutia 25, asta are grijă de 50 de puncte. (Trei puncte ar fi 75, ceea ce înseamnă prea mult.)

Până în prezent avem două puncte în caseta (5 ^ {3} ) și două puncte în caseta (5 ^ {2} ), deci este un total de

[2 cdot 125 + 2 cdot 25 = 300 ; text {dots} ldotp ]

Ne-au mai rămas (321 - 300 = 21 ) puncte de luat în calcul.

Repetați procesul din nou: cea mai mare putere de 5 care este mai mică de 21 este 5. Câte puncte pot merge în caseta 5? (5 cdot 4 = 20 ), deci putem pune patru puncte în caseta 5.

Ne-a mai rămas un punct. Dacă punem un punct în caseta 1, am terminat.

[2 cdot 125 + 2 cdot 25 + 4 cdot 5 + 1 = 250 + 50 + 20 + 1 = 321 ldotp ]

Deci (321_ {ten} = 2241_ {five} ldotp )

Algoritmul general pentru a converti de la baza zece la bază:

  1. Începeți cu numărul dvs. de bază zece n. Găsește-l pe cel mai mare puterea lui b asta este mai puțin de n, spune că puterea este (b ^ {k} ).
  2. Aflați câte puncte pot merge în caseta (b ^ {k} ) fără a trece peste n. Spuneți că numărul este A. Pune cifra A în caseta (b ^ {k} ), apoi scădeți (n - a cdot b ^ {k} ) pentru a afla câte puncte rămân.
  3. Dacă numărul dvs. este acum zero, ați luat în calcul toate punctele. Puneți zerouri în toate casetele care rămân și veți avea numărul. În caz contrar, începeți din nou la pasul (1) cu numărul de puncte care vă mai rămân.

Metoda este puțin dificilă de descris în generalitate completă. Probabil că este mai bine să încercați câteva exemple pe cont propriu pentru a înțelege.

Gândiți / Asociați / Distribuiți

Utilizați metoda de mai sus pentru a converti (99_ {zece} ) la baza trei, la baza patru și la baza cinci.

Iată o altă metodă de conversie a numerelor bazei zece la o altă bază, iar această metodă completează cifrele de la dreapta la stânga. Din nou, vom începe cu un exemplu și apoi vom descrie metoda generală.

: Metoda 2 (de la dreapta la stânga)

Pentru a converti (712_ {zece} ) într-un număr de bază de șapte, imaginați-vă că există 712 puncte în caseta cu cele. Vom scrie numărul, dar imaginați-l ca pe puncte.

Aflați câte grupuri de câte 7 puteți face și câte puncte ar rămâne.

[712 div 7 = 101 ; text {R} 5 ; qquad that ; este,; 712 = 101 cdot 7 + 5 ldotp ]

Asta înseamnă că avem 101 grupuri de 7 puncte, cu 5 puncte rămase.

„Explodați” grupurile de 7 o cutie la stânga și lăsați cele 5 puncte în urmă.

Acum repetați procesul: Câte grupuri de 7 puteți face din cele 101 puncte?

[101 div 7 = 14 ; text {R} 3, qquad meaning ; 101 = 14 cdot 7 + 3 ldotp ]

„Explodați” grupurile de 7 o cutie la stânga și lăsați cele 3 puncte în urmă.

Repeta:

[14 div 7 = 2 ; text {R} 0, qquad so ; 14 = 2 cdot 7 + 0 ldotp ]

„Explodați” grupurile de 7 o casetă la stânga și lăsați 0 puncte în urmă.

Deoarece există mai puțin de 7 puncte în fiecare cutie, am terminat.

[712_ {ten} = 2035_ {seven} ldotp ]

Desigur, putem (și ar trebui!) Să ne verificăm calculul convertind răspunsul înapoi la baza zece:

[2035_ {seven} = 2 cdot 7 ^ {3} + 0 cdot 7 ^ {2} + 3 cdot 7 + 5 = 686 + 0 + 21 + 5 = 712_ {ten} ldotp ]

Iată a doua metodă generală pentru conversia numerelor de bază zece într-o bază arbitrară b:

  1. Împarte numărul de bază zece la b pentru a obține un coeficient și un rest.
  2. Puneți restul în cel mai drept spațiu din bază b număr.
  3. Dacă coeficientul este mai mic de b, merge în spațiu un loc la stânga. În caz contrar, reveniți la pasul (1) și repetați-l cu coeficientul, completând resturile de la dreapta la stânga în numărul de bază.

Din nou, metoda are probabil mai mult sens dacă o încercați de câteva ori.

Gândiți / Asociați / Distribuiți

Utilizați metoda descrisă mai sus pentru a converti (250_ {zece} ) în baza trei, patru, cinci și șase.


LibreOffice 6.4: Note de lansare

Acesta este un bloc de zgârieturi în curs de desfășurare pentru a crea note de lansare din momentul în care lansăm. Vă rugăm să nu enumerați caracteristicile care urmează să fie livrate deja în versiunea 6.3! Vă rugăm să nu adăugați caracteristici ale listei de dorințe pe care le aveți speranţă vor fi implementate, dar numai ce este de fapt implementat deja.

Cum arată o caracteristică bună aici:

  • Are o descriere și o modalitate pentru ca un recenzent ocupat să găsească și să se joace cu această funcție. Vizați pe cineva extrem de ocupat și care știe puțin despre nimic despre produs. Deci, dacă un element de interfață cu utilizatorul este esențial pentru funcție, fii foarte explicit cu privire la locul în care se află, e. g. Meniu & # 160▸ Format & # 160▸ Caracter & # 160▸ Poziție [tab] & # 160▸ Căi de ‘90 grade ’către elementele pe care le-ați modificat. Desigur, tu să știți că funcția dvs. este importantă și că toată lumea ar trebui să-i pese de Caseta de dialog Extensibil AutoShapes Properties - dar de multe ori băieții care fac capturi de ecran și scriu notițe nu.
  • Acredită autorii principali care au făcut lucrarea - doar adăugați-le între paranteze după film, acolo unde este posibil.
  • Dacă caracteristica poate fi afișată cu un fișier eșantion / test - în special pentru noile caracteristici importabile, ar fi minunat să avem un link către / încărcarea unui fișier de test pe care îl putem folosi pentru a arăta funcția la cel mai bun efect. Acest lucru ne ajută cu adevărat să realizăm capturi de ecran bune pentru a arăta caracteristicile și permite recenzenților să-și facă testele.

Vă mulțumim anticipat pentru ajutorul acordat completând acest lucru!


Cuprins

În mod normal, intrările unui glosar sunt structurate pe subiecte și sortate alfabetic. Acest lucru nu este posibil aici, deoarece nu există o ordine naturală a simbolurilor și multe simboluri sunt folosite în diferite părți ale matematicii cu semnificații diferite, adesea complet lipsite de legătură. Prin urmare, trebuiau făcute unele alegeri arbitrare, care sunt rezumate mai jos.

Articolul este împărțit în secțiuni care sunt sortate în funcție de un nivel crescut de tehnicitate. Adică, primele secțiuni conțin simbolurile întâlnite în majoritatea textelor matematice și care ar trebui să fie cunoscute chiar de începători. Pe de altă parte, ultimele secțiuni conțin simboluri specifice anumitor domenii ale matematicii și sunt ignorate în afara acestor zone. Cu toate acestea, secțiunea lungă dintre paranteze a fost plasată aproape de final, deși majoritatea intrărilor sale sunt elementare: acest lucru face mai ușor să căutați o intrare de simbol prin derulare.

Majoritatea simbolurilor au semnificații multiple care se disting în general fie prin aria matematicii în care sunt folosite, fie prin a lor sintaxă, adică prin poziția lor în interiorul unei formule și natura celorlalte părți ale formulei care le sunt apropiate.

Deoarece cititorii ar putea să nu fie conștienți de domeniul matematicii cu care este legat simbolul pe care îl caută, diferitele semnificații ale unui simbol sunt grupate în secțiunea corespunzătoare sensului lor cel mai comun.

Când semnificația depinde de sintaxă, un simbol poate avea intrări diferite în funcție de sintaxă. Pentru rezumarea sintaxei în numele intrării, simbolul ◻ < displaystyle Box> este utilizat pentru reprezentarea părților învecinate ale unei formule care conține simbolul. A se vedea § Paranteze pentru exemple de utilizare.

Majoritatea simbolurilor au două versiuni tipărite. Acestea pot fi afișate ca caractere Unicode sau în format LaTeX. Cu versiunea Unicode, utilizarea motoarelor de căutare și copierea-lipire sunt mai ușoare. Pe de altă parte, redarea LaTeX este adesea mult mai bună (mai estetică) și este în general considerată un standard în matematică. Prin urmare, în acest articol, versiunea Unicode a simbolurilor este utilizată (atunci când este posibil) pentru etichetarea intrării lor, iar versiunea LaTeX este utilizată în descrierea lor. Deci, pentru a găsi cum să tastați un simbol în LaTeX, este suficient să vă uitați la sursa articolului.

Pentru majoritatea simbolurilor, numele intrării este simbolul Unicode corespunzător. Deci, pentru căutarea intrării unui simbol, este suficient să tastați sau să copiați simbolul Unicode în caseta de text de căutare. În mod similar, atunci când este posibil, numele intrării unui simbol este, de asemenea, o ancoră, care permite conectarea cu ușurință dintr-un alt articol Wikipedia. Când un nume de intrare conține caractere speciale precum [,] și |, există și o ancoră, dar trebuie să te uiți la sursa articolului pentru a o cunoaște.

În cele din urmă, atunci când există un articol despre simbolul în sine (nu semnificația sa matematică), acesta este legat de numele intrării.

Mai multe simboluri logice sunt utilizate pe scară largă în toată matematica și sunt enumerate aici. Pentru simboluri care sunt utilizate numai în logica matematică sau care sunt rareori utilizate, consultați Lista simbolurilor logice.

Tipul de caractere îndrăzneț de tablă este utilizat pe scară largă pentru a indica sistemele numerice de bază. Aceste sisteme sunt adesea notate și cu litera aldină cu majuscule corespunzătoare. Un avantaj clar al tabelei aldine este că aceste simboluri nu pot fi confundate cu nimic altceva. Acest lucru permite utilizarea acestora în orice domeniu al matematicii, fără a fi nevoie să-și amintească definiția lor. De exemplu, dacă se întâlnește R < displaystyle mathbb > în combinatorie, ar trebui să știm imediat că acest lucru denotă numerele reale, deși combinația nu studiază numerele reale (dar le folosește pentru multe dovezi).

Multe tipuri de paranteze sunt utilizate în matematică. Semnificațiile lor depind nu numai de formele lor, ci și de natura și dispunerea a ceea ce este delimitat de acestea și, uneori, a ceea ce apare între sau în fața lor. Din acest motiv, în titlurile intrării, simbolul □ este utilizat pentru schematizarea sintaxei care stă la baza semnificației.

Paranteze Edit

Paranteze drepte Editați

Editare paranteze

Alte paranteze Editați

  • intervalul liniar într-un spațiu vectorial (de asemenea adesea notat Span (S) ),
  • subgrupul generat într-un grup,
  • idealul generat într-un inel,
  • submodulul generat într-un modul.

În această secțiune, simbolurile enumerate sunt utilizate ca un fel de semne de punctuație în raționamentul matematic sau ca abrevieri ale frazelor în limba engleză. În general, acestea nu sunt utilizate în interiorul unei formule. Unele au fost folosite în logica clasică pentru a indica dependența logică dintre propozițiile scrise în engleză simplă. Cu excepția primelor două, acestea nu sunt utilizate în mod normal în textele matematice tipărite, deoarece, pentru lizibilitate, se recomandă în general să existe cel puțin un cuvânt între două formule. Cu toate acestea, ele sunt încă utilizate pe o tablă neagră pentru a indica relațiile dintre formule.


O introducere în pătratele magice

Magic Squares sunt grile pătrate cu un aranjament special de numere în ele. Aceste numere sunt speciale, deoarece fiecare rând, coloană și diagonală se adaugă la același număr. Deci, pentru exemplul de mai jos, 15 este numărul magic. Ai putea rezolva acest lucru doar din faptul că știu că pătratul folosește numerele de la 1 la 9?

De asemenea, cele două numere care sunt opuse unul lângă celălalt în numărul central se vor aduna la același număr. Deci, în pătratul de mai sus, 8 + 2 = 10, 6 + 4 = 10, 1 + 9 = 10 și 3 + 7 = 10. De ce este asta?

„Ordinea” unui pătrat magic spune câte rânduri sau coloane are. Deci un pătrat cu 3 rânduri și coloane este Ordinul 3, iar un pătrat cu 4 rânduri și coloane este Ordinul 4 și așa mai departe. Dacă doriți să aflați mai multe despre cum să vă alcătuiți propriile pătrate magice și despre matematica din spatele tuturor, puteți accesa alte câteva pagini de pe site, cum ar fi Magic Squares și Magic Squares II.

Dar de ce se numesc magie?

Deci, numerele din Piața Magică sunt speciale, dar de ce se numesc magie? Se pare că din cele mai vechi timpuri au fost legate de lumea supranaturală și magică. Cea mai veche înregistrare de pătrate magice este din China în aproximativ 2200 î.Hr. și se numește „Lo-Shu”. Există o legendă care spune că împăratul Yu a văzut acest pătrat magic pe spatele unei broaște țestoase divine în râul Galben.

Nodurile negre arată numere pare, iar nodurile albe arată numere impare. Priviți cu atenție și veți vedea că acest pătrat magic antic este același cu exemplul nostru de mai sus. Pătratele magice au fost menționate pentru prima dată în lumea occidentală în lucrarea Theon of Smyrna. Au fost folosite și de astrologii arabi în secolul al IX-lea pentru a ajuta la elaborarea horoscopului. Opera matematicianului grec Moschopoulos din 1300 d.Hr. ajută la răspândirea cunoștințelor despre pătratele magice. Așa că suntem acum, peste 700 de ani mai târziu, iar profesorii le folosesc în clasă pentru rezolvarea problemelor și pentru a practica adăugarea.

Puteți face pătrate magice similare, de ordinul 3, folosind numere diferite. Puteți vedea modele în numerele care funcționează?


Matematica ilustrativă Unitatea 6.1, Lecția 5: Bazele și înălțimile paralelogramelor

Aflați cum să găsiți zona unui paralelogram folosind baza și înălțimea acestuia. După ce ați încercat întrebările, faceți clic pe butoane pentru a vizualiza răspunsurile și explicațiile în text sau video.

Bazele și înălțimile paralelogramelor
Să investigăm mai mult zona paralelogramelor.

5.1 - O paralelogramă și dreptunghiurile sale

Elena și Tyler găseau zona acestui paralelogram:

Deschideți soluția Tyler și soluția Elenei. Trageți glisoarele pentru a vedea animația.

Cum sunt aceleași cele două strategii pentru găsirea ariei unui paralelogram? Cum sunt ei diferiți?

  • Dreptunghiurile Tyler și Elena create prin descompunerea și rearanjarea paralelogramului sunt identice, au aceleași lungimi laterale.
  • Tăieturile au fost făcute în locuri diferite, dar lungimea tăieturilor a fost aceeași.
  • Laturile orizontale ale paralelogramului au aceeași lungime cu laturile orizontale ale dreptunghiului.
  • Lungimea fiecărei tăieturi este, de asemenea, distanța dintre cele două laturi orizontale ale paralelogramului. Este, de asemenea, lungimea laterală verticală a dreptunghiului.

În exemplul de mai sus, lungimea unei laturi a paralelogramului, care este și lungimea unei laturi a dreptunghiului, se numește baza.

Lungimea tăieturii verticale, care este și lungimea laturii verticale a dreptunghiului, se numește înălţime.

În acest exemplu, baza paralelogramului este de 7 unități, iar înălțimea paralelogramului este de 6 unități.

Studiați următoarele exemple și non-exemple de baze și înălțimi a paralelogramelor.

Selectați toate afirmații care sunt adevărate despre baze și înălțimi într-un paralelogram.

A. Doar o latură orizontală a unui paralelogram poate fi o bază.
B. Orice latură a paralelogramului poate fi o bază.
C. O înălțime poate fi trasă la orice unghi față de partea aleasă ca bază.
D. O bază și înălțimea sa corespunzătoare trebuie să fie perpendiculare una pe cealaltă.
E. O înălțime poate fi trasată numai în interiorul unui paralelogram.
F. O înălțime poate fi trasă în afara unui paralelogram, atâta timp cât este trasată la un unghi de 90 de grade față de bază.
G. O bază nu poate fi extinsă pentru a atinge o înălțime.

A este fals. B este Adevărat. Două dintre paralelogramele de exemplu au partea diagonală etichetată ca bază.
C este fals. D este Adevărat. Toate exemplele au înălțimile trase la unghiuri de 90 de grade față de bazele lor.
E este fals. F este Adevărat. Unul dintre exemple are înălțimea desenată în afara paralelogramului la un unghi de 90 de grade față de baza sa.
G este fals. Deoarece înălțimea este întotdeauna perpendiculară (la unghiuri de 90 de grade) față de bază, acestea se vor intersecta.

Cinci studenți au etichetat o bază b și o înălțime corespunzătoare h pentru fiecare dintre aceste paralelograme. Toate desenele sunt etichetate corect? Explicați cum știți.

A este corect.
B este incorect. Înălțimea etichetată nu este perpendiculară pe bază.
C este corect. Înălțimea poate fi trasă în afara paralelogramului, atâta timp cât este perpendiculară pe bază sau o extensie a bazei.
D este corect. Orice latură a paralelogramului poate fi baza.
E este incorect. Înălțimea etichetată este una dintre laturile paralelogramului, nu o linie perpendiculară pe bază.

Deschideți applet-ul. Experimentați cu glisarea tuturor punctelor mobile în jurul ecranului. Puteți schimba paralelogramul astfel încât:

  1. înălțimea sa se află într-o altă locație?
  2. are laturile orizontale?
  3. este înalt și slab?
  4. este, de asemenea, un dreptunghi?
  5. nu este un dreptunghi și are b = 5 și h = 3?

1.

2-4.
Rețineți că înălțimea paralelogramului corespunde uneia dintre laturile dreptunghiului.

5.

5.3 - Găsirea formulei pentru zona paralelogramelor

  • Identificați o bază și o înălțime corespunzătoare și înregistrați lungimile lor în tabelul care urmează.
  • Găsiți zona și înregistrați-o în coloana din dreapta.

În ultimul rând al tabelului, scrieți o expresie folosind b și h pentru zona oricărui paralelogram.

paralelogram bază (unități) inaltime (unitati) suprafață (unități mp)
A
B
C
D
orice paralelogram b h

paralelogram bază (unități) inaltime (unitati) suprafață (unități mp)
A 4 6 24
B 5 3 15
C 2 3 6
D 4 2 8
orice paralelogram b h b × h

  1. Ce se întâmplă cu zona unui paralelogram dacă înălțimea se dublează, dar baza este neschimbată? Dacă înălțimea se triplează? Dacă înălțimea este de 100 de ori originală?
  2. Ce se întâmplă cu zona dacă atât baza cât și înălțimea se dublează? Ambele triple? Ambele sunt de 100 de ori lungimea lor originală?

Zona unui paralelogram A = b × h. Prin urmare, dacă o anumită înălțime h dublul rezultatului ar fi b × 2h = 2A, Unde A a fost zona inițială. Dacă înălțimea se triplează, aria s-ar tripla. Dacă înălțimea este de 100 de ori originală, aria ar fi de 100 de ori originală.

Zona unui paralelogram A = b × h. Prin urmare, dacă o anumită înălțime h și o bază dată b sunt dublate, rezultatul ar fi 2b × 2h = 4A, Unde A a fost zona inițială. Dacă atât înălțimea cât și baza s-ar tripla, aria ar fi de 3 și # 215 3 = de 9 ori aria inițială. Dacă atât înălțimea cât și baza ar fi de 100 de ori originalul, aria ar fi de 100 și # 215 100 = 10000 de ori aria originală.

  • Putem alege oricare dintre cele patru laturi a unui paralelogram ca baza. Atât latura (segmentul) cât și lungimea acestuia (măsurarea) se numesc bază.
  • Dacă desenăm orice segment perpendicular dintr-un punct de la bază în partea opusă a paralelogramului, acel segment va avea întotdeauna aceeași lungime. Numim această valoare „ înălţime. Există infinit de multe segmente de linie care pot reprezenta înălțimea!

Iată două copii ale aceluiași paralelogram. În partea stângă, latura care stă la bază are 6 unități lungime. Înălțimea sa corespunzătoare este de 4 unități. În dreapta, latura care stă la bază are 5 unități lungime. Înălțimea sa este de 4,8 unități. Pentru ambele, trei segmente diferite sunt prezentate pentru a reprezenta înălțimea. Am putea atrage multe altele!

Indiferent ce parte este aleasă ca bază, aria paralelogramului este produsul acelei baze și înălțimea sa corespunzătoare. O putem verifica:
4 × 6 = 24 4.8 × 5 = 24

Putem vedea de ce acest lucru este adevărat prin descompunerea și rearanjarea paralelogramelor în dreptunghiuri.

Observați că lungimile laterale ale fiecărui dreptunghi sunt baza și înălțimea paralelogramului. Chiar dacă cele două dreptunghiuri au lungimi laterale diferite, produsele lungimilor laterale sunt egale, deci au aceeași suprafață! Și ambele dreptunghiuri au aceeași zonă cu paralelogramul.

Putem folosi litere pentru a reprezenta cifrele. Dacă b este baza unui paralelogram (în unități) și h este înălțimea corespunzătoare (în unități), atunci aria paralelogramului (în unități pătrate) este produsul acestor două numere b·h.

Observați că simbolul înmulțirii poate fi scris cu un punct mic în loc de un simbol & # 215. Asta pentru a nu ne confunda dacă & # 215 înseamnă multiplicare sau dacă litera X așteaptă un număr.

În liceu, veți putea demonstra că un segment perpendicular dintr-un punct de pe o parte a unui paralelogram în partea opusă va avea întotdeauna aceeași lungime. Puteți vedea acest lucru cel mai ușor atunci când desenați un paralelogram pe hârtie milimetrică sau vă uitați la diagrama de mai jos. Deocamdată, vom folosi acest lucru drept fapt.

1. Selectați toate paralelogramele care au o înălțime corectă etichetată pentru baza dată.

Figura B este incorect. Linia etichetată cu înălțimea este partea diagonală, nu o linie perpendiculară pe bază.

Figura D este corect. Înălțimea poate fi trasă în afara paralelogramului, atâta timp cât este perpendiculară pe bază sau o extensie a bazei.

2. Partea etichetată b a fost aleasă ca bază pentru acest paralelogram. Desenați un segment care arată înălțimea corespunzătoare bazei respective.

3. Găsiți aria fiecărui paralelogram.

4. Dacă latura care are 6 unități lungime este baza acestui paralelogram, care este înălțimea sa corespunzătoare?

A: 6 unități
B: 4,8 unități
C: 4 unități
D: 5 unități

C: 4 unități. Aceasta este singura linie care este perpendiculară pe baza aleasă de 6 unități.
Dacă latura care avea 5 unități lungime ar fi aleasă ca bază, înălțimea ar fi de 4,8 unități.

5. Găsiți aria fiecărui paralelogram. Scrieți ecuații.

A: 9 cm & # 215 4 cm = 36 cm pătrat

B: 5 cm & # 215 4 cm = 20 cm pătrat

6. Sunteți de acord cu fiecare dintre aceste afirmații? Explicați-vă raționamentul.

A: Un paralelogram are șase fețe.
B: laturile opuse ale unui paralelogram sunt paralele.
C: Un paralelogram poate avea o pereche sau două perechi de laturi paralele.
D: Toate laturile unui paralelogram au aceeași lungime.
E: Toate unghiurile unui paralelogram au aceeași măsură.

A este fals. Un paralelogram are patru laturi.
B este Adevărat. C este fals. Un paralelogram are două perechi de laturi paralele.
D este fals. părți opuse ale unui paralelogram au aceeași lungime.
E este fals. unghiuri opuse ale unui paralelogram au aceeași măsură.

7. Un pătrat cu o suprafață de 1 metru pătrat este descompus în 9 pătrate identice. Fiecare pătrat mic este descompus în două triunghiuri identice.

A: Care este aria, în metri pătrați, a 6 triunghiuri? Dacă vă blocați, desenați o diagramă.
B: Câte triunghiuri sunt necesare pentru a compune o regiune care este de 1 & frac12 metri pătrați?

A: 6 triunghiuri = 3 pătrate mici = & frac13 din aria inițială. Prin urmare, 6 triunghiuri acoperă o suprafață de & frac13 metri pătrați.

B: Fiecare triunghi acoperă 1 & frasl18 din zona originală sau 1 & frasl18 metri patrati. 1 & frac12 metri pătrați & # 247 1 & frasl18 metri pătrați = 27 triunghiuri.

Programul de matematică Open Up Resources poate fi descărcat gratuit de pe site-ul web Open Up Resources și este disponibil și de la Illustrative Mathematics.

Încercați calculatorul gratuit Mathway și rezolvarea problemelor de mai jos pentru a practica diverse subiecte matematice. Încercați exemplele date sau introduceți propria problemă și verificați răspunsul cu explicații pas cu pas.

Vă mulțumim pentru feedback, comentarii și întrebări despre acest site sau pagină. Vă rugăm să trimiteți feedback-ul sau întrebările dvs. prin intermediul paginii noastre de feedback.


6.4: Alte baze - Matematică

Răspunsul scurt este 74,24%, cu 10 puncte procentuale mai mare decât 64,24%.

Răspunsul mai inteligent este că depinde de perspectiva pe care o luați.

Să spunem că Paulo are 64,24% la primul său test de matematică și 74,24% la al doilea test.

Din perspectiva primei probe, al doilea scor al său este o îmbunătățire (74,24 - 64,24) / 64,24 = 15,6%.

Din perspectiva celui de-al doilea test, primul său scor a fost (74,24 - 64,24) / 74,24 = 13,5% mai slab.

Din perspectiva majorității profesorilor, elevilor și părinților, nota sa a fost cu 10 puncte procentuale mai mare. Acest lucru se datorează exclusiv faptului că cele două numere exprimate sunt procente (74,24% - 64,24%).

Poate că este chiar mai ușor să vezi ce se întâmplă cu un alt exemplu. Să presupunem că două playere mp3 din 100 pe care le fabricați sunt defecte. Aceasta este o rată de defecte de 2%. Acum, dacă îmbunătățiți fiabilitatea, astfel încât doar unul din 100 este defect, aveți o rată de defecte de 1%. Care este diferența procentuală? Rata eșecului a fost redusă cu 50%. Vechea rată de eșec a fost cu 100% mai mare decât noua rată de eșec. Dar diferența în rata de eșec este de 1 punct procentual.

După cum puteți vedea, trebuie să fim atenți la diferențele „procentaj”, deoarece sunt atât de ambigue. Dacă ridic prețul la o pereche de șosete cu 25% și apoi îl scad cu 20% (din noul preț) mai târziu, prețul meu final este același cu prețul inițial. Oamenii de marketing înțelepți folosesc această ambiguitate, cu o formulare subtilă, pentru a da impresia că prețurile de vânzare sunt mai bune decât sunt în realitate.

Vreau să adaug cei 2 cenți ai mei la răspunsul lui Sue. Compararea procentelor poate fi extrem de înșelătoare. Iată un exemplu ipotetic.

Într-o recentă decontare a salariilor, personalul clerical a obținut o creștere de 15%, iar conducerea superioară a crescut cu 10%. Puteți calcula „diferența de procentaj” într-o direcție și puteți obține (15 - 10) / 10 = 50% sau în alt mod și puteți obține (15 - 10) / 15 = 33,3%. Puteți spune chiar că creșterea pentru personalul clerical este cu 5 puncte procentuale mai mare decât creșterea pentru conducerea superioară. Fiecare dintre aceste comparații ignoră totuși faptul că bazele sunt diferite. Personalul clerical are un salariu mediu de 40,00 USD pe an, astfel încât creșterea medie este de 15% din 40.000 USD, care este 6.000 USD pe an, în timp ce salariul mediu al seniorului executiv este de 150.000 USD pe an și, prin urmare, creșterea lor medie este de 10% din 150.000 USD, care este 15.000 USD pe an.


Despre ce este vorba?

O bază este sistemul cu care sunt afișate numerele. Dacă vorbim despre bază, sistemul are n caractere (inclusiv 0) disponibile pentru a afișa un număr. Numerele sunt reprezentate cu cifre mai mici decât n. Prin urmare, 3 în baza-3 este 10: deoarece sistemul respectiv nu are un „3”, începe din nou (1, 2, 10, 11, 12, 20, 21, 22, 100 etc.).

Baza pe care o folosim de obicei este baza-10, pentru că avem 10 (când se includ 0) cifre până când o luăm de la capăt (8,9,10). În baza 2 (binar), avem doar 2 caractere, adică 0 și 1, până când o luăm de la capăt. Urmând acest exemplu, numărul binar 10 este 2 în sistemul nostru (baza-10).


Zona triunghiurilor: folosind baza și înălțimea

Formula ariei unui triunghi este legată de formula ariei unui dreptunghi. Amintiți-vă că aria unui dreptunghi poate fi determinată înmulțind lungimea și lățimea sau baza și înălțimea.

Dacă dreptunghiul este tăiat în jumătate, știm că are un triunghi. Deci aria ar fi jumătate din aria dreptunghiului.

Să folosim formula în câteva exemple.

Ex. 1) Calculați aria triunghiului.

Ex. 2) Calculați aria triunghiului.

Ex. 3) Determinați aria triunghiului.

Ex. 4) Aria triunghiului este de 32 cm 2. Determinați înălțimea.

Pentru a ajuta la vizualizarea cererii acestei probleme, desenați cealaltă jumătate astfel încât să formeze un dreptunghi.


Acest dreptunghi ar avea o suprafață de 64 cm2.

Să trecem în revistă pașii.

Pasul 1: Dublați aria triunghiului. (Aceasta „anulează” împărțirea la 2.)

Pasul 2: Împarte zona nouă la lungimea laterală dată.

Ex. 5) Aria triunghiului este 40 în 2. Determinați lungimea înălțimii.


Nu uitați, dublați zona și apoi împărțiți-o cu lungimea laturii cunoscute.

Pentru a calcula aria unui triunghi, înmulțim baza de ori înălțimea și împărțim la 2. Dacă vi se oferă zona, urmați pașii înapoi. Veți înmulți cu 2 și împărți la lungimea dată.


Implementare recursivă

Să reprezentăm algoritmul mnemonic: (rezultat este un șir sau o variabilă de caractere în care voi acumula cifrele rezultatului pe rând)

  1. rezultat = ""
  2. dacă M & lt N, rezultat = 'M' + rezultat. Stop.
  3. S = M mod N, rezultat = 'S' + rezultat
    M = M / N
  4. du-te la 2

Câteva cuvinte de explicație.

  1. "" este un șir gol. Poate vă amintiți că este un zero element pentru concatenarea șirului.
  2. Aici verificăm dacă procedura de conversie sa încheiat. It's over if M is less than N in which case M is a digit (with some qualification for N>10) and no additional action is necessary. Just prepend it in front of all other digits obtained previously. The '+' plus sign stands for the string concatenation.
  3. If we got this far, M is not less than N. First we extract its remainder of division by N, prepend this digit to the result as described previously, and reassign M to be M/N.
  4. This says that the whole process should be repeated starting with step 2.

I would like to have a function say called Conversion that takes two arguments M and N and returns representation of the number M in base N. The function might look like this

The function is by far longer than its recursive counterpart but, as I said, sometimes it's the one you want to use, and sometimes it's the only one you may actually use.


MathVillage

Finding the volume of a cylinder is the exact same formula!

Volume = (Area of base) &bull height

Volume = (Area of a circle) &bull height

This cylinder has a radius of 4 cm and a height of 10 cm. Find its volume.

This cylinder has a diameter of 6 cm and a height of 9 cm. What is its volume?

First we need to find the radius, so we divide the diameter by 2.

Move the hint slider to 0 to hide the hints and solution. Create a cylinder and then find the volume. Use the slider to check your answer.


Watch the video: Sistemas de Numeração - Como colocar em Base 5 (August 2022).