Articole

4.3: Multiplicare - Matematică

4.3: Multiplicare - Matematică



We are searching data for your request:

Forums and discussions:
Manuals and reference books:
Data from registers:
Wait the end of the search in all databases.
Upon completion, a link will appear to access the found materials.

Definiție: Multiplicare

Care este definiția multiplicării? Adăugare repetată

Common Core a schimbat ușor DE CE în spatele adăugării repetate

Adăugare repetată

Exemplu ( PageIndex {1} )

  1. Pepenii verzi costă 3 dolari pe kilogram. Cât costă un pepene verde care cântărește cinci lire sterline?
    1. Am putea răspunde la această întrebare în două moduri diferite
      1. (5 + 5 + 5 = 5 times 3 = $ 15 ) (3 grupuri de 5)
      2. (3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 3 times 5 = $ 15 ) (5 grupe de 3)
    2. Care metodă este corectă? Numai primul.
    3. De ce? Două motive.
      1. Gândiți-vă mai departe în matematică: (5 ^ {3} = 5 ori 5 ori 5 ), care se potrivește cu modul în care scriem. Rețineți că multiplicarea este comunitară și.
      2. Pepenele verde este subiectul problemei. Greutatea sa este prima problemă. Luăm un pepene verde și apoi ne uităm la preț. 5 lire sterline se înmulțesc la 3 dolari, deoarece avem 5 lire sterline pentru fiecare dolar.
  2. Putem folosi adăugarea repetată pentru zecimale cum ar fi (0,3 ori 6 = 1,8 )
    1. Șase cutii cântăresc 0,3 kilograme fiecare. Care este greutatea totală?
      1. Ești capabil să scrii o repetare de 6, 0,3 ori? Nu. Deci, în schimb, scriem: (6 ori 0,3 = 0,3 + 0,3 + 0,3 + 0,3 + 0,3 + 0,3 = 1,8 )
    2. Ce este 30% din 6 lire sterline?
      1. (6 ori 0,3 = 0,3 + 0,3 + 0,3 + 0,3 + 0,3 + 0,3 = 1,8 ) (6 grupe de 0,3)

Multiplicarea schițării

Common Core este foarte mare în vizualizarea matematicii. Elevii sunt așteptați să facă desene pentru a arăta cum funcționează multiplicarea.

Exemplu ( PageIndex {2} )

Schiță (De 3 ori 2 )

Schiță (2 ori 3 )

Înmulțirea cu zecimale

Exemplu ( PageIndex {3} )

Pasul 1: Înmulțiți 7 la fiecare cifră din numărul de sus de la dreapta la stânga.

Pasul 2: Înmulțiți 4 cu fiecare cifră din numărul de sus de la dreapta la stânga.

Pasul 3: Înmulțiți 2 la fiecare cifră din numărul de sus de la dreapta la stânga.

Pasul 4: Adăuga

Pasul 5: Deplasați zecimala trei puncte spre stânga. Deoarece există trei cifre în dreapta zecimalelor, mutăm zecimala finală trei puncte spre stânga. (numere aldine)

[ begin {array} {r}
123.8 \
times 2.47
hline 28666
49520 \
+247600 \
hline 305. mathbf {786}
end {array} nonumber ]

Probleme de practică

  1. Extindeți (de 7 ori 4 )
  2. Extindeți (2 ori 6 )
  3. Înmulțiți (4,61 ori 7,94 ) (nu rotunjiți)
  4. Înmulțiți (516,4 ori 0,347 ) (nu rotunjiți)

Lecția 3

Într-o lecție anterioară, elevilor li s-a amintit de legătura dintre multiplicare și divizare. Au revizuit ideea diviziunii ca modalitate de a găsi un factor lipsă, care poate fi fie numărul de grupuri, fie dimensiunea unui grup.

În această lecție, elevii interpretează situațiile de diviziune în problemele de poveste care implică grupuri de dimensiuni egale. Ei desenează diagrame și scriu ecuații de divizare și multiplicare pentru a da sens relației dintre mărimile cunoscute și necunoscute (MP2).

Obiectivele de învățare

Să explorăm situații care implică diviziune.

Obiective de învățare

Standarde CCSS

Tipăriți materiale formatate

Profesorii cu o adresă de e-mail de lucru validă pot face clic aici pentru a se înregistra sau a vă conecta pentru acces gratuit la Cool Down, Ghidul profesorului și materialele PowerPoint.

Resurse aditionale

IM 6–8 Math a fost inițial dezvoltat de Open Up Resources și scris de Illustrative Mathematics® și are drept de autor 2017-2019 de Open Up Resources. Este licențiat în baza licenței internaționale Creative Commons Attribution 4.0 (CC BY 4.0). Curriculum-ul nostru de matematică 6-8 este disponibil la https://openupresources.org/math-curriculum/.

Adaptările și actualizările la IM 6-8 Math sunt copyright 2019 de la Illustrative Mathematics și sunt licențiate sub Creative Commons Attribution 4.0 International License (CC BY 4.0).

Adaptările pentru a adăuga suporturi suplimentare pentru cursanții de limbă engleză sunt protejate prin drepturi de autor 2019 de către Open Up Resources și sunt licențiate sub licența internațională Creative Commons Attribution 4.0 (CC BY 4.0).

Al doilea set de evaluări în limba engleză (marcat ca setat „B”) este drept de autor 2019 de către Open Up Resources și este licențiat sub licența Creative Commons Attribution 4.0 International License (CC BY 4.0).

Traducerea în spaniolă a evaluărilor „B” este protejată prin drepturi de autor 2020 de către Illustrative Mathematics și este licențiată sub licența internațională Creative Commons Attribution 4.0 (CC BY 4.0).

Numele și sigla Illustrative Mathematics nu sunt supuse licenței Creative Commons și nu pot fi utilizate fără consimțământul scris și prealabil al Mathematics Illustrative.

Acest site include imagini din domeniul public sau imagini cu licență deschisă, care sunt protejate prin drepturi de autor de către proprietarii respectivi. Imaginile cu licență deschisă rămân în condițiile licențelor respective. Consultați secțiunea de atribuire a imaginii pentru mai multe informații.


Interpretează produsul numărului întreg

Mai întâi asigurați-vă că ne amintim ce înseamnă multiplicare, adică ar trebui să putem interpreta 4 x 3 ca însemnând „patru grupuri de trei”.

Similar cu introducerea tabelelor de înmulțire pentru 2,5 și 10, începem cu numărarea săriturilor, adică 3,6,9, ... și apoi trecem la utilizarea hârtiei cu puncte (puncte în rânduri și coloane pentru a reprezenta totalul).

În cele din urmă, vom introduce proprietatea distributivă pentru multiplicare și # 8211 exprimăm produsul final ca sumă sau diferență a două operații de multiplicare „mai ușoare”. De exemplu:


Memorarea graficului de multiplicare

Deși 100 de fapte pot părea un număr mare de memorat atunci când abia începi să înveți multiplicarea, numărul de fapte care trebuie memorate poate fi redus prin utilizarea anumitor proprietăți de multiplicare.

Proprietatea comutativă a multiplicării

Proprietatea comutativă a multiplicării afirmă că ordinea multiplicării nu contează. Având două numere, a și b:

Putem confirma acest lucru uitându-ne la graficul de înmulțire și văzând că, indiferent dacă ne uităm la faptul de multiplicare 2 și ori 8 = 16 sau 8 și ori 2 = 16, soluția este încă 16. Acest lucru este valabil pentru orice înmulțire. Deoarece ordinea nu contează, trebuie doar să memorăm numerele sub sau deasupra (și inclusiv) diagonala afișată în verde pe diagramă. Această proprietate aproape înjumătățește numărul de fapte de multiplicare pe care trebuie să le memorăm.

Proprietatea identității multiplicării

Proprietatea de identitate a multiplicării afirmă că orice număr a înmulțit cu 1 este egal cu a:

Deoarece 1 înmulțit cu orice număr este acel număr, atâta timp cât cunoaștem această proprietate, nu este necesar să memorăm primul rând sau coloana din graficul de înmulțire.

Înmulțirea cu 10

Datorită naturii sistemului numeric zecimal, înmulțirea oricărui număr întreg cu 10 are ca rezultat același număr întreg cu un 0 adăugat la final. De exemplu, 2 și ori 10 = 20, 20 și ori 10 = 200, 200 și ori 10 = 2000 și așa mai departe. Nu contează care este numărul, înmulțirea cu 10 are ca rezultat o deplasare a poziției zecimale cu o poziție spre dreapta. Deoarece numerele întregi nu au valori zecimale, aceasta înseamnă doar adăugarea unui 0 (Pentru zecimale, punctul zecimal este mutat în locul potrivit). Acest lucru ne permite să eliminăm ultimul rând și coloană din graficul de multiplicare, lăsând următoarele 36 de fapte de multiplicare care trebuie memorate.


Cum se găsește fracția pentru 3/4 înmulțită la 3/4?

Antrenamentul de mai jos, cu calcul pas cu pas, arată cum să găsiți fracția echivalentă pentru 3/4 înmulțită la 3/4.

Problemă și antrenament
Găsiți ce este de 3/4 ori de 3/4 sub formă de fracție?
pasul 1 Adresă formulă, parametrii și valorile de intrare.
Parametri și valori de intrare:
3/4 & 3/4
3/4 x 3/4 =?

pasul 2 Înmulțiți ambii numeratori
= 3 x 3
= 9

pasul 3 Înmulțiți ambii numitori
= 4 x 4
= 16

pasul 4 Folosiți valorile de mai sus ale pasului 2 și amplificatorului 3 și rescrieți ca mai jos
= 9/16

Prin urmare, 9/16 este fracțiune echivalentă pentru 3/4 ori de 3/4.


Multiplicarea seriei de putere pentru a găsi produsul seriei de putere

Anterior am învățat cum să creăm o reprezentare de serie de putere pentru o funcție modificând o serie similară, cunoscută, pentru a se potrivi cu funcția.

Uneori funcția care ni se dă este produsul altor două funcții, cum ar fi

Această funcție este produsul. g (x) = cos. și . h (x) = 1 / (1-x).

Creez cursuri online pentru a vă ajuta să vă loviți cursul de matematică. Citeste mai mult.

Dacă știm deja reprezentările seriei de putere ale. g (x) = cos. și . h (x) = 1 / (1-x). putem înmulți seria de puteri extinse împreună pentru a găsi o reprezentare a seriei de putere a. f (x). de cand . f (x). este produsul. g (x). și . h (x).

Cu alte cuvinte, din moment ce știm deja de la un tabel la seria standard Maclaurin că

. f (x) approx left (1- frac12x ^ 2 + frac1 <24> x ^ 4- frac1 <720> x ^ 6 +. right) left (1 + x + x ^ 2 + x ^ 3 +. Dreapta).

Rețineți, de asemenea, că înmulțirea serie de puteri împreună este la fel ca înmulțirea a două polinoame simple împreună. Folosim proprietatea distributivă din algebră și înmulțim primul termen din prima serie cu toți termenii din seria a doua, apoi înmulțim al doilea termen din prima serie cu toți termenii din seria a doua și așa pe.

. f (x) approx1 left (1 + x + x ^ 2 + x ^ 3 +. right) - frac12x ^ 2 left (1 + x + x ^ 2 + x ^ 3 +. right).

. + frac1 <24> x ^ 4 left (1 + x + x ^ 2 + x ^ 3 +. right) - frac1 <720> x ^ 6 left (1 + x + x ^ 2 + x ^ 3+. Dreapta) +.

Vom colecta termeni similari și vom obține

Nu uitați să enumerați termenii din serie în ordinea crescătoare a gradului, cu orice constantă mai întâi, urmată de. X. urmată de . x ^ 2. . x ^ 3. . x ^ 4. etc.

Pentru majoritatea problemelor de multiplicare a seriilor de putere, ni se va cere să găsim un număr specific de termeni diferiți de zero în reprezentarea extinsă a seriei de putere a. f (x). Având în vedere acest lucru, putem opri efectiv multiplicarea odată ce avem numărul de termeni diferiți de zero care ni s-au solicitat. În exemplul de mai sus, dacă ni s-ar cere primii cinci termeni diferiți de zero, am fi putut înceta să ne înmulțim odată ce am avut tot al nostru. x ^ 4. termeni. Am fi adunat termeni similari pentru toți termenii de gradul al patrulea sau mai mic și am fi dat un răspuns de


Această secțiune oferă sensul multiplicării prin prezentarea unor imagini ale acesteia și a unor tipuri de probleme pe care le rezolvă.

Înmulțirea și adunarea sunt cele două operații aritmetice de bază (împărțirea și scăderea sunt numele operațiilor care & # 8220undo, & # 8221 sau sunt inversele, multiplicare și adunare).

Prezentat cu două seturi distincte & # 8212, cum ar fi setul de două litere roșii (vocale) și trei litere albastre (consoane) prezentate aici. Adăugarea # 8212 indică câte litere sunt în total, iar multiplicarea indică câte combinații de două litere pot să fie făcută începând cu o vocală și terminând cu o consoană. Cele două operații se comportă diferit și răspund la întrebări diferite.

Înmulțirea nu este o adunare repetată În majoritatea programelor de învățământ, înmulțirea este introdusă ca adunare repetată sau adăugarea unor grupuri similare. Înmulțirea poate fi utilizată ca scurtătură & # 8220 & # 8221 pentru adăugarea repetată & # 8212 la fel cum poate fi utilizată pentru rezolvarea multor alte probleme & # 8212, dar asta nu este ceea ce este. În primul rând, de îndată ce studenții trec dincolo de numărarea numerelor, ideea de adăugare repetată nu mai funcționează. (Ce înseamnă să & # 8220 adăugați și # 8221 ceva de două treimi din timp, sau chiar să-i adăugați de zero ori ?!) Mai mult decât atât, unele fapte despre multiplicare și # 8212 cum ar fi comutativitatea, faptul că 4 × 3 = 3 × 4 & # 8212 sunt greu de înțeles folosind adăugarea repetată.

Expresiile 3 × 4 și 4 × 3 pot fi interpretate ca plăci cu cookie-uri. Gândindu-ne doar la adăugarea repetată, am putea calcula totalul cookie-urilor din aceste două imagini ca 3 + 3 + 3 + 3 și 4 + 4 + 4

Fie cu imaginea, fie cu expresiile, nu este altceva decât un miracol că 4 × 3 = 3 × 4. Copiii pot, desigur, rearanja obiecte grupate ca 3 + 3 + 3 + 3 pentru a arăta echivalența cu 4 + 4 + 4, dar este necesară rearanjarea și nu este evidentă. # 8221

Dar dacă aceleași cookie-uri sunt aranjate pe o tavă în rânduri și coloane, este perfect evident că, în orice mod în care ținem tava, numărul de cookie-uri este același. Chiar dacă avem o preferință pentru modul în care etichetăm primele două imagini de mai jos (insistând, de exemplu, că una este 4 × 3 și cealaltă este 3 × 4, ceea ce nu fac matematicienii), nu avem nicio modalitate de a face o astfel de atribuire pentru ultima tavă. 4 × 3 este egal cu 3 × 4, chiar dacă notațiile nu sunt aceleași.

Dacă descriem & # 8220trei farfurii, câte patru cookie-uri fiecare imagine & # 8221 folosind o expresie de adăugare repetată, atunci 4 + 4 + 4 este mai mult & # 8220natural & # 8221 de utilizat decât 3 + 3 + 3 + 3. Dar dacă descriem că imagine cu o expresie de multiplicare, 3 × 4 și 4 × 3 sunt la fel de corecte, nu există o ordine matematic preferată pentru scrierea expresiilor de multiplicare. [1].

Este util și posibil ca tinerii studenți să dezvolte o idee de multiplicare care să supraviețuiască tranziției de la numere întregi la fracții și zecimale. Desigur, este de asemenea util să vedem cum multiplicarea poate simplifica un calcul care altfel ar necesita adăugarea repetată, dar care nu ar trebui să fie imaginea primară a multiplicării și, din acest motiv, de preferință nu prima sa imagine.

În Gândește-te la matematică! multiplicarea este asociată în primul rând cu matrici și intersecții și este conectată destul de devreme cu & # 8220combinații & # 8221 (inclusiv perechi simple) de lucruri: străzi și bulevarde, vocale și consoane în cuvinte din două litere și așa mai departe. Ideea de adunare repetată este prezentată, de asemenea, dar mai târziu, ca un exemplu de alt tip de problemă pe care multiplicarea o rezolvă.

Având în vedere numărul de rânduri și coloane dintr-o matrice dreptunghiulară, înmulțirea ne spune câte elemente sunt în matrice fără a ne face să le numărăm unul câte unul sau să adăugăm în mod repetat (sau să omitem numărul) elementele din fiecare rând sau coloană. Atunci când elementele din rânduri și coloane se întâmplă să fie pătrate aliniate lateral, multiplicarea contează acele pătrate și, prin urmare, ne spune aria dreptunghiului. Această imagine funcționează perfect chiar și pentru fracții și explică algoritmul pentru multiplicarea fracțiilor.

Dacă dreptunghiul trei cu patru este plasat & # 8220nivel & # 8221 într-o direcție, are 3 rânduri și 4 coloane /> dacă îl rotim cu 90 de grade, rândurile devin coloane și coloanele devin rânduri, deci va avea 4 rânduri și 3 coloane />. Dacă este ținut înclinat, nu există nicio regulă care să spună care să apelați rânduri și care să apelați coloane, dar nu contează oricum numărul de pătrate din interior este același. De asemenea, nu contează ordinea în care etichetăm lățimea și lungimea unui dreptunghi: 3 × 4 și 4 × 3 etichetează același dreptunghi, indiferent de modul în care este ținut dreptunghiul. Cele două expresii, 3 × 4 și 4 × 3, denumesc același număr. Combinații: Câte blocuri posibile pot fi realizate cu exact trei culori și patru forme? (Să presupunem că fiecare bloc are o singură culoare și că toate blocurile au aceeași dimensiune.) Întrebările de acest fel sugerează o altă imagine (și utilizare) de multiplicare.

De fapt, multiplicarea este potrivită oricărei situații în care elementele dintr-un set sunt împerecheate în ordine cu elementele unui alt set. Aici, elementele unui set sunt începuturi de & # 8220words & # 8221, iar elementele celuilalt set sunt finaluri.

O aluzie la relația cu algoritmul de multiplicare.

Consultați articolul despre multiplicare și divizare pentru o dezvoltare completă a unui algoritm de multiplicare cu mai multe cifre, care arată cum este o înregistrare fidelă a modelelor de intersecție / zonă prezentate aici.

Spre deosebire de adăugare, care combină doar cantități similare (sute cu sute, unele cu unele), multiplicarea face toate împerecherile (3 × 7, 3 × 40, 3 × 200, 80 × 7, 80 × 40, 80 × 200)

În scopul efectuării unei înmulțiri cu mai multe cifre, imaginea & # 8220intersecțiuni & # 8221 prezentată mai sus este incomodă, deoarece împrăștie produsele parțiale într-un mod care este o neplăcere pentru etapa finală de adăugare necesară. În scopul înțelegerii modului de organizare a calculului, o reprezentare tabelară a combinațiilor este mai ușoară și introduce, de asemenea, modelul matrice / zonă.

Acest mod de gândire despre multiplicarea cu mai multe cifre este baza multiplicării vedice a Indiei. Acesta poate fi un subiect cultural fascinant pentru studenții care au învățat să înmulțească numerele din mai multe cifre.

Matrice și tabelul de înmulțire

La începutul clasei a doua, copiii pot rezolva și se pot bucura de astfel de probleme.

Iată două litere roșii și trei litere albastre: A, I, S, N, T . Câte cuvinte din două litere puteți face începând cu o literă roșie și terminând cu o literă albastră?

Câte turnuri cu două blocuri, exact această formă , poți face cu aceste blocuri?
Iată două exemple: . Câți alții poți face?

Copiii pot efectua experimentele, creând combinații reale și își pot inventa propriul sistem de înregistrare a acestor combinații. În cazul cuvintelor din două litere, este suficient să scrieți cuvintele. Cu turnurile, copiii le-ar putea desena sau ar putea indica combinațiile de culori într-un mod mai abstract. Când numărul posibilităților este suficient de mic, așa cum este și cu cuvintele din două litere, elevii de clasa a II-a găsesc rapid toate posibilitățile.

Intersecțiile ca model pentru realizarea unei liste organizate

Atunci când numărul posibilităților este mai mare, așa cum se întâmplă cu problema blocului-turn, copiii tind să rateze combinațiile sau să le enumere dublu, cu excepția cazului în care sunt sistematice.


Iată o modalitate de a vizualiza perechile în aceste două experimente. Fiecare intersecție reprezintă o combinație. Simbolul × în sine este conectat la imaginea de intersecție, încrucișarea liniilor.


Copiii pot & # 8220 conduce & # 8221 degetul de-a lungul & # 8220A strada & # 8221 și & # 8220N bulevard & # 8221 și pot eticheta semaforul la acea intersecție & # 8220an. & # 8221 Pot verifica dacă au un turn pentru fiecare intersecție: de albastru-jos și roșu-vârf, de exemplu. Când elevii de clasa a II-a efectuează mai întâi aceste experimente, ei învață cum să facă liste sistematice, nu despre multiplicare. Dar putem vedea unde duce acest lucru: intersecțiile, ele însele, detaliază combinațiile pe care le caută copiii și îi ajută să vadă cum să organizeze acele liste, numărul de intersecții poate fi găsit prin multiplicare, iar copiii primesc o previzualizare a acestor multiplicări idei.

Tabelele ca model pentru realizarea unei liste organizate

Tabelele sunt la fel de bune pentru reprezentarea combinațiilor și organizarea sarcinii de listare a acestora. Celulele din interiorul tabelului (și evitând cu atenție confuzia cu celulele & # 8220header & # 8221 de deasupra fiecărei coloane și în stânga fiecărui rând) arată din nou modul în care multiplicarea răspunde la întrebare & # 8220 câte împerechere pot fi făcute?

Matematica folosește pe larg atât structurile & tabelele # 8212, cât și liniile care se intersectează & # 8212.

Înmulțirea este adesea reprezentată de matrice de pătrate adiacente & # 8212 modelul de zonă # 8220 & # 8221 de multiplicare & # 8212 sau de matrice de puncte sau alte obiecte mici. Primele seamănă mai mult vizual cu interiorul tabelelor, acestea din urmă seamănă mai mult cu intersecțiile. Ancoră

Construirea faptelor de bază

Primii pasi

Când vedem aceleași tripluri de numere și # 8212 3, 5, 15 4, 3, 12 2, 5, 10 6, 4, 24 și # 8212 apar în diferite contexte, încep să se simtă familiare chiar înainte de orice efort conștient pentru a le memora. De fapt, efortul concentrat, deliberat, care pare a fi necesar pentru unele triple (cum ar fi 7, 8, 56) poate fi tocmai pentru că există atât de puține contexte naturale în care aceste triple apar altfel. Multe experiențe non-școlare ajută la construirea tabelului de 5 ori: experiența de a spune timpul în câteva minute pe ceas, manipularea monedelor, observarea unei mâini & # 8217. Următoarele idei prezintă mai multe contexte pentru aceleași fapte de bază pentru a varia practica (pentru ao menține interesantă și pentru a construi o bogată varietate de imagini), astfel încât, în momentul în care copiii încearcă să memoreze fapte de multiplicare, ei sunt deja atât de familiarizați cu cele mai frecvente cele pe care le știu & # 8220cold, & # 8221, iar numărul de fapte rămase care necesită memorare memorată este destul de mic (doar cincisprezece!).

Dublarea și înjumătățirea

În clasa întâi, copiii învață să dubleze ([[aritmetica mentală | mental]) toate numerele întregi până la 12. Elevii de clasa a II-a practică aceste dubluri de bază în continuare folosindu-le, împreună cu ideile lor de dezvoltare a valorii locului, pentru a dubla (mental) întregul numerele până la 50. Copiii din aceste clase învață, de asemenea, să găsească jumătate din numerele pare care rezultă dintr-o astfel de dublare.

Tablouri mici

În Gândește-te la matematică!, a doua jumătate a clasei a II-a oferă elevilor o mulțime de experiență cu matrici mici din care pot memora mici fapte de multiplicare. Într-o activitate, profesorul ar putea să susțină o matrice ca aceasta și să întrebe & # 8220Câte rânduri? Câte coloane? Câte pătrățele? & # 8221

Studenții care nu sunt încă fluenți cu adaosul ar putea folosi adunarea sau să nu mai numere pentru a afla numărul de pătrate. Asocierea dimensiunilor matricei & # 8212 numărul de rânduri și coloane & # 8212 cu numărul de pătrate mici stabilește un fapt de multiplicare.

Profesorul ar putea să dețină aceeași matrice în această orientare și să pună aceleași întrebări.

Rândurile și coloanele sunt schimbate, dar numărul pătratelor rămâne același.

Profesorul poate face un joc plin de viață variind ce matrice este menținută (2 × 3, 3 × 3, 4 × 5 etc., niciodată cu mai mult de 5 rânduri sau coloane, deoarece numerele mai mari sunt prea greu de recunoscut fără numărare obositoare), iar studenții ajung destul de repede să-și amintească câte pătrate din aceste dreptunghiuri familiare.

Faptul că un dreptunghi, ținut orizontal sau vertical, are același număr de pătrate mici în interiorul său oferă o înțelegere grafică de ce multiplicarea este comutativă.


Liniile verticale și orizontale care se intersectează oferă o altă imagine pentru multiplicare & # 8212 2 linii verticale traversează 3 linii orizontale în 6 intersecții & # 8212 și un alt context în care să repetiți faptele. S-ar putea să le deseneze sau să se joace cu cărți transparente, încercând mai întâi să prezică numărul de intersecții și apoi suprapunând transparențele pentru a le număra direct pentru a le testa predicțiile. De asemenea, cărțile cu sloturi sunt distractive. Copiii aleg o pereche și, la fel ca în cazul transparențelor, încearcă să imagineze numărul de intersecții înainte de a experimenta efectiv, plasând o carte deasupra celeilalte pentru a vedea dacă predicția lor a fost corectă. Dacă o carte cu 2 sloturi verticale este plasată deasupra unei cărți cu 5 sloturi orizontale, putem vedea prin stratul dublu doar la cele 10 intersecții.

Intersecții pentru a clarifica înmulțirea cu 0 și 1. & # 8220 Imaginați-vă un oraș mic, cu trei drumuri care merg spre est-vest & # 8230 & # 8221 Măriți degetul prin aer orizontal pentru a ajuta la descrierea a ceea ce înseamnă & # 8220 est-vest & # 8221. Apoi & # 8220desenați & # 8221 încă două drumuri est-vest, chiar în aer, pentru ca copiii să-și poată imagina în cap. Mai târziu, tu sau un copil le veți desena de fapt pe tablă. & # 8221 & # 8230 și un singur drum care merge spre nord-sud. & # 8221

În aer, indicați cu degetul drumul nord-sud.

Să desenăm o hartă a acestui mic oraș. Iată drumurile est-vest. & # 8221

Desenați o graniță neregulată pentru oraș și trageți în ea trei linii orizontale paralele dintr-o parte a orașului în cealaltă parte (și care se extind ușor în afara graniței orașului pentru a indica faptul că continuă să meargă în regiunile învecinate).

& # 8220 Pe hartă, drumurile arată doar ca trei linii orizontale. Cine ar dori să deseneze drumul nord-sud? & # 8221

S-ar putea să indicați din nou direcția cu degetul în aer, dar nu direct pe hartă. Invitați pe cineva să deseneze.

& # 8220 Orașul pune un semnal de stop la fiecare intersecție (indică intersecțiile). Câte stopuri există? & # 8221

& # 8220 Ce se întâmplă dacă orașul ar construi un alt drum est-vest? Câte intersecții ar face asta? & # 8221

Înmulțirea oricărui număr cu 1 dă acel număr înmulțind orice număr cu 0 dă 0. Copiii cărora li se învață doar ca reguli de memorat, fără o oarecare înțelegere, deseori distrug regulile, confundându-le între ele. (Are 1 ori un număr dă 1 sau numărul?) Imaginea orașului mic ajută la stabilirea de ce de 1 ori orice număr dă acel număr. (Cu o singură linie verticală, numărul de intersecții va fi același cu numărul de linii orizontale.)


Cardurile cu 0 până la 5 sloturi în ele pot fi, de asemenea, deosebit de utile. Când o carte cu un singur slot vertical este plasată deasupra unei cărți cu trei sloturi orizontale, cele trei intersecții apar ca singura & # 8220fenestre & # 8221 prin perechea de cărți. Schimbarea cărții care este plasată deasupra sau care este verticală și orizontală nu face nicio diferență. Dacă o carte are un singur slot, numărul de intersecții se va potrivi cu numărul de sloturi din cealaltă carte atunci când acestea sunt suprapuse (iar celelalte sloturi sunt perpendiculare pe slotul unic). Imaginea slotului arată în mod clar de ce multiplicarea cu 0 dă întotdeauna 0.

Această lecție oferă o oportunitate plăcută de a folosi cuvintele orizontală și verticală în context și de a conecta utilizarea lor ca direcții pe hărți cu Est, Vest, Nord și Sud ca direcții pe pământ. (A se vedea orizontală și verticală pentru confuzii comune despre ideile pe care aceste cuvinte le reprezintă.)

Construirea unui tabel de înmulțire

Un proiect al elevilor pentru clasa a doua: Elevii folosesc o grilă care este așezată ca un tabel de înmulțire, dar nu are un rând sau o coloană pentru zero. Folosind o bucată de hârtie în formă de L înapoi, selectează o parte a grilei din colțul din dreapta jos al selecției, scriu numărul de pătrate pe care le-au capturat (care este același cu aria dreptunghiului dacă fiecare micul pătrat reprezintă o unitate pătrată de suprafață).

Observați că numărul din partea de sus cea mai apropiată de limita albastră dă lățimea dreptunghiului verde, numărul de coloane de pătrate numărul din stânga cel mai apropiat de limita albastră dă înălțimea dreptunghiului verde, numărul de rânduri pe care le are.

Dacă deplasăm limita drept în jos cu un pas, adăugăm un rând nou fără a modifica numărul de pătrate pe rând.

Acest mod de gândire spune că 6 (numărul de pătrate din dreptunghiul anterior, 2 × 3) plus 3 (numărul de pătrate din noul rând) este egal cu 9 (numărul de pătrate din noul dreptunghi). Un alt mod de a descrie noul dreptunghi este 3 × 3. Deci 2 × 3 + 3 = 3 × 3.

Acest dreptunghi are aceeași lățime și înălțime, deci este un pătrat. Numărul din colț (numărul de pătrate mici din interiorul său) este, prin urmare, numit număr pătrat.

O mișcare diagonală & # 8212 un pas & # 8220Sud & # 8221 și un pas & # 8220East & # 8221 (sau un pas în jos și un pas spre dreapta) & # 8212 dă un alt număr pătrat.

Două trepte diagonale sud-est oferă un alt număr pătrat.

Interesant, dacă începeți de la un număr pătrat (în acest caz, 16) și faceți un pas spre nord-est

numărul rezultat este cu exact 1 mai mic decât numărul pătrat pe care ați pornit. Acest exemplu arată dreptunghiul 3 × 5 conține un pătrat mai puțin decât dreptunghiul 4 & # 2154. Consultați articolul despre diferența de pătrate pentru mai multe despre acest model interesant și un alt mod deosebit de eficient pentru elevi de a practica fapte în timp ce dezvoltă idei matematice noi și utile.

Simetria tabelului de înmulțire

Numărarea pătratelor din dreptunghiuri arată clar de ce 3 × 4 = 4 × 3. Ambele sunt modalități de a descrie acest dreptunghi />. Și chiar dacă decidem să rezervăm una dintre aceste notații pentru />iar cealaltă notație pentru />, cei doi ar fi totuși egali.

Deoarece multiplicarea este comutativă & # 8212, adică pentru că 2 × 6 = 6 × 2 și 3 × 5 = 5 × 3, și așa mai departe & # 8212 tabelul de înmulțire este simetric în jurul diagonalei nord-vest-sud-est. Această diagonală, galbenă în aceste ilustrații, conține numerele pătrate.

Scăpând de numerele și săgețile care distrag atenția, vedem trei regiuni: diagonala cu numere pătrate, regiunea verde cu alte produse și regiunea albă, cu aceleași numere care sunt în regiunea verde.

Aceasta este o veste foarte bună pentru oricine încearcă să memoreze faptele de multiplicare! (A se vedea Câte fapte de învățat? De mai jos.)

Înmulțind cu 10 și 100

În construcție: 7 tije sunt 70 de cuburi mici

Înmulțind cu 5 și 50

Copiii care se pot înmulți cu 10 și pot lua jumătate pot folosi acele abilități pentru a se înmulți cu 5. De exemplu, 7 × 5 este jumătate din 7 × 10, deci este 35. În cele din urmă, 7 × 5 ar trebui să fie recunoscut singur & # 8212 unul dintre faptele de bază & # 8220 & # 8221 și # 8212, dar procedura în doi pași (înmulțind cu 10 și apoi luând jumătate din rezultat) este valoroasă de știut și o conexiune bună de realizat cu 5- ori fapte. În mod similar, știind că 50 este jumătate din 100, putem vedea că 50 șapte este jumătate din 100 șapte, deci 50 × 7 este jumătate din 100 × 7: putem înmulți orice număr cu 50 înmulțind cu 100 și apoi luând jumătate. Copiii care învață acest lucru bine se pot înmulți cu ușurință 18 × 5 în capul lor gândind & # 8220 jumătate de 180. & # 8221 Deoarece multiplicarea și împărțirea se pot face în oricare ordine cu același rezultat, am putea lua mai întâi jumătate (din 18) și apoi se înmulțește cu 10.

Câte fapte să învețe?

Dacă se înțelege înmulțirea cu zero și unul, acele fapte (albastru deschis) nu trebuie memorate. Dacă simetria tabelului este înțeleasă (3 × 4 = 4 × 3, proprietatea comutativă a înmulțirii), acele fapte (albastru închis) nu trebuie memorate. Până când copiii lucrează la practica faptelor, numerele pătrate (galbene) sunt deja învățate, iar faptele & # 8220 ușor & # 8221 (roz) sunt deja învățate (dubluri, înmulțire cu 10 și înmulțire cu 5). În acel moment, mai rămân de memorat doar 15 fapte și # 8212 cele în verde & # 8212.


Relația de multiplicare și adăugare

Scrieți două expresii diferite care pot fi descrise de diagrama de bandă prezentată. O expresie ar trebui să includă adunare, în timp ce cealaltă ar trebui să includă multiplicare.

Exerciții
1. Scrieți propoziția de adunare care descrie modelul și propoziția de multiplicare care descrie modelul.

2. Scrieți o expresie echivalentă pentru a demonstra relația de multiplicare și adunare.
A. 6 + 6
b. 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3
c. 4 + 4 + 4 + 4 + 4
d. 6 și ori 2
e. 4 și ori 6
f. 3 și ori 9
g. h + h + h + h + h
h. 6y

3. Roberto nu este familiarizat cu diagramele de bandă și crede că poate arăta relația de multiplicare și adunare pe o linie numerică. Ajutați-l pe Roberto să demonstreze că expresia 3 și ori 2 este echivalentă cu 2 + 2 + 2 pe o linie numerică.

4. Spuneți dacă următoarele propoziții numerice sunt adevărate sau false. Apoi explică-ți raționamentul.
A. x + 6g - 6g = x
b. 2f - 4e + 4e = 2f

5. Scrieți o expresie echivalentă pentru a demonstra relația dintre adunare și multiplicare.
A. 6 + 6 + 6 + 6 + 4 + 4 + 4
b. d + d + d + w + w + w + w
c. a + a + b + b + b + c + c + c + c

Încercați calculatorul gratuit Mathway și rezolvarea problemelor de mai jos pentru a practica diverse subiecte matematice. Încercați exemplele date sau introduceți propria problemă și verificați răspunsul cu explicații pas cu pas.

Vă mulțumim pentru feedback, comentarii și întrebări despre acest site sau pagină. Vă rugăm să trimiteți feedback-ul sau întrebările dvs. prin intermediul paginii noastre de feedback.


Cum se găsește fracția pentru 3/4 înmulțită la 8?

Antrenamentul de mai jos cu calcul pas cu pas arată cum să găsiți fracția echivalentă pentru înmulțirea 3/4 cu un număr întreg 8.

Problemă și antrenament
Găsiți ce este de 3/4 ori a 8 sub formă de fracție?
pasul 1 Adresă formulă, parametrii și valorile de intrare.
Parametri și valori de intrare:
3/4 & 8/1
3/4 x 8 =?

pasul 2 Înmulțiți ambii numeratori
= 3 x 8
= 24

pasul 3 Înmulțiți ambii numitori
= 4 x 1
= 4

pasul 4 Utilizați valorile de mai sus ale pasului 2 și amplificatorului 3 și rescrieți ca mai jos
= 24/4

Prin urmare, 24/4 este fracțiune echivalentă pentru 3/4 ori de 8, iar termenul său simplificat este 6/1.


4.3: Multiplicare - Matematică

Acestea sunt câteva dintre secretele practice în viteza de calcul matematică mentală. Cunoașterea acestora vă poate ajuta să aflați răspunsuri la majoritatea activităților zilnice ale vieții care implică cifre. Există multe tehnici utile de matematică, trucuri și secrete care pot fi valoroase în munca sau studiul zilnic. Cunoașterea acestor comenzi rapide este cheia vitezei și preciziei de calcul în Aptitudinea dvs. matematică mentală. Acest lucru poate fi util în aplicații precum teste de IQ, teste de aptitudini, teste de solicitare a locurilor de muncă, teste militare, teste de admitere la facultate și multe alte utilizări în birou, la locul de muncă sau în propria casă.


SCURCURI ÎN MULTIPLICAȚIE:

Înmulțirea folosind multipli
12 x 15
= 12 x 5 x 3
= 60 x 3
= 180

Înmulțirea prin distribuție
12 x 17
= (12 x 10) + (12 x 7) --- & gt 12 se înmulțește la ambele 10 și amp 7
= 120 + 84
= 204

Înmulțirea prin „a da și a lua”
12 x 47
= 12 x (50 - 3)
= (12 x 50) - (12 x 3)
= 600 - 36
= 564

Înmulțirea cu 5 - & gt ia jumătatea (0,5) apoi înmulțește cu 10
428 x 5
= (428 x 1/2) x 10 = 428 x 0,5 x 10
= 214 x 10
= 2140

Înmulțirea cu 10 --- & gt mutați doar punctul zecimal cu un loc la dreapta
14 x 10
= 140 --- & gt a adăugat un zero

Înmulțirea cu 50 --- & gt ia jumătate (0,5) apoi înmulțește cu 100
18 x 50
= (18/2) x 100 = 18 x 0,5 x 100
= 9 x 100
= 900

Înmulțirea cu 100 --- & gt deplasează punctul zecimal două poziții spre dreapta
42 x 100
= 4200 --- & gt au adăugat două zerouri

Înmulțirea cu 500 --- & gt ia jumătate (0,5) apoi înmulțește cu 1000
21 x 500
= 21/2 x 1000
= 10,5 x 1000
= 10500

Înmulțirea cu 25 --- & gt utilizează analogia $ 1 = 4 x 25 de cenți
25 x 14
= (25 x 10) + (25 x 4) --- & gt 250 + 100 --- & gt 2,50 $ + 1 $
= 350

Înmulțirea cu 25 --- & gt se împarte la 4 apoi se înmulțește cu 100
36 x 25
= (36/4) x 100
= 9 x 100
= 900

Înmulțirea cu 11 dacă suma cifrelor este mai mică de 10
72 x 11
= 7_2 --- & gt termenul mediu = 7 + 2 = 9
= plasează termenul mediu 9 între 7 și amp 2
= 792

Înmulțirea cu 11 dacă suma cifrelor este mai mare decât 10
87 x 11
= 8_7 --- & gt termenul mediu = 8 + 7 = 15
deoarece termenul mediu este mai mare de 10, folosiți 5 atunci
adăugați 1 la primul termen 8, ceea ce duce la răspunsul lui
= 957

Înmulțirea lui 37 cu seria 3, 6, 9 până la 27 de numere - & gt „efectul triplu”
rezolva 37 x 3
înmulțiți 7 cu 3 = 21, cunoscând ultima cifră (1), combinați încă două 1, oferind răspunsul de trei cifre 111

rezolvați 37 x 9
înmulțiți 7 cu 9 = 63, știind ultima cifră (3), combinați încă două 3, dând răspunsul de trei cifre 333
rezolva 37 x 21
multiply 7 by 21 = 147, knowing the last digit (7), just combine two more 7's giving the triple digit answer 777

Multiplication of the "dozen teens" group of numbers --
(i.e. 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19) by ANY of the numbers within the group:
solve 14 x 17
4 x 7 = 28 remember 8, carry 2
14 + 7 = 21
add 21 to whats is carried (2)
giving the result 23
form the answer by combinig 23 to what is remembered (8)
giving the answer 238

Multiplication of numbers ending in 5 with difference of 10
45 x 35
first term = [(4 + 1) x 3] = 15 (4 is the first digit of 45 and 3 is the first digit of 35 --> add 1 to the higher first digit which is 4 in this case, then multiply the result by 3, giving 15)
last term = 75
combining the first term and last term,
= 1575

75 x 85
first term = (8 + 1) x 7 = 63
last term = 75
combining first and last terms,
= 6375

Multiplication of numbers ending in 5 with the same first terms (square of a number)
25 x 25
first term = (2 + 1) x 2 = 6
last term = 25
answer = 625 ---> square of 25

75 x 75
first term = (7 + 1) x 7 = 56
last term = 25
answer = 5625 ---> 75 squared



SHORTCUTS IN DIVISION:

Division by parts ---> imagine dividing $874 between two persons
874/2
= 800/2 + 74/2
= 400 + 37
= 437

Division using the factors of the divisor: "double division"
70/14
= (70/7)/2 ---> 7 and 2 are the factors of 14
= 10/2
= 5

Division by using fractions:
132/2
= (100/2 + 32/2) ---> break down into two fractions
= (50 + 16)
= 66

Division by 5 ---> divide by 100 then multiply by 20
1400/5
= (1400/100) x 20
= 14 x 20
= 280

Division by 10 ---> move the decimal point one place to the left
0.5/10
= 0.05 ---> 5% is 50% divided by ten

Division by 50 ---> divide by 100 then multiply by 2
2100/50
= (2100/100) x 2
= 21 x 2
= 42

700/50
= (700/100) x 2
= 7 x 2
= 14

Division by 100 ---> move the decimal point two places to the left
25/100
= 0.25

Division by 500 ---> divide by 100 then multiply by 0.2
17/500
= (17/100) x 0.2
= 0.17 x 0.2
= 0.034

Division by 25 ---> divide by 100 then multiply by 4
500/25
= (500/100) x 4
= 5 x 4
= 20

750/25
= (750/100) x 4
= 7.5 x 2 x 2
= 30



SHORTCUTS IN ADDITION:

Addition of numbers close to multiples of ten (e.g. 19, 29, 89, 99 etc.)
116 + 39
= 116 + (40 - 1)
= 116 + 40 - 1 ---> add 40 then subtract 1
= 156 - 1
= 155

116 + 97
= 116 + (100 - 3)
= 116 + 100 - 3 ---> add 100 then subtract 3
= 216 - 3
= 213

Addition of decimals
12.5 + 6.25
= (12 + 0.5) + (6 + 0.25)
= 12 + 6 + 0.5 + 0.25 ---> add the integers then the decimals
= 18 + 0.5 + 0.25
= 18.75



SHORTCUTS IN SUBTRACTION:

Subtraction by numbers close to 100, 200, 300, 400, etc.
250 - 96
= 250 - (100 - 4)
= 250 - 100 + 4 ---> subtract 100 then add 4
= 150 + 4
= 154

250 - 196
= 250 - (200 - 4)
= 250 - 200 + 4 ---> subtract 200 then add 4
= 50 + 4
= 54

216 - 61
= 216 - (100 - 39)
= 216 - 100 + 39
= 116 + (40 - 1) ---> now the operation is addition, which is much easier
= 156 - 1
= 155

Subtraction of decimals
47 - 9.9
= 47 - (9 + 0.9) ---> "double subtraction"
= 47 - 9 - 0.9 ---> subtract the integer first then the decimal
= 38 - 0.9
= 37.1

18.3 - 0.8
= 18 + 0.3 - 0.8
= (18 - 0.8) + 0.3 ---> subtract 0.8 from 18 first
= 17.2 + 0.3
= 17.5



WORKING ON PERCENTAGES:

30% of 120
= 10% x 3 x 120 ---> it is much easier working with tens (10%)
= 10% x 120 x 3
= 12 x 3
= 36

five percent of a number: 5%
360 x 5%
= 360 x 10%/2 ---> take the 10% and divide by 2
= 36/2
= 18

360 x 5%
= 360 x 50%/10 ---> take the half(0.5) and divide by 10
= (360/2)/10
= 180/10
= 18

ninety percent of a number: 90%
90% of 700
= (100% - 10%) x 700
= (100% x 700) - (10% x 700) ---> 100% minus 10% of the number
= 700 - 70
= 630

What is 18 as a percentage of 50?
= 18/50
= (18/100) x 2 ---> method: division by 50 (explained above)
= 0.18 x 2
= 0.36
= 36%

What is 132 as a percentage of 200?
= 132/200
= (132/2)/100
= [100/2 + 32/2]/100 ---> solution by "double division"
= (50 + 16)/100
= 66/100
= 0.66
= 66%

What is 270 as a percentage of 300?
= 270/300
= [(270/3)/100] ---> "double division" (using the factors of 300)
= 90/100
= 90%

What is 17 as percentage of 500?
= 17/500
= (17/50)/10
= (17/100) x 2/10 ---> solution using the procedure: division by 50
= (0.17 x 2)/10
= 0.34/10
= 0.034
= 3.4 %

percentages close to 100:
95% of 700
= (100% - 5%) x 700
= (100% x 700) - (5% x 700)
= 700 - (10% x 700/2) -------> 5% is 10%/2
= 700 - 70/2
= 700 - 35
= 665

percentages less than 10 percent:
3% of 70
= (3/100) x 70
= (70/100) x 3 ---> divide by 100 then multiply the percent value
= 0.7 x 3
= 2.1

To convert or express percentages as decimals, divide by 100 or simply just move the decimal point by two places to the left of the given number, thus:

1% = 1/100 = 0.01
2% = 2/100 = 0.02 = 1/50
3% = 3/100 = 0.03
4% = 4/100 = 0.04 = 1/25
5% = 5/100 = 0.05 = 1/20
6.25% = 6.25/100 = 0.0625 = 1/16
7% = 7/100 = 0.07
7.5% = 7.5/100 = 0.075
10% = 10/100 = 0.1 = 1/10
12.5% = 12.5/100 = 0.125 = 1/8
20% = 0.2 = 1/5
21% = 0.21
25% = 0.25 = 1/4
30% = 0.3 = 3/10
33.33% = 33.33/100 = 0.3333 = 1/3
37.5% = 0.375 = 3/8
40% = 0.4 = 2/5
50% = 0.5 = 1/2
60% = 0.6 = 3/5
62.5% = 0.625 = 5/8
66.66% = 66.66/100 = 2/3
75% = 0.75 = 3/4
80% = 0.8 = 4/5
87.5% = 0.875 = 7/8
100% = 1
125% = 1.25 = 1 1/4
150% = 1.5 = 1 1/2
200% = 2

What is three quarters of 80?
= 3/4 x 80
= (80/4) x 3 ---> divide by 4 then multiply by 3
= 20 x 3
= 60

How many quarters in two and a half?
2.5/.25
= 10 ---> there are 10 quarters in $2.50

4/3 = 1 1/3 = 1.3333 = 133.33% ---> useful number for volume of sphere, etc.

9/5 = 1 4/5 = 1.8 = 180% ---> conversion factor for Celsius/Fahrenheit temperatures


Priveste filmarea: Andregradslikning nr. 2 (August 2022).