Articole

3.2: Grafic ecuații liniare în două variabile - Matematică

3.2: Grafic ecuații liniare în două variabile - Matematică



We are searching data for your request:

Forums and discussions:
Manuals and reference books:
Data from registers:
Wait the end of the search in all databases.
Upon completion, a link will appear to access the found materials.

obiective de invatare

Până la sfârșitul acestei secțiuni, veți putea:

  • Trasați punctele într-un sistem de coordonate dreptunghiular
  • Graficați o ecuație liniară prin reprezentarea punctelor
  • Grafică linii verticale și orizontale
  • Găsiți interceptările x și y
  • Graficează o linie folosind interceptările

Înainte de a începe, susțineți acest test de pregătire.

  1. Evaluează (5x − 4 ) când (x = −1 ).
    Dacă ați ratat această problemă, examinați [legătură].
  2. Evaluează (3x − 2y ) când (x = 4, y = −3 ).
    Dacă ați ratat această problemă, examinați [legătură].
  3. Rezolvați pentru (y: 8−3y = 20 ).
    Dacă ați ratat această problemă, examinați [legătură].

Trageți puncte pe un sistem de coordonate dreptunghiulare

La fel cum hărțile folosesc un sistem de rețea pentru a identifica locațiile, un sistem de rețea este utilizat în algebră pentru a arăta o relație între două variabile într-un sistem de coordonate dreptunghiular. Sistemul de coordonate dreptunghiulare se mai numește și X y-plan sau „planul de coordonate”.

Sistemul de coordonate dreptunghiulare este format din două linii numerice intersectate, una orizontală și una verticală. Linia numerică orizontală se numește X-axă. Linia numerică verticală se numește y-axă. Aceste axe împart un plan în patru regiuni, numite cadrane. Cadrantele sunt identificate prin cifre romane, începând din dreapta sus și continuând în sens invers acelor de ceasornic. Vedea Figura.

În sistemul de coordonate dreptunghiulare, fiecare punct este reprezentat de un pereche comandată. Primul număr din perechea ordonată este X-coordonata punctului, iar al doilea număr este y-coordonat punctului. Expresia „pereche ordonată” înseamnă că ordinea este importantă.

PERECHE COMANDATĂ

Un pereche comandată, (x, y) (x, y) dă coordonatele unui punct într-un sistem de coordonate dreptunghiular. Primul număr este X-coordona. Al doilea număr este y-coordona.

Care este perechea ordonată a punctului în care se încrucișează axele? În acel moment ambele coordonate sunt zero, deci perechea ordonată este ((0,0) ). Punctul ((0,0) ) are un nume special. Se numește origine.

ORIGINEA

Punctul ((0,0) ) se numește origine. Este punctul în care X-axa și y-axa se intersectează.

Folosim coordonatele pentru a localiza un punct pe X y-avion. Să reprezentăm punctul ((1,3) ) ca exemplu. Mai întâi, localizați 1 pe X-Axa și schițează ușor o linie verticală prin (x = 1 ). Apoi, localizați 3 pe y-xați și schițați o linie orizontală prin y = 3.y = 3. Acum, găsiți punctul în care se întâlnesc aceste două linii - acesta este punctul cu coordonatele ((1,3) ). Vedea Figura.

Observați că linia verticală prin (x = 1 ) și linia orizontală prin (y = 3 ) nu fac parte din grafic. Le-am folosit doar pentru a ne ajuta să localizăm punctul ((1,3) ).

Când una dintre coordonate este zero, punctul se află pe una dintre axe. În Figura punctul ((0,4) ) este pe y-axis și punctul ((- 2,0) ) este pe X-axă.

Figura ( PageIndex {3} )

PUNCTE PE AXE

Puncte cu a y-coordonate egale cu 0 sunt pe X-axis și au coordonate ((a, 0) ).

Puncte cu un X-coordonate egale cu 0 sunt pe y-axis și au coordonate ((0, b) ).

Exemplu ( PageIndex {1} )

Trasați fiecare punct în sistemul de coordonate dreptunghiulare și identificați cadranul în care este situat punctul:

Ⓐ ((- 5,4 )) ⓑ ((- 3, −4) ) ⓒ ((2, −3) ) ⓓ ((0, −1) ) ⓔ ((3 , dfrac {5} {2}) ).

Răspuns

Primul număr al perechii de coordonate este X-coordonat, iar al doilea număr este y-coordona. Pentru a trasa fiecare punct, schițați o linie verticală prin X-coordonată și o linie orizontală prin y-coordona. Intersecția lor este punctul.

Ⓐ Deoarece (x = −5 ), punctul este în stânga y-axă. De asemenea, din moment ce (y = 4 ), punctul este deasupra X-axă. Punctul ((- 5,4) ) se află în Quadrant II.

Ⓑ Deoarece (x = −3 ), punctul este în stânga y-axă. De asemenea, din moment ce (y = −4 ), punctul este sub X-axă. Punctul ((- 3, −4) ) se află în Cuadrantul III.

Ⓒ Deoarece (x = 2 ), punctul este în dreapta y-axă. Deoarece (y = −3 ), punctul este sub X-axă. Punctul ((2, −3) ) se află în Cuadrantul IV.

Ⓓ Deoarece (x = 0 ), punctul ale cărui coordonate sunt ((0, −1) ) se află pe y-axă.

Ⓔ Deoarece (x = 3 ), punctul este în dreapta y-axă. Deoarece (y = dfrac {5} {2}) ), punctul este deasupra X-axă. (Poate fi util să scrieți ( dfrac {5} {2}) ) ca număr mixt sau zecimal.) Punctul ((3, dfrac {5} {2}) ) este în Cadrantul I .

Exemplu ( PageIndex {2} )

Trasați fiecare punct într-un sistem de coordonate dreptunghiular și identificați cadranul în care este situat punctul:

Ⓐ ((- 2,1) ) ⓑ ((- 3, −1) ) ⓒ ((4, −4) ) ⓓ ((- 4,4) ) ⓔ ((- 4, dfrac {3} {2}) )

Răspuns

Exemplu ( PageIndex {3} )

Trasați fiecare punct într-un sistem de coordonate dreptunghiular și identificați cadranul în care este situat punctul:

Ⓐ ((- 4,1) ) ⓑ ((- 2,3) ) ⓒ ((2, −5) ) ⓓ ((- 2,5) ) ⓔ ((- 3 , dfrac {5} {2}) )

Răspuns

Semnele X-coordonat și y-coordonatul afectează locația punctelor. Este posibil să fi observat unele tipare în timp ce ați grafic punctele din exemplul anterior. Putem rezuma modelele de semne ale cadranelor în acest fel:

Cadrele

Cuadrantul ICuadrantul IICuadrantul IIICuadrantul IV
((X y))((X y))((X y))((X y))
((+,+))((−,+))((−,−))((+,−))

Până în prezent, toate ecuațiile pe care le-ați rezolvat erau ecuații cu o singură variabilă. În aproape toate cazurile, când ați rezolvat ecuația, ați obținut exact o soluție. Dar ecuațiile pot avea mai multe variabile. Ecuațiile cu două variabile pot avea forma (Ax + By = C ). O ecuație a acestei forme se numește a ecuație liniară în două variabile.

ECUAȚIE LINIARĂ

O ecuație de forma (Ax + By = C ), unde A și B nu sunt ambele zero, se numește a ecuație liniară în două variabile.

Iată un exemplu de ecuație liniară în două variabile, X și y.

Ecuația (y = −3x + 5 ) este, de asemenea, o ecuație liniară. Dar nu pare să aibă forma (Ax + By = C ). Putem folosi Proprietatea de adaos a egalității și o putem rescrie în formularul (Ax + By = C ).

[ begin {array} {ll} {} & {y} & = & {- 3x + 5} { text {Adăugați pe ambele părți.}} & {y + 3x} & = & {3x + 5 + 3x} { text {Simplify.}} & {Y + 3x} & = & {5} { text {Utilizați proprietatea comutativă pentru ao introduce}} & {} & {} & { } {Ax + By = C text {form.}} & {3x + y} & = & {5} end {array} nonumber ]

Rescriind (y = −3x + 5 ) ca (3x + y = 5 ), putem vedea cu ușurință că este o ecuație liniară în două variabile, deoarece are forma (Ax + By = C ). Când o ecuație are forma (Ax + By = C ), spunem că este în formă standard a unei ecuații liniare.

FORMA STANDARD DE ECUAȚIE LINEARĂ

O ecuație liniară este în forma standard când este scris (Ax + By = C ).

Majoritatea oamenilor preferă să aibă A, B, și C să fie numere întregi și (A geq 0 ) atunci când scrieți o ecuație liniară în formă standard, deși nu este strict necesar.

Ecuațiile liniare au infinit de multe soluții. Pentru fiecare număr înlocuit X există un corespunzător y valoare. Această pereche de valori este a soluţie la ecuația liniară și este reprezentată de perechea ordonată ((x, y) ). Când substituim aceste valori ale X și y în ecuație, rezultatul este o afirmație adevărată, deoarece valoarea din partea stângă este egală cu valoarea din partea dreaptă.

Soluția unei ecuații liniare în două variante

O pereche ordonată ((x, y) ) este a soluţie a ecuației liniare (Ax + By = C ), dacă ecuația este o afirmație adevărată atunci când X- și y-valorile perechii ordonate sunt substituite în ecuație.

Ecuațiile liniare au infinit de multe soluții. Putem trasa aceste soluții în sistemul de coordonate dreptunghiulare. Punctele se vor alinia perfect în linie dreaptă. Conectăm punctele cu o linie dreaptă pentru a obține graficul ecuației. Punem săgeți la capetele fiecărei părți a liniei pentru a indica faptul că linia continuă în ambele direcții.

Un grafic este o reprezentare vizuală a tuturor soluțiilor ecuației. Este un exemplu al zicalei: „O imagine valorează o mie de cuvinte”. Linia vă arată toate soluțiile la acea ecuație. Fiecare punct de pe linie este o soluție a ecuației. Și, fiecare soluție a acestei ecuații se află pe această linie. Această linie se numește graficul ecuației. Puncte nu pe linie nu sunt soluții!

GRAFICA UNEI ECUAȚII LINEARE

Graficul unei ecuații liniare (Ax + By = C ) este o linie dreaptă.

  • Fiecare punct de pe linie este o soluție a ecuației.
  • Fiecare soluție a acestei ecuații este un punct pe această linie.

Se arată graficul (y = 2x − 3 ).

Pentru fiecare pereche comandată, decideți:

Ⓐ Este perechea ordonată o soluție la ecuație?

Ⓑ Este punctul de pe linie?

A: ((0, −3) ) B: ((3,3) ) C: ((2, −3) ) D: ((- 1, −5) )

Răspuns

Înlocuiți X- și y-valori în ecuație pentru a verifica dacă perechea ordonată este o soluție la ecuație.

Ⓑ Trasați punctele ((0, −3) ), ((3,3) ), ((2, −3) ) și ((- 1, −5) ).

Punctele ((0,3) ), ((3, −3) ) și ((- 1, −5) ) sunt pe linia (y = 2x − 3 ) și punctul ((2, −3) ) nu este pe linie.
Punctele care sunt soluții la (y = 2x − 3 ) sunt pe linie, dar punctul care nu este o soluție nu este pe linie.

Exemplu ( PageIndex {5} )

Utilizați graficul lui (y = 3x − 1 ). Pentru fiecare pereche comandată, decideți:

Ⓐ Este perechea ordonată o soluție la ecuație?
Ⓑ Este punctul de pe linie?

A ((0, −1) ) B ((2,5) )

Răspuns

Ⓐ da ⓑ da

Exemplu ( PageIndex {6} )

Utilizați graficul lui (y = 3x − 1 ). Pentru fiecare pereche comandată, decideți:

Ⓐ Este perechea ordonată o soluție la ecuație?
Ⓑ Este punctul de pe linie?

A ((3, −1) ) B ((- 1, −4) )

Răspuns

Ⓐ nu ⓑ da

Grafică o ecuație liniară prin reprezentarea punctelor

Există mai multe metode care pot fi utilizate pentru a grafica o ecuație liniară. Prima metodă pe care o vom folosi se numește puncte de trasare sau Metoda de punctare a punctelor. Găsim trei puncte ale căror coordonate sunt soluții la ecuație și apoi le trasăm într-un sistem de coordonate dreptunghiular. Conectând aceste puncte într-o linie, avem graficul ecuației liniare.

Exemplu ( PageIndex {7} ): Cum să graficați o ecuație liniară prin reprezentarea punctelor

Graficați ecuația (y = 2x + 1 ) trasând puncte.

Răspuns

Exemplu ( PageIndex {8} )

Graficați ecuația trasând puncte: (y = 2x − 3 ).

Răspuns

Exemplu ( PageIndex {9} )

Graficați ecuația trasând puncte: (y = −2x + 4 ).

Răspuns

Pașii de urmat atunci când se grafizează o ecuație liniară prin trasarea punctelor sunt rezumate aici.

GRAFICAȚI O ECUAȚIE LINEARĂ PRIN TRASAREA PUNCTELOR

  1. Găsiți trei puncte ale căror coordonate sunt soluții la ecuație. Organizați-le într-un tabel.
  2. Trasați punctele într-un sistem de coordonate dreptunghiular. Verificați dacă punctele se aliniază. În caz contrar, verificați-vă cu atenție munca.
  3. Trageți linia prin cele trei puncte. Extindeți linia pentru a umple grila și puneți săgeți pe ambele capete ale liniei.

Este adevărat că este nevoie doar de două puncte pentru a determina o linie, dar este un obicei bun să folosești trei puncte. Dacă trageți doar două puncte și unul dintre ele este incorect, puteți trage totuși o linie, dar nu va reprezenta soluțiile la ecuație. Va fi linia greșită.

Dacă folosiți trei puncte, iar unul este incorect, punctele nu se vor alinia. Acest lucru vă spune că ceva nu este în regulă și trebuie să vă verificați munca. Uită-te la diferența dintre aceste ilustrații.

Când o ecuație include o fracțiune ca coeficient de x, putem înlocui orice numere pentru X. Dar aritmetica este mai ușoară dacă facem alegeri „bune” pentru valorile X. Astfel vom evita răspunsurile fracționate, care sunt greu de graficat cu precizie.

Exemplu ( PageIndex {10} )

Graficați ecuația: (y = frac {1} {2} x + 3 ).

Răspuns

Găsiți trei puncte care sunt soluții la ecuație. Deoarece această ecuație are fracția ( dfrac {1} {2} ) ca coeficient de X, vom alege valori de X cu grija. Vom folosi zero ca o singură alegere și multiplii de 2 pentru celelalte opțiuni. De ce multiplele a două sunt o alegere bună pentru valorile de X? Prin alegerea multiplilor a 2, înmulțirea cu ( dfrac {1} {2} ) se simplifică la un număr întreg

Punctele sunt afișate în Masa.

(y = frac {1} {2} x + 3 )
Xy((X y))
03((0,3))
24((2,4))
45((4,5))

Trageți punctele, verificați dacă se aliniază și trageți linia.

Exemplu ( PageIndex {11} )

Graficați ecuația: (y = frac {1} {3} x − 1 ).

Răspuns

Exemplu ( PageIndex {12} )

Graficați ecuația: (y = frac {1} {4} x + 2 ).

Răspuns

Grafică linii verticale și orizontale

Unele ecuații liniare au o singură variabilă. S-ar putea să aibă doar X si nu y, sau doar y fără o X. Aceasta schimbă modul în care facem un tabel de valori pentru a obține punctele de trasat.

Să luăm în considerare ecuația (x = −3 ). Această ecuație are o singură variabilă, X. Ecuația spune că X este mereu egală cu (- 3 ), deci valoarea sa nu depinde de y. Indiferent care este valoarea y, valoarea a X este întotdeauna (- 3 ).

Deci, pentru a crea un tabel de valori, scrieți (- 3 ) în toate X-valori. Apoi alegeți orice valori pentru y. De cand X nu depinde de y, puteți alege orice numere doriți. Dar pentru a se potrivi punctelor din graficul nostru de coordonate, vom folosi 1, 2 și 3 pentru y-coordonati. Vedea Masa.

(x = −3 )
Xy((X y))
(−3)1((−3,1))
(−3)2((−3,2))
((−3,))3((−3,3))

Trasați punctele din tabel și conectați-le cu o linie dreaptă. Observați că am graficat un linie verticala.

Ce se întâmplă dacă ecuația are y dar nu X? Să graficăm ecuația (y = 4 ). De data aceasta y-valoarea este o constantă, deci în această ecuație, y nu depinde de X. Completați 4 pentru toate yEste în Masa și apoi alegeți orice valori pentru X. Vom folosi 0, 2 și 4 pentru X-coordonati.

(y = 4 )
Xy((X y))
04((0,4))
24((2,4))
44((4,4))

În această figură, am reprezentat graficul a linie orizontală trecând prin y-axa la 4.

LINII VERTICALE ȘI ORIZONTALE

A linie verticala este graficul unei ecuații a formei (x = a ).

Linia trece prin X-axa la ((a, 0) ).

A linie orizontală este graficul unei ecuații a formei (y = b ).

Linia trece prin y-axa la ((0, b) ).

Exemplu ( PageIndex {13} )

Grafic: ⓐ (x = 2 ) ⓑ (y = −1 ).

Răspuns

Ⓐ Ecuația are o singură variabilă, X, și X este întotdeauna egal cu 2. Creăm un tabel în care X este întotdeauna 2 și apoi introduceți orice valori pentru y. Graficul este o linie verticală care trece prin X-axa la 2.

x = 2x = 2
Xy(x, y) (x, y)
21(2,1)(2,1)
22(2,2)(2,2)
23(2,3)(2,3)

Ⓑ În mod similar, ecuația y = −1y = −1 are o singură variabilă, y. Valoarea a y este constantă. Toate perechile ordonate din tabelul următor au același lucru y-coordona. Graficul este o linie orizontală care trece prin y-axa la −1. − 1.

(y = −1 )
Xy((X y))
0(−1)((0,−1))
3(−1)((3,−1))
(−3)(−1)((−3,−1))

Exemplu ( PageIndex {14} )

Graficați ecuațiile: ⓐ (x = 5 ) ⓑ (y = −4 ).

Răspuns

Exemplu ( PageIndex {15} )

Graficați ecuațiile: ⓐ (x = −2 ) ⓑ (y = 3 ).

Răspuns

Care este diferența dintre ecuațiile (y = 4x ) și (y = 4 )?

Ecuația (y = 4x ) are ambele X și y. Valoarea a y depinde de valoarea X, asa ca y-modificări coordonate în funcție de valoarea lui X. Ecuația (y = 4 ) are o singură variabilă. Valoarea a y este constantă, nu depinde de valoarea lui X, asa ca y-coordonatul este întotdeauna 4.

Observați, în grafic, ecuația (y = 4x ) dă o linie înclinată, în timp ce (y = 4 ) oferă o linie orizontală.

Exemplu ( PageIndex {16} )

Graficați (y = −3x ) și (y = −3 ) în același sistem de coordonate dreptunghiulare.

Răspuns

Observăm că prima ecuație are variabila X, în timp ce al doilea nu. Facem un tabel de puncte pentru fiecare ecuație și apoi graficăm liniile. Sunt prezentate cele două grafice.

Exemplu ( PageIndex {17} )

Graficați ecuațiile din același sistem de coordonate dreptunghiulare: (y = −4x ) și (y = −4 ).

Răspuns

Exemplu ( PageIndex {18} )

Graficați ecuațiile din același sistem de coordonate dreptunghiulare: (y = 3 ) și (y = 3x ).

Răspuns

Găsi X- și y-interceptări

Fiecare ecuație liniară poate fi reprezentată printr-o linie unică care arată toate soluțiile ecuației. Am văzut că atunci când graficați o linie prin reprezentarea punctelor, puteți utiliza oricare dintre trei soluții pentru a grafica. Aceasta înseamnă că două persoane care graficează linia ar putea folosi seturi diferite de trei puncte.

La prima vedere, este posibil ca cele două linii ale acestora să nu pară aceleași, deoarece ar avea etichete diferite. Dar dacă toată lucrarea a fost făcută corect, liniile ar trebui să fie exact la fel. O modalitate de a recunoaște că sunt într-adevăr aceeași linie este să te uiți unde trece linia X-axa și y-axă. Aceste puncte se numesc interceptări ale unei linii.

INTERCEPTELE O LINIE

Punctele în care o linie trece X-axa și y-axii se numesc interceptări ale liniei.

Să vedem graficele liniilor.

În primul rând, observați unde fiecare dintre aceste linii traversează X-axă. Vedea Masa.

Acum, să ne uităm la punctele în care aceste linii traversează y-axă.

FiguraLinia trece
X-axa la:
Pereche comandată
pentru acest punct
Linia trece
y-axă la:
Pereche comandată
pentru acest punct
Figura (a)3((3,0))6((0,6))
Figura (b)4((4,0))−3−3((0,−3))
Figura (c)5((5,0))−5−5((0,5))
Figura (d)0((0,0))0((0,0))
Figura generalăA ((a, 0) )b ((0, b) )

Vedeți un model?

Pentru fiecare linie, y-coordonata punctului în care linia traversează X-axa este zero. Punctul în care linia traversează X-axa are forma (a, 0) (a, 0) și se numește interceptare x a liniei. X-interceptul apare atunci când y este zero.

În fiecare linie, X-coordonata punctului în care linia trece y-axa este zero. Punctul în care linia traversează y-axa are forma (0, b) (0, b) și se numește y-interceptare a liniei. y-interceptul apare atunci când X este zero.

-INTERCEPTUL O LINIE

X-intercept este punctul (a, 0) (a, 0) în care linia traversează X-axă.

y-intercept este punctul (0, b) (0, b) unde linia traversează y-axă.

Exemplu ( PageIndex {16} )

Găsi X- și y-interceptări pe fiecare grafic prezentat.

Răspuns

Ⓐ Graficul traversează X-axa la punctul ((4,0) ). X-interceptarea este ((4,0) ).
Graficul traversează y-axa la punctul ((0,2) ). y-intercept este ((0,2) ).

Ⓑ Graficul traversează X-axa la punctul ((2,0) ). X-intercept este ((2,0) ).
Graficul traversează y-axa la punctul ((0, −6) ). y-intercept este ((0, −6) ).

Ⓒ Graficul traversează X-axa la punctul ((- 5,0) ). X-intercept este ((- 5,0) ).
Graficul traversează y-axa la punctul ((0, −5) ). y-intercept este ((0, −5) ).

Exemplu ( PageIndex {17} )

Găsi X- și y-interceptări pe grafic.

Răspuns

X-intercept: ((2,0) ),
y-intercept: ((0, −2) )

Exemplu ( PageIndex {18} )

Găsi X- și y-interceptări pe grafic.

Răspuns

X-intercept: ((3,0) ),
y-intercept: ((0,2) )

Recunoscând că X-interceptul apare atunci când y este zero și că y-interceptul apare atunci când X este zero, ne oferă o metodă pentru a găsi interceptările unei linii din ecuația sa. Pentru a găsi X-intercept, lasă (y = 0 ) și rezolvă pentru X. Pentru a găsi y-intercept, let (x = 0 ) și rezolvați pentru y.

-INTERCEPTE DIN ECUAȚIA UNEI LINE

Folosiți ecuația liniei. A găsi:

  • X-interceptarea liniei, let (y = 0 ) și rezolvați pentru X.
  • y-interceptarea liniei, let (x = 0 ) și rezolvare pentru y.

Găsiți interceptările: (3x + y = 12 ).

Răspuns

X-intercept: ((4,0) ),
y-intercept: ((0,12) )

Exemplu ( PageIndex {21} )

Găsiți interceptările: (x + 4y = 8 ).

Răspuns

X-intercept: ((8,0) ),
y-intercept: ((0,2) )

Graficează o linie folosind interceptările

Pentru a grafica o ecuație liniară trasând puncte, trebuie să găsiți trei puncte ale căror coordonate sunt soluții la ecuație. Puteți utiliza X- și y- interceptează ca două din cele trei puncte ale tale. Găsiți interceptările, apoi găsiți un al treilea punct pentru a vă asigura acuratețea. Asigurați-vă că punctele se aliniază - apoi trageți linia. Această metodă este adesea cel mai rapid mod de a grafica o linie.

EXEMPLU ( PageIndex {22} ): Cum să graficați o linie utilizând interceptările

Grafică (- x + 2y = 6 ) folosind interceptările.

Răspuns

EXEMPLU ( PageIndex {23} )

Grafic folosind interceptările: (x – 2y = 4 ).

Răspuns

EXEMPLU ( PageIndex {24} )

Grafic folosind interceptările: (- x + 3y = 6 ).

Răspuns

Pașii pentru a grafica o ecuație liniară folosind interceptările sunt rezumate aici.

GRAFICAȚI O ECUAȚIE LINEARĂ FOLOSIND INTERCEPTELE

  1. Găsi X- și y-interceptări ale liniei.
    • Fie y = 0y = 0 și rezolvați pentru X.
    • Fie x = 0x = 0 și rezolvați pentru y.
  2. Găsiți o a treia soluție la ecuație.
  3. Trageți cele trei puncte și verificați dacă acestea se aliniază.
  4. Desenați linia.

EXEMPLU ( PageIndex {25} )

Grafică (4x − 3y = 12 ) folosind interceptările.

Răspuns

Găsiți interceptările și un al treilea punct.

Enumerăm punctele din tabel și prezentăm graficul.

(4x − 3y = 12 )
Xy((X y))
30((3,0))
0(−4)((0,−4))
64((6,4))

EXEMPLU ( PageIndex {26} )

Grafic folosind interceptările: (5x − 2y = 10 ).

Răspuns

EXEMPLU ( PageIndex {27} )

Grafic folosind interceptările: (3x − 4y = 12 ).

Răspuns

Când linia trece prin origine, X-intercept și y-interceptul este același punct.

EXEMPLU ( PageIndex {28} )

Grafică (y = 5x ) folosind interceptările.

Răspuns

Această linie are o singură interceptare. Este punctul ((0,0) ).
Pentru a asigura precizia, trebuie să trasăm trei puncte. Din moment ce X- și y-interceptările sunt același punct, avem nevoie Două mai multe puncte pentru a grafica linia.

Cele trei puncte rezultate sunt rezumate în tabel.

(y = 5x )
Xy((X y))
00((0,0))
15((1,5))
(−1)(−5)((−1,−5))

Trageți cele trei puncte, verificați dacă se aliniază și trageți linia.

EXEMPLU ( PageIndex {29} )

Grafic folosind interceptările: (y = 4x ).

Răspuns

EXEMPLU ( PageIndex {30} )

Graficați interceptările: (y = −x ).

Răspuns

Concepte cheie

  • Puncte pe axe
    • Puncte cu a y-coordonate egale cu (0 ) sunt pe X-axis și au coordonate ((a, 0) ).
    • Puncte cu un X-coordonate egale cu (0 ) sunt pe y-axis și au coordonate ((0, b) ).
  • Cuadrant
    Cuadrantul ICuadrantul IICuadrantul IIICuadrantul IV
    ((X y))((X y))((X y))((X y))
    ((+,+))((-,+))((-,-))((+,-))

  • Graficul unei ecuații liniare: Graficul unei ecuații liniare (Ax + By = C ) este o linie dreaptă.
    Fiecare punct de pe linie este o soluție a ecuației.
    Fiecare soluție a acestei ecuații este un punct pe această linie.
  • Cum să graficăm o ecuație liniară prin reprezentarea punctelor.
    1. Găsiți trei puncte ale căror coordonate sunt soluții la ecuație. Extindeți linia pentru a umple grila și puneți săgeți pe ambele capete ale liniei.
  • X-intercept și y-interceptarea unei linii
    • X-intercept este punctul ((a, 0) ) unde linia traversează X-axă.
    • y-intercept este punctul ((0, b) ) unde linia traversează y-axă.

  • Găsi X- și y-intercepte din ecuația unei linii
    • Folosiți ecuația liniei. A găsi:
      X-interceptarea liniei, let (y = 0 ) și rezolvați pentru X.
      y-interceptarea liniei, let (x = 0 ) și rezolvare pentru y.
  • Cum să graficăm o ecuație liniară folosind interceptările.
    1. Găsi X- și y-interceptări ale liniei.
      Fie (y = 0 ) și rezolvăm pentru X.
      Fie (x = 0 ) și rezolvăm pentru y.
    2. Găsiți o a treia soluție la ecuație.
    3. Trageți cele trei puncte și verificați dacă acestea se aliniază.
    4. Desenați linia

Glosar

linie orizontală
O linie orizontală este graficul unei ecuații de forma y = b.y = b. Linia trece prin y-axa la (0, b). (0, b).
interceptări ale unei linii
Punctele în care o linie trece X-axa și y-axiile se numesc interceptările liniei.
ecuație liniară
O ecuație de forma Ax + By = C, Ax + By = C, unde A și B nu sunt ambele zero, se numește ecuație liniară în două variabile.
pereche comandată
O pereche ordonată, (x, y) (x, y) dă coordonatele unui punct într-un sistem de coordonate dreptunghiular. Al doilea număr este y-coordona.
origine
Punctul (0,0) (0,0) se numește origine. Este punctul în care X-axa și y-axa se intersectează.
soluția unei ecuații liniare în două variabile
O pereche ordonată (x, y) (x, y) este o soluție a ecuației liniare Ax + By = C, Ax + By = C, dacă ecuația este o afirmație adevărată atunci când X- și y-valorile perechii ordonate sunt substituite în ecuație.
formă standard a unei ecuații liniare
O ecuație liniară este în formă standard atunci când este scris Ax + By = C.Ax + By = C.
linie verticala
O linie verticală este graficul unei ecuații de forma x = a.x = a. Linia trece prin X-axa la (a, 0).

3.2: Grafic ecuații liniare în două variabile - Matematică

În această secțiune, revizuim o tehnică complet algebrică pentru rezolvarea sistemelor, metoda de substituție A înseamnă rezolvarea unui sistem liniar prin rezolvarea uneia dintre variabile și substituirea rezultatului în cealaltă ecuație. . Ideea este de a rezolva o ecuație pentru una dintre variabile și de a înlocui rezultatul în cealaltă ecuație. După efectuarea acestui pas de substituție, rămânem cu o singură ecuație cu o singură variabilă, care poate fi rezolvată folosind algebră.

Exemplul 1

Rezolvați pentru oricare dintre variabile în oricare dintre ecuații. Dacă alegeți prima ecuație, puteți izola y într-un singur pas.

Înlocuiți expresia - 2 x - 3 pentru variabilă y în alte ecuaţie.

Acest lucru ne lasă o ecuație echivalentă cu o singură variabilă, care poate fi rezolvată folosind tehnicile învățate până în acest moment. Rezolvați pentru variabila rămasă.

3 x - 2 (- 2 x - 3) = - 8 3 x + 4 x + 6 = - 8 7 x + 6 = - 8 7 x = - 14 x = - 2

Înlocuire înapoi Odată ce s-a găsit o valoare pentru o variabilă, înlocuiți-o înapoi într-una din ecuațiile originale sau echivalentul acesteia, pentru a determina valoarea corespunzătoare a celeilalte variabile. pentru a găsi cealaltă coordonată. Substitui X = −2 în oricare dintre ecuațiile originale sau echivalentele lor. De obicei, folosim ecuația echivalentă pe care am găsit-o când izolăm o variabilă în primul pas.

y = - 2 x - 3 = - 2 (- 2) - 3 = 4 - 3 = 1

Nu uitați să prezentați soluția ca o pereche ordonată: (- 2, 1). Verificați dacă aceste coordonate rezolvă ambele ecuații ale sistemului original:

2 x + y = - 3 2 (- 2) + (1) = - 3 - 4 + 1 = - 3 - 3 = - 3 ✓

3 x - 2 y = - 8 3 (- 2) - 2 (1) = - 8 - 6 - 2 = - 8 - 8 = - 8 ✓

Urmează graficul acestui sistem liniar:

Metoda de substituție pentru rezolvarea sistemelor este o metodă complet algebrică. Astfel, nu este necesară graficarea liniilor.

Exemplul 2

Nu contează ce variabilă alegem să izolăm mai întâi. În acest caz, începeți prin rezolvarea pentru X în prima ecuație.

3 x - 5 y = 9 3 x = 5 y + 9 x = 5 y + 9 3 x = 5 3 y + 3

Apoi, înlocuiți în a doua ecuație și rezolvați pentru y.

4 (5 3 y + 3) + 2 y = - 1 20 3 y + 12 + 2 y = - 1 26 3 y = - 13 y = - 13 (3 26) y = - 3 2

Înlocuiți înapoi în ecuația utilizată în etapa de substituție:

x = 5 3 y + 3 = 5 3 (- 3 2) + 3 = - 5 2 + 3 = 1 2

Incearca asta! Rezolvați prin substituție: <5 x - 4 y = 3 x + 2 y = 2.

După cum știm, nu toate sistemele liniare au o singură soluție de pereche ordonată. Apoi, vom explora ce se întâmplă atunci când se utilizează metoda de substituție pentru a rezolva un sistem dependent.

Exemplul 3

Deoarece prima ecuație are un termen cu coeficientul 1, alegem să rezolvăm mai întâi acest lucru.

Apoi, înlocuiți această expresie cu y în a doua ecuație.

10 x - 2 y = 2 10 x - 2 (5 x - 1) = 2 10 x - 10 x + 2 = 2 2 = 2 T r u e

Acest proces a condus la o afirmație adevărată, prin urmare ecuația este o identitate și orice număr real este o soluție. Acest lucru indică faptul că sistemul este dependent. Soluțiile simultane iau forma (x, m x + b) sau, în acest caz, (x, 5 x - 1), unde X este orice număr real.

Pentru a înțelege mai bine exemplul anterior, rescrieți ambele ecuații în formă de interceptare a pantei și graficați-le pe același set de axe.

Putem vedea că ambele ecuații reprezintă aceeași linie și, astfel, sistemul este dependent. Acum explorați ce se întâmplă atunci când rezolvați un sistem inconsistent folosind metoda de substituție.

Exemplul 4

Rezolvă pentru y în prima ecuație.

- 7 x + 3 y = 3 - 7 x + 3 y = 3 3 y = 7 x + 3 y = 7 x + 3 3 y = 7 3 x + 1

Înlocuiți în a doua ecuație și rezolvați.

14 x - 6 y = - 16 14 x - 6 (7 3 x + 1) = - 16 14 x - 6 2 ⋅ 7 3 1 x - 6 = - 16 14 x - 14 x - 6 = - 16 - 6 = - 16 F alse

Rezolvarea duce la o afirmație falsă. Acest lucru indică faptul că ecuația este o contradicție. Nu există nicio soluție pentru X și, prin urmare, nicio soluție la sistem.

O afirmație falsă indică faptul că sistemul este inconsistent sau, în termeni geometrici, că liniile sunt paralele și nu se intersectează. Pentru a ilustra acest lucru, determinați forma interceptării pantei fiecărei linii și graficați-le pe același set de axe.

În formă de interceptare a pantelor, este ușor de văzut că cele două linii au aceeași pantă, dar diferite y-interceptări.

Incearca asta! Rezolvați prin substituție: <2 x - 5 y = 3 4 x - 10 y = 6.


Întrebare 1. Formați perechea de ecuații liniare în următoarele probleme și găsiți soluțiile lor grafic.

Soluţie:
Fie ca numărul de fete și băieți din clasă să fie x și respectiv y.
Conform condițiilor date, avem:
x + y = 10
x & # 8211 y = 4
x + y = 10 ⇒ x = 10 & # 8211 y
Trei soluții ale acestei ecuații pot fi scrise într-un tabel după cum urmează:

x & # 8211 y = 4 ⇒ x = 4 + y
Trei soluții ale acestei ecuații pot fi scrise într-un tabel după cum urmează:

Reprezentarea grafică este după cum urmează:

Din grafic, se poate observa că cele două linii se intersectează între ele în punctul (7, 3).
Deci, x = 7 și y = 3.
Astfel, numărul de fete și băieți din clasă este de 7 și respectiv 3.

Fie costul unui creion și al unui stilou să fie Rs x și respectiv Rs y.
Conform condițiilor date, avem:
5x + 7y = 50
7x + 5y = 46

Trei soluții ale acestei ecuații pot fi scrise într-un tabel după cum urmează:


Trei soluții ale acestei ecuații pot fi scrise într-un tabel după cum urmează:

Reprezentarea grafică este după cum urmează:

Din grafic, se poate observa că cele două linii se intersectează între ele în punctul (3, 5).
Deci, x = 3 și y = 5.
Prin urmare, costul unui creion și al unui stilou sunt Rs 3 și respectiv Rs 5.

Concept Insight: Citiți cu atenție întrebarea și examinați care sunt necunoscutele. Reprezentați condițiile date cu ajutorul ecuațiilor luând cantitățile necunoscute ca variabile. De asemenea, precizați cu atenție variabilele, deoarece întreaga soluție se bazează pe ea. Pe hârtia cu grafic, marcați punctele cu precizie și îngrijire folosind un creion ascuțit. De asemenea, luați cel puțin trei puncte care îndeplinesc cele două ecuații pentru a obține dreapta corectă a ecuației. Deoarece unirea oricăror două puncte dă o linie dreaptă și dacă unul dintre puncte este calculat incorect, va da o linie greșită și luarea celui de-al treilea punct va da o linie corectă. Punctul în care cele două linii drepte se vor intersecta va da valorile celor două variabile, adică soluția celor două ecuații liniare. Indicați punctul de soluție.

Intrebarea 2. La compararea rapoartelor A1/A2 , b1/b2 și c1/c2, aflați dacă liniile care reprezintă următoarele perechi de ecuații liniare se intersectează într-un punct, sunt paralele sau coincidente.
(i) 5x & # 8211 4y + 8 = 0, 7x + 6y & # 8211 9 = 0
(ii) 9x + 3y + 12 = 0, 18x + 6y + 24 = 0
(iii) 6X – 3y + 10 = 0 , 2Xy + 9 = 0

Soluţie:
(i) 5x & # 8211 4y + 8 = 0
7x + 6y & # 8211 9 = 0
Comparând aceste ecuații cu a1x + b1y + c1 = 0 și a2x + b2y + c2 = 0,
primim:

De cand , perechea dată de ecuații se intersectează exact la un punct.

(ii) 9x + 3y + 12 = 0
18x + 6y + 24 = 0
Comparând aceste ecuații cu a1x + b1y + c1 = 0 și a2x + b2y + c2 = 0, obținem:

De cand , perechea dată de ecuație este coincidentă.

(iii) 6X – 3y + 10 = 0
2Xy + 9 = 0
Comparând aceste ecuații cu a1x + b1y + c1 = 0 și a2x + b2y + c2 = 0, obținem:

De cand , perechea dată de ecuație este paralelă una cu cealaltă.

Concept Insight: Pentru a răspunde la astfel de întrebări, amintiți-vă condiția ca perechea de ecuații liniare să fie intersectate, paralele sau coincidente. De asemenea, în timp ce scrieți coeficienții, nu uitați să luați semnele.

Întrebare 3. La compararea raporturilor ( frac < _ <1 >> < _ <1 >> = frac < _ <2 >> < _ <2 >> = frac < _ <3 >> < _ <3 >> ) aflați dacă următoarea pereche de ecuații liniare sunt consistente sau inconsistente.
(i) 3X + 2y = 5 2X – 3y = 7
(ii) 2X – 3y = 8 4X – 6y = 9
(iii) 3/2X + 5/3y = 7 9X – 10y = 14
(iv) 5X – 3y = 11 – 10X + 6y = –22
(v) 4/3X + 2y =8 2X + 3y = 12


De cand , perechea dată de ecuație are o singură soluție.
Astfel, perechea de ecuații liniare este consecventă.

Astfel, perechea de ecuații liniare este inconsistentă.

Astfel, perechea de ecuații liniare este consecventă.

Astfel, perechea de ecuații liniare este consecventă.

Astfel, perechea de ecuații liniare este consecventă.

Concept Insight: Dacă o pereche de ecuații liniare are una sau mai multe soluții, atunci se spune că sunt consistente și dacă nu au soluție, atunci se spune că sunt inconsistente. Deci, pentru a identifica consistența unei perechi de ecuații date, aplicați condițiile care implică coeficienții perechii de ecuații date. În cazul în care sunt trasate două ecuații liniare consistente, ele se vor intersecta sau se vor suprapune.

Întrebare 4. Care dintre următoarele perechi de ecuații liniare sunt consistente / inconsistente? Dacă este consecvent, obțineți soluția grafic:
(i) X + y = 5, 2X + 2y = 10
(ii) Xy = 8, 3X – 3y = 16
(iii) 2X + y – 6 = 0, 4X – 2y – 4 = 0
(iv) 2X – 2y – 2 = 0, 4X – 4y – 5 = 0

Soluţie:

Astfel, perechea de ecuații liniare este consecventă.
Acum, x + y = 5 ⇒ x = 5 & # 8211 y
Trei soluții ale acestei ecuații pot fi scrise într-un tabel după cum urmează:


Trei soluții ale acestei ecuații pot fi scrise într-un tabel după cum urmează:

Astfel, reprezentarea grafică este următoarea:

Din grafic, se poate observa că cele două linii coincid. Astfel, perechea dată de ecuații are soluții infinite.
Fie x = k, apoi y = 5 & # 8211 k. Deci, perechea ordonată (k, 5 & # 8211 k), unde k este o constantă, va fi soluția perechii date de ecuații liniare.

Astfel, perechea de ecuații liniare este inconsistentă.

Astfel, perechea de ecuații liniare este consecventă.
Acum, 2x + y & # 8211 6 = 0 ⇒ y = 6 & # 8211 2x
Trei soluții ale acestei ecuații pot fi scrise într-un tabel după cum urmează:


Trei soluții ale acestei ecuații pot fi scrise într-un tabel după cum urmează:

Astfel, reprezentarea grafică este următoarea:

Din grafic, se poate observa că cele două linii se intersectează între ele în punctul (2, 2). Astfel, soluția perechii date de ecuații este (2, 2).

Astfel, perechea de ecuații liniare este inconsistentă.

Concept Insight: Dacă o pereche de ecuații liniare are una sau mai multe soluții, atunci se spune că sunt consistente și dacă nu au soluție, atunci se spune că sunt inconsistente. Graficul fiecărei ecuații poate fi reprezentat grafic luând cel puțin trei perechi ordonate care sunt soluțiile ecuațiilor. Punctul în care ambele linii se intersectează va fi soluția perechii date de ecuații. Amintiți-vă că două linii suprapuse se intersectează reciproc în infinit de multe puncte. Spuneți soluția în mod explicit.

Întrebarea 5. Jumătate din perimetrul unei grădini dreptunghiulare, a cărei lungime este cu 4 m mai mare decât lățimea sa, este de 36 m. Găsiți dimensiunile grădinii.

Fie ca lățimea și lungimea grădinii dreptunghiulare să fie x și respectiv y.
Conform condițiilor date,
y & # 8211 x = 4
y + x = 36
y & # 8211 x = 4 ⇒ y = x + 4
Trei soluții ale acestei ecuații pot fi scrise într-un tabel după cum urmează:

y + x = 36
Trei soluții ale acestei ecuații pot fi scrise într-un tabel după cum urmează:

Astfel, reprezentarea grafică este următoarea:

Din grafic, se poate observa că cele două linii se intersectează între ele în punctul (16, 20). Deci, x = 16 și y = 20.
Astfel, lungimea și lățimea grădinii dreptunghiulare este de 20 m și respectiv 16 m.

Concept Insight: Aici trebuie găsite dimensiunile grădinii dreptunghiulare. Deoarece laturile opuse ale dreptunghiului sunt egale, astfel lungimea și lățimea pot fi luate ca variabile. Aplicând condițiile date în problemă pot fi obținute două ecuații liniare în cele 2 variabile. Acum, pentru a reprezenta grafic ecuațiile obținute, luați valorile variabilelor doar ca numere întregi, deoarece atunci va fi mai ușor să reprezentați valorile pe grafic. Punctul în care cele două ecuații se intersectează va da dimensiunile necesare. Indicați dimensiunile lungime și lățime din valorile variabilelor.

Întrebarea 6. Având în vedere ecuația liniară 2X + 3y - 8 = 0, scrieți alte ecuații liniare în două variabile astfel încât reprezentarea geometrică a perechii astfel formate este:
(i) liniile care se intersectează
(ii) linii paralele
(iii) linii coincidente

Soluţie:
(i) Pentru cele două linii a1x + b1x + c1 = 0 și a2x + b2x + c2 = 0, pentru a fi intersectați, trebuie să avem

Deci, cealaltă ecuație liniară poate fi 5x + 6y și # 8211 16 = 0

(ii) Pentru cele două linii a1x + b1x + c1 = 0 și a2x + b2x + c2 = 0, pentru a fi paralel, trebuie să avem

Deci, cealaltă ecuație liniară poate fi 6x + 9y + 24 = 0,

(iii) Pentru cele două linii a1x + b1x + c1 = 0 și a2x + b2x + c2 = 0 să fie coincident, trebuie să avem

Deci, cealaltă ecuație liniară poate fi 8x + 12y și # 8211 32 = 0,

Concept Insight: Pentru a răspunde la un astfel de tip de probleme, amintiți-vă doar condițiile pentru ca două linii să fie intersectate, paralele și coincidente. Această problemă va avea răspunsuri multiple, deoarece pot fi multe ecuații care îndeplinesc condițiile cerute.

Întrebarea 7. Desenați graficele ecuațiilor X - y + 1 = 0 și 3X + 2y - 12 = 0. Determinați coordonatele vârfurilor triunghiului format de aceste drepte și X-axi, și umbre regiunea triunghiulară.

Soluţie:
x & # 8211 y + 1 = 0 ⇒ x = y & # 8211 1
Trei soluții ale acestei ecuații pot fi scrise într-un tabel după cum urmează:


Trei soluții ale acestei ecuații pot fi scrise într-un tabel după cum urmează:

Acum, aceste ecuații pot fi desenate pe un grafic. Triunghiul format din cele două linii și axa x poate fi prezentat de partea umbrită ca:

Din grafic, se poate observa că coordonatele vârfurilor triunghiului astfel format sunt (2, 3), (-1, 0) și (4, 0).

Concept Insight: Pentru a găsi coordonatele vârfurilor triunghiului astfel format, găsiți punctele în care cele două linii intersectează axa x și, de asemenea, unde cele două linii se intersectează. Rețineți aici că coordonatele intersecției liniilor cu axa x sunt luate și nu cu axa y, deoarece întrebarea spune să găsim triunghiul format din cele două linii și axa x.

Sperăm că soluțiile NCERT pentru clasa 10 Matematică Capitolul 3 Pereche de ecuații liniare în două variabile Ex 3.2 vă vor ajuta. Dacă aveți vreo întrebare cu privire la Soluții NCERT pentru clasa 10 Matematică Capitolul 3 Pereche de ecuații liniare în două variabile Ex 3.2, lăsați un comentariu mai jos și vă vom răspunde cel mai devreme.


Note ale perechii de ecuații liniare în 3 variabile | Clasa a X-a Matematică

Ecuația liniară în două variabile: O ecuație sub forma ax + cu + c = 0 unde x și y sunt variabile și a, b, c sunt numere reale (a & # 88000, b & # 88000) se numește ecuație liniară în două variabile.
Exemplu: (i) 3x + 4y + 4 = 0
(ii) 2/3 x + y = 0

Pereche de ecuație liniară în doi varibali: Două ecuații liniare în aceleași două variabile sunt numite o pereche de ecuații liniare în două variabile. Forma generală a unei perechi de ecuații liniare este:
A1x + b1y + c1 = 0
A2x + b2y + c2 = 0
unde un1, b1, c1, A2, b 2, c2 sunt numere reale și niciunul nu este egal cu zero.
Exemplu: (i) 3x + 4y + 6 = 0
x + 2y + 3 = 0

O pereche de ecuații liniare în două variabile poate fi reprezentată și rezolvată prin:

Graficul unei perechi de ecuații liniare în două variabile este reprezentat de două linii.

(i) Dacă liniile se intersectează într-un punct, atunci acel punct oferă soluția unică a celor două

ecuații. În acest caz, perechea de ecuații este consecventă.

(ii) Dacă liniile coincid, atunci există infinit de multe soluții & # 8212 fiecare punct de pe

linia fiind o soluție. În acest caz, perechea de ecuații este dependentă (consecventă).

(iii) Dacă liniile sunt paralele, atunci perechea de ecuații nu are nicio soluție. În acest caz,

perechea de ecuații este inconsistentă.

Metode algebrice: Am discutat următoarele metode pentru găsirea soluției (soluțiilor)

a unei perechi de ecuații liniare:

(iii) Metoda multiplicării încrucișate

Există mai multe situații care pot fi reprezentate matematic prin două ecuații
care nu sunt liniare pentru început. Dar le modificăm astfel încât să fie reduse la o pereche de
ecuatii lineare.


COMPARAREA COEFICIENȚILOR ECUAȚIILOR LINEARE ÎN DOUĂ VARIABILE ȘI REZOLVARE

Deci, sistemul de ecuații va avea infinit de multe soluții.

Pentru a desena graficul, să găsim interceptările x și y.

Ambele ecuații reprezintă aceeași linie.

Acest lucru se potrivește exact cu condiția

Deci, are o soluție unică.

Graficarea ecuației 1 & # xa0,

Graficarea ecuației a 2-a și # xa0,

Liniile de mai sus se intersectează în punctul (2, 2). Deci, soluția este x & # xa0 = & # xa0 2 și y & # xa0 = & # xa0 2.

Acest lucru se potrivește exact cu condiția

În afară de cele prezentate mai sus, dacă aveți nevoie de alte lucruri în matematică, vă rugăm să folosiți căutarea personalizată Google aici.

Dacă aveți feedback despre conținutul nostru matematic, vă rugăm să ne trimiteți un e-mail: & # xa0

Apreciem întotdeauna feedback-ul dvs. & # xa0

De asemenea, puteți vizita următoarele pagini web despre diferite lucruri din matematică. & # Xa0


Soluții NCERT pentru clasa 10 Matematică Capitolul 3 Pereche de ecuații liniare în două variabile

Soluții NCERT pentru clasa 10 Matematică Capitolul 3 Descărcare PDF - Numele celui de-al treilea capitol este „Pereche de ecuații liniare în două variabile”. NCERT Clasa 10 soluții de matematică capitolul 3 este un capitol important al algebrei. În soluțiile NCERT clasa 10 matematică capitolul 3, elevii vor învăța să rezolve ecuația liniară cu două variabile. Clasa 10 Matematică capitolul 3 Soluțiile NCERT conțin răspunsurile la toate întrebările NCERT exercițiu. Soluțiile NCERT Clasa 10 de matematică capitolul 3 sunt utile pentru a cunoaște răspunsurile la întrebările puse în cartea de matematică NCERT clasa 10. În afară de aceasta, trecând prin soluții NCERT pentru clasa 10 matematică capitolul 3, ei vor ajunge să cunoască diferite metode de rezolvare a întrebărilor.
Soluțiile NCERT pentru clasa 10 sunt disponibile și pentru alte discipline.

Rămâneți la curent cu știrile CBSE Class 10th

Cele mai recente : Aveți probleme cu temele? Postați întrebările dvs. despre matematică și știință cu soluții pas cu pas instantaneu. Întrebați-l pe domnul AL


Relația liniară

O relație liniară descrie o relație între două variabile distincte & # 8211 x și y sub forma unei linii drepte pe un grafic. Atunci când se prezintă o relație liniară printr-o ecuație, valoarea lui este derivată prin valoarea lui x, reflectând corelația lor.

Relațiile liniare sunt aplicate în situațiile de zi cu zi, în care un factor se bazează pe altul, cum ar fi o creștere a prețului bunurilor, scăzând cererea acestora. În orice caz, consideră doar până la două variabile pentru a obține un rezultat.

Chei de luat masa
  • O relație liniară este una în care două variabile au o conexiune directă, ceea ce înseamnă că dacă valoarea lui x este modificată, y trebuie să se schimbe și în aceeași proporție.
  • Este o metodă statistică pentru a obține o linie dreaptă sau valori corelate pentru două variabile printr-un grafic sau o formulă matematică.
  • Numărul de variabile considerate într-o ecuație liniară nu depășește niciodată două.
  • Corelația a două variabile în viața de zi cu zi poate fi înțeleasă folosind acest concept.

Ce este relația liniară?

Descrie cel mai bine relația dintre două variabile (independente și dependente) reprezentate în mod obișnuit de x și y. În domeniul statisticii, este unul dintre cele mai simple concepte de înțeles.

Pentru o relație liniară, variabilele trebuie să dea o linie dreaptă pe un grafic de fiecare dată când valorile lui x și y sunt puse împreună. Cu această metodă, este posibil să înțelegem modul în care variația dintre doi factori poate afecta rezultatul și modul în care acestea se raportează între ele.

Să luăm un exemplu real al unui magazin alimentar, în care bugetul său este variabila independentă, iar articolele care trebuie stocate sunt variabile dependente. Luați în considerare bugetul ca fiind de 2.000 USD, iar produsele alimentare sunt 12 mărci de gustări (1 USD - 2 USD per ambalaj), 12 mărci de băuturi reci (2 USD - 4 USD pe sticlă), 5 mărci de cereale (5 USD - 7 USD per ambalaj) și 40 de mărci de îngrijire personală ( 3 $ - 30 $ per produs). Datorită constrângerilor bugetare și a prețurilor variate, achiziționarea mai multor dintre ele va necesita achiziționarea mai mică a celeilalte.

Ecuația relației liniare cu graficul

Indiferent dacă este grafic sau matematic, valoarea lui y depinde de x, ceea ce dă o linie dreaptă pe grafic. Iată o formulă rapidă pentru a înțelege corelația liniară dintre variabile.

În formulă, m denotă panta. În timp ce b este interceptarea Y sau punctul de pe grafic care traversează axa y cu coordonata x fiind zero. Dacă sunt date valorile m, x și b, se poate obține cu ușurință valoarea lui y. Același lucru poate fi reprezentat grafic pentru a arăta relația liniară. Să înțelegem procesul când valorile pentru variabilele x și y sunt asumate după cum urmează în suma de mai jos:

Pentru a calcula m, începeți prin a găsi modelul diferenței dintre valorile lui x și y și apoi puneți-le ca o fracție.

Punând valorile din valorile x și y în ecuația de mai sus,

Următorul pas este de a găsi numărul ipotetic (b) care trebuie adăugat sau scăzut în formulă pentru a obține valoarea lui y. Ca atare,

În mod similar, calculând pentru restul punctelor obținem următorul grafic.

Un grafic de relație liniară va arăta astfel:

Funcție liniară / ecuație

Permiteți-ne să vă prezentăm o explicație detaliată a unei ecuații sau funcții liniare. Atunci când este reprezentat pe un grafic, acesta va genera o linie dreaptă. O ecuație liniară poate apărea în două forme & # 8211 panta-interceptare și formă standard.

Formular de interceptare a pantei

Este una dintre cele mai recunoscute funcții liniare din matematică și calculată pe planul x-y după cum urmează:

Aici, m este panta, b este interceptarea y și x, y sunt două variabile. Interceptarea Y apare atunci când linia rezultată pe grafic traversează axa y la o valoare. În acest caz, variabila x trebuie să fie egală cu 0 în punctul interceptării y.

De asemenea, o pantă reprezintă cât de abruptă este linia și cum se descrie relația dintre variabile. Calculul a două puncte diferite pentru două variabile, adică x1, x2 și y1, y2, va furniza panta m.

Formular standard / general

Este o altă formă a funcției liniare care este eficientă în înțelegerea scenariilor cu două intrări (și fără ieșiri) și poate fi derivată ca:

Din nou, x și y sunt două variabile, în timp ce A, B și C sunt constante în această ecuație. Cu toate acestea, este posibil să se ajungă la interceptarea pantei folosind formularul standard.

Y = -Bx / A + C / A, care este în esență sub forma Y = mx + b

După plasarea valorilor în ecuația de mai sus, se poate face un grafic liniar folosind forma de interceptare a pantei.

Exemple

Exemple de relații liniare sunt peste tot, cum ar fi convertirea Celsius în Fahrenheit, determinarea unui buget și calcularea ratelor variabile. Recent, un studiu Bloomberg Economics condus de economiști a stabilit o corelație liniară între măsurile stricte de blocare și producția economică în diferite țări. Aceștia au explicat cum reținerea moderată și distanțarea socială ușoară ar putea stimula economia.

Un exemplu practic de ecuație liniară ar putea fi prepararea unei pizza de casă. Aici, două variabile sunt numărul de persoane care trebuie servite (variabilă constantă sau independentă) și ingrediente pentru pizza (variabilă dependentă). Să presupunem că există o rețetă de pizza pentru patru persoane, dar doar două persoane sunt acolo pentru ao consuma. Pentru a găzdui două persoane, reducerea numărului de ingrediente la jumătate ar însemna jumătate din producție.

Relație liniară vs. neliniară

Deși relațiile liniare și neliniare descriu relațiile dintre două variabile, ambele diferă prin reprezentarea lor grafică și modul în care variabilele sunt corelate.

Reprezentare grafică

O relație liniară va și ar trebui să producă întotdeauna o linie dreaptă pe un grafic pentru a descrie relațiile dintre două variabile. Pe de altă parte, o relație neliniară poate crea o linie curbată pe grafic în același scop.

Modificarea variabilelor

Într-o relație liniară, o modificare a variabilei independente va schimba variabila dependentă. Dar acest lucru nu este cazul cu o relație neliniară, deoarece orice modificare a oricărei variabile nu o va afecta pe cealaltă.

Domenii de aplicare

O relație liniară descrie cel mai bine situațiile în care variabilele sunt interdependente, cum ar fi exercițiile fizice și pierderea în greutate. Aici, exercițiul de x ori pe zi va reduce semnificativ greutatea y.

Nu există o asociere liniară între variabile într-o relație neliniară, cum ar fi eficacitatea unui medicament și durata dozei.Acest lucru se datorează faptului că ar putea exista mai mulți factori care afectează eficacitatea medicamentului, cum ar fi -

  • Dacă pacientul a luat medicamentele la timp?
  • A fost luat cu procedura cuvenită?
  • Pacientul a vizitat medicul pentru verificarea periodică așa cum este sugerat în rețetă?

Prin urmare, eficacitatea medicamentului va fi determinată de mai mulți factori și nu doar de durata dozei, ceea ce îl face o relație neliniară. Au fost efectuate multe studii pentru a judeca viabilitatea studierii situațiilor din perspectiva corelației liniare. Acest studiu de la Harvard sa concentrat asupra unor domenii cu probleme în acest sens. De asemenea, a vorbit despre câte situații sunt inevitabil neliniare.

Articole recomandate

Acest ghid cuprinzător al relației liniare a discutat despre ecuații, exemple și diferențe față de relație neliniară, împreună cu chei de luat masa. Pentru a afla mai multe despre utilizarea sa în finanțe, citiți următoarele articole & # 8211


3.2: Grafic ecuații liniare în două variabile - Matematică

Sisteme grafice de ecuații liniare

· Rezolvați un sistem de ecuații liniare prin grafic.

· Determinați dacă un sistem de ecuații liniare este consistent sau inconsecvent.

· Determinați dacă un sistem de ecuații liniare este dependent sau independent.

· Determinați dacă o pereche ordonată este o soluție a unui sistem de ecuații.

· Rezolvați problemele aplicației graficând un sistem de ecuații.

Amintiți-vă că o ecuație liniară prezintă grafice ca o linie, ceea ce indică faptul că toate punctele de pe linie sunt soluții la acea ecuație liniară. Există un număr infinit de soluții. Dacă aveți un sistem de ecuații liniare, soluția pentru sistem este valoarea care face ca toate ecuațiile să fie adevărate. Pentru două variabile și două ecuații, acesta este punctul în care se intersectează cele două grafice. Coordonatele acestui punct vor fi soluția pentru cele două variabile din cele două ecuații.

Soluția pentru un sistem de ecuații este valoarea sau valorile valabile pentru toate ecuații în sistem. Graficele ecuațiilor dintr-un sistem vă pot spune câte soluții există pentru acel sistem. Uită-te la imaginile de mai jos. Fiecare arată două linii care alcătuiesc un sistem de ecuații.

Dacă graficele ecuațiilor se intersectează, atunci există o soluție care este adevărată pentru ambele ecuații.

Dacă graficele ecuațiilor nu se intersectează (de exemplu, dacă sunt paralele), atunci nu există soluții care să fie adevărate pentru ambele ecuații.

Dacă graficele ecuațiilor sunt aceleași, atunci există un număr infinit de soluții care sunt adevărate pentru ambele ecuații.

Când liniile se intersectează, punctul de intersecție este singurul punct pe care cele două grafice îl au în comun. Deci, coordonatele acelui punct sunt soluția pentru cele două variabile utilizate în ecuații. Când liniile sunt paralele, nu există soluții și, uneori, cele două ecuații vor fi reprezentate ca aceeași linie, caz în care avem un număr infinit de soluții.

Unii termeni speciali sunt uneori folosiți pentru a descrie aceste tipuri de sisteme.

Următorii termeni se referă la câte soluții are sistemul.

o Când un sistem are o singură soluție (graficele ecuațiilor se intersectează o dată), sistemul este a sistem consistent de ecuații liniare iar ecuațiile sunt independente.

o Când un sistem nu are nicio soluție (graficele ecuațiilor nu se intersectează deloc), sistemul este un sistem inconsecvent de ecuații liniare iar ecuațiile sunt independente.

o Dacă liniile sunt aceleași (graficele se intersectează în toate punctele), sistemul este un sistem consistent de ecuații liniare și ecuațiile sunt dependente. Adică, orice soluție a unei ecuații trebuie să fie și o soluție a celeilalte, deci ecuațiile depinde unul pe altul.

Următorii termeni se referă la faptul că sistemul are soluții.

o Sistemul este un sistem consistent de ecuații liniare atunci când are soluții.

o Sistemul este un sistem inconsecvent de ecuații liniare atunci când nu are soluții.

Putem rezuma acest lucru după cum urmează:

o Un sistem cu una sau mai multe soluții este consecvent.

o Un sistem fără soluții este inconsecvent.

o Dacă liniile sunt diferite, ecuațiile sunt ecuații liniare independente.

o Dacă liniile sunt aceleași, ecuațiile sunt ecuații liniare dependente.

Folosind graficul y = X și X + 2y = 6, prezentat mai jos, determina câte soluții are sistemul. Apoi clasificați sistemul ca fiind consecvent sau inconsecvent, iar ecuațiile ca dependente sau independente.

Liniile se intersectează la un moment dat. Deci, cele două linii au un singur punct în comun, există o singură soluție la sistem.

Deoarece liniile nu sunt aceleași, ecuațiile sunt independente.

Deoarece există o singură soluție, acest sistem este consecvent.

Sistemul este consistent și ecuațiile sunt independente.

Folosind graficul y = 3.5X + 0,25 și 14X – 4y = -4.5, prezentat mai jos, determină câte soluții are sistemul. Apoi clasificați sistemul ca fiind consecvent sau inconsecvent, iar ecuațiile ca dependente sau independente.

Liniile sunt paralele, adică nu se intersectează. Aici nu există soluții la sistem.

Liniile nu sunt aceleași, ecuațiile sunt independente.

Nu există soluții. Prin urmare, acest sistem este inconsecvent.

Sistemul este inconsecvent, iar ecuațiile sunt independente.

Care dintre următoarele reprezintă dependent ecuații și consistent sisteme?

Incorect. Cele două linii din acest sistem au aceeași pantă, dar valori diferite pentru b. Aceasta înseamnă că liniile sunt paralele. Liniile nu se intersectează, deci nu există soluții și sistemul este inconsistent. Deoarece liniile nu sunt aceleași, ecuațiile sunt independente. Răspunsul corect este C.

Incorect. Cele două linii din acest sistem au pante diferite și valori diferite pentru b. Aceasta înseamnă că liniile se intersectează la un moment dat. Deoarece există o soluție, acest sistem este consecvent. Și pentru că liniile nu sunt aceleași, ecuațiile sunt independente. Răspunsul corect este C.

Corect. Cele două linii din acest sistem sunt aceleași pot fi rescrise ca. Deoarece există multe soluții, acest sistem este consecvent. Liniile sunt identice, deci ecuațiile sunt dependente.

Incorect. Cele două linii din acest sistem au pante diferite și aceeași valoare pentru b. Aceasta înseamnă că liniile se intersectează la un punct - y-intercepta. Amintiți-vă că liniile care se intersectează au o singură soluție și, prin urmare, sistemul este consecvent. Deoarece liniile nu sunt aceleași, ecuațiile sunt independente. Răspunsul corect este C.

Din graficul de mai sus, puteți vedea că există o soluție la sistem y = X și X + 2y = 6. Soluția pare a fi (2, 2). Cu toate acestea, trebuie să verificați un răspuns pe care l-ați citit dintr-un grafic pentru a vă asigura că nu este cu adevărat (2.001, 2.001) sau (1.9943, 1.9943).

O modalitate de a verifica dacă punctul există pe ambele linii este de a înlocui X- și y-valorile perechii ordonate în ecuația fiecărei linii. Dacă substituția are ca rezultat o afirmație adevărată, atunci aveți soluția corectă!

Este (2, 2) o soluție a sistemului y = X și X + 2y = 6?

(2, 2) este o soluție de y = X.

(2, 2) este o soluție de X + 2y = 6.

Deoarece soluția sistemului trebuie să fie o soluție pentru toate ecuațiile din sistem, verificați punctul din fiecare ecuație. Înlocuitor 2 pentru X și 2 pentru y în fiecare ecuație.

(2, 2) este o soluție a sistemului.

Deoarece (2, 2) este o soluție a fiecărei ecuații din sistem, (2, 2) este o soluție a sistemului.

Eus (3, 9) o soluție a sistemului y = 3X și 2Xy = 6?

(3, 9) este o soluție de y = 3X.

(3, 9) este nu o soluție de 2Xy = 6.

Deoarece soluția sistemului trebuie să fie o soluție pentru toate ecuațiile din sistem, verificați punctul din fiecare ecuație. Înlocuiți 3 pentru X și 9 pentru y în fiecare ecuație.

(3, 9) nu este o soluție pentru sistem.

Deoarece (3, 9) nu este o soluție a uneia dintre ecuațiile din sistem, nu poate fi o soluție a sistemului.

Este (−2, 4) o soluție a sistemului y = 2X și 3X + 2y = 1?

(- 2, 4) nu este o soluție de y = 2X.

(- 2, 4) nu este o soluție de 3X + 2y = 1.

Deoarece soluția sistemului trebuie să fie o soluție pentru toate ecuațiile din sistem, verificați punctul din fiecare ecuație. Înlocuiți -2 pentru X și 4 pentru y în fiecare ecuație.

(−2, 4) nu este o soluție a sistemului.

Deoarece (- 2, 4) nu este o soluție la niciuna dintre ecuațiile din sistem, (- 2, 4) nu este o soluție a sistemului.

Amintiți-vă că, pentru a fi o soluție la sistemul de ecuații, valoarea punctului trebuie să fie o soluție pentru ambele ecuații. Odată ce ați găsit o ecuație pentru care punctul este fals, ați stabilit că nu este o soluție pentru sistem.

Care dintre următoarele afirmații este adevărată pentru sistemul 2Xy = −3 și y = 4X – 1?

A) (2, 7) este o soluție a unei ecuații, dar nu a celeilalte, așa că este o soluție a sistemului

B) (2, 7) este o soluție a unei ecuații, dar nu a celeilalte, așa este nu o soluție a sistemului

C) (2, 7) este o soluție a ambelor ecuații, deci este o soluție a sistemului

D) (2, 7) este nu o soluție a oricărei ecuații, așa este nu o soluție a sistemului

A) (2, 7) este o soluție a unei ecuații, dar nu a celeilalte, așa că este o soluție a sistemului

Incorect. Dacă punctul ar fi o soluție a unei ecuații, dar nu a celeilalte, atunci este nu o soluție a sistemului. De fapt, punctul (2, 7) este o soluție a ambelor ecuații, deci este o soluție a sistemului. Cele două linii nu sunt identice, deci este singura soluție.

B) (2, 7) este o soluție a unei ecuații, dar nu a celeilalte, așa este nu o soluție a sistemului

Incorect. Punctul (2, 7) este o soluție a ambelor ecuații, deci este o soluție a sistemului. Cele două linii nu sunt identice, deci este singura soluție.

C) (2, 7) este o soluție a ambelor ecuații, deci este o soluție a sistemului

Corect. Înlocuind 2 cu X și 7 pentru y oferă afirmații adevărate în ambele ecuații, deci punctul este o soluție la ambele ecuații. Asta înseamnă că este o soluție pentru sistem. Cele două linii nu sunt identice, deci este singura soluție.

D) (2, 7) este nu o soluție a oricărei ecuații, așa este nu o soluție a sistemului

Incorect. Înlocuind 2 cu X și 7 pentru y oferă afirmații adevărate în ambele ecuații, astfel încât punctul se află pe ambele linii. Aceasta înseamnă că este o soluție la ambele ecuații. Este, de asemenea, singura soluție a sistemului.

Graficarea ca metodă de soluție

Puteți rezolva grafic un sistem. Cu toate acestea, este important să rețineți că trebuie să verificați soluția, deoarece s-ar putea să nu fie exactă.

Găsiți toate soluțiile sistemului yX = 1 și y + X = 3.

Mai întâi, graficează ambele ecuații pe aceleași axe.

Cele două linii se intersectează o dată. Asta înseamnă că există o singură soluție la sistem.

Punctul de intersecție pare a fi (1, 2).

Citiți punctul din grafic cât mai exact posibil.

(1, 2) este o soluție de y - x = 1.

(1, 2) este o soluție de y + X = 3.

Verificați valorile din ambele ecuații. Înlocuitorul 1 pentru X și 2 pentru y. (1, 2) este o soluție.

(1, 2) este soluția sistemului y - x = 1 și

Deoarece (1, 2) este o soluție pentru fiecare dintre ecuațiile din sistem, este soluția pentru sistem.

Câte soluții are sistemul y = 2X + 1

și −4X + 2y = 2 au?

Mai întâi, graficează ambele ecuații pe aceleași axe.

Cele două ecuații prezintă aceeași linie. Deci, fiecare punct de pe acea linie este o soluție pentru sistemul de ecuații.

Sistemul y = 2X + 1 și −4X + 2y = 2 are un număr infinit de soluții.

Ce punct este soluția sistemului Xy = −1 și 2Xy = - 4? Sistemul este grafic corect mai jos.

Incorect. Înlocuind (- 1, 2) în fiecare ecuație, constatați că este o soluție pentru 2Xy = - 4, dar nu pentru Xy = - 1. Aceasta înseamnă că nu poate fi o soluție pentru sistem. Răspunsul corect este (- 3, - 2).

Incorect. Înlocuind (- 4, - 3) în fiecare ecuație, constatați că este o soluție pentru Xy = - 1, dar nu pentru 2Xy = - 4. Aceasta înseamnă că nu poate fi o soluție pentru sistem. Răspunsul corect este (- 3, - 2).

Corect. Înlocuirea (- 3, - 2) în fiecare ecuație arată că acest punct este o soluție pentru ambele ecuații, deci este soluția pentru sistem.

Incorect. Înlocuind (- 1, - 1) în fiecare ecuație, constatați că nu este nici o soluție pentru 2Xy = - 4, nici pentru Xy = - 1. Aceasta înseamnă că nu poate fi o soluție pentru sistem. Răspunsul corect este (- 3, - 2).

Graficarea unui context din lumea reală

Graficarea unui sistem de ecuații pentru un context din lumea reală poate fi valoroasă în vizualizarea problemei. Să vedem câteva exemple.

În jocul de baschet de ieri, Cheryl a obținut 17 puncte cu o combinație de coșuri de 2 și 3 puncte. Numărul de fotografii pe care le-a făcut în 2 puncte a fost cu unul mai mare decât numărul de fotografii pe care le-a făcut. Câte din fiecare tip de coș a marcat?

X = număr din lovituri în 2 puncte realizate

y = număr din lovituri în 3 puncte realizate

Atribuiți variabile celor două necunoscute - numărul fiecărui tip de fotografii.

2X = puncte din coșuri în 2 puncte

3y = puncte din coșuri în 3 puncte

Calculați câte puncte sunt obținute din fiecare dintre cele două tipuri de fotografii.

Numărul de puncte înregistrate de Cheryl (17) =

punctele din coșurile în 2 puncte + punctele din coșurile în 3 puncte.

Scrieți o ecuație folosind informațiile date în problemă.

Numărul de coșuri în 2 puncte (X) = 1 + numărul de coșuri cu 3 puncte (y)

Scrieți o a doua ecuație folosind informații suplimentare date în problemă.

Acum aveți un sistem de două ecuații cu două variabile.

Graficează ambele ecuații pe aceleași axe.

Cele două linii se intersectează, deci au un singur punct în comun. Asta înseamnă că există o singură soluție la sistem.

Punctul de intersecție pare a fi (4, 3).

Citiți punctul de intersecție din grafic.

Verificați (4, 3) în fiecare ecuație pentru a vedea dacă este o soluție la sistemul de ecuații.

(4, 3) este o soluție la ecuație.

Cheryl a realizat 4 coșuri în două puncte și 3 coșuri în trei puncte.

Andres încerca să decidă care dintre cele două planuri de telefonie mobilă să cumpere. Un plan, TalkALot, a perceput o taxă fixă ​​de 15 USD pe lună pentru minute nelimitate. Un alt plan, FriendFone, a perceput o taxă lunară de 5 USD în plus față de taxarea a 20 ¢ pe minut pentru apeluri.

Pentru a examina diferența de planuri, el a făcut un grafic:

Dacă intenționează să vorbească la telefon aproximativ 70 de minute pe lună, ce plan ar trebui să cumpere?

Uită-te la grafic. TalkALot este reprezentat ca y = 15, în timp ce FriendFone este reprezentat ca

Numărul de minute este listat pe X-axă. Cand X = 70, TalkALot costă 15 USD, în timp ce FriendFone costă aproximativ 19 USD.

Andres ar trebui să cumpere planul TalkALot.

Deoarece TalkALot costă mai puțin la 70 de minute, Andres ar trebui să cumpere acel plan.

Rețineți că dacă estimarea ar fi fost incorectă, s-ar fi putut face o nouă estimare. Graficarea pentru a mări zona în care se încrucișează liniile ar ajuta la o estimare mai bună.

Paco și Lisel au cheltuit aseară 30 de dolari mergând la film. Paco a cheltuit 8 $ mai mult decât Lisel.

Dacă P = suma pe care a cheltuit-o Paco și L = suma pe care a cheltuit-o Lisel, ce sistem de ecuații puteți folosi pentru a afla cât a cheltuit fiecare dintre ele?

Incorect. P + 8 = L citește: „Lisel a cheltuit 8 $ mai mult decât Paco”. Sistemul corect este:

Corect. Suma totală cheltuită (P + L) este 30, deci o ecuație ar trebui să fie P + L = 30. Paco a cheltuit cu 8 dolari mai mult decât Lisel, deci L + 8 vă va oferi suma pe care a cheltuit-o Paco. Aceasta poate fi rescrisă P = L + 8.

Incorect. P + 30 = L citește: „Lisel a cheltuit cu 30 de dolari mai mult decât Paco”. Sistemul corect este:

Incorect. L + 30 = P citește: „Paco a cheltuit cu 30 de dolari mai mult decât Lisel”. Sistemul corect este:

Un sistem de ecuații liniare este două sau mai multe ecuații liniare care au aceleași variabile. Puteți grafica ecuațiile ca sistem pentru a afla dacă sistemul nu are soluții (reprezentate prin linii paralele), o soluție (reprezentată prin linii care se intersectează) sau un număr infinit de soluții (reprezentat prin două linii suprapuse). În timp ce graficarea sistemelor de ecuații este o tehnică utilă, bazarea pe grafice pentru a identifica un punct specific de intersecție nu este întotdeauna o modalitate exactă de a găsi o soluție precisă pentru un sistem de ecuații.


Poate un sistem de două ecuații liniare să aibă exact două soluții?

Nu. Un sistem de ecuații liniare în două variabile poate avea zero, una sau infinit de multe soluții.

Explicaţie:

Ne putem gândi la geometrie.

O ecuație liniară are un grafic ca o linie (dreaptă).

Având în vedere un sistem de două ecuații liniare, există trei posibilități.

Posibilitățile sunt:
două linii paralele
de exemplu. # <(y = 3x + 1), (y = 3x-2):> # (aceeași pantă, interceptări diferite)

două linii (distincte) care se intersectează - adică două linii diferite care se întâlnesc într-un punct. Două linii drepte nu se pot întâlni în două puncte. Două puncte determină o singură linie (nu două linii).
de exemplu. # <(y = 3x + 1), (y = 5x-2):> # (pante diferite)

Ecuațiile au aceeași linie ca și graficele lor
Dacă două linii do au două puncte în comun, apoi „liniile coincid” (ceea ce înseamnă cu adevărat „există o singură linie”.) În acest caz spunem „cele două linii sunt aceleași”.
Această frază ciudată nu este unică matematicii. Am avut în trecut studenți care le-ar putea spune prietenilor în engleză obișnuită: „Doi dintre profesorii mei sunt aceeași persoană”. Ceea ce, desigur, înseamnă că există un singur profesor, dar există două descrieri ale profesorului respectiv - profesorul meu de matematică și profesorul meu de filosofie.


Exemplul B:

Dacă y variază direct ca x, și (y = 24 ) când (x = 16 ), găsiți y când (x = 12 ).

Planul de atac:

Când două cantități variază direct, raportul lor este întotdeauna același. Vom crea două rapoarte, le vom seta egale între ele și apoi vom rezolva cantitatea lipsă.

Pas cu pas:

Numerele date formează un raport pe care îl putem scrie ca ( frac): ( frac <24> <16> )

Pentru a găsi y când (x = 12 ) configurăm un alt raport: ( frac<12>)

Rezolva:

Prin definiție, ambele rapoarte sunt egale:

Înmulțiți fiecare parte cu 12 pentru a rezolva pentru y:

Rezultat:

Ai o înțelegere de bază a variației directe acum? Dacă mai aveți nevoie de mai mult ajutor, încercați să căutați pe site-ul nostru (în partea de sus a paginii) pentru o întrebare mai specifică sau răsfoiți celelalte lecții de algebră. Uneori este util să aveți un subiect explicat de altcineva (o perspectivă nouă!), Așa că s-ar putea să fiți interesați și de o altă lecție despre variația directă, cum ar fi această pagină care oferă exemple de rezolvare a variației directe.


Priveste filmarea: Rezolvarea sistemelor de ecuatii folosind metoda grafică. (August 2022).