Articole

5.3: Soluții periodice constante

5.3: Soluții periodice constante


We are searching data for your request:

Forums and discussions:
Manuals and reference books:
Data from registers:
Wait the end of the search in all databases.
Upon completion, a link will appear to access the found materials.

5.3.1 Șir vibrat forțat.

Figura 5.3: Șir vibrant.

Problema este guvernată de ecuații

[y_ {tt} = a ^ 2y_ {xx} y (0, t) = 0, ~~~~~~~ y (L, t) = 0, y (x, 0) = f (x), ~~ y_t (x, 0) = g (x). ]

Am văzut anterior că soluția este de formă

[y = sum_ {n = 1} ^ { infty} left (A_n cos left ( frac {n pi a} {L} t right) + B_n sin left ( frac { n pi a} {L} t right) right) sin left ( frac {n pi} {L} x right), ]

unde (A_n ) și (B_n ) au fost determinate de condițiile inițiale. Frecvențele naturale ale sistemului sunt frecvențele (circulare) ( frac {n pi a} {L} ) pentru numere întregi (n geq 1 ).

Dar acestea sunt vibrații libere. Ce se întâmplă dacă există o forță externă care acționează asupra șirului. Să presupunem să spunem vibrațiile aerului (zgomot), de exemplu un al doilea șir. Sau poate un motor cu reacție. Pentru simplitate, presupuneți un sunet pur și frumos și presupuneți că forța este uniformă la fiecare poziție de pe coardă. Să spunem (F (t) = F_0 cos ( omega t) ) ca forță pe unitate de masă. Apoi ecuația noastră de undă devine (amintiți-vă că forța este masa de ori accelerare)

[y_ {tt} = a ^ 2y_ {xx} + F_0 cos ( omega t), ]

cu aceleași condiții de graniță desigur.

Vrem să găsim aici soluția care să satisfacă ecuația de mai sus și

[y (0, t) = 0, ~~~~~ y (L, t) = 0, ~~~~~ y (x, 0) = 0, ~~~~~ y_t (x, 0) = 0. ]

Adică șirul este inițial în repaus. Mai întâi găsim o soluție specială (y_p ) a lui (5.3.3) care satisface (y (0, t) = y (L, t) = 0 ). Definim funcțiile (f ) și (g ) ca

[f (x) = - y_p (x, 0), ~~~~~ g (x) = - frac { partial y_p} { partial t} (x, 0). ]

Găsim apoi soluția (y_c ) din (5.3.1). Dacă adăugăm cele două soluții, găsim că (y = y_c + y_p ) rezolvă (5.3.3) cu condițiile inițiale.

Exercițiu ( PageIndex {1} ):

Verificați dacă (y = y_c + y_p ) rezolvă (5.3.3) și condițiile laterale (5.3.4).

Deci marea problemă aici este să găsim soluția specială (y_p ). Ne uităm la ecuație și facem o presupunere educată

[y_p (x, t) = X (x) cos ( omega t). ]

Ne conectăm pentru a obține

[- omega ^ 2X cos ( omega t) = a ^ 2X '' cos ( omega t), ]

sau (- omega X = a ^ 2X '' + F_0 ) după anularea cosinusului. Știm cum să găsim o soluție generală la această ecuație (este o ecuație a coeficientului constant neomogen). Soluția generală este

[X (x) = A cos left ( frac { omega} {a} x right) + B sin left ( frac { omega} {a} x right) - frac { F_0} { omega ^ 2}. ]

Condițiile punctului final implică (X (0) = X (L) = 0 ). Asa de

[0 = X (0) = A- frac {F_0} { omega ^ 2}, ]

sau (A = frac {F_0} { omega ^ 2} ) și, de asemenea

[0 = X (L) = frac {F_0} { omega ^ 2} cos left ( frac { omega L} {a} right) + B sin left ( frac { omega L} {a} right) - frac {F_0} { omega ^ 2}. ]

Presupunând că ( sin left ( frac { omega L} {a} right) ) nu este zero, putem rezolva pentru a obține (B )

[B = frac {-F_0 left ( cos left ( frac { omega L} {a} right) -1 right)} {- omega ^ 2 sin left ( frac { omega L} {a} right)}. ]

Prin urmare,

[X (x) = frac {F_0} { omega ^ 2} left ( cos left ( frac { omega} {a} x right) - frac { cos left ( frac { omega L} {a} right) -1} { sin left ( frac { omega L} {a} right)} sin left ( frac { omega} {a} x dreapta) -1 dreapta). ]

Soluția particulară (y_p ) pe care o căutăm este

[y_p (x, t) = frac {F_0} { omega ^ 2} left ( cos left ( frac { omega} {a} x right) - frac { cos left ( frac { omega L} {a} right) -1} { sin left ( frac { omega L} {a} right)} sin left ( frac { omega} {a} x right) -1 right) cos ( omega t). ]

Exercițiu ( PageIndex {2} ):

Verificați dacă funcționează (y_p ).

Acum ajungem la punctul în care am sărit. Să presupunem că ( sin left ( frac { omega L} {a} right) = 0 ). Ceea ce înseamnă acest lucru este că ( omega ) este egal cu una dintre frecvențele naturale ale sistemului, adică un multiplu de ( frac { pi a} {L} ). Observăm că, dacă ( omega ) nu este egal cu un multiplu al frecvenței de bază, dar este foarte apropiat, atunci coeficientul (B ) din (5.3.11) pare să devină foarte mare. Dar să nu trecem la concluzii încă. Când ( omega = frac {n pi a} {L} ) pentru (n ) uniform, atunci ( cos left ( frac { omega L} {a} right) = 1 ) și, prin urmare, obținem cu adevărat că (B = 0 ). Deci rezonanța apare numai atunci când ambele ( cos left ( frac { omega L} {a} right) = - 1 ) și ( sin left ( frac { omega L} {a} dreapta) = 0 ). Atunci când ( omega = frac {n pi a} {L} ) pentru odd (n ).

Am putea rezolva din nou soluția de rezonanță dacă am dori, dar aceasta este, în sensul corect, limita soluțiilor, deoarece ( omega ) se apropie de o frecvență de rezonanță. În viața reală, rezonanța pură nu apare niciodată.

Calculul de mai sus explică de ce un șir va începe să vibreze dacă șirul identic este smuls aproape. În absența fricțiunii, această vibrație ar deveni din ce în ce mai puternică pe măsură ce trece timpul. Pe de altă parte, este puțin probabil să obțineți vibrații mari dacă frecvența de forțare nu este aproape de o frecvență de rezonanță, chiar dacă aveți un motor cu reacție care funcționează aproape de șir. Adică, amplitudinea nu va continua să crească decât dacă vă acordați doar la frecvența potrivită.

Fenomene de rezonanță similare apar atunci când spargeți un pahar de vin folosind vocea umană (da, acest lucru este posibil, dar nu este ușor2) dacă se întâmplă să atingi frecvența corectă. Amintiți-vă că un pahar are un sunet mult mai pur, adică este mai mult ca un vibrafon, deci există mult mai puține frecvențe de rezonanță pentru a lovi.

Când funcția de forțare este mai complicată, o descompuneți în termenii seriei Fourier și aplicați rezultatul de mai sus. De asemenea, poate fi necesar să rezolvați problema de mai sus dacă funcția de forțare este mai degrabă un sinus decât un cosinus, dar dacă vă gândiți la asta, soluția este aproape aceeași.

Exemplu ( PageIndex {1} ):

Să facem calculul pentru valori specifice. Să presupunem că (F_0 = 1 ) și ( omega = 1 ) și (L = 1 ) și (a = 1 ). Apoi

[y_p (x, t) = left ( cos (x) - frac { cos (1) -1} { sin (1)} sin (x) -1 right) cos (t ). ]

Scrieți (B = frac { cos (1) -1} { sin (1)} ) pentru simplitate.

Apoi conectați (t = 0 ) pentru a obține

[f (x) = - y_p (x, 0) = - cos x + B sin x + 1, ]

și după diferențierea în (t ) vedem că (g (x) = - frac { partial y_P} { partial t} (x, 0) = 0 ).

Prin urmare, pentru a găsi (y_c ) trebuie să rezolvăm problema

[y_ {yy} = y_ {xx}, y (0, t) = 0, ~~~~ y (1, t) = 0, y (x, 0) = - cos x + B sin x + 1, y_t (x, 0) = 0. ]

Rețineți că formula pe care o folosim pentru a defini (y (x, 0) ) nu este ciudată, prin urmare nu este o simplă chestiune de conectare pentru a aplica direct formula D’Alembert! Trebuie să definiți (F ) pentru a fi extensia ciudată, 2-periodică a (y (x, 0) ). Atunci soluția noastră ar arăta ca.

[y (x, t) = frac {F (x + t) + F (xt)} {2} + left ( cos (x) - frac { cos (1) -1} { sin (1)} sin (x) -1 right) cos (t). ]

Figura 5.4: Plot de (y (x, t) = frac {F (x + t) + F (xt)} {2} + left ( cos (x) - frac { cos (1) -1 } { sin (1)} sin (x) -1 right) cos (t). ).

Nu este greu să calculezi valori specifice pentru o extensie ciudată a unei funcții și, prin urmare (5.3.17) este o soluție minunată la problemă. De exemplu, este foarte ușor să o faceți un computer, spre deosebire de o soluție de serie. Un complot este dat în Figura 5.4

5.3.2 Oscilații subterane ale temperaturii

Fie (u (x, t) ) temperatura la o anumită locație la adâncime (x ) subteran la timp (t ). Vezi Figura 5.5.

Temperatura (u ) satisface ecuația căldurii (u_t = ku_ {xx} ), unde (k ) este difuzivitatea solului. Știm temperatura la suprafață (u (0, t) ) din înregistrările meteo. Să presupunem, pentru simplitate, că

Figura 5.5: Temperatura subterană.

[u (0, t) = T_0 + A_0 cos ( omega t), ]

unde (T_0 ) este temperatura medie anuală și (t = 0 ) este mijlocul verii (puteți pune semnul negativ deasupra pentru a face miezul iernii, dacă doriți). (A_0 ) oferă variația tipică pentru an. Adică, cea mai fierbinte temperatură este (T_0 + A_0 ) și cea mai rece este (T_0-A_0 ). Pentru simplitate, vom presupune că (T_0 = 0 ). Frecvența ( omega ) este aleasă în funcție de unitățile lui (t ), astfel încât atunci când (t = 1 ), atunci ( omega t = 2 pi ). De exemplu, dacă (t ) este în ani, atunci ( omega = 2 pi ).

Pare rezonabil ca și temperatura la adâncime (x ) să oscileze cu aceeași frecvență. Aceasta, de fapt, va fi soluția periodică constantă, independentă de condițiile inițiale. Deci, căutăm o soluție a formularului

[u (x, t) = V (x) cos ( omega t) + W (x) sin ( omega t). ]

pentru problema

[u_t = ku_ {xx,} ~~~~~~ u (0, t) = A_0 cos ( omega t). ]

Vom folosi exponențialul complex aici pentru a simplifica calculele. Să presupunem că avem o funcție complexă

[h (x, t) = X (x) e ^ {i omega t}. ]

Vom căuta un (h ) astfel încât ({ rm Re} h = u ). Pentru a găsi un (h ), a cărui parte reală satisface (5.3.20), căutăm un (h ) astfel încât

[h_t = kh_ {xx,} ~~~~~~ h (0, t) = A_0 e ^ {i omega t}. ]

Exercițiu ( PageIndex {3} ):

Să presupunem că (h ) satisface (5.3.22). Utilizați formula lui Euler pentru exponențialul complex pentru a verifica dacă (u = { rm Re} h ) îndeplinește (5.3.20).

Înlocuiți (h ) cu (5.3.22).

[i omega Xe ^ {i omega t} = kX''e ^ {i omega t}. ]

Prin urmare,

[kX '' - i omega X = 0, ]

sau

[X '' - alpha ^ 2 X = 0, ]

unde ( alpha = pm sqrt { frac {i omega} {k}} ). Rețineți că ( pm sqrt {i} = pm frac {1 = i} { sqrt {2}} ), astfel încât să puteți simplifica la ( alpha = pm (1 + i) sqrt { frac { omega} {2k}} ). Prin urmare, soluția generală este

[X (x) = Ae ^ {- (1 + i) sqrt { frac { omega} {2k} x}} + Be ^ {(1 + i) sqrt { frac { omega} { 2k} x}}. ]

Presupunem că un (X (x) ) care rezolvă problema trebuie să fie delimitat ca (x rightarrow infty ) deoarece (u (x, t) ) ar trebui să fie delimitat (nu ne miez de pământ!). Dacă utilizați formula lui Euler pentru a extinde exponențialele complexe, veți observa că al doilea termen va fi nelimitat (dacă (B neq 0 )), în timp ce primul termen este întotdeauna delimitat. Prin urmare (B = 0 ).

Exercițiu ( PageIndex {4} ):

Folosiți formula lui Euler pentru a arăta că (e ^ {(1 + i) sqrt { frac { omega} {2k} x}} ) este nelimitat ca (x rightarrow infty ), în timp ce (e ^ {- (1 + i) sqrt { frac { omega} {2k} x}} ) este delimitat ca (x rightarrow infty ).

Mai mult, (X (0) = A_0 ) din moment ce (h (0, t) = A_0e ^ {i omega t} ). Astfel (A = A_0 ). Aceasta înseamnă că

[h (x, t) = A_0e ^ {- (1 + i) sqrt { frac { omega} {2k} x}} e ^ {i omega t} = A_0e ^ {- (1 + i ) sqrt { frac { omega} {2k}} x + i omega t} = A_0e ^ {- sqrt { frac { omega} {2k}} x} e ^ {i ( omega t- sqrt { frac { omega} {2k}} x)}. ]

Va trebui să obținem partea reală a (h ), deci aplicăm formula lui Euler pentru a obține

[h (x, t) = A_0e ^ {- sqrt { frac { omega} {2k}} x} left ( cos left ( omega t - sqrt { frac { omega} { 2k} x} right) + i sin left ( omega t - sqrt { frac { omega} {2k} x} right) right). ]

Apoi, în cele din urmă

[u (x, t) = { rm Re} h (x, t) = A_0e ^ {- sqrt { frac { omega} {2k}} x} cos left ( omega t- sqrt { frac { omega} {2k}} x right). ]

Yay!

Observați că faza este diferită la diferite adâncimi. La adâncime faza este întârziată de (x sqrt { frac { omega} {2k}} ). De exemplu, în unități cgs (centimetri-grame-secunde) avem (k = 0,005 ) (valoare tipică pentru sol), . Apoi, dacă calculăm unde defazarea (x sqrt { frac { omega} {2k}} = pi ) vom găsi adâncimea în centimetri în care se inversează anotimpurile. Adică, obținem adâncimea la care vara este cea mai rece și iarna este cea mai caldă. Obținem aproximativ (700 ) centimetri, adică aproximativ (23 ) picioare sub sol.

Aveți grijă să nu treceți la concluzii. Temperatura se schimbă rapid, pe măsură ce săpați mai adânc. Amplitudinea oscilațiilor de temperatură este (A_0e ^ {- sqrt { frac { omega} {2k}} x} ). Această funcție se descompune foarte repede pe măsură ce crește (x ) (adâncimea). Să luăm din nou parametrii tipici ca mai sus. De asemenea, vom presupune că oscilația temperaturii noastre de suprafață este ( pm 15 ^ { circ} ) Celsius, adică (A_0 = 15 ). Apoi, variația temperaturii maxime la (700 ) centimetri este de numai ( pm 0,66 ^ { circ} ) Celsius.

Nu trebuie să săpați foarte adânc pentru a obține un „frigider” eficient, cu o temperatură aproape constantă. De aceea vinurile sunt păstrate într-o pivniță; aveți nevoie de o temperatură constantă. Diferențialul de temperatură ar putea fi, de asemenea, utilizat pentru energie. O casă ar putea fi încălzită sau răcită profitând de faptul de mai sus. Chiar și fără miezul pământului ai putea încălzi o casă iarna și o poți răcori vara. Miezul pământului face ca temperatura să fie mai ridicată cu cât sapi mai adânc, deși trebuie să sapi oarecum adânc pentru a simți o diferență. Nu am luat în considerare acest lucru mai sus.

2Mythbusters, episodul 31, Discovery Channel, difuzat inițial pe 18 mai 2005.


Priveste filmarea: De ce apare cleiul la pomi! Tratamente pomi fructiferi (Iulie 2022).


Comentarii:

  1. Mara

    Incredibil!

  2. Dagis

    Cred că vei lua decizia corectă. Nu disperați.

  3. Macbride

    Îmi pare rău, dar nu ai putea oferi puțin mai multe informații.

  4. Tristian

    Adică nu ai dreptate. Introduceți vom discuta. Scrie -mi în pm, ne vom descurca.

  5. Yannic

    Informațiile foarte valoroase



Scrie un mesaj