Articole

3.2E: Metoda îmbunătățită a lui Euler și metodele conexe (exerciții) - Matematică

3.2E: Metoda îmbunătățită a lui Euler și metodele conexe (exerciții) - Matematică


We are searching data for your request:

Forums and discussions:
Manuals and reference books:
Data from registers:
Wait the end of the search in all databases.
Upon completion, a link will appear to access the found materials.

Majoritatea exercițiilor numerice următoare implică probleme de valoare inițiale luate în considerare în exercițiile din secțiunea 3.1. Veți găsi instructiv să comparați rezultatele obținute aici cu rezultatele corespunzătoare pe care le-ați obținut în secțiunea 3.1.

Q3.2.1

În Exerciții 3.2.1–3.2.5 utilizați metoda Euler îmbunătățită pentru a găsi valori aproximative ale soluției problemei valorii inițiale date în punctele (x_i = x_0 + ih ), unde (x_0 ) este punctul în care se impune condiția inițială și (i = 1 ), (2 ), (3 ).

1. (y '= 2x ^ 2 + 3y ^ 2-2, quad y (2) = 1; quad h = 0,05 )

2. (y '= y + sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}, quad y (0) = 1; quad h = 0.1 )

3. (y '+ 3y = x ^ 2-3xy + y ^ 2, quad y (0) = 2; quad h = 0,05 )

4. (y '= {1 + x over1-y ^ 2}, quad y (2) = 3; quad h = 0.1 )

5. (y '+ x ^ 2y = sin xy, quad y (1) = pi; quad h = 0.2 )

Q3.2.2

6. Utilizați metoda Euler îmbunătățită cu dimensiuni de pași (h = 0,1 ), (h = 0,05 ) și (h = 0,025 ) pentru a găsi valori aproximative ale soluției problemei valorii inițiale [y ' + 3y = 7e ^ {4x}, quad y (0) = 2 nonumber ] at (x = 0 ), (0.1 ), (0.2 ), (0.3 ), ..., (1.0 ). Comparați aceste valori aproximative cu valorile soluției exacte (y = e ^ {4x} + e ^ {- 3x} ), care pot fi obținute prin metoda Secțiunii 2.1. Prezentați rezultatele într-un tabel de genul Tabelul 3.2.2.

7. Utilizați metoda Euler îmbunătățită cu dimensiuni de pași (h = 0,1 ), (h = 0,05 ) și (h = 0,025 ) pentru a găsi valori aproximative ale soluției problemei valorii inițiale [y ' + {2 over x} y = {3 over x ^ 3} +1, quad y (1) = 1 nonumber ] at (x = 1.0 ), (1.1 ), (1.2 ), (1.3 ),…, (2.0 ). Comparați aceste valori aproximative cu valorile soluției exacte [y = {1 over3x ^ 2} (9 ln x + x ^ 3 + 2) nonumber ] care poate fi obținută prin metoda Secțiunii 2.1. Prezentați rezultatele într-un tabel de genul Tabelul 3.2.2.

8. Utilizați metoda Euler îmbunătățită cu dimensiuni de pași (h = 0,05 ), (h = 0,025 ) și (h = 0,0125 ) pentru a găsi valori aproximative ale soluției problemei valorii inițiale [y ' = {y ^ 2 + xy-x ^ 2 over x ^ 2}, quad y (1) = 2, nonumber ] at (x = 1.0 ), (1.05 ), (1.10 ), (1,15 ),…, (1,5 ). Comparați aceste valori aproximative cu valorile soluției exacte [y = {x (1 + x ^ 2/3) over1-x ^ 2/3} nonumber ] obținute în Exemplul [exemplu: 2.4.3}. Prezentați rezultatele într-un tabel de genul Tabelul 3.2.2.

9. În Exemplul [exemplu: 3.2.2} s-a arătat că [y ^ 5 + y = x ^ 2 + x-4 nonumber ] este o soluție implicită a problemei valorii inițiale [y '= {2x +1 over5y ^ 4 + 1}, quad y (2) = 1. tag {A} ] Utilizați metoda Euler îmbunătățită cu dimensiuni de pași (h = 0,1 ), (h = 0,05 ) și (h = 0,025 ) pentru a găsi valori aproximative ale soluției lui (A) la (x = 2.0 ), (2.1 ), (2.2 ), (2.3 ), ..., (3.0 ). Prezentați rezultatele în formă tabelară. Pentru a verifica eroarea în aceste valori aproximative, construiți un alt tabel cu valori ale reziduului [R (x, y) = y ^ 5 + yx ^ 2-x + 4 nonumber ] pentru fiecare valoare a ((x, y) ) care apare în primul tabel.

10. Poți vedea din Exemplul 2.5.1 că [x ^ 4y ^ 3 + x ^ 2y ^ 5 + 2xy = 4 nonumber ] este o soluție implicită a problemei valorii inițiale [y '= - {4x ^ 3y ^ 3 + 2xy ^ 5 + 2y over3x ^ 4y ^ 2 + 5x ^ 2y ^ 4 + 2x}, quad y (1) = 1. tag {A} ] Utilizați metoda Euler îmbunătățită cu dimensiuni de pași (h = 0,1 ), (h = 0,05 ) și (h = 0,025 ) pentru a găsi valori aproximative ale soluției lui (A) la (x = 1.0 ), (1.14 ), (1.2 ), (1.3 ), ..., (2.0 ). Pentru a verifica eroarea în aceste valori aproximative, construiți un alt tabel cu valori ale reziduului [R (x, y) = x ^ 4y ^ 3 + x ^ 2y ^ 5 + 2xy-4 nonumber ] pentru fiecare valoare a ((x, y) ) care apare în primul tabel.

11. Folosiți metoda Euler îmbunătățită cu dimensiuni de pași (h = 0,1 ), (h = 0,05 ) și (h = 0,025 ) pentru a găsi valori aproximative ale soluției problemei valorii inițiale [(3y ^ 2 + 4y) y '+ 2x + cos x = 0, quad y (0) = 1 quad text {(Exercițiul 2.2.13)} ] la (x = 0 ), (0.1 ), (0,2 ), (0,3 ), ..., (1,0 ).

12. Utilizați metoda Euler îmbunătățită cu dimensiuni de pași (h = 0,1 ), (h = 0,05 ) și (h = 0,025 ) pentru a găsi valori aproximative ale soluției problemei valorii inițiale [y ' + {(y + 1) (y-1) (y-2) peste x + 1} = 0, quad y (1) = 0 quad text {(Exercițiul 2.2.14)} ] la (x = 1.0 ), (1.1 ), (1.2 ), (1.3 ), ..., (2.0 ).

13. Utilizați metoda Euler îmbunătățită și metoda semiliniară Euler îmbunătățită cu mărimi de pași (h = 0,1 ), (h = 0,05 ) și (h = 0,025 ) pentru a găsi valori aproximative ale soluției inițiale problemă de valoare [y '+ 3y = e ^ {- 3x} (1-2x), quad y (0) = 2, nonumber ] at (x = 0 ), (0.1 ), (0,2 ), (0,3 ),…, (1,0 ). Comparați aceste valori aproximative cu valorile soluției exacte (y = e ^ {- 3x} (2 + x-x ^ 2) ), care pot fi obținute prin metoda Secțiunii 2.1. Observați ceva special la rezultate? Explica.

Q3.2.3

Problemele de valoare inițială liniară în Exerciții 3.2.14-3.2.19 nu poate fi rezolvat exact în termeni de funcții elementare cunoscute. În fiecare exercițiu utilizați metodele Euler îmbunătățite și Euler semiliniare îmbunătățite cu dimensiunile pasului indicate pentru a găsi valori aproximative ale soluției problemei valorii inițiale date la 11 puncte la distanțe egale (inclusiv punctele finale) în interval.

14. (y'-2y = {1 over1 + x ^ 2}, quad y (2) = 2 ); (h = 0,1,0,05,0,025 ) pe ([2,3] )

15. (y '+ 2xy = x ^ 2, quad y (0) = 3 ); (h = 0,2,0,1,0,05 ) pe ([0,2] ) (Exercițiul 2.1.38)

16. ({y '+ {1 over x} y = { sin x over x ^ 2}, quad y (1) = 2} ), (h = 0.2,0.1,0.05 ) pe ([1,3] ) (Exercițiul 2.1.39)

17. ({y '+ y = {e ^ {- x} tan x over x}, quad y (1) = 0} ); (h = 0,05,0,025,0,0125 ) pe ([1,1,5] ) (Exercițiul 2.1.40),

18. ({y '+ {2x over 1 + x ^ 2} y = {e ^ x over (1 + x ^ 2) ^ 2}, quad y (0) = 1} ); (h = 0,2,0,1,0,05 ) pe ([0,2] ) (Exercițiul 2.1.41)

19. (xy '+ (x + 1) y = e ^ {x ^ 2}, quad y (1) = 2 ); (h = 0,05,0,025,0,0125 ) pe ([1,1,5] ) (Exercițiul 2.1.42)

Q3.2.4

În Exerciții 3.2.20-3.2.22 utilizați metoda Euler îmbunătățită și metoda semiliniară Euler îmbunătățită cu dimensiunile pasului indicate pentru a găsi valori aproximative ale soluției problemei valorii inițiale date la 11 puncte la distanțe egale (inclusiv punctele finale) în interval.

20. (y '+ 3y = xy ^ 2 (y + 1), quad y (0) = 1 ); (h = 0,1,0,05,0,025 ) pe ([0,1] )

21. ({y'-4y = {x over y ^ 2 (y + 1)}, quad y (0) = 1} ); (h = 0,1,0,05,0,025 ) pe ([0,1] )

22. ({y '+ 2y = {x ^ 2 over1 + y ^ 2}, quad y (2) = 1} ); (h = 0,1,0,05,0,025 ) pe ([2,3] )

Q3.2.5

23. Faceți exercițiu ( PageIndex {7} ) cu „metoda Euler îmbunătățită” înlocuită cu „metoda punctului mediu”.

24. Faceți exercițiu ( PageIndex {7} ) cu „metoda Euler îmbunătățită” înlocuită cu „metoda lui Heun”.

25. Faceți exercițiu ( PageIndex {8} ) cu „metoda Euler îmbunătățită” înlocuită cu „metoda punctului mediu”.

26. Faceți exercițiu ( PageIndex {8} ) cu „metoda Euler îmbunătățită” înlocuită de „metoda Heun”.

27. Faceți exercițiu ( PageIndex {11} ) cu „metoda Euler îmbunătățită” înlocuită cu „metoda punctului mediu”.

28. Faceți exercițiu ( PageIndex {11} ) cu „metoda Euler îmbunătățită” înlocuită cu „metoda Heun”.

29. Faceți exercițiu ( PageIndex {12} ) cu „metoda Euler îmbunătățită” înlocuită cu „metoda punctului mediu”.

30. Faceți exercițiu ( PageIndex {12} ) cu „metoda Euler îmbunătățită” înlocuită cu „metoda Heun”.

31. Arătați că dacă (f ), (f_x ), (f_y ), (f_ {xx} ), (f_ {yy} ) și (f_ {xy} ) sunt continue și delimitate pentru toate ((x, y) ) și (y ) este soluția problemei valorii inițiale [y '= f (x, y), quad y (x_0) = y_0, nonumber ] atunci (y '' ) și (y '' ') sunt delimitate.

32. Cadratură numerică (vezi Exercițiul 3.1.23).

  1. Derivați formula patraturii [ int_a ^ bf (x) , dx aproximativ 0,5h (f (a) + f (b)) + h sum_ {i = 1} ^ {n-1} f (a + ih) tag {A} nonumber ] (unde (h = (ba) / n) ) prin aplicarea metodei Euler îmbunătățite la problema valorii inițiale [y '= f (x), quad y ( a) = 0. nonumber ]
  2. Formula de cuadratură (A) se numește regula trapezului. Desenați o figură care justifică această terminologie.
  3. Pentru mai multe opțiuni de (a ), (b ), (A ) și (B ), aplicați (A) la (f (x) = A + Bx ), cu ( n = 10,20,40,80,160,320 ). Comparați rezultatele cu răspunsurile exacte și explicați ce găsiți.
  4. Pentru mai multe opțiuni de (a ), (b ), (A ), (B ) și (C ), aplicați (A) la (f (x) = A + Bx + Cx ^ 2 ), cu (n = 10 ), (20 ), (40 ), (80 ), (160 ), (320 ). Comparați rezultatele cu răspunsurile exacte și explicați ce găsiți.

3.2E: Metoda îmbunătățită a lui Euler și metodele conexe (exerciții) - Matematică

Coordonator curs: Dr. Judith Bunder

Orarul cursului

Programul complet al tuturor activităților pentru acest curs poate fi accesat din Planificatorul de cursuri.

Rezultatele învățării cursului
1 Demonstrați înțelegerea metodelor numerice obișnuite și a modului în care acestea sunt utilizate pentru a obține soluții aproximative la probleme matematice altfel intratabile.
2 Aplicați metode numerice pentru a obține soluții aproximative la probleme matematice.
3 Derivați metode numerice pentru diverse operații și sarcini matematice, cum ar fi interpolare, diferențiere, integrare, soluția ecuațiilor liniare și neliniare și soluția ecuațiilor diferențiale.
4 Analizați și evaluați acuratețea metodelor numerice obișnuite.
5 Implementați metode numerice în Matlab.
6 Scrieți cod Matlab eficient și bine documentat și prezentați rezultatele numerice într-un mod informativ.
Atribute ale absolvenților universitari

Acest curs va oferi studenților posibilitatea de a dezvolta atributele absolvenților specificate mai jos:

  • informați și infuzați de cercetări de ultimă oră, schele pe tot parcursul programului lor de studii
  • dobândit din interacțiunea personală cu educatorii activi de cercetare, din anul 1
  • acreditat sau validat conform standardelor naționale sau internaționale (pentru programele relevante)
  • îmbibat în metode de cercetare și rigoare
  • bazat pe dovezi empirice și abordarea științifică a dezvoltării cunoștințelor
  • demonstrat printr-o evaluare adecvată și relevantă
Resurse necesare
Resurse recomandate
Învățare online
Moduri de învățare și predare

Acest curs utilizează o varietate de metode pentru livrarea materialului cursului.

Unele materiale de prelegere sunt livrate folosind screencast-uri online împreună cu exerciții interactive și teste Maple TA. Alte materiale de prelegere sunt livrate în format tradițional față în față.

Tutorialele se țin la două săptămâni. În aceste clase, veți lucra la probleme de tutorial care au scopul de a vă îmbunătăți înțelegerea materialului prelegerii și capacitatea de a rezolva probleme teoretice. Sunteți încurajați să încercați problemele înainte de tutorial și să finalizați toate problemele rămase după aceea.

Practicile se țin la două săptămâni, alternând cu tutoriale. În aceste clase, veți utiliza Matlab pentru a implementa algoritmi numerici dezvoltați în cursuri. Trebuie trimise lucrări practice pentru a arăta că ați finalizat sesiunea.

Temele sunt stabilite săptămânal. În sarcini, vi se cere de obicei să scrieți un program Matlab pentru a rezolva o problemă matematică și să vă prezentați rezultatele într-un raport scris. De asemenea, pot fi puse întrebări despre aspectele teoretice ale problemei.

Volumul de lucru

Informațiile de mai jos sunt furnizate ca un ghid pentru a ajuta studenții să se angajeze în mod corespunzător cu cerințele cursului.

Activitate Cantitate Ore de încărcare de lucru
Lectura 24 72
Tutoriale 5 20
Sarcini 5 40
Practici 6 24
TOTALE 156
Rezumatul activităților de învățare
Programa
Saptamana 1 Revizuire Matlab, vectorizare.
Săptămâna 2 Interpolare polinomială. Practic 1: Matlab și vectorizare.
Săptămâna 3 Diferențierea și integrarea numerică. Tutorial 1: Interpolare polinomială.
Săptămâna 4 Spline liniare și cubice într-o singură dimensiune. Practic 2: Integrare și diferențiere numerică.
Săptămâna 5 Funcții de bază radială spline în dimensiuni multiple. Tutorial 2: Integrare și diferențiere numerică.
Săptămâna 6 Factorizare și aplicații LU și QR. Practic 3: Spline.
Săptămâna 7 Norme și numere de condiții. Metoda Jacobi. Tutorial 3: factorizarea LU și QR.
Săptămâna 8 Iterație punct fix, metoda lui Newton. Practic 4: Algebră liniară numerică.
Săptămâna 9 Metoda lui Euler, metoda Euler îmbunătățită, probleme de valoare inițială. Tutorial 4: Metoda Jacobi, iterația punctului fix și metoda lui Newton.
Săptămâna 10 Metode Runge Kutta, limitări de pași în timp, soluții Matlab ODE. Practic 5: metoda lui Newton și ecuații diferențiale obișnuite.
Săptămâna 11 Probleme cu valori limită. Ecuații diferențiale parțiale. Metode Monte Carlo. Tutorial 5: Ecuații diferențiale ordinare.
Săptămâna 12 Metode Monte Carlo. Revizuire Practic 6: ecuații diferențiale parțiale și integrare Monte Carlo
X
  1. Evaluarea trebuie să încurajeze și să consolideze învățarea.
  2. Evaluarea trebuie să permită judecăți solide și corecte cu privire la performanța elevilor.
  3. Practicile de evaluare trebuie să fie corecte și echitabile pentru elevi și să le ofere posibilitatea de a demonstra ceea ce au învățat.
  4. Evaluarea trebuie să mențină standardele academice.
Rezumatul evaluării
Componenta Ponderare Obiectiv evaluat
Examen (3 ore) 65% Toate
Sarcini 25% Toate
Practici 6% Toate
Teste / MapleTA 4% Toate
Cerințe legate de evaluare
Detaliu de evaluare
Element de evaluare Distribuit Data scadentă Ponderare
Alocarea 1 Săptămâna 2 Săptămâna 4 5%
Tema 2 Săptămâna 4 Săptămâna 6 5%
Tema 3 Săptămâna 6 Săptămâna 8 5%
Tema 4 Săptămâna 8 Săptămâna 10 5%
Tema 5 Săptămâna 10 Săptămâna 12 5%

Testele tutoriale și exercițiile MapleTA vor fi stabilite pe tot parcursul cursului. Au o greutate egală.
Depunere

Va trebui să trimiteți atât componente electronice, cât și pe suport de hârtie pentru fiecare sarcină. Componenta electronică trebuie trimisă conform instrucțiunilor de atribuire. Acesta va fi marcat electronic și rezultatul va fi adăugat la nota dvs. pe copie. Componenta pe copie trebuie să fie trimisă în cutiile de predare desemnate din cadrul Școlii de Științe Matematice, cu o copertă semnată atașată.

Nu vor fi acceptate sarcini târzii. Studenții pot fi scutiți de o sarcină din motive medicale sau compătimitoare. Este necesară documentarea și lectorul trebuie să fie notificat cât mai curând posibil.

Temele vor avea un timp de răspuns de două săptămâni pentru feedback pentru elevi.

Gradarea cursului

Notele pentru performanța dvs. în acest curs vor fi acordate în conformitate cu următoarea schemă:

M10 (Schema de marcare a cursurilor)
Grad marcă Descriere
FNS Nu reușește nicio trimitere
F 1-49 Fail
P 50-64 Trece
C 65-74 Credit
D 75-84 Distincţie
HD 85-100 Distinctie inalta
CN Continuând
NFE Fără examinare formală
RP Rezultat în așteptare

Mai multe detalii despre note / rezultate pot fi obținute de la examene.

Sunt disponibili descriptori de note care oferă un ghid general pentru standardul de lucru care este așteptat la fiecare nivel de clasă. Mai multe informații la Evaluare pentru cursuri.

Rezultatele finale pentru acest curs vor fi disponibile prin Access Adelaide.

Universitatea acordă o mare prioritate abordărilor de învățare și predare care îmbunătățesc experiența studenților. Feedback-ul este solicitat de la studenți într-o varietate de moduri, inclusiv angajarea continuă cu personalul, utilizarea panourilor de discuții online și utilizarea sondajelor privind experiența studenților de învățare și predare (SELT), precum și sondaje GOS și revizuiri ale programului.

SELT-urile reprezintă o sursă importantă de informații pentru a informa practica individuală de predare, deciziile cu privire la atribuțiile de predare și proiectarea curriculumului cursurilor și a programelor. Acestea permit Universității să evalueze cât de eficient mediile sale de învățare și practicile de predare facilitează implicarea studenților și rezultatele învățării. În conformitate cu politica actuală SELT (http://www.adelaide.edu.au/policies/101/), cursurile SELT sunt obligatorii și trebuie efectuate la încheierea fiecărui trimestru / semestru / trimestru pentru fiecare ofertă de curs. Feedback-ul cu privire la problemele ridicate prin sondajele SELT ale cursului este pus la dispoziția studenților înscriși prin diferite resurse (de exemplu, MyUni). În plus, sunt disponibile date agregate SELT despre curs.

Această secțiune conține linkuri către politicile și orientările relevante legate de evaluare - toate politicile universității.

Studenților li se amintește că, pentru a menține integritatea academică a tuturor programelor și cursurilor, universitatea are o abordare de toleranță zero studenților care oferă bani sau bunuri sau servicii de valoare semnificativă oricărui membru al personalului care este implicat în predarea sau evaluarea lor. Studenții care oferă lectorilor sau tutorilor sau personalului profesionist orice altceva decât un mic semn de apreciere este total inacceptabil, în orice circumstanță. Membrii personalului sunt obligați să raporteze toate aceste incidente conducătorului / managerului lor, care îi va îndruma pentru acțiune în conformitate cu procedurile disciplinare ale studenților.

Universitatea din Adelaide se angajează să analizeze periodic cursurile și programele pe care le oferă studenților. Prin urmare, Universitatea din Adelaide își rezervă dreptul de a întrerupe sau modifica programele și cursurile fără notificare prealabilă. Vă rugăm să citiți informațiile importante conținute în declinarea responsabilității.


3.2E: Metoda îmbunătățită a lui Euler și metodele conexe (exerciții) - Matematică

Dacă găsiți o greșeală, omisiune etc., vă rugăm să ne anunțați prin e-mail.

Mingea portocalie marchează locația noastră curentă în parcurs.

Pentru o explicație a modelului de fundal, treceți înainte la sfârșitul paginii. 31 ianuarie: plan.pdf și intro.pdf: administrativ și filozofie / exemple

CA pentru Math 259 este Jeechul Woo, student absolvent în departamentul de matematică. Presupunerea firească a adresei sale este corectă.

A lui secțiuni va avea loc Joi, 18-19 în Sala 109 a Centrului de Științe.

2 februarie: elem.pdf: Metode elementare I: Variații pe Euclid
Temele = Exercițiile 2, 5, 6. (Exercițiile 2,6 corectat 4 februarie, mulțumită lui J.Woo și respectiv S.Shah.)

5 februarie: euler.pdf: Metode elementare II: Produsul Euler pentru s> 1 și consecințe
(corectat 5 februarie, pentru a remedia greșeala de greșeală la pagina 1 [număr de ecuație greșit pentru funcția zeta, mulțumită lui C.Davis] și pentru a corecta o greșeală de tipar [„liniar neliniar”] la pagina 6 și din nou 8 februarie pentru a îmbunătăți exercițiul 2)
Temele = Exercițiile 2, 3, 4, 7.

7 și 9 februarie: dirichlet.pdf: Personajele Dirichlet și seria L Teorema lui Dirichlet sub ipoteza că seria L nu dispare la s = 1
(Exerciții 1,2,3 corectat 8 februarie / 9 [greșeli S pentru P în numărul 1, „seria L” s-a schimbat în „seria Dirichlet” în numărul 2, clarificare pentru numărul 3], datorită S.Kominers, J.Lesieutre, S .Shah și E.Udovina, două tipuri minore aproape de mijlocul paginii 5 fixate pe 13 februarie, datorită lui N.Wage)
Tema datorată pe 9 februarie = Exercițiile 1, 3, 7.
Temele datorate pe 16 februarie = Exercițiile 5, 6, 8, 9, 10, 11.

21 februarie: chebi.pdf: introducerea metodei lui Cebysev a aproximării lui Stirling și a funcției von Mangoldt Lambda (n) și suma sa psi (x)
(corectat 21 februarie pentru a remedia erorile de semn pe pagina 2 [a doua derivată a jurnalului (y) este -1 / y 2, nu 1 / y 2 - din fericire, aceasta afectează doar valoarea lui C], datorită lui J.Woo și Feb .22 pentru a oferi referința și câteva informații pentru teorema Diamond-Erdos menționată în exercițiul 2, mulțumită lui Jeff Lagarias pentru indicator)
Temele = Exercițiile 1, 4, 5, 7.

23 februarie: psi.pdf: Analiza complexă intră în imagine prin formula integrală de contur pentru psi (x) și sume similare
(corectat 1 martie pentru a remedia o eroare observată de N.Wage: estimarea din partea de jos a paginii 2 [și textul ulterior în funcție de aceasta, inclusiv exercițiul 1] a neglijat un termen de eroare - ouch!)
Temele = Exercițiile 1, 2, 3.

26 februarie: zeta1.pdf: ecuația funcțională pentru funcția zeta Riemann utilizând inversiunea Poisson pe seria de fapte de bază despre Gamma (s) ca funcție a unei variabile complexe s
(Exercițiile 6 și 9 corectat 28 februarie și 7 martie [factor fals de sqrt (Pi) în (8), factor lipsă de 1 / i în Ex.9], datorită Formulei E.Udovina (1) corectat 10 martie - J.Woo a remarcat că suma s-a terminat cp a avut un început incorect! Formula (8) corectat 15 martie - Silas Richelson observă că ultimul exponent nu ar trebui să fie pi w 2 u)
Temele = Exercițiile 1, 2, 7 (26 februarie) 8, 9, 10 (28 februarie).

2 martie: gamma.pdf: Mai multe despre Gamma (s) ca funcție a unei variabile complexe s: formula produsului, aproximarea Stirling și câteva consecințe
Temele = Exercițiile 1, 4, 6

5 martie: prod.pdf: Funcțiile ordinii finite: formula produsului Hadamard și derivatul său logaritmic
(corectat 10 martie pentru a remedia o greșeală de greșeală notată de J.Woo: f0, nu f, în RHS cu formula (3))
Temele = Exercițiile 1, 2, 3, 4

7 martie: zeta2.pdf: Produsele Hadamard pentru distribuția verticală a xi (s) și zeta (s) a zerourilor din zeta (s).
(corectat 20,21 martie pentru a remedia erorile observate de J.Woo și T.Oey în prima linie a afișajului în partea de sus a paginii 5)
Temele = Exercițiile 1, 2

Această imagine a apărut fără explicații pe o pagină web pentru John Derbyshire Obsesie primară. Este un grafic al funcției zeta Riemann de la limita dreptunghiului [0.4,0.6] + [0,14.5]eu în planul complex. Deoarece conturul se învârte o dată în jurul originii (și nu conține punctul s= 1, care este polul unic al zeta (s)), funcția zeta are un zero unic în interiorul acestui dreptunghi. Deoarece se știe că zero-urile complexe sunt simetrice cu linia Re (s) = 1/2, acest zero trebuie să aibă o parte reală exact egală cu 1/2, în conformitate cu ipoteza Riemann.

Se știe că acest prim „zero netivial” al zeta (s) apare la s=1/2+aceasta pentru t= 14.13472514. Stâlpul de la s= 1 contează aria largă din al treilea cadran, care corespunde s de parte imaginară mai mică de 1.

Iată o imagine similară pentru L (s, chi4) pe [0.4,0.6] + [0,11]eu. Fără un stâlp în cartier, această imagine este mai puțin interesantă din punct de vedere vizual. Vedem primele două zerouri netriviale, cu părți imaginare 6.0209489. și 10.2437703.

Pentru mai multe imagini în acest sens, a se vedea manuscrisul lui Juan Arias de Reyna „Radiografia X a funcției Zeta Riemann”, partea 1 și partea 2.

9 martie: free.pdf: Non-dispariția zeta (s) pe marginea sigma = 1 a benzii critice și regiunea clasică fără zero pentru
Temele = Exercițiul 1

12 martie: pnt.pdf: Concluzia dovezii teoremei numărului prim cu eroare a legat ipoteza Riemann și câteva dintre consecințele sale și afirmații echivalente.
Temele = Exercițiile 1, 2, 3

Iată o lucrare expozitivă a lui B. Conrey despre Ipoteza Riemann, care include o serie de alte imagini sugestive care implică funcția zeta Riemann, zerourile sale și distribuția primelor.

Iată lucrarea Rubinstein-Sarnak „Prejudecarea lui Chebyshev” (în PostScript, din jurnal Matematică experimentală unde a apărut ziarul în 1994).

Iată o bibliografie a calculelor rapide ale pi (x).

[14 martie: închiderea imaginii sub zeta a unei linii verticale a părții reale mai mari de 1 aplicații: minimul | zeta | pe o astfel de linie și supremul (= 1,0339080723629239.) al părților reale ale liniilor pe care zeta ia valori reale negative.]

16 martie: lsx.pdf: L (s, chi) ca o funcție întreagă (unde chi este un caracter primitiv netivial mod q) sume Gauss și ecuația funcțională care leagă L (s, chi) de L (1- s, bar chi)
(Exercițiul 2 corectat 21 martie pentru a remedia o eroare observată de E.Udovina, cu siguranță nu ne putem aștepta să obținem în general o funcție analitică pe închis pe jumătate de plan, pentru că, chiar dacă converge acolo, nu trebuie să convergă în niciun cartier. )
Temele = Exercițiile 1, 2, 3 (16 martie) 4, 5, 12 (19 martie)

21 martie: pnt_q.pdf: Formula produsului pentru L (s, chi) și descompunerea parțială a fracției derivatei sale logaritmice a (rea!) Regiune fără zero pentru L (s, chi) și estimările rezultate pe psi (x, chi) și astfel pe psi (x, a mod q) și pi (x, a mod q). Ipoteza și consecințele Riemann extinse.
Temele = Exercițiile 1, 2, 3

[23 martie: semnul sumelor Gauss pătratice, prin matricea pentru Fourier discret transformă unele conexiuni familiare și mai puțin familiare între sumele Gauss pătratice și Reciprocitatea Cadratică]


Politici generale și informații

Informațiile din această secțiune se aplică tuturor cursurilor oferite de departament

Studenți cu dizabilități

Dacă sunteți un student cu dizabilități și credeți că veți avea nevoie de acomodări pentru această clasă, este responsabilitatea dvs. să contactați Centrul de succes pentru abilități studențești la (619) 594-6473. Pentru a evita orice întârziere în primirea cazărilor dvs., trebuie să contactați Centrul de succes pentru abilități studențești cât mai curând posibil. Vă rugăm să rețineți că cazările nu sunt retroactive și că nu pot oferi cazări bazate pe dizabilități până când nu am primit o scrisoare de cazare de la Centrul de Succes pentru Studenți. Cooperarea dvs. este apreciată.

Confidențialitatea studenților și proprietatea intelectuală

Legea privind drepturile educaționale și confidențialitatea familiei (FERPA) impune protecția informațiilor despre studenți, inclusiv informații de contact, note și sarcini gradate. Nu voi posta note sau voi lăsa sarcini gradate în locuri publice. Studenții vor fi anunțați la momentul unei sarcini dacă copii ale lucrărilor studenților vor fi păstrate dincolo de sfârșitul semestrului sau vor fi utilizate ca exemple pentru viitorii studenți sau pentru publicul larg. Studenții își păstrează drepturile de proprietate intelectuală asupra produselor de lucru pe care le creează ca parte a acestui curs, cu excepția cazului în care sunt informați în mod formal altfel.

Centrul de învățare a matematicii și statisticii

Centrul de învățare SDSU Math & amp Stat se află în Biblioteca de dragoste, camera LL-328. "Centrul de învățare pentru matematică și statistici este deschis pentru a sprijini studenții la toate cursurile de matematică din divizia inferioară de la SDSU. Avem tutori disponibili pentru asistență în timpul orelor deschise. TA-urile pentru matematica 141, 150, 151 și 252 își dețin și ele funcția. ore acolo. Vă rugăm să consultați programul când AT-urile pentru clasa dvs. vor fi în centru, accesând site-ul nostru web: mlc.sdsu.edu. MLC este susținut de taxa de succes a studenților dvs. Vă încurajăm cu tărie să utilizați acest minunat, resursă gratuită. Unii studenți consideră că nu ar trebui să ceară ajutor. Dar cercetările au arătat că nota medie pentru elevii care frecventează MLC este cu jumătate de clasă mai mare decât cei care nu solicită un astfel de sprijin. "

Dacă sunteți înscris într-o clasă care nu are asistență specifică, MLC poate servi în continuare ca un loc excelent de studiu / întâlnire matematică și dacă sunteți interesat să deveniți un tutor în centru, urmăriți pagina web a centrului pentru angajarea anunțurilor .

Înșelăciune și plagiat

Elevii sunt, în general, încurajați să studieze împreună și să lucreze împreună pentru a rezolva exerciții. Finale, semestrial, teste, proiect și altele desemnate "munca individuala" activitățile trebuie finalizate fără asistență. Toate încălcările vor fi raportate Centrului pentru Drepturile și Responsabilitățile Studenților și vor avea ca rezultat și reduceri de scor / notă la discreția profesorului. Vă rugăm să revizuiți politica completă a SDSU privind onestitatea academică.

  • copierea, parțială sau totală, a testului altuia sau a altui examen
  • obținerea copiilor unui test, a unui examen sau a altor materiale de curs fără permisiunea instructorului
  • colaborând cu altul sau cu alții în lucru pentru a fi prezentat fără permisiunea instructorului
  • falsificarea înregistrărilor, lucrărilor de laborator sau alte date despre curs
  • trimiterea lucrărilor prezentate anterior într-un alt curs, dacă este contrar regulilor cursului
  • modificarea sau interferarea cu procedurile de notare
  • asistarea unui alt student în oricare dintre cele de mai sus
  • utilizarea surselor textual sau parafrazarea fără a da o atribuire adecvată (aceasta poate include fraze, propoziții, paragrafe și / sau pagini de lucru)
  • copierea și lipirea lucrărilor dintr-o sursă online sau offline direct și numindu-le a ta
  • folosind informații pe care le găsiți dintr-o sursă online sau offline, fără a acorda autorului credit
  • înlocuind cuvinte sau fraze dintr-o altă sursă și inserând propriile cuvinte sau fraze

Observații religioase

Potrivit fișierului de politici universitare, studenții ar trebui să anunțe instructorii cursurilor afectate despre absențele planificate pentru observațiile religioase până la sfârșitul celei de-a doua săptămâni de cursuri.

Absențe medicale

Studenții sunt instruiți să-și contacteze profesorul / instructorul în cazul în care trebuie să lipsească de la curs etc. din cauza unei boli, a unui accident sau a unei urgențe. Toate deciziile cu privire la impactul unei absențe, precum și orice aranjamente pentru repararea muncii, revin instructorilor. Serviciile de sănătate pentru studenți (SHS) nu oferă scuze medicale pentru absențe de scurtă durată din cauza bolii sau rănirii. Atunci când o absență medicală persistă peste cinci zile, SHS va colabora cu studenții pentru a furniza documentația adecvată. Atunci când un student este internat în spital sau are o boală sau vătămare gravă, în curs de desfășurare, SHS va comunica cu instructorii elevului, la cererea acestuia și cu acordul acestuia, prin intermediul vicepreședintelui pentru afaceri și poate comunica cu asistentul decanului și / sau Centrul de succes pentru abilități studențești

Violența sexuală / Titlul IX Raportare obligatorie

Toți instructorii SDSU sunt reporteri mandatați și, prin urmare, sunt obligați să împărtășească informații cu privire la violența sexuală în campusul SDSU cu coordonatorul Titlului IX, Jessica Rentto 619-594-6017. Coordonatorul Titlului IX are acces la cazare și servicii de asistență la SDSU și posibilități de a trage la răspundere persoana care v-a făcut rău. Nu vi se cere să împărtășiți informații pe care nu doriți să le divulgați, iar nivelul dvs. de implicare va fi la alegerea dvs. Dacă nu doriți ca ofițerul titlului IX să fie notificat, în loc să dezvăluiți aceste informații instructorului dvs., puteți vorbi confidențial cu următoarele persoane din campus și din comunitate: Avocat al victimelor violenței sexuale 619-594-0210 sau Servicii de consiliere și psihologice 619-594-5220, [e-mail & # 160protejat] Vă pot conecta cu serviciile de asistență și pot discuta despre opțiunile de urmărire a unei universități sau a unei anchete penale. Pentru mai multe informații cu privire la drepturile și opțiunile universitare ca supraviețuitor al abaterilor sexuale sau al violenței sexuale, vă rugăm să accesați titleix.sdsu.edu.

Recunoașterea Teritoriului Kumeyaay

De milenii, oamenii Kumeyaay au făcut parte din acest pământ. Acest pământ le-a hrănit, vindecat, protejat și îmbrățișat de mai multe generații într-o relație de echilibru și armonie. În calitate de membri ai comunității de stat din San Diego, recunoaștem această moștenire. Promovăm acest echilibru și armonie. Găsim inspirație din acest pământ, pământul Kumeyaay.


Calculul constantei lui Euler (e)

Numărul lui Euler, scris ca, este probabil a doua cea mai faimoasă constantă matematică după Pi. Dar care este numărul lui Euler și cum îl putem calcula? De fapt, de ce e a devenit atât de faimos și de ce merită un loc pe calculatoarele noastre și în sala de faimă constantă matematică?

Care este numărul lui Euler (e) și de unde a venit?

Numărul lui Euler are o valoare de 2,718 ..., totuși, la fel ca Pi, este un număr irațional, ceea ce înseamnă că nu poate fi scris ca o fracție și că are o expansiune zecimală care va continua pentru totdeauna fără repetare. Numărul lui Euler e a devenit celebru din două motive principale: în primul rând, este utilizat în multe situații importante din viața reală și, în al doilea rând, are multe proprietăți matematice interesante. Acest lucru face un număr fascinant și util atât pentru oamenii de știință, ingineri și matematicieni.

Numărul lui Euler e și interes compus

Numărul lui Euler a fost descoperit pentru prima dată de Jacob Bernoulli în secolul al XVII-lea, când a studiat problema interesului compus.

Imaginați-vă că aveți 1 GBP și că obțineți dobândă de două ori pe an la o rată de 50%.

La sfârșitul anului, ați ajunge cu 1 GBP = 2,25 GBP

Acum imaginați-vă că aveți 1 GBP și că obțineți dobânzi de 12 ori pe an sau în fiecare lună la o rată de (8,3%)

La sfârșitul anului, veți ajunge cu 1 £ 2.61303529 GBP

Acum imaginați-vă că aveți 1 GBP și că obțineți dobândă de 365 de ori pe an sau în fiecare zi la o rată de (0,2739 și # 8230.%)

La sfârșitul anului, veți ajunge cu 1 GBP 2,714567482 GBP

Jacob Bernoulli a pus o întrebare importantă: ce s-ar întâmpla dacă ai primi dobânzi atât de des încât le-ai primi continuu?

De fapt, ce valoare are ca n tinde spre infinit?

S-ar putea să fi ghicit deja răspunsul, doar uitându-ne la exemplul nostru unde n = 365, care se apropie deja destul de mult. This brings us to the most well known way of calculating :

Calculating the value of Euler’s Number e as a limit:

(Keep putting in bigger and bigger values of , until you get really close to the true value of .)

Unfortunately, Jacob Bernoulli didn’t have a computer at his disposal and was only able to say that the value was between 2 and 3. Some years later Leonhard Euler, one of the greatest mathematicians in history managed to calculate the value of , correct to 18 decimal places. Euler had also discovered the following:

Calculating the value of Euler’s Number e using an infinite series:

(In case you are wondering, 5! means and is the factorial function)

The more terms you calculate, the closer you will get to the true value of . You will only arrive at the exact value of if you carry on adding up the sequence forever.

Nobody knows exactly how Euler calculated to 18 decimal places, however the best guess is that he used the sequence above. It was also Euler who named the constant ‘’. Surprisingly, historians are fairly certain that he didn’t name it after himself, but that it was a pure coincidence that he chose the first letter of his surname.

Continued Fractions and e

Euler was also able to represent in the form of a “continued fraction”. There are lots of different ways to represent e as an infinite continued fraction. Here is one of them:

Calculating the value of Euler’s Number e as a continued fraction:

Other ways to calculate e

The three main ways of calculating have been listed above. There are however many other lesser known representations of such as:

If you visit the Wolfram Mathworld page on e, you can browse through a huge collection of different ways of calculating, some of which are very complicated indeed. This same page also lists a collection of mnemonics to help you remember the digits of . A favourite has to be:

“It enables a numskull to memorize a quantity of numerals” (10 digits)

Count the letters in each word and you will have: 2.718281828

Where is Euler’s Number e used in the real world?

Compound Interest is not the only practical use for . In fact, Euler’s number , the function , and the natural logarithm with base appear a lot in real-life processes. The main reason for this is that the exponential function can be used to describe growth and decay.

  • How populations grow
  • How temperature changes as materials heat up or cool down
  • Radioactive decay of particles

Unique mathematical property of

The function has a special mathematical property which has important consequences for calculations involving , making the mathematics involved work much more easily than with many other functions. It is one of the reasons that is used so frequently to model the real world.

The function is the only function where it is equal to its derivative ( stands for any number, and this just means that the property also holds for multiples of ). When you differentiate , it remains unchanged: . This also means that when you integrate it will remain unchanged apart from the constant of integration. This unique property simplifies many calculations involving

Don’t forget about

No discussion about Euler’s Number e would be complete without mentioning one of the most famous equations in mathematics called Euler’s Equation:

(If you aren’t sure what stands for – it is equal to the square root of minus 1 and is called an imaginary number.)

Euler’s Equation shows that both and are connected to one another. This is really surprising, given that comes from looking at the properties of a circle, and arises from situations which have nothing to do with circles such as compound interest. Euler’s Equation shows that is more than just a useful number which can be used by scientists to model the real world – it is a fascinating number in its own mathematical right.

Leonhard_Euler by Jakob Emanuel Handmann [Public domain], via Wikimedia Commons
Radioactive by [email protected]
Jacob Bernoulli By Niklaus Bernoulli (1662-1716) ([2] [3]) [Public domain], via Wikimedia Commons


Math class methods

Min() , max()

Let's start with the simple methods Both functions take two numbers of any data type as parameters. Min() returns the smallest number, max() returns the greatest one.

Round() , ceil() , floor()

All three functions are related to rounding. Round() takes a decimal number as parameter and returns the rounded number of the double data type in the way we learned in school (from 0.5 it rounds upwards, otherwise downwards). Ceil() upwards and floor() rounds downwards no matter what.

We'll certainly be using round() very often. I practically used the other functions e.g. in determining the number of pages of a guestbook. When we've 33 comments and we print only 10 comments per page, they'll, therefore, occupy 3.3 pages. The result must be rounded up since there will be actually 4 pages.

Abs() and signum()

Both methods take a number of any type as a parameter. Abs() returns its absolute value and signum() returns a number based on its sign, -1 , 0 or 1 (for a negative number, zero and a positive number).

Sin() , cos() , tan()

Classic trigonometric functions, all take an angle as a double , which has to be entered in radians (not degrees if your country uses them). To convert degrees to radians we multiply them by * (Math.PI / 180) . The return value is also a double .

Acos() , asin() , atan()

Inverse trigonometric (arcus, sometimes cyclometric) functions, which return the original angle according to the trigonometric value. The parameter is a double and the returned angle is in radians (also as double ). If we wish to have an angle in degrees, we have to divide the radians by / (180 / Math.PI) .

Pow() and sqrt()

Pow() takes two double parameters. The first is the base of the power and the second is the exponent. If we wanted to calculate eg. 2^3 , the code would be as following:

Sqrt is an abbreviation of SQuare RooT, which returns the square root of the number given as a double . Both functions return a double as the result.

Exp() , log() , log10()

Exp() returns the Euler's number raised to a given exponent. Log() returns the natural logarithm of a given number. Log10() returns the decadic logarithm of a number.

Hopefully, you noticed that the method list lacks any general root function. We, however, can calculate it using the functions the Math class provides.

We know that roots work like this: 3rd root of 8 = 8^(1/3). So we can write:

It's very important to write at least one number with a decimal point when we are dividing, otherwise, Java will assume that we want it to apply whole-number division, and the result would have been 8 ^ 0 = 1 in this case.


Book Description

Modelling with Ordinary Differential Equations integrates standard material from an elementary course on ordinary differential equations with the skills of mathematical modeling in a number of diverse real-world situations. Each situation highlights a different aspect of the theory or modeling. Carefully selected exercises and projects present excellent opportunities for tutorial sessions and self-study.
This text/reference addresses common types of first order ordinary differential equations and the basic theory of linear second order equations with constant coefficients. It also explores the elementary theory of systems of differential equations, Laplace transforms, and numerical solutions. Theorems on the existence and uniqueness of solutions are a central feature. Topics such as curve fitting, time-delay equations, and phase plane diagrams are introduced. The book includes algorithms for computer programs as an integral part of the answer-finding process. Professionals and students in the social and biological sciences, as well as those in physics and mathematics will find this text/reference indispensable for self-study.


2 Răspunsuri 2

Before trying to speed up the interpreted code, you should care to get a correct solution at all. That there is still something amiss is visible in the time computations to+i*h that are only valid for a fixed step size. I'll explain the adaptive method from first principles.

The error estimation by Richardson extrapolation

uses the approximation that the numerical solution at time t computed with step size h relates to the exact solution in first order as

gives that the advancement in one and two steps of half size has the errors

is an estimator of the local error at step size h/2 . We know that the local errors in first order add to the global error (in a better approximation there is some compounding with the Lipschitz constant as "annual" interest rate). Thus in the reverse direction we desire to get that the local error is a h sized part of the global error. Divide all local error quantities by h to get values that directly compare to the global error.

The adaptive step size controller

now tries to keep that local error estimate local_err = norm(y(hh)-y(h/2h))/h = norm(C)*h/2 inside some corridor [tol/100, tol] where ´tol´ stands for the desired global error. The ideal step size from the current data is thus computed as

In the algorithm one would compute these integration steps and error estimates and then accept the steps and advance the computation if inside the tolerance bounds, then adapt the step size by above formula go to the next iteration of the loop. Instead of using the computed ideal step size one could also modify the step size by constant factors in the direction of the ideal step size. In general this will only increase the number of rejected steps to still reach the ideal step size.

To avoid oscillations and too abrupt changes in the tried and used step sizes, introduce some kind of moving average, dampen the change factor in direction 1 like in

In code this could look like

The practical application of this method gives the following plot.

In the top the solution curves are depicted. One sees a higher density at the curved or rapidly changing parts and a lower density where the solution curve is more straight. In the lower part the error against the solution of lowest tolerance is displayed. The difference is scaled by the tolerance of the solution, so that all share the same scale. As one can see, the output traces the tolerance demanded at input closely.


INDUCTIVE METHOD:

The inductive method is to move from specific examples to generalization and the deductive method is to move from generalization to specific examples.

Merits of the inductive method:

  • Scientific Method
  • The content becomes crystal clear to students.
  • Based on Actual Observation and Experimentation.
  • Thinking is Logical
  • Suitable for beginners
  • Increases Pupil – Teacher Relationship
  • Home Work is reduced

Demerits of the method

  • Not suitable for all topics
  • Time-Consuming Method
  • Laborious Method
  • Not Suitable for all types of students

DEDUCTIVE METHOD

  • It is a method of reasoning by which concrete applications or consequences are deducted from general principles or theorems are deduced from definitions and postulates.
  • It is proceeding from Abstract to Concrete, General to Particular, and Formula to Examples.
  • Students are given formula/rules/laws/principles directly.

Merits of this method

  1. Time-Saving Method
  2. Suitable for all topics
  3. Suitable to all Students
  4. Glorifies Memory
  5. Useful at Revision Stage
  6. Speed and efficiency
  7. Mostly Used at Higher Stage level

Demerits of this method

  • Not a psychological Method
  • No Originality and Creativity
  • Blind Memorization
  • Educationally Unsound
  • Students are Passive Learners
  • The reasoning is not clear

ANALYTIC METHOD

It proceeds from unknown to known, ’Analysis’ means ‘breaking up’ of the problem in hand so that it ultimately gets connected with something obvious or already known.

It is the process of unfolding of the problem or of conducting its operation to know its hidden aspects.

SYNTHETIC METHOD

  • It is the opposite of the analytic method. Here one proceeds from known to unknown.
  • In practice, synthesis is the complement of analysis.
  • To synthesis is to place together things that are apart.
  • It starts with something already known and connects that with the unknown part of the statement.
  • It starts with the data available or known and connects the same with the conclusion.
  • It is the process of putting together known bits of information to reach the point where unknown information becomes obvious and true.

PROBLEM-SOLVING METHOD

The problem-solving method is one, which involves the use of the process of problem-solving or reflective thinking or reasoning. The problem-solving method, as the name indicated, begins with the statement of a problem that challenges the students to find a solution.

Procedure for Problem-solving

  1. Identifying and defining the problem
  2. Analyzing the problem
  3. Formulating tentative hypothesis
  4. Testing the hypothesis
  5. Verifying of the result of checking the result

LABORATORY METHOD

  • The laboratory method is based on the maxim “learning by doing.”
  • This is an activity method and it leads the students to discover mathematics facts.
  • In it, we proceed from concrete to abstract.

The laboratory method is a procedure for stimulating the activities of the students and to encourage them to make discoveries.

  • This method needs a laboratory in which equipment and other useful teaching aids related to mathematics are available.
  • For example, equipment’s related to geometry, mathematical model, chart, balance, various figures, and shapes made up of wood or hardboards, graph paper, etc.

The procedure of Laboratory method

  • Aim of The Practical Work
  • Provided materials and instruments
  • Provide clear instructions
  • Carry out the experiment
  • Draw the conclusions

PROJECT METHOD

The project method is of American origin and is an outcome of Dewey’s philosophy of pragmatism. However, this method is developed and advocated by Dr. Kilpatrick.

Steps involved in Project Method

  1. Providing /creating the situations
  2. Proposing and choosing the project
  3. Planning the project
  4. Execution of the project
  5. Evaluation of the project
  6. Recording of the project

3.2E: The Improved Euler Method and Related Methods (Exercises) - Mathematics

Nonlinear dynamics and chaos

Day and time of course: Mon, Wed, Fri, 10:00-11:00. Location: Pierce 307

Teaching notes Textbooks Syllabus Requirements

What's the point about optional/ extra credit problems: apart from the fun of doing them, they will count against homework problems in which you may have missed an answer. . .

  • ( St ) Nonlinear Dynamics and Chaos: With Applications to Physics, Biology, Chemistry, and Engineering by Steven H. Strogatz
  • ( Sc ) Deterministic Chaos: An Introduction Heinz Georg Schuster, [VCH, 2nd edition, 1989]
  • ( Ott ) Chaos in dynamical systems , 1993. Edward Ott, Cambridge University Press.
  • ( GH ) Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems and Bifurcations of Vector Fields , Guckenheimer, J and P. Holmes, Springer-Verlag, 1983.
  • ( W ) Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and Chaos. Stephen Wiggins, 1990. (Texts in Applied Mathematics, Vol 2).
  • ( JS ) Classical Dynamics, a contemporary approach. Jorge V. Jose and Eugene J. Saletan. 1993 Cambridge University Press .
  • ( G ) Classical Mechanics , Herbert Goldstein, 2nd edition, 1981. Addison Wesley.

The course will introduce the students to the basic concepts of nonlinear physics, dynamical system theory, and chaos. These concepts will be demonstrated using simple fundamental model systems based on ordinary differential equations and some discrete maps. Additional examples will be given from physics, engineering, biology and major earth systems. The aim of this course is to provide the students with analytical methods, concrete approaches and examples, and geometrical intuition so as to provide them with working ability with non-linear systems.

  • A bit of history (Lorentz and the ``butterfly effect'')
  • Modeling - defining phase space, dimension, parameters, deterministic versus stochastic modeling finite vs infinite dimensional (PDE's, integral eq.) models, linear vs non-linear, autonomous vs non-autonomous systems
  • Examples: population dynamics, pendulum, Lorenz eq., .
  • The geometric approach to dynamical systems
  • Fixed points, linearization, and stability
  • Non-dimensionalization, the Buckingham Pi theorem (see notes here), small parameters, scales.
  • Dynamical systems - continuous vs discrete time (ODEs vs maps St 348), conservative vs dissipative ( St 312).
  • Existence, uniqueness and smooth dependence of solutions of ODE's on initial conditions and parameters.
  • The role of computers in nonlinear dynamics, a simple example of a numerical solution method for ODEs (improved Euler scheme).
  • Outline of rest of course.
  • What's a bifurcation, local vs global bifurcations ( GH ډ.1). Implicit function theorem, classification of bifurcations by number and type (real/ complex) eigenvalues that cross the imaginary axis.
  • saddle-node bifurcation ( St ډ.1 GH ډ.4)
  • Transcritical bifurcation, super critical and sub critical ( St ډ.2 GH ډ.4).
  • Pitchfork, super-critical and sub-critical. bead on a rotating hoop, higher order nonlinear terms and hysteresis ( St § 3.4 GH ډ.4)
  • Some generalities: center manifold and normal form. ( GH ډ.2-3.3).
  • Role of symmetry and symmetry breaking (imperfect bifurcations), relation to catastrophes and sudden transitions. ( St ډ.6)
  • Flows on a circle - oscillators, synchronization (fireflies flashing, Josephson junctions) ( St ڊ)

  • Linear systems: classifications, fixed points, stable and unstable spaces ( St ڋ)
  • Non-linear systems: phase portrait ( St ڌ.1), fixed points and linearization( St ڌ.3), stable and unstable manifolds ( St ڌ.4), conservative systems ( St ڌ.5), reversible systems ( St ڌ.6), Solution of the (fully non-linear) damped pendulum equation ( St ڌ.7), index theory ( St ڌ.8).
  • Limit cycles: Ruling out and finding out closed orbits (Lyapunov functions, Poincare Bendixon theorem) ( St ڍ.2 and ڍ.3)
  • relaxation oscillations (relation to glacial cycles) ( St ڍ.5), weakly non-linear oscillators (Duffing eq) ( St ڍ.6), Averaging method and two time-scales ( St ڍ.6)
  • Hopf bifurcation and oscillating chemical reactions ( St ڎ.2),
  • Global bifurcations of cycles: saddle-node infinite period, and homoclinic bifurcations, examples in Josephson Junction and driven pendulum in 2D ( St ڎ.4 andڎ.5)
  • Quasi periodicity, coupled oscillators, nonlinear resonance/ frequency locking (Frequency locking of glacial cycles to earth orbital variations), ( St ڎ.6)

The Lorentz model as an introduction to chaotic systems (examples briefly motivating it from atmospheric dynamics and as a model of Magnetic field reversals of the Earth) and then a more systematic characterization of chaotic systems (examples from fluid dynamics and mantle convection) ( St ڏ). Some preliminaries: Poincare maps.

  • Period doubling: logistic map, chaos, periodic windows, renormalization, quantitative and qualitative universality. ( Sc ډ)
  • Intermittency: in Lorenz system, in logistic map. Length of laminar intervals from renormalization and simpler approaches. Categories of intermittency (types I,II,III), ( Sc ڊ).
  • Quasi-periodicity/ 1-2-chaos/ Ruelle-Takens-Newhouse breakdown of 2d torus in experimental systems 1D circle map and overlapping of resonances reconstructed circle map from a time series damped-forced pendulum and El Nino's chaos ( Sc ڌ)
  • Characterizing chaotic systems: Delay coordinates, embedding, Lyapunov exponents (Ott ڊ.4 p. 129) Kolmogorov entropy ( Sc Appendix F and p 113 Greiner, Neise and Stocker `` thermodynamics and statistical mechanics '', p. 150) fractals and fractal dimensions, dimension spectrum ( St § 11, p. 398-412 Ott ډ, p69-71, 78-79, 89-92) Multi-fractals: dissipation in a turbulent flow, relation to dimension spectrum. ( Ott ڏ, p 305-309).
  • The horseshoe map and symbolic dynamics ( Ott 108-114) Heteroclinic and homoclinic tangles and creation of a horseshoe from a homoclinic intersection ( Ott ڊ.3). Shilnilov's phenomenon and chaos due to a 3d homoclinic orbit (GH, ڌ.5, p 318-323 and p 12-14 in Vered Rom-Kedar's notes).
  • Examples (Pendulum, The n-body problem)
  • Basics: Hamiltonian systems Liouville theorem/ symplectic condition ( Ott ڍ.1.1-7.1.2 p 208-215).
  • Motivation: the kicked rotor and chaos in the standard map ( Ott , p 216-217, 235-237 JS ڍ.5.1 p. 453-459).
  • More Basics: integrable vs non-integrable Hamiltonian systems motion of integrable on N-torus Canonical change of coordinates and generating functions ( G , ڏ-1, p. 378-385, Ott ڍ.1.1-7.1.2 p 208-215).
  • Perturbations to integrable systems averaging resonant and non-resonant tori ( G , 䅇-5, p 519-523) destruction of resonance tori and arising of chaos, KAM theory ( Ott § 7.2).
  • ``diffusion'' ( Ott ڍ.3.3), fluid mixing ( Ott p 246-249).

Homeworks will be given throughout the course. The best 80% of the assignments will constitute 50% of the final grade. A final take home exam will constitute another 50%.



Comentarii:

  1. Micage

    I was pleasantly surprised how the author easily writes about everything that interests him. There is something in this!

  2. Efrem

    Nu luați sânii!

  3. Sakus

    Păcat că nu pot vorbi acum - trebuie să plec. Mă voi întoarce - cu siguranță îmi voi exprima părerea.

  4. Parnel

    Consider că nu ai dreptate. Sunt asigurat. Sa discutam. Scrie -mi în PM, vom comunica.

  5. Ames

    Vă sugerez să vizitați site -ul, cu un număr imens de articole pe tema care vă interesează.

  6. Karim

    Arăți ca un expert)))



Scrie un mesaj