Articole

4.2: Pagină nouă - Matematică

4.2: Pagină nouă - Matematică



We are searching data for your request:

Forums and discussions:
Manuals and reference books:
Data from registers:
Wait the end of the search in all databases.
Upon completion, a link will appear to access the found materials.

4.2: Pagină nouă - Matematică

SBOE a aprobat revizuirea TEKS pentru adoptare în aprilie 2012. TEKS revizuite sunt disponibile pe pagina regulilor TEA. TEKS-urile revizuite au menționat „Adoptat anul 2012” în titlu. TEKS-ul matematic revizuit pentru grădiniță până în clasa a 8-a va fi implementat în anul școlar 2014-2015. TEKS-ul matematic revizuit pentru liceu este programat pentru implementare în anul școlar 2015-2016, în funcție de disponibilitatea finanțării pentru materialele de instruire (Codul administrativ Texas (TAC), titlul 19, partea II, capitolul 111. Cunoștințe și abilități esențiale din Texas pentru Matematică).

Propuneri aprobate pentru a doua lectură și adoptarea finală în aprilie 2012

Următoarele documente reflectă propunerile de revizuire a TEKS-ului de matematică, aprobate de Consiliul de Stat al Educației la 20 aprilie 2012, pentru a doua lectură și adoptarea finală, cu editări tehnice, după cum este autorizat de regulile de funcționare ale Consiliului de Stat al Educației:

Propuneri aprobate pentru autorizarea pentru prima lectură și depunere în ianuarie 2012

Revizuirile propuse la TEKS-ul matematic au fost postate pentru comentarii publice din februarie până în aprilie 2012. După perioada oficială de comentarii publice, SBOE a luat măsuri pentru a aproba aceste modificări în aprilie 2012.

Recomandările Comitetului de revizuire TEKS pentru revizuiri la TEXT (octombrie 2011)

Următoarele documente sunt proiectele finale de recomandări ale comitetelor de revizuire:

Primele schițe de recomandări pentru revizuiri la TEKS de matematică (iulie 2011)

Proiectele de recomandări au fost elaborate de comitetele de revizuire TEKS de matematică care au fost numite de membrii SBOE. Aceste proiecte se bazează pe Proiectul de standarde de matematică al comisarului:

În așteptarea revizuirii programate de 2011-2012 a TEKS pentru matematică a comisiei de stat, comisarul pentru educație a convocat un grup de consilieri pentru a revizui cercetările și resursele actuale și pentru a oferi sugestii privind viitoarea revizuire TEKS și dezvoltarea profesională viitoare. Grupul consultativ al comisarului pentru matematică, înființat în toamna anului 2010, include educatori de matematică și matematicieni din Texas. Recomandările Grupului consultativ de matematică al comisarului cu privire la următoarea generație de standarde matematice din Texas au fost compilate și apoi revizuite de un grup de consilieri naționali în matematică, cunoscut sub numele de Echipa Națională de Revizuire, a revizuit recomandările Grupului consultativ de matematică al comisarului cu privire la generația următoare a standardelor matematice din Texas.


4.2: Pagină nouă - Matematică

Matematică cotidiană este împărțit în Unități, care sunt împărțite în Lecții. În colțul din stânga sus al Link-ului de studiu, ar trebui să vedeți o pictogramă de genul acesta:


Numărul unității este primul număr pe care îl vedeți în pictogramă, iar numărul lecției este al doilea număr. În acest caz, elevul lucrează în Unitatea 5, Lecția 4. Pentru a accesa resursele de ajutor, ar trebui să selectați „Unitatea 5” din lista de mai sus, apoi să căutați rândul din tabelul etichetat „Lecția 5-4”.

Matematică cotidiană pentru părinți: Ce trebuie să știți pentru a vă ajuta copilul să reușească

Universitatea din Chicago School Mathematics Project

Universitatea din Chicago Press


Go Math Grade 8 Răspuns cheie Capitolul 9 Transformări și congruență

La fel de multe moduri de metode de rezolvare a problemelor disponibile în Go Math Grade 8 Capitolul 9 Transformări și soluție de congruență, studentul și elevii # 8217 pot selecta metoda de rezolvare ușoară și pot învăța metoda de rezolvare a problemelor de matematică. De asemenea, imagini incluse pentru o mai bună înțelegere a elevului. Prin urmare, elevii care doresc să obțină note bune la examen trebuie să exerseze cu Go Math Clasa 8 Răspuns cheie Capitolul 9 Transformări și congruență.

Lecția 1: Proprietățile traducerilor

Lecția 2: Proprietățile reflexiilor

Lecția 3: Reprezentări algebrice ale transformărilor

Lecția 4: Cifre congruente

recenzie mixta

Practică ghidată & # 8211 Proprietăți ale traducerilor & # 8211 Pagina nr. 282

Intrebarea 1.
Vocabularul A __________________ este o schimbare în poziția, dimensiunea sau forma unei figuri.
____________

Explicaţie:
O transformare este o schimbare în poziția, dimensiunea sau forma unei figuri.

Intrebarea 2.
Vocabular Când efectuați o transformare a unei figuri pe planul de coordonate, intrarea transformării se numește ________________, iar ieșirea transformării se numește _________________.
Tastați mai jos:
____________

Explicaţie:
Când efectuați o transformare a unei figuri pe planul de coordonate, intrarea transformării se numește pre-imagine, iar ieșirea transformării se numește imagine.

Întrebarea 3.
Joni traduce un triunghi dreptunghic 2 unități în jos și 4 unități în dreapta. Cum se compară orientarea imaginii triunghiului cu orientarea preimaginii?
Orientarea este: _______

Răspuns:
Orientarea este: La fel

Explicaţie:
Deoarece traducerea nu schimbă forma și dimensiunea unei figuri geometrice, cele două triunghiuri sunt identice ca formă și dimensiune, deci sunt congruente și orientarea este aceeași

Întrebarea 4.
Rashid a desenat dreptunghiul PQRS pe un plan de coordonate. Apoi a tradus dreptunghiul cu 3 unități în sus și 3 unități spre stânga și a etichetat imaginea P & # 8216Q & # 8216R & # 8216S & # 8216. Cum se compară dreptunghiul PQRS și dreptunghiul P & # 8216Q & # 8216R & # 8216S & # 8216?
Sunt: _______

Explicaţie:
Deoarece traducerea nu schimbă forma și dimensiunea unei figuri geometrice, cele două dreptunghiuri sunt identice ca formă și dimensiune, deci sunt congruente.

Întrebarea 5.
Figura prezintă trapezul WXYZ. Graficați imaginea trapezului după o traducere de 4 unități în sus și 2 unități la stânga.

Tastați mai jos:
____________

Răspuns:
După traducere:
W '(- 4, 3)
X '(2, 3)
Y '(1, 1)
Z '(- 3, 1)

CHECK-IN ÎNTREBARE ESENȚIALĂ

Întrebarea 6.
Care sunt proprietățile traducerilor?
Tastați mai jos:
____________

Răspuns:
- & gt o traducere este o transformare geometrică care mișcă fiecare punct al unei figuri sau spațiu cu aceeași cantitate într-o direcție dată.
- & gt Deci cifrele sunt identice și sunt congruente.

9.1 Practică independentă & # 8211 Proprietăți ale traducerilor & # 8211 Pagina nr. 283

Întrebarea 7.
Figura arată triunghiul DEF.

A. Graficați imaginea triunghiului după traducerea care mapează punctul D în punctul D & # 8216.
Tastați mai jos:
____________

Întrebarea 7.
b. Cum ați descrie traducerea?
Tastați mai jos:
____________

Răspuns:
Are aceeași dimensiune, formă. și orientare, dar o locație diferită

Întrebarea 7.
c. Cum se compară imaginea triunghiului DEF cu preimaginea?
____________

Întrebarea 8.
A. Graficul patrulater KLMN cu vârfurile K (-3, 2), L (2, 2), M (0, -3) și N (-4, 0) pe grila de coordonate.

Tastați mai jos:
____________

Întrebarea 8.
b. Pe aceeași grilă de coordonate, graficați imaginea patrulaterului KLMN după o traducere de 3 unități la dreapta și 4 unități în sus.
Tastați mai jos:
____________

Întrebarea 8.
c. Care parte a imaginii este congruentă cu partea ( overline )?
___________
Numiți alte trei perechi de laturi congruente.
___________
Tastați mai jos:
____________

Răspuns:
Linia LM este congruentă cu Linia L! M!
Linia KL este egală cu K & # 8217L și # 8217
Linia MN este egală cu M & # 8217N și # 8217
Linia KN este egală cu K & # 8217N și # 8217

Desenați imaginea figurii după fiecare traducere.

Întrebarea 9.
4 unități rămase și 2 unități jos

Tastați mai jos:
____________

Răspuns:
După traducere
P '(- 3, 1)
Q '(0, 2)
R '(0, -1)
S '(- 3, -3)

Întrebarea 10.
5 unități dreapta și 3 unități în sus

Tastați mai jos:
____________

Răspuns:
După traducere
A '(0, 4)
B '(3, 5)
C '(3, 1)
D '(0, 0)

Proprietățile traducerilor & # 8211 Pagina nr. 284

Întrebarea 11.
Figura arată ascensiunea unui balon cu aer cald. Cum ați descrie traducerea?

Tastați mai jos:
____________

Răspuns:
4 unități de-a lungul X pozitiv și 5 unități de-a lungul Y pozitiv

Explicaţie:
Coordonata inițială a balonului = (-2, -4)
Coordonatele finale ale balonului = (2,1)
Traducere de-a lungul axei x = 2 & # 8211 (-2)
= 4 unități de-a lungul direcției x pozitive
Traducere de-a lungul axei y = 1 - (- 4)
= 5 unități de-a lungul direcției y pozitive

Întrebarea 12.
Gândire critică Este posibil ca orientarea unei figuri să se poată schimba după ce aceasta este tradusă? Explica.
_________

Răspuns:
Nu, nu este posibil să schimbați orientarea doar prin traducere. Ca traducere înseamnă o transformare în care o figură este mutată într-o altă locație fără nicio modificare a dimensiunii sau orientării.

CONCENTRAȚI-VĂ PE GÂNDIREA DE ORDIN SUPERIOR

Întrebarea 13.
A. Triunghi grafic cu mai multe etape XYZ cu vârfurile X (-2, -5), Y (2, -2) și Z (4, -4) pe grila de coordonate.

Întrebarea 13.
b. Pe aceeași grilă de coordonate, graficul și eticheta triunghiului X & # 8217Y & # 8217Z & # 8217, imaginea triunghiului XYZ după o traducere de 3 unități la stânga și 6 unități în sus.

Întrebarea 13.
c. Acum graficează și etichetează triunghiul X & # 8221Y & # 8221Z & # 8221, imaginea triunghiului X & # 8217Y & # 8217Z & # 8217 după o traducere de 1 unitate la stânga și 2 unități în jos.
Tastați mai jos:
____________

Întrebarea 13.
d. Analizați relațiile Cum ați descrie traducerea care mapează triunghiul XYZ pe triunghiul X & # 8221Y & # 8221Z & # 8221?
Tastați mai jos:
____________

Răspuns:
Triangle XYZ a tradus 4 unități în sus și 4 unități în stânga

Întrebarea 14.
Gândire critică Figura arată dreptunghiul P & # 8217Q & # 8217R & # 8217S & # 8217, imaginea dreptunghiului PQRS după o traducere de 5 unități la dreapta și 7 unități în sus. Graficați și etichetați imaginea PQRS.

Tastați mai jos:
____________

Întrebarea 15.
Comunicați idei matematice Explicați de ce imaginea unei figuri după o traducere este congruentă cu imaginea sa prealabilă.
Tastați mai jos:
____________

Răspuns:
O traducere este o transformare geometrică care mișcă fiecare punct al unei figuri sau spațiu cu aceeași cantitate într-o direcție dată. Deci, cele 2 figuri sunt identice, iar figura tradusă este congruentă cu pre-imaginea sa.

Practică ghidată & # 8211 Proprietăți ale reflexiilor & # 8211 Pagina nr. 288

Intrebarea 1.
Vocabular O reflecție este o transformare care întoarce o figură pe o linie numită __________.
____________

Explicaţie:
O reflecție este o transformare care răstoarnă o figură pe o linie numită Axa Reflecției.

Intrebarea 2.
Figura prezintă trapezul ABCD.

A. Graficați imaginea trapezului după o reflecție pe axa x. Etichetați vârfurile imaginii.
Tastați mai jos:
____________

Intrebarea 2.
b. Cum se compară trapezul ABCD și trapezul A & # 8217B și # 8217C și # 8217D și # 8217?
____________

Explicaţie:
trapezul ABCD și trapezul A & # 8217B & # 8217C & # 8217D & # 8217 sunt congruente

Intrebarea 2.
c. Ce-ar fi dacă? Să presupunem că ați reflectat trapezul ABCD pe axa y. Cum s-ar compara orientarea imaginii trapezului cu orientarea preimaginii?
Tastați mai jos:
____________

Răspuns:
Orientarea ar fi inversată orizontal.

CHECK-IN ÎNTREBARE ESENȚIALĂ

Întrebarea 3.
Care sunt proprietățile reflexiilor?
Tastați mai jos:
____________

Răspuns:
proprietățile reflexiilor
- & gt dimensiunea rămâne aceeași
- & gt forma rămâne aceeași
- & gt orientarea NU rămâne aceeași

9.2 Practică independentă & # 8211 Proprietăți ale reflecțiilor & # 8211 Pagina nr. 289

Graficul prezintă patru triunghiuri dreptunghiulare. Folosiți graficul pentru exercițiile 4-7.

Întrebarea 4.
Care sunt cele două triunghiuri care se reflectă reciproc pe axa x?
Tastați mai jos:
____________

Răspuns:
Triunghiurile A și C sunt reflectările reciproce pe axa x.

Întrebarea 5.
Pentru care două triunghiuri este linia de reflecție axa y?
Tastați mai jos:
____________

Răspuns:
Pentru triunghiul C și amp D linia de reflexie este axa y.

Întrebarea 6.
Care triunghi este o traducere a triunghiului C? Cum ați descrie traducerea?
Tastați mai jos:
____________

Răspuns:
Triunghiul B este traducerea triunghiului C.
Să luăm orice punct al triunghiului = (-2, -6)
Să luăm partea corespunzătoare a triunghiului B = (4,2)
Traducere pe axa x = 4 - (- 2) = 6 unități
Translație pe axa y = 2 - (- 6) = 8 unități

Întrebarea 7.
Care triunghiuri sunt congruente? De unde știți?
Tastați mai jos:
____________

Răspuns:
Toate cele 4 triunghiuri A, B, C, D sunt congruente.
Lungimea bazei și înălțimea tuturor celor patru triunghiuri sunt de 3 unități, respectiv 4 unități.

Explicaţie:
Toate cele 4 triunghiuri A, B, C, D sunt congruente.
Dacă baza și înălțimea sunt egale, atunci și hipotenuza ar trebui să fie egală. Astfel, toate cele trei laturi ale triunghiurilor A, B, C, D sunt egale. Astfel aceste triunghiuri sunt congruente,
Lungimea bazei și înălțimea tuturor celor patru triunghiuri sunt de 3 unități, respectiv 4 unități.

Întrebarea 8.
A. Graficul patrulater WXYZ cu vârfurile W (-2, -2), X (3, 1), Y (5, -1) și Z (4, -6) pe grila de coordonate.
Tastați mai jos:
____________

Întrebarea 8.
b. Pe aceeași grilă de coordonate, graficul patrulater W & # 8217X & # 8217Y & # 8217Z & # 8217, imaginea patrulaterului WXYZ după o reflecție pe axa x.
Tastați mai jos:
____________

Întrebarea 8.
c. Care parte a imaginii este congruentă cu partea ( overline )?
_______________
Numiți alte trei perechi de laturi congruente.
_______________
Tastați mai jos:
____________

Răspuns:
Linia YZ = Linia Y & # 8217Z & # 8217
Linia WX = Linia W & # 8217X & # 8217
Linia XY = Linia X & # 8217Y & # 8217
Linia WZ = Linia W & # 8217Z & # 8217

Întrebarea 8.
d. Care unghi al imaginii este congruent cu ∠X?
_______________
Numiți alte trei perechi de unghiuri congruente.
_______________
Tastați mai jos:
____________

Răspuns:
Unghiul X & # 8217
Unghiul W și Unghiul W & # 8217
Unghiul Y și unghiul Y & # 8217
Unghiul Z și unghiul Z & # 8217

Proprietățile reflecțiilor & # 8211 Pagina nr. 290

Întrebarea 9.
Gândire critică Este posibil ca imaginea unui punct după o reflecție să fie același punct ca și imaginea prealabilă? Explica.
________

Explicaţie:
Este posibil ca imaginea unui punct după o reflecție să fie același punct ca și imaginea prealabilă

CONCENTRAȚI-VĂ PE GÂNDIREA SUPERIORĂ A ORDINII

Întrebarea 10.
A. Graficați imaginea figurii prezentate după o reflecție pe axa y.

Tastați mai jos:
____________

Întrebarea 10.
b. Pe aceeași grilă de coordonate, graficați imaginea figurii pe care ați desenat-o în partea a după o reflecție pe axa x.
Tastați mai jos:
____________

Întrebarea 10.
c. Faceți o supoziție Ce altă secvență de transformări ar produce aceeași imagine finală din imaginea originală? Verificați răspunsul efectuând transformările. Apoi faceți o presupunere care vă generalizează concluziile.
Tastați mai jos:
____________

Răspuns:
Aceeași imagine poate fi obținută reflectând mai întâi pe axa x și apoi pe axa y.
Reflectarea unei figuri mai întâi pe axa y și apoi pe axa x are același rezultat. reflectând mai întâi pe axa x și apoi pe axa y.

Întrebarea 11.
A. Graficul triunghiului DEF cu vârfurile D (2, 6), E (5, 6) și F (5, 1) pe grila de coordonate.

Întrebarea 11.
b. Următorul grafic triunghi D ′ E ′ F ′, imaginea triunghiului DEF după o reflecție pe axa y.
Tastați mai jos:
____________

Întrebarea 11.
c. Pe aceeași grilă de coordonate, graficul triunghiului D ′ ′ E ′ ′ F ′ ′, imaginea triunghiului D ′ E ′ F ′ după o traducere de 7 unități în jos și 2 unități la dreapta.
Tastați mai jos:
____________

Întrebarea 11.
d. Analizați relațiile Găsiți o succesiune diferită de transformări care vor transforma triunghiul DEF în triunghiul D ′ ′ E ′ ′ F ′ ′.
Tastați mai jos:
____________

Răspuns:
Traduceți triunghiul DEF 7 unități în jos și 2 unități la stânga. Apoi reflectați imaginea pe axa y.

Practică ghidată & # 8211 Proprietăți ale reflecțiilor & # 8211 Pagina nr. 294

Intrebarea 1.
Vocabular O rotație este o transformare care transformă o figură în jurul unui _____ dat numit centrul de rotație.
____________

Explicaţie:
O rotație este o transformare care transformă o figură în jurul unui punct dat numit centrul de rotație.

Siobhan rotește un triunghi dreptunghiular cu 90 ° în sens invers acelor de ceasornic în jurul originii.

Intrebarea 2.
Cum se compară orientarea imaginii triunghiului cu orientarea preimaginii?
Tastați mai jos:
____________

Răspuns:
Fiecare picior din preimagine este perpendicular pe piciorul său corespunzător din imagine.

Întrebarea 3.
Imaginea triunghiului este congruentă cu preimaginea?
______

Explicaţie:
Imaginea triunghiului este congruentă cu preimaginea

Desenați imaginea figurii după rotația dată despre origine.

Întrebarea 4.
90 ° în sens invers acelor de ceasornic

Tastați mai jos:
____________

Răspuns:

Întrebarea 5.
180°

Tastați mai jos:
____________

Răspuns:
După o rotație de 180 °
A '(- 2, -3)
B '(- 4, -1)
C '(- 2, 0)
D '(0, -1)

CHECK-IN ÎNTREBARE ESENȚIALĂ

Întrebarea 6.
Care sunt proprietățile rotațiilor?
Tastați mai jos:
____________

Răspuns:
Rotațiile păstrează dimensiunea și forma, dar schimbă orientarea.

9.3 Practică independentă & # 8211 Proprietăți ale reflecțiilor & # 8211 Pagina nr. 295

Întrebarea 7.
Figura arată triunghiul ABC și o rotație a triunghiului în jurul originii.

A. Cum ați descrie rotația?
____________

Răspuns:
ABC a fost rotit cu 90 ° în sens invers acelor de ceasornic în jurul originii

Întrebarea 7.
b. Care sunt coordonatele imaginii?
Tastați mai jos:
____________

Întrebarea 8.
Graficul prezintă o figură și imaginea acesteia după o transformare.

A. Cum ați descrie acest lucru ca o rotație?
____________

Răspuns:
Cifra a fost rotită cu 180 ° în jurul originii.

Întrebarea 8.
b. Puteți descrie acest lucru ca pe o altă transformare decât o rotație? Explica.
____________

Explicaţie:
Acest lucru poate fi, de asemenea, descris ca o reflecție pe axa y.

Întrebarea 9.
Ce tip de rotație va păstra orientarea figurii în formă de H în grilă?

____________

Răspuns:
O rotație de 180 ° în jurul originii va păstra orientarea figurii în formă de H în grilă.

Întrebarea 10.
Un punct cu coordonatele (-2, -3) este rotit cu 90 ° în sensul acelor de ceasornic în jurul originii. Care sunt coordonatele imaginii sale?
(_______ , _______)

Explicaţie:
Noile coordonate sunt (-3, 2)

Completați tabelul cu rotații de 180 ° sau 90 °. Includeți direcția de rotație pentru rotații de 90 °.

Întrebarea 11.

Tastați mai jos:
____________

Răspuns:

Proprietățile reflecțiilor & # 8211 Pagina nr. 296

Desenați imaginea figurii după rotația dată despre origine.

Întrebarea 14.
180°

Tastați mai jos:
____________

Întrebarea 15.
270 ° în sens invers acelor de ceasornic

Tastați mai jos:
____________

Răspuns:
După rotație de 270º în sens invers acelor de ceasornic
A '(1, 2)
B '(2, -1)
C '(4, 2)

Întrebarea 16.
Există o rotație pentru care orientarea imaginii este întotdeauna aceeași cu cea a preimaginii? Si ce daca?
______

Explicaţie:
O rotație de 360 ​​° va fi întotdeauna aceeași cu imaginea originală

CONCENTRAȚI-VĂ PE GÂNDIREA DE COMANDĂ SUPERIOR

Întrebarea 17.
Rezolvarea problemelor Lucas joacă un joc în care trebuie să rotească o figură pentru a se potrivi într-un spațiu deschis. De fiecare dată când face clic pe un buton, figura se rotește cu 90 de grade în sensul acelor de ceasornic. De câte ori trebuie să facă clic pe buton pentru ca fiecare figură să revină la orientarea inițială?
Figura A ____________
Figura B ____________
Figura C ____________

Figura A: _________ timp (i)
Figura B: _________ timp (i)
Figura C: _________ timp (i)

Răspuns:
Figura A: 2 ori
Figura B: 1 ori
Figura C: 4 ori

Explicaţie:
De 2 ori pentru a reveni la orientarea inițială
O dată pentru a reveni la orientarea inițială
De 4 ori pentru a reveni la orientarea inițială

Întrebarea 18.
Faceți un triunghi de conjecturi ABC este reflectat pe axa y pentru a forma imaginea A′B′C ′. Triunghiul A′B′C ′ este apoi reflectat pe axa x pentru a forma imaginea A ″ B ″ C ″. Ce tip de rotație poate fi folosit pentru a descrie relația dintre triunghiul A ″ B ″ C ″ și triunghiul ABC?
Tastați mai jos:
____________

Răspuns:
Triunghiul A & # 8217B & # 8217C & # 8217 este o rotație de 90 ° a triunghiului ABC
Triunghiul A & # 8221B & # 8221C & # 8221 este o rotație de 90 ° a triunghiului A & # 8217B & # 8217C & # 8217
Prin urmare, Triunghiul A & # 8221B & # 8221C & # 8221 este o rotație de 180 ° a triunghiului ABC

Întrebarea 19.
Comunicați idei matematice Punctul A este pe axa y. Descrieți toate locațiile posibile ale imaginii A ′ pentru rotații de 90 °, 180 ° și 270 °. Includeți originea ca posibilă locație pentru A.
Tastați mai jos:
____________

Răspuns:
Dacă punctul A este pe axa y, punctul A & # 8217 va fi pe axa x pentru rotații de 190 ° și 270 ° și pe axa y pentru rotație de 180 °
Dacă punctul A este la origine,
A & # 8217 este la origine pentru orice rotație despre origine.

Practică ghidată & # 8211 Reprezentări algebrice ale transformărilor & # 8211 Pagina nr. 300

Intrebarea 1.
Triunghiul XYZ are vârfurile X (-3, -2), Y (-1, 0) și Z (1, -6). Găsiți vârfurile triunghiului X′Y′Z ′ după o traducere de 6 unități la dreapta. Apoi grafică triunghiul și imaginea acestuia.

Tastați mai jos:
____________

Răspuns:
După o traducere de 6 unități la dreapta:
X '(3, -2)
Y '(5, 0)
Z '(7, -6)

Intrebarea 2.
Descrieți ce se întâmplă cu coordonatele x și y după ce un punct este reflectat pe axa x.
Tastați mai jos:
____________

Răspuns:
Coordonata x rămâne aceeași, în timp ce semnul coordonatei y se schimbă

Întrebarea 3.
Folosiți regula (x, y) → (y, -x) pentru a grafica imaginea triunghiului din dreapta. Apoi descrieți transformarea.

Tastați mai jos:
____________

Răspuns:
Triunghiul este rotit cu 90 ° în sensul acelor de ceasornic în raport cu originea

CHECK-IN ÎNTREBARE ESENȚIALĂ

Întrebarea 4.
Cum se schimbă coordonatele x și y atunci când o figură este tradusă drept unități și în jos b unități?
Tastați mai jos:
____________

Răspuns:
Coordonatele x cresc cu a, iar coordonatele y scad cu b

9.4 Practică independentă & # 8211 Reprezentări algebrice ale transformărilor & # 8211 Pagina nr. 301

Scrieți o regulă algebrică pentru a descrie fiecare transformare. Apoi descrieți transformarea.

Întrebarea 5.

Tastați mai jos:
____________

Răspuns:
regula algebrică
(x, y) - & gt (x-2, y-5)
transformare
traducere de 2 unități la stânga și 5 unități în jos
coordonate noi
M '(- 4, -2)
N '(- 2, -2)
O '(- 1, -4)
P '(- 4, -4)

Întrebarea 6.

Tastați mai jos:
____________

Răspuns:
regula algebrică
(x, y) - & gt (-x, -y)
transformare
rotație de 180º
coordonate noi
A '(0, 0)
B '(0, -3)
C '(2, -3)
D '(2, 0)

Întrebarea 7.
Triunghiul XYZ are vârfurile X (6, -2,3), Y (7,5, 5) și Z (8, 4). Când este tradus, X ′ are coordonate (2.8, -1.3). Scrieți o regulă pentru a descrie această transformare. Apoi găsiți coordonatele Y ′ și Z ′.
Tastați mai jos:
____________

Răspuns:
regula algebrică
(x, y) - & gt (x-3.2, y + 1)
coordonate noi
Y '(4.3, 6)
Z '(4,8, 5)

Întrebarea 8.
Punctul L are coordonate (3, -5). Coordonatele punctului L ′ după o reflecție sunt (-3, -5). Fără grafic, spuneți ce punct de axă L a fost reflectat. Explică-ți răspunsul.
____________

Răspuns:
Punctul L a fost reflectat pe axa y.
Când reflectați un punct peste axa y, semnul coordonatei x se schimbă, iar semnul coordonatei y rămâne același

Întrebarea 9.
Folosiți regula (x, y) → (x & # 8211 2, y & # 8211 4) pentru a grafica imaginea dreptunghiului. Apoi descrieți transformarea.

Tastați mai jos:
____________

Răspuns:
Dreptunghiul este tradus cu 2 unități spre stânga și cu 4 unități în jos

Întrebarea 10.
Paralelograma ABCD are vârfurile A (−2, −5 ( frac <1> <2> )), B (−4, −5 ( frac <1> <2> )), C (-3 , -2) și D (-1, -2). Găsiți vârfurile paralelogramului A′B′C′D ′ după o traducere de 2 ( frac <1> <2> ) unități în jos.
Tastați mai jos:
__________

Reprezentări algebrice ale transformărilor & # 8211 Pagina nr. 302

Întrebarea 11.
Alexandra a desenat sigla afișată pe hârtie milimetrică de jumătate de centimetru. Scrieți o regulă care descrie traducerea pe care Alexandra a folosit-o pentru a crea umbra pe litera A.

Tastați mai jos:
__________

Explicaţie:
traducere în unități
(x, y) & # 8211 & gt (x + 1, y-0,5)
Acest pas convertește regula de traducere în unități în regulă de traducere în inci. (Împărțiți la 2, deoarece hârtia milimetrică este hârtie de jumătate de inch.
(x + 1, y-0,5) & # 8211 & gt (x + 0,5, y-0,25)

Întrebarea 12.
Zmeul KLMN are vârfuri la K (1, 3), L (2, 4), M (3, 3) și N (2, 0). După rotirea zmeului, K ′ are coordonate (-3, 1). Descrieți rotația și includeți o regulă în descrierea dvs. Apoi găsiți coordonatele L ′, M ′ și N ′.
Tastați mai jos:
__________

Răspuns:
rotație
90 în sens invers acelor de ceasornic
regulă
(x, y) - & gt (-y, x)
coordonate noi
L '(- 4, 2)
M '(- 3, 3)
N '(0, 2)

CONCENTRAȚI-VĂ PE GÂNDIREA SUPERIORĂ A ORDINII

Întrebarea 13.
Faceți o Conjectură Graficați triunghiul cu vârfurile (-3, 4), (3, 4) și (-5, -5). Utilizați transformarea (y, x) pentru a grafica imaginea acesteia.
A. Care vârf al imaginii are aceleași coordonate ca un vârf al figurii originale? Explicați de ce acest lucru este adevărat.

Tastați mai jos:
__________

Răspuns:
(-5, 5) are aceleași coordonate

Întrebarea 13.
b. Care este ecuația unei linii prin origine și acest punct?
Tastați mai jos:
__________

Răspuns:
x și y sunt egale, deci comutarea x și y nu are efect asupra coordonatelor

Întrebarea 13.
c. Descrieți transformarea triunghiului.
Tastați mai jos:
__________

Răspuns:
x și y sunt egale, deci comutarea x și y nu are efect asupra coordonatelor

Întrebarea 14.
Gândire critică Mitchell spune că punctul (0, 0) nu se schimbă atunci când este reflectat pe axa x sau y sau când este rotit în jurul originii. Ești de acord cu Mitchell? Explicați de ce sau de ce nu.
_______

Răspuns:
Da, sunt de acord cu Mitchell

Explicaţie:
Reflectarea pe axa x sau axa y schimbă semnul coordonatei y sau x 0 nu poate schimba semnele.
Rotirea în jurul originii nu modifică originea (0, 0)

Întrebarea 15.
Analizați relațiile Triunghiul ABC cu vârfurile A (-2, -2), B (-3, 1) și C (1, 1) este tradus prin (x, y) → (x & # 8211 1, y + 3) . Apoi, imaginea, triunghiul A′B′C ′, este tradusă prin (x, y) → (x + 4, y & # 8211 1), rezultând A ″ B ″ C ″.
A. Găsiți coordonatele pentru vârfurile triunghiului A ″ B ″ C ″.
Tastați mai jos:
__________

Întrebarea 15.
b. Scrieți o regulă pentru o traducere care mapează triunghiul ABC cu triunghiul A ″ B ″ C ″.
Tastați mai jos:
__________

Practică ghidată & # 8211 Cifre congruente & # 8211 Pagina nr. 306

Intrebarea 1.
Aplicați seria de transformări indicată dreptunghiului. Fiecare transformare se aplică imaginii transformării anterioare, nu figurii originale. Etichetați fiecare imagine cu litera transformării aplicate.

A. Reflecție pe axa y
B. Rotire cu 90 ° în sensul acelor de ceasornic în jurul originii
C. (x, y) → (x & # 8211 2, y)
D. Rotire cu 90 ° în sens invers acelor de ceasornic în jurul originii
E. (x, y) → (x & # 8211 7, y & # 8211 2)
Tastați mai jos:
__________

Răspuns:
A. După transformare
(1, 3)
(1, 4)
(4, 4)
(4, 3)
B. După transformare
(3, -1)
(4, -1)
(4, -4)
(3, -4)
C. După transformare
(1, -1)
(2, -1)
(2, -4)
(1, -4)
D. După transformare
(1, 1)
(1, 2)
(4, 2)
(4, 1)
E. După transformare
(-6, -1)
(-6, 0)
(-3, 0)
(-3, -1)

Identificați o succesiune de transformări care vor transforma figura A în figura C.

Intrebarea 2.
Ce transformare se folosește pentru a transforma figura A în figura B?
Tastați mai jos:
__________

Răspuns:
Reflecție pe axa y

Explicaţie:
Reflecția pe axa y este utilizată pentru a transforma figura A în figura B

Întrebarea 3.
Ce transformare se folosește pentru a transforma figura B în figura C?
Tastați mai jos:
__________

Răspuns:
Traducere 3 unități dreapta și 4 unități jos

Explicaţie:
Traducerea 3 unități dreapta și 4 unități în jos este utilizată pentru a transforma figura B în figura C

Întrebarea 4.
Ce secvență de transformări este utilizată pentru a transforma figura A în figura C? Exprimați transformările algebric.
Tastați mai jos:
__________

Răspuns:
Reflecția pe axa y este utilizată pentru a transforma figura A în figura B
Traducerea 3 unități dreapta și 4 unități în jos este utilizată pentru a transforma figura B în figura C
Algebric:
(x, y) - & gt (-x, y)
(x, y) - & gt (x +3, y-4)

Întrebarea 5.
Vocabular Ce înseamnă pentru două figuri să fie congruente?
Tastați mai jos:
__________

Răspuns:
Două figuri sunt congruente atunci când figurile au aceeași dimensiune și aceeași formă.

CHECK-IN ÎNTREBARE ESENȚIALĂ

Întrebarea 6.
După o succesiune de traduceri, reflecții și rotații, ce este adevărat despre prima figură și figura finală?
Tastați mai jos:
__________

Răspuns:
După o succesiune de traduceri, reflecții și rotații, prima și ultima figură au aceeași dimensiune și formă. (Sunt congruente)

9.5 Practică independentă & # 8211 Cifre congruente & # 8211 Pagina nr. 307

Pentru fiecare figură A dată, grafică figurile B și C folosind secvența dată de transformări. Spuneți dacă figurile A și C au aceeași orientare sau o orientare diferită.

Întrebarea 7.

Figura B: o traducere de 1 unitate la dreapta și 3 unități în sus
Figura C: o rotație de 90 ° în sensul acelor de ceasornic în jurul originii
Tastați mai jos:
__________

Răspuns:
Orientare diferită

Întrebarea 8.

Figura B: o reflecție pe axa y
Figura C: o rotație de 180 ° în jurul originii
Tastați mai jos:
__________

Răspuns:
Orientare diferită

Întrebarea 9.

Figura B: o reflecție pe axa y
Figura C: o traducere cu 2 unități în jos
Tastați mai jos:
__________

Răspuns:
Orientare diferită

Întrebarea 10.

Figura B: o traducere cu 2 unități în sus
Figura C: o rotație de 180 ° în jurul originii
Tastați mai jos:
__________

Răspuns:
Orientare diferită

Cifre congruente & # 8211 Pagina nr. 308

Întrebarea 11.
Reprezentați problemele lumii reale Un urbanist a dorit să amplaseze noua bibliotecă orășenească la locul A. Primarul a crezut că ar fi mai bine la locul B. Ce transformări s-au aplicat clădirii de la locul A pentru a muta clădirea pe locul B? A modificat primarul dimensiunea sau orientarea bibliotecii?

Tastați mai jos:
__________

Răspuns:
De la site-ul A la site-ul B: Traducere 2 unități dreapta și 4 unități jos
Dimensiunea NU s-a schimbat
Orientarea s-a schimbat

Întrebarea 12.
Perseverați în rezolvarea problemelor Găsiți o succesiune de trei transformări care pot fi utilizate pentru a obține figura D din figura A. Graficați figurile B și C create de transformări.

Tastați mai jos:
__________

Răspuns:
De la figura A la D:
Reflecție pe axa x (-1, -5) (-1, -6) (2, -5) (4, -6)
Rotație 90º în sensul acelor de ceasornic (4, -1) (5, -1) (5, -4) (4, -6)
traducere 6 unități rămase (4, -1) (5, -1) (5, -4) (4, -6)

CONCENTRAȚI-VĂ PE GÂNDIREA SUPERIORĂ A ORDINII

Întrebarea 13.
Contraexemple Proprietățile comutative pentru adunare și multiplicare afirmă că ordinea a două numere care sunt adăugate sau înmulțite nu modifică suma sau produsul. Traducerile și rotațiile sunt comutative? Dacă nu, dați un contraexemplu.
________

Răspuns:
Nu, traducerea și rotațiile nu sunt comutative

Explicaţie:
Punctul (2, 2) devine (2, -4) când se traduce 2 unități spre dreapta, apoi se rotește cu 90 în jurul originii.
Punctul (2, 2) devine (4, -2) când se rotește cu 90 în jurul originii, apoi traduce 2 unități spre dreapta.
Cele două puncte de mai sus nu sunt aceleași.

Întrebarea 14.
Reprezentări multiple Pentru fiecare reprezentare, descrieți o posibilă succesiune de transformări.
A. (x, y) → (-x & # 8211 2, y + 1)
Tastați mai jos:
____________

Răspuns:
traducere 2 unități dreapta și 1 unitate în sus
reflexie pe axa y

Întrebarea 14.
b. (x, y) → (y, -x & # 8211 3)
Tastați mai jos:
____________

Răspuns:
rotire de 90º în sensul acelor de ceasornic în jurul originii
traducere cu 3 unități în jos

Sunteți gata să continuați? & # 8211 Model Quiz & # 8211 Pagina nr. 309

9.1–9.3 Proprietățile traducerilor, reflexiilor și rotațiilor

Intrebarea 1.
Graficați imaginea triunghiului ABC după o traducere de 6 unități la dreapta și 4 unități în jos. Etichetați vârfurile imaginii A ’, B’ și C ’.

Tastați mai jos:
____________

Răspuns:
După traducere:
A '(2, 1)
B '(2, -1)
C '(5, -1)

Intrebarea 2.
Pe aceeași grilă de coordonate, graficați imaginea triunghiului ABC după o reflecție pe axa x. Etichetați vârfurile imaginii A ”, B” și C ”.
Tastați mai jos:
____________

Întrebarea 3.
Graficați imaginea HIJK după ce este rotită cu 180 ° în jurul originii. Etichetați vârfurile imaginii H’I’J’K ’.

Tastați mai jos:
____________

9.4 Reprezentări algebrice ale transformărilor

Întrebarea 4.
Un triunghi are vârfuri la (2, 3), (−2, 2) și (−3, 5). Care sunt coordonatele vârfurilor imaginii după traducere (x, y) → (x + 4, y - 3)?
Tastați mai jos:
____________

Răspuns:
După traducere:
(6, 0)
(2, -1)
(1, 2)

9.5 Cifre congruente

Întrebarea 5.
Vocabularul Traducerile, reflecțiile și rotațiile produc o figură care este _____ față de figura originală.
Tastați mai jos:
____________

Explicaţie:
Vocabularul Traducerile, reflecțiile și rotațiile produc o figură care este congruentă cu figura originală.

Întrebarea 6.
Utilizați grila de coordonate pentru exercițiul 3. Reflectați H’I’J’K ’pe axa y, apoi rotiți-o cu 180 ° în jurul originii. Etichetați noua figură H ″ I ″ J ″ K ″.
Tastați mai jos:
____________

ÎNTREBARE ESENȚIALĂ

Întrebarea 7.
Cum poți folosi transformările pentru a rezolva probleme din lumea reală?
Tastați mai jos:
____________

Răspuns:
Proprietățile transformaționale permit mișcarea sistematică a figurilor congruente menținând sau ajustând orientarea acestora.

Răspuns selectat & # 8211 Recenzie mixtă & # 8211 Pagina nr. 310

Intrebarea 1.
Care ar fi orientarea figurii L după o traducere de 8 unități la dreapta și 3 unități în sus?

Opțiuni:
A. A
b. B
c. C
d. D

Explicaţie:
După o traducere de 8 unități dreapta și 3 unități în sus, orientarea figurii L rămâne aceeași.

Intrebarea 2.
Figura A este reflectată peste axa y și apoi coborâtă 6 unități. Care secvență descrie aceste transformări?
Opțiuni:
A. (x, y) - & gt (x, -y) și (x, y) - & gt (x, y & # 8211 6)
b. (x, y) - & gt (-x, y) și (x, y) - & gt (x, y & # 8211 6)
c. (x, y) - & gt (x, -y) și (x, y) - & gt (x & # 8211 6, y)
d. (x, y) - & gt (-x, y) și (x, y) - & gt (x & # 8211 6, y)

Răspuns:
b. (x, y) - & gt (-x, y) și (x, y) - & gt (x, y & # 8211 6)

Explicaţie:
reflexie asupra axei y:
(x, y) - & gt (-x, y)
Traducere cu 6 unități în jos
(x, y) - & gt (x, y-6)

Întrebarea 3.
În ce cadran ar fi triunghiul după o rotație de 90 ° în sens invers acelor de ceasornic în jurul originii?

Opțiuni:
A. Eu
b. II
c. III
d. IV

Explicaţie:
După o rotație de 90 ° în sens invers acelor de ceasornic în jurul originii, triunghiul va fi în QIV

Întrebarea 4.
Care număr rațional este mai mare decât −3 ( frac <1> <3> ), dar mai mic decât - ( frac <4> <5> )?
Opțiuni:
A. −0,4
b. - ( frac <9> <7> )
c. −0,19
d. - ( frac <22> <5> )

Întrebarea 5.
Care dintre următoarele nu este adevărat pentru un trapez care a fost reflectat pe axa x?
Opțiuni:
A. Noul trapez este de aceeași dimensiune ca și trapezul original.
b. Noul trapezoid are aceeași formă ca trapezul original.
c. Noul trapez este în aceeași orientare ca trapezul original.
d. Coordonatele x ale noului trapez sunt aceleași cu coordonatele x ale trapezului original.

Răspuns:
d. Coordonatele x ale noului trapez sunt aceleași cu coordonatele x ale trapezului original.

Explicaţie:
Coordonatele x ale noului trapez sunt aceleași cu coordonatele x ale trapezului original.

Întrebarea 6.
Un triunghi cu coordonatele (6, 4), (2, −1) și (−3, 5) este tradus cu 4 unități la stânga și rotit la 180 ° în jurul originii. Care sunt coordonatele imaginii sale?
Opțiuni:
A. (2, 4), (-2, -1), (-7, 5)
b. (4, 6), (-1, 2), (5, -3)
c. (4, -2), (-1, 2), (5, 7)
d. (-2, -4), (2, 1), (7, -5)

Întrebarea 7.
Un dreptunghi cu vârfuri (3, -2), (3, -4), (7, -2), (7, -4) este reflectat pe axa x și apoi rotit cu 90 ° în sens invers acelor de ceasornic.
A. În ce cadran se află imaginea?
____________

Răspuns:
După reflecție și rotație, imaginea se află în QII

Întrebarea 7.
b. Care sunt vârfurile imaginii?
Tastați mai jos:
____________

Întrebarea 7.
c. Ce alte transformări produc aceeași imagine?
Tastați mai jos:
____________

Răspuns:
O reflecție pe axa y și o rotație de 90 ° în sensul acelor de ceasornic va produce același rezultat.

Concluzie:

Go Math Grade 8 Răspuns cheie Capitolul 9 Transformări și congruență disponibile atât online cât și offline. Elevii se pot referi la cheia de răspuns Go Math Grade 8 în modul lor convenabil. Obțineți întrebări și răspunsuri preferate la capitolul matematică și începeți să le practicați.


3. Platonismul

În anii dinaintea celui de-al doilea război mondial, a devenit clar că s-au ridicat obiecții importante împotriva fiecăruia dintre cele trei programe antiplatoniste din filosofia matematicii. Predicativismul a fost poate o excepție, dar era la acea vreme un program fără apărători. Astfel, a fost creat un spațiu pentru un interes reînnoit în perspectivele opiniilor platoniste despre natura matematicii. În ceea ce privește concepția platonistică, materia matematicii constă din entități abstracte.

3.1 Gödel&rsquos Platonism

Gödel was a platonist with respect to mathematical objects and with respect to mathematical concepts (Gödel 1944 Gödel 1964). But his platonistic view was more sophisticated than that of the mathematician in the street.

Gödel held that there is a strong parallelism between plausible theories of mathematical objects and concepts on the one hand, and plausible theories of physical objects and properties on the other hand. Like physical objects and properties, mathematical objects and concepts are not constructed by humans. Like physical objects and properties, mathematical objects and concepts are not reducible to mental entities. Mathematical objects and concepts are as objective as physical objects and properties. Mathematical objects and concepts are, like physical objects and properties, postulated in order to obtain a good satisfactory theory of our experience. Indeed, in a way that is analogous to our perceptual relation to physical objects and properties, through mathematical intuition we stand in a quasi-perceptual relation with mathematical objects and concepts. Our perception of physical objects and concepts is fallible and can be corrected. In the same way, mathematical intuition is not fool-proof &mdash as the history of Frege&rsquos Basic Law V shows&mdash but it can be trained and improved. Unlike physical objects and properties, mathematical objects do not exist in space and time, and mathematical concepts are not instantiated in space or time.

Our mathematical intuition provides intrinsic evidence for mathematical principles. Virtually all of our mathematical knowledge can be deduced from the axioms of Zermelo-Fraenkel set theory with the Axiom of Choice (ZFC). In Gödel&rsquos view, we have compelling intrinsic evidence for the truth of these axioms. But he also worried that mathematical intuition might not be strong enough to provide compelling evidence for axioms that significantly exceed the strength of ZFC.

Aside from intrinsic evidence, it is in Gödel&rsquos view also possible to obtain extrinsic evidence for mathematical principles. If mathematical principles are successful, then, even if we are unable to obtain intuitive evidence for them, they may be regarded as probably true. Gödel says that &ldquosuccess here means fruitfulness in consequences, particularly in &ldquoverifiable&rdquo consequences, i.e. consequences verifiable without the new axiom, whose proof with the help of the new axiom, however, are considerably simpler and easier to discover, and which make it possible to contract into one proof many different proofs [&hellip] There might exist axioms so abundant in their verifiable consequences, shedding so much light on a whole field, yielding such powerful methods for solving problems [&hellip] that, no matter whether or not they are intrinsically necessary, they would have to be accepted at least in the same sense as any well-established physical theory&rdquo (Gödel 1947, p. 477). This inspired Gödel to search for new axioms which can be extrinsically motivated and which can decide questions such as the continuum hypothesis which are highly independent of ZFC (cf. section 5.1).

Gödel shared Hilbert&rsquos conviction that all mathematical questions have definite answers. But platonism in the philosophy of mathematics should not be taken to be ipso facto committed to holding that all set-theoretical propositions have determinate truth values. There are versions of platonism that maintain, for instance, that all theorems of ZFC are made true by determinate set-theoretical facts, but that there are no set-theoretical facts that make certain statements that are highly independent of ZFC truth-determinate. It seems that the famous set theorist Paul Cohen held some such view (Cohen 1971).

3.2 Naturalism and Indispensability

Quine formulated a methodological critique of traditional philosophy. He suggested a different philosophical methodology instead, which has become known as naturalism (Quine 1969). According to naturalism, our best theories are our best scientific theories. If we want to obtain the best available answer to philosophical questions such as What do we know? și Which kinds of entities exist?, we should not appeal to traditional epistemological and metaphysical theories. We should also refrain from embarking on a fundamental epistemological or metaphysical inquiry starting from first principles. Rather, we should consult and analyze our best scientific theories. They contain, albeit often implicitly, our currently best account of what exists, what we know, and how we know it.

Putnam applied Quine&rsquos naturalistic stance to mathematical ontology (Putnam 1972). At least since Galilei, our best theories from the natural sciences are mathematically expressed. Newton&rsquos theory of gravitation, for instance, relies heavily on the classical theory of the real numbers. Thus an ontological commitment to mathematical entities seems inherent to our best scientific theories. This line of reasoning can be strengthened by appealing to the Quinean thesis of confirmational holism. Empirical evidence does not bestow its confirmatory power on any one individual hypothesis. Rather, experience globally confirms the theory in which the individual hypothesis is embedded. Since mathematical theories are part and parcel of scientific theories, they too are confirmed by experience. Thus, we have empirical confirmation for mathematical theories. Even more appears true. It seems that mathematics is indispensable to our best scientific theories: it is not at all obvious how we ar putea express them without using mathematical vocabulary. Hence the naturalist stance commands us to accept mathematical entities as part of our philosophical ontology. This line of argumentation is called an indispensability argument (Colyvan 2001).

If we take the mathematics that is involved in our best scientific theories at face value, then we appear to be committed to a form of platonism. But it is a more modest form of platonism than Gödel&rsquos platonism. For it appears that the natural sciences can get by with (roughly) function spaces on the real numbers. The higher regions of transfinite set theory appear to be largely irrelevant to even our most advanced theories in the natural sciences. Nevertheless, Quine thought (at some point) that the sets that are postulated by ZFC are acceptable from a naturalistic point of view they can be regarded as a generous rounding off of the mathematics that is involved in our scientific theories. Quine&rsquos judgement on this matter is not universally accepted. Feferman, for instance, argues that all the mathematical theories that are essentially used in our currently best scientific theories are predicatively reducible (Feferman 2005). Maddy even argues that naturalism in the philosophy of mathematics is perfectly compatible with a non-realist view about sets (Maddy 2007, part IV).

In Quine&rsquos philosophy, the natural sciences are the ultimate arbiters concerning mathematical existence and mathematical truth. This has led Charles Parsons to object that this picture makes the obviousness of elementary mathematics somewhat mysterious (Parsons 1980). For instance, the question whether every natural number has a successor ultimately depends, in Quine&rsquos view, on our best empirical theories however, somehow this fact appears more immediate than that. In a kindred spirit, Maddy notes that mathematicians do not take themselves to be in any way restricted in their activity by the natural sciences. Indeed, one might wonder whether mathematics should not be regarded as a science in its own right, and whether the ontological commitments of mathematics should not be judged rather on the basis of the rational methods that are implicit in mathematical practice.

Motivated by these considerations, Maddy set out to inquire into the standards of existence implicit in mathematical practice, and into the implicit ontological commitments of mathematics that follow from these standards (Maddy 1990). She focussed on set theory, and on the methodological considerations that are brought to bear by the mathematical community on the question which large cardinal axioms can be taken to be true. Thus her view is closer to that of Gödel than to that of Quine. In more recent work, she isolates two maxims that seem to be guiding set theorists when contemplating the acceptability of new set theoretic principles: unify și maximize (Maddy 1997). The maxim &ldquounify&rdquo is an instigation for set theory to provide a single system in which all mathematical objects and structures of mathematics can be instantiated or modelled. The maxim &ldquomaximize&rdquo means that set theory should adopt set theoretic principles that are as powerful and mathematically fruitful as possible.

3.3 Deflating Platonism

Bernays observed that when a mathematician is at work she &ldquonaively&rdquo treats the objects she is dealing with in a platonistic way. Every working mathematician, he says, is a platonist (Bernays 1935). But when the mathematician is caught off duty by a philosopher who quizzes her about her ontological commitments, she is apt to shuffle her feet and withdraw to a vaguely non-platonistic position. This has been taken by some to indicate that there is something wrong with philosophical questions about the nature of mathematical objects and of mathematical knowledge.

Carnap introduced a distinction between questions that are internal to a framework and questions that are external to a framework (Carnap 1950). Tait has worked out in detail how something like this distinction can be applied to mathematics (Tait 2005). This has resulted in what might be regarded as a deflationary version of platonism.

According to Tait, questions of existence of mathematical entities can only be sensibly asked and reasonably answered from within (axiomatic) mathematical frameworks. If one is working in number theory, for instance, then one can ask whether there are prime numbers that have a given property. Such questions are then to be decided on purely mathematical grounds.

Philosophers have a tendency to step outside the framework of mathematics and ask &ldquofrom the outside&rdquo whether mathematical objects într-adevăr exist and whether mathematical propositions are într-adevăr true. In this question they are asking for supra-mathematical or metaphysical grounds for mathematical truth and existence claims. Tait argues that it is hard to see how any sense can be made of such external questions. He attempts to deflate them, and bring them back to where they belong: to mathematical practice itself. Of course not everyone agrees with Tait on this point. Linsky and Zalta have developed a systematic way of answering precisely the sort of external questions that Tait approaches with disdain (Linsky & Zalta 1995).

It comes as no surprise that Tait has little use for Gödelian appeals to mathematical intuition in the philosophy of mathematics, or for the philosophical thesis that mathematical objects exist &ldquooutside space and time&rdquo. More generally, Tait believes that mathematics is not in need of a philosophical foundation he wants to let mathematics speak for itself. In this sense, his position is reminiscent of the (in some sense Wittgensteinian) natural ontological attitude that is advocated by Arthur Fine in the realism debate in the philosophy of science.

3.4 Benacerraf&rsquos Epistemological Problem

Benacerraf formulated an epistemological problem for a variety of platonistic positions in the philosophy of science (Benacerraf 1973). The argument is specifically directed against accounts of mathematical intuition such as that of Gödel. Benacerraf&rsquos argument starts from the premise that our best theory of knowledge is the causal theory of knowledge. It is then noted that according to platonism, abstract objects are not spatially or temporally localized, whereas flesh and blood mathematicians are spatially and temporally localized. Our best epistemological theory then tells us that knowledge of mathematical entities should result from causal interaction with these entities. But it is difficult to imagine how this could be the case.

Today few epistemologists hold that the causal theory of knowledge is our best theory of knowledge. But it turns out that Benacerraf&rsquos problem is remarkably robust under variation of epistemological theory. For instance, let us assume for the sake of argument that reliabilism is our best theory of knowledge. Then the problem becomes to explain how we succeed in obtaining reliable beliefs about mathematical entities.

Hodes has formulated a semantical variant of Benacerraf&rsquos epistemological problem (Hodes 1984). According to our currently best semantic theory, causal-historical connections between humans and the world of concreta enable our words to refer to physical entities and properties. According to platonism, mathematics refers to abstract entities. The platonist therefore owes us a plausible account of how we (physically embodied humans) are able to refer to them. On the face of it, it appears that the causal theory of reference will be unable to supply us with the required account of the &lsquomicrostructure of reference&rsquo of mathematical discourse.

3.5 Plenitudinous Platonism

A version of platonism has been developed which is intended to provide a solution to Benacerraf&rsquos epistemological problem (Linsky & Zalta 1995 Balaguer 1998). This position is known as plenitudinous platonism. The central thesis of this theory is that every logically consistent mathematical theory necessarily refers to an abstract entity. Whether the mathematician who formulated the theory knows that it refers or does not know this, is largely immaterial. By entertaining a consistent mathematical theory, a mathematician automatically acquires knowledge about the subject matter of the theory. So, on this view, there is no epistemological problem to solve anymore.

In Balaguer&rsquos version, plenitudinous platonism postulates a multiplicity of mathematical universes, each corresponding to a consistent mathematical theory. Thus, in particular a question such as the continuum problem (cf. section 5.1) does not receive a unique answer: in some set-theoretical universes the continuum hypothesis holds, in others it fails to hold. However, not everyone agrees that this picture can be maintained. Martin has developed an argument to show that multiple universes can always to a large extent be &ldquoaccumulated&rdquo into a single universe (Martin 2001).

In Linsky and Zalta&rsquos version of plenitudinous platonism, the mathematical entity that is postulated by a consistent mathematical theory has exactly the mathematical properties which are attributed to it by the theory. The abstract entity corresponding to ZFC, for instance, is partial in the sense that it neither makes the continuum hypothesis true nor false. The reason is that ZFC neither entails the continuum hypothesis nor its negation. This does not entail that all ways of consistently extending ZFC are on a par. Some ways may be fruitful and powerful, others less so. But the view does deny that certain consistent ways of extending ZFC are preferable because they consist of true principles, whereas others contain false principles.


Order of operations problems

First, study the example in the figure carefully!

Multiply and Divide from left to right

Add and Subtract from left to right

The following mnemonic may help you remember the rule:

PEMDAS ( Please Excuse My Dear Aunt Sally )

The P stands for Parentheses

The E stands for Exponents

The M stands for Multiply

The D stands for Division

The S stands for Subtraction

Even though M comes before D in PEMDAS, the two operations have the same power. By the same token, even though A comes before S, the two operations have the same power.


Try it Yourself

But you may see a circle equation and not know it!

Because it may not be in the neat "Standard Form" above.

As an example, let us put some values to a, b and r and then expand it

It is a circle equation, but "in disguise"!

So when you see something like that think "hmm . that ar putea be a circle!"

In fact we can write it in "General Form" by putting constants instead of the numbers:

Note: General Form always has x 2 + y 2 for the first two terms.


Math Work Problems - Two Persons

In these lessons, we will learn how to solve work problems that involve two persons who may work at different rates.

Work Problems are word problems that involve different people doing work together but at different rates . If the people were working at the same rate then we can use the Inversely Proportional Method instead.

How To Solve Work Problems: Two Persons, Unknown Time

We will learn how to solve math work problems that involve two persons. We will also learn how to solve work problems with unknown time.

The following diagram shows the formula for Work Problems that involve two persons. Scroll down the page for more examples and solutions on solving algebra work problems.

This formula can be extended for more than two persons.

"Work" Problems: Two Persons

Exemplu:
Peter can mow the lawn in 40 minutes and John can mow the lawn in 60 minutes. How long will it take for them to mow the lawn together?

Soluţie:
Step 1: Assign variables:
Lăsa X = time to mow lawn together.

Step 3: Solve the equation
The LCM of 40 and 60 is 120
Multiply both sides with 120

Answer: The time taken for both of them to mow the lawn together is 24 minutes.

Work Problems With One Unknown Time

  1. Catherine can paint a house in 15 hours. Dan can paint a house in 30 hours. How long will it take them working together.
  2. Evan can clean a room in 3 hours. If his sister, Faith helps, it takes them two and two-fifths hours. How long will it take Faith working alone?

Variations Of GMAT Combined Work Problems

  1. Working at a constant rate, Joe can paint a fence in 4 hours. Working at a constant rate, his brother can paint the same fence in 2 hours. How long will it take them to paint the fence if they both work together at their respective constant rates?
  2. Working alone at a constant rate, machine A takes 2 hours to build a care. Working alone at a constant rate, machine B takes 3 hours to build the same car. If they work together for 1 hour at their respective constant rates and then machine B breaks down, how much additional time will it take machine A to finish the car by itself?
  3. Working alone at a constant rate, Carla can wash a load of dishes in 42 minutes. If Carla works together with Dan and they both work at constant rates, it takes them 28 minutes to wash the same load of dishes. Working at a constant rate, how long would it take Dan to wash the load of dishes by himself?

How To Solve &ldquoWorking Together&rdquo Problems?

Exemplu:
It takes Andy 40 minutes to do a particular job alone. It takes Brenda 50 minutes to do the same job alone. How long would it take them if they worked together?

Word Problem: Work, Rates, Time To Complete A Task

We are given that a person can complete a task alone in 32 hours and with another person they can finish the task in 19 hours. We want to know how long it would take the second person working alone.

Exemplu:
Latisha and Ricky work for a computer software company. Together they can write a particular computer program in 19 hours. Latisha van write the program by herself in 32 hours. How long will it take Ricky to write the program alone?

Încercați calculatorul gratuit Mathway și rezolvarea problemelor de mai jos pentru a practica diverse subiecte matematice. Încercați exemplele date sau introduceți propria problemă și verificați răspunsul cu explicații pas cu pas.

Vă mulțumim pentru feedback, comentarii și întrebări despre acest site sau pagină. Vă rugăm să trimiteți feedback-ul sau întrebările dvs. prin intermediul paginii noastre de feedback.


4.2: New Page - Mathematics

Matematică cotidiană is divided into Units, which are divided into Lessons. In the upper-left corner of the Home Link, you should see an icon like this:


The Unit number is the first number you see in the icon, and the Lesson number is the second number. In this case, the student is working in Unit 5, Lesson 4. To access the help resources, you would select "Unit 5" from the list above, and then look for the row in the table labeled "Lesson 5-4."

Matematică cotidiană pentru părinți: Ce trebuie să știți pentru a vă ajuta copilul să reușească

Universitatea din Chicago School Mathematics Project

Universitatea din Chicago Press


WHAT THEY’RE SAYING:

"That was the best, most motivating, most powerful inservice in my 20 years of teaching. Thank you so much for that opportunity and thanks for re-energizing my math planning and thinking in the middle of the year. Kudos. My kids are addicted to the Kakooma puzzles after just one try!"

"This is the best money I&aposve spent on my classroom in a long time! I just wanted to say THANK YOU so much for making math come alive for our students. and teachers. Everyone has a renewed spirit for learning thanks to your energy."

"Thank you so much for a fun afternoon!! I brought the Greg Tang kit home to try out with my second grader. We have been playing for the past TWO hours! He said he wants to play until midnight. ) He has had so much fun learning math and I can&apost wait to share with my teachers. He even made up a game of his own that he said was "very mathy". and it was! He wants to share it with you!"

"Thanks, Greg Tang for the easiest math night ever! I was able to set up and train my teacher volunteers to play the games in less than a half hour. We literally had to pry the game pieces out of the families&apos hands at 7pm when the event was over. One parent yelled across the parking lot to me the next morning that her two daughters were still "Greg Tanging" it for another hour after they got home. Thank you for making math practice FUN!"

"Thank you so much for this class kit! I used the kit over the summer to play math games with some students and they loved it! Even the reluctant ones were engaged and having fun. Also, it&aposs great that I can differentiate the games because there are multiple levels included. We already play the online Greg Tang math games, so this is a great extension of those activities. I can&apost wait to introduce this year&aposs class to these games!"

"My students struggled at first with the Tangy Tuesday packet. However, after a month they are screaming for more. I hand the packed out on Tuesday and collect on Friday. We review the packet the following week. Thank you Greg Tang for bringing excitement into my math class!"


Priveste filmarea: Testul de EXAMEN MATEMATICA 2018, clasa 9. (August 2022).