Articole

34: 17 Atribuire în clasă - Descompuneri și eliminare gaussiană

34: 17 Atribuire în clasă - Descompuneri și eliminare gaussiană


We are searching data for your request:

Forums and discussions:
Manuals and reference books:
Data from registers:
Wait the end of the search in all databases.
Upon completion, a link will appear to access the found materials.

34: 17 Atribuire în clasă - Descompuneri și eliminare gaussiană

Complementele Schur ascultă gramatica categorială a lui Lambek și # x27: o altă viziune asupra eliminării Gauss și descompunerea LU

De trei decenii, complementele Schur au văzut aplicații în creștere în algebra liniară, adesea ca abstracții ale eliminării Gaussiene. Se știe că respectă anumite identități non-triviale, cum ar fi Crabtree și Haynsworth & # x27s proprietate coeficient. Am început această lucrare întrebându-ne dacă există o teorie pentru a decide proprietățile lor în general.

Lambek & # x27s Gramatica categorială este un sistem deductiv formalizat în 1958 de Lambek ca bază matematică pentru un calcul sintactic al limbajului. Arătăm că Gramatica categorială oferă un sistem deductiv pentru obținerea identităților respectate de descompuneri LU-și UL, eliminare gaussiană și complementele Schur.

La prima impresie, acest lucru pare a fi un rezultat ciudat, conectând două subiecte fără legătură. Retrospectiv, totuși, este o consecință a modului în care ambii folosesc coeficienții. Poate avea aplicații în dezvoltarea formalismelor gramaticale și a algoritmilor numerici.


Regula degetului mare / TLDR: Când faceți calcule folosind numere în virgulă mobilă (cum ar fi tipurile de date duble, simple și flotante în multe limbaje de programare comune), utilizați pivotarea parțială, cu excepția cazului în care știți că sunteți în siguranță fără ea și finalizați pivotarea numai atunci când știți că aveți nevoie de ea.

Explicație mai lungă: O matrice pătrată $ A $ are o factorizare $ LU $ (fără pivotare) dacă și numai dacă nu se întâlnește zero în poziția de pivot atunci când se calculează o factorizare $ LU $ de $ A $. Cu toate acestea, când calculele folosind numere în virgulă mobilă sunt un pivot aproape zero poate duce la erori dramatice de rotunjire. Soluția simplă este de a permuta întotdeauna rândurile matricei astfel încât cea mai mare intrare diferită de zero dintr-o coloană să fie aleasă ca intrare pivot. Acest lucru asigură că nu se alege niciodată aproape zero. Pivotarea completă merge chiar mai departe prin utilizarea permutațiilor de rând și coloană pentru a selecta cea mai mare intrare din întreaga matrice ca intrare pivot.

Paragraful de mai sus este o imagine intuitivă a pierderii pivotării. Se poate dovedi, de asemenea, limite de eroare clare urmărind cu atenție propagarea erorilor de-a lungul întregului calcul de factorizare $ LU $. O modalitate de structurare a acestei erori legată este așa-numitul estimarea erorii înapoi. Într-o estimare de eroare inversă pentru rezolvarea unui sistem liniar de ecuații $ Ax = b $, se limitează perturbarea $ E $ necesară pentru a face soluția calculată $ hat$ produs prin eliminarea gaussiană urmată de înlocuirea din spate și corect soluție la un sistem din apropiere de ecuații liniare $ (A + E) hat = b $. O estimare a erorii înapoi poate fi foarte revelatoare dacă, de exemplu, matricea $ A $ este determinată de măsurători ale unui sistem de inginerie cu o anumită toleranță la eroare. Dacă intrările de $ A $ sunt cunoscute numai $ pm 1 \% $ și eroarea inversă este mai mică de .1 \% $, atunci erorile numerice făcute în timpul calculelor noastre sunt mai mici decât erorile de măsurare și am făcut o Loc de muncă bun. TLDR cantitatea $ E $ este o cantitate rezonabilă pentru a măsura eroarea într-o factorizare $ LU $ și rezolvarea liniară rezultată.

Pentru eliminarea Gaussiană fără pivotare, eroarea înapoi poate fi în mod arbitrar rea. Din fericire, pentru pivotarea parțială, eroarea înapoi $ E $ poate fi mărginită ca $ | E | _ infty le 6n ^ 3 rho | A | _ infty u + mbox$ $ <> ^ dagger $. Aici, $ | cdot | _ infty $ este matricea operatorului $ infty $ -norm și $ u $ este rotunjirea unității care cuantifică precizia calculelor în virgulă mobilă ($ u approx 10 ^ <-16> $ pentru aritmetica cu precizie dublă IEE). Cantitatea $ rho $ este cunoscută ca factor de creștere pentru pivotarea parțială. Deși este posibil ca $ rho $ să fie la fel de mare ca $ 2 ^$, în practică $ rho $ crește de obicei foarte modest cu $ n $. $ <> ^ dagger $ În ceea ce privește faptul că $ rho $ crește foarte modest în majoritatea aplicațiilor, legendarul analist numeric Kahan a scris „Creșterea pivotului intolerabilă [cu pivotare parțială] este un fenomen care se întâmplă doar analiștilor numerici care caută acel fenomen. " $ <> ^ $

Cu toate acestea, se pot nota matrici pentru care pivotarea parțială nu va da un răspuns precis datorită unui factor de creștere exponențial $ rho = 2 ^$. Wilkinson a arătat că factorul de creștere pentru pivotare completă este mult mai mic în cel mai rău caz $ rho le n ^ <1/2> (2 cdot 3 ^ <1/2> cdots n ^ <1 / n-1>) ^ <1/2> $. În practică, $ rho $ pentru pivotarea completă este aproape întotdeauna mai mic de 100 $. $ <> ^ dagger $

După ce ați aprofundat detaliile, puteți vedea că aceasta este o afacere subtilă și chiar și în domeniul clasic al algebrei liniare numerice există o oarecare diferență între teorie și experiment. În general, eliminarea gaussiană cu pivotare parțială este foarte fiabilă. Cu excepția cazului în care știți că puteți scăpa fără pivotare (matricile simetrice pozitive definite și matrice dominante diagonal sunt exemple notabile), ar trebui să utilizați pivotarea parțială pentru a obține un rezultat precis. (Sau compensați cu ceva inteligent. De exemplu, SuperLU folosește „pivotare statică” unde se face pivotarea „cel mai bine” înainte de a începe factorizarea $ LU $ și apoi nu face pivotare în timpul factorizării. Pierderea acurateței acestei abordări este compensată de folosind câțiva pași de rafinament iterativ.)

Dacă pivotarea parțială nu este suficient de precisă, se poate trece la utilizarea pivotării complete în schimb pentru factorul său de creștere mai mic. După cum subliniază user3417, există alte modalități de a rezolva $ Ax = b $, altele decât utilizarea abordărilor bazate pe factorizarea $ LU $ și acestea pot fi mai rapide și mai precise decât eliminarea Gaussiană cu pivotare completă. De exemplu, factorizarea $ QR $ rulează în operațiunile $ O (n ^ 3) $ și nu are factor de creștere. Pot exista cazuri speciale în care cineva dorește cu adevărat să utilizeze o factorizare $ LU $: de exemplu, o abordare bazată pe eliminare Gaussiană poate fi utilizată pentru a construi factorizări care păstrează structura unei matrice Cauchy. În acest caz, pivotarea completă (sau pivotarea turnului verișorului său apropiat) poate fi cea mai bună abordare.

$ <> ^ dagger $ Reference Golub and Van Loan's Calcule matriciale Ediția a patra Capitolul 3.4

$ <> ^ $ Citat în Higham's Precizia și stabilitatea algoritmilor numerici A doua ediție Capitolul 9


LU înseamnă & # 8216Lower Upper & # 8217, deci o descompunere LU a unei matrice (A ) este o descompunere astfel încât

unde (L ) este triunghiular inferior și (U ) este triunghiular superior.

Acum, descompunerea LU este în esență eliminarea gaussiană, dar lucrăm doar cu matricea (A ) (spre deosebire de matricea mărită).

Să analizăm cum funcționează eliminarea gaussiană (ge). Vom avea de-a face cu un sistem de ecuații (3 times 3 ) pentru concizie, dar aici totul se generalizează în cazul (n times n ). Luați în considerare următoarea ecuație:

Pentru simplitate, să presupunem că matricea din stânga (A ) nu este singulară. Pentru a rezolva sistemul folosind ge, începem cu matricea & # 8216augmentată & # 8217:

Începem de la prima intrare, (a_ <11> ). Dacă (a_ <11> neq 0 ), atunci împărțim primul rând cu (a_ <11> ) și apoi scădem multiplul corespunzător din primul rând din fiecare dintre celelalte rânduri, reducând la zero prima intrare din toate rândurile. (Dacă (a_ <11> ) este zero, trebuie să permutăm rândurile. Nu vom intra în detaliu aici.) Rezultatul este după cum urmează:

Repetăm ​​procedura pentru al doilea rând, împărțind mai întâi la intrarea principală, apoi scăzând multiplul corespunzător al rândului rezultat din fiecare dintre al treilea și primul rând, astfel încât a doua intrare în rândul 1 și în rândul 3 să fie zero. Noi ar putea continuați până când matricea din stânga este identitatea. În acest caz, putem doar să & # 8216 citiți & # 8217 soluția: adică vectorul (x ) este vectorul coloană rezultat din dreapta. De obicei, este mai eficient să te oprești la eschelon de rând redus forma (triunghiulară superioară, cu unele pe diagonală), și apoi utilizați substituire spate pentru a obține răspunsul final.

Rețineți că, în unele cazuri, este necesar să permutați rândurile pentru a obține o formă redusă eschelon. Aceasta se numește pivotare parțială. Dacă manipulăm și coloane, asta se numește pivotant complet.

Trebuie menționat faptul că putem obține inversul unei matrici folosind ge, prin reducerea matricei (A ) la identitate, cu matricea de identitate ca porțiune mărită.

Acum, totul este bine atunci când rezolvăm un sistem o dată, pentru un singur rezultat (b ). Multe aplicații implică soluții la probleme multiple, în care partea stângă a ecuației matricei noastre nu se schimbă, dar există mulți vectori de rezultat (b ). În acest caz, este mai eficient să descompune (A) .

În primul rând, începem la fel ca în ge, dar & # 8216 păstrăm urmărirea & # 8217 din diferiții multipli necesari pentru a elimina intrările. De exemplu, luați în considerare matricea

Trebuie să înmulțim rândul (1 ) cu (2 ) și să scădem din rândul (2 ) pentru a elimina prima intrare din rândul (2 ), apoi înmulțim rândul (1 ) cu ( 4 ) și scade din rândul (3 ). În loc să introducem zero în primele intrări ale rândurilor (2 ) și (3 ), înregistrăm multiplii necesari pentru eliminarea lor, astfel:

Și apoi eliminăm a doua intrare din al treilea rând:

Și acum avem descompunerea:

Putem rezolva sistemul rezolvând două probleme de substituție înapoi:

Acestea sunt ambele (O (n ^ 2) ), deci este mai eficient să se descompună atunci când există mai multe rezultate de rezolvat.

Rețineți că descompunerea numpy folosește pivotare parțială (rândurile matrice sunt permutate pentru a utiliza cel mai mare pivot). Acest lucru se datorează faptului că pivotii mici pot duce la instabilitate numerică. Un alt motiv pentru care ar trebui să folosiți funcțiile bibliotecii ori de câte ori este posibil!


Programarea algoritmilor numerici

Acesta este un program provizoriu pentru curs și este probabil să se schimbe fără notificare în altă parte. În plus, detaliile despre atribuirea temelor și linkurile către constatările colegilor dvs. vor fi postate pentru evaluare inter pares, așa că vă rugăm să consultați frecvent programul pentru detaliile sarcinii, termenele limită și rezultatele comparative.

Prolegomene, probleme de mașină și reprezentare numerică, introducere

Prezentare generală a algebrei matriciale, eliminarea Gaussiană

Instrumente suplimentare pentru setul de instrumente (Acestea nu sunt necesare pentru a fi trimise separat pentru o notă, dar vor fi utilizate pentru a verifica alte sarcini de programare.)

  • Înmulțirea matricei pentru matrici arbitrare, de dimensiuni adecvate
  • Adăugarea matricei pentru matrici arbitrare, de dimensiuni adecvate
  • Multiplicarea matricei / vectorilor printr-un scalar
  • Produs punct de vectori (n x 1 matrice)

Găsiți mașina epsilon pentru flote și duble (data de 15 ianuarie). Consultați și utilizați algoritmul 1.3.1 la pagina 9 a textului.

Creați și scoateți o histogramă, cu cel puțin 50 de coșuri, pentru o distribuție aleatorie Gauss folosind un generator de distribuție aleatoriu uniform (scadent 20 ianuarie) Consultați și utilizați (după cum este necesar) ecuațiile numerotate 1.6.10a și 1.6.10b la pagina 20 a textului. Verificați dacă media = 0 și abaterea standard = 1 pentru distribuția pe care o creați. În cele din urmă, creați o distribuție a cărei medie = 73 și a cărei deviație standard = 16 și verificați rezultatele.

Implementarea metodelor de eliminare Gauss-Jordan și Gauss (Algoritmi 2.2.1 și 2.3.1)

Inversele matricei, determinanții, descompunerea LU, numărul condițiilor, sistemele necondiționate.

Extindeți metoda Gauss-Jordan și Gaussian de eliminare pentru a găsi inversele matricei (Algoritmul 2.2.2) și adaptați Algoritmul 2.3.1 pentru a găsi determinanții matricei (Algoritmul 2.3.2). Notă: Ne pregătim să aplicăm metode matrice unei probleme de înclinare a imaginii.


Notite din clasa

Săptămâni 9-10 (29 februarie - 11 martie)

  • LP Geometry
  • Analiza de sensibilitate
  • Geometria programării liniare
  • Analiza de sensibilitate
  • Analiza sensibilității: Exemplu de produse din beton
  • Produse din beton 2 (Soluții)
  • Exemplu de fermă de familie
  • Discutați despre modelele 11-20
  • Dualitatea geometrică
  • Probleme de sensibilitate

Săptămâna 8 (22-26 februarie)

  • Teoria dualității
  • LP Geometry
  • Algoritmul Dual Simplex
  • Geometria programării liniare
  • Algoritmul Dual Simplex
  • Faceți modele 16-20
  • Comentariile elevului la testul 4: Media a fost de 60/80 de puncte. În întrebarea 1, mulți oameni au confundat diferența dintre un tablou nelimitat și un tablou degenerat. Au existat multe erori în întrebarea 2 (algoritmul simplex în două faze). Aș recomanda verificarea dublă a calculelor în timp ce lucrați. De asemenea, probabil că necesită mai puține operațiuni dacă nu purtați „rândul z” de-a lungul fazei I.

Săptămâna 7 (16-19 februarie)

  • 11/9: Teoria dualității
  • 17.11: Teorema fundamentală a programării liniare, dualității puternice și slăbiciunii complementare
  • Slăbiciune complementară
  • Practică suplimentară a metodei simplex: probleme 3.1.3.2.3.9.3.10 din acest document.

Săptămâna 6 (8-12 februarie)

  • Secțiunea 3: Funcționează algoritmul Simplex?
  • Secțiunea 4: Teoria dualității
  • 2/8: Funcționează algoritmul simplex?
  • 2/10: Algoritmul simplex în două faze
  • 2/12: Teorema fundamentală a LP-urilor, dualitate puternică, slăbiciune complementară
  • Faceți modelele 11-15. Datorită cursului miercuri 2/17
  • Algoritm simplex în două faze

Săptămâna 5 (1-5 februarie)

  • Secțiunea 3: Funcționează algoritmul Simplex?
  • Comentariile elevului la testul 3:
  • 2 / 1,3: Funcționează algoritmul simplex?
  • Repetați problemele din „Simplex Algorithm for LPs with Feasible Origin” folosind maultiplicarea din stânga cu matrice Gaussian Elimination. Învață să citești soluția optimă la dual din tabloul optim al primului. La fiecare pas al metodei, învățați să citiți soluția actuală de bază fezabilă și valoarea funcției obiective.

Săptămâna 4 (25-29 ianuarie)

  • Secțiunea 2: Algoritmul Simplex
  • Matrici, structuri de blocuri și eliminare gaussiană
  • 1/25: Algoritmul Simplex, I: Noțiunile de bază (finisare)
  • 1/27: Algoritmul Simplex II: Limbaj, notație și algebră liniară
  • 1/29: Modele
  • Faceți modelele 6-10 de la linkul „Modele” de mai sus.
  • Repetați problemele din „Simplex Algorithm for LPs with Feasible Origin” folosind metoda tableau.

Săptămâna 3 (19 ianuarie - 22 ianuarie)

  • Citiți din notele clasei
    • Secțiunea 2: Algoritmul Simplex (secțiunile 1.1-1.2)
    • LP în formă standard
    • Algoritmul Simplex I: Bazele
    • Transformarea LP-urilor în formă standard
    • Algoritmul Simplex pentru LP-uri cu Origine Fezabilă (metoda dicționarului) (va fi continuat în săptămâna viitoare)

    Săptămâna 2 (11-15 ianuarie)

    • Citiți din notele clasei
      • Secțiunea 1: Introducere
      • 1/11: Introducere în programarea liniară
      • 1/13,15: modelare LP
      • Faceți modelele 1-5 de la linkul „Modele” de mai sus.

      Săptămâna 1 (4-8 ianuarie)

      • Comentariile elevului la testul 1: În general, oamenii s-au descurcat bine, dar întrebarea 4 a fost dificilă - nimeni nu a înțeles bine. Am scos un punct pentru întrebarea 2b dacă au transpus matricea și au început să reducă la rând, mai degrabă decât să folosească forma eșalon pe care au calculat-o deja. Am scos, de asemenea, un punct pentru întrebarea 3b dacă au spus ceva de genul „matricea nu are invers, deoarece este singulară”, deoarece aceasta doar reformula ceea ce ar trebui să justifice. Scorul mediu a fost de 7,9 / 13 puncte.
      • Citiți din notele clasei
        • Analiza liniară a algebrei (include probe de probă la final)
        • Matrici, structuri de blocuri și eliminare gaussiană
        • Secțiunea 1: Introducere (secțiunile 1.1.1.2)
        • 1/4: Prelegerea 1: Revizuirea algebrei liniare
        • 1/6,8: Curs 2: Introducere în programarea liniară
        • Soluții grafice pentru LP-uri bidimensionale
        • Problema 1.1 (a), (b)
        • Problema 1.4
        • Problema 1.6
        • Problema 1.8
        • Problema 2.4.1
        • Problema 2.4.4
        • Problema 2.4.6
        • Modelare: Amestecarea cerealelor, Programarea cabinei de taxare, Problema oficiului poștal
        • Conversia LP-urilor în formă standard: Problemele 2 și 3 din acest document (fișier pdf)
        • Rezolvarea grafică a LP-urilor: ambele probleme din acest document (fișier pdf)
        • Puteți încerca problemele din notele lui P. Tseng (înmânate la curs).
        • Ați putea încerca și problemele rămase din capitolul 1 din Chvatal

        Prezentare generală: săptămâna 2 (12-16 ianuarie)

        Citirea sarcinilor: Capitolul 2 din Chvatal

        • metoda simplex Top zece algoritm al secolului XX, A se vedea, de asemenea, această pagină web
        • variabile slăbiciune și decizie, dicționar, soluție de bază fezabilă
        • variabile de bază, variabile non-bazice, introducere variabilă, părăsire variabilă
        • test de raport minim, rând pivot, pivotare
        • multiple optima
        • Algoritmul simplex
        • Cum să recunoașteți dacă un LP are multiple optima sau un optim unic.
        • Cum să scrieți toate soluțiile optime pentru un LP atunci când există multiple optima.
        • Problema 2.1 (a)
        • Problema 2.1 (c) - rezolvați această problemă și grafic și verificați dacă obțineți aceeași soluție optimă.
        • Problema 2.2
        • Problema 2.3.6
        • Rezolvați folosind metoda simplex (de la J. Burke) fișier pdf
        • Puteți încerca problemele din notele lui P. Tseng (înmânate în clasă) - în special încercați toate problemele din secțiunile 2.3, 2.4 și 2.5.
        • Uitați-vă la toate exemplele din capitolul 2 din Chvatal și 2.1 (b).

        Prezentare generală: săptămâna 3 (19-23 ianuarie)

        Citirea sarcinilor: Capitolul 3 din Chvatal (inițializare) și Geometria metodei simplex

        • hiperplan, căi de margine
        • problemă auxiliară, dicționar fezabil / infezabil, faza I și faza II
        • vârf degenerat, cea mai mare regulă a coeficientului, blocare, LP nelimitate
        • Geometria algoritmului simplex.
        • Având în vedere regiunea fezabilă, cum să reconstitui dicționarul la un vârf dat al regiunii fezabile.
        • Faza I a metodei simplex pentru a decide dacă un LP este fezabil sau nu. Dacă LP este fezabil, cum să obțineți un prim dicționar fezabil.
        • Cum se poate spune dacă vârful actual este degenerat.
        • Cum să vă dați seama dacă metoda simplex se blochează.
        • Cum se poate spune dacă LP-ul este nelimitat.

        (Probleme de geometrie) Toate problemele din această foaie: fișier pdf

        • Problema 3.9 (a)
        • Metoda simplex în două faze (de la J. Burke) fișier pdf
        • Problema 2 din foaia de probleme de geometrie din teme.
        • Problema chvatal 3.9 (c)

        Prezentare generală: săptămâna 4 (26-30 ianuarie)

        Citirea sarcinilor: Capitolul 3 din cartea lui Chvatal

        • ciclism, pivot degenerat, vârf degenerat, metodă de perturbare
        • reguli pivot, cea mai mică regulă a indicelui, cea mai mare regulă de creștere
        • vârf degenerat, cea mai mare regulă a coeficientului, blocare, LP nelimitate
        • Cum se poate spune dacă vârful actual este degenerat.
        • Cum să vă dați seama dacă metoda simplex se blochează.
        • Cum se poate spune dacă LP-ul este nelimitat.
        • Cum să detectați ciclismul și geometria din spatele ciclismului.
        • Dovadă că o bază fixă ​​are asociat un dicționar unic.
        • Cum se previne ciclismul - regula lui Bland și metoda perturbării.
        • Teorema fundamentală a programării liniare (enunț și dovadă).
        • Complexitatea algoritmului simplex și a exemplelor Klee-Minty.
        • Problema 3.1
        • Problema 3.2
        • Problema 3.9 (b)
        • Problema 3.10
        • Problema 4.1 (b), (c) - le-ați putea face grafic

        Prezentare generală: săptămâna 5 (2-6 februarie)

        Citirea sarcinilor: Capitolul 4 din cartea lui Chvatal

        • reguli pivot, cea mai mică regulă a indicelui, cea mai mare regulă de creștere
        • Complexitatea algoritmului simplex și a exemplelor Klee-Minty.

        34: 17 Atribuire în clasă - Descompuneri și eliminare gaussiană

        Data miercuri, 3 februarie

        Citiți secțiunile 1.1 și 1.2

        Lucrați prin Faceți un tur al arțarului în meniul Ajutor al arțarului
        Lucrați prin Introducerea dr. Becker la Maple: mw pdf Solutions

        Lucrați prin cel puțin ghidul tutorial de pornire rapidă din Maple, sub Materiale de formare din arțar.

        Luni, 8 februarie

        Citiți secțiunile 1.1 și 1.2
        pp. 14-15 # 1b (utilizați teorema valorii intermediare), 3b (utilizați teorema valorii intermediare), 8, 10, (soluții pentru 8 și 10 mw pdf), gradat 7abc (se poate utiliza Maple) (Soluție mw pdf)

        Data miercuri, 10 februarie

        Citiți secțiunea 1.3
        pp. 20-22 # 1bd, 3d, 4g (răspuns = .284), 7a, 11, gradat 2d (Soluție)

        Data de vineri, 12 februarie

        Citiți secțiunea 1.2
        Proiect 1: p.14 # 12ab (cu excepția utilizării Maple) (Soluție mw pdf)

        Pentru refacerea pentru oricine are mai puțin de 20/20 ca notă, faceți aceeași problemă cu funcția f (x) = ln (x 4 +3) (Soluție mw pdf)

        Luni, 15 februarie

        Citiți secțiunea 1.4
        pp. 28-29 # 1d, 3, 7, 10ac (Soluții - soluțiile sunt numerotate diferit de probleme, dar sunt aici), 11abd (Soluții - soluțiile sunt numerotate diferit de probleme, dar sunt aici), notat:

        X1: Aflați rata de convergență a limn - & gt & # x221E n / (n 3 +2) = 0. (Soluție)
        X2: Aflați rata de convergență a limh - & gt0 e h = 1. (Soluţie)

        Pentru refacere:

        XX1: Aflați rata de convergență a limn - & gt & # x221E 6n 2 / (3n 5 +5) = 0. (Soluție)
        XX2: Aflați rata de convergență a limh - & gt0 (1 + e h) = 2. (Soluţie)

        Data miercuri, 17 februarie

        Proiectul 2:

        În vechile tabele trig care erau utilizate înainte ca calculatoarele să intre pe scară largă, tabelele mergeau doar de la 0 grade la 45 grade și toate valorile trig-ului de la sin la csc puteau fi obținute de la acestea. Folosiți un polinom Taylor pentru a crea un tabel de păcat de la 0 la 45 de grade cu precizie la patru cifre și imprimați rezultatele pentru fiecare 5 grade. Nu uitați să schimbați gradele în radiani pentru munca dvs. Începeți prin a găsi gradul unui polinom Taylor care aproximează păcatul de la 0 la Pi / 4 cu o eroare mai mică de .00005. Puteți utiliza calculatorul pentru a verifica rezultatele pentru acuratețe, dar asigurați-vă că afișați pașii necesari ai procesului.

        Soluții: mw pdf

        Proiectul 2 reface:

        Creați un tabel funcțional exponențial crescând cu zecimi de la 0 la 1. Vrem ca aceste valori să fie corecte până la 4 zecimale după rotunjire, adică la 0,00005 din valorile exacte. Facem acest lucru folosind un polinom Taylor despre x0= 0 pentru a aproxima funcția exponențială. Cu toate acestea, trebuie mai întâi să găsim gradul polinomului Taylor care ne va oferi precizia dorită. Facem acest lucru găsind mai întâi o limită superioară pentru eroare pentru un polinom Taylor de gradul n. Rețineți că exp (x) este propria derivată, că exp (x) crește și că exp (1) & lt3.

        Soluții: mw pdf

        Luni, 22 februarie

        Citiți secțiunile 2.1 și 2.2
        pp. 38 # 3c (manual) (Soluție), 5b (Soluție: mw pdf), 7 (Soluție: mw pdf), 11 (Soluție), gradat 9 (Soluție: mw pdf), 12 (manual) (Soluție )

        Data miercuri, 24 februarie

        Citiți secțiunea 2.3
        pp. 43-44 # 1a (de mână), 3d (de mână), 13b (Soluție: mw pdf), 15 (16 în 3), gradat 2a (de mână) (Soluție), 4b (doar pe [1, 2]) (Soluție: mw pdf)

        Data de vineri, 26 februarie

        Citiți secțiunile 2.3 și 2.4
        pp. 43-44 # 1b (manual), 5a (manual), 13a, notat 2b (manual) (Soluție)
        pp. 49-50 # 3a (de mână), 7b, 17, gradat 16a (Soluții: mw pdf)

        Data miercuri, 3 martie

        Citiți secțiunea 2.5
        p. 54 # 1d (de mână), 5a (i-ii) (de mână) (Soluție), 7a (rețineți că exponentul este -2 n, nu -2n) (Soluție), gradat 6a (de mână) (Soluție) , X (Utilizați metoda lui Stephensen pentru a aproxima rădăcina în [2,3] pentru 2 + sin xx = 0 până la 10 -5 - în pași non-Stephensen, utilizați punct fix cu x = 2 + sin x) (Soluție: mw pdf),

        Citiți secțiunea 2.6
        pp. 58-59 # 2a (utilizați Newton și cornist algoritmi după cum este necesar, vă pot verifica munca folosind POLY pe un calculator), 4b, 12 (setați cifre: = 20, evaluați expresia de la p.59, apoi utilizați Newton pentru a vedea cât de bun a fost Fibinacci), notat 2d (Soluție: mw pdf), 4c (Soluție: mw pdf)

        Termen miercuri, 10 martie

        Citiți secțiunea 3.2
        pp. 73-75 # 1a (ii) (manual asigurați-vă că sunteți în modul radian-valorile cos rotunjite la 6 cifre zecimale) (Soluție), 2a (ii) (Soluție), 3a (Arțar) (Soluție mw pdf ), 7a (Maple) (Soluție mw pdf), gradat 10 (Maple - nu utilizați cifre: = 4) (Soluție: mw pdf)
        Notă: Pentru a utiliza logaritmul comun de bază 10 în Maple, să presupunem că pentru a găsi jurnalul la baza 10 din 85, procedați în felul următor:
        & gtevalf (log10 (85))

        Citiți secțiunea 3.3
        pp. 81-82 # 1a (faceți gradul 2 numai cu primele trei puncte de mână), notat 6 [Uitați-vă la următoarea ieșire Maple: mw pdf. Ce trebuie să adăugați sau să schimbați pentru a obține împărțit_dif în nailb să funcționeze corect.] (Soluție: mw pdf), 12

        Citiți secțiunea 3.4
        pp. 86-87 # 1c (manual - comparați răspunsul cu funcția de # 2c), gradat 4a (sugerați arțar) (Soluție: mw pdf)

        Data miercuri, 17 martie

        Citiți secțiunile 3.5
        pp. 97-99 (PROIECT) # 5c, 11 (cu excepția let a = 2) (Soluție), gradat 12 (Soluție), „Găsiți manual o spline cubică pentru punctele [0,1], [1,2] și [2, -1] & quot (Soluție)

        Citiți secțiunea 4.2
        pp. 114-15 # 1g, 3c, 5a, 11, 13a, gradat 4c, 6a (Soluție: mw pdf)

        Data miercuri, 24 martie

        Citiți secțiunea 4.3
        pp. 122-24 # 1g, 2g, 3g, 5, gradat 4, 8 (Soluții: mw pdf)

        Citiți secțiunea 4.4
        pp. 130-32 # 1a, 3b, gradat 2f, 4a (Soluții: mw pdf)

        Citiți secțiunea 4.5
        pp. 137-38 # 1a, 3c, gradat 2b (Soluție: mw pdf)

        Data miercuri, 31 martie

        Citiți secțiunea 4.6
        pp. 143-45 # 1b, 3c, gradat 3b (Soluție: mw pdf)

        Data miercuri, 7 aprilie

        Citiți secțiunea 5.2
        pp. 182-83 # 1d (trebuie doar să arătați că IVP are o soluție unică și să găsiți soluția), 8 (trebuie doar să arătați că IVP are o soluție unică și să găsiți soluția), gradat 1c (trebuie doar să arătați că IVP are o soluție unică și găsiți soluția) (Soluție: mw pdf)

        (Proiect opțional - credit suplimentar de 10 puncte adăugat la nota proiectului) Scrieți o procedură gaussiană care implementează quadratura gaussiană. Pentru parametri veți avea nevoie de funcția f (tip algebric), limita inferioară a integrării a (tip numeric), limita superioară a integrării b (tip numeric), gradul polinomului Legendre n de utilizat (tip posint) și variabila returnată S (nume tip). Declarația cu (ortopol) poate fi localizată în corpul procedurii. Toate declarațiile de care aveți nevoie se găsesc în foile de lucru gaussian.mw și gaussian.pdf. Singura ieșire ar trebui să fie valoarea integralei. Testați-vă procedura la problema 3a la pagina 138. (Soluții: mw pdf)

        Citiți secțiunea 5.2
        pp. 182-83 # 1c (manual), 3b, 9a (bi) (Soluții: mw pdf), gradat 8a (bi) (Soluții: mw pdf)

        Data miercuri, 14 aprilie

        Citiți secțiunea 5.2
        pp. 182-83 # 5c (Soluții: mw pdf), 9e (Soluții: mw pdf), gradat 8e (Soluții: mw pdf)

        Luni, apr19

        Citiți secțiunea 5.4
        p. 198 # 3b (folosiți doar metoda Adams-Bashforth în patru etape) (Soluții: mw pdf), 4b (Soluții: mw pdf), gradată 3c (utilizați doar metoda Adams-Bashforth în patru etape - Utilizați soluția pentru DE prezentat în text) (Soluții: mw pdf), 4c (Soluții: mw pdf)

        Data miercuri, 21 aprilie

        Citiți secțiunile 5.5 și 5.6
        p.203 # 3b (Soluție: mw pdf), gradat 4d (Soluție: mw pdf)
        pp. 213-14 # 3c (dacă nu utilizați NA, utilizați abserr = Float (1, -4) - ignorați hmax și hmin) (Soluții: mw pdf), gradat 4b ((dacă nu utilizați NA, utilizați abserr = Float (1, -6) - ignorați hmax și hmin) (Soluții: mw pdf)

        Citiți secțiunea 5.7
        pp. 221-22 # 1b (Soluție: mw pdf), 2c (Soluție: mw pdf), gradat 6 (Soluții: mw pdf) (utilizați rk4 pentru toate problemele cu h = 0,1 pentru # 6)

        Citiți secțiunea 5.8
        p. 227 # 1a (cu metoda rk4) (Soluție: mw pdf), 1b (metoda rosenbrock) (Soluție: mw pdf), gradată 1d (cu metoda lsode [backfull]) (Soluție: mw pdf)

        Data miercuri, 28 aprilie

        Citiți secțiunea 6.2
        pp. 238-240 # 1acg (doar grafic manual - ca în clasa de algebră), 3f (eliminarea manuală Gaussiam), gradat 4d (eliminare gaussiană cu arțar, set cifre: = 7) (Soluție: mw pdf)

        Citiți secțiunea 6.3
        p. 246-47 # 7d (set cifre: = 3, rotunjire cu 3 cifre), 8d (set cifre: = 3, rotunjire cu 3 cifre), gradat 5d (utilizați pivotare completă cu cifre: = 10) (Soluție: mw pdf)

        Citiți secțiunea 6.4
        pp. 256-60 # 2de (plus găsiți determinanții fiecăruia manual), notat 4b (Soluție: mw pdf)

        Citiți secțiunea 6.5
        pp. 265-66 # 1a, 3bc, gradat 5a (ignorați instrucțiunile din 2a că lii = 1 pentru toți i.) (Soluție: mw pdf)

        Citiți secțiunea 7.2
        pp. 284-85 # 1ac, 3bc, 5a, gradat 2b (Soluție: mw pdf)

        Citiți secțiunea 7.3
        pp. 291-92 # 1ag, 5ag, gradat 2h (Soluție: mw pdf)


        34: 17 Atribuire în clasă - Descompuneri și eliminare gaussiană

        Program de lucru: MW: 3: 30-4: 30 și la programare (vorbiți doar cu mine după curs sau trimiteți-mi un e-mail)

        Birou: APM 5256, tel. (858) 534-2734

        Asistenți didactici: Jeremy Greene (e-mail: [email protected]) program de lucru: MW10-11: 30 APM 6434 și Michael Kelly (e-mail: [email protected]) program de lucru: F10-12 APM 6333

        Calculul calificativului: calificativul se calculează din scorurile dvs. din final (50%), 2 la jumătatea perioadei (20% fiecare) și temele (10%). Nota de promovare pentru finală necesară pentru promovarea cursului! Voi pune la dispoziție o finală de antrenament înainte de finala reală.

        Mijlocii de parcurs: 10/20 și 11/17 în clasă

        Texte

        Program: Acesta este un al doilea curs de algebră liniară care se concentrează pe aspecte și aplicații de calcul, prezentând totuși conceptele geometrice. Începem cu o revizuire rapidă a metodelor de bază pentru rezolvarea sistemelor de ecuații liniare și a subspatiilor și conceptelor geometrice asociate. Aplicațiile vor acoperi grafice și rețele, probleme cu cel mai mic pătrat, transformată rapidă de Fourier, ecuații diferențiale și diferențiale și soluții numerice ale acestora. Cursul va merge mai departe decât un prim curs de matrici de factorizare. Diagonalizarea produce factorizări ale majorității matricelor pătrate, dar în general avem triunghiularizare și forma normală a lui Jordan. Eliminarea Gaussiană și ortogonalizarea Gram-Schmidt produc factorizări, dar una mai utilă este descompunerea valorii singulare, care poate fi folosită în special pentru a construi o pseudoinversă atunci când nu există invers pentru rezolvarea problemelor cu cel mai mic pătrat.

        Programa detaliată provizorie (se poate schimba, adică putem merge puțin mai repede sau mai încet decât este indicat):

        Săptămâna 1 (până la 10/1): 1.1-7, 2.1 Matrici și funcții de eliminare gaussiene, spații vectoriale și subspații
        Săptămâna 2: 2.2-5 rezolvarea Ax = b, independență liniară, bază și dimensiune
        Săptămâna 3: 2.4-6 Cele patru subspații fundamentale, grafice și rețele, transformări liniare
        Săptămâna 4: 3.1-3.4 Vectorii și subspaiile ortogonale, proiecțiile, cele mai mici pătrate, matricile ortogonale, Gram-Schmidt,
        Săptămâna 5: 3.5: Transformată Fourier rapidă, 4.1-4 Determinanți
        Săptămâna 6:
        Săptămâna 7:
        Săptămâna 8:
        Săptămâna 9:
        Săptămâna 10:

        Lucrările pentru acasă trebuie să fie activate sau înainte de data indicată, de obicei într-o miercuri la sau înainte de 17:00. O cutie poștală la etajul 6 al APM ar trebui să fie disponibilă, dar consultați mai întâi TA-urile în prima săptămână. Nici o temă nu trebuie predată miercuri, când este programată o jumătate a perioadei. Cu toate acestea, unele teme pot face parte, de asemenea, din materialul solicitat la jumătatea perioadei. Este foarte important să faceți problemele cu temele, deoarece majoritatea problemelor la examen vor fi variații ale problemelor cu temele.

        Declinare de responsabilitate: Voi încerca să pun temele pe net la timp. Din cauza timpului și a altor limitări, este posibil ca acest lucru să nu fie întotdeauna posibil. Faptul că nu există nicio sarcină afișată pentru o anumită dată nu înseamnă, în consecință, că nicio temă nu este datorată.

        pentru 29/9: Sec. 1.2: 3, 10, sec. 1.3: 3 (greșeală de tipărire: ecuația 2 -> ecuația 1, ecuația 3 -> ecuația 2), 18, 31, sec. 1.4: 6, 10, 30. 32

        pentru 10/6: Sec. 1,5: 1, 4, 15, sec. 1,6: 4,6,22,35,50, Sec. 1,7: 3,6, sec. 2.1: 3, 7abcf, 8, 25, 26,

        pentru 10/10: Sec. 2.2: 5, 8, 10, 24, 25, Sec: 2.3: 2,10, 12,13,20,26,30, Sec. 2.4: 2,5,8,27,28,

        pentru 27/10: Sec. 2.5: 6, 8, Sec. 2.6: 6, 7, 8, 9, 16, 18, 22, 33, Sec. 3.1: 2, 7, 11, 14, 16, 19, 22, 32, 37, 44, 51, sec. 3.2: 14, 17, 19, 21,

        pentru 11/3: sec. 3.3: 4.6,12, 17, 22, 27, Sec. 3.4: 13, 15, 16, 21, 23, (30 eliminat), Sec. 3,5: 11,14,

        pentru 11/10: Sec. 4.2: 2,7,10,12,14,18,28, Sec. 4,3: 3,5,28,43, sec. 4.4: 5, 10, 14, 18,

        pentru 11/17: nu trebuie să fie predat, ci relevant pentru jumătatea perioadei. Soluțiile vor fi postate mai jos: Sec. 5.1: 5, 7, 14, 25, 27, sec. 5.2: 4, 5, 7, 8, 15, 21, 29, 30, 34, 40,

        pentru 24.11: Sec. 5.3: 2, 8, 10, 12, 15, 25, 28, sec. 5.4: 1, 2, 3, 5, 8, 9,

        pentru 12/1: Sec. 5,5: 16,17,18,36,38, 41,44,46, Sec. 5.6: 3, 8, 11, 13, 17 (utilizați 5R la p 296), 25, 31, 41, 44,

        pentru final (nu trebuie să fie predat, dar relevante pentru soluțiile finale vor fi postate mai târziu): Sec 6.2: 2,4,8,23,27,29,30, Sec 6.3: 2,3,5,10,15, 19,

        Soluții pentru perioadele intermediare: TA-urile au trecut peste termen mediu în secțiuni. Deci, nu vom posta soluții pentru termenii intermediari. Cu toate acestea, voi indica mai jos modul în care problemele celui de-al doilea semestru sunt similare cu problemele pentru teme, pentru care puteți căuta soluțiile sau vă dau alte indicații despre cum să le faceți.

        Problema 1 (a) a fost ca Problema 7 din Secțiunea 2.6, dar mai ușoară, iar pentru (b) nu trebuia decât să pătrateți matricea.

        Problema 2 (a) a fost Gram-Schmidt (soluție: (1,2,2,0) și (0,2, -2,1)), problema 2 (b) a fost ca problema 16 din secțiunea 3.1, de exemplu, can solve it by calculating the null space of the 2 by 4 matrix with rows (1,2,2,0) and (1,4,0,1). Problem 2(c) is just the projection u of x onto S, which is u = (1,10/3, 2/3, 2/3)^T, and for 2(d) we have u as in 2(c) and v = x - u .

        In Problem 3 you calculate the determinant by putting it into echelon form (solution: 1), and for (b) det(2C)=8 det(C).

        Problem 4(a),(b) was like Problem 14 of Section 5.1. To review: B has rank 1, and hence the null space has dimension 3, and we have had several problems where one calculates a basis for a nullspace. For a rank 1 matrix, any column vector is an eigenvector. In our case, B can be written as B=vv^T, where v^T=(1,-1,1,-1). Then you see that Bv=vv^Tv=4v. For 4(c) you just have to know that the columns of S consist of a basis of eigenvectors of B, which have been calculated in parts (a) and (b), and that the diagonal entries of Lambda are the eigenvalues of B, i.e. 4,0,0,0 to solve part (d) (here we assume that the first column of S is the eigenvector for 4, and the following three column vectors are a basis for the null space of B).

        Final: We will have the same rules for the final as for the midterm. One cheat sheet, no calculators, books or other tools. Please bring bluebook/paper. I will post solutions for homework problems below. The new problems start with posting 8, part of which was already made available for the second midterm. Here is also a practice final given by another professor, with solutions. Please read below how my final may differ from that practice final, and for further tips.

        Office hours for exam week: Jeremy: TW 9-12 (APM 6434), Hans Wenzl: MT 3-4+ (i.e. I'll stay beyond 4 if there are students around) (APM 5256)

        More remarks: The practice final has two problems concerning calculating determinants, and two problems concerning solving linear equations and fundamental subspaces. Probably, our final will contain somewhat fewer problems of that type. Also, we have not covered material for question 8(c). Instead, some of the following problems may be on the exam:

        - Calculate SVD for a given matrix

        - Matrix of a linear transformation

        - Exponential or large power of a matrix solution of system of differential equation

        - Properties of positive definite matrices, of symmetric matrices, Hermitian matrices

        Midterm: The second midterm takes place in class on Wednesday, 11/17. The material goes primarily over the assignments for 10/27 until 11/17. Previous material will only be relevant if it is needed in connection with problems of these later sections. You are allowed to use one hand-written cheat sheet, but no books or calculators. Below is a practice midterm with solutions (but only look at the solutions after you have tried the problems in serious. You can also find solutions for homework problems below that.


        Columbia University UN2010 Section 003 Linear algebra, Spring 2017

        Our teaching assistants hold their office hours in the Help Room in Math 406. The Help Room is open Monday-Thursday 9am-6pm and Friday 9am-4pm. You can go there any time during open hours to get help with the material (not just from our TAs).

        Textbook Otto Bretscher Linear algebra with applications, Fifth edition. Cheaper 4th edition is fine too, except for the homework problems, which come from the 5th edition. If you buy the fourth edition, you'll need to get the correct problems from a friend who has the 5th edition

        Syllabus: Our goal is to cover chapters 1 through 8 of the textbook, with few omissions. The topics are: systems of linear equations and Gaussian elimination, matrices, linear transformations, subspaces, linear spaces, orthogonality and the Gram-Schmidt, determinants, eigenvalues, eigenvectors, symmetric matrices.

        Homework: Homework consists in reading the textbook sections before class according to the schedule of lectures and writing down (and turning in) the solutions of problems. The homework problems will be assigned on Tuesdays in Class, due Tuesday the next week before class. Drop the homework off to the hw box with my name on it on the 4th floor of the Math building Two lowest homework scores will be dropped. Graded homework can be picked up from a tray on the 6th floor (up the stairs, turn left and through the door, the table with hw trays is to your left half the hall way). LATE HOMEWORK WON'T BE ACCEPTED. The numerical grade for the course will be the following linear combination:
        15% homework, 25% each midterm, 35% final.

        Homework Assignment

        Homework 1, due Tuesday January 24th. Solve in Section 1.1: # 6, 18, 24, 37, 44 and in Section 1.2: # 2, 4, 9, 11, 18.


        Homework 2, due Tuesday January 31st. Solve in Section 1.2: # 29, 37, 67, in Section 1.3: # 2. 8, 9, 24, 50 and in Section 2.1: # 6, 8.


        Homework 3, due Tuesday February 7th. Solve in Section 2.2: # 14, 32, 39, in Section 2.3: # 7, 20, 47, 60 and in Section 2.4: # 4, 30, 84.


        Homework 4, due Tuesday February 28th. Solve in Section 3.1: # 7, 20, 34, 46, 50 in Section 3.2: # 3, 14, 15, 37, 41.


        Homework 5, due March 7th. Solve in Section 3.2: # 46, 52, 57 in Section 3.3: # 16, 27, 33, 36, 39, 62, 69.


        Homework 6, due March 21st. Solve in Section 3.4: # 45, 60, 82, in Section 4.1: # 29, 49, 59, in Section 4.2: # 7, 53, 65, 70, in Section 4.3: # 38, 62.


        Homework 7, due April 4th. Solve in Section 5.1: # 12, 14, 16, 23, 31 and in Section 5.2: # 29, 35, 38, 44.


        Homework 8, due April 11th. Solve in Section 5.3: # 30, 38, 42, 67 and in Section 5.5: # 5, 10, 16, 20.


        Homework 9, due April 18th. Solve in Section 6.1: # 10, 15, 28, 50 and in Section 6.2: # 5, 23, 31, 43, 45, 54.


        Homework 10, due April 25th. Solve in Section 6.3: # 10, 11, 38, 39, in Section 7.1 : # 13, 44, 53, 64 and in section 7.2 # 2, 22, 33, 45.


        34: 17 In-Class Assignment - Decompositions and Gaussian Elimination

        The Final Course Average will come from 3 sources: Graded Quizzes, Midterm Exams, and the Comprehensive Final Exam. All individual scores on graded work will be converted to percentage scores. Then these percentage scores will be used to calculate your Final Course Average using the following criteria:

        • Graded Quiz Average contributes 15%.
        • Midterm Exam Average contributes 65%.
        • Comprehensive Final Exam contributes 20%.

        You may take each of the Graded Quizzes one time before the deadline date and time that appear to the right of the quiz link in the Quiz and Test System for that quiz.

          • Graded Quizzes in Math 1114 are accessible from any location.
          • You will have scores for 17 Graded Quizzes this semester.
          • Your scores on Graded Quizzes will count in your final course average. See the Deadlines section below for details Only the highest 12 Graded Quiz scores will be used to calculate your ending Quiz % Average at the end of the semester. See the Deadlines section below for details.

          For more details about Graded Quizzes and how to study for your quizzes, go to the Quizzes page.

          Proctored Exams:

          • Midterm Exams:
            • Each Midterm Exam consists of 18 problems in multiple-choice format covering the same material as the corresponding Practice Problems.
            • You may take each midterm exam one time before the deadline date and time that appear to the right of the exam link in the Quiz and Test System for that exam.
            • Midterm Exams are only accessible from the computers in the Testing Area of the Math Emporium.
            • All 4 of your Midterm Exams will count in your Midterm Exam Average. To allow for unforeseen situations (e.g., short-term illness, transportation problem, human error, etc.), when calculating your ending Midterm Exam Average at the end of the semester, the percentage score on your Final Exam will replace your one lowest Midterm Exam percentage score, if the Final Exam percentage score is higher. See the Deadlines section below for details.

            • The Final Exam consists of 25 problems in multiple-choice format covering all the course content.
            • You may take the Final Exam one time before the deadline.
            • The Final Exam is only accessible from the computers in the Testing Area of the Math Emporium.

            For more details about Proctored Exams, including Honor System and calculator policies, go to the Proctored Exams page.

            Deadlines for Proctored Exams and Graded Quizzes will be strictly enforced. You can find your deadline for graded work by logging into the Quiz and Test System and viewing the "Must Be Started By" date and time that appear to the right of the link for each graded quiz or exam. As implied by the "Must Be Started By" statement, the deadline is the latest day and time that you can begin your graded work. Unless there are documented extenuating circumstances (see *NOTE* below), deadlines for Proctored Exams and Graded Quizzes will not be extended.

              Midterm Exams:

            A missed exam will receive a 0 score. To allow for unforeseen situations (e.g., short-term illness, transportation problem, human error, etc.), the percentage score on your Final Exam will replace your one lowest Midterm Exam percentage score, if the Final Exam is higher.

            A missed quiz will receive a 0 score. To allow for unforeseen situations (e.g., short-term illness, transportation problem, human error, etc.), your Graded Quiz Average will be calculated using the percentage scores from your highest 12 Graded Quiz scores.

            *NOTE* For extenuating circumstances, you must contact Schiffert Health Center or Student Advocacy in 109 Eggleston Hall to provide documentation to your college. You are expected to work ahead so that you do not miss a deadline due to a one or two day illness or other unforeseen circumstance that fails to satisfy Schiffert or Student Advocacy requirements for documentation. Failure to meet this expectation is not a valid reason for a deadline extension.

            The Undergraduate Honor Code pledge that each member of the university community agrees to abide by states:

            "As a Hokie, I will conduct myself with honor and integrity at all times. I will not lie, cheat, or steal, nor will I accept the actions of those who do."

            Students enrolled in this course are responsible for abiding by the Honor Code. A student who has doubts about how the Honor Code applies to any assignment is responsible for obtaining specific guidance from the course instructor before submitting the assignment for evaluation. Ignorance of the rules does not exclude any member of the University community from the requirements and expectations of the Honor Code.


            Priveste filmarea: - Implementado o método da Eliminação de Gauss em Python. (Iulie 2022).


Comentarii:

  1. Vizshura

    Îmi voi permite să nu fiu de acord cu tine

  2. Aethretun

    Bine făcut, ai fost vizitat de ideea remarcabilă

  3. Sayad

    Comite o eroare. Pot dovedi asta.

  4. Wilfredo

    Anterior, mă gândeam altfel, mulțumesc pentru informații.



Scrie un mesaj