Articole

1.4: Funcții liniare - Matematică

1.4: Funcții liniare - Matematică


We are searching data for your request:

Forums and discussions:
Manuals and reference books:
Data from registers:
Wait the end of the search in all databases.
Upon completion, a link will appear to access the found materials.

Pe măsură ce urcați într-un taxi din Las Vegas, contorul va citi imediat 3,30 USD; aceasta este taxa de „scădere” efectuată atunci când taximetrul este activat. Folosind variabile descriptive, alegem m pe mile și C pentru Costul în dolari în funcție de mile: (C (m) ).

Știm cu siguranță că (C (0) = 3,30 ), deoarece taxa de reducere de 3,30 USD este evaluată indiferent de câte mile sunt parcurse. Deoarece se adaugă 2,60 USD pentru fiecare milă parcursă, atunci

[C (1) = 3,30 + 2,60 = 5,90 nonumber ]

Dacă am parcurge un al doilea kilometru, s-ar adăuga alți 2,60 USD la cost:

[C (2) = 3,30 + 2,60 + 2,60 = 3,30 + 2,60 (2) = 8,50 nonumber ]

Dacă am parcurge o a treia milă, s-ar adăuga alți 2,60 USD la cost:

[C (3) = 3,30 + 2,60 + 2,60 + 2,60 = 3,30 + 2,60 (3) = 11,10 nonumber ]

Din aceasta am putea observa modelul și am putea concluziona că, dacă sunt conduse (m ) mile,

(C (m) = 3,30 + 2,60m ) deoarece începem cu o taxă de scădere de 3,30 USD și apoi pentru fiecare creștere a milei adăugăm 2,60 USD.

Este bine să verificați dacă unitățile au sens în această ecuație. Taxa de scădere de 3,30 USD este măsurată în dolari; taxa de 2,60 USD este măsurată în dolari pe milă.

[C (m) = 3,30 text {dollars} + left (2,60 dfrac { text {dollars}} { text {mile}} right) left (m ; text {miles} right )fără număr ]

Când dolari pe milă sunt înmulțiți cu un număr de mile, rezultatul este un număr de dolari, care se potrivește cu unitățile de pe 3,30 și se potrivesc cu unitățile dorite pentru C funcţie.

Observați că această ecuație (C (m) = 3,30 + 2,60m ) constă din două cantități. Prima este taxa fixă ​​de 3,30 USD, care nu se modifică în funcție de valoarea intrării. Al doilea este valoarea de 2,60 dolari pe milă, care este un rata de schimbare. În ecuație, această rată de modificare este înmulțită cu valoarea de intrare.

Privind aceeași problemă în formatul tabelului, putem vedea, de asemenea, modificările costurilor cu 2,60 USD pentru fiecare creștere de 1 milă.

(m )0123
(Cm))3.305.908.5011.10

Este important de remarcat aici că în această ecuație, rata de schimbare este constantă; pe orice interval, rata de schimbare este aceeași.

Graficând această ecuație, (C (m) = 3,30 + 2,60m ) vedem că forma este o linie, care este modul în care aceste funcții își primesc numele: funcții liniare.

Când numărul de mile este zero, costul este de 3,30 USD, dând punctul (0, 3,30) pe grafic. Aceasta este interceptarea verticală sau (C (m) ). Graficul crește în linie dreaptă de la stânga la dreapta, deoarece pentru fiecare milă costul crește cu 2,60 USD; această rată rămâne constantă.

În acest exemplu, ați văzut costul taxiului modelat în cuvinte, o ecuație, un tabel și sub formă grafică. Ori de câte ori este posibil, asigurați-vă că puteți lega aceste patru reprezentări împreună pentru a vă construi continuu abilitățile. Este important să rețineți că nu veți putea găsi întotdeauna toate cele 4 reprezentări pentru o problemă și, prin urmare, este foarte important să puteți lucra cu toate cele 4 forme.

Definiție: Funcție liniară

A funcție liniară este o funcție al cărei grafic produce o linie. Funcțiile liniare pot fi întotdeauna scrise în formă

(f (x) = b + mx ) sau (f (x) = mx + b ); sunt echivalente

Unde

  • (b ) este valoarea inițială sau de pornire a funcției (la intrare, x = 0) și
  • (m ) este rata constantă de modificare a funcției

Multor oameni le place să scrie funcții liniare în forma (f (x) = b + mx ) deoarece corespunde modului în care tindem să vorbim: „Ieșirea începe de la (b ) și crește cu o rată de (m ). ”

Numai din acest motiv vom folosi forma (f (x) = b + mx ) pentru multe dintre exemple, dar amintiți-vă că sunt echivalente și pot fi scrise corect în ambele sensuri.

Definiție: pantă și creștere / descreștere

(m ) este rata constantă de modificare a funcției (numită și pantă). Panta Panta determină dacă funcția este o funcție crescătoare sau o funcție descrescătoare.

(f (x) = b + mx ) este un crescând funcție dacă (m> 0 )

(f (x) = b + mx ) este a in scadere funcție dacă (m <0 )

Dacă (m = 0 ), rata de schimbare zero și funcția (f (x) = b + 0x = b ) este doar o linie orizontală care trece prin punctul (0, (b )) , nici în creștere, nici în scădere.

Exemplu ( PageIndex {1} )

Pentru a începe să producă un nou model de roți personalizate, o companie va trebui să achiziționeze 30.000 de dolari în echipamente noi. Fiecare roată realizată le costă 40 USD în provizii și forță de muncă. Scrieți o formulă pentru costul total, (TC ), pentru producerea roților (q ). Care vor fi costurile lor totale în primul an dacă se așteaptă să vândă 240 de roți?

Soluţie

Valoarea inițială pentru această funcție este 30.000, deoarece acesta reprezintă costurile de pornire, deci (TC (0) = 30.000 ). Costul crește cu 40 USD pentru fiecare roată realizată, astfel încât rata de schimbare este de 40 USD pe roată. Cu aceste informații, putem scrie formula:

[TC (q) = 30.000 + 40q. Nonumber ]

(TC (q) ) este o funcție liniară în creștere.

Cu această formulă putem prezice costul total al 240 de roți:

[TC (240) = 30.000 + 40 (240) = 30.000 + 9.600 = 39.600. Nonumber ]

Costul total va fi de 39.600 de dolari.

Definiție: calculul ratei de schimbare

Având două valori pentru intrare, (x_ {1} { rm ; și ;} x_ {2} ) și două valori corespunzătoare pentru ieșire, (y_ {1} { rm ; și ;} y_ {2} ) sau un set de puncte, ((x_ {1} { rm, ; ;} y_ {1}) ) și ((x_ {2} { rm, ; ;} y_ {2}) ), dacă dorim să găsim o funcție liniară care conține ambele puncte putem calcula rata de schimbare, m:

[m = dfrac { rm change ; în; output} { rm change ; în; input} = dfrac { Delta y} { Delta x} = dfrac {y_ {2} -y_ {1}} {x_ {2} -x_ {1}} ]

Rata de schimbare a unei funcții liniare este, de asemenea, numită pantă a liniei.

Notați în notația funcțională, (y_ {1} = f (x_ {1}) ) și (y_ {2} = f (x_ {2}) ), astfel încât să putem scrie în mod echivalent

[m = dfrac {f left (x_ {2} right) -f left (x_ {1} right)} {x_ {2} -x_ {1}} ]

Exemplu ( PageIndex {2} )

Populația unui oraș a crescut de la 23.400 la 27.800 între 2002 și 2006. Aflați rata de schimbare a populației în acest interval de timp.

Soluţie

Rata de schimbare va raporta schimbarea populației la schimbarea în timp. Populația a crescut cu (27800-23400 = 4400 ) persoane în intervalul de timp de 4 ani. Pentru a găsi rata de schimbare, numărul de persoane pe an populația sa schimbat prin:

[ dfrac {4400 text {people}} {4 text {years}} = 1100 dfrac { text {people}} { text {year}} = 1100 text {people per year} nonumber ]

Observați că știam că populația crește, așa că ne-am aștepta ca valoarea noastră pentru (m ) să fie pozitivă. Acesta este un mod rapid de a verifica dacă valoarea dvs. este rezonabilă.

Exemplu ( PageIndex {3} )

Presiunea, (P ), în lire pe inch pătrat (PSI) pe un scafandru depinde de adâncimea lor sub suprafața apei, (d ), în picioare, urmând ecuația (P (d) = 14.696 + 0.434d ). Interpretează componentele acestei funcții.

Soluţie

Rata de schimbare sau panta, 0.434 ar avea unități ( dfrac { text {output}} { text {input}} = dfrac { text {pressure}} { text {depth}} = dfrac { text {PSI}} { text {ft}} ). Acest lucru ne spune că presiunea asupra scafandrului crește cu 0,434 PSI pentru fiecare picior crește adâncimea lor.

Valoarea inițială, 14.696, va avea aceleași unități ca și ieșirea, astfel încât acest lucru ne spune că la o adâncime de 0 picioare, presiunea pe scafandru va fi de 14.696 PSI.

Exemplu ( PageIndex {4} )

Dacă (f (x) ) este o funcție liniară, (f (3) = - 2 ) și (f (8) = 1 ), găsiți rata de schimbare.

Soluţie

(f (3) = - 2 ) ne spune că intrarea 3 corespunde cu ieșirea -2, iar (f (8) = 1 ) ne spune că intrarea 8 corespunde cu ieșirea 1. Pentru a găsi rata de schimbare, împărțim schimbarea de ieșire la schimbarea de intrare:

[m = dfrac { text {modificare în ieșire}} { text {modificare în intrare}} = dfrac {1 - (- 2)} {8-3} = dfrac {3} {5} nonumber ] Dacă se dorește, am putea scrie și asta ca (m = 0,6 )

Rețineți că nu este important ce pereche de valori este prima în scădere, atâta timp cât prima valoare de ieșire utilizată corespunde cu prima valoare de intrare utilizată.

Exercițiu ( PageIndex {2} )

Având în vedere cele două puncte (2, 3) și (0, 4), găsiți rata de schimbare. Această funcție crește sau scade?

Răspuns

(m = dfrac {4-3} {0-2} = dfrac {1} {- 2} = - dfrac {1} {2} ); Scade deoarece (m <0 )

Acum putem găsi rata de schimbare dată de două perechi intrare-ieșire și putem scrie o ecuație pentru o funcție liniară odată ce avem rata de schimbare și valoarea inițială. Dacă avem două perechi intrare-ieșire și acestea nu includ valoarea inițială a funcției, atunci va trebui să o rezolvăm.

Exemplu ( PageIndex {5} )

Scrieți o ecuație pentru funcția liniară reprezentată grafic în dreapta.

Soluţie

Privind graficul, am putea observa că acesta trece prin punctele (0, 7) și (4, 4). Din prima valoare, știm că valoarea inițială a funcției este (b = 7 ), deci în acest caz va trebui doar să calculăm rata de schimbare:

[m = dfrac {4-7} {4-0} = dfrac {-3} {4} nonumber ]

Acest lucru ne permite să scriem ecuația:

[f (x) = 7- dfrac {3} {4} x nonumber ]

Exemplu ( PageIndex {6} )

Dacă (f (x) ) este o funcție liniară, (f (3) = - 2 ) și (f (8) = 1 ), găsiți o ecuație pentru funcție.

Soluţie

În exemplul 3, am calculat rata de modificare a fi (m = dfrac {3} {5} ). În acest caz, nu cunoaștem valoarea inițială (f (0) ), deci va trebui să o rezolvăm. Folosind rata de schimbare, știm că ecuația va avea forma (f (x) = b + dfrac {3} {5} x ). Deoarece cunoaștem valoarea funcției când (x = 3 ), putem evalua funcția la 3.

[f (3) = b + dfrac {3} {5} (3) nonumber ] Din moment ce știm că (f (3) = - 2 ), putem înlocui în partea stângă

[- 2 = b + dfrac {3} {5} (3) nonumber ] Aceasta ne lasă cu o ecuație pe care o putem rezolva pentru valoarea inițială

[b = -2- dfrac {9} {5} = dfrac {-19} {5} nonumber ]

Combinând acest lucru cu valoarea ratei de schimbare, putem scrie acum o formulă pentru această funcție:

[f (x) = dfrac {-19} {5} + dfrac {3} {5} x nonumber ]

Exemplu ( PageIndex {7} )

Lucrând ca agent de asigurări, Ilya câștigă un salariu de bază și un comision pentru fiecare nouă poliță, astfel încât venitul săptămânal al Ilya, (I ), depinde de numărul de polițe noi, (n ), pe care le vinde în timpul săptămânii. Săptămâna trecută a vândut 3 noi polițe și a câștigat 760 de dolari pe săptămână. Cu o săptămână înainte, el a vândut 5 noi polițe și a câștigat 920 de dolari. Găsiți o ecuație pentru (I (n) ) și interpretați semnificația componentelor ecuației.

Soluţie

Informațiile date ne oferă două perechi de intrare-ieșire: (3.760) și (5.920). Începem prin a găsi rata de schimbare.

[m = dfrac {920-760} {5-3} = dfrac {160} {2} = 80 nonumber ]

Urmărirea unităților ne poate ajuta să interpretăm această cantitate. Veniturile au crescut cu 160 USD când numărul polițelor a crescut cu 2, astfel încât rata de schimbare este de 80 USD per politică; Ilya câștigă un comision de 80 USD pentru fiecare politică vândută în cursul săptămânii.

Putem apoi rezolva valoarea inițială

[I (n) = b + 80n nonumber ] atunci când (n = 3 ), (I (3) = 760 ), dând

[760 = b + 80 (3) nonumber ] acest lucru ne permite să rezolvăm pentru (b )

[b = 760-80 (3) = 520 nonumber ]

Această valoare este valoarea inițială pentru funcție. Acesta este venitul Ilya când (n = 0 ), ceea ce înseamnă că nu se vând noi politici. Putem interpreta acest lucru ca fiind salariul de bază al Ilya pentru săptămână, care nu depinde de numărul de polițe vândute.

Scrierea ecuației finale:

[I (n) = 520 + 80n nonumber ]

Interpretarea noastră finală este: salariul de bază al Ilya este de 520 USD pe săptămână și câștigă un comision suplimentar de 80 USD pentru fiecare poliță vândută în fiecare săptămână.

Flashback

Privind exemplul 7:

Determinați variabilele independente și dependente.

Ce este un domeniu și o gamă rezonabilă?

Această funcție este unu-la-unu?

Răspuns

(n ) (numărul de polițe vândute) este variabila independentă

(I (n) ) (venitul săptămânal în funcție de polițele vândute) este variabila dependentă.

Un domeniu rezonabil este (0, 15) ({} ^ {*} )

Un interval rezonabil este (540 $, 1740 $) ({} ^ {*} )

({} ^ {*} ) răspunsurile pot varia, în funcție de motivare; 15 este o limită superioară arbitrară bazată pe vânzarea a 3 polițe pe zi într-o săptămână de lucru de 5 zile și 1740 USD corespund domeniului.

Da, această funcție este unu-la-unu

Exercițiu ( PageIndex {3} )

Soldul din contul dvs. de plată pentru colegiu, (C ), este o funcție a numărului de trimestre, (q ) la care participați. Interpretează funcția (C (a) = 20000 - 4000q ) în cuvinte. Câte sferturi de facultate puteți plăti până când acest cont este gol?

Răspuns

Contul dvs. de facultate începe cu 20.000 USD și retrageți 4.000 USD în fiecare trimestru (sau contul dvs. conține 20.000 USD și scade cu 4000 USD în fiecare trimestru.) Rezolvarea (C (a) = 0 ) dă (a = 5 ). Puteți plăti 5 trimestre înainte ca banii din acest cont să dispară.

Exemplu ( PageIndex {8} )

Dat fiind tabelul de mai jos, scrieți o ecuație liniară care reprezintă valorile tabelului

(w ), numărul de săptămâni0246
(P (w) ), numărul șobolanilor1000108011601240

Soluţie

Putem vedea din tabel că valoarea inițială a șobolanilor este 1000 deci în format liniar

[P (w) = b + mw, : b = 1000 nonumber ]

În loc să rezolvăm pentru (m ), putem observa din tabel că populația crește cu 80 la fiecare 2 săptămâni care trec. Această rată este constantă de la săptămâna 0 la săptămâna 2, 4 și 6. Rata de schimbare este de 80 de șobolani la 2 săptămâni. Acest lucru poate fi simplificat la 40 de șobolani pe săptămână și putem scrie

[P (w) = b + mw text {ca} P (w) = 1000 + 40w nonumber ]

Dacă nu ați observat acest lucru din tabel, puteți rezolva panta folosind oricare două puncte din tabel. De exemplu, folosind (2, 1080) și (6, 1240),

[m = dfrac {1240-1080} {6-2} = dfrac {160} {4} = 40 text {șobolani pe săptămână} nonumber ]

Subiecte importante ale acestei secțiuni

  • Definiția Modeling
  • Definiția unei funcții liniare
  • Structura unei funcții liniare
  • Funcții de creștere și scădere
  • Găsirea interceptării verticale (0, b)
  • Găsirea pantei / vitezei de schimbare, m
  • Interpretarea funcțiilor liniare

Maharashtra Board Class 10 Maths Solutions Capitolul 1 Ecuații liniare în două practici Set de practică 1.4

Maharashtra state Board 10th Standard Solutions Capitolul 1 Ecuații liniare în două variabile - Iată toate soluțiile MH Board pentru setul de practici matematice standard al 10-lea 1.4. Această soluție conține întrebări, răspunsuri, imagini, explicații ale setului complet de practici 1.4 intitulat Ecuații liniare în două variabile de matematică predate în standardul 10. Dacă sunteți un student al celui de-al 10-lea standard care folosește manualul Maharashtra State Board pentru a studia matematica, atunci trebuie să întâlniți Set de practici 1.4 Ecuații liniare în două variabile. După ce ați studiat lecția, trebuie să căutați răspunsuri la întrebările sale. Aici puteți obține soluții complete Maharashtra Board pentru a 10-a matematică standard Capitolul 1 Ecuații liniare în două variabile într-un singur loc.


1.4: Funcții liniare - Matematică

Multe funcții din aplicații sunt construite din funcții simple prin inserarea constantelor în diferite locuri. Este important să înțelegem efectul pe care îl au astfel de constante asupra aspectului graficului.

Schimbări orizontale. Dacă înlocuim $ x $ cu $ x-C $ oriunde apare în formula pentru $ f (x) $, atunci graficul se deplasează peste $ C $ la dreapta. (Dacă $ C $ este negativ, atunci acest lucru înseamnă că graficul se deplasează peste $ | C | $ la stânga.) De exemplu, graficul $ y = (x-2) ^ 2 $ este $ x ^ 2 $ -parabola s-a deplasat pentru a avea vârful în punctul 2 pe axa $ x $. Graficul $ y = (x + 1) ^ 2 $ este aceeași parabolă deplasată spre stânga astfel încât să aibă vârful la $ -1 $ pe axa $ x $. Rețineți bine: atunci când înlocuiți $ x $ cu $ x-C $ trebuie să fim atenți la semnificație, nu doar la aspect. Începând cu $ y = x ^ 2 $ și înlocuind literalmente $ x $ cu $ x-2 $ da $ y = x-2 ^ 2 $. Acesta este $ y = x-4 $, o linie cu panta 1, nu o parabolă deplasată.

Schimbări verticale. Dacă înlocuim $ y $ cu $ y-D $, atunci graficul se deplasează în sus cu $ D $ unități. (Dacă $ D $ este negativ, atunci aceasta înseamnă că graficul se deplasează în jos $ | D | $ unități.) Dacă formula este scrisă în forma $ y = f (x) $ și dacă $ y $ este înlocuit cu $ yD $ pentru a obține $ yD = f (x) $, putem muta în mod echivalent $ D $ pe cealaltă parte a ecuației și să scriem $ y = f (x) + D $. Astfel, acest principiu poate fi afirmat: pentru a obține graficul $ y = f (x) + D $, luați graficul $ y = f (x) $ și mutați-l $ D $ unități în sus. De exemplu, funcția $ y = x ^ 2-4x = (x-2) ^ 2-4 $ poate fi obținută din $ y = (x-2) ^ 2 $ (vezi ultimul paragraf) prin deplasarea graficului 4 unități în jos. Rezultatul este $ x ^ 2 $ -parabola a deplasat 2 unități la dreapta și 4 unități în jos, astfel încât să aibă vârful în punctul $ (2, -4) $.

Avertizare. Nu confundați $ f (x) + D $ și $ f (x + D) $. De exemplu, dacă $ f (x) $ este funcția $ x ^ 2 $, atunci $ f (x) + 2 $ este funcția $ x ^ 2 + 2 $, în timp ce $ f (x + 2) $ este funcția $ (x + 2) ^ 2 = x ^ 2 + 4x + 4 $.

Exemplul 1.4.1 (Cercuri) Un exemplu important al celor două principii de mai sus începe cu cercul $ x ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2 $. Acesta este cercul de raza $ r $ centrat la origine. (După cum am văzut, aceasta nu este o singură funcție $ y = f (x) $, ci mai degrabă două funcții $ y = pm sqrt$ împreună, în orice caz, cele două principii de schimbare se aplică ecuațiilor ca aceasta care nu sunt în forma $ y = f (x) $.) Dacă înlocuim $ x $ cu $ xC $ și înlocuim $ y $ cu $ y-Dmdash obținerea ecuației $ (xC) ^ 2 + (yD) ^ 2 = r ^ 2mdash efectul asupra cercului este de a-l muta $ C $ la dreapta și $ D $ în sus, obținând astfel cercul de rază $ r $ centrat la punctul $ (C, D) $. Acest lucru ne spune cum să scriem ecuația oricărui cerc, nu neapărat centrat la origine.

Vom dori mai târziu să folosim încă două principii referitoare la efectele constantelor asupra apariției graficului unei funcții.

Dilatarea orizontală. Dacă $ x $ este înlocuit cu $ x / A $ într-o formulă și $ A> 1 $, atunci efectul asupra graficului este extinderea acestuia cu un factor de $ A $ în direcția $ x $ (departe de $ y $ -axis). Dacă $ A $ este între 0 și 1, atunci efectul asupra graficului este să se contracte cu un factor de 1 $ / A $ (față de axa $ y $). Folosim cuvântul „dilata” pentru a însemna extindere sau contractare.

De exemplu, înlocuirea $ x $ cu $ x / 0,5 = x / (1/2) = 2x $ are ca efect contracția spre axa $ y $ cu un factor 2. Dacă $ A $ este negativ, vom dilata cu un factor de $ | A | $ și apoi răsuciți aproximativ $ y $ -axa. Astfel, înlocuirea $ x $ cu $ -x $ are ca efect luarea imaginii oglindă a graficului în raport cu axa $ y $. De exemplu, funcția $ y = sqrt <-x> $, care are domeniul $ $, se obține luând graficul $ sqrt$ și întoarce-l în jurul axei $ y $ în al doilea cadran.

Dilatarea verticală. Dacă $ y $ este înlocuit cu $ y / B $ într-o formulă și $ B> 0 $, atunci efectul asupra graficului este dilatarea acestuia cu un factor de $ B $ în direcția verticală. Ca și înainte, aceasta este o extindere sau o contracție, în funcție de faptul dacă $ B $ este mai mare sau mai mic decât unul. Rețineți că, dacă avem o funcție $ y = f (x) $, înlocuirea lui $ y $ cu $ y / B $ este echivalentă cu înmulțirea funcției din dreapta cu $ B $: $ y = Bf (x) $. Efectul asupra graficului este de a extinde imaginea departe de $ x $ -axa cu un factor de $ B $ dacă $ B> 1 ​​$, de a o contracta către $ x $ -axa cu un factor de $ 1 / B $ dacă Exemplul 1.4.2 (Elipse) Un exemplu de bază al celor două principii de extindere este dat de un elipsa axei semimare $ a $ și axa semiminorală $ b $. Obținem o astfel de elipsă începând cu cercul unitar și cercul de rază 1 centrat la origine, a cărui ecuație este $ x ^ 2 + y ^ 2 = 1 md și se dilată cu un factor de $ a $ pe orizontală și cu un factor de $ b $ pe verticală. Pentru a obține ecuația elipsei rezultate, care traversează axa $ x $ la $ pm a $ și traversează axa $ y $ la $ pm b $, înlocuim $ x $ cu $ x / a $ și $ y $ cu $ y / b $ în ecuația cercului unitar. Acest lucru dă $ left ( dreapta) ^ 2 + left ( dreapta) ^ 2 = 1 qquad hbox qquad +=1. $

În cele din urmă, dacă vrem să analizăm o funcție care implică atât schimbări, cât și dilatații, este de obicei cel mai simplu să lucrăm mai întâi cu dilatațiile, apoi cu schimbările. De exemplu, dacă dorim să dilatăm o funcție cu un factor de $ A $ în direcția $ x $ și apoi să mutăm $ C $ la dreapta, facem acest lucru înlocuind mai întâi $ x $ cu $ x / A $ și apoi cu $ (xC) $ în formulă. De exemplu, să presupunem că, după ce ne-am dilatat cercul unitar cu $ a $ în direcția $ x $ și cu $ b $ în direcția $ y $-pentru a obține elipsa în ultimul paragraf, am vrut apoi să o mutăm o distanță $ h $ la dreapta și o distanță $ k $ în sus, astfel încât să fie centrat în punctul $ (h, k) $. Noua elipsă ar avea ecuația $ left ( dreapta) ^ 2 + left ( dreapta) ^ 2 = 1. $ Rețineți că acest lucru este diferit de a face mai întâi schimburi cu $ h $ și $ k $ și apoi dilatații cu $ a $ și $ b $: $ left (-h dreapta) ^ 2 + left (-k dreapta) ^ 2 = 1. $ A se vedea figura 1.4.1.


Istoria timpurie a ecuațiilor liniare

Ecuațiile liniare și alte concepte de bază ale algebrei au o istorie lungă care se întinde pe mii de ani. Vechii mesopotamieni, egipteni, greci, chinezi și indieni au dezvoltat cu toții metode matematice care au servit drept fundații timpurii pentru algebra modernă. Dar majoritatea istoricilor consideră că tatăl algebrei este Abu Abdullah Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi (780–850 e.n.), un cărturar al Academiei Casa Înțelepciunii din ceea ce este acum Bagdad. De fapt, cuvântul algebră provine din al-jabar, un termen al-Khwarizmi folosit pentru a descrie tehnica adăugării unor cantități egale pe ambele părți ale unei ecuații pentru a o simplifica.

Figura 3: O pagină din cea mai populară carte a lui al-Khwarizmi Al-Kitab Al-Jabar Wa'al-Muqabelah, care se traduce aproximativ în Cartea restaurării și echilibrării. Deși sensul s-a schimbat de-a lungul timpului, termenul al-jabar în cele din urmă a dat naștere termenului latin algebre, și în cele din urmă către modern algebră.

Dar matematica al-Khwarizmi și predecesorii săi practicați arătau foarte diferit de ceea ce considerăm astăzi algebră. Poate că cea mai mare diferență este că al-Khwarizmi nu a folosit simboluri matematice. El nu a folosit variabile pentru a reprezenta necunoscute sau constante și nici nu a folosit simboluri pentru a desemna operații precum adunarea și scăderea pe care le-a efectuat. În loc să lucreze cu ecuații, fiecare calcul făcut de al-Khwarizmi a fost descris în cuvinte - mai ales limbaj de zi cu zi cu câțiva termeni tehnici, cum ar fi al-jabar. De obicei, el scria despre matematica necesară în scopuri practice, cum ar fi împărțirea moștenirii sau saparea canalelor.

Astăzi, utilizarea simbolurilor și a ecuațiilor este atât de centrală în algebră încât este logic să ne întrebăm: De ce problemele cuvântului al-Khwarizmi sunt considerate chiar algebră? Caracteristicile cheie sunt:

  • rezolvarea unei cantități necunoscute (care le separă de aritmetica simplă),
  • luând o abordare numerică (mai degrabă decât o abordare pur spațială sau geometrică, așa cum au făcut mulți cărturari greci) și
  • articularea regulilor generale sau a tehnicilor de lucru cu numerele (cum ar fi al-jabar).

Al-Khwarizmi a studiat și aritmetica, mai ales că se practica în India. Bazându-se pe primii cercetători indieni, el a scris unul dintre primele texte cunoscute care descriu un sistem zecimal, operațiile pe care le numim acum multiplicare și divizare și un cerc mic care pare a fi folosit ca un zero (Figura 3).

În secolul al XII-lea, părți din scrierile lui al-Khwarizmi au fost traduse în latină și citite de către cărturari care lucrează în Europa. Acești cărturari au introdus treptat simboluri pentru operații, numere și variabile. Acest lucru a dus în cele din urmă la dezvoltarea ecuațiilor așa cum ne gândim astăzi la ele.

De ce este considerat Abu Abdullah Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi „tatăl algebrei”?


Gradul 7

Nota 6

Prima data: Factori și multipli

Teoria numerelor, incluzând factori, multipli, primi, compozite, ordinea de factorizare primă a operațiilor, proprietatea distributivă.

Comparând biți și piese: Raporturi, numere raționale și echivalență

Raport, rată unitară, tabele de rată, numere raționale, zecimale, procente, echivalență, valoare absolută, linie numerică.

Să fim rationali: Înțelegerea operațiunilor de fracțiune

Adunare, scădere, înmulțire, împărțirea fracțiilor, familii de fapte.

Acoperire și înconjurătoare: Măsurare bidimensională

Relațiile dintre suprafață și perimetru, suprafața și perimetrul poligonelor, suprafața și volumul prismelor dreptunghiulare.

Decimal Ops: Calcul cu zecimale și procente

Adunarea, scăderea, înmulțirea și împărțirea zecimalelor, soluții de estimare pentru a% din b = c

Variabile și modele: Concentrați-vă pe algebră

Variabile, expresii variabile, ecuații, reprezentări de inegalități ale relațiilor în tabele, grafice, ecuații.

Date despre noi: Statistică și analiza datelor

Analiza distribuțiilor de date, inclusiv forma, măsurătorile centrului (medie, mediană, mod) și variabilitate (interval, interval inter quartile, deviație absolută medie).

Gradul 7

Forme și modele: Geometrie bidimensională

Poligoane, măsurarea unghiurilor, suma unghiurilor de poligoane, condiții pentru triunghi unic, linii paralele și transversale.

Accentuați negativul: Numere întregi și numere raționale

Adunarea, scăderea, înmulțirea și împărțirea numerelor raționale, valoarea absolută, contrariile, ordinea operațiilor, proprietatea distributivă.

Întinderea și micșorarea: Înțelegerea similarității

Mărirea unei cifre, efectul factorilor de scară asupra perimetrului și suprafeței, coordonarea regulilor, raporturile între și în cadrul unor figuri similare folosind similitudinea pentru a găsi măsuri.

Compararea și scalarea: Raporturi, rate, procente, proporții

Rapoarte, rata unitară, tabele de rate, constanta de proporționalitate, rezolvarea proporțiilor, include majorări, reduceri, comision, măsurare, conversie.

Mișcându-se drept înainte: Relații liniare

Reprezentarea relațiilor liniare în grafice, tabele, ecuații rezolvând ecuații liniare înclinare, interceptare, scrierea ecuației pentru relația liniară puncte date.

La ce te astepti: Probabilitate și valoare așteptată

Modele de probabilitate, probabilitate experimentală și teoretică, analiza evenimentelor compuse.

Umplere și ambalare: Măsurare tridimensională

Circumferința suprafeței volumului cercului și suprafața prismelor dreptunghiulare și poligonale, volumul cilindrilor de piramide, conuri, sfere secțiuni plane ale prismelor, efectul piramidelor de scalare pe suprafața și volumul.

Eșantioane și populații: Efectuarea de comparații și predicții

Planuri de eșantionare, efectul mărimii eșantionului, prezicerea statisticilor populației, simulări, compararea statisticilor eșantionului pentru a trage inferențe despre două populații.

Gradul 8

Gândirea cu modele matematice: Variații liniare și inverse

Modele și ecuații liniare, modele și ecuații de variație inversă, variabilitatea datelor numerice și categorice.

Îl caut pe Pitagora: Teorema lui Pitagora

Teorema lui Pitagora și conversație, rădăcini pătrate, rădăcini cubice, numere iraționale și reale, ecuația cercului.

În creștere, în creștere, în creștere: Funcții exponențiale

Reprezentarea creșterii exponențiale cu tabele, grafice, reguli de ecuații pentru exponenți, notație științifică Factorii și ratele de creștere / descompunere exponențială a descompunerii.

Spune-o cu simboluri: Sensibilitatea simbolurilor

Expresiile echivalente, rezolvând ecuațiile liniare și pătratice identifică și reprezintă funcții liniare, exponențiale și pătratice.

Fluturi, rotițe și tapet: Simetrie și transformări

Simetrie, transformări, congruență, similitudine, dovezi de coordonate.

Este în sistem: Sisteme de ecuații liniare și inegalități

Rezolvarea sistemelor liniare grafic și algebric, sisteme de funcții și inegalități, rezolvarea sistemelor de inegalități liniare.

Algebra I

Gândirea cu modele matematice: Variații liniare și inverse

Modele și ecuații liniare, modele și ecuații de variație inversă, variabilitatea datelor numerice și categorice.

Îl caut pe Pitagora: Teorema lui Pitagora

Teorema lui Pitagora și conversație, rădăcini pătrate, rădăcini cubice, numere iraționale și reale, ecuația cercului.

În creștere, în creștere, în creștere: Funcții exponențiale

Reprezentarea creșterii exponențiale cu tabele, grafice, reguli de ecuații pentru exponenți, notație științifică Factorii și ratele de creștere / descompunere exponențială a descompunerii.

Broaște și purici și cuburi pictate: Funcții pătratice

Reprezentarea funcțiilor pătratice, luarea în considerare a expresiilor pătratice, modele de schimbare, efectul parametrilor.

Spune-o cu simboluri: Sensibilitatea simbolurilor

Expresiile echivalente, rezolvând ecuațiile liniare și pătratice identifică și reprezintă funcții liniare, exponențiale și pătratice.

Fluturi, rotițe și tapet: Simetrie și transformări

Simetrie, transformări, congruență, similitudine, dovezi de coordonate.

Este în sistem: Sisteme de ecuații liniare și inegalități

Rezolvarea sistemelor liniare grafic și algebric, sisteme de funcții și inegalități, rezolvarea sistemelor de inegalități liniare.


Ghid pas cu pas pentru scrierea ecuațiilor liniare

  • Ecuația unei linii sub formă de interceptare a pantei este: ( color)
  • Identificați panta.
  • Găsiți interceptarea (y ). Acest lucru se poate face prin înlocuirea pantei și a coordonatelor unui punct ((x, y) ) pe linie.

Scrierea ecuațiilor liniare & # 8211 Exemplul 1:

Care este ecuația liniei care trece prin ((1, -2) ) și are o pantă de (6 )?

Forma generală de interceptare a pantei a ecuației unei linii este (y = mx + b ), unde m este panta și b este interceptarea (y ) -.
Prin înlocuirea punctului dat și a pantei date, avem: (- 2 = (1) (6) + b )
Deci, (b = -2-6 = -8 ), iar ecuația necesară este (y = 6x-8 ).

Scrierea ecuațiilor liniare și # 8211 Exemplul 2:

Scrieți ecuația liniei prin ((1, 1) ) și ((- 1, 3) ).

Slop (= frac- y_ <1>> & # 8211 x_ <1>> = frac <3-1> <- 1-1> = frac <2> <-2> = -1 → m = -1 )
Pentru a găsi valoarea lui b, puteți utiliza oricare dintre puncte. Răspunsul va fi același: (y = -x + b )
((1,1) → 1 = -1 + b → b = 2 )
((- 1,3) → 3 = - (- 1) + b → b = 2 )
Ecuația liniei este: (y = -x + 2 )

Scrierea ecuațiilor liniare & # 8211 Exemplul 3:

Care este ecuația liniei care trece prin ((2, –2) ) și are o pantă de (7 )?

Forma generală de interceptare a pantei a ecuației unei linii este (y = mx + b ), unde (m ) este panta și (b ) este interceptarea (y - ).
Prin înlocuirea punctului dat și a pantei date, avem: (- 2 = (7) (2) + b )
Deci, (b = –2-14 = -16 ), iar ecuația necesară este (y = 7x-16 ).

Scrierea ecuațiilor liniare & # 8211 Exemplul 4:

Scrieți ecuația liniei prin ((2,1) ) și ((- 1,4) ).

Slop (= frac- y_ <1>> & # 8211 x_ <1>> = frac <4-1> <- 1-2> = frac <3> <-3> = -1 → m = -1 )
Pentru a găsi valoarea lui b, puteți utiliza oricare dintre puncte. Răspunsul va fi același: (y = -x + b )
((2,1) → 1 = -2 + b → b = 3 )
((-1,4) → 4 = - (- 1) + b → b = 3 )
Ecuația liniei este: (y = -x + 3 )


Maharashtra State Board Clasa 10 Soluții matematice Capitolul 1 Ecuații liniare în două variabile Set de practică 1.5

Intrebarea 1.
Două numere diferă cu 3. Suma de două ori mai mic și de trei ori numărul mai mare este 19. Găsiți numerele.
Soluţie:
Fie numărul mai mare să fie x și numărul mai mic să fie y.
Conform primei condiții, x & # 8211 y = 3 & # 8230 (i)
Conform celei de-a doua condiții,
3x + 2y = 19 & # 8230 (ii)
Înmulțind ecuația (i) cu 2, obținem
2x & # 8211 2y = 6 & # 8230 (iii)
Adăugând ecuațiile (ii) și (iii), obținem

Înlocuind x = 5 în ecuația (i), obținem
5 & ​​# 8211 y = 3
∴ 5 & # 8211 3 = y
∴ y = 2
∴ Numerele necesare sunt 5 și 2.

Intrebarea 2.
Completeaza urmatoarele.

Soluţie:
Laturile opuse ale unui dreptunghi sunt egale.
∴ 2x + y + 8 = 4x & # 8211 y
∴ 8 = 4x & # 8211 2x & # 8211 y & # 8211 y
∴ 2x & # 8211 2y = 8
∴ x & # 8211 y = 4 & # 8230 (i) [Împărțirea ambelor părți cu 2]
De asemenea, x + 4 = 2y
∴ x & # 8211 2y = -4 & # 8230 (ii)
Scăzând ecuația (ii) din (i), obținem

Înlocuind y = 8 în ecuația (i), obținem
x & # 8211 8 = 4
∴ x = 4 + 8
∴ x = 12
Acum, lungimea dreptunghiului = 4x & # 8211 y
= 4(12) – 8
= 48 – 8
∴ Lungimea dreptunghiului = 40
Lățimea dreptunghiului = 2y = 2 (8) = 16
Perimetrul dreptunghiului = 2 (lungime + lățime)
= 2(40 + 16)
= 2(56)
∴ Perimetrul dreptunghiului = 112 unități
Zona dreptunghiului = lungimea × lățimea
= 40 × 16
∴ Suprafața dreptunghiului = 640 unități pătrate
∴ x = 12 și y = 8, Perimetrul dreptunghiului este de 112 unități, iar aria dreptunghiului este de 640 de unități pătrate.

Întrebarea 3.
Suma vârstei tatălui și dublul vârstei fiului său este de 70. Dacă dublăm vârsta tatălui și o adăugăm la vârsta fiului său, suma este 95. Găsiți vârstele lor actuale.
Soluţie:
Fie ca vârstele actuale ale tatălui și ale fiului să fie de x ani și respectiv de y ani.
Conform primei condiții,
x + 2y = 70 & # 8230 (i)
Conform celei de-a doua condiții,
2x + y = 95 & # 8230 (ii)
Înmulțind ecuația (i) cu 2, obținem
2x + 4y = 140 și # 8230 (iii)
Scăzând ecuația (ii) din (iii), obținem

Înlocuind y = 15 în ecuația (i), obținem
x + 2 (15) = 7O
⇒ x + 30 = 70
⇒ x = 70 & # 8211 30
∴ x = 40
∴ Vârstele actuale ale tatălui și ale fiului sunt de 40 de ani și respectiv 15 ani.

Întrebarea 4.
The denominator of a fraction is 4 more than twice its numerator. Denominator becomes 12 times the numerator, if both the numerator and the denominator are reduced by 6. Find the fraction.
Soluţie:
Let the numerator of the fraction be x and the denominator be y.
∴ Fraction = (frac < x > < y >)
According to the first condition,
y = 2x + 4
∴ 2x – y = -4 …(i)
According to the second condition,
(y – 6)= 12(x – 6)
∴ y – 6 = 12x – 72
∴ 12x – y = 72 – 6
∴ 12x – y = 66 …(ii)
Subtracting equation (i) from (ii), we get

Question 5.
Two types of boxes A, B ,are to be placed in a truck having capacity of 10 tons. When 150 boxes of type A and 100 boxes of type B are loaded in the truck, it weights 10 tons. But when 260 boxes of type A are loaded in the truck, it can still accommodate 40 boxes of type B, so that it is fully loaded. Find the weight of each type of box.
Soluţie:
Let the weights of box of type A be x kg and that of box of type B be y kg.
1 ton = 1000 kg
∴ 10 tons = 10000 kg
According to the first condition,
150x + 100y = 10000
∴ 3x + 2y = 200 …(i) [Dividing both sides by 50]
According to the second condition,
260x + 40y = 10000
∴ 13x + 2y = 500 …(ii) [Dividing both sides by 20]
Subtracting equation (i) from (ii), we get

∴ The weights of box of type A is 30 kg and that of box of type B is 55 kg.

Question 6.
Out of 1900 km, Vishal travelled some distance by bus and some by aeroplane. Bus travels with average speed 60 km/hr and the average speed of aeroplane is 700 km/hr. It takes 5 hours to complete the journey. Find the distance Vishal travelled by bus.
Soluţie:
Let the distance Vishal travelled by bus be x km and by aeroplane be y km.
According to the first condition,
x + y = 1900 …(i)
( ext < Time >=frac< ext < Distance >>< ext < Speed >> )
∴ Time required to cover x km by bus = (frac < x > < 60 >) hr
Time required to cover y km by aeroplane
= (frac < y > < 700 >) hr
According to the second condition,

Multiplying equation (i) by 6, we get
6x + 6y= 11400 …(iii)
Subtracting equation (iii) from (ii), we get

∴ The distance Vishal travelled by bus is 150 km.

Question 1.
There are some instructions given below. Frame the equations from the information and write them in the blank boxes shown by arrows. (Textbook pg. no. 20)
Răspuns:


Formally, a linear function is a function f(X):RR such that the graph of f is a line. This means the domain or input of f is a real number R and the range or output of f is also a real number R. Usually we write y(X) or just y in locul f(X). So the formal statement means:

  • we input or substitute a real number X into the linear function
  • the linear function outputs or gives a real number y și
  • all of these points (X,y) make a line.

There are three main forms for writing linear functions: slope-intercept, standard și parametric.

Slope-intercept form Edit

slope-intercept (also called point-slope or explicit) form of a linear function is y ( x ) = m x + b or y = m x + b . This form has 2 variables X și у and 2 constants m și b.

  • The letters m și b are constants. [4] Before working with a linear function, we replace m și b with actual real numbers.
  • The letters X și y are variables. [5]
  • In slope-intercept form, the letter m stands for the slope and b stands for the y-intercept.
    • The variable X is called the independent variable or argument. Any real number X can be input sau substituted into a linear function. The function will then output the corresponding value for y.
    • The variable y is called the dependent variable. It is the output value after substituting an input value for X.
      lines are included. The line is horizontal if and only if m=0. Then we have just y=b. De cand b is a real number, this is a constant function. So a constant function is also a linear function. lines are never included because a vertical line is not a function. [5] A vertical line does not pass the vertical line test. (A vertical line is defined by the equation: X=b Unde b is a real number.) lines are included. The line is slanted if and only if m≠0. [6]
    • The slope-intercept form is unique. A different value of m or a different value of b gives a different line.
    • A linear function is a polynomial function of first or zero degree in one variable х .
    • The constant term is b. Dacă înlocuim X=0 into the function, we get y=b. So the number b este y-intercept and the line crosses the у-axis at the point (0,b).
    • Dacă m≠0, the number –b /m este X-intercept or root or zero and ( –b /m,0) is the point where the line crosses the х-axă. Here the value of the function is zero.
    • The coefficientm de X is called the slope sau gradient of the line. For each line, the number m is a constant and so the slope is constant for the whole line. The slope determines both the direction and steepness of the line. Direction and steepness are called the rate of change. So the rate of change este m and it is constant for each line.
      • The sign of m determines the direction. Dacă m>0 then the linear function is increasing if m<0 then the function is decreasing.
      • The absolute value of m determines the steepness. If |m|<1 then the slope is gentle if |m|>1 then the slope is steep.
      • If the slope of a line is m and (х,у) is any point on the line, we must also have the point (х+1, y+m) on the line.

      Exemplu: y=–2X+4. The slope is m= –2 and the y-intercept is b=4 or the point (0,4). Substituting y=0 and solving for X, we get 0=–2X+4 or X=2. Asa de X=2 is the root of this linear function and the point (2,0) is the X-intercept. Since the slope is m = –2, the line is decreasing. Since |–2|=2>1, the decrease is relativ steep. For each change in х of 1 (to the right), the value of у changes -2 (goes down).

      • grafic of a line is determined by two points. To graph a linear function, we can substitute two different values for X into the function and solve for the corresponding y-values. We graph these two points. Using a straightedge, we draw the line through these two points extending it past both points.

      Exemplu: y=–2X+4. Substituting X=0 we get y=4 (this is the y-intercept) and thus the point (0,4). Substituting X=1, we get y=2 and thus the point (1,2). Plot these points and draw the line. (Notice that the 2nd point is 1 to the right and 2 down from the 1st point. As we said in the above example, this happens because the slope is m= –2)

      • A linear function that is not a constant function is a bijection. It will output each real number (surjection) for exactly one input value (injection).

      Exemplu: y= –X+2. Suppose y= –1. We substitute y= –1 and get: –1= –'x+2 or X=3. This is the only solution. We can do this for any y-value.

      Standard form Edit

      • The standard form has 2 variables X și у and 3 constants A, B, și C that are replaced by actual real numbers before working. This form is often used in geometry and in systems of linear equations.

      Exemplu: The linear function 3X–2y=1 is in standard form. The constants are A=3, B=–2 and C=1.

      Exemplu: The lines 3X–2y=1 and 6X–4y=2 are coincident (same line). Here the factor is: k=2. We multiplied the first equation by 2 to get the second equation. The unique slope-intercept form of this line is: y=1.5X–0.5 (solve either equation for y).

      Vector-Parametric form Edit

      • The parametric or vector or vector-parametric form has 1 parametert, 2 variables X și у, and 4 constants A1, A2, X1, și y1. The coefficients A1, A2, X1, și y1 sunteți nu uniquely determined. The line passes through the points А=(X1,y1) și B=(X1+A1,y1+A2) so that taking taking any other points or even just reversing the order ot the points will result in different constants for the same line.
      • The parameter t is not visible on the graph.
      • Engineers usually use the letter t for the parameter. Mathematicians often use the Greek letter λ.

      Exemplu: X=(–1,1)+t(2,3), t∈R is a line in vector form. Here: A1=2, A2=3, X1=–1 and X2=1. The line goes through the points (X1,y1)=(–1,1) and (X1+A1,y1+A2)=(1,4). The corresponding parametric form of this line is: X(t)= –1+2t, y(t)=1+3t. The unique slope-intercept form of this line is: y(X)=1.5X+2.5 (solve the first equation for t and substitute this result into the second equation).

      • The vector-parametric form of a line extends naturally to lines in 3-dimensional and higher spaces. The other forms do not.

      Exemplu: X=(–1,1,2)+t(2,3,–1), t∈R is a line in 3-dimensional space. The line goes through the points (–1,1,2) and (1,4,1).

      In the context where it is defined, the derivative of a function is a measure of the rate of change of function values with respect to change in input values. A linear function has a constant rate of change. This rate of change is the slope m. Asa de m is the derivative. [8] This is often written:

      Exemplu: y= –2X+4. Aici m= –2 and so y′= –2.

      Often, the terms linear equation și linear function are confused. Both are polynomials. However, the word linear în linear equation means that all terms with variables are first degree. [9] [10] (The word linear în linear function means the graph is a line.) A linear equation can have 1, 2, 3, or more variables. So a linear equation is a linear function only if it has exactly 2 variables. (A linear equation in one variable is a point on the number line and a linear equation in 3 variables is a plane in 3-dimensional space.)

      Many countries and disciplines use different letters and ordering for the different forms.


      Exemple

      Any horizontal translation will affect the domain and leave the range unchanged. Any vertical translation will affect the range and the leave the domain unchanged.

      Apply the same translation to the domain or range that you apply to the x-coordinates or the y-coordinates. This works because the domain can be written in interval notation as the interval between two x-coordinates. Likewise for the range as the interval between two y-coordinates.

      In the following table, remember that domain and range are given in interval notation. If you're not familiar with interval notation, then please check the prerequisite chapter. The first line is the definition statement and should be used to determine the rest of the answers.

      Graph Traducere Domain Range
      y=f(x) nici unul (-2,5) [4,8]
      y=f(x-2) right 2 (0,7) [4,8]
      y=f(x)-2 down 2 (-2,5) [2,6]
      y=3f(x) multiply each y by 3 (-2,5) [12,24]
      y=f(3x) divide each x by 3 (-2/3,5/3) [4,8]
      y=2f(x-3)-5 multiply each y by 2 and subtract 5
      add 3 to every x
      (1,8) [3,11]
      y=-f(x) reflect about x-axis (-2,5) [-8,-4]
      y=1/f(x) take the reciprocal of each y (-2,5) [1/8,1/4]

      Notice on the last two that the order in the range has changed. This is because in interval notation, the smaller number always comes first.


      Types of GMAT Problems

      Solving a linear equation involves isolating the variable on one side of the equation. To do so, use mathematical operations on both sides of the equation. Adding or subtracting the same numbers from both sides does not change the equation. Similarly, the equation will remain unchanged after multiplying or dividing both sides of the equation by the same number.

      1. Multiply both sides by 3.
        27x - 9 = 2x-4.
      2. Add 9 to both sides.
        27x = 2x + 5.
      3. Subtract 2x from both sides.
        25x = 5.
      4. Divide both sides by 25.
        x= (5/25) = (1/5)

      If there are two variables, pick one variable and choose a number for it to equal. Substitute the chosen number into the equation and solve for the second variable. For equations with more than two variables, choose numbers for every variable but one. Substitute all of the numbers in and solve for the final variable.


      Priveste filmarea: MATURA 2021 MATEMATYKA Funkcja liniowa zadania PEWNIAK funkcje (Iulie 2022).


Comentarii:

  1. Ufa

    Toate pot fi

  2. Illanipi

    Sunt de acord cu tine

  3. Callel

    acest mesaj este incomparabil))), îmi place foarte mult :)

  4. Dikesone

    Da te inteleg. Există ceva în asta și cred că aceasta este o idee grozavă. Sunt de acord cu tine.

  5. Vimuro

    Consider ca te inseli. Sa discutam. Trimite un e-mail la PM.

  6. Khristos

    Păcat că nu pot vorbi acum - mă grăbesc să mă apuc de treabă. Dar voi fi liber - cu siguranță voi scrie ceea ce cred despre această problemă.

  7. Samudal

    Asculta.



Scrie un mesaj