Articole

3.1: Inegalități într-o singură variabilă

3.1: Inegalități într-o singură variabilă


We are searching data for your request:

Forums and discussions:
Manuals and reference books:
Data from registers:
Wait the end of the search in all databases.
Upon completion, a link will appear to access the found materials.

Când ați aflat despre domeniu și interval, ați aflat despre inegalități și despre utilizarea set-builder-ului și a notării intervalului pentru a le reprezenta. Procesul este foarte asemănător cu rezolvarea ecuațiilor, dar în loc ca soluția să fie o singură valoare, soluția va fi o inegalitate.

Observați că, dacă o inegalitate este adevărată, ca 2 <5, atunci aceste operații duc la o declarație adevărată, la fel ca la ecuații:

Adăugarea unui număr pe ambele părți:

2 + 4 <5 + 4 6 <9 Adevărat

Scăderea unui număr pe ambele părți:

2 - 3 <5 - 3 -1 <2 Adevărat

Înmulțind un număr pozitiv pe ambele părți:

2 (3) <5 (3) 6 <15 Adevărat

Împărțirea la un număr pozitiv pe ambele părți:

2/2 <5/2 1 <2,5 Adevărat

Putem folosi aceste operații la fel ca atunci când rezolvăm ecuații.

Exemplu ( PageIndex {1} )

Rezolvați [3x + 7 geq 1 nonumber ]

Soluţie

[3x + 7 geq 1 nonumber ]

Scădeți 7 din ambele părți

[3x geq - 6 nonumber ]

Împărțiți ambele părți la 3

[x geq - 2 nonumber ]

Această inegalitate reprezintă soluția stabilită. Ne spune că toate numerele mai mari sau egale cu -2 vor satisface inegalitatea inițială. Am putea scrie, de asemenea, această soluție în notație de interval, ca ([- 2, infty) ).

Pentru a înțelege ce se întâmplă, am putea lua în considerare și problema grafic. Dacă ar fi să graficăm ecuația (y = 3x + 7 ), atunci rezolvarea (3x + 7 geq 1 ) ar corespunde cu întrebarea „pentru ce valori ale lui (x ) este (y geq 1 ) ”. Observați că partea din grafic în care acest lucru este adevărat corespunde cu unde (x geq - 2 ).

În timp ce majoritatea operațiilor în rezolvarea inegalităților sunt aceleași ca și în rezolvarea ecuațiilor, avem o problemă atunci când înmulțim sau împărțim ambele părți cu un număr negativ. Observați, de exemplu:

2(-3) < 5(-3) -6 < -15 Nu Adevărat

Pentru a explica acest lucru, atunci când înmulțim sau împărțim cu un număr negativ, trebuie să inversăm semnul inegalității.

Reguli pentru rezolvarea inegalităților liniare

  1. Puteți adăuga sau scădea un număr pozitiv sau negativ pe ambele părți ale inegalității.
  2. Puteți înmulți sau împărți ambele părți ale inegalității cu un număr pozitiv.
  3. Puteți înmulți sau împărți ambele părți ale inegalității cu un număr negativ, dar trebuie să inversați direcția inegalității.

Exemplu ( PageIndex {2} )

Rezolvați [12 - 4x <6 nonumber ]

Soluţie

[12 - 4x <6 nonumber ]

Scădeți 12 din ambele părți

[- 4x <- 6 nonumber ]

Împărțiți ambele părți la -4 și inversați direcția inegalității

[x> frac {- 6} {- 4} nonumber ]

Simplifica

[x> frac {3} {2} nonumber ]

Exercițiu ( PageIndex {1} )

Rezolvați: [6 + 2x leq 18 + 5x nonumber ]

Răspuns

[x geq - 4 nonumber ]

Exemplu ( PageIndex {3} )

O companie cheltuiește 1200 USD pe zi pentru cheltuieli generale și forță de muncă și fiecare articol pe care îl produce costă 5 USD pentru materiale. Dacă vând articolele cu câte 15 USD fiecare, câte articole vor avea nevoie să vândă în fiecare zi pentru ca profiturile lor să fie pozitive?

Soluţie

Deși am putea rezolva această problemă folosind ecuații, ea se pretează și la inegalități, deoarece vrem ca profitul să fie pozitiv: (P> 0 ).

Costuri: (C (q) = 1200 + 5q )

Venituri: (R (q) = 10q )

Profit: (P (q) = 10q - (1200 + 5q) = 5q - 1200 )

Rezolvarea (P (q)> 0 ):

[ begin {align *} 5q - 1200 &> 0 5q &> 1200 q &> 240 end {align *} ]

Compania va trebui să scadă cel puțin 240 de articole pe zi pentru a obține profit.

Inegalități compuse

Inegalitățile compuse sunt inegalități care constau din mai multe părți. Cel mai comun tip se numește inegalitate tripartită. Versiunea de bază arată astfel:

[- 1 <3x + 5 <14 nonumber ].

Când le scriem, este important ca ambele inegalități să indice în aceeași direcție și că inegalitatea „în afară” este adevărată - în acest caz (- 1 <14 ) este adevărată, deci acest lucru este valabil. Expresii precum (10 ​​ 5 ) sunt nu notare validă.

Cel mai universal mod de a rezolva o inegalitate tripartită este:

  1. Împărțiți-l în două inegalități separate
  2. Rezolvați fiecare inegalitate separat
  3. Combinați soluțiile, dacă este posibil.

Exemplu ( PageIndex {4} )

Rezolvați [- 1 <- 3x + 5 <14 nonumber ]

Soluţie

Mai întâi separăm acest lucru în două inegalități:

[- 1 <- 3x + 5 quad text {și} quad - 3x + 5 <14 nonumber ]

Acum rezolvăm fiecare:

[- 6 <- 3x quad text {și} quad -3x <9 nonumber ]

[2> x nonumber quad text {și} quad x> - 3 nonumber ]

Acum putem combina aceste seturi de soluții. Numerele în care atât (2> x ) cât și (x> - 3 ) sunt adevărate este setul:

[2> x> - 3 nonumber ]

În timp ce această soluție este validă și corectă, este mai frecvent să scrieți soluția inegalităților tripartite cu numărul mai mic din stânga. Am putea rescrie soluția ca:

[- 3

Acest lucru are, de asemenea, avantajul de a corespunde mai bine cu răspunsul în notație de interval: ((- 3, 2) )

Cu această inegalitate specială, ar fi, de asemenea, posibil să omiteți etapa de separare și, în schimb, să scădeți doar 5 din toate cele „părți” ale inegalității. Acest lucru funcționează pentru probleme simple de acest gen, dar poate eșua dacă inegalitatea are variabile în mai mult de o „parte” a inegalității.

Exercițiu ( PageIndex {2} )

Rezolvați: [4 leq 2x + 6 <16 nonumber ]

Răspuns

[- 1 leq x <5 nonumber ]

În notația de interval, aceasta este ([-1, 5) ).

Valoare absolută

Până acum, în această secțiune, am analizat inegalitățile liniare. Vom trece acum la inegalitățile de valoare absolută. Funcția de valoare absolută este o funcție definită în bucăți, formată din două funcții liniare.

Valoarea absolută a unei funcții

Funcția de valoare absolută poate fi definită ca

[f (x) = left | x right | = left { begin {array} {* {20} {c}} x & text {if} & x geq 0 - x & text {if} & x <0 end {array} dreapta. nonumber ]

Graficul valorii absolute arată ca un V:

Funcția de valoare absolută este frecvent utilizată pentru a determina distanța dintre două numere pe linia numerică. Având în vedere două valori (a ) și (b ), atunci ( left | a - b right | ) va da distanța, o cantitate pozitivă, între aceste valori, indiferent de care valoare este mai mare.

Exemplu ( PageIndex {5} )

Descrieți toate valorile, (x ), la o distanță de 4 de numărul 5.

Soluţie

Vrem ca distanța dintre (x ) și 5 să fie mai mică sau egală cu 4. Distanța poate fi reprezentată folosind valoarea absolută, oferind expresia

[ left | x - 5 dreapta | leq 4 nonumber ]

Exemplu ( PageIndex {6} )

Un sondaj din 2010 a raportat că 78% dintre americani cred că persoanele gay ar trebui să poată servi în armata SUA, cu o marjă de eroare raportată de 3% [1]. Marja de eroare ne arată cât de departe ar putea fi valoarea reală de valoarea sondajului [2]. Exprimați setul de valori posibile folosind valori absolute.


[1] http://www.pollingreport.com/civil.htm, accesat la 4 august 2010

[2] Din punct de vedere tehnic, marja de eroare înseamnă, de obicei, că inspectorii sunt încrezători în proporție de 95% că valoarea reală se încadrează în acest interval.

Soluţie

Deoarece vrem ca diferența dintre procentul real, (p ) și procentul raportat să fie mai mic de 3%,

[ left | p - 78 dreapta | leq 3 nonumber ]

Exercițiu ( PageIndex {3} )

Elevii care înregistrează 20 de puncte de 80 vor trece testul. Scrieți acest lucru ca o distanță de 80 folosind notația valoare absolută.

Răspuns

Folosind variabila (p ), pentru trecere, [ left | {p - 80} right | leq 20 nonumber ]

Rezolvarea ecuațiilor de valoare absolută

Pentru a rezolva o ecuație precum (8 = left | 2x - 6 right | ), putem observa că valoarea absolută va fi egală cu opt dacă cantitatea interior valoarea absolută a fost 8 sau -8. Acest lucru duce la două ecuații diferite pe care le putem rezolva independent:

[ begin {align *} 2x - 6 & = 8 2x & = 14 x & = 7 end {align *} ]

sau

[ begin {align *} 2x - 6 & = - 8 2x & = - 2 x & = - 1 end {align *} ]

Soluții la ecuațiile valorii absolute

O ecuație a formei ( left | A right | = B ), cu (B geq 0 ), va avea soluții atunci când

[A = B quad text {sau} quad A = -B nonumber ]

Exemplu ( PageIndex {7} )

Rezolvați: (0 = left | 4x + 1 right | - 7 )

Soluţie

[0 = left | {4x + 1} dreapta | - 7 nonumber ]

Izolați valoarea absolută pe o parte a ecuației

[7 = left | {4x + 1} dreapta | fără număr]

Acum putem împărți acest lucru în două ecuații separate:

[ begin {align *} 7 & = 4x + 1 6 & = 4x x & = frac {6} {4} = frac {3} {2} end {align *} ]

sau

[ begin {align *} - 7 & = 4x + 1 - 8 & = 4x x & = frac {- 8} {4} = - 2 end {align *} ]

Există două soluții: (x = frac {3} {2} ) și (x = -2 ).

Exemplu ( PageIndex {8} )

Rezolva (1 = 4 left | x - 2 right | + 2 )

Soluţie

Izolând valoarea absolută pe o parte a ecuației,

[ begin {align *} 1 & = 4 left | x - 2 dreapta | + 2 -1 & = 4 left | x - 2 dreapta | - frac {1} {4} & = left | x - 2 dreapta | end {align *} ]

În acest moment, observăm că această ecuație nu are soluții - valoarea absolută returnează întotdeauna o valoare pozitivă, deci este imposibil ca valoarea absolută să fie egală cu o valoare negativă.

Exercițiu ( PageIndex {4} )

Găsiți interceptările orizontale și verticale pentru funcția (f (x) = - left | {x + 2} right | + 3 )

Răspuns

Orizontal: ((1,0) ) și ((- 5,0) )

Vertical: ((0,1) )

Rezolvarea inegalităților de valoare absolută

Când sunt scrise inegalități de valoare absolută pentru a descrie un set de valori, cum ar fi inegalitatea ( left | x - 5 right | leq 4 ) pe care am scris-o mai devreme, este uneori de dorit să exprimăm acest set de valori fără valoarea absolută , fie folosind inegalități, fie folosind notația pe intervale.

Vom explora două abordări pentru rezolvarea inegalităților de valoare absolută:

  1. Folosind un grafic
  2. Utilizarea valorilor de testare

Exemplu ( PageIndex {9} )

Rezolvați [ left | {x - 5} dreapta | leq 4 nonumber ]

Soluţie

Cu ambele abordări, va trebui să știm mai întâi unde corespunde egalitate este adevarat. În acest caz, vom găsi mai întâi unde ( left | {x - 5} right | = 4 ). Facem acest lucru pentru că valoarea absolută este o funcție prietenoasă și fără pauze, astfel încât singurul mod în care valorile funcției pot trece de la a fi mai mici de 4 la a fi mai mari de 4 este trecând prin unde valorile sunt egale cu 4. Rezolva ( left | {x - 5} right | = 4 ),

[ begin {align *} x - 5 & = 4 x & = 9 end {align *} ]

sau

[ begin {align *} x - 5 = - 4 x = 1 end {align *} ]

Pentru a utiliza un grafic, putem schița funcția (f (x) = left | {x - 5} right | ). Pentru a ne ajuta să vedem unde ieșirile sunt 4, ar putea fi schițată și linia (g (x) = 4 ).

Pe grafic, putem vedea că într-adevăr valorile de ieșire ale valorii absolute sunt egale cu 4 la (x = 1 ) și (x = 9 ). Pe baza formei graficului, putem determina că valoarea absolută este mai mică sau egală cu 4 între aceste două puncte, când (1 leq x leq 9 ). În notația de interval, acesta ar fi intervalul ([1,9] ).

Ca alternativă la grafic, după ce am stabilit că valoarea absolută este egală cu 4 la (x = 1 ) și (x = 9 ), știm că graficul se poate schimba doar de la a fi mai mic de 4 la mai mare de 4 la aceste valori. Aceasta împarte linia numerică în trei intervale: (x <1, 1 9 ). Pentru a determina când funcția este mai mică de 4, am putea alege o valoare în fiecare interval și să vedem dacă ieșirea este mai mică sau mai mare de 4.

[ begin {array} {llll}
text {Interval} & text {Test} x & f (x) & <4 text {or}> 4?
hline x <1 & 0 & | 0-5 | = 5 & text {mai mare}
1 x> 9 & 11 & | 11-5 | = 6 & text {mai mare}
end {array}
fără număr]

Deoarece (1 leq x leq 9 ) este singurul interval în care ieșirea la valoarea testului este mai mică de 4, putem concluziona soluția la ( left | {x - 5} right | leq 4 ) este (1 leq x leq 9 ).

Exemplu ( PageIndex {10} )

Având în vedere funcția (f (x) = - frac {1} {2} left | {4x - 5} right | + 3 ), determinați pentru ce valori (x ) valorile funcției sunt negative.

Soluţie

Încercăm să determinăm unde (f (x) <0 ), care este când (- frac {1} {2} left | {4x - 5} right | + 3 <0 ). Începem prin a izola valoarea absolută:

[- frac {1} {2} left | {4x - 5} dreapta | <- 3 nonumber ]

Când înmulțim ambele părți cu -2, inversează inegalitatea,

[ left | {4x - 5} dreapta | > 6 nonumber ]

Apoi rezolvăm egalitatea ( left | {4x - 5} right | = 6 )

[ begin {align *} 4x - 5 & = 6 4x & = 11 x & = frac {11} {4} end {align *} nonumber ]

sau

[ begin {align *} 4x - 5 & = - 6 4x & = - 1 x & = frac {- 1} {4} end {align *} ]

Acum putem alege valori de testare sau schița un grafic al funcției pentru a determina la ce intervale valoarea funcției inițiale este negativă. Observați că nu este chiar foarte important exact cum arată graficul, atâta timp cât știm că traversează axa orizontală la (x = frac {- 1} {4} ) și (x = frac { 11} {4} ) și că graficul a fost răsturnat.

Din graficul funcției, putem vedea că valorile funcției sunt negative la stânga primei interceptări orizontale la (x = frac {- 1} {4} ) și negative la dreapta celei de-a doua interceptări la (x = frac {11} {4} ). Acest lucru ne oferă soluția inegalității:

[x < frac {-1} {4} quad text {sau} quad x> frac {11} {4} nonumber ]

În notația de interval, aceasta ar fi ( left (- infty, frac {- 1} {4} right) cup left ( frac {11} {4}, infty right) )

Exercițiu ( PageIndex {6} )

Rezolva (- 2 left | k - 4 right | leq - 6 )

Răspuns

(k <1 ) sau (k> 7 ); în notație de interval, aceasta ar fi ( left (- infty, 1 right) cup left (7, infty right) )

Există o a treia abordare a soluționării inegalităților de valoare absolută, care este formulată. În timp ce funcționează și sunteți binevenit să îl utilizați, este mult mai probabil să vă amintiți celelalte abordări.

Soluții la inegalitățile de valoare absolută

Pentru a rezolva ( left | A right |

Pentru a rezolva ( left | A right |> B ), rezolvați: (A> B ) sau (A <- B )

Exemplu ( PageIndex {11} )

Rezolva (3 left | x + 4 right | - 2 geq 7 )

Soluţie

Trebuie să începem prin izolarea valorii absolute:

[3 left | {x + 4} right | - 2 geq 7 nonumber ]

Adăugați 2 pe ambele părți

[3 left | {x + 4} right | geq 9 nonumber ]

Împărțiți ambele părți la 3

[ left | {x + 4} right | geq 3 nonumber ]

Acum putem distruge acest lucru și rezolva fiecare piesă separat:

[ begin {align *} x + 4 & geq 3 nonumber x & geq - 1 end {align *} ]

sau

[ begin {align *} x + 4 & leq - 3 x & leq - 7 end {align *} ]

În notația de interval, aceasta ar fi ((- infty, -7] cup [-1, infty) ).

Subiecte importante ale acestei secțiuni

Proprietățile funcției de valoare absolută

Rezolvarea ecuațiilor de valoare absolută

Găsirea interceptărilor

Rezolvarea inegalităților de valoare absolută


INEGALITĂȚI ÎNTR-O singură variabilă

În secțiunile 1.1 și 2.1, am văzut că din două numere diferite, graficul numărului mai mic se află la stânga graficului numărului mai mare de pe o linie numerică. Aceste relații de ordine pot fi exprimate folosind următoarele simboluri:

& le înseamnă „este mai mic sau egal cu”

& ge înseamnă „este mai mare sau egal cu”.

„1 este mai mic de 3” poate fi scris ca 1 -5.

„2 este mai mic sau egal cu x” poate fi scris ca 2 & le x.

„4 este mai mare sau egal cu y” poate fi scris ca 4 & ge y.

Enunțurile care implică oricare dintre simbolurile de mai sus se numesc inegalități. Inegalități precum

se spune că sunt de ordin opus sau sens opus, deoarece într-un caz, membrul din stânga este mai mic decât membrul din dreapta, iar în celălalt caz, membrul din stânga este mai mare decât membrul din mâna dreaptă.

PROPRIETĂȚILE INEGALITĂȚILOR

În secțiunea 3.1, am văzut că o ecuație de gradul întâi într-o singură variabilă are o singură soluție. Dar o inegalitate de gradul întâi are un număr infinit de soluții. De exemplu, graficele numărului infinit de soluții întregi ale inegalității x> 3 sunt prezentate în Figura 3.1.

Uneori nu este posibil să se determine soluțiile unei inegalități date doar prin inspecție. Dar folosind următoarele proprietăți, putem forma inegalități echivalente (inegalități cu aceleași soluții) în care soluția este evidentă prin inspecție.

1. Dacă aceeași expresie este adăugată sau scăzută din fiecare membru al unei inegalități, rezultatul este o inegalitate echivalentă în aceeași ordine.

a Exemplul 1 a. Pentru că 3 Exemplul 2 a. Pentru că 2 0,

5 (z) Exemplul 3 a. Deoarece 3 5 (-2) sau -6> -10

Cele trei proprietăți de mai sus se aplică, de asemenea, inegalităților formei a> b, precum și unei rezolvări a Exemplului 4 , unde x este un număr întreg.

Soluție Înmulțind fiecare membru cu 2 (un număr pozitiv), avem

Împărțind fiecare membru la 3, obținem

Graficul acestei inegalități este

În exemplul de mai sus, toate inegalitățile au fost în aceeași ordine, deoarece am aplicat doar proprietatea 2 de mai sus. Acum ia în considerare următoarea inegalitate.

Exemplul 5 Rezolvați - 3x + 1> 7, unde x este un număr întreg.

Adăugare soluție - 1 la fiecare membru, primim

Acum aplicăm Proprietatea 3 și împărțim fiecare membru la -3. În acest caz, trebuie să inversăm ordinea inegalității.

Când rezolvăm probleme de cuvinte care implică inegalități, urmăm cei șase pași descriși la pagina 115, cu excepția cuvântului ecuație care va fi înlocuit cu cuvântul inegalitate.


3.1: Inegalități într-o singură variabilă

Acest curs este destinat studenților care doresc să creeze o bază solidă algebrică de concepte matematice fundamentale din care să urmeze cursuri mai avansate care utilizează concepte din precalcul, calcul, probabilitate și statistici. Acest curs vă va ajuta să vă consolidați metodele de calcul, să revizuiți formule și proprietăți algebrice și să aplicați aceste concepte modelând situații din lumea reală. Acest curs este pentru orice student care va folosi abilitățile algebrice în cursurile viitoare de matematică. Subiectele includ: numerele reale, egalități, inegalități, polinoame, expresii raționale și ecuații, grafice, relații și funcții, radicali și exponenți și ecuații pătratice.

Modulul 3: Rezolvarea inegalităților

Poziția relativă a două puncte pe o linie de coordonate este utilizată pentru a defini o relație de inegalitate pe mulțimea numerelor reale. Spunem că a este mai mic decât b, scris a & ltb, când numărul real a se află în stânga numărului real b pe linia de coordonate. Din această definiție, urmează în mod natural alte inegalități.


Ecuații liniare și inegalități într-o singură variabilă

Notă: Aceste fișiere PDF sunt incluse pentru a facilita imprimarea. Linkurile nu sunt live în acest format. Pentru cea mai actualizată versiune de materiale și link-uri de lucru, derulați în jos la Idei mari și deschideți versiunile Google Doc, care sunt actualizate continuu.

Resurse unitare:

Sarcini inițiale Vedeți 2 articole Ascundeți 2 articole

Sarcina inițială pentru o unitate este menită să prevadă atât matematica viitoare pentru un student, cât și să ajute profesorii să vadă cum înțeleg elevii lor matematica înainte de unitate.

Vă rugăm să comentați mai jos cu întrebări, feedback, sugestii sau descrieri ale experienței dvs. folosind această resursă cu elevii.

Ecuații liniare și inegalități într-o singură variabilă

Această pagină conține instrucțiuni despre cum să utilizați sarcina inițială, Mystery Letters, pentru a afla ce știu deja elevii dvs. despre formarea și rezolvarea ecuațiilor.

Vă rugăm să comentați mai jos cu întrebări, feedback, sugestii sau descrieri ale experienței dvs. folosind această resursă cu elevii.

Ecuații liniare și inegalități într-o singură variabilă

Ideea mare 1: ecuațiile pot fi derivate din funcții. Vezi 2 articole Ascunde 2 articole

Resursele pentru Big Idea 1 se concentrează pe analiza cantităților dintr-o situație și utilizarea acestora pentru a scrie o ecuație sau o inegalitate. Se explorează, de asemenea, distincția dintre o funcție și o ecuație.

Vă rugăm să comentați mai jos cu întrebări, feedback, sugestii sau descrieri ale experienței dvs. folosind această resursă cu elevii.

Ecuații liniare și inegalități într-o singură variabilă

Marea idee 2: un set de soluții face adevărată o ecuație sau o inegalitate. Vezi 2 articole Ascunde 2 articole

Resursele pentru Big Idea 2 se concentrează pe rezolvarea ecuațiilor și inegalităților și utilizarea modelelor vizuale și a proprietăților pentru a explica fiecare pas din procesul implicat în rezolvarea ecuațiilor și inegalităților.

Vă rugăm să comentați mai jos cu întrebări, feedback, sugestii sau descrieri ale experienței dvs. folosind această resursă cu elevii.

Ecuații liniare și inegalități într-o singură variabilă

Ideea mare 3: ecuațiile și inegalitățile pot fi reprezentate în moduri multiple, echivalente. Vezi 2 articole Ascunde 2 articole

Resursele pentru Big Idea 3 se concentrează pe analiza cantităților dintr-o situație și utilizarea acestora pentru a scrie și rezolva ecuații sau inegalități cu variabila de pe ambele părți ale semnului egalității sau inegalității.

Vă rugăm să comentați mai jos cu întrebări, feedback, sugestii sau descrieri ale experienței dvs. folosind această resursă cu elevii.

Ecuații liniare și inegalități într-o singură variabilă

Lecție de evaluare formativă Vezi 1 articol Ascunde 1 articol

O lecție de evaluare formativă (cunoscută și sub numele de Provocare în clasă) este o lecție atent concepută, care îi ajută pe profesori să înțeleagă modul în care elevii dau sens matematicii unității și le oferă elevilor oportunități de a revizita și a aprofunda înțelegerea lor despre matematică.

A Provocarea clasei (alias lecție de evaluare formativă) este o lecție pregătită pentru clasă care susține evaluarea formativă. Abordarea lecției permite mai întâi elevilor să-și demonstreze înțelegerile și abilitățile anterioare în utilizarea practicilor matematice și apoi îi implică pe elevi în rezolvarea propriilor dificultăți și concepții greșite printr-o discuție structurată.

Vă rugăm să comentați mai jos cu întrebări, feedback, sugestii sau descrieri ale experienței dvs. folosind această resursă cu elevii.

Ecuații liniare și inegalități într-o singură variabilă

Reangajare Vezi 1 articol Ascunde 1 articol

Reimplicarea înseamnă a reveni la o problemă sau sarcină familiară și a o privi din nou în moduri diferite, cu un obiectiv nou sau a merge mai adânc în matematică. Acest lucru se face adesea prin prezentarea de exemple de muncă a elevilor și oferirea de solicitări pentru a-i ajuta pe elevi să se gândească diferit la ideile matematice. Acest ghid oferă mai multe informații despre cum să proiectați lecții de re-angajare pentru studenții dvs. pe care să le puteți folosi oricând în timpul unei unități în care credeți că va fi util ca elevii să revizuiască o idee matematică specifică înainte de a continua.

Reimplicarea înseamnă a reveni la o problemă sau sarcină familiară și a o privi din nou în moduri diferite, cu un obiectiv nou sau a merge mai adânc în matematică. Acest lucru se face adesea prin prezentarea de exemple de muncă a elevilor și oferirea de solicitări pentru a-i ajuta pe elevi să gândească diferit ideile matematice. Acest ghid oferă mai multe informații cu privire la modul de proiectare a lecțiilor de re-angajare pentru studenții dvs., pe care le puteți folosi oricând în timpul unei unități, în care credeți că va fi util ca elevii să revizuiască o idee matematică specifică înainte de a continua.

Vă rugăm să comentați mai jos cu întrebări, feedback, sugestii sau descrieri ale experienței dvs. folosind această resursă cu elevii.

Ecuații liniare și inegalități într-o singură variabilă

Evaluarea la sfârșitul unității Vezi 3 elemente Ascunde 3 elemente

Evaluarea la sfârșitul unității este menită să scoată la iveală modul în care elevii înțeleg matematica în raport cu obiectivul de la sfârșitul anului al unui examen Regents. Pentru a sprijini păstrarea, evaluările de la sfârșitul unității sunt proiectate în mod intenționat cu întrebări în spirală de la unitățile anterioare.

După această unitate, cât de pregătiți sunt studenții dvs. pentru examenul Regents de final de curs? Sfârșitul evaluării unității este conceput pentru a evidenția modul în care elevii înțeleg matematica din unitate. Include întrebări cu răspuns multiplu spiralate și răspunsuri construite, comparabile cu cele de la examenul Regents la sfârșitul cursului. O sarcină bogată, care permite multiple puncte de intrare și evaluarea autentică a învățării elevilor, poate fi disponibilă pentru unele unități și poate fi inclusă ca parte a evaluării la sfârșitul unității. Toate elementele evaluării la sfârșitul unității sunt aliniate la standardele de învățare a matematicii din NYS și la stabilirea priorităților din cadrul PARCC Model.

Vă rugăm să comentați mai jos cu întrebări, feedback, sugestii sau descrieri ale experienței dvs. folosind această resursă cu elevii.


Graficarea inegalităților într-o singură variabilă

Soluțiile inegalităților pot fi reprezentate grafic pe linia numerică sub formă de raze. Dacă inegalitatea este „strictă” (& lt sau & gt), vom folosi un punct deschis pentru a indica faptul că punctul final al razei nu face parte din soluție. Pentru celelalte tipuri de inegalități ( & le și &GE ), folosim a punct închis .

Descărcați aplicațiile noastre gratuite de instrumente de învățare și testați cărțile de pregătire

Numele testelor standardizate sunt deținute de deținătorii mărcilor comerciale și nu sunt afiliate cu Varsity Tutors LLC.

4.9 / 5.0 Rating de satisfacție în ultimele 100.000 de sesiuni. Începând cu 27.04.18.

Mărcile comerciale ale presei sunt deținute de respectivele puncte de presă și nu sunt afiliate Tutorilor Varsity.

Reclamație câștigătoare bazată pe premiile CBS Local și Houston Press.

Varsity Tutors nu are afiliere cu universitățile menționate pe site-ul său web.

Varsity Tutors conectează cursanții cu experți. Instructorii sunt contractori independenți care își adaptează serviciile în funcție de fiecare client, folosind propriul stil, metode și materiale.


Adunarea și scăderea inegalităților

La fel ca în cazul ecuațiilor, există o serie de Proprietățile inegalității Un set de reguli pentru inegalități care descriu modul în care adunarea, scăderea, înmulțirea sau împărțirea pot fi aplicate ambelor părți ale unei inegalități pentru a produce o inegalitate echivalentă. care ne ajută să lucrăm cu aceste tipuri de relații.

Proprietăți de adunare și scădere ale inegalității

Să începem cu rsquos prin adunare și scădere și inegalitatea simplă `a & gtb`. Dacă dorim să adăugăm o cantitate `c` în partea stângă, trebuie să o adăugăm și în partea dreaptă pentru a menține inegalitatea adevărată. Putem scrie această proprietate ca:

Vârstele oamenilor și ale rsquo-urilor servesc ca un bun exemplu din viața reală pentru modelarea acestei proprietăți. De exemplu, imaginați-vă că cunoașteți doi oameni: Adam și Bernard. Știți că Adam este mai în vârstă decât Bernard (deși nu știți cât de în vârstă). Peste un anumit număr de ani de acum, va mai fi Adam mai în vârstă decât Bernard? Desigur! Adam este mai în vârstă la început și îmbătrânesc în aceeași cantitate. În mod algebric, ați putea reprezenta această inegalitate ca:

apoi Vârsta lui Adam `+` cativa ani `& gt` Bernard & vârsta de 39 de ani `+` același număr de ani.

Proprietatea de scădere este similară. Dacă începem din nou cu inegalitatea `a & gtb` și scădem` c` din `a`, atunci trebuie să scădem și` c` din `b` pentru a menține relația. Putem scrie această proprietate ca:

Exemplul de vârstă vă poate ajuta să înțelegeți și această relație: dacă Adam este mai în vârstă decât Bernard acum, atunci acum cinci ani, Adam era și el mai în vârstă decât Bernard (pentru că și Bernard era cu cinci ani mai tânăr). Ați putea reprezenta această inegalitate ca:


Unitatea 3: Expresii liniare și amp ecuații / inegalități variabile unice

Identificați proprietățile operațiilor care au ca rezultat expresii liniare echivalente.

Creați un cont gratuit pentru a accesa mii de planuri de lecție.

Folosiți proprietățile ecuațiilor pentru a analiza și scrie ecuații echivalente.

Creați un cont gratuit pentru a accesa mii de planuri de lecție.

Rezolvați ecuații liniare cu o singură variabilă folosind proprietăți de egalitate.

Creați un cont gratuit pentru a accesa mii de planuri de lecție.

Rezolvați ecuații cu o variabilă în numitor.

Creați un cont gratuit pentru a accesa mii de planuri de lecție.

Rezolvați pentru o variabilă într-o ecuație sau formulă.

Creați un cont gratuit pentru a accesa mii de planuri de lecție.

Subiectul B: Modelarea cu ecuații liniare cu o singură variabilă

Scrieți ecuații folosind variabile definite pentru a reprezenta o situație contextuală.

Creați un cont gratuit pentru a accesa mii de planuri de lecție.

Definiți variabilele de scriere și rezolvați ecuații pentru a reprezenta o situație contextuală.

Creați un cont gratuit pentru a accesa mii de planuri de lecție.

Scrieți și rezolvați ecuații pentru a reprezenta situații contextuale în care sunt necesare estimări și conversii de unități.

Creați un cont gratuit pentru a accesa mii de planuri de lecție.

Modelează o situație contextuală și ia o decizie informată pe baza modelului.

Creați un cont gratuit pentru a accesa mii de planuri de lecție.

Subiectul C: Proprietăți și soluții ale inegalităților liniare cu o singură variabilă

Rezolvați inegalitățile nelimitate cu o singură variabilă în situații contextuale și necontextuale.

Creați un cont gratuit pentru a accesa mii de planuri de lecție.

Scrieți și graficați inegalitățile compuse dintr-o singură variabilă pentru a descrie soluția la situații contextuale și necontextuale.

Creați un cont gratuit pentru a accesa mii de planuri de lecție.

Rezolvați și graficați inegalitățile compuse în care manipularea algebrică este necesară în situații contextuale și necontextuale.

Creați un cont gratuit pentru a accesa mii de planuri de lecție.


Înţelegere

Elevii dezvoltă un sentiment de „păstrare a ordinii și a soluțiilor” care pot fi aplicate inegalităților și modul în care aceste mișcări se referă la soluția stabilită pentru o inegalitate.

Ce anume sa cauti

Elevii vor întâlni faptul că înmulțirea ambelor părți ale unei inegalități cu un număr negativ nu păstrează ordinea.

Evaluarea probei

Care sunt toate numerele întregi posibile care fac adevărat 8 -___> 3?

A. 0, 1, 2, 3, 4, 5
b. 0, 1, 2, 3, 4
c. 0, 1, 2
d. 5

Marea idee

Găsirea soluției unei inegalități într-o variabilă implică patru idei:
1. Cel mai mic număr din două este în stânga celui mai mare
2. dacă un număr este mai mic decât altul, (a & lt b ), atunci unele pozitive (c ) adăugate la (a ) vor fi egale (b ) ((a + c = b) )
3. punctul egalității (punctul limită) împarte un set de valori în cele mai mari decât și cele mai mici decât acel punct și
4. unele operații de ambele părți ale unei inegalități păstrează ordinea și altele nu (în special, înmulțind sau împărțind cu un număr diferit de zero).

Ce fac elevii?

Elevii se gândesc la mișcările de conservare a comenzilor și de conservare a soluțiilor în timp ce utilizează imagini interactive pe o linie numerică.

Ce face profesorul?

Încurajați elevii să se gândească la modurile în care au învățat să rezolve ecuații care se aplică în mod similar rezolvării inegalităților.


Priveste filmarea: Inegalitati demonstrate cu ajutorul derivatelor (Iulie 2022).


Comentarii:

  1. Stanford

    Mesaj incomparabil, este interesant pentru mine :)

  2. Jular

    Comunicarea foarte bună este remarcabilă

  3. Harlan

    Este adevarat! Cred că este o idee bună. Sunt de acord cu tine.

  4. Pegasus

    Ai comis o eroare. Îl propun să discutăm.

  5. Tojagis

    Bravo, ce expresie ..., o idee remarcabilă



Scrie un mesaj