Articole

16.3: Independența căii, câmpurile conservatoare și funcțiile potențiale

16.3: Independența căii, câmpurile conservatoare și funcțiile potențiale



We are searching data for your request:

Forums and discussions:
Manuals and reference books:
Data from registers:
Wait the end of the search in all databases.
Upon completion, a link will appear to access the found materials.

Pentru anumite câmpuri vectoriale, cantitatea de muncă necesară pentru a muta o particulă dintr-un punct în altul depinde doar de pozițiile sale inițiale și finale, nu de calea pe care o ia. Această secțiune va discuta proprietățile acestor câmpuri vectoriale.

Definiție: Calea independentă și conservatoare

Fie ( mathbf {F} ) un câmp vector definit pe o regiune deschisă D în spațiu și să presupunem că pentru oricare două puncte A și B în D integrala liniei

[ int_ {C} ^ {} mathbf {F} cdot mathit {d} mathbf {r} ]

de-a lungul unei cărări C din A la B în D este la fel pe toate căile din A la B. Atunci integrala [ int_ {C} ^ {} mathbf {F} cdot mathit {d} mathbf {r} ] este cale independentă în D și câmpul F este conservator pe D.

Funcția potențială

Definiție: Dacă F este un câmp vector definit pe D și [ mathbf {F} = triangledown f ] pentru o funcție scalară f pe D, atunci f se numește a funcție potențială pentru F. Puteți calcula toate integralele de linie din domeniu F peste orice cale dintre A și B după găsirea funcției potențiale f

[ int_ {A} ^ {B} mathbf {F} cdot mathit {d} mathbf {r} = int_ {A} ^ {B} triangledown f mathit {d} mathbf {r } = mathit {f (B)} - mathit {f (A)} ]

Acest lucru poate fi legat înapoi de teorema fundamentală a calculului, deoarece gradientul poate fi considerat similar cu derivatul. O altă proprietate importantă a câmpurilor vectoriale conservatoare este aceea că integrala lui F în jurul oricărei cărări închise D este întotdeauna 0.

Ipoteze despre curbe, câmpuri vectoriale și domenii

Din motive de calcul, trebuie să presupunem următoarele proprietăți în ceea ce privește curbele, suprafețele, domeniile și câmpurile vectoriale:

  1. Curbele pe care le considerăm sunt bucată, netedă, adică sunt compuse din multe bucăți infinitezimale mici, netede conectate cap la cap.
  2. Presupunem că domeniul D este un pur și simplu conectat regiune deschisă, adică orice două puncte din D poate fi alăturat printr-o curbă lină în interiorul regiunii și pe care fiecare buclă D poate fi contractat până la un punct în D fără să plece vreodată D.

Teorema 1: Teorema fundamentală a integralelor de linie

Lăsa C fie o curbă lină care unește punctul A la punctul B în minereul plan din spațiu și parametrizat de ( mathbf {r} (t) ). Lăsa f să fie o funcție diferențiată cu un vector de gradient continuu ( mathbf {F} = bigtriangledown {f} ) pe un domeniu D conținând C. Apoi ( int_ {C} mathbf {F} cdot d mathbf {r} = f (B) -f (A) ).

Dovadă

Să presupunem că A și B sunt două puncte în regiune D și că curba C este dat de [ mathbf {r} (t) = x mathbf {i} + y mathbf {j} + z mathbf {k} ] este o curbă lină în D care unește puncte A și B. De-a lungul C, f este o funcție diferențiată a lui t și

[ begin {align *} dfrac { partial f} { partial t} & = dfrac { partial f} { partial x} dfrac { partial x} { partial t} + dfrac { partial f} { partial y} dfrac { partial y} { partial t} + dfrac { partial f} { partial z} dfrac { partial z} { partial t} & = bigtriangledown f cdot left ( dfrac { mathrm {d} x} { mathrm {d} t} mathbf {i} + dfrac { mathrm {d} y} { mathrm {d} t} mathbf {j} dfrac { mathrm {d} z} { mathrm {d} t} mathbf {k} right) & = bigtriangledown f cdot dfrac { mathrm {d} mathbf {r}} { mathrm {d} t} & = mathbf {F} cdot dfrac { mathrm {d} mathbf {r}} { mathrm {d} t} end {align * } ]

Prin urmare,

[ int_ {C} mathbf {F} cdot d mathbf {r} = int_ {t = a} ^ {t = b} mathbf {F} cdot dfrac { mathrm {d} mathbf {r}} { mathrm {d} t} dt = int_a ^ b dfrac { mathrm {d} f} { mathrm {d} t} dt nonumber ]

*Notă:

[ mathbf {r} (a) = A, ; mathbf {r} (b) = B nonumber ]

Care înseamnă:

[stânga. f (g (t), h (t), k (t)) right | _a ^ b = f (B) -f (A) nonumber ]

Dovedind astfel teorema 1. Aceasta ne arată că integralul unui câmp de gradient este ușor de calculat, cu condiția să cunoaștem funcția (f ).

(pătrat)

Așa cum am menționat mai devreme, acest lucru este foarte similar cu teorema fundamentală a calculului atât în ​​teorie, cât și în importanță. La fel ca FTC, ne oferă o modalitate de a evalua integralele de linie fără limite ale sumelor Riemann.

Teorema 2: Câmpurile conservatoare sunt câmpuri de gradient

Fie ( mathbf {F} = M hat { mathbf {i}} + N hat { mathbf {j}} + P hat { mathbf {k}} ) un câmp vector ale cărui componente sunt continuu pe tot parcursul unei regiuni conectate deschise D in spatiu. Atunci F este conservator dacă și numai el F este un câmp de gradient ( bigtriangledown f ) pentru o funcție diferențiată f.

Dovadă

Dacă F este un câmp de gradient, apoi ( mathbf {F} = bigtriangledown f ) pentru o funcție diferențiată f. Prin teorema 1, știm că [ int_C mathbf {F} cdot d mathbf {r} = f (B) -f (A) ] și că valoarea integralei de linie depinde doar de cele două puncte finale , nu pe cale. Integrala liniei se spune că este independentă și F este un domeniu conservator.

Cu toate acestea, să presupunem F este un câmp vector conservator și dorim să găsim o funcție f pe D astfel încât ( bigtriangledown f = mathbf {F} ). În primul rând, trebuie să alegem un punct A în domeniu D astfel încât (f (A) = 0 ). Pentru orice alt punct B, trebuie să definim (f (B) ) ca fiind egal cu [ int_C mathbf {F} cdot d mathbf {r}, ] unde curba C este orice cale lină în D din A la B. pentru că F este conservator, știm că (f (B) ) nu depinde de C si invers. Pentru a arăta că ( bigtriangledown f = mathbf {F}, ) trebuie să arătăm că

[ dfrac { partial f} { partial x} = M, dfrac { partial f} { partial y} = N, dfrac { partial f} { partial z} = P. nonumber ]

Să presupunem că B are coordonate ((x, y, z) ) și un punct din apropiere (B_0 = (x_0, y, z). ) Prin definiție, atunci valoarea funcției f în punctul apropiat este [ int_ {C_0} mathbf {F} cdot d mathbf {r}, ] unde (C_0 ) este orice cale de la A la (B_0. ) Putem lua calea C pentru a fi uniunea dintre cale (C_0 ) și segmentul de linie L de la B la (B_0 ). Prin urmare,

[f (x, y, z) = int_ {C_0} mathbf {F} cdot d mathbf {r} + int_L mathbf {F} cdot d mathbf {r} nonumber ]

Putem diferenția această integrală, ajungând la:

[ dfrac { partial} { partial x} f (x, y, z) = dfrac { partial} { partial x} left ( int_ {C_0} mathbf {F} cdot d mathbf {r} + int_L mathbf {F} cdot d mathbf {r} right) nonumber ]

Doar ultimul termen al ecuației de mai sus este dependent de x, deci

[ dfrac { partial} { partial x} f (x, y, z) = dfrac { partial} { partial x} int_L mathbf {F} cdot d mathbf {r} nonumber ]

Acum, dacă parametrizăm (L ) astfel încât

[ mathbf {r} (t) = t mathbf {i} + y mathbf {j} + z mathbf {k} nonumber ]

unde (x_0 leq t leq x ) Apoi,

[ dfrac { mathrm {d} r} { mathrm {d} t} = mathbf {i} ] [ mathbf {F} cdot dfrac { mathrm {d} r} { mathrm {d} t} = M nonumber ]

și

[ int_L mathbf {f} cdot d mathbf {r} = int_ {x_0} ^ xM (t, y, z) dt] nonumber ]

Înlocuirea ne dă

[ dfrac { partial} { partial x} f (x, y, z) = dfrac { partial} { partial x} int_ {x_0} ^ xM (t, y, z) dt = M (x, y, z) nonumber ]

de către FTC. Derivatele parțiale

[ dfrac { partial f} { partial y} = N nonumber ]

și

[ dfrac { partial f} { partial z} = P nonumber ]

urmează în mod similar, arătând că

[ mathbf {F} = bigtriangledown f nonumber ]

(pătrat)

Cu alte cuvinte, ( mathbf {F} = bigtriangledown f ) este adevărat numai atunci când, pentru orice punct A și B în regiunea D, ( int_C mathbf {F} cdot d mathbf {r} ) este independent de cale C care unește cele două puncte D.

Teorema 3: Proprietatea Looper a câmpurilor conservatoare

Următoarele afirmații sunt echivalente:

  • ( oint_ {C} mathbf {F} cdot d mathbf {r} = 0 ) în jurul fiecărei bucle (curbă închisă C) în D.
  • Campul F este conservator pe D.

Dovadă

Partea 1

Vrem să arătăm asta pentru orice două puncte A și B în D, integrala din

[ mathbf {F} cdot d mathbf {r} nonumber ]

are aceeași valoare pentru oricare două căi (C_1 ) & (C_2 ) din De la A la B..

Inversăm direcția (C_2 ) pentru a face calea (- C_2 ) din De la B la A.

Împreună, cele două curbe (C_1 ) & (- C_2 ) fac o buclă închisă, pe care o vom numi C.

Dacă vă amintiți de mai devreme în această secțiune, integralul peste o buclă închisă pentru un câmp conservator este întotdeauna 0:

[ begin {align *} int_ {C_1} mathbf {F} cdot d mathbf {r} - int_ {C_2} mathbf {F} cdot d mathbf {r} & = int_ { C_1} mathbf {F} cdot d mathbf {r} + int _ {- C_2} mathbf {F} cdot d mathbf {r} & = int_C mathbf {F} cdot d mathbf {r} & = 0 end {align *} ]

Prin urmare, integralele peste (C_1 ) & (C_2 ) trebuie să fie egale.

Partea 2

Vrem să arătăm că integralul peste ( mathbf {F} cdot d mathbf {r} ) este zero pentru orice buclă închisă C. Alegem două puncte A & B pe C și folosiți-le pentru a sparge C în 2 bucăți: (C_1 ) de la A la B și (C_2 ) de la B înapoi la A.

Prin urmare:

[ begin {align *} oint _C mathbf {F} cdot d mathbf {r} & = int_ {C_1} mathbf {F} cdot d mathbf {r} + int_ {C_2} mathbf {F} cdot d mathbf {r} & = int_A ^ B mathbf {F} cdot d mathbf {r} - int_A ^ B mathbf {F} cdot d mathbf { r} & = 0 end {align *} ]

(pătrat)

Găsirea potențialelor pentru câmpurile conservatoare

Testul componentelor pentru câmpurile conservatoare: Fie ( mathbf {F} = M (x, y, z) hat { textbf {i}} + N (x, y, z) hat { textbf {j}} + P (x, y, z) hat { textbf {k}} ) să fie un câmp dintr-un domeniu conectat și conectat simplu ale cărui funcții componente au primele derivate parțiale continue. Atunci, F este conservator dacă și numai dacă

[ dfrac { partial P} { partial x} = dfrac { partial M} { partial z} ]

[ dfrac { partial P} { partial y} = dfrac { partial N} { partial z} ]

și

[ dfrac { partial N} { partial x} = dfrac { partial M} { partial y}. ]

* Notă: vezi Exemplul 2

Definiție: Forme diferențiale exacte

Orice expresie

[M (x, y, z) dx + N (x, y, z) dy + P (x, y, z) dz ]

este un forma diferențială. O formă diferențială este exactă pe un domeniu D în spațiu dacă

[M , dx + N , dy + P , dz = dfrac { partial f} { partial x} dx + dfrac { partial f} { partial y} dy + dfrac { partial f} { partial z} dz = df ]

pentru unele funcții scalare f peste tot D.

Testul componentelor pentru exactitatea (Mdx + Ndy + Pdz ): Forma diferențială (Mdx + Ndy + Pdz ) este exactă pe un domeniu conectat și conectat pur și simplu dacă și numai dacă

[ dfrac { partial P} { partial x} = dfrac { partial M} { partial z} ]

[ dfrac { partial P} { partial y} = dfrac { partial N} { partial z} ]

și

[ dfrac { partial N} { partial x} = dfrac { partial M} { partial y} ]

Observați, este același lucru cu a spune câmpul ( mathbf {F} = M hat { mathbf {i}} + N hat { mathbf {j}} + P hat { mathbf {k}} ) este conservator.

Exemplu ( PageIndex {1} )

Să presupunem că câmpul de forță ( mathbf {F} = bigtriangledown f ) este gradientul funcției (f (x, y, z) = - dfrac {1} {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2} ). Găsiți munca realizată de F în deplasarea unui obiect de-a lungul unei curbe netede C unirea ((1,0,0) ) la ((0,0,2) ) care nu trece prin origine.

Soluţie

Deoarece știm că acesta este un câmp conservator, putem aplica teorema 1, care arată că indiferent de curbă C, munca depusă de F va fi după cum urmează:

[ begin {align (} int_ {C} mathbf {F} cdot d mathbf {r} & = f (0,0,2) -f (1,0,0) & = - dfrac {1} {4} - (- 1) & = dfrac {3} {4} end {align (} ]

Exemplu ( PageIndex {2} )

Arata asta

[ mathbf {F} = (e ^ x cos y + yz) hat { mathbf {i}} + (xz-e ^ x sin y) hat { mathbf {j}} + (xy + z) hat { mathbf {k}} nonumber ]

este conservator în domeniul său natural și își găsește o funcție potențială.

Soluţie

Domeniul natural al F este tot spațiul, care este conectat și pur și simplu conectat. Să definim următoarele:

[M = e ^ x cos y + yz nonumber ]

[N = xz-e ^ x sin y nonumber ]

[P = xy + z nonumber ]

și calculați

[ dfrac { partial P} { partial x} = y = dfrac { partial M} { partial z} nonumber ]

[ dfrac { partial P} { partial y} = x = dfrac { partial N} { partial z} nonumber ]

[ dfrac { partial N} { partial x} = - e ^ x sin y = dfrac { partial M} { partial y}. fără număr]

Deoarece derivatele parțiale sunt continue, F este conservator. Acum, că știm că există o funcție f unde gradientul este egal cu F, sa gasim f.

[ dfrac { partial f} { partial x} = e ^ x cos y + yz nonumber ]

[ dfrac { partial f} { partial y} = xz-e ^ x sin y nonumber ]

[ dfrac { partial f} { partial z} = xy + z nonumber ]

Dacă integrăm prima dintre cele trei ecuații cu privire la x, vom constata că

[f (x, y, z) = int (e ^ x / cos y + yz) dx = e ^ x cos y + xyz + g (y, z) ]

unde (g (y, z) ) este o constantă dependentă de variabilele (y ) și (z ). Calculăm apoi derivata parțială în raport cu (y ) din această ecuație și o potrivim cu ecuația de mai sus.

[ dfrac { partial} { partial y} (f (x, y, z)) = - e ^ x / sin y + xz + dfrac { partial g} { partial y} = xz-e ^ x sin y nonumber ]

Aceasta înseamnă că derivata parțială a lui (g ) față de (y ) este 0, eliminând astfel (y ) din (g ) în întregime și lăsând-o ca funcție de (z ) singură .

[f (x, y, z) = e ^ x cos y + xyz + h (z) nonumber ]

Repetăm ​​apoi procesul cu derivata parțială în raport cu (z ).

[ dfrac { partial} { partial z} (f (x, y, z)) = xy + dfrac { mathrm {d} h} { mathrm {d} z} = xy + z nonumber ]

ceea ce înseamnă că

[ dfrac { mathrm {d} h} { mathrm {d} z} = z nonumber ]

deci putem găsi (h (z) ) integrând:

[h (z) = dfrac {z ^ 2} {2} + C. fără număr]

Prin urmare,

[f (x, y, z) = e ^ x cos y + xyz + dfrac {z ^ 2} {2} + C. fără număr]

Avem încă multe funcții potențiale pentru F-unul la fiecare valoare a lui C.

Exemplu ( PageIndex {3} )

Arătați că (ydx + xdy + 4dz ) este exact și evaluați integralul

[ int _ {(1,1,1)} ^ {(2,3, -1)} ydx + xdy + 4dz nonumber ]

peste orice cale de la ((1,1,1) ) la ((2,3, -1) ).

Soluţie

Lăsăm (M = y ), (N = x ) și (P = 4 ). Aplicați testul pentru exactitate:

[ dfrac { partial N} { partial x} = 1 = dfrac { partial M} { partial y} nonumber ]

[ dfrac { partial N} { partial z} = 0 = dfrac { partial P} { partial y} nonumber ]

și

[ dfrac { partial N} { partial z} = 0 = dfrac { partial P} { partial y}. nonumber ]

Acest lucru dovedește că (ydx + xdy + 4dz ) este exact, deci

[ydx + xdy + 4dz = df nonumber ]

pentru o anumită funcție f, iar valoarea integralei este (f (2,3, -1) -f (1,1,1) ).

Găsim până la o constantă prin integrarea următoarelor ecuații:

[ dfrac { partial f} { partial x} = y, dfrac { partial f} { partial y} = x, dfrac { partial f} { partial z} = 4 nonumber ]

Din prima ecuație, obținem că (f (x, y, z) = xy + g (y, z) )

A doua ecuație ne spune că ( dfrac { partial f} { partial y} = x + dfrac { partial g} { partial y} = x )

Prin urmare,

[ dfrac { partial g} { partial y} = 0 nonumber ]

Prin urmare,

[f (x, y, z) = xy + h (z) nonumber ]

A treia ecuație ne spune că ( dfrac { partial f} { partial z} = 0 + dfrac {d h} {d z} = 4 ) deci (h (z) = 4z + C )

Prin urmare,

[f (x, y, z) = xy + 4z + C nonumber ]

Prin substituire, constatăm că:

[f (2,3, -1) -f (1,1,1) = 2 + C- (5 + C) = - 3 nonumber ]

Referințe

  1. Weir, Maurice D., Joel Hass și George B. Thomas. Calculul lui Thomas: Transcendentali timpurii. Boston: Addison-Wesley, 2010. Print.

Math Insight

Procesul de găsire a unei funcții potențiale a unui câmp vector conservator este o procedură în mai mulți pași care implică atât integrarea, cât și diferențierea, acordând o atenție deosebită variabilelor pe care le integrați sau le diferențiați în raport cu. Din acest motiv, având în vedere un câmp vector $ dlvf $, vă recomandăm să determinați mai întâi că $ dlvf $ este într-adevăr conservator înainte de a începe această procedură. În acest fel, știți că există o funcție potențială, deci procedura ar trebui să funcționeze în cele din urmă.

În această pagină, ne concentrăm pe găsirea unei funcții potențiale a unui câmp vectorial conservator bidimensional. Ne adresăm câmpurilor tridimensionale într-o altă pagină.

Introducem procedura pentru găsirea unei funcții potențiale printr-un exemplu. Să folosim câmpul vector begin dlvf (x, y) = (y cos x + y ^ 2, sin x + 2xy-2y). Sfârșit

Primul pas este să verificați dacă $ dlvf $ este conservator. De când begin pdiff < dlvfc_2> & amp = pdiff <>( sin x + 2xy-2y) = cos x + 2y pdiff < dlvfc_1> & amp = pdiff <>(y cos x + y ^ 2) = cos x + 2y, end concluzionăm că bucla scalară de $ dlvf $ este zero, ca begin pdiff < dlvfc_2> - pdiff < dlvfc_1> = 0. end Apoi, observăm că $ dlvf $ este definit pentru toate $ R ^ 2 $, deci nu există trucuri de care să vă faceți griji. Câmpul vector $ dlvf $ este într-adevăr conservator.

Deoarece $ dlvf $ este conservator, știm că există o funcție potențială $ f $ astfel încât $ nabla f = dlvf $. Ca prim pas către găsirea $ f $, observăm că condiția $ nabla f = dlvf $ înseamnă că begin left ( pdiff, pdiff right) & = ( dlvfc_1, dlvfc_2) & = (y cos x + y ^ 2, sin x + 2xy-2y). Sfârșit Această ecuație vectorială este două ecuații scalare, una pentru fiecare componentă. Trebuie să găsim o funcție $ f (x, y) $ care îndeplinește cele două condiții begin pdiff(x, y) = y cos x + y ^ 2 label Sfârșit și begin pdiff(x, y) = sin x + 2xy -2y. eticheta Sfârșit Să luăm aceste condiții una câte una și să vedem dacă putem găsi un $ f (x, y) $ care să le satisfacă pe amândouă. (Știm că acest lucru este posibil, deoarece $ dlvf $ este conservator. Dacă $ dlvf $ ar fi dependenți de cale, procedura care urmează ar atinge un obstacol undeva.)

Să începem cu condiția eqref. Putem lua ecuația begin pdiff(x, y) = y cos x + y ^ 2, end și tratează $ y $ ca și cum ar fi un număr. Cu alte cuvinte, pretindem că ecuația este begin dif(x) = a cos x + a ^ 2 end pentru un anumit număr $ a $. Putem integra ecuația în raport cu $ x $ și să obținem că begin f (x) = a sin x + a ^ 2x + C. Sfârșit Dar, atunci trebuie să ne amintim că $ a $ a fost într-adevăr variabila $ y $, astfel încât begin f (x, y) = y sin x + y ^ 2x + C. Sfârșit Dar, de fapt, nici asta nu este încă corect. Deoarece vedeam $ y $ ca o constantă, integrarea & ldquoconstant & rdquo $ C $ ar putea fi o funcție de $ y $ și nu ar face diferența. Derivata parțială a oricărei funcții de $ y $ față de $ x $ este zero. Putem înlocui $ C $ cu orice funcție de $ y $, să zicem $ g (y) $ și condiția eqref va fi mulțumit. O nouă expresie pentru funcția potențială este begin f (x, y) = y sin x + y ^ 2x + g (y). eticheta Sfârșit Dacă sunteți încă sceptic, încercați să luați derivata parțială cu privire la $ x $ din $ f (x, y) $ definită de ecuația eqref. Deoarece $ g (y) $ nu depinde de $ x $, putem concluziona că $ displaystyle pdiff <> g (y) = 0 $. Într-adevăr, condiție eqref este satisfăcut pentru $ f (x, y) $ al ecuației eqref.

Acum, trebuie să satisfacem condiția eqref. Putem lua $ f (x, y) $ al ecuației eqref (deci știm acea condiție eqref va fi mulțumit) și ia derivata sa parțială cu privire la $ y $, obținând begin pdiff(x, y) & = pdiff <> left (y sin x + y ^ 2x + g (y) right) & = sin x + 2yx + diff(y). Sfârșit Comparând acest lucru cu condiția eqref, suntem norocoși. Putem face cu ușurință această condiție $ f (x, y) $ pentru a satisface eqref atâta timp cât begin dif(y) = - 2y. Sfârșit Dacă câmpul vector $ dlvf $ ar fi fost dependent de cale, am fi găsit imposibil să îndeplinim ambele condiții eqref and condition eqref. Am fi avut probleme în acest moment, deoarece am fi constatat că $ diff$ ar trebui să fie o funcție de $ x $, precum și $ y $. Din moment ce $ diff$ este doar o funcție de $ y $, calculul nostru verifică dacă $ dlvf $ este conservator.

Dacă lăsăm begin g (y) = -y ^ 2 + k end pentru ceva constant $ k $, atunci begin pdiff(x, y) = sin x + 2yx -2y, end și am îndeplinit ambele condiții.

Combinând această definiție a $ g (y) $ cu ecuația eqref, concluzionăm că funcția begin f (x, y) = y sin x + y ^ 2x -y ^ 2 + k end este o funcție potențială pentru $ dlvf. $ Puteți verifica că într-adevăr begin nabla f = (y cos x + y ^ 2, sin x + 2xy -2y) = dlvf (x, y). Sfârșit

Cu aceasta în mână, calcularea integralei begin dlint end este simplu, indiferent de calea $ dlc $. Putem aplica teorema gradientului pentru a concluziona că integralul este pur și simplu $ f ( vc) -f ( vc

) $, unde $ vc

$ este punctul de început și $ vc$ este punctul final al $ dlc $. (Din acest motiv, dacă $ dlc $ este o curbă închisă, integralul este zero.)

Ne-ar plăcea să oferim o problemă precum find begin dlint end unde $ dlc $ este curba dată de următorul grafic.

Răspunsul este pur și simplu begin dlint & amp = f ( pi / 2, -1) - f (- pi, 2) & amp = - sin pi / 2 + frac < pi> <2> -1 + k - ( 2 sin (- pi) - 4 pi -4 + k) & amp = - sin pi / 2 + frac <9 pi> <2> + 3 = frac <9 pi> < 2> +2 end (Constanta $ k $ este întotdeauna garantată pentru anulare, deci puteți seta doar $ k = 0 $.)

Dacă curba $ dlc $ este complicată, se speră că $ dlvf $ este conservator. este mereu o idee bună pentru a verifica dacă $ dlvf $ este conservator înainte de a calcula integralul de linie begin dlint. Sfârșit S-ar putea să vă salvați multă muncă.


Cuprins

1.1 Funcții și graficele lor

1.2 Combinarea funcțiilor Schimbarea și scalarea graficelor

1.3 Funcții trigonometrice

1.4 Graficarea cu software

1.6 Funcții și logaritmi inversi

2.1 Rate de schimbare și tangențe la curbe

2.2 Limita unei funcții și legile limită

2.3 Definiția precisă a unei limite

2.6 Limite care implică infinitele asimptote ale graficelor

3.1 Tangente și derivatul la un punct

3.2 Derivatul ca funcție

3.4 Derivatul ca rată de schimbare

3.5 Derivate ale funcțiilor trigonometrice

3.7 Diferențierea implicită

3.8 Derivate ale funcțiilor și logaritmilor inversi

3.9 Funcții trigonometrice inverse

3.11 Linearizare și diferențiale

4 Aplicații ale instrumentelor derivate

4.1 Valori extreme ale funcțiilor

4.2 Teorema valorii medii

4.3 Funcțiile monotonice și primul test derivat

4.4 Concavitatea și schițarea curbelor

4.5 Forme nedeterminate și regula L & # 8217H & # 244pital & # 8217s

5.1 Suprafață și estimare cu sume finite

5.2 Notarea Sigma și limitele sumelor finite

5.4 Teorema fundamentală a calculului

5.5 Integrale nedeterminate și metoda de substituție

5.6 Substituții integrale definite și aria dintre curbe

6 Aplicații ale integralelor definite

6.1 Volume folosind secțiuni transversale

6.2 Volumele care folosesc cochilii cilindrice

6.4 Zonele suprafețelor revoluției

6.6 Momente și centre de masă

7 Integrale și funcții transcendentale

7.1 Logaritmul definit ca integral

7.2 Modificare exponențială și ecuații diferențiale separate

7.4 Ratele relative de creștere

8 Tehnici de integrare

8.1 Utilizarea formulelor de bază de integrare

8.3 Integrale trigonometrice

8.4 Înlocuiri trigonometrice

8.5 Integrarea funcțiilor raționale prin fracții parțiale

8.6 Tabelele integrate și sistemele de algebră computerizată

9 ecuații diferențiale de ordinul întâi

9.1 Soluții, câmpuri de pantă și metodă Euler și # 8217s

9.2 Ecuații liniare de prim ordin

9.4 Soluții grafice ale ecuațiilor autonome

9.5 Sisteme de ecuații și planuri de fază

10 secvențe și serii infinite

10.5 Convergență absolută Raportul și testele de rădăcină

10.6 Seria alternativă și convergența condiționată

10.8 Seria Taylor și Maclaurin

10.9 Convergența seriei Taylor

10.10 Seria binomială și aplicațiile seriei Taylor

11 Ecuații parametrice și coordonate polare

11.1 Parametrizări ale curbelor plane

11.2 Calcul cu curbe parametrice

11.4 Graficarea ecuațiilor de coordonate polare

11.5 Zonele și lungimile în coordonate polare

11.7 Conice în coordonate polare

12 vectori și geometria spațiului

12.1 Sisteme de coordonate tridimensionale

12.5 Linii și avioane în spațiu

12.6 Cilindri și suprafețe quadric

13 Funcții și mișcare în spațiu cu valoare vectorială

13.1 Curbele în spațiu și tangențele lor

13.2 Integrale ale funcțiilor vectoriale Mișcarea proiectilului

13.4 Curbură și vectori normali ai unei curbe

13.5 Componente tangențiale și normale ale accelerației

13.6 Viteza și accelerația în coordonatele polare

14.1 Funcțiile mai multor variabile

14.2 Limite și continuitate în dimensiuni superioare

14.5 Derivate direcționale și vectori de gradient

14.6 Planuri tangențiale și diferențiale

14.7 Valori extreme și puncte de șa

14.9 Formula Taylor & # 8217s pentru două variabile

14.10 Derivate parțiale cu variabile constrânse

15.1 Integrale duble și iterate peste dreptunghiuri

15.2 Integrale duble peste regiuni generale

15.3 Zona prin dublă integrare

15.4 Integrale duble în formă polară

15.5 Integrale triple în coordonate dreptunghiulare
15.6 Momente și centre de masă


16.3: Independența căii, câmpurile conservatoare și funcțiile potențiale

În secțiunea anterioară am văzut că, dacă știm că câmpul vectorial ( vec F ) este conservator, atunci ( int limits_<< vec F centerdot d , vec r >> ) a fost independent de cale. La rândul său, aceasta înseamnă că putem evalua cu ușurință această integrală de linie, cu condiția să găsim o funcție potențială pentru ( vec F ).

În această secțiune dorim să analizăm două întrebări. În primul rând, având în vedere un câmp vector ( vec F ), există vreo modalitate de a determina dacă este un câmp vector conservator? În al doilea rând, dacă știm că ( vec F ) este un câmp vector conservator, cum putem găsi o funcție potențială pentru câmpul vectorial?

Prima întrebare este ușor de răspuns în acest moment dacă avem un câmp vectorial bidimensional. Pentru câmpurile vectoriale cu dimensiuni superioare, va trebui să așteptăm până la ultima secțiune din acest capitol pentru a răspunde la această întrebare. Acestea fiind spuse, să vedem cum o facem pentru câmpuri vectoriale bidimensionale.

Teorema

Fie ( vec F = P , vec i + Q , vec j ) un câmp vector pe o regiune deschisă și conectată simplu (D ). Atunci dacă (P ) și (Q ) au derivate parțiale continue de ordinul întâi în (D ) și

câmpul vectorial ( vec F ) este conservator.

Să aruncăm o privire la câteva exemple.

  1. ( vec F left ( right) = left (<- yx> right) vec i + left (<- xy> dreapta) vec j )
  2. ( vec F left ( right) = left (<2x << bf>^> + y << bf>^>> dreapta) vec i + left (<<< bf>^> + 2y> right) vec j )

Bine, într-adevăr nu există prea multe la acestea. Tot ce facem este să identificăm (P ) și (Q ) apoi să luăm câteva derivate și să comparăm rezultatele.

În acest caz, iată (P ) și (Q ) și derivatele parțiale corespunzătoare.

Deci, deoarece cele două derivate parțiale nu sunt aceleași, acest câmp vector NU este conservator.

Iată (P ) și (Q ), precum și derivatele corespunzătoare.

Cele două derivate parțiale sunt egale și deci acesta este un câmp vector conservator.

Acum, că știm cum să identificăm dacă un câmp vectorial bidimensional este conservator, trebuie să abordăm cum să găsim o funcție potențială pentru câmpul vectorial. Acesta este de fapt un proces destul de simplu. În primul rând, să presupunem că câmpul vector este conservator și deci știm că o funcție potențială, (f left ( right) ) există. Putem spune atunci că,

Sau stabilind componente egale pe care le avem,

Integrând fiecare dintre acestea în raport cu variabila adecvată putem ajunge la următoarele două ecuații.

Am văzut acest tip de integrală pe scurt la sfârșitul secțiunii despre integrale iterate din capitolul anterior.

De obicei, este mai bine să vedem cum folosim aceste două fapte pentru a găsi o funcție potențială într-un exemplu sau două.

  1. ( vec F = left (<2+ x> right) vec i + left (<2+ y> dreapta) vec j )
  2. ( vec F left ( right) = left (<2x << bf>^> + y << bf>^>> dreapta) vec i + left (<<< bf>^> + 2y> right) vec j )

Să identificăm mai întâi (P ) și (Q ) și apoi să verificăm dacă câmpul vector este conservator.

Deci, câmpul vector este conservator. Acum să găsim funcția potențială. Din primul fapt de mai sus știm că,

Din acestea putem vedea că

Putem folosi oricare dintre acestea pentru a începe procesul. Amintiți-vă că va trebui să fim atenți la „constanta integrării” pe care o alegem să o folosim integral. Pentru acest exemplu, să lucrăm cu prima integrală și astfel înseamnă că ne întrebăm ce funcție am diferențiat față de (x ) pentru a obține integrandul. Aceasta înseamnă că „constanta integrării” va trebui să fie o funcție a lui (y ), deoarece orice funcție constând numai din (y ) și / sau constante se va diferenția la zero atunci când se ia derivata parțială cu privire la (X).

Iată prima integrală.

unde (h left (y right) ) este „constanta integrării”.

Acum trebuie să determinăm (h left (y right) ). Acest lucru este mai ușor decât ar putea părea la început. Pentru a ajunge la acest punct, am folosit faptul că știm (P ), dar va trebui să folosim și faptul că știm (Q ) pentru a finaliza problema. Amintiți-vă că (Q ) este într-adevăr derivatul lui (f ) față de (y ). Deci, dacă ne diferențiem funcția față de (y ) știm care ar trebui să fie.

Deci, să diferențiem (f ) (inclusiv (h stânga (y dreapta) )) față de (y ) și să-l setăm egal cu (Q ), deoarece derivată este Ar trebui sa fie.

Din aceasta putem vedea că,

Observați că, de vreme ce (h ' left (y right) ) este doar o funcție a (y ), deci dacă există vreunul (x )' în ecuație în acest moment, vom ști că noi ' Am făcut o greșeală. În acest moment, găsirea (h left (y right) ) este simplă.

Deci, punând totul împreună, putem vedea că o funcție potențială pentru câmpul vector este,

Rețineți că putem verifica întotdeauna munca noastră verificând că ( nabla f = vec F ). De asemenea, rețineți că, deoarece (c ) poate fi orice, există un număr infinit de funcții potențiale posibile, deși acestea vor varia doar cu o constantă aditivă.

Bine, acesta va merge mult mai repede, deoarece nu este nevoie să trecem la fel de multe explicații. Am verificat deja că acest câmp vector este conservator în primul set de exemple, așa că nu ne vom deranja să refacem acest lucru.

Să începem cu următoarele,

Aceasta înseamnă că putem face oricare dintre următoarele integrale,

Deși putem face oricare dintre acestea, prima integrală ar fi oarecum neplăcută, deoarece ar trebui să facem integrarea pe părți pe fiecare porțiune. Pe de altă parte, a doua integrală este destul de simplă, deoarece al doilea termen implică doar (y ) și primul termen se poate face cu substituția (u = xy ). Deci, din a doua integrală obținem,

Observați că de data aceasta „constanta integrării” va fi o funcție de (x ). Dacă diferențiem acest lucru față de (x ) și setăm egal cu (P ) obținem,

Deci, în acest caz se pare că,

[h ' left (x right) = 0 hspace <0.25in> Rightarrow hspace <0.25in> h left (x right) = c ]

Deci, în acest caz „constanta integrării” a fost într-adevăr o constantă. Uneori acest lucru se va întâmpla și alteori nu.

Iată funcția potențială pentru acest câmp vector.

Acum, așa cum s-a menționat mai sus, nu avem (încă) o modalitate de a determina dacă un câmp vector tridimensional este conservator sau nu. Cu toate acestea, dacă ni se oferă faptul că un câmp vectorial tridimensional este conservator, găsirea unei funcții potențiale este similară cu procesul de mai sus, deși lucrarea va fi puțin mai implicată.

În acest caz, vom folosi faptul că,

Să aruncăm o privire rapidă asupra unui exemplu.

Bine, vom începe cu următoarele egalități.

Pentru a începe, putem integra primul cu privire la (x ), al doilea cu privire la (y ) sau al treilea cu privire la (z ). Să-l integrăm pe primul cu privire la (x ).

Rețineți că de data aceasta „constanta integrării” va fi o funcție atât a lui (y ), cât și (z ), deoarece diferențierea oricărui lucru din acea formă față de (x ) se va diferenția la zero.

Acum, putem diferenția acest lucru în raport cu (y ) și îl putem seta egal cu (Q ). Făcând acest lucru,

Desigur, va trebui să luăm derivata parțială a constantei de integrare, deoarece aceasta este o funcție a două variabile. Se pare că acum avem următoarele,

[stânga( right) = 0 hspace <0.5in> Rightarrow hspace <0.5in> g left ( right) = h left (z right) ]

Deoarece diferențierea (g left ( dreapta) ) în raport cu (y ) dă zero apoi (g left ( right) ) poate fi cel mult o funcție a (z ). Aceasta înseamnă că acum știm că funcția potențială trebuie să fie în următoarea formă.

Pentru a finaliza acest lucru, tot ce trebuie să facem este să diferențiem față de (z ) și să setăm rezultatul egal cu (R ).

[h ' left (z right) = 0 hspace <0.25in> Rightarrow hspace <0.25in> , , , h left (z right) = c ]

Funcția potențială pentru acest câmp vector este atunci,

Rețineți că, pentru a menține lucrările la minimum, am folosit o funcție potențială destul de simplă pentru acest exemplu. Ar fi putut fi posibil să ghiciți care funcție potențială s-a bazat pur și simplu pe câmpul vector. Cu toate acestea, ar trebui să fim atenți să ne amintim că, de obicei, acest lucru nu va fi cazul și deseori este necesar acest proces.

De asemenea, au existat alte câteva căi pe care am fi putut să le luăm pentru a găsi funcția potențială. Fiecare ne-ar fi obținut același rezultat.

Să lucrăm încă un exemplu ușor (și doar puțin) mai complicat.

Iată egalitățile pentru acest câmp vector.

Pentru acest exemplu, să-l integrăm pe al treilea în ceea ce privește (z ).

„Constanta integrării” pentru această integrare va fi o funcție atât a (x ), cât și (y ).

Acum, putem diferenția acest lucru în raport cu (x ) și îl putem seta egal cu (P ). Făcând acest lucru,

Deci, se pare că acum avem următoarele,

[stânga( right) = 2x cos left (y right) hspace <0.5in> Rightarrow hspace <0.5in> g left ( dreapta) = cos left (y right) + h left (y right) ]

Funcția potențială pentru această problemă este atunci,

Pentru a termina acest lucru, tot ce trebuie să facem este să diferențiem față de (y ) și să setăm rezultatul egal cu (Q ).

[h ' left (y right) = 3 hspace <0.25in> Rightarrow hspace <0.25in> , , , h left (y right) = 3y + c ]

The potential function for this vector field is then,

So, a little more complicated than the others and there are again many different paths that we could have taken to get the answer.

We need to work one final example in this section.

Now, we could use the techniques we discussed when we first looked at line integrals of vector fields however that would be particularly unpleasant solution.

Instead, let’s take advantage of the fact that we know from Example 2a above this vector field is conservative and that a potential function for the vector field is,

Using this we know that integral must be independent of path and so all we need to do is use the theorem from the previous section to do the evaluation.

[vec rleft( 1 ight) = leftlangle < - 2,1> ight angle hspace<0.5in>vec rleft( 0 ight) = leftlangle < - 1,0> ight angle ]


Probleme rezolvate

Faceți clic sau atingeți o problemă pentru a vedea soluția.

Exemplul 1

  1. (AB) is the line segment from (Aleft( <0,0> ight)) to (Bleft( <1,1> ight))
  2. (AB) is the parabola (y = ) from (Aleft( <0,0> ight)) to (Bleft( <1,1> ight)).

Exemplul 2

Exemplul 3

Exemplul 4

Exemplul 5

Exemplul 1.

  1. (AB) is the line segment from (Aleft( <0,0> ight)) to (Bleft( <1,1> ight))
  2. (AB) is the parabola (y = ) from (Aleft( <0,0> ight)) to (Bleft( <1,1> ight)).

Consider the first case. Obviously, the equation of the line is (y = x.) Then using the formula

If the curve (AB) is parabola (y = ,) we have

that is we have obtained the same answer.

Apply the test (><> ormalsize> = ><> ormalsize>) to determine if the vector field is conservative.

As it can be seen, the vector field (mathbf = left( ight)) is conservative. This explains the result that the line integral is path independent.


Conservative Vector Fields

Theorem. Dacă is a vector field in the plane, and P and Q have continuous partial derivatives on a region. the following four statements are equivalent:

1. for some function .

2. .

3. Dacă este un closed curve lying in the region --- i.e. a path which starts and ends at the same point --- then

4. ( Path independence) If și are paths in the region which start at the same point and end at the same point, then

To say that these statements are equivalent means that if one of them is true, then all of them are true (and if one of them is false, all of them are false). A field that satisfies any one of these conditions is a conservative field --- or sometimes a gradient field, or sometimes path independent.

Before I show that these statements are equivalent, I'll give a couple of examples.

Exemplu. Arata asta is a gradient field.

I want a function f such that , i.e.

Integrate the first equation with respect to x:

Since the integral is with respect to x, y is constant, and must be included in the arbitrary constant --- hence . Differentiate with respect to y and set the result equal to above:

I get , so . This time, D is a numeric constant. Since the derivative of a number is 0, and since I just want niste potential function (see the previous example), I might as well take . Atunci , so

Thus, if , then

Definition. A function f such that se numește a potential function pentru .

Exemplu. Lăsa și

Theorem. Presupune is a gradient field, and let pentru be a path. Atunci

In other words, to evaluate the integral of a gradient field, just plug the endpoints of the path ( și ) into the potential function (f).

The antiderivative of the derivative of is just , so

Exemplu. Compute , Unde

To compute this directly, you would need to do the integral

Instead, notice that if , atunci , which is the field in the integral. Hence, I can compute the integral by plugging the endpoints of the path into f.

(The fact that it comes out to 0, as opposed to a nonzero number, is a coincidence.) The important thing to notice is how easy it was to do the computation!

Now I will go back and prove that the four statements which define a conservative field are equivalent. To prove that they're equivalent, I must show that any one of them follows from any other. I will do it this way:

Dovadă. First, assume statement 1 is true, so for some f. De cand , this means that

But the two second derivatives are equal by equality of mixed partials, so . This is statement 2.

Next, assume statement 2 is true, so . Take a closed curve . I want to show that the integral around is 0. This follows from Green's theorem, which I'll discuss in more detail later. For now, note that the closed curve encloses a region R.

But the double integral on the right is 0, because . Therefore, the integral around a closed curve is 0, and that is statement 3.

Before I do the next step, here is some notation. Dacă is a curve, will denote the same curve traversed in the opposite direction.

If I traverse a curve backward, the line integral flips its sign:

Now assume statement 3 is true: The line integral around a closed curve is 0. Take curves și , both of which start at P and both of which end at Q. I need to show that

Rețineți că is a closed curve. So the integral around is 0:

The second integral is the negative of the integral along :

Finally, move the second integral to the other side:

This is what I wanted to prove, so statement 4 follows from statement 3.

Finally, suppose statement 4 is true: The field is path independent. I want to show that is a gradient field. I need to find a function f such that . To do this, take orice path din la și define

By path independence, it does not matter what path I choose. Now I have to show that și .

Consider the path from la made up of segments as shown below:

The horizontal part is pentru . The velocity vector is , și . Asa de

Therefore, the integral for the horizontal segment is

The vertical part is pentru . The velocity vector is și . Asa de

Therefore, the integral for the vertical segment is

The line integral along the whole path --- which by definition is f --- is

Remember that I was trying to show that și . Differentiate the last equation with respect to y.

The first integral only involves x, so its derivative with respect to y is 0. For the second integral, apply the Fundamental Theorem of Calculus: The y in the top limit replaces the t in the integrand and I get . Asa de

That is, f has the right y derivative.

If you take a path made up of segments going from la the "other way" --- along the y-axis, then horizontally --- you can show in similar fashion that . This proves that , which is statement 1.

And that finishes the proof that the four statements are equivalent.

The last part of the proof gives a way of constructing a potential function for a gradient field. It's perhaps not the best way for a human being to do this, but would be a reasonable approach if you were doing this on a computer.

Exemplu. Find a potential function for using the line integrals in the proof of the theorem.

I can find f using the formula

Here , so . Likewise, , so . Asa de

By the way, notice that is also a potential function for this field, since și . There are infinitely many potential functions for a gradient field they differ by a numerical constant.

So far, I've discussed vector fields in , 2 dimensions. There are few surprises when you move up to 3 dimensions.

Theorem. Lăsa be a 3-dimensional vector field, and assume its components have continuous partial derivatives. Then the following four statements are equivalent:

1. for some function .

2. .

3. Dacă este un closed curve --- i.e. a path which starts and ends at the same point --- then

4. ( Path independence) If și are paths which start at the same point and end at the same point, then

Once again, a field that satisfies any one of these conditions is a conservative field --- or sometimes a gradient field, or sometimes path independent.

The only change in moving from 2 dimensions to 3 dimensions is in statement 2. To see how this is related to the for a 2-dimensional field, take a field and regard it as a 3-dimensional field by making the third component 0, so

(Notice that, e.g., , because P does not contain any z's.) The condition is, in this case, the same as .

In fact, the components of should have continuous first partials, except perhaps at finitely many points. Here's the reason I can allow finitely many "bad points" in this case but none in the 2-dimensional case.

Think of a closed curve as a piece of string. In a rough sense, the reason why the integral of a conservative field around a closed curve is 0 is that the string can be "reeled in" to the basepoint without changing the integral.

When the curve has been reeled in to a single point, the integral over the curve is obviously 0.

In 2 dimensions, a curve can "get stuck" on a single bad point as you reel it in.

However, in 3 dimensions, you have enough room to move the curve around finitely many bad points as you reel it in.

Exemplu. Arata asta is conservative, and find a potential function for .

Prin urmare, is conservative. A potential function f must satisfy

Integrate the first equation with respect to x:

Since the integral is with respect to x, y and z are constant, and must be included in the arbitrary constant . Now differentiate with respect to y and set the result equal to above:

I find that , so integrating with respect to y,

This time, z is constant and must be included in the arbitrary constant . Plug this back into f it is

Finally, differentiate with respect to z and set the result equal to above:

I find that , so , where E is a numerical constant. As in an earlier example, I may take . This gives , so

Exemplu. Compute , Unde

You could compute the integral directly --- would you want to? There must be an easier way .

De cand , the field is conservative. If I can find a potential function, I can compute the integral by simply plugging the endpoints of the path into the potential function.

A potential function f must satisfy

Integrate the first equation with respect to x:

Since the integral is with respect to x, y and z are constant, and must be included in the arbitrary constant . Now differentiate with respect to y and set the result equal to above:

I find that , so integrating with respect to y,

This time, z is constant and must be included in the arbitrary constant . Plug this back into f it is

Finally, differentiate with respect to z and set the result equal to above:

I find that , so , where E is a numerical constant. As in an earlier example, I may take . This gives , so

The endpoints of the path are

Exemplu. is a path with positive components from a point P on to a point Q on . Compute , Unde

The path isn't given --- in fact, its endpoints aren't given. Prin urmare, the path must not matter, i.e. the integral is probably path independent. In fact, , for . Prin urmare,

Now Q is on , so for this point . Likewise, P is on , so for this point . Prin urmare,


Conservative Vector Fields

  • Misc
    • Sign up for problem set 10 appointments
    • Section 16.3
      • Confusing, connections between pieces?
      • Intuitively, connected means you can draw a possibly curved line between any 2 points in the set without leaving the set
      • Simply connected means any circle in the set can be pulled tight into a point without leaving the set
      • Path independence ?
        • You saw an example when we integrated work over 2 flights of stairs that reached the same height&mdashthe integrals were the same, independent of the path of the stairs
        • Integral of F same over all paths
        • Equivalent to field being conservative
        • Main new thing here is name &ldquopotential function,&rdquo a label that&rsquos useful for talking about integrals of conservative fields
        • f is potential function for F
        • This basically just states a useful connection between 2 kinds of vector fields
        • That the integral is 0 follows from the fundamental theorem
        • But other direction also interesting, i.e., if you find that integrals around closed loops are always 0 then you know your field is conservative
        • Unintuitive now, but we may be able to see where this comes from in a week or so
        • M(x,y,z) dx + N(x,y,z) dy + P(x,y,z) dz
        • Exactness captures the differential form of those line integrals that happen to be of vector fields
        • Let f(x,y,z) = x(y-sin(z 2 )) / (z 2 + e xy ), let F = grad f, and let C be the curve x = sint cost, y = t 2 (&pi/2-t), z = &pi, 0 &le t &le &pi/2
          • Find the integral of F around C
            • 0, by closed loop theorem and because F is conservative&mdashit&rsquos a gradient field
            • By fundamental theorem, integral = f(1, 0, &radic(&pi/2) ) - f( 0, 0, 0 )
            • = 1 ( 0-sin(&pi/2) ) / ( &pi/2 + e 0 ) - f(0,0,0) = -1 / (&pi/2 + 1) - 0
            • Component test says it is
            • So also find potential function
            • Green&rsquos Theorem
            • Read section 16.4

            Math Insight

            Many physical force fields (vector fields) that you are familiar with are conservative vector fields. The term comes from the fact that some kind of energy is conserved by these force fields. The important consequence for us, though, is that as you move an object from point $vc$ to point $vc$, the work performed by a conservative force field does nu depend on the path taken from point $vc$ to point $vc$. For this reason, we often refer to such vector fields as path-independent vector fields. Path-independent and conservative are just two terms that mean the same thing.

            For example, imagine you have to carry a heavy box from your front door to your bedroom upstairs. Because of the gravity (which can be viewed as a force field), you have to do work to carry the box up.

            Here we mean the scientific definition of work, which is force times distance. Although it may feel like work to move the box from one room to another on the same floor, the actual work done against gravity is zero.

            Next, imagine that you have two stairways in your house: a gently sloping front staircase, and a steep back staircase. Since the gravitational field is a conservative vector field, the work you must do against gravity is exactly the same if you take the front or the back staircase. As long as the box starts in the same position and ends in the same position, the total work is the same. (In fact, if you decided to first carry the box to your neighbor's house, then carry it up and down your backyard tree, and then in your back door before taking it upstairs, it wouldn't make a difference for this scientific definition of work. The net work you performed against gravity would be the same.)

            The line integral of a vector field can be viewed as the total work performed by the force field on an object moving along the path. For the above gravity example, we discussed the work you performed against the gravity field, which is exactly opposite the work performed de the gravity field. We'd need to multiply the line integral by $-1$ to get the work you performed against the gravity field, but that's a technical point we don't need to worry much about.

            The vector field $dlvf(x,y)=(x,y)$ is a conservative vector field. (You can read how to test for path-independence later. For now, take it on faith.) It is illustrated by the black arrows in the below figure. We want to compute the integral egin dlint end where $dlc$ is a path from the point $vc=(3,-3)$ (shown by the cyan square) to the point $vc=(2,4)$ (shown by the magenta square). Since $dlvf$ is path-independent, we don't need to know anything else about the path $dlc$ to compute the line integral. Later, you'll learn to compute that the value of the integral is 1, as shown by the magenta line on the slider below the figure.

            The below applet demonstrate the path-independence of $dlvf$, as one can see that the integrals along three different paths give the same value. The vector field appears to be path-independent, as promised. (You'd have to check all the infinite number of possible paths from all points $vc$ to all points $vc$ to determine that $dlvf$ was really path-independent. Fortunately, you'll learn some simpler methods.)


            16.3: Path Independence, Conservative Fields, and Potential Functions

            Math 2321 (Multivariable Calculus), Spring 2021



            Course Information
            Instructor Class Times Office Hours
            Evan Dummit
            edummit at northeastern dot edu
            (Sec 04) MWR, 1:35pm-2:40pm
            (Sec 12) MWR, 4:35pm-5:40pm
            Online, via Zoom
            W 3:00pm-4:15pm
            R 12:15pm-1:15pm
            Online, via Zoom
            I am teaching two sections of Math 2321, corresponding to the two lecture times listed. You are requested to attend your assigned lecture, but in the event you are not able, you are allowed to attend the other one (the lectures will cover the same content at the same pace). All lectures will be recorded and made available for on-demand viewing at any time.
            Math 2321 uses a Piazza page for course discussion. Links to all of the live lectures, office hours, problem sessions, and lecture recordings are hosted there.
            Teaching Assistant Recitation Time Office Hours
            Anupam Kumar
            kumar.anupa at northeastern dot edu
            M, 2:50pm-4:30pm
            Online, via Zoom
            TBA
            Online, via Zoom
            For detailed information about the course, please consult the 2321 Course Syllabus. (Note: any information given in class or on this webpage supersedes the written syllabus.)
            All homework assignments are available on the 2321 WeBWorK page.

            Lecture Slides
            These are the slides used during the lectures. They will usually be posted ahead of the lecture time.
            Data Material
            Wed, Jan 20th
            Thu, Jan 21st
            Lecture 1: Welcome + 3D Graphing (Notes 1.1)
            Lecture 2: Vectors + Dot Products (Notes 1.2.1-1.2.2)
            Mon, Jan 25th
            Wed, Jan 27th
            Thu, Jan 28th
            Lecture 3: Cross Products, Lines and Planes (Notes 1.2.3-1.2.4)
            Lecture 4: Lines and Planes, Vector-Valued Functions (Notes 1.2.4-1.3.1)
            Lecture 5: Parametric Curves, Motion in 3-Space (Notes 1.3.1-1.3.2)
            Mon, Feb 1st
            Wed, Feb 3rd
            Thu, Feb 4th
            Lecture 6: Limits and Partial Derivatives (Notes 2.1)
            Lecture 7: Directional Derivatives and Gradients (Notes 2.2.1)
            Lecture 8: Tangent Lines and Planes, Linearization (Notes 2.2.2 + 2.4.1)
            Mon, Feb 8th
            Wed, Feb 10th
            Thu, Feb 11th
            Lecture 9: The Chain Rule + Implicit Differentiation (Notes 2.3)
            Lecture 10: Critical Points, Minima + Maxima (Notes 2.5.1)
            Lecture 11: Optimization on a Region (Notes 2.5.2)
            Mon, Feb 15th
            Wed, Feb 17th
            Thu, Feb 18th
            No class university holiday.
            Lecture 12: Midterm 1 Review, part 1
            Lecture 13: Midterm 1 Review, part 2
            Mon, Feb 22nd
            Wed, Feb 24th
            Thu, Feb 25th
            Lecture 14: Lagrange Multipliers (Notes 2.6) [Typos fixed]
            Lecture 15: Double Integrals (Notes 3.1.1-3.1.2)
            Lecture 16: Computing Double Integrals (Notes 3.1.2-3.1.3)
            Mon, Mar 1st
            Wed, Mar 3rd
            Thu, Mar 4th
            Lecture 17: Double Integrals in Polar Coordinates (Notes 3.3.2)
            Lecture 18: Triple Integrals in Rectangular Coordinates (Notes 3.2)
            Lecture 19: Change of Coordinates, Cylindrical Coordinates (Notes 3.3.1 + 3.3.3)
            Mon, Mar 8th
            Wed, Mar 10th
            Thu, Mar 11th
            Lecture 20: Triple Integrals in Cylindrical and Spherical (Notes 3.3.3-3.3.4)
            Lecture 21: More Cylindrical and Spherical + Areas, Volumes (Notes 3.3.3-3.4.1)
            Lecture 22: Areas, Volumes, Masses, and Moments (Notes 3.4.1-3.4.2)
            Mon, Mar 15th
            Wed, Mar 17th
            Thu, Mar 18th
            Lecture 23: Line Integrals (Notes 4.1)
            Lecture 24: Midterm 2 Review, part 1
            Lecture 25: Midterm 2 Review, part 2
            Mon, Mar 22nd
            Wed, Mar 24th
            Thu, Mar 25th
            Lecture 26: Parametric Surfaces (Notes 4.2.1)
            Classes cancelled ("CARE Day")
            Lecture 27: Surface Integrals (Notes 4.2.2)
            Mon, Mar 29th
            Wed, Mar 31st
            Thu, Apr 1st
            Lecture 28: Vector Fields, Work, Circulation, and Flux (Notes 4.3.1-4.3.2)
            Lecture 29: Flux Across Surfaces (Notes 4.3.3)
            Lecture 30: Conservative Fields and Potential Functions (Notes 4.4)
            Mon, Apr 5th
            Wed, Apr 7th
            Thu, Apr 8th
            Lecture 31: Green's Theorem (Notes 4.5)
            Lecture 32: Midterm 3 Review, part 1
            Lecture 33: Midterm 3 Review, part 2
            Mon, Apr 12th
            Wed, Apr 14th
            Thu, Apr 15th
            Classes cancelled ("CARE Day")
            Lecture 34: Stokes's Theorem and the Divergence Theorem (Notes 4.6)
            Lecture 35: Applications of Vector Calculus, part 1 (Notes 4.7.1)
            Mon, Apr 19th
            Wed, Apr 21st
            Lecture 36: Applications of Vector Calculus, part 2 (Notes 4.7.2-4.7.4)
            Lecture 37: Final Exam Review, part 1
            Tue, Apr 27th Review: Final Exam Review, part 2

            Functions of Several Variables and 3-Space
            1.2

            Vectors, Dot and Cross Products, Lines and Planes
            1.3

            Limits and Partial Derivatives
            2.2

            Directional Derivatives and the Gradient
            2.3

            Local Extreme Points and Optimization
            2.6

            Double Integrals in Rectangular Coordinates
            3.2

            Triple Integrals in Rectangular Coordinates
            3.3

            Alternative Coordinate Systems and Changes of Variable
            3.4

            Surfaces and Surface Integrals
            4.3

            Vector Fields, Work, Circulation, Flux
            4.4

            Conservative Vector Fields, Path-Independence, and Potential Functions
            4.5


            Priveste filmarea: MINI REVELIONUL PARTIDULUI CONSERVATOR (August 2022).