Articole

4.2: Evenimente independente și care se exclud reciproc - Matematică

4.2: Evenimente independente și care se exclud reciproc - Matematică


We are searching data for your request:

Forums and discussions:
Manuals and reference books:
Data from registers:
Wait the end of the search in all databases.
Upon completion, a link will appear to access the found materials.

Independent și care se exclud reciproc nu înseamnă același lucru.

Evenimente independente

Două evenimente sunt independente dacă următoarele sunt adevărate:

  • (P ( text {A | B}) = P ( text {A}) )
  • (P ( text {B | A}) = P ( text {B}) )
  • (P ( text {A AND B}) = P ( text {A}) P ( text {B}) )

Două evenimente ( text {A} ) și ( text {B} ) sunt independente dacă cunoașterea faptului că a avut loc nu afectează șansa apariției celeilalte. De exemplu, rezultatele a două roluri ale unei morți echitabile sunt evenimente independente. Rezultatul primei aruncări nu modifică probabilitatea rezultatului celei de a doua aruncări. Pentru a arăta că două evenimente sunt independente, trebuie să afișați doar una dintre condițiile de mai sus. Dacă două evenimente NU sunt independente, atunci spunem că sunt dependente.

Eșantionarea unei populații

Eșantionarea se poate face cu înlocuire sau fără înlocuire (Figura ( PageIndex {1} )):

  • Cu înlocuire: Dacă fiecare membru al unei populații este înlocuit după ce a fost ales, atunci acel membru are posibilitatea de a fi ales de mai multe ori. Când eșantionarea se face cu înlocuire, atunci evenimentele sunt considerate a fi independent, adică rezultatul primei alegeri nu va schimba probabilitățile pentru a doua alegere.
  • Fără înlocuire: Când eșantionarea se face fără înlocuire, fiecare membru al unei populații poate fi ales o singură dată. În acest caz, probabilitățile pentru a doua alegere sunt afectate de rezultatul primei alegeri. Evenimentele sunt considerate a fi dependent sau nu independent.

Figura ( PageIndex {1} ): O reprezentare vizuală a procesului de eșantionare. Dacă elementele de eșantionare sunt înlocuite după fiecare eveniment de eșantionare, atunci acesta este „eșantionare cu înlocuire” dacă nu, atunci este „eșantionare fără înlocuire”. Imagine folosită cu permisiune (CC BY-SA 4.0; Dan Kernler).

Dacă nu se știe dacă ( text {A} ) și ( text {B} ) sunt independente sau dependente, presupuneți că sunt dependente până când puteți arăta altfel.

Exemplu ( PageIndex {1} ): eșantionare cu și fără înlocuire

Aveți un pachet corect, bine amestecat, de 52 de cărți. Se compune din patru costume. Costumele sunt cluburi, diamante, inimi și pică. Există 13 cărți în fiecare costum constând din 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ( text {J} ) (jack), ( text {Q} ) (regină), ( text {K} ) (rege) din acel proces.

A. Eșantionare cu înlocuire:

Să presupunem că alegeți trei cărți cu înlocuire. Prima carte pe care o alegeți din cele 52 de cărți este ( text {Q} ) de pică. Pui această carte înapoi, remaniează cărțile și alegi o a doua carte din pachetul de 52 de cărți. Este zece cluburi. Pui această carte înapoi, remaniează cărțile și alegi o a treia carte din pachetul de 52 de cărți. De data aceasta, cardul este din nou ( text {Q} ) de pică. Alegerile dvs. sunt { ( text {Q} ) de pică, zece de cluburi, ( text {Q} ) de pică}. Ați ales ( text {Q} ) de pică de două ori. Alegeți fiecare carte din pachetul de 52 de cărți.

b. Eșantionare fără înlocuire:

Să presupunem că alegeți trei cărți fără înlocuire. Prima carte pe care o alegeți din cele 52 de cărți este ( text {K} ) a inimilor. Pui această carte deoparte și alegi a doua carte din cele 51 de cărți rămase în pachet. Este vorba de trei dintre diamante. Puneți această carte deoparte și alegeți a treia carte dintre cele 50 de cărți rămase din pachet. A treia carte este ( text {J} ) de pică. Opțiunile dvs. sunt { ( text {K} ) de inimi, trei de diamante, ( text {J} ) de pică}. Deoarece ați ales cărțile fără înlocuire, nu puteți alege aceeași carte de două ori.

Exercițiu ( PageIndex {1} )

Aveți un pachet corect, bine amestecat, de 52 de cărți. Există 13 cărți în fiecare costum constând din 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ( text {J} ) (jack), ( text {Q} ) (regină), ( text {K} ) (rege) din acel proces. Trei cărți sunt alese la întâmplare.

  1. Să presupunem că știți că cărțile alese sunt ( text {Q} ) de pică, ( text {K} ) de inimă și ( text {Q} ) de pică. Puteți decide dacă eșantionarea a fost cu sau fără înlocuire?
  2. Să presupunem că știți că cărțile alese sunt ( text {Q} ) de pică, ( text {K} ) de inimă și ( text {J} ) de pică. Puteți decide dacă eșantionarea a fost cu sau fără înlocuire?

Răspuns

  1. Cu înlocuire
  2. Nu

Exemplu ( PageIndex {2} )

Aveți un pachet corect, bine amestecat, de 52 de cărți. Costumele sunt cluburi, diamante, inimi și pică. Există 13 cărți în fiecare costum constând din 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ( text {J} ) (jack), ( text {Q} ) (regină) și ( text {K} ) (rege) din acel proces. ( text {S} = ) pică, ( text {H} = ) Hearts, ( text {D} = ) Diamante, ( text {C} = ) Cluburi.

  1. Să presupunem că alegeți patru cărți, dar nu puneți nici o carte înapoi în pachet. Cardurile dvs. sunt ( text {QS}, 1 text {D}, 1 text {C}, text {QD} ).
  2. Să presupunem că alegeți patru cărți și puneți fiecare carte înapoi înainte de a alege următoarea carte. Cardurile dvs. sunt ( text {KH}, 7 text {D}, 6 text {D}, text {KH} ).

Care dintre. sau b. ai probat cu înlocuire și care ai probat fără înlocuire?

Soluţie

  1. Fără înlocuire
  2. Cu înlocuire

Exercițiu ( PageIndex {2} )

Aveți un pachet corect, bine amestecat, de 52 de cărți. ( text {S} = ) pică, ( text {H} = ) Hearts, ( text {D} = ) Diamante, ( text {C} = ) Cluburi. Să presupunem că probați patru cărți fără înlocuire. Care dintre următoarele rezultate sunt posibile? Răspundeți la aceeași întrebare pentru eșantionare cu înlocuire.

  1. ( text {QS}, 1 text {D}, 1 text {C}, text {QD} )
  2. ( text {KH}, 7 text {D}, 6 text {D}, text {KH} )
  3. ( text {QS}, 7 text {D}, 6 text {D}, text {KS} )

Răspuns

fără înlocuire: a. Posibil; b. Imposibil, c. Posibil

cu înlocuire: a. Posibil; c. Posibil, c. Posibil

Evenimente care se exclud reciproc

( text {A} ) și ( text {B} ) sunt evenimente care se exclud reciproc dacă sunt nu poti apar în același timp. Aceasta înseamnă că ( text {A} ) și ( text {B} ) nu împărtășesc niciun rezultat și (P ( text {A ȘI B}) = 0 ).

De exemplu, să presupunem că spațiul eșantionului

[S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 }. ]

Fie ( text {A} = {1, 2, 3, 4, 5 }, text {B} = {4, 5, 6, 7, 8 } ) și ( text {C} = {7, 9 } ). ( text {A ȘI B} = {4, 5 } ).

[P ( text {A ȘI B}) = dfrac {2} {10} ]

și nu este egal cu zero. Prin urmare, ( text {A} ) și ( text {B} ) nu se exclud reciproc. ( text {A} ) și ( text {C} ) nu au niciun număr în comun, așa că (P ( text {A ȘI C}) = 0 ). Prin urmare, ( text {A} ) și ( text {C} ) se exclud reciproc.

Dacă nu se știe dacă ( text {A} ) și ( text {B} ) se exclud reciproc, presupuneți că nu sunt până când nu puteți arăta altfel. Următoarele exemple ilustrează aceste definiții și termeni.

Exemplu ( PageIndex {3} )

Întoarceți două monede corecte.

Spațiul eșantion este ( {HH, HT, TH, TT } ) unde (T = ) cozi și (H = ) capete. Rezultatele sunt (HH, HT, TH ) și (TT ). Rezultatele (HT ) și (TH ) sunt diferite. (HT ) înseamnă că prima monedă arăta capete și a doua monedă arăta cozi. (TH ) înseamnă că prima monedă arăta cozi și a doua monedă arăta capete.

  • Permiteți ( text {A} = ) evenimentul de obținere cel mult o coadă. (Cel mult o coadă înseamnă zero sau o coadă.) Apoi ( text {A} ) poate fi scris ca ( {HH, HT, TH } ). Rezultatul (HH ) arată zero cozi. (HT ) și (TH ) arată fiecare câte o coadă.
  • Fie ( text {B} = ) evenimentul de a obține toate cozile. ( text {B} ) poate fi scris ca ( {TT } ). ( text {B} ) este completa din ( text {A} ), deci ( text {B} = text {A ′} ). De asemenea, (P ( text {A}) + P ( text {B}) = P ( text {A}) + P ( text {A ′}) = 1 ).
  • Probabilitățile pentru ( text {A} ) și pentru ( text {B} ) sunt (P ( text {A}) = dfrac {3} {4} ) și (P ( text {B}) = dfrac {1} {4} ).
  • Fie ( text {C} = ) evenimentul de a obține toate capetele. ( text {C} = {HH } ). Din moment ce ( text {B} = {TT } ), (P ( text {B ȘI C}) = 0 ). ( text {B} ) și Care se exclud reciproc. ( text {B} ) și ( text {C} ) nu au membri în comun, deoarece nu puteți avea toate cozile și toate capetele în același timp.)
  • Fie ( text {D} = ) eveniment de obținere mai mult de o coadă. ( text {D} = {TT } ). (P ( text {D}) = dfrac {1} {4} )
  • Fie ( text {E} = ) evenimentul de a obține un cap în prima rundă. (Acest lucru implică că puteți obține fie un cap, fie o coadă pe a doua rulare.) ( Text {E} = {HT, HH } ). (P ( text {E}) = dfrac {2} {4} )
  • Găsiți probabilitatea de a obține cel puțin unul (una sau două) coadă în două flip-uri. Fie ( text {F} = ) evenimentul de a obține cel puțin o coadă în două flip-uri. ( text {F} = {HT, TH, TT } ). (P ( text {F}) = dfrac {3} {4} )

Exercițiu ( PageIndex {3} )

Trage două cărți dintr-un pachet standard de 52 de cărți cu înlocuire. Găsiți probabilitatea de a obține cel puțin un card negru.

Răspuns

Spațiul eșantion pentru extragerea a două cărți cu înlocuirea dintr-un pachet standard de 52 de cărți în ceea ce privește culoarea este ( {BB, BR, RB, RR } ).

Eveniment (A = ) Obținerea a cel puțin unui card negru (= {BB, BR, RB } )

(P ( text {A}) = dfrac {3} {4} = 0,75 )

Exemplu ( PageIndex {4} )

Întoarceți două monede corecte. Găsiți probabilitățile evenimentelor.

  1. Fie ( text {F} = ) evenimentul de a obține cel mult o coadă (zero sau o coadă).
  2. Fie ( text {G} = ) evenimentul de a obține două fețe identice.
  3. Fie ( text {H} = ) evenimentul de a obține un cap pe primul flip urmat de un cap sau coadă pe al doilea flip.
  4. Sunt ( text {F} ) și ( text {G} ) se exclud reciproc?
  5. Fie ( text {J} = ) evenimentul de a obține toate cozile. Sunt ( text {J} ) și ( text {H} ) se exclud reciproc?

Soluţie

Uitați-vă la spațiul de probă din Exemplu ( PageIndex {3} ).

  1. Zero (0) sau una (1) cozi apar atunci când rezultatele (HH, TH, HT ) apar. (P ( text {F}) = dfrac {3} {4} )
  2. Două fețe sunt aceleași dacă apar (HH ) sau (TT ). (P ( text {G}) = dfrac {2} {4} )
  3. Un cap pe primul flip urmat de un cap sau coadă pe al doilea flip apare atunci când apar (HH ) sau (HT ). (P ( text {H}) = dfrac {2} {4} )
  4. ( text {F} ) și ( text {G} ) share (HH ) deci (P ( text {F ȘI G}) ) nu este egal cu zero (0). ( text {F} ) și ( text {G} ) nu se exclud reciproc.
  5. Obținerea tuturor cozilor apare atunci când cozile apar pe ambele monede ( (TT )). Rezultatele ( text {H} ) sunt (HH ) și (HT ).

( text {J} ) și ( text {H} ) nu au nimic în comun așa că (P ( text {J AND H}) = 0 ). ( text {J} ) și ( text {H} ) se exclud reciproc.

Exercițiu ( PageIndex {4} )

O cutie are două bile, una albă și una roșie. Selectăm o minge, o punem înapoi în cutie și selectăm oa doua minge (eșantionare cu înlocuire). Găsiți probabilitatea următoarelor evenimente:

  1. Fie ( text {F} = ) evenimentul de a obține bila albă de două ori.
  2. Fie ( text {G} = ) evenimentul de a obține două bile de culori diferite.
  3. Fie ( text {H} = ) evenimentul de a deveni alb la prima alegere.
  4. Sunt ( text {F} ) și ( text {G} ) se exclud reciproc?
  5. Sunt ( text {G} ) și ( text {H} ) se exclud reciproc?

Răspuns

  1. (P ( text {F}) = dfrac {1} {4} )
  2. (P ( text {G}) = dfrac {1} {2} )
  3. (P ( text {H}) = dfrac {1} {2} )
  4. da
  5. Nu

Exemplu ( PageIndex {5} )

Trageți o matriță corectă, cu șase fețe. Spațiul eșantion este {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Permiteți evenimentului ( text {A} = ) o față să fie ciudată. Apoi ( text {A} = {1, 3, 5 } ). Permiteți evenimentului ( text {B} = ) o față să fie uniformă. Apoi ( text {B} = {2, 4, 6 } ).

  • Găsiți complementul lui ( text {A} ), ( text {A ′} ). Complementul lui ( text {A} ), ( text {A ′} ), este ( text {B} ) deoarece ( text {A} ) și ( text { B} ) formează împreună spațiul eșantion. (P ( text {A}) + P ( text {B}) = P ( text {A}) + P ( text {A ′}) = 1 ). De asemenea, (P ( text {A}) = dfrac {3} {6} ) și (P ( text {B}) = dfrac {3} {6} ).
  • Permiteți evenimentului ( text {C} = ) fețelor impare mai mari de două. Apoi ( text {C} = {3, 5 } ). Lăsați evenimentul ( text {D} = ) toate chipurile egale mai mici de cinci. Apoi ( text {D} = {2, 4 } ). (P ( text {C AND D}) = 0 ) deoarece nu puteți avea o față impar și pare în același timp. Prin urmare, ( text {C} ) și ( text {D} ) sunt evenimente care se exclud reciproc.
  • Lăsați evenimentul ( text {E} = ) toate fețele mai mici de cinci. ( text {E} = {1, 2, 3, 4 } ).

Sunt ( text {C} ) și ( text {E} ) evenimente care se exclud reciproc? (Răspundeți da sau nu.) De ce sau de ce nu?

Răspuns

Nu ( text {C} = {3, 5 } ) și ( text {E} = {1, 2, 3, 4 } ). (P ( text {C ȘI E}) = dfrac {1} {6} ). Pentru a se exclude reciproc, (P ( text {C ȘI E}) ) trebuie să fie zero.

  • Găsiți (P ( text {C | A}) ). Aceasta este o probabilitate condiționată. Reamintim că evenimentul ( text {C} ) este {3, 5} și evenimentul ( text {A} ) este {1, 3, 5}. Pentru a găsi (P ( text {C | A}) ), găsiți probabilitatea ( text {C} ) folosind spațiul eșantion ( text {A} ). Ați redus spațiul eșantion de la spațiul eșantion original {1, 2, 3, 4, 5, 6} la {1, 3, 5}. Deci, (P ( text {C | A}) = dfrac {2} {3} ).

Exercițiu ( PageIndex {5} )

Permiteți evenimentului ( text {A} = ) să învețe limba spaniolă. Să eveniment ( text {B} ) = să învețe limba germană. Apoi ( text {A ȘI B} ) = învățarea spaniolă și germană. Să presupunem că (P ( text {A}) = 0,4 ) și (P ( text {B}) = 0,2 ). (P ( text {A ȘI B}) = 0,08 ). Evenimentele ( text {A} ) și ( text {B} ) sunt independente? Sugestie: trebuie să afișați UNUL dintre următoarele:

  • (P ( text {A | B}) = P ( text {A}) )
  • (P ( text {B | A}) )
  • (P ( text {A AND B}) = P ( text {A}) P ( text {B}) )

Răspuns

[P ( text {A | B}) = dfrac { text {P (A ȘI B)}} {P ( text {B})} = dfrac {0.08} {0.2} = 0.4 = P ( text {A}) ]

Evenimentele sunt independente deoarece (P ( text {A | B}) = P ( text {A}) ).

Exemplu ( PageIndex {6} )

Permiteți evenimentului ( text {G} = ) să ia o clasă de matematică. Permiteți evenimentului ( text {H} = ) să ia o clasă de știință. Apoi, ( text {G AND H} = ) luând o clasă de matematică și o știință. Să presupunem că (P ( text {G}) = 0,6 ), (P ( text {H}) = 0,5 ) și (P ( text {G ȘI H}) = 0,3 ). Sunt ( text {G} ) și ( text {H} ) independenți?

Dacă ( text {G} ) și ( text {H} ) sunt independente, atunci trebuie să afișați UNU dintre următoarele:

  • (P ( text {G | H}) = P ( text {G}) )
  • (P ( text {H | G}) = P ( text {H}) )
  • (P ( text {G AND H}) = P ( text {G}) P ( text {H}) )

Alegerea pe care o faceți depinde de informațiile pe care le aveți. Puteți alege oricare dintre metodele de aici, deoarece aveți informațiile necesare.

  1. A. Arată că (P ( text {G | H}) = P ( text {G}) ).
  2. b. Afișați (P ( text {G ȘI H}) = P ( text {G}) P ( text {H}) ).

Soluţie

  1. (P ( text {G | H}) = dfrac {P ( text {G AND H})} {P ( text {H})} = dfrac {0.3} {0.5} = 0.6 = P( ext{G}))
  2. (P ( text {G}) P ( text {H}) = (0,6) (0,5) = 0,3 = P ( text {G ȘI H}) )

Întrucât ( text {G} și text {H} ) sunt independenți, știința faptului că o persoană urmează un curs de știință nu schimbă șansa ca acesta să urmeze un curs de matematică. Dacă cele două evenimente nu ar fi fost independente (adică sunt dependente), atunci știind că o persoană urmează un curs de știință ar schimba șansa de a lua matematică. Pentru practică, arătați că (P ( text {H | G}) = P ( text {H}) ) pentru a arăta că ( text {G} ) și ( text {H} ) sunt evenimente independente.

Exercițiu ( PageIndex {6} )

Într-o pungă, există șase bile roșii și patru bile verzi. Marmurile roșii sunt marcate cu numerele 1, 2, 3, 4, 5 și 6. Marmurile verzi sunt marcate cu numerele 1, 2, 3 și 4.

  • ( text {R} = ) o marmură roșie
  • ( text {G} = ) o marmură verde
  • ( text {O} = ) o marmură cu număr impar
  • Spațiul eșantion este ( text {S} = {R1, R2, R3, R4, R5, R6, G1, G2, G3, G4 } ).

( text {S} ) are zece rezultate. Ce este (P ( text {G AND O}) )?

Răspuns

Eveniment ( text {G} ) și ( text {O} = {G1, G3 } )

(P ( text {G și O}) = dfrac {2} {10} = 0,2 )

Exemplu ( PageIndex {7} )

Permiteți evenimentului ( text {C} = ) să ia un curs de engleză. Permiteți evenimentului ( text {D} = ) să ia o clasă de vorbire.

Să presupunem că (P ( text {C}) = 0,75 ), (P ( text {D}) = 0,3 ), (P ( text {C | D}) = 0,75 ) și ( P ( text {C ȘI D}) = 0,225 ).

Justificați numeric răspunsurile la următoarele întrebări.

  1. Sunt ( text {C} ) și text {D} ) independenți?
  2. Sunt ( text {C} ) și ( text {D} ) se exclud reciproc?
  3. Ce este (P ( text {D | C}) )?

Soluţie

  1. Da, pentru că (P ( text {C | D}) = P ( text {C}) ).
  2. Nu, deoarece (P ( text {C ȘI D}) ) nu este egal cu zero.
  3. (P ( text {D | C}) = dfrac {P ( text {C AND D})} {P ( text {C})} = dfrac {0.225} {0.75} = 0.3 )

Exercițiu ( PageIndex {7} )

Un student merge la bibliotecă. Permiteți evenimentelor ( text {B} = ) studentul să verifice o carte și ( text {D} = ) studentul să verifice un DVD.Să presupunem că (P ( text {B}) = 0,40 ), (P ( text {D}) = 0,30 ) și (P ( text {B AND D}) = 0,20 ).

  1. Găsiți (P ( text {B | D}) ).
  2. Găsiți (P ( text {D | B}) ).
  3. Sunt ( text {B} ) și ( text {D} ) independenți?
  4. Sunt ( text {B} ) și ( text {D} ) se exclud reciproc?

Răspuns

  1. (P ( text {B | D}) = 0.6667 )
  2. (P ( text {D | B}) = 0,5 )
  3. Nu
  4. Nu

Exemplu ( PageIndex {8} )

Într-o cutie sunt trei cărți roșii și cinci cărți albastre. Cărțile roșii sunt marcate cu numerele 1, 2 și 3, iar cărțile albastre sunt marcate cu numerele 1, 2, 3, 4 și 5. Cărțile sunt bine amestecate. Ajungi în cutie (nu poți vedea în ea) și tragi o carte.

Lăsa

  • ( text {R =} ) este extras cartonașul roșu,
  • ( text {B} = ) este desenată cartonașul albastru,
  • ( text {E} = ) este extras un card par.

Spațiul eșantion (S = R1, R2, R3, B1, B2, B3, B4, B5 ).

(S ) are opt rezultate.

  • (P ( text {R}) = dfrac {3} {8} ). (P ( text {B}) = dfrac {5} {8} ). (P ( text {R ȘI B}) = 0 ). (Nu puteți extrage o singură carte roșie și albastră.)
  • (P ( text {E}) = dfrac {3} {8} ). (Există trei cărți cu număr par, (R2, B2 ) și (B4 ).)
  • (P ( text {E | B}) = dfrac {2} {5} ). (Există cinci cărți albastre: (B1, B2, B3, B4 ) și (B5 ). Din cărțile albastre există două cărți pare; (B2 ) și (B4 ). )
  • (P ( text {B | E}) = dfrac {2} {3} ). (Există trei cărți cu număr par: (R2, B2 ) și (B4 ). Din cărțile cu număr par, sunt albastre; (B2 ) și (B4 ).)
  • Evenimentele ( text {R} ) și ( text {B} ) se exclud reciproc deoarece (P ( text {R ȘI B}) = 0 ).
  • Permiteți cardului ( text {G} = ) cu un număr mai mare de 3. ( text {G} = {B4, B5 } ). (P ( text {G}) = dfrac {2} {8} ). Fie ( text {H} = ) cartonaș albastru numerotat între unu și patru, inclusiv. ( text {H} = {B1, B2, B3, B4 } ). (P ( text {G | H}) = frac {1} {4} ). (Singura carte din ( text {H} ) care are un număr mai mare de trei este B4.) Deoarece ( dfrac {2} {8} = dfrac {1} {4} ), ( P ( text {G}) = P ( text {G | H}) ), ceea ce înseamnă că ( text {G} ) și ( text {H} ) sunt independenți.

Exercițiu ( PageIndex {8} )

Într-o arenă de baschet,

  • 70% dintre fani au rădăcini pentru echipa gazdă.
  • 25% dintre fani poartă albastru.
  • 20% dintre fani poartă albastru și se înrădăcinează pentru echipa din deplasare.
  • Dintre fanii rădăcini pentru echipa din deplasare, 67% poartă albastru.

Fie ( text {A} ) evenimentul pe care un fan îl înrădăcinează pentru echipa din deplasare.

Fie ( text {B} ) evenimentul în care un fan poartă albastru.

Evenimentele de înrădăcinare pentru echipa din deplasare și purtarea albastru sunt independente? Se exclud reciproc?

Răspuns

  • (P ( text {B | A}) = 0,67 )
  • (P ( text {B}) = 0,25 )

Deci (P ( text {B}) ) nu este egal (P ( text {B | A}) ) ceea ce înseamnă că ( text {B} și text {A} ) nu sunt independent (purtarea albastră și rădăcina pentru echipa din deplasare nu sunt independente). De asemenea, nu se exclud reciproc, deoarece (P ( text {B AND A}) = 0,20 ), nu (0 ).

Exemplu ( PageIndex {9} )

Într-o anumită clasă de facultate, 60% dintre studenți sunt femei. Cincizeci la sută din toți elevii din clasă au părul lung. Patruzeci și cinci la sută dintre studenți sunt femei și au părul lung. Dintre elevele, 75% au părul lung. Fie ( text {F} ) evenimentul în care o elevă este femeie. Fie ( text {L} ) evenimentul în care un student are părul lung. Un elev este ales la întâmplare. Evenimentele de a fi femeie și de a avea părul lung sunt independente?

  • Următoarele probabilități sunt date în acest exemplu:
  • (P ( text {F}) = 0,60 ); (P ( text {L}) = 0,50 )
  • (P ( text {F ȘI L}) = 0,45 )
  • (P ( text {L | F}) = 0,75 )

Alegerea pe care o faceți depinde de informațiile pe care le aveți. Puteți utiliza prima sau ultima condiție din listă pentru acest exemplu. Nu știți încă (P ( text {F | L}) ), deci nu puteți utiliza a doua condiție.

Soluția 1

Verificați dacă (P ( text {F ȘI L}) = P ( text {F}) P ( text {L}) ). Ni se dă faptul că (P ( text {F ȘI L}) = 0,45 ), dar (P ( text {F}) P ( text {L}) = (0,60) (0,50) = 0,30 ). Evenimentele de a fi femeie și de a avea părul lung nu sunt independente, deoarece (P ( text {F ȘI L}) ) nu este egal (P ( text {F}) P ( text {L}) ) .

Soluția 2

Verificați dacă (P ( text {L | F}) ) este egal cu (P ( text {L}) ). Ni se dă că (P ( text {L | F}) = 0,75 ), dar (P ( text {L}) = 0,50 ); nu sunt egali. Evenimentele de a fi femeie și de a avea părul lung nu sunt independente.

Interpretarea rezultatelor

Evenimentele de a fi femeie și de a avea părul lung nu sunt independente; știind că un student este femeie schimbă probabilitatea ca un student să aibă părul lung.

Exercițiu ( PageIndex {9} )

Mark decide ce cale să meargă spre serviciu. Alegerile sale sunt ( text {Eu} = ) Interstate și ( text {F} = ) Strada a cincea.

  • (P ( text {I}) = 0,44 ) și (P ( text {F}) = 0,55 )
  • (P ( text {I ȘI F}) = 0 ) deoarece Mark va lua un singur traseu până la locul de muncă.

Care este probabilitatea (P ( text {I OR F}) )?

Răspuns

Deoarece (P ( text {I ȘI F}) = 0 ),

(P ( text {I OR F}) = P ( text {I}) + P ( text {F}) - P ( text {I AND F}) = 0,44 + 0,56 - 0 = 1 )

Exemplu ( PageIndex {10} )

  1. Aruncați o monedă corectă (moneda are două fețe, ( text {H} ) și ( text {T} )). Rezultatele sunt ________. Numărați rezultatele. Există ____ rezultate.
  2. Aruncați o matriță dreaptă, cu șase fețe (matrița are 1, 2, 3, 4, 5 sau 6 puncte pe o parte). Rezultatele sunt ________________. Există ___ rezultate.
  3. Înmulțiți cele două numere de rezultate. Raspunsul este _______.
  4. Dacă răsuciți o monedă corectă și o urmăriți cu aruncarea unei matrițe corecte, cu șase fețe, răspunsul în trei este numărul de rezultate (dimensiunea spațiului eșantion). Care sunt rezultatele? (Sfat: Două dintre rezultate sunt (H1 ) și (T6 ).)
  5. Evenimente ( text {A} = ) capete ( ( text {H} )) pe monedă urmate de un număr par (2, 4, 6) pe matriță.
    ( text {A} ) = {_________________}. Găsiți (P ( text {A}) ).
  6. Capete de eveniment ( text {B} = ) pe monedă urmate de trei pe matriță. ( text {B} = ) {________}. Găsiți (P ( text {B}) ).
  7. Sunt ( text {A} ) și ( text {B} ) se exclud reciproc? (Sfat: Ce este (P ( text {A ȘI B}) )? Dacă (P ( text {A ȘI B}) = 0 ), atunci ( text {A} ) și ( text {B} ) se exclud reciproc.)
  8. Sunt ( text {A} ) și ( text {B} ) independenți? (Sugestie: Este (P ( text {A ȘI B}) = P ( text {A}) P ( text {B}) )? Dacă (P ( text {A ȘI B}) = P ( text {A}) P ( text {B}) ), apoi ( text {A} ) și ( text {B} ) sunt independenți. Dacă nu, atunci sunt dependenți ).

Soluţie

  1. ( text {H} ) și ( text {T} ); 2
  2. 1, 2, 3, 4, 5, 6; 6
  3. 2(6) = 12
  4. (T1, T2, T3, T4, T5, T6, H1, H2, H3, H4, H5, H6 )
  5. ( text {A} = {H2, H4, H6 } ); (P ( text {A}) = dfrac {3} {12} )
  6. ( text {B} = {H3 } ); (P ( text {B}) = dfrac {1} {12} )
  7. Da, pentru că (P ( text {A ȘI B}) = 0 )
  8. (P ( text {A ȘI B}) = 0 ). (P ( text {A}) P ( text {B}) = left ( dfrac {3} {12} right) left ( dfrac {1} {12} right) ). (P ( text {A ȘI B}) ) nu este egal (P ( text {A}) P ( text {B}) ), deci ( text {A} ) și ( text {B} ) sunt dependente.

Exercițiu ( PageIndex {10} )

O cutie are două bile, una albă și una roșie. Fie (text {T} ) evenimentul de a obține bila albă de două ori, ( text {F} ) evenimentul de a alege mai întâi bila albă, ( text {S} ) evenimentul de a alege bila albă din al doilea desen.

  1. Calculați (P ( text {T}) ).
  2. Calculați (P ( text {T | F}) ).
  3. Sunt (text {T} ) și ( text {F} ) independenți ?.
  4. Sunt ( text {F} ) și ( text {S} ) se exclud reciproc?
  5. Sunt ( text {F} ) și ( text {S} ) independenți?

Răspuns

  1. (P ( text {T}) = dfrac {1} {4} )
  2. (P ( text {T | F}) = dfrac {1} {2} )
  3. Nu
  4. Nu
  5. da

Referințe

  1. Lopez, Shane, Preety Sidhu. "S.U.A. Profesorii își iubesc viața, dar se luptă la locul de muncă ”. Gallup Wellbeing, 2013. http://www.gallup.com/poll/161516/te...workplace.aspx (accesat la 2 mai 2013).
  2. Date de la Gallup. Disponibil online la www.gallup.com/ (accesat la 2 mai 2013).

Revizuirea capitolului

Două evenimente ( text {A} ) și ( text {B} ) sunt independente dacă cunoașterea faptului că a avut loc nu afectează șansa apariției celeilalte. Dacă două evenimente nu sunt independente, atunci spunem că sunt dependente.

În eșantionarea cu înlocuire, fiecare membru al unei populații este înlocuit după ce a fost ales, astfel încât membrul are posibilitatea de a fi ales de mai multe ori, iar evenimentele sunt considerate independente. În eșantionarea fără înlocuire, fiecare membru al unei populații poate fi ales o singură dată și evenimentele sunt considerate a nu fi independente. Atunci când evenimentele nu împărtășesc rezultatele, ele se exclud reciproc.

Formula Review

  • Dacă ( text {A} ) și ( text {B} ) sunt independente, (P ( text {A ȘI B}) = P ( text {A}) P ( text {B }), P ( text {A | B}) = P ( text {A}) ) și (P ( text {B | A}) = P ( text {B}) ).
  • Dacă ( text {A} ) și ( text {B} ) se exclud reciproc, (P ( text {A OR B}) = P (text {A}) + P ( text { B}) și P ( text {A ȘI B}) = 0 ).

Colaboratori

Exercițiul 3.3.11

( text {E} ) și ( text {F} ) sunt evenimente care se exclud reciproc. (P ( text {E}) = 0,4 ); (P ( text {F}) = 0,5 ). Găsiți (P ( text {E∣F}) ).

Exercițiul 3.3.12

( text {J} ) și ( text {K} ) sunt evenimente independente. (P ( text {J | K}) = 0,3 ). Găsiți (P ( text {J}) ).

Răspuns

(P ( text {J}) = 0,3 )

Exercițiul 3.3.13

( text {U} ) și ( text {V} ) sunt evenimente care se exclud reciproc. (P ( text {U}) = 0,26 ); (P ( text {V}) = 0,37 ). Găsi:

  1. (P ( text {U ȘI V}) = )
  2. (P ( text {U | V}) = )
  3. (P ( text {U OR V}) = )

Exercițiul 3.3.14

( text {Q} ) și ( text {R} ) sunt evenimente independente. (P ( text {Q}) = 0,4 ) și (P ( text {Q ȘI R}) = 0,1 ). Găsiți (P ( text {R}) ).

Răspuns

(P ( text {Q AND R}) = P ( text {Q}) P ( text {R}) )

(0,1 = (0,4) P ( text {R}) )

(P ( text {R}) = 0,25 )

Aducându-l împreună

Exercițiul 3.3.16

Un an precedent, greutățile membrilor San Francisco 49ers si Dallas Cowboys au fost publicate în San Jose Mercury News. Datele de fapt sunt compilate în tabel.

Cămaşă#≤ 210211–250251–290290≤
1–3321500
34–6661874
66–99612225

Pentru următoarele, să presupunem că selectați aleatoriu un jucător din 49ers sau Cowboys.

Dacă având un număr de cămașă de la unu la 33 și cântărind cel mult 210 lire sterline au fost evenimente independente, atunci ce ar trebui să fie adevărat despre (P ( text {Shirt} # 1–33 | leq 210 text {pounds}) )?

Exercițiul 3.3.17

Probabilitatea ca un bărbat să dezvolte o formă de cancer în timpul vieții este de 0,4567. Probabilitatea ca un bărbat să aibă cel puțin un rezultat fals pozitiv al testului (ceea ce înseamnă că testul revine pentru cancer atunci când bărbatul nu îl are) este de 0,51. Unele dintre următoarele întrebări nu au suficiente informații pentru a le răspunde. Scrieți „informații insuficiente” pentru aceste răspunsuri. Fie ( text {C} = ) un bărbat să dezvolte cancer în timpul vieții sale și ( text {P} = ) omul are cel puțin un fals pozitiv.

  1. (P ( text {C}) = ) ______
  2. (P ( text {P | C}) = ) ______
  3. (P ( text {P | C '}) = ) ______
  4. Dacă un test apare pozitiv, pe baza valorilor numerice, puteți presupune că omul are cancer? Justificați numeric și explicați de ce sau de ce nu.

Răspuns

  1. (P ( text {C}) = 0,4567 )
  2. informații insuficiente
  3. informații insuficiente
  4. Nu, deoarece peste jumătate (0,51) dintre bărbați au cel puțin un text fals pozitiv

Exercițiul 3.3.18

Evenimente date ( text {G} ) și ( text {H}: P ( text {G}) = 0,43 ); (P ( text {H}) = 0,26 ); (P ( text {H AND G}) = 0,14 )

  1. Găsiți (P ( text {H OR G}) ).
  2. Găsiți probabilitatea complementului evenimentului ( ( text {H AND G} )).
  3. Găsiți probabilitatea complementului evenimentului ( ( text {H OR G} )).

Exercițiul 3.3.19

Evenimente date ( text {J} ) și ( text {K}: P ( text {J}) = 0,18 ); (P ( text {K}) = 0,37 ); (P ( text {J OR K}) = 0,45 )

  1. Găsiți (P ( text {J ȘI K}) ).
  2. Găsiți probabilitatea complementului evenimentului ( ( text {J ȘI K} )).
  3. Găsiți probabilitatea complementului evenimentului ( ( text {J ȘI K} )).

Răspuns

  1. (P ( text {J OR K}) = P ( text {J}) + P ( text {K}) - P ( text {J AND K}); 0,45 = 0,18 + 0,37 - P ( text {J ȘI K}) ); rezolvați pentru a găsi (P ( text {J ȘI K}) = 0,10 )
  2. (P ( text {NOT (J AND K)}) = 1 - P ( text {J AND K}) = 1 - 0,10 = 0,90 )
  3. (P ( text {NOT (J OR K)}) = 1 - P ( text {J OR K}) = 1 - 0,45 = 0,55 )

Glosar

Evenimente dependente
Dacă două evenimente NU sunt independente, atunci spunem că sunt dependente.
Eșantionarea cu înlocuire
Dacă fiecare membru al unei populații este înlocuit după ce a fost ales, atunci acel membru are posibilitatea de a fi ales de mai multe ori.
Eșantionare fără înlocuire
Când eșantionarea se face fără înlocuire, fiecare membru al unei populații poate fi ales o singură dată.
Probabilitatea condiționată a unui eveniment dat unui alt eveniment
P(A|B) este probabilitatea ca evenimentul A va avea loc având în vedere că evenimentul B a avut loc deja.
OR-ul a două evenimente
Un rezultat este în eveniment A SAU B dacă rezultatul este în A, este in B, sau este în ambele A și B.

Două evenimente sunt independente dacă următoarele sunt adevărate:

Două evenimente A și B sunt independent dacă cunoașterea faptului că una nu a afectat șansa să apară cealaltă. De exemplu, rezultatele a două roluri ale unei morți echitabile sunt evenimente independente. Rezultatul primei aruncări nu modifică probabilitatea rezultatului celei de a doua aruncări. Pentru a arăta că două evenimente sunt independente, trebuie să arătați unul singur dintre condițiile de mai sus.

Dacă două evenimente NU sunt independente, atunci spunem că sunt dependent.

Eșantionarea se poate face cu înlocuire sau fără înlocuire.

  • Cu înlocuire: Dacă fiecare membru al unei populații este înlocuit după ce este ales, atunci acel membru are posibilitatea de a fi ales de mai multe ori. Când eșantionarea se face cu înlocuirea, atunci evenimentele sunt considerate a fi independente, ceea ce înseamnă că rezultatul primei alegeri nu va schimba probabilitățile pentru cea de-a doua alegere.
  • Fără înlocuire: Când eșantionarea se face fără înlocuire, fiecare membru al unei populații poate fi ales o singură dată. În acest caz, probabilitățile pentru a doua alegere sunt afectate de rezultatul primei alegeri. Evenimentele sunt considerate dependente sau nu independente.

Dacă nu se știe dacă A și B sunt independente sau dependente, presupuneți că sunt dependenți până când puteți arăta altfel.

Aveți un pachet corect, bine amestecat, de 52 de cărți. Se compune din patru costume. Costumele sunt cluburi, diamante, inimi și pică. Există 13 cărți în fiecare costum format din 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J (jack), Î (regină), K (regele) acelui costum.

  1. Sampling cu înlocuire:Să presupunem că alegeți trei cărți cu înlocuire. Prima carte pe care o alegeți din cele 52 de cărți este
    Î de pică. Pui această carte înapoi, remaniează cărțile și alegi o a doua carte din pachetul de 52 de cărți. Este zece cluburi. Pui această carte înapoi, remaniează cărțile și alegi o a treia carte din pachetul de 52 de cărți. De data aceasta, cardul este Î de pică din nou. Alegerile dvs. sunt <Î de pică, zece de cluburi, Î de pică>. Ați ales Î de pică de două ori. Alegeți fiecare carte din pachetul de 52 de cărți.
  2. Prelevarea de probefără înlocuire:Să presupunem că alegeți trei cărți fără înlocuire. Prima carte pe care o alegeți din cele 52 de cărți este
    K de inimi. Pui această carte deoparte și alegi a doua carte din cele 51 de cărți rămase în pachet. Este vorba de trei dintre diamante. Puneți această carte deoparte și alegeți a treia carte dintre cele 50 de cărți rămase din pachet. A treia carte este J de pică. Alegerile dvs. sunt <K de inimi, trei de diamante, J de pică>. Deoarece ați ales cărțile fără înlocuire, nu puteți alege aceeași carte de două ori.

Evenimente care se exclud reciproc

A și B sunt care se exclud reciproc evenimente dacă nu pot avea loc în același timp. Aceasta înseamnă că A și B nu împărtășiți niciun rezultat și P(A ȘI B) = 0.

Dacă nu se știe dacă A și B se exclud reciproc, presupuneți că nu sunt până când nu puteți arăta altfel. Următoarele exemple ilustrează aceste definiții și termeni.

Exemplu

Întoarceți două monede corecte. (Acesta este un experiment.)

Spațiul eșantionului este <HH, HT, TH, TT> unde T = cozi și H = capete. Rezultatele sunt HH, HT, TH, și TT. Rezultatele HT și TH sunt diferite. HT înseamnă că prima monedă arăta capete și a doua monedă arăta cozi. TH înseamnă că prima monedă arăta cozi și a doua monedă arăta capete.

  • Lăsa A = evenimentul de a obține lamajoritatea o coadă. (Cel mult o coadă înseamnă zero sau o coadă.) Apoi A poate fi scris ca <HH, HT,TH>. Rezultatul HH prezintă zero cozi. HT și TH fiecare arată o coadă.
  • Lăsa B = evenimentul de a lua toate cozile. B poate fi scris ca <TT>. B este completa de A, asa de B = A'. De asemenea, P(A) + P(B) = P(A) + P(A') = 1.
  • Probabilitățile pentru A si pentru B sunt P(A) = [latex] displaystyle frac <<3>> <<4>> [/ latex].
  • Lăsa C = evenimentul de a obține toate capetele. C = <HH>. De cand B = <TT>, P(B ȘI C) = 0. B și C se exclud reciproc. (B și C nu aveți membri în comun, deoarece nu puteți avea toate cozile și toate capetele în același timp.)
  • Lăsa D = eveniment de obținere mai mult de o coadă. D = <TT>. P(D) = [latex] displaystyle frac <<1>> <<4>> [/ latex]
  • Lăsa E = eveniment de a obține un cap pe prima aruncare. (Acest lucru implică că puteți obține fie un cap, fie o coadă pe a doua rulare.) E = <HT,HH>. P(E) = [latex] displaystyle frac <<2>> <<4>> [/ latex]
  • Găsiți probabilitatea de a obține cel puțin unul (una sau două) coadă în două flip-uri. Lăsa F = eveniment de a obține cel puțin o coadă în două flip-uri.F = <HT, TH, TT>. P(F) = [latex] displaystyle frac <<3>> <<4>> [/ latex]

Incearca-l

Trageți două cărți dintr-un pachet standard de 52 de cărți cu înlocuire. Găsiți probabilitatea de a obține cel puțin un card negru.

Spațiul de probă pentru extragerea a două cărți cu înlocuirea dintr-un pachet standard de 52 de cărți în ceea ce privește culoarea este <BB, BR, RB, RR>.

Eveniment A = Obținerea a cel puțin unui card negru = <BB, BR, RB>

Exemplu

Întoarceți două monede corecte. Găsiți probabilitățile evenimentelor.

  1. Lăsa F = evenimentul de a obține cel mult o coadă (zero sau o coadă).
  2. Lăsa G = evenimentul de a obține două fețe care sunt la fel.
  3. Lăsa H = evenimentul de a obține un cap pe primul flip urmat de un cap sau coadă pe al doilea flip.
  4. Sunt F și G se exclud reciproc?
  5. Lăsa J = evenimentul de a lua toate cozile. Sunt J și H se exclud reciproc?

Uitați-vă la spațiul eșantion din exemplul 3.

  1. Zero (0) sau una (1) cozi apar atunci când rezultatele HH, TH, HT apare. P(F) = [latex] displaystyle frac <<3>> <<4>> [/ latex]
  2. Două fețe sunt aceleași dacă HH sau TT apare. P(G) = [latex] displaystyle frac <<2>> <<4>> [/ latex]
  3. Un cap pe primul flip urmat de un cap sau coadă pe al doilea flip apare atunci când HH sau HT apare. P(H) = [latex] displaystyle frac <<2>> <<4>> [/ latex]
  4. F și G acțiune HH asa de P(F ȘI G) nu este egal cu zero (0). F și G nu se exclud reciproc.
  5. Obținerea tuturor cozilor apare atunci când cozile apar pe ambele monede (TT). HRezultatele & # 8216 sunt HH și HT.

J și H nu au nimic în comun așa că P(J ȘI H) = 0. J și H se exclud reciproc.

Acest videoclip oferă încă două exemple de găsire a probabilității evenimentelor care se exclud reciproc.

Incearca-l

O cutie are două bile, una albă și una roșie. Selectăm o minge, o punem înapoi în cutie și selectăm oa doua minge (eșantionare cu înlocuire). Găsiți probabilitatea următoarelor evenimente:

  1. Lăsa F = evenimentul de a obține mingea albă de două ori.
  2. Lăsa G = evenimentul de a obține două bile de culori diferite.
  3. Lăsa H = evenimentul de a deveni alb la prima alegere.
  4. Sunt F și G se exclud reciproc?
  5. Sunt G și H se exclud reciproc?
  1. P(F) = [latex] displaystyle frac <<1>> <<4>> [/ latex]
  2. P(G) = [latex] displaystyle frac <<1>> <<2>> [/ latex]
  3. P(H) = [latex] displaystyle frac <<1>> <<2>> [/ latex]
  4. da
  5. Nu

Exemplu

Trageți o matriță corectă, cu șase fețe. Spațiul eșantionului este <1, 2, 3, 4, 5, 6>. Lasă evenimentul
A = o față este ciudată. Apoi A = <1, 3, 5>. Lasă evenimentul B = un chip este egal. Apoi B = <2, 4, 6>.

  • Găsiți complementul A, A'. Complementul A, A', este B deoarece A și B împreună alcătuiesc spațiul de probă. P(A) +P(B) = P(A) + P(A') = 1. De asemenea, P(A) = [latex] displaystyle frac <<3>> <<6>> [/ latex].
  • Lasă evenimentul C = fețe ciudate mai mari de două. Apoi C = <3, 5>. Lasă evenimentul D = toate fețele chiar mai mici de cinci. Apoi D = <2, 4>. P(CȘI D) = 0 pentru că nu puteți avea o față ciudată și pare în același timp. Prin urmare, C și D sunt evenimente care se exclud reciproc.
  • Lasă evenimentul E = toate fețele mai mici de cinci. E = <1, 2, 3, 4>.

Sunt C și E evenimente care se exclud reciproc? (Răspundeți da sau nu.) De ce sau de ce nu?

  • Găsi P(C|A). Aceasta este o probabilitate condiționată. Reamintim că evenimentul C este <3, 5> și eveniment A este <1, 3, 5>. A găsi P(C|A), găsiți probabilitatea de C folosind spațiul de probă A. Ați redus spațiul eșantionului de la spațiul eșantion original <1, 2, 3, 4, 5, 6> la <1, 3, 5>. Asa de, P(C|A) = [latex] displaystyle frac <<2>> <<3>> [/ latex].

Incearca-l

Lasă evenimentul A = învățarea spaniolei. Lasă evenimentul B = învățarea limbii germane. Apoi A ȘI B = învățarea spaniolă și germană. Presupune P(A) = 0,4 și P(B) = 0.2. P(A ȘI B) = 0,08. Sunt evenimente A șiB independent? Sugestie: trebuie să afișați UNUL dintre următoarele:

Exemplu

Lasă evenimentul G = a lua o clasă de matematică. Lasă evenimentul H = luarea unui curs de știință. Apoi, G ȘI H = luarea unei clase de matematică și o știință. Presupune P(G) = 0.6, P(H) = 0,5 și P(G ȘI H) = 0,3. Sunt G și H independent?

Dacă G și H sunt independenți, atunci trebuie să arăți UNU dintre următoarele:

Alegerea pe care o faceți depinde de informațiile pe care le aveți. Puteți alege oricare dintre metodele de aici, deoarece aveți informațiile necesare.

De cand G și H sunt independenți, știind că o persoană urmează un curs de știință nu schimbă șansa ca acesta să urmeze un curs de matematică. Dacă cele două evenimente nu ar fi fost independente (adică sunt dependente), atunci știind că o persoană urmează un curs de știință ar schimba șansa de a lua matematică. Pentru practică, arată asta P(H|G) = P(H) pentru a arăta că G și H sunt evenimente independente.

Incearca-l

Într-o pungă, există șase bile roșii și patru bile verzi. Marmurile roșii sunt marcate cu numerele 1, 2, 3, 4, 5 și 6. Marmurile verzi sunt marcate cu numerele 1, 2, 3 și 4.

  • R = o marmură roșie
  • G = o marmură verde
  • O = o marmură impară
  • Spațiul eșantion este S = <R1, R2, R3, R4, R5, R6, G1, G2, G3, G4>.

Exemplu

Lasă evenimentul C = luarea unui curs de engleză. Lasă evenimentul D = luarea unui curs de vorbire.

Justificați numeric răspunsurile la următoarele întrebări.

  1. Da deoarece P(C|D) = P(C).
  2. Nu, pentru că P(C ȘI D) nu este egal cu zero.
  3. [latex] displaystyle

    <()> = frac <<

    <( text <ȘI>)>>><<

    <() >>> = frac << 0.225 >> << 0.75 >> = <0.3> [/ latex]

Incearca-l

Un student merge la bibliotecă. Lasă evenimentele B = studentul verifică o carte și D = studentul verifică un DVD. Să presupunem că P(B) = 0.40, P(D) = 0,30 și P(B ȘI D) = 0.20.

  1. Găsi P(B|D).
  2. Găsi P(D|B).
  3. Sunt B și D independent?
  4. Sunt B și D se exclud reciproc?

Exemplu

Într-o cutie sunt trei cărți roșii și cinci cărți albastre. Cărțile roșii sunt marcate cu numerele 1, 2 și 3, iar cărțile albastre sunt marcate cu numerele 1, 2, 3, 4 și 5. Cărțile sunt bine amestecate. Ajungi în cutie (nu poți vedea în ea) și tragi o carte.

Lăsa R = se extrage cartonașul roșu, B = se extrage cartonașul albastru, E = se extrage cardul par.

  • P(R) = [latex] displaystyle frac <<3>> <<8>> [/ latex]. P(R ȘI B) = 0. (Nu puteți extrage o carte care să fie roșie și albastră.)
  • P(E) = [latex] displaystyle frac <<3>> <<8>> [/ latex]. (Există trei cărți cu număr par, R2, B2 și B4.)
  • P(E|B) = [latex] displaystyle frac <<2>> <<5>> [/ latex]. (Există cinci cărți albastre: B1, B2, B3, B4 și B5. Din cărțile albastre, există două cărți pare B2 șiB4.)
  • P(B|E) = [latex] displaystyle frac <<2>> <<3>> [/ latex]. (Există trei cărți cu număr par: R2, B2 și B4. Din cărțile cu număr par, to are blue B2 șiB4.)
  • Evenimentele R și B se exclud reciproc deoarece P(R ȘI B) = 0.
  • Lăsa G = card cu un număr mai mare de 3. G = <B4, B5>. P(G) = [latex] displaystyle frac <<2>> <<8>> [/ latex], P(G) = P(G|H), ceea ce înseamnă că G și H sunt independenți.

Incearca-l

  • 70% dintre fani au rădăcini pentru echipa gazdă.
  • 25% dintre fani poartă albastru.
  • 20% dintre fani poartă albastru și se înrădăcinează pentru echipa din deplasare.
  • Dintre fanii rădăcini pentru echipa din deplasare, 67% poartă albastru.

Lăsa A fie evenimentul pe care un fan îl înrădăcinează pentru echipa din afara.

Lăsa B să fie evenimentul în care un fan poartă albastru. Evenimentele de rădăcină pentru echipa din deplasare și de a purta albastru sunt independente? Se exclud reciproc?

Asa de P(B) nu este egal P(B|A) ceea ce înseamnă că B și A nu sunt independenți (purtarea albastră și înrădăcinarea pentru echipa în deplasare nu sunt independente). De asemenea, nu se exclud reciproc, deoareceP(GRUP A) = 0,20, nu 0.

Exemplu

Într-o anumită clasă de facultate, 60% dintre studenți sunt femei. Cincizeci la sută din toți elevii din clasă au părul lung. Patruzeci și cinci la sută dintre studenți sunt femei și au părul lung. Dintre elevele, 75% au părul lung. Lăsa F fie evenimentul în care o elevă este femeie. Lăsa L fie evenimentul în care un student are părul lung. Un elev este ales la întâmplare. Evenimentele de a fi femeie și de a avea părul lung sunt independente?

  • Următoarele probabilități sunt date în acest exemplu:
  • P(F) = 0.60 P(L) = 0.50
  • P(F ȘI L) = 0.45
  • P(L|F) = 0.75

Notă:Alegerea pe care o faceți depinde de informațiile pe care le aveți. Puteți utiliza prima sau ultima condiție din listă pentru acest exemplu. Voi nu știți P(F|L) totuși, deci nu puteți utiliza a doua condiție.

Verifica vremea P(L|F) este egal P(L). Ni se dă asta P(L|F) = 0,75, dar P(L) = 0,50 nu sunt egali. Evenimentele de a fi femeie și de a avea părul lung nu sunt independente.

Interpretarea rezultatelor

Evenimentele de a fi femeie și de a avea părul lung nu sunt independente, știind că un student este femeie, schimbă probabilitatea ca un student să aibă părul lung.

Incearca-l

Mark decide ce cale să meargă spre serviciu. Alegerile sale sunt Eu = Interstate și F = Fifth Street.

Care este probabilitatea P(Eu SAU F)?

Exemplu

  1. Aruncă o monedă corectă (moneda are două fețe, H și T). Rezultatele sunt ________. Numărați rezultatele. Există ____ rezultate.
  2. Aruncați o matriță dreaptă, cu șase fețe (matrița are 1, 2, 3, 4, 5 sau 6 puncte pe o parte). Rezultatele sunt ________________. Numărați rezultatele. Există ___ rezultate.
  3. Înmulțiți cele două numere de rezultate. Raspunsul este _______.
  4. Dacă întoarceți o monedă corectă și o urmăriți cu aruncarea unei matrițe corecte, cu șase fețe, răspunsul în trei este numărul de rezultate (dimensiunea spațiului eșantion). Care sunt rezultatele? (Sfat: Două dintre rezultate sunt H1 și T6.)
  5. Eveniment A = capete (H) pe monedă urmată de un număr par (2, 4, 6) pe matriță.
    A = <_________________>. Găsi P(A).
  6. Eveniment B = capete pe monedă urmate de trei pe matriță. B = <________>. Găsi P(B).
  7. Sunt A și B se exclud reciproc? (Sfat: Ce este P(A ȘI B)? Dacă P(A ȘI B) = 0, apoi A și B se exclud reciproc.)
  8. Sunt A și B independent? (Sfat: Is P(A ȘI B) = P(A)P(B)? Dacă P(A ȘI B) = P(A)P(B), apoi A și B sunt independenți. Dacă nu, atunci ei sunt dependenți).
  1. H și T 2
  2. 1, 2, 3, 4, 5, 6 6
  3. 2(6) = 12
  4. T1, T2, T3, T4, T5, T6, H1, H2, H3, H4, H5, H6
  5. A = <H2, H4, H6> P(A) = [latex] displaystyle frac <<3>> <<12>> [/ latex]
  6. B = <H3> P(B) = [latex] displaystyle frac <<1>> <<12>> [/ latex]
  7. Da deoarece P(A ȘI B) = 0
  8. P(A ȘI B) = 0.P(A)P(B) = [latex] displaystyle <( frac <<3>> <<12>>)> <( frac <<1>> <<12>>)> [/ latex]. P(A ȘI B) nu este egal P(A)P(B), asa de A și B sunt dependente.

Incearca-l

O cutie are două bile, una albă și una roșie. Selectăm o minge, o punem înapoi în cutie și selectăm oa doua minge (eșantionare cu înlocuire). Lăsa T să fie evenimentul de a obține mingea albă de două ori, F evenimentul de a alege mai întâi bila albă, S evenimentul de a alege bila albă în al doilea desen.

  1. Calcula P(T).
  2. Calcula P(T|F).
  3. Sunt T și F independent?.
  4. Sunt F și S se exclud reciproc?
  5. Sunt F și S independent?
  1. P(T) = [latex] displaystyle frac <<1>> <<4>> [/ latex]
  2. P(T|F) = [latex] displaystyle frac <<1>> <<2>> [/ latex]
  3. Nu
  4. Nu
  5. da

Evenimente independente

Două evenimente sunt independente dacă următoarele sunt adevărate:

Două evenimente A și B sunt evenimente independente dacă cunoașterea faptului că una a avut loc nu afectează șansa apariției celeilalte. De exemplu, rezultatele a două roluri ale unei morți echitabile sunt evenimente independente. Rezultatul primei aruncări nu modifică probabilitatea rezultatului celei de a doua aruncări. Pentru a arăta că două evenimente sunt independente, trebuie să arătați unul singur dintre condițiile de mai sus. Dacă două evenimente NU sunt independente, atunci spunem că sunt evenimente dependente.

Eșantionarea se poate face cu înlocuitor sau fără înlocuire.

  • Cu înlocuire: Dacă fiecare membru al unei populații este înlocuit după ce este ales, atunci acel membru are posibilitatea de a fi ales de mai multe ori. Când eșantionarea se face cu înlocuirea, atunci evenimentele sunt considerate a fi independente, ceea ce înseamnă că rezultatul primei alegeri nu va schimba probabilitățile pentru a doua alegere.

O pungă conține patru marmură albastră și trei albă. James scoate la întâmplare o marmură din geantă, înregistrează culoarea și înlocuiește marmura. Probabilitatea de a desena albastru este de 4 7 4 7. Când James scoate o marmură din geantă a doua oară, probabilitatea de a extrage albastru este încă de 4 7 4 7. James a înlocuit marmura după prima remiză, așa că mai sunt încă patru marmură albastră și trei albă.

  • Fără înlocuire: Când eșantionarea se face fără înlocuire, fiecare membru al unei populații poate fi ales o singură dată. În acest caz, probabilitățile pentru a doua alegere sunt afectate de rezultatul primei alegeri. Evenimentele sunt considerate dependente sau nu independente.

Dacă nu se știe dacă A și B sunt independente sau dependente, presupuneți că sunt dependenți până când puteți arăta altfel.

Exemplul 3.4

Aveți un pachet corect, bine amestecat, de 52 de cărți. Se compune din patru costume. Costumele sunt cluburi, diamante, inimi și pică. Cluburile și pică sunt negre, în timp ce diamantele și inimile sunt cărți roșii. Există 13 cărți în fiecare costum format din A (as), 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J (jack), Î (regină), K (regele) acelui costum.

A. Eșantionarea cu înlocuire

b. Prelevarea de probe fără înlocuire

Aveți un pachet corect, bine amestecat, de 52 de cărți. Se compune din patru costume. Costumele sunt cluburi, diamante, inimi și pică. Există 13 cărți în fiecare costum format din 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J (jack), Î (regină), K (regele) acelui costum. Trei cărți sunt alese la întâmplare.

  1. Să presupunem că știți că cărțile alese sunt Î de pică, K a inimilor și Î de pică.Puteți decide dacă eșantionarea a fost cu sau fără înlocuire?
  2. Să presupunem că știți că cărțile alese sunt Î de pică, K de inimi și J de pică. Puteți decide dacă eșantionarea a fost cu sau fără înlocuire?

Exemplul 3.5

Aveți un pachet corect, bine amestecat, de 52 de cărți. Se compune din patru costume. Costumele sunt cluburi, diamante, inimi și pică. Există 13 cărți în fiecare costum format din 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J (jack), Î (regină) și K (regele) acelui costum. S = pică, H = Inimi, D = Diamante, C = Cluburi.

  1. Să presupunem că alegeți patru cărți, dar nu puneți nici o carte înapoi în pachet. Cardurile tale sunt QS, 1D, 1C, QD.
  2. Să presupunem că alegeți patru cărți și puneți fiecare carte înapoi înainte de a alege următoarea carte. Cardurile tale sunt KH, 7D, 6D, KH.

Care dintre. sau b. ai probat cu înlocuire și care ai probat fără înlocuire?

A. Deoarece nu puneți nicio carte înapoi, pachetul se schimbă după fiecare remiză. Aceste evenimente sunt dependente, iar acesta este eșantionarea fără înlocuire b. Deoarece puneți fiecare carte înapoi înainte de a o alege pe următoarea, pachetul nu se schimbă niciodată. Aceste evenimente sunt independente, deci este vorba de eșantionare cu înlocuire.

Aveți un pachet corect, bine amestecat, de 52 de cărți. Se compune din patru costume. Costumele sunt cluburi, diamante, inimi și pică. Există 13 cărți în fiecare costum format din 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J (jack), Î (regină) și K (regele) acelui costum. S = pică, H = Inimi, D = Diamante, C = Cluburi. Să presupunem că probați patru cărți fără înlocuire. Care dintre următoarele rezultate sunt posibile? Răspundeți la aceeași întrebare pentru eșantionare cu înlocuire.


Un eveniment este ceva care se întâmplă, mai ales atunci când este neobișnuit sau important. Puteți folosi evenimente pentru a descrie toate lucrurile care se întâmplă într-o anumită situație. Un eveniment este o ocazie planificată și organizată, de exemplu o întâlnire socială sau un meci sportiv.

Dacă A și B sunt evenimente independente, atunci evenimentele A și B & # 8217 sunt, de asemenea, independente. Dovadă: evenimentele A și B sunt independente, deci, P (A ∩ B) = P (A) P (B). Din diagrama Venn, vedem că evenimentele A ∩ B și A ∩ B & # 8217 se exclud reciproc și împreună formează evenimentul A.


Acum să vedem ce se întâmplă când sunt evenimente nu se exclud reciproc.

Exemplu: Hearts and Kings

Inimi și Kings împreună este doar Regele Inimilor:

Dar Hearts sau Kings este:

Dar asta contează de două ori pe Regele Inimilor!

Deci, ne corectăm răspunsul, scăzând partea „și” suplimentară:

16 cărți = 13 inimi + 4 regi și minus 1 Regele inimilor în plus

Numărați-i pentru a vă asigura că funcționează!

P (A sau B) = P (A) + P (B) și minus P (A și B)

„Probabilitatea lui A sau B este egal cu probabilitatea lui A la care se adauga probabilitatea lui B
minus probabilitatea lui A și B "

Aici este aceeași formulă, dar folosind &ceașcă și &capac:


Conținut: eveniment care se exclude reciproc împotriva evenimentului independent

Diagramă de comparație

Bază pentru comparațieEvenimente care se exclud reciprocEvenimente independente
SensSe spune că două evenimente se exclud reciproc, atunci când apariția lor nu este simultană.Se spune că două evenimente sunt independente, atunci când apariția unui eveniment nu poate controla apariția altuia.
InfluențăApariția unui eveniment va avea ca rezultat ne-apariția celuilalt.Apariția unui eveniment nu va avea nicio influență asupra apariției celuilalt.
Formula matematicăP (A și B) = 0P (A și B) = P (A) P (B)
Seturi în diagrama VennNu se suprapuneSuprapuneri

Definiția evenimentului care se exclude reciproc

Evenimentele care se exclud reciproc sunt acelea care nu pot avea loc simultan, adică atunci când apariția unui eveniment are ca rezultat ne-apariția celuilalt eveniment. Astfel de evenimente nu pot fi adevărate în același timp. Prin urmare, întâmplarea unui eveniment face imposibilă întâmplarea unui alt eveniment. Acestea sunt, de asemenea, cunoscute sub numele de evenimente disjuncte.

Să luăm un exemplu de aruncare a unei monede, unde rezultatul ar fi fie cap, fie coadă. Atât capul, cât și coada nu pot apărea simultan. Luați un alt exemplu, să presupunem că dacă o companie dorește să cumpere utilaje, pentru care are două opțiuni Mașina A și B. Mașina care este rentabilă și productivitatea este mai bună, va fi selectată. Acceptarea mașinii A va duce automat la respingerea mașinii B și invers.

Definiția Independent Event

După cum sugerează și numele, evenimentele independente sunt evenimentele în care probabilitatea unui eveniment nu controlează probabilitatea apariției celuilalt eveniment. Se întâmplă sau se întâmplă un astfel de eveniment nu are absolut niciun efect asupra întâmplării sau ne-întâmplării unui alt eveniment. Produsul probabilităților lor separate este egal cu probabilitatea ca ambele evenimente să apară.

Să luăm un exemplu, să presupunem că dacă o monedă este aruncată de două ori, coada în prima șansă și coada în a doua, evenimentele sunt independente. Un alt exemplu pentru acest lucru, să presupunem că dacă un zar este aruncat de două ori, 5 în prima șansă și 2 în a doua, evenimentele sunt independente.


4.2: Evenimente independente și care se exclud reciproc - Matematică

pentru orice subset M & subK. De exemplu, pentru ca patru evenimente A, B, C, D să fie reciproc independente, trebuie să avem

Astfel, prin definiții, independența reciprocă implică independența în perechi. Pentru două evenimente, definițiile coincid de fapt. Pentru mai mult de două evenimente, nu sunt. Există evenimente independente perechi care nu sunt independente reciproc. Două exemple au fost produse de S. N. Bernstein în urmă cu ani și discutate mai recent (2007) de C. Stepniak.

Luați în considerare o urnă care conține patru bile, numerotate 110, 101, 011 și 000, din care o minge este extrasă la întâmplare. Pentru că Ak fie evenimentul de a desena o minge cu 1 în a k-a poziție. Astfel, cele trei evenimente sunt independente în perechi. Cu toate acestea, din moment ce A1& capA2& capA3 = & Oslash, nu sunt independenți reciproc.

Pentru un al doilea exemplu, să fie Bk fie evenimentul de a desena o minge cu 0 în poziția k. Acum, pentru că, în oricare dintre cele trei poziții, 0 apare exact de două ori din patru posibilități. Pentru oricare doi indici distincti k și m, P (Bk& capBm) = 1/4, pentru doar o bilă din patru are zerouri atât în ​​pozițiile k cât și în m. Prin urmare, evenimentele Bk sunt (în perechi) independenți. Cu toate acestea, ceea ce diferă de faptul că evenimentele nu sunt reciproc independente.

Cele două exemple sunt esențial diferite, deoarece în primul intersecția lui A este goală, în timp ce în al doilea intersecția lui B nu este.

Remarcând acest lucru, Stepniak continuă să demonstreze că ale lui Bernstein sunt singurele exemple posibile într-un spațiu cu patru rezultate. Presupunem astfel că trei evenimente independente (în perechi) A, B, C sunt definite în spațiu cu patru rezultate, nici unul nu fiind întregul spațiu. Niciunul nu poate consta dintr-un singur rezultat. Să presupunem că atunci x poate sau nu să aparțină, să zicem, B. Dacă x & isinB, atunci și Pe de altă parte, dacă x & notinB, A și B sunt disjuncte și, prin urmare, nu sunt independente. Rezultă că fiecare eveniment conține cel puțin două elemente. Deoarece complementele a două evenimente sunt independente doar de evenimentele în sine, vedem că complementele evenimentelor A, B, C constau, de asemenea, din cel puțin 2 rezultate fiecare. Concluzionăm că fiecare constă în exact două rezultate.

Există doar două posibilități. Există un rezultat comun tuturor celor trei evenimente, care oferă configurația celui de-al doilea exemplu. Sau nu există un rezultat comun tuturor evenimentelor, ceea ce oferă configurația primului exemplu.


3.2 Evenimente independente și care se exclud reciproc

Independent și se exclud reciproc nu înseamnă același lucru.

Evenimente independente

Două evenimente sunt independente dacă următoarele sunt adevărate:

Două evenimente A și B sunt independenți dacă cunoașterea faptului că unul a avut loc nu afectează șansa ca celălalt să apară. De exemplu, rezultatele a două roluri ale unei morți echitabile sunt evenimente independente. Rezultatul primei aruncări nu modifică probabilitatea rezultatului celei de a doua aruncări. Pentru a arăta că două evenimente sunt independente, trebuie să arătați unul singur dintre condițiile de mai sus. Dacă două evenimente NU sunt independente, atunci spunem că sunt dependent.

Eșantionarea se poate face cu înlocuitor sau fără înlocuire.

  • Cu înlocuire: Dacă fiecare membru al unei populații este înlocuit după ce este ales, atunci acel membru are posibilitatea de a fi ales de mai multe ori. Când eșantionarea se face cu înlocuirea, atunci evenimentele sunt considerate a fi independente, ceea ce înseamnă că rezultatul primei alegeri nu va schimba probabilitățile pentru a doua alegere.
  • Fără înlocuire: Când eșantionarea se face fără înlocuire, fiecare membru al unei populații poate fi ales o singură dată. În acest caz, probabilitățile pentru a doua alegere sunt afectate de rezultatul primei alegeri. Evenimentele sunt considerate dependente sau nu independente.

Dacă nu se știe dacă A și B sunt independente sau dependente, presupuneți că sunt dependenți până când puteți arăta altfel.

Exemplul 3.4

Aveți un pachet corect, bine amestecat, de 52 de cărți. Se compune din patru costume. Costumele sunt cluburi, diamante, inimi și pică. Există 13 cărți în fiecare costum format din 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J (jack), Î (regină), K (regele) acelui costum.

A. Eșantionare cu înlocuire:
Să presupunem că alegeți trei cărți cu înlocuire. Prima carte pe care o alegeți din cele 52 de cărți este Î de pică. Pui această carte înapoi, remaniează cărțile și alegi o a doua carte din pachetul de 52 de cărți. Este zece cluburi. Pui această carte înapoi, remaniează cărțile și alegi o a treia carte din pachetul de 52 de cărți. De data aceasta, cardul este Î de pică din nou. Alegerile dvs. sunt <Î de pică, zece de cluburi, Î de pică>. Ați ales Î de pică de două ori. Alegeți fiecare carte din pachetul de 52 de cărți.

b. Eșantionare fără înlocuire:
Să presupunem că alegeți trei cărți fără înlocuire. Prima carte pe care o alegeți din cele 52 de cărți este K de inimi. Pui această carte deoparte și alegi a doua carte din cele 51 de cărți rămase în pachet. Este vorba de trei dintre diamante. Puneți această carte deoparte și alegeți a treia carte dintre cele 50 de cărți rămase din pachet. A treia carte este J de pică. Alegerile dvs. sunt <K de inimi, trei de diamante, J de pică>. Deoarece ați ales cărțile fără înlocuire, nu puteți alege aceeași carte de două ori.

Aveți un pachet corect, bine amestecat, de 52 de cărți. Se compune din patru costume. Costumele sunt cluburi, diamante, inimi și pică. Există 13 cărți în fiecare costum format din 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J (jack), Î (regină), K (regele) acelui costum. Trei cărți sunt alese la întâmplare.

  1. Să presupunem că știți că cărțile alese sunt Î de pică, K a inimilor și Î de pică. Puteți decide dacă eșantionarea a fost cu sau fără înlocuire?
  2. Să presupunem că știți că cărțile alese sunt Î de pică, K de inimi și J de pică. Puteți decide dacă eșantionarea a fost cu sau fără înlocuire?

Exemplul 3.5

Aveți un pachet corect, bine amestecat, de 52 de cărți. Se compune din patru costume. Costumele sunt cluburi, diamante, inimi și pică. Există 13 cărți în fiecare costum format din 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J (jack), Î (regină) și K (regele) acelui costum. S = pică, H = Inimi, D = Diamante, C = Cluburi.

  1. Să presupunem că alegeți patru cărți, dar nu puneți nici o carte înapoi în pachet. Cardurile tale sunt QS, 1D, 1C, QD.
  2. Să presupunem că alegeți patru cărți și puneți fiecare carte înapoi înainte de a alege următoarea carte. Cardurile tale sunt KH, 7D, 6D, KH.

Care dintre. sau b. ai probat cu înlocuire și care ai probat fără înlocuire?

Soluția 1

A. Fără înlocuire b. Cu înlocuire

Aveți un pachet corect, bine amestecat, de 52 de cărți. Se compune din patru costume. Costumele sunt cluburi, diamante, inimi și pică. Există 13 cărți în fiecare costum format din 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J (jack), Î (regină) și K (regele) acelui costum. S = pică, H = Inimi, D = Diamante, C = Cluburi. Să presupunem că probați patru cărți fără înlocuire. Care dintre următoarele rezultate sunt posibile? Răspundeți la aceeași întrebare pentru eșantionare cu înlocuire.

Evenimente care se exclud reciproc

A și B sunt evenimente care se exclud reciproc dacă nu pot avea loc în același timp. Aceasta înseamnă că A și B nu împărtășiți niciun rezultat și P(A ȘI B) = 0.

Dacă nu se știe dacă A și B se exclud reciproc, presupuneți că nu sunt până când nu puteți arăta altfel. Următoarele exemple ilustrează aceste definiții și termeni.

Exemplul 3.6

Întoarceți două monede corecte. (Acesta este un experiment.)

Spațiul eșantionului este <HH, HT, TH, TT> unde T = cozi și H = capete. Rezultatele sunt HH, HT, TH, și TT. Rezultatele HT și TH sunt diferite. HT înseamnă că prima monedă arăta capete și a doua monedă arăta cozi. TH înseamnă că prima monedă arăta cozi și a doua monedă arăta capete.

  • Lăsa A = evenimentul de a obține cel mult o coadă. (Cel mult o coadă înseamnă zero sau o coadă.) Apoi A poate fi scris ca <HH, HT, TH>. Rezultatul HH prezintă zero cozi. HT și TH fiecare arată o coadă.
  • Lăsa B = evenimentul de a lua toate cozile. B poate fi scris ca <TT>. B este completa de A, asa de B = A'. De asemenea, P(A) + P(B) = P(A) + P(A') = 1.
  • Probabilitățile pentru A si pentru B sunt P(A) = 3 4 3 4 și P(B) = 1 4 1 4 .
  • Lăsa C = evenimentul de a obține toate capetele. C = <HH>. De cand B = <TT>, P(B ȘI C) = 0. B și C se exclud reciproc. (B și C nu aveți membri în comun, deoarece nu puteți avea toate cozile și toate capetele în același timp.)
  • Lăsa D = eveniment de obținere mai mult de o coadă. D = <TT>. P(D) = 1 4 1 4
  • Lăsa E = eveniment de a obține un cap pe prima aruncare. (Acest lucru implică că puteți obține fie un cap, fie o coadă pe a doua rulare.) E = <HT, HH>. P(E) = 2 4 2 4
  • Găsiți probabilitatea de a obține cel puțin unul (una sau două) coadă în două flip-uri. Lăsa F = eveniment de a obține cel puțin o coadă în două flip-uri. F = <HT, TH, TT>. P(F) = 3 4 3 4

Trageți două cărți dintr-un pachet standard de 52 de cărți cu înlocuire. Găsiți probabilitatea de a obține cel puțin un card negru.

Exemplul 3.7

Întoarceți două monede corecte. Găsiți probabilitățile evenimentelor.

  1. Lăsa F = evenimentul de a obține cel mult o coadă (zero sau o coadă).
  2. Lăsa G = evenimentul de a obține două fețe care sunt la fel.
  3. Lăsa H = evenimentul de a obține un cap pe primul flip urmat de un cap sau coadă pe al doilea flip.
  4. Sunt F și G se exclud reciproc?
  5. Lăsa J = evenimentul de a lua toate cozile. Sunt J și H se exclud reciproc?

Soluția 1

Uitați-vă la spațiul de eșantionare din exemplul 3.6.

J și H nu au nimic în comun așa că P(J ȘI H) = 0. J și H se exclud reciproc.

O cutie are două bile, una albă și una roșie. Selectăm o minge, o punem înapoi în cutie și selectăm oa doua minge (eșantionare cu înlocuire). Găsiți probabilitatea următoarelor evenimente:

  1. Lăsa F = evenimentul de a obține mingea albă de două ori.
  2. Lăsa G = evenimentul de a obține două bile de culori diferite.
  3. Lăsa H = evenimentul de a deveni alb la prima alegere.
  4. Sunt F și G se exclud reciproc?
  5. Sunt G și H se exclud reciproc?

Exemplul 3.8

Trageți o matriță corectă, cu șase fețe. Spațiul eșantionului este <1, 2, 3, 4, 5, 6>. Lasă evenimentul A = o față este ciudată. Apoi A = <1, 3, 5>. Lasă evenimentul B = un chip este egal. Apoi B = <2, 4, 6>.

  • Găsiți complementul A, A'. Complementul A, A', este B deoarece A și B împreună alcătuiesc spațiul de probă. P(A) + P(B) = P(A) + P(A') = 1. De asemenea, P(A) = 3 6 3 6 și P(B) = 3 6 3 6 .
  • Lasă evenimentul C = fețe ciudate mai mari de două. Apoi C = <3, 5>. Lasă evenimentul D = toate fețele chiar mai mici de cinci. Apoi D = <2, 4>. P(C ȘI D) = 0 pentru că nu puteți avea o față ciudată și pare în același timp. Prin urmare, C și D sunt evenimente care se exclud reciproc.
  • Lasă evenimentul E = toate fețele mai mici de cinci. E = <1, 2, 3, 4>.

Sunt C și E evenimente care se exclud reciproc? (Răspundeți da sau nu.) De ce sau de ce nu?

Soluția 1

  • Găsi P(C|A). Aceasta este o probabilitate condiționată. Reamintim că evenimentul C este <3, 5> și eveniment A este <1, 3, 5>. A găsi P(C|A), găsiți probabilitatea de C folosind spațiul de probă A. Ați redus spațiul eșantionului de la spațiul eșantion original <1, 2, 3, 4, 5, 6> la <1, 3, 5>. Asa de, P(C|A) = 2 3 2 3 .

Lasă evenimentul A = învățarea spaniolei. Lasă evenimentul B = învățarea limbii germane. Apoi A ȘI B = învățarea spaniolă și germană. Presupune P(A) = 0,4 și P(B) = 0.2. P(A ȘI B) = 0,08. Sunt evenimente A și B independent? Sugestie: trebuie să afișați UNUL dintre următoarele:

Exemplul 3.9

Lasă evenimentul G = a lua o clasă de matematică. Lasă evenimentul H = luarea unui curs de știință. Apoi, G ȘI H = luarea unei clase de matematică și o știință. Presupune P(G) = 0.6, P(H) = 0,5 și P(G ȘI H) = 0,3. Sunt G și H independent?

Dacă G și H sunt independenți, atunci trebuie să arăți UNU dintre următoarele:

Alegerea pe care o faceți depinde de informațiile pe care le aveți. Puteți alege oricare dintre metodele de aici, deoarece aveți informațiile necesare.


3.2 Evenimente independente și care se exclud reciproc

Independent și se exclud reciproc nu înseamnă același lucru.

Evenimente independente

Două evenimente sunt independente dacă una dintre următoarele este adevărată:

Două evenimente A și B sunt independenți dacă cunoașterea faptului că una a avut loc nu afectează șansa apariției celeilalte. De exemplu, rezultatele a două roluri ale unei morți echitabile sunt evenimente independente. Rezultatul primei aruncări nu modifică probabilitatea rezultatului celei de a doua aruncări. Pentru a arăta că două evenimente sunt independente, trebuie să arătați unul singur dintre condițiile de mai sus. Dacă două evenimente NU sunt independente, atunci spunem că sunt dependent.

Eșantionarea se poate face cu înlocuitor sau fără înlocuire.

  • Cu înlocuire: Dacă fiecare membru al unei populații este înlocuit după ce este ales, atunci acel membru are posibilitatea de a fi ales de mai multe ori. Când eșantionarea se face cu înlocuire, atunci evenimentele sunt considerate a fi independente, ceea ce înseamnă că rezultatul primei alegeri nu va schimba probabilitățile pentru a doua alegere.
  • Fără înlocuire: Când eșantionarea se face fără înlocuire, fiecare membru al unei populații poate fi ales o singură dată. În acest caz, probabilitățile pentru a doua alegere sunt afectate de rezultatul primei alegeri. Evenimentele sunt considerate dependente sau nu independente.

Dacă nu se știe dacă A și B sunt independente sau dependente, presupuneți că sunt dependenți până când puteți arăta altfel.

Exemplul 3.4

Aveți un pachet corect, bine amestecat, de 52 de cărți. Se compune din patru costume. Costumele sunt cluburi, diamante, inimi și pică. Există 13 cărți în fiecare costum format din 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J (jack), Î (regină), K (regele) acelui costum.

A. Eșantionare cu înlocuire:
Să presupunem că alegeți trei cărți cu înlocuire. Prima carte pe care o alegeți din cele 52 de cărți este Î de pică. Pui această carte înapoi, remaniează cărțile și alegi o a doua carte din pachetul de 52 de cărți. Este zece cluburi. Pui această carte înapoi, remaniează cărțile și alegi o a treia carte din pachetul de 52 de cărți. De data aceasta, cardul este Î de pică din nou. Alegerile dvs. sunt <Î de pică, zece de cluburi, Î de pică>. Ați ales Î de pică de două ori. Alegeți fiecare carte din pachetul de 52 de cărți.

b. Eșantionare fără înlocuire:
Să presupunem că alegeți trei cărți fără înlocuire. Prima carte pe care o alegeți din cele 52 de cărți este K de inimi. Pui această carte deoparte și alegi a doua carte din cele 51 de cărți rămase în pachet. Este vorba de trei dintre diamante. Puneți această carte deoparte și alegeți a treia carte dintre cele 50 de cărți rămase din pachet. A treia carte este J de pică. Alegerile dvs. sunt <K de inimi, trei de diamante, J de pică>. Deoarece ați ales cărțile fără înlocuire, nu puteți alege aceeași carte de două ori. Probabilitatea de a alege cele trei diamante se numește probabilitate condiționată, deoarece este condiționată de ceea ce a fost ales mai întâi. Acest lucru este valabil și pentru probabilitatea de a alege J de pică. Probabilitatea de a alege J de pică este de fapt condiționată de ambii alegerile anterioare.

Aveți un pachet corect, bine amestecat, de 52 de cărți. Se compune din patru costume. Costumele sunt cluburi, diamante, inimi și pică. Există 13 cărți în fiecare costum format din 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J (jack), Î (regină), K (regele) acelui costum. Trei cărți sunt alese la întâmplare.

  1. Să presupunem că știți că cărțile alese sunt Î de pică, K a inimilor și Î de pică. Puteți decide dacă eșantionarea a fost cu sau fără înlocuire?
  2. Să presupunem că știți că cărțile alese sunt Î de pică, K de inimi și J de pică. Puteți decide dacă eșantionarea a fost cu sau fără înlocuire?

Exemplul 3.5

Aveți un pachet corect, bine amestecat, de 52 de cărți. Se compune din patru costume. Costumele sunt cluburi, diamante, inimi și pică. Există 13 cărți în fiecare costum format din 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J (jack), Î (regină) și K (regele) acelui costum. S = pică, H = Inimi, D = Diamante, C = Cluburi.

  1. Să presupunem că alegeți patru cărți, dar nu puneți nici o carte înapoi în pachet. Cardurile tale sunt QS, 1D, 1C, QD.
  2. Să presupunem că alegeți patru cărți și puneți fiecare carte înapoi înainte de a alege următoarea carte. Cardurile tale sunt KH, 7D, 6D, KH.

Care dintre. sau b. ai probat cu înlocuire și care ai probat fără înlocuire?

Soluția 1

A. Fără înlocuire b. Cu înlocuire

Aveți un pachet corect, bine amestecat, de 52 de cărți. Se compune din patru costume. Costumele sunt cluburi, diamante, inimi și pică. Există 13 cărți în fiecare costum format din 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J (jack), Î (regină) și K (regele) acelui costum. S = pică, H = Inimi, D = Diamante, C = Cluburi. Să presupunem că probați patru cărți fără înlocuire. Care dintre următoarele rezultate sunt posibile? Răspundeți la aceeași întrebare pentru eșantionare cu înlocuire.

Evenimente care se exclud reciproc

A și B sunt evenimente care se exclud reciproc dacă nu pot avea loc în același timp. A spus un alt mod, dacă A s-a produs atunci B nu poate apărea și vise-a-versa. Aceasta înseamnă că A și B nu împărtășiți niciun rezultat și P (A ∩ B) = 0 P (A ∩ B) = 0.

Dacă nu se știe dacă A și B se exclud reciproc, presupuneți că nu sunt până când nu puteți arăta altfel. Următoarele exemple ilustrează aceste definiții și termeni.

Exemplul 3.6

Întoarceți două monede corecte. (Acesta este un experiment.)

Spațiul eșantionului este <HH, HT, TH, TT> unde T = cozi și H = capete. Rezultatele sunt HH, HT, TH, și TT. Rezultatele HT și TH sunt diferite. HT înseamnă că prima monedă arăta capete și a doua monedă arăta cozi. TH înseamnă că prima monedă arăta cozi și a doua monedă arăta capete.

  • Lăsa A = evenimentul de a obține cel mult o coadă. (Cel mult o coadă înseamnă zero sau o coadă.) Apoi A poate fi scris ca <HH, HT, TH>. Rezultatul HH prezintă zero cozi. HT și TH fiecare arată o coadă.
  • Lăsa B = evenimentul de a lua toate cozile. B poate fi scris ca <TT>. B este completa de A, asa de B = A'. De asemenea, P(A) + P(B) = P(A) + P(A') = 1.
  • Probabilitățile pentru A si pentru B sunt P(A) = 3 4 3 4 și P(B) = 1 4 1 4 .
  • Lăsa C = evenimentul de a obține toate capetele. C = <HH>. De cand B = <TT>, P (B ∩ C) = 0 P (B ∩ C) = 0. B și C se exclud reciproc. (B și C nu aveți membri în comun, deoarece nu puteți avea toate cozile și toate capetele în același timp.)
  • Lăsa D = eveniment de obținere mai mult de o coadă. D = <TT>. P(D) = 1 4 1 4
  • Lăsa E = eveniment de a obține un cap pe prima aruncare. (Acest lucru implică că puteți obține fie un cap, fie o coadă pe a doua rulare.) E = <HT, HH>. P(E) = 2 4 2 4
  • Găsiți probabilitatea de a obține cel puțin unul (una sau două) coadă în două flip-uri. Lăsa F = eveniment de a obține cel puțin o coadă în două flip-uri. F = <HT, TH, TT>. P(F) = 3 4 3 4

Trageți două cărți dintr-un pachet standard de 52 de cărți cu înlocuire. Găsiți probabilitatea de a obține cel puțin un card negru.

Exemplul 3.7

Întoarceți două monede corecte. Găsiți probabilitățile evenimentelor.

  1. Lăsa F = evenimentul de a obține cel mult o coadă (zero sau o coadă).
  2. Lăsa G = evenimentul de a obține două fețe care sunt la fel.
  3. Lăsa H = evenimentul de a obține un cap pe primul flip urmat de un cap sau coadă pe al doilea flip.
  4. Sunt F și G se exclud reciproc?
  5. Lăsa J = evenimentul de a lua toate cozile. Sunt J și H se exclud reciproc?

Soluția 1

Uitați-vă la spațiul de eșantionare din exemplul 3.6.

O cutie are două bile, una albă și una roșie. Selectăm o minge, o punem înapoi în cutie și selectăm oa doua minge (eșantionare cu înlocuire). Găsiți probabilitatea următoarelor evenimente:

  1. Lăsa F = evenimentul de a obține mingea albă de două ori.
  2. Lăsa G = evenimentul de a obține două bile de culori diferite.
  3. Lăsa H = evenimentul de a deveni alb la prima alegere.
  4. Sunt F și G se exclud reciproc?
  5. Sunt G și H se exclud reciproc?

Exemplul 3.8

Trageți o matriță corectă, cu șase fețe. Spațiul eșantionului este <1, 2, 3, 4, 5, 6>. Lasă evenimentul A = o față este ciudată. Apoi A = <1, 3, 5>. Lasă evenimentul B = un chip este egal. Apoi B = <2, 4, 6>.

  • Găsiți complementul A, A'. Complementul A, A', este B deoarece A și B împreună alcătuiesc spațiul de probă. P(A) + P(B) = P(A) + P(A') = 1. De asemenea, P(A) = 3 6 3 6 și P(B) = 3 6 3 6 .
  • Lasă evenimentul C = fețe ciudate mai mari de două. Apoi C = <3, 5>. Lasă evenimentul D = toate fețele chiar mai mici de cinci. Apoi D = <2, 4>. P (C ∩ D) = 0 P (C ∩ D) = 0 deoarece nu puteți avea o față impar și pare în același timp. Prin urmare, C și D sunt evenimente care se exclud reciproc.
  • Lasă evenimentul E = toate fețele mai mici de cinci. E = <1, 2, 3, 4>.

Sunt C și E evenimente care se exclud reciproc? (Răspundeți da sau nu.) De ce sau de ce nu?


Priveste filmarea: Matematică;, Elemente de probabilități. Evenimente sigure, imposibile, aliatorii (Iulie 2022).


Comentarii:

  1. Shacage

    the Relevant point of view, curious.

  2. Mordke

    În acest lucru nimic acolo și cred că aceasta este o idee foarte bună. De acord pe deplin cu ea.

  3. Prestin

    Este incredibil!

  4. Mijind

    Asa dragut))

  5. Gulmaran

    Va sfatuiesc sa va uitati pe site, cu un numar imens de articole pe tema care va intereseaza.

  6. Arno

    Raspuns destul de amuzant



Scrie un mesaj