Articole

7: Metode de serie a puterii - Matematică

7: Metode de serie a puterii - Matematică



We are searching data for your request:

Forums and discussions:
Manuals and reference books:
Data from registers:
Wait the end of the search in all databases.
Upon completion, a link will appear to access the found materials.

  • 7.1: Seria Power
    Multe funcții pot fi scrise în termenii unei serii de putere. Dacă presupunem că o soluție a unei ecuații diferențiale este scrisă ca o serie de puteri, atunci putem folosi o metodă care amintește de coeficienți nedeterminați. Adică vom încerca să rezolvăm coeficienții expansiunii. Înainte de a putea realiza acest proces, permiteți-ne să trecem în revistă câteva rezultate și concepte despre seria de putere.
  • 7.2: Soluții în serie de ODE liniare de ordinul doi
    Pentru ODE liniare de ordinul doi omogene cu polinoame ca funcții pot fi adesea rezolvate prin extinderea funcțiilor în jurul punctelor obișnuite sau specifice.
  • 7.3: Puncte unice și metoda lui Frobenius
    În timp ce comportamentul ODE la puncte singulare este mai complicat, anumite puncte singulare nu sunt deosebit de dificil de rezolvat. Să ne uităm la câteva exemple înainte de a da o metodă generală. S-ar putea să avem noroc și să obținem o soluție de serie de energie folosind metoda secțiunii anterioare, dar, în general, ar trebui să încercăm alte lucruri.
  • 7.E: Metode de serie de putere (Exerciții)
    Acestea sunt exerciții pentru teme care să însoțească Textmap-ul Libl „Ecuații diferențiale pentru inginerie”. Acesta este un manual destinat unui prim semestru de curs pe ecuații diferențiale, destinat studenților ingineri. Condiția preliminară pentru curs este secvența de bază de calcul.

Miniatură: Funcția sinusală și aproximările sale Taylor în jurul valorii de (x_o = 0 ) din 5a și 9a grad.


7: Metode de serie a puterii - Matematică

Înainte de a începe să găsim soluții de serie la ecuații diferențiale, trebuie să determinăm când putem găsi soluții de serie la ecuații diferențiale. Deci, să începem cu ecuația diferențială,

[începep left (x right) y '' + q left (x right) y '+ r left (x right) y = 0 labelSfârșit]

De data aceasta chiar ne referim la coeficienți neconstanți. Până în acest moment ne-am ocupat doar de coeficienți constanți. Cu toate acestea, cu soluții de serie putem avea acum ecuații diferențiale de coeficient neconstante. De asemenea, pentru a face problemele puțin mai frumoase, ne vom ocupa doar de coeficienți polinomiali.

Acum, spunem că (x = x_ <0> ) este un punct obișnuit dacă sunt furnizate ambele

sunt analitice la (x = x_ <0> ). Aceasta înseamnă că aceste două cantități au serie Taylor în jurul (x = x_ <0> ). Vom avea de-a face doar cu coeficienți care sunt polinoame, deci acest lucru va fi echivalent cu a spune asta

Dacă un punct nu este un punct obișnuit, îl numim a punct singular.

Ideea de bază pentru găsirea unei soluții de serie la o ecuație diferențială este să presupunem că putem scrie soluția ca o serie de puteri sub formă,

și apoi încercați să determinați ce este (a_) Trebuie să fie. Vom putea face acest lucru numai dacă punctul (x = x_ <0> ), este un punct obișnuit. Vom spune de obicei că ( eqref) este o soluție de serie în jurul (x = x_ <0> ).

Să începem cu un exemplu foarte simplu. De fapt, va fi atât de simplu încât vom avea coeficienți constanți. Acest lucru ne va permite să verificăm dacă obținem soluția corectă.

Observați că în acest caz (p (x) = 1 ) și deci fiecare punct este un punct obișnuit. Vom căuta o soluție sub formă,

Va trebui să conectăm acest lucru la ecuația noastră diferențială, așa că va trebui să găsim câteva derivate.

Amintiți-vă din secțiunea de revizuire a seriei de putere despre seriile de energie electrică că putem începe acestea la (n = 0 ) dacă este necesar, totuși este aproape întotdeauna mai bine să le porniți acolo unde le avem aici. Dacă se dovedește că ar fi fost mai ușor să le porniți de la (n = 0 ), putem rezolva cu ușurință acest lucru când vine timpul.

Deci, conectați-le la ecuația noastră diferențială. Făcând acest lucru,

Următorul pas este de a combina totul într-o singură serie. Pentru a face acest lucru, trebuie să obținem ambele serii începând din același punct și exponentul de pe (x ) să fie același în ambele serii.

Vom începe întotdeauna obținând exponentul de pe (x ) să fie același. De obicei, cel mai bine este să obțineți exponentul să fie un (n ). A doua serie are deja exponentul adecvat și prima serie va trebui să fie deplasată în jos cu 2 pentru a obține exponentul până la un (n ). Dacă nu vă amintiți cum să faceți acest lucru, aruncați o privire rapidă la prima secțiune de examinare în care am făcut mai multe dintre aceste tipuri de probleme.

Schimbarea primei serii de putere ne oferă,

Observați că, în procesul de schimbare, am obținut ambele serii începând din același loc. Acest lucru nu se va întâmpla întotdeauna, dar când se va întâmpla, îl vom lua. Acum putem adăuga cele două serii. Asta da,

Reamintind acum faptul că din secțiunea de revizuire a seriei de putere știm că dacă avem o serie de puteri care este zero pentru toate (x ) (așa cum este), atunci toți coeficienții trebuie să fi fost zero pentru a începe. Acest lucru ne oferă următoarele,

Aceasta se numește relație de recurență și observați că am inclus valorile (n ) pentru care trebuie să fie adevărat. Vom dori întotdeauna să includem valorile lui (n ) pentru care relația de recurență este adevărată, deoarece acestea nu vor începe întotdeauna de la (n ) = 0 așa cum a făcut în acest caz.

Acum să ne amintim ce am urmărit în primul rând. Am vrut să găsim o soluție în serie la ecuația diferențială. Pentru a face acest lucru, a trebuit să determinăm valorile (a_) ’S. Suntem aproape de punctul în care putem face asta. Relația de recurență are două (a_ diferite)) Este în ea, deci nu putem rezolva acest lucru doar pentru (a_) și obțineți o formulă care va funcționa pentru toți (n ). Cu toate acestea, putem folosi acest lucru pentru a determina ceea ce toate, în afară de două dintre (a_) Sunt.

Pentru a face acest lucru, mai întâi rezolvăm relația de recurență pentru (a_) care are cel mai mare indice. Făcând acest lucru,

Acum, în acest moment trebuie doar să începem să conectăm o anumită valoare a (n ) și să vedem ce se întâmplă,

(n = 0 ) ( = frac << - >> << left (2 right) left (1 right) >> ) (n = 1 ) ( = frac << - >> << left (3 right) left (2 right) >> )
(n = 2 ) (începe & = - frac <<>> << left (4 right) left (3 right) >> & amp = frac <<>> << left (4 right) left (3 right) left (2 right) left (1 right) >> end) (n = 3 ) (începe & = - frac <<>> << left (5 right) left (4 right) >> & amp = frac <<>> << left (5 right) left (4 right) left (3 right) left (2 right) >> end)
(n = 4 ) (începe & = - frac <<>> << left (6 right) left (5 right) >> & amp = frac << - >> << left (6 right) left (5 right) left (4 right) left (3 right) left (2 right) left (1 right) >> end) (n = 5 ) (începe & = - frac <<>> << left (7 right) left (6 right) >> & amp = frac << - >> << left (7 right) left (6 right) left (5 right) left (4 right) left (3 right) left (2 right) >> end)
( vdots ) ( vdots )
(> = frac <<<< left (<- 1> right)> ^ k>>> << left (<2k> right)! >>, , , , k = 1,2, ldots ) (> = frac <<<< left (<- 1> right)> ^ k>>> << left (<2k + 1> right)! >>, , , , k = 1,2, ldots )

Observați că la fiecare pas ne-am conectat întotdeauna la răspunsul anterior, astfel încât, atunci când indicele era egal, puteam scrie întotdeauna (a_) în termeni de (a_ <0> ) și când coeficientul a fost impar am putea scrie întotdeauna (a_) în termeni de (a_ <1> ). De asemenea, observați că, în acest caz, am putut găsi o formulă generală pentru (a_) Cu coeficienți uniformi și (a_) Cu coeficienți impari. Acest lucru nu va fi întotdeauna posibil.

Mai este un lucru de remarcat aici. Formulele pe care le-am dezvoltat au fost doar pentru (k = 1,2, ldots ), totuși, în acest caz, vor funcționa și pentru (k = 0 ). Din nou, acesta este ceva care nu va funcționa întotdeauna, dar funcționează aici.

Nu vă lăsați entuziasmați de faptul că nu știm ce sunt (a_ <0> ) și (a_ <1> ). După cum veți vedea, avem de fapt nevoie ca acestea să fie în problemă pentru a obține soluția corectă.

Acum că avem formule pentru (a_) Să primim o soluție. Primul lucru pe care îl vom face este să scriem soluția cu câteva dintre (a_) Este conectat.

Următorul pas este de a colecta toți termenii cu același coeficient în ei și apoi de a calcula coeficientul respectiv.

În ultimul pas am folosit și faptul că știam care este formula generală pentru a scrie ambele porțiuni ca serie de putere. Aceasta este și soluția noastră. Am terminat.

Înainte de a rezolva o altă problemă, aruncăm o privire asupra soluției la exemplul anterior. În primul rând, am început spunând că vrem o soluție de serie a formularului,

și nu am obținut asta. Am obținut o soluție care conținea două serii de putere diferite. De asemenea, fiecare dintre soluții avea o constantă necunoscută în ele. Aceasta nu este o problemă. De fapt, este ceea ce vrem să se întâmple. Din munca noastră cu ecuații diferențiale de coeficient constant de ordinul doi știm că soluția la ecuația diferențială din ultimul exemplu este,

[y left (x right) = cos left (x right) + sin left (x right) ]

Soluțiile la ecuațiile diferențiale de ordinul doi constau din două funcții separate fiecare cu o constantă necunoscută în fața lor, care se găsesc prin aplicarea oricăror condiții inițiale. Deci, forma soluției noastre din ultimul exemplu este exact ceea ce vrem să obținem. Amintiți-vă, de asemenea, că următoarea serie Taylor,

Amintindu-le, vedem foarte repede că ceea ce am obținut din metoda soluției în serie a fost exact soluția pe care am obținut-o din primele principii, cu excepția faptului că funcțiile erau seria Taylor pentru funcțiile reale în loc de funcțiile propriu-zise.

Acum să prezentăm un exemplu cu coeficienți neconstanți, deoarece soluțiile în serie sunt cele mai utile.

La fel ca în primul exemplu (p (x) = 1 ) și așa din nou pentru această ecuație diferențială fiecare punct este un punct obișnuit. Acum o vom începe la fel cum am făcut primul exemplu. Să notăm forma soluției și să obținem derivatele sale.

Conectarea la ecuația diferențială oferă,

Spre deosebire de primul exemplu, trebuie mai întâi să mutăm toți coeficienții în serie.

Acum va trebui să schimbăm prima serie în jos cu 2 și a doua serie în sus cu 1 pentru a obține ambele serii în termeni de (x ^n ).

Apoi, trebuie să obținem cele două serii începând cu aceeași valoare (n ). Singura modalitate de a face acest lucru pentru această problemă este eliminarea termenului (n = 0 ).

Acum trebuie să stabilim toți coeficienții egali cu zero. Cu toate acestea, va trebui să fim atenți. Coeficientul (n = 0 ) este în fața seriei și (n = 1,2,3, puncte ) sunt toate din serie. Deci, setarea coeficientului egal cu zero dă,

Rezolvarea primei, precum și relația de recurență,

Acum trebuie să începem să conectăm valorile (n ).

( displaystyle = frac <<>> << left (3 right) left (2 right) >> ) ( displaystyle = frac <<>> << left (4 right) left (3 right) >> ) ( displaystyle = frac <<>> << left (5 right) left (4 right) >> = 0 )
(începe & = frac <<>> << left (6 right) left (5 right) >> & amp = frac <<>> << left (6 right) left (5 right) left (3 right) left (2 right) >> end) (începe & = frac <<>> << left (7 right) left (6 right) >> & amp = frac <<>> << left (7 right) left (6 right) left (4 right) left (3 right) >> end) ( displaystyle = frac <<>> << left (8 right) left (7 right) >> = 0 )
( vdots ) ( vdots ) ( vdots )
(începe> & = frac <<>> << left (2 right) left (3 right) left (5 right) left (6 right) cdots left (<3k - 1> right) left (<3k > dreapta) >> k & = 1,2,3, ldots end) (începe> & = frac <<>> << left (3 right) left (4 right) left (6 right) left (7 right) cdots left (<3k> right) left (<3k + 1 > dreapta) >> k & = 1,2,3, ldots end) (începe> & = 0 k & = 0,1,2, ldots end)

Există câteva lucruri de remarcat despre acești coeficienți. În primul rând, fiecare al treilea coeficient este zero. Apoi, formulele de aici sunt oarecum neplăcute și nu sunt atât de ușor de văzut prima dată. În cele din urmă, aceste formule nu vor funcționa pentru (k = 0 ) spre deosebire de primul exemplu.

Din nou, adunați termenii care conțin același coeficient, calculați coeficientul și scrieți rezultatele ca o serie nouă,

De data aceasta nu am putut începe seria noastră la (k = 0 ), deoarece termenul general nu este valabil pentru (k = 0 ).

Acum, trebuie să lucrăm un exemplu în care folosim un alt punct care (x = 0 ). De fapt, să luăm exemplul anterior și să-l refacem pentru o valoare diferită de (x_ <0> ). De asemenea, va trebui să modificăm puțin instrucțiunile pentru acest exemplu.

Din păcate pentru noi nu există nimic din primul exemplu care să poată fi refolosit aici. Se schimbă în ( = - 2 ) modifică complet problema. În acest caz soluția noastră va fi,

Derivații soluției sunt,

Conectați-le la ecuația diferențială.

Ne lovim acum de prima noastră diferență reală între acest exemplu și exemplul anterior. În acest caz, nu putem doar să multiplicăm (x ) în a doua serie, deoarece pentru a combina cu seria trebuie să fie (x + 2 ). Prin urmare, va trebui mai întâi să modificăm coeficientul celei de-a doua serii înainte de a o multiplica în serie.

Acum avem trei serii cu care să lucrăm. Acest lucru se va întâmpla adesea în aceste tipuri de probleme. Acum va trebui să mutăm prima serie în jos cu 2 și a doua serie în sus cu 1 pentru a obține exponenți comuni în toate seriile.

Pentru a combina seria, va trebui să eliminăm termenii (n = 0 ) atât din prima, cât și din a treia serie.

Setarea coeficienților egali cu zero dă,

Acum trebuie să le rezolvăm pe ambele. În primul caz, există două opțiuni, putem rezolva pentru (a_ <2> ) sau putem rezolva pentru (a_ <0> ). Din obișnuință o voi rezolva pentru (a_ <0> ). În relația de recurență, vom rezolva termenul cu cel mai mare indice ca în exemplele anterioare.

Observați că, în acest exemplu, nu vom renunța la fiecare al treilea termen, așa cum am făcut în exemplul anterior.

În acest moment, vom recunoaște, de asemenea, că și instrucțiunile pentru această problemă sunt diferite. Nu vom obține o formulă generală pentru (a_) Este de data aceasta, așa că va trebui să fim mulțumiți doar cu primirea primilor doi termeni pentru fiecare porțiune a soluției. Acesta este adesea cazul soluțiilor de serie. Obținerea de formule generale pentru (a_) Este mai degrabă excepția decât regula în aceste tipuri de probleme.

Pentru a obține primii patru termeni, vom începe să conectăm termenii până când vom obține numărul necesar de termeni. Rețineți că vom începe deja cu un (a_ <0> ) și un (a_ <1> ) din primii doi termeni ai soluției, așa că tot ce vom avea nevoie sunt încă trei termeni cu un (a_ < 0> ) în ei și încă trei termeni cu un (a_ <1> ) în ei.

Avem două (a_ <0> ) și unul (a_ <1> ).

Avem trei (a_ <0> ) și două (a_ <1> ).

Avem patru (a_ <0> ) și trei (a_ <1> ). Avem toate (a_ <0> ) de care avem nevoie, dar mai avem nevoie de încă unul (a_ <1> ). Așadar, va trebui să mai facem încă un termen.

Avem cinci (a_ <0> ) și patru (a_ <1> ). Avem toți termenii de care avem nevoie.

Acum, tot ce trebuie să facem este să ne conectăm la soluția noastră.

În cele din urmă, colectați toți termenii cu același coeficient și calculați coeficientul pe care îl obțineți,

Aceasta este soluția pentru această problemă în ceea ce ne privește. Observați că această soluție nu seamănă nimic cu exemplul anterior. Este aceeași ecuație diferențială, dar schimbarea (x_ <0> ) a schimbat complet soluția.

Să rezolvăm o ultimă problemă.

[ left (<+ 1> dreapta) y '' - 4xy '+ 6y = 0 ]

În sfârșit avem o ecuație diferențială care nu are un coeficient constant pentru a doua derivată.

[p left (x right) = + 1 hspace <0.25in> p left (0 right) = 1 ne 0 ]

Asa de ( = 0 ) este un punct obișnuit pentru această ecuație diferențială. Mai întâi avem nevoie de soluție și de derivații ei,

Conectați-le la ecuația diferențială.

Acum, împărțiți primul termen în doi, astfel încât să putem înmulți coeficientul în serie și să înmulțim și coeficienții celei de-a doua și a treia serii.

Va trebui doar să schimbăm a doua serie în jos cu două pentru a obține toți exponenții la fel în toate seriile.

În acest moment am putea elimina câțiva termeni pentru a obține toate seriile începând de la (n = 2 ), dar este de fapt mai mult de lucru decât este necesar. Să observăm, în schimb, că am putea începe a treia serie la (n = 0 ) dacă am dori, deoarece acel termen este doar zero. În mod similar, termenii din prima serie sunt zero atât pentru (n = 1 ) cât și pentru (n = 0 ) și astfel am putea începe acea serie de la (n = 0 ). Dacă facem acest lucru, toate seriile vor începe acum de la (n = 0 ) și le putem adăuga fără a elimina termeni din nicio serie.

Acum setați coeficienți egali cu zero.

Acum, conectăm valorile (n ).

Acum, din acest moment, toți coeficienții sunt zero. În acest caz, ambele serii din soluție se vor termina. Acest lucru nu se va întâmpla întotdeauna și, adesea, doar unul dintre ei se va termina.


Exerciții 11.9

Ex 11.9.1 Găsiți o reprezentare de serie pentru $ ln 2 $. (Răspuns)

Ex 11.9.2 Găsiți o reprezentare a seriei de putere pentru $ ds 1 / (1-x) ^ 2 $. (Răspuns)

Ex 11.9.3 Găsiți o reprezentare a seriei de putere pentru $ ds 2 / (1-x) ^ 3 $. (Răspuns)

Ex 11.9.4 Găsiți o reprezentare a seriei de putere pentru $ ds 1 / (1-x) ^ 3 $. Care este raza convergenței? (Răspuns)

Ex 11.9.5 Găsiți o reprezentare a seriei de putere pentru $ ds int ln (1-x) , dx $. (Răspuns)


7: Metode de serie a puterii - Matematică

Acum, că știm cum să reprezentăm funcția ca serie de puteri, putem vorbi acum despre cel puțin câteva aplicații ale seriei.

Există, de fapt, multe aplicații ale seriilor, din păcate, majoritatea dintre ele sunt dincolo de sfera acestui curs. O aplicație a seriei de putere (cu utilizarea ocazională a seriei Taylor) este în domeniul ecuațiilor diferențiale ordinare atunci când se găsesc soluții de serie la ecuațiile diferențiale. Dacă sunteți interesat să vedeți cum funcționează acest lucru, puteți consulta acel capitol din notele mele despre ecuații diferențiale.

O altă aplicație a seriilor apare în studiul ecuațiilor diferențiale parțiale. Una dintre metodele cele mai utilizate în acest subiect folosește seria Fourier.

Multe dintre aplicațiile seriilor, în special cele din câmpurile ecuațiilor diferențiale, se bazează pe faptul că funcțiile pot fi reprezentate ca o serie. În aceste aplicații este foarte dificil, dacă nu imposibil, să găsești funcția în sine. Cu toate acestea, există metode de determinare a reprezentării seriei pentru funcția necunoscută.

În timp ce aplicațiile ecuațiilor diferențiale sunt dincolo de sfera acestui curs, există unele aplicații dintr-o setare de calcul pe care le putem privi.

Pentru a face acest lucru, va trebui mai întâi să găsim o serie Taylor despre (x = 0 ) pentru integrand. Cu toate acestea, acest lucru nu este teribil de dificil. Avem deja o serie Taylor pentru sine despre (x = 0 ), așa că vom folosi acest lucru după cum urmează,

Acum putem rezolva problema.

Deci, deși nu putem integra această funcție în termeni de funcții cunoscute, putem veni cu o reprezentare în serie pentru integral.

Această idee de a obține o reprezentare în serie pentru o funcție în loc să încerce să găsească funcția în sine este utilizată destul de des în mai multe câmpuri. De fapt, există unele domenii în care aceasta este una dintre ideile principale utilizate și fără această idee ar fi foarte dificil să realizăm ceva în aceste domenii.

O altă aplicație a seriei nu este cu adevărat o aplicație a seriilor infinite. Este mai mult o aplicație de sume parțiale. De fapt, am văzut deja această aplicație folosită o dată în acest capitol. În Estimarea valorii unei serii am folosit o sumă parțială pentru a estima valoarea unei serii. Putem face același lucru cu seriile de putere și reprezentările în serie ale funcțiilor. Principala diferență este că vom folosi acum suma parțială pentru a aproxima o funcție în loc de o singură valoare.

Ne vom uita la seria Taylor pentru exemplele noastre, dar am putea folosi la fel de ușor orice reprezentare a seriei aici. Reamintim că Polinomul Taylor de gradul al IX-lea (f left (x right) ) este dat de,

Să aruncăm o privire la acest exemplu.

Iată formula generală pentru polinoamele Taylor pentru cosinus.

Cele trei polinoame Taylor pe care le avem sunt atunci,

Iată graficul acestor trei polinoame Taylor, precum și graficul cosinusului.

După cum putem vedea din acest grafic, pe măsură ce creștem gradul polinomului Taylor, acesta începe să semene din ce în ce mai mult cu funcția în sine. De fapt, până ajungem la ( left (x right) ) singura diferență este chiar la capete. Cu cât gradul polinomului Taylor este mai mare, cu atât se apropie mai bine funcția.

De asemenea, cu cât intervalul este mai mare, cu atât este mai mare polinomul Taylor de care avem nevoie pentru a obține o aproximare bună pentru întregul interval.

Înainte de a continua, să notăm încă câteva polinoame Taylor din exemplul anterior. Observați că, deoarece seria Taylor pentru cosinus nu conține termeni cu puteri impare pe (x ), obținem următorii polinoame Taylor.

Acestea sunt identice cu cele utilizate în exemplu. Uneori, acest lucru se va întâmpla, deși nu asta a fost chiar scopul. Ideea este de a observa că polinomul Taylor de gradul al n-lea poate avea de fapt un grad mai mic decât (n ). Nu va fi niciodată mai mare decât (n ), dar poate fi mai mică decât (n ).

Ultimul exemplu din această secțiune nu este într-adevăr o aplicație de serie și probabil a aparținut în secțiunea anterioară. Cu toate acestea, secțiunea anterioară a devenit prea lungă, astfel încât exemplul este în această secțiune. Acesta este un exemplu de cum să multiplicați seriile împreună și, deși aceasta nu este o aplicație a seriei, este ceva ce trebuie făcut ocazional în aplicații. Deci, în acest sens, aparține acestei secțiuni.

Înainte de a începe, să recunoaștem că cel mai simplu mod de a face această problemă este să calculăm pur și simplu primele 3-4 derivate, să le evaluăm la (x = 0 ), să le conectăm la formulă și am fi terminat. Cu toate acestea, așa cum am menționat anterior acestui exemplu, dorim să folosim acest exemplu pentru a ilustra modul în care înmulțim seriile.

Vom folosi faptul că avem serie Taylor pentru fiecare dintre acestea, astfel încât să le putem folosi în această problemă.

Nu vom multiplica complet aceste serii. Vom face suficient din multiplicare pentru a obține un răspuns. Afirmația problemei spune că vrem primele trei non-zero termeni. Acest bit diferit de zero este important deoarece este posibil ca unii dintre termeni să fie zero. Dacă niciunul dintre termeni nu este zero, acest lucru ar însemna că primii trei termeni diferiți de zero ar fi termenul constant, termenul (x ) și () termen. Cu toate acestea, pentru că unele ar putea fi zero, să presupunem că dacă obținem toți termenii prin () vom avea destule pentru a obține răspunsul. Dacă am presupus greșit că va fi foarte ușor de remediat, așa că nu vă faceți griji în legătură cu asta.

Acum, să notăm primii termeni ai fiecărei serii și ne vom opri la x 4 termen în fiecare.

Rețineți că trebuie să recunoaștem că aceste serii nu se opresc. Acesta este scopul „ (+ cdots )” de la sfârșitul fiecăruia. Cu toate acestea, doar pentru o secundă, să presupunem că fiecare dintre acestea s-a oprit și ne-am întrebat cum am înmulți fiecare. Dacă acesta ar fi cazul, am lua fiecare termen în al doilea și ne-am înmulți cu fiecare termen în primul. Cu alte cuvinte, am înmulți mai întâi fiecare termen din a doua serie cu 1, apoi fiecare termen din a doua serie cu (x ), apoi cu () etc.

Prin oprirea fiecărei serii la () acum am garantat că vom primi toți termenii care au un exponent de 4 sau mai puțin. Vezi de ce?

Fiecare dintre termenii pe care am neglijat să-i notăm au ​​un exponent de cel puțin 5 și deci înmulțirea cu 1 sau orice putere a lui (x ) va avea ca rezultat un termen cu un exponent care este cel puțin 5. Prin urmare, termenii neglijați vor contribui cu termeni cu un exponent de 4 sau mai puțin și, prin urmare, nu au fost necesari.

Deci, să începem procesul de multiplicare.

Acum, colectați termeni asemănători, ignorând totul cu un exponent de 5 sau mai mult, deoarece nu vom avea toți acești termeni și nici nu îi vom dori. Făcând acest lucru,

Iată-ne. Se pare că am ghicit și am ajuns cu patru termeni diferiți de zero, dar este în regulă. Dacă am fi ghicit și s-a dovedit că avem nevoie de termeni cu () în ele tot ce ar trebui să facem în acest moment este să ne întoarcem și să adăugăm acești termeni la seria originală și să facem câteva multiplicări rapide. Cu alte cuvinte, nu există niciun motiv pentru a reface complet toată munca.


Rezolvarea metodelor pentru probleme de matematică

Solverul de matematică AI-SnapXam vă permite să rezolvați probleme matematice complexe, cu explicații detaliate pas cu pas. Unele probleme de matematică pot fi rezolvate folosind mai multe metode (inclusiv metoda profesorului dvs.)).

Pentru aceste probleme, vă permitem să alegeți metoda de rezolvare preferată. Înțelegem că rezolvarea unei probleme de matematică folosind metoda potrivită este aproape la fel de importantă ca obținerea corectă a răspunsului. Acest lucru este deosebit de important atunci când învățați concepte noi, deoarece același răspuns la o problemă poate fi obținut folosind metode sau tehnici diferite.

În acest articol, vă prezentăm diferitele metode de rezolvare pe care le acceptă în prezent rezolvătorul nostru de matematică.


Conversie integrată a seriei de putere

O metodă prin care poate fi utilizată integrarea seriilor de putere este că funcțiile nu pot fi recunoscute din transformările tipice ale seriei de putere. Un exemplu în acest sens poate fi următorul:

Pentru F (x) = ln (2-x), Găsiți o serie de putere echivalentă

La început, funcția de log natural nu este menționată pe o listă de echivalențe de serie de putere. În schimb, se poate vedea asta dacă F (x) derivatul său a fost găsit, apare o funcție comună de serie de putere și poate fi lucrat cu.

Pasul 1: Găsiți prima derivată a funcției date și rescrieți F (x) într-o formă integrală.

Pasul 2: Recunoașteți un model de funcție care poate fi înlocuit direct cu o serie de putere comună.

Pasul 3: Rezolva integralul și organizează termenii.

Unde C este o valoare constantă care variază în funcție de o valoare aleasă pentru x care este conectată.


7: Metode de serie a puterii - Matematică

În acest capitol vom analiza secvențele și seriile (infinite). De fapt, acest capitol se va ocupa aproape exclusiv de serii. Cu toate acestea, trebuie să înțelegem și unele dintre elementele de bază ale secvențelor pentru a face față în mod corespunzător seriilor. Prin urmare, vom petrece puțin timp și pe secvențe.

Seria este unul dintre acele subiecte pe care mulți studenți nu le consideră atât de utile. Pentru a fi sincer, mulți studenți nu vor vedea niciodată serii în afara clasei lor de calcul. Cu toate acestea, seriile joacă un rol important în domeniul ecuațiilor diferențiale obișnuite și fără serie nu ar fi posibile porțiuni mari din câmpul ecuațiilor diferențiale parțiale.

Cu alte cuvinte, seria este un subiect important, chiar dacă nu veți vedea niciodată vreuna dintre aplicații. Majoritatea aplicațiilor sunt dincolo de sfera majorității cursurilor de calcul și tind să apară în clase pe care mulți studenți nu le iau. Deci, pe măsură ce parcurgeți acest material, rețineți că acestea au aplicații, chiar dacă nu vom acoperi cu adevărat multe dintre acestea în această clasă.

Iată o listă de subiecte din acest capitol.

Secvențe - În această secțiune definim exact ce înțelegem prin secvență într-o clasă de matematică și dăm notația de bază pe care o vom folosi cu ele. Ne vom concentra pe terminologia de bază, limitele secvențelor și convergența secvențelor în această secțiune. De asemenea, vom oferi multe dintre faptele și proprietățile de bază de care vom avea nevoie în timp ce lucrăm cu secvențe.

Mai multe despre secvențe - În această secțiune vom continua examinarea secvențelor. Vom determina dacă o secvență într-o secvență crescătoare sau o secvență descrescătoare și, prin urmare, dacă este o secvență monotonă. De asemenea, vom determina că o secvență este delimitată mai jos, delimitată deasupra și / sau delimitată.

Seria - Noțiunile de bază - În această secțiune vom defini formal o serie infinită. De asemenea, vom oferi multe dintre faptele de bază, proprietățile și modalitățile pe care le putem folosi pentru a manipula o serie. De asemenea, vom discuta pe scurt cum să determinăm dacă o serie infinită va converge sau divergen (o discuție mai aprofundată despre acest subiect va avea loc în secțiunea următoare).

Convergența / divergența seriilor - În această secțiune vom discuta în detaliu convergența și divergența seriilor infinite. Vom ilustra modul în care sume parțiale sunt folosite pentru a determina dacă o serie infinită converge sau diverg. În această secțiune vom oferi și testul divergenței pentru serii.

Serii speciale - În această secțiune vom analiza trei serii care fie apar în mod regulat, fie au câteva proprietăți frumoase pe care dorim să le discutăm. Vom examina seriile geometrice, seriile telescopice și seriile armonice.

Test Integral - În această secțiune vom discuta despre utilizarea Testului Integral pentru a determina dacă o serie infinită converge sau divergă. Testul integral poate fi utilizat pe o serie infinită cu condiția ca termenii seriei să fie pozitivi și descrescător. O dovadă a Testului Integral este, de asemenea, dată.

Test de comparație / Test de comparare a limitei - În această secțiune vom discuta despre utilizarea testelor de comparație și testelor de comparare a limitelor pentru a determina dacă o serie infinită converge sau divergă. Pentru a utiliza oricare test, termenii din seria infinită trebuie să fie pozitivi. Sunt prezentate și dovezi pentru ambele teste.

Testul seriei alternative - În această secțiune vom discuta despre utilizarea testului seriei alternative pentru a determina dacă o serie infinită converge sau divergă. Testul seriei alternative poate fi utilizat numai dacă termenii seriei alternează în semn. O dovadă a testului seriei alternative este, de asemenea, dată.

Convergență absolută - În această secțiune vom discuta pe scurt despre convergența absolută și convergența condiționată și despre modul în care acestea se raportează la convergența seriilor infinite.

Testul raportului - În această secțiune vom discuta despre utilizarea raportului Test pentru a determina dacă o serie infinită converge absolut sau divergă. Testul raportului poate fi utilizat pe orice serie, dar, din păcate, nu va da întotdeauna un răspuns concludent cu privire la faptul dacă o serie va converge în mod absolut sau va diferi. O dovadă a testului raportului este, de asemenea, dată.

Test Root - În această secțiune vom discuta despre utilizarea Root Test pentru a determina dacă o serie infinită converge absolut sau divergă. Testul de rădăcină poate fi utilizat pe orice serie, dar, din păcate, nu va oferi întotdeauna un răspuns concludent cu privire la faptul dacă o serie va converge în mod absolut sau va diferi. O dovadă a testului de rădăcină este, de asemenea, dată.

Strategia pentru serii - În această secțiune oferim un set general de linii directoare pentru determinarea testului de utilizat pentru a determina dacă o serie infinită va converge sau va divergența. Rețineți, de asemenea, că într-adevăr nu există un set de linii directoare care să funcționeze întotdeauna și, prin urmare, trebuie să fiți întotdeauna flexibili în respectarea acestui set de linii directoare. Un rezumat al tuturor diferitelor teste, precum și condițiile care trebuie îndeplinite pentru a le utiliza, am discutat în acest capitol sunt, de asemenea, prezentate în această secțiune.

Estimarea valorii unei serii - În această secțiune vom discuta despre modul în care testul integral, testul de comparație, testul alternativ al seriei și testul raportului pot fi, uneori, utilizate pentru estimarea valorii unei serii infinite.

Seria de putere - În această secțiune vom da definiția seriei de putere, precum și definiția razei de convergență și a intervalului de convergență pentru o serie de puteri. Vom ilustra, de asemenea, modul în care Testul raportului și Testul rădăcinii pot fi utilizate pentru a determina raza și intervalul de convergență pentru o serie de puteri.

Serii de putere și funcții - În această secțiune discutăm despre modul în care formula unei serii geometrice convergente poate fi utilizată pentru a reprezenta unele funcții ca serie de puteri. Pentru a utiliza formula Seriei geometrice, funcția trebuie să poată fi pusă într-o formă specifică, ceea ce este adesea imposibil. Cu toate acestea, utilizarea acestei formule ilustrează rapid modul în care funcțiile pot fi reprezentate ca o serie de puteri. De asemenea, discutăm diferențierea și integrarea seriilor de putere.

Taylor Series – In this section we will discuss how to find the Taylor/Maclaurin Series for a function. This will work for a much wider variety of function than the method discussed in the previous section at the expense of some often unpleasant work. We also derive some well known formulas for Taylor series of (<f e>^) , (cos(x)) and (sin(x)) around (x=0).

Applications of Series – In this section we will take a quick look at a couple of applications of series. We will illustrate how we can find a series representation for indefinite integrals that cannot be evaluated by any other method. We will also see how we can use the first few terms of a power series to approximate a function.

Binomial Series – In this section we will give the Binomial Theorem and illustrate how it can be used to quickly expand terms in the form ( left(a+b ight)^) when (n) is an integer. In addition, when (n) is not an integer an extension to the Binomial Theorem can be used to give a power series representation of the term.


7: Power series methods - Mathematics

Recall that we were able to analyze all geometric series "simultaneously'' to discover that $sum_^infty kx^n = ,$ if $|x| Definition 11.8.1 A power series has the form $dssum_^infty a_nx^n,$ with the understanding that $ds a_n$ may depend on $n$ but not on $x$.

Example 11.8.2 $dssum_^ infty $ is a power series. We can investigate convergence using the ratio test: $ lim_ <|x|^over n+1> =lim_ |x| =|x|. $ Thus when $|x| 1$ it diverges, leaving only two values in doubt. When $x=1$ the series is the harmonic series and diverges when $x=-1$ it is the alternating harmonic series (actually the negative of the usual alternating harmonic series) and converges. Thus, we may think of $dssum_^ infty $ as a function from the interval $[-1,1)$ to the real numbers.

A bit of thought reveals that the ratio test applied to a power series will always have the same nice form. In general, we will compute $ lim_ <|a_||x|^over |a_n||x|^n> =lim_ |x|<|a_|over |a_n|> = |x|lim_ <|a_|over |a_n|> =L|x|, $ assuming that $ds lim |a_|/|a_n|$ exists. Then the series converges if $L|x| 1/L$. Only the two values $x=pm1/L$ require further investigation. Thus the series will definitely define a function on the interval $(-1/L,1/L)$, and perhaps will extend to one or both endpoints as well. Two special cases deserve mention: if $L=0$ the limit is $ no matter what value $x$ takes, so the series converges for all $x$ and the function is defined for all real numbers. If $L=infty$, then no matter what value $x$ takes the limit is infinite and the series converges only when $x=0$. The value $1/L$ is called the radius of convergence of the series, and the interval on which the series converges is the interval of convergence .

Consider again the geometric series, $sum_^infty x^n=<1over 1-x>.$ Whatever benefits there might be in using the series form of this function are only available to us when $x$ is between $-1$ and $1$. Frequently we can address this shortcoming by modifying the power series slightly. Consider this series: $ sum_^infty <(x+2)^nover 3^n>= sum_^infty left( ight)^n=<1over 1->= <3over 1-x>, $ because this is just a geometric series with $x$ replaced by $(x+2)/3$. Multiplying both sides by $1/3$ gives $sum_^infty <(x+2)^nover 3^>=<1over 1-x>,$ the same function as before. For what values of $x$ does this series converge? Since it is a geometric series, we know that it converges when $eqalign< |x+2|/3& Definition 11.8.3 A power series centered at $a$ has the form $dssum_^infty a_n(x-a)^n,$ with the understanding that $ds a_n$ may depend on $n$ but not on $x$.


7: Power series methods - Mathematics

In this section we will introduce the topic that we will be discussing for the rest of this chapter. That topic is infinite series. So just what is an infinite series? Well, let’s start with a sequence (left< <> ight>_^infty ) (note the (n = 1) is for convenience, it can be anything) and define the following,

The () are called partial sums and notice that they will form a sequence, (left< <> ight>_^infty ). Also recall that the (Sigma ) is used to represent this summation and called a variety of names. The most common names are : series notation, summation notation, și sigma notation.

You should have seen this notation, at least briefly, back when you saw the definition of a definite integral in Calculus I. If you need a quick refresher on summation notation see the review of summation notation in the Calculus I notes.

Now back to series. We want to take a look at the limit of the sequence of partial sums, (left< <> ight>_^infty ). To make the notation go a little easier we’ll define,

We will call (sumlimits_^infty <> ) an infinite series and note that the series “starts” at (i = 1) because that is where our original sequence, (left< <> ight>_^infty ), started. Had our original sequence started at 2 then our infinite series would also have started at 2. The infinite series will start at the same value that the sequence of terms (as opposed to the sequence of partial sums) starts.

It is important to note that (sumlimits_^infty <> ) is really nothing more than a convenient notation for (mathop limits_ sumlimits_^n <> ) so we do not need to keep writing the limit down. We do, however, always need to remind ourselves that we really do have a limit there!

If the sequence of partial sums, (left< <> ight>_^infty ), is convergent and its limit is finite then we also call the infinite series, (sumlimits_^infty <> )convergent and if the sequence of partial sums is divergent then the infinite series is also called divergent.

Note that sometimes it is convenient to write the infinite series as,

We do have to be careful with this however. This implies that an infinite series is just an infinite sum of terms and as we’ll see in the next section this is not really true for many series.

In the next section we’re going to be discussing in greater detail the value of an infinite series, provided it has one of course as well as the ideas of convergence and divergence.

This section is going to be devoted mostly to notational issues as well as making sure we can do some basic manipulations with infinite series so we are ready for them when we need to be able to deal with them in later sections.

First, we should note that in most of this chapter we will refer to infinite series as simply series. If we ever need to work with both infinite and finite series we’ll be more careful with terminology, but in most sections we’ll be dealing exclusively with infinite series and so we’ll just call them series.

Now, in (sumlimits_^infty <> ) the (i) is called the index of summation or just index for short and note that the letter we use to represent the index does not matter. So for example the following series are all the same. The only difference is the letter we’ve used for the index.

It is important to again note that the index will start at whatever value the sequence of series terms starts at and this can literally be anything. So far we’ve used (n = 0) and (n = 1) but the index could have started anywhere. In fact, we will usually use (sum <> ) to represent an infinite series in which the starting point for the index is not important. When we drop the initial value of the index we’ll also drop the infinity from the top so don’t forget that it is still technically there.

We will be dropping the initial value of the index in quite a few facts and theorems that we’ll be seeing throughout this chapter. In these facts/theorems the starting point of the series will not affect the result and so to simplify the notation and to avoid giving the impression that the starting point is important we will drop the index from the notation. Do not forget however, that there is a starting point and that this will be an infinite series.

Note however, that if we do put an initial value of the index on a series in a fact/theorem it is there because it really does need to be there.

Now that some of the notational issues are out of the way we need to start thinking about various ways that we can manipulate series.

We’ll start this off with basic arithmetic with infinite series as we’ll need to be able to do that on occasion. We have the following properties.

Proprietăți

If (sum <> ) and (sum <> ) are both convergent series then,

  1. (displaystyle sum <>> ), where (c) is any number, is also convergent and [sum <>> = csum <> ]
  2. (displaystyle sumlimits_^infty <> pm sumlimits_^infty <> ) is also convergent and, [sumlimits_^infty <> pm sumlimits_^infty <> = sumlimits_^infty pm > ight)> ]

The first property is simply telling us that we can always factor a multiplicative constant out of an infinite series and again recall that if we don’t put in an initial value of the index that the series can start at any value. Also recall that in these cases we won’t put an infinity at the top either.

The second property says that if we add/subtract series all we really need to do is add/subtract the series terms. Note as well that in order to add/subtract series we need to make sure that both have the same initial value of the index and the new series will also start at this value.

Before we move on to a different topic let’s discuss multiplication of series briefly. We’ll start both series at (n = 0) for a later formula and then note that,

To convince yourself that this isn’t true consider the following product of two finite sums.

Yeah, it was just the multiplication of two polynomials. Each is a finite sum and so it makes the point. In doing the multiplication we didn’t just multiply the constant terms, then the (x) terms, etc. Instead we had to distribute the 2 through the second polynomial, then distribute the (x) through the second polynomial and finally combine like terms.

Multiplying infinite series (even though we said we can’t think of an infinite series as an infinite sum) needs to be done in the same manner. With multiplication we’re really asking us to do the following,

To do this multiplication we would have to distribute the () through the second term, distribute the () through, etc then combine like terms. This is pretty much impossible since both series have an infinite set of terms in them, however the following formula can be used to determine the product of two series.

We also can’t say a lot about the convergence of the product. Even if both of the original series are convergent it is possible for the product to be divergent. The reality is that multiplication of series is a somewhat difficult process and in general is avoided if possible. We will take a brief look at it towards the end of the chapter when we’ve got more work under our belt and we run across a situation where it might actually be what we want to do. Until then, don’t worry about multiplying series.

The next topic that we need to discuss in this section is that of index shift. To be honest this is not a topic that we’ll see all that often in this course. In fact, we’ll use it once in the next section and then not use it again in all likelihood. Despite the fact that we won’t use it much in this course doesn’t mean however that it isn’t used often in other classes where you might run across series. So, we will cover it briefly here so that you can say you’ve seen it.

The basic idea behind index shifts is to start a series at a different value for whatever the reason (and yes, there are legitimate reasons for doing that).

Consider the following series,

Suppose that for some reason we wanted to start this series at (n = 0), but we didn’t want to change the value of the series. This means that we can’t just change the (n = 2) to (n = 0) as this would add in two new terms to the series and thus change its value.

Performing an index shift is a fairly simple process to do. We’ll start by defining a new index, say (i), as follows,

Now, when (n = 2), we will get (i = 0). Notice as well that if (n = infty ) then (i = infty - 2 = infty ), so only the lower limit will change here. Next, we can solve this for (n) to get,

We can now completely rewrite the series in terms of the index (i) instead of the index (n) simply by plugging in our equation for (n) in terms of (i).

To finish the problem out we’ll recall that the letter we used for the index doesn’t matter and so we’ll change the final (i) back into an (n) to get,

To convince yourselves that these really are the same summation let’s write out the first couple of terms for each of them,

So, sure enough the two series do have exactly the same terms.

There is actually an easier way to do an index shift. The method given above is the technically correct way of doing an index shift. However, notice in the above example we decreased the initial value of the index by 2 and all the (n)’s in the series terms increased by 2 as well.

This will always work in this manner. If we decrease the initial value of the index by a set amount then all the other (n)’s in the series term will increase by the same amount. Likewise, if we increase the initial value of the index by a set amount, then all the (n)’s in the series term will decrease by the same amount.

Let’s do a couple of examples using this shorthand method for doing index shifts.

  1. Write (displaystyle sumlimits_^ infty <><>>> ) as a series that starts at (n = 0).
  2. Write (displaystyle sumlimits_^infty >><<1 - <3^>>>> ) as a series that starts at (n = 3).

In this case we need to decrease the initial value by 1 and so the (n)’s (okay the single (n)) in the term must increase by 1 as well.

For this problem we want to increase the initial value by 2 and so all the (n)’s in the series term must decrease by 2.

The final topic in this section is again a topic that we’ll not be seeing all that often in this class, although we will be seeing it more often than the index shifts. This final topic is really more about alternate ways to write series when the situation requires it.

Let’s start with the following series and note that the (n = 1) starting point is only for convenience since we need to start the series somewhere.

Notice that if we ignore the first term the remaining terms will also be a series that will start at (n = 2) instead of (n = 1) So, we can rewrite the original series as follows,

In this example we say that we’ve stripped out the first term.

We could have stripped out more terms if we wanted to. In the following series we’ve stripped out the first two terms and the first four terms respectively.

Being able to strip out terms will, on occasion, simplify our work or allow us to reuse a prior result so it’s an important idea to remember.

Notice that in the second example above we could have also denoted the four terms that we stripped out as a finite series as follows,

This is a convenient notation when we are stripping out a large number of terms or if we need to strip out an undetermined number of terms. In general, we can write a series as follows,

We’ll leave this section with an important warning about terminology. Don’t get sequences and series confused! A sequence is a list of numbers written in a specific order while an infinite series is a limit of a sequence of finite series and hence, if it exists will be a single value.

So, once again, a sequence is a list of numbers while a series is a single number, provided it makes sense to even compute the series. Students will often confuse the two and try to use facts pertaining to one on the other. However, since they are different beasts this just won’t work. There will be problems where we are using both sequences and series so we’ll always have to remember that they are different.


Too long for comment: In power-series form, the ODE is

Notice the degree of the leading terms in each sum are $ , $1$ , and $ . Removing the first term from the first and third sums, then consolidating the remaining sums gives

(your error occurs at some point during the above steps)

Hint: Compute the derivative on the left hand side. Some terms will vanish and you'll end up with the original ODE.

and so on, which suggests a pattern for the even-indexed coefficients,

Then a solution to the ODE would be

You can do a similar analysis to describe the odd-indexed coefficients. Starting with a fixed $a_1$ , we have

and there is another solution

From here I imagine you are supposed to find closed forms for these power series. The even-indexed series you should recognize right away. The second requires a bit of massaging to get something that looks familiar.


Priveste filmarea: Representação de funções como séries de potências C3 - Aula 22 (August 2022).