Articole

8.3: Funcții măsurabile în ((S, mathcal {M}, m) )

8.3: Funcții măsurabile în  ((S,  mathcal {M}, m) )


We are searching data for your request:

Forums and discussions:
Manuals and reference books:
Data from registers:
Wait the end of the search in all databases.
Upon completion, a link will appear to access the found materials.

I. De acum înainte vom presupune nu doar un spațiu măsurabil (§1), ci un spațiu de măsurare ((S, mathcal {M}, m), ) unde (m: mathcal {M} rightarrow E ^ {*} ) este o măsură pe un ( sigma ) -ring ( mathcal {M} subseteq 2 ^ {S} ).

Am văzut în capitolul 7 că s-ar putea neglija de multe ori seturile de măsură Lebesgue zero pe (E ^ {n} - ) dacă o proprietate deținută peste tot, cu excepția unui set de măsură Lebesgue zero, am spus că deține „aproape peste tot”. Următoarea definiție generalizează această utilizare.

Definiție

Spunem că o proprietate (P (x) ) este valabilă pentru aproape toate (x în A ) (în raport cu măsura (m) ) sau aproape peste tot (ae ((m)) ) pe (A ) dacă ține pe (AQ ) pentru unele (Q in mathcal {M} ) cu (m Q = 0 ).

Astfel scriem

[
f_ {n} rightarrow f (a. e.) text {sau} f = lim f_ {n} (a. e. (m)) text {on} A
]

if (f_ {n} rightarrow f ( text {pointwise}) ) on (AQ, m Q = 0. ) Desigur, „pointwise” implică ("a. e." ( text { take} Q = emptyset), ) dar conversa nu reușește.

Definiție

Spunem că (f: S rightarrow left (T, rho ^ { prime} right) ) este aproape măsurabil pe (A ) if (A in mathcal {M} ) și (f ) este ( mathcal {M} ) -măsurabil pe (AQ, m Q = 0 ).

Apoi mai spunem că (f ) este (m ) -măsurabil ( (m ) fiind măsura implicată) spre deosebire de ( mathcal {M} ) - măsurabil.

Rețineți că putem presupune (Q subseteq A ) aici (înlocuiți (Q ) cu (A cap Q) ).

*Nota 1. Dacă (m ) este o măsură generalizată (capitolul 7, §11), înlocuiți (m Q = 0 ) cu (v_ {m} Q = 0 left (v_ {m} = text {variație totală of} m right) ) în Definițiile 1 și 2 și în următoarele dovezi.

Corolar ( PageIndex {1} )

Dacă funcțiile

[
f_ {n}: S rightarrow left (T, rho ^ { prime} right), quad n = 1,2, ldots
]

sunt (m ) - măsurabile pe (A, ) și dacă

[
f_ {n} rightarrow f (a. e. (m))
]

pe (A, ) atunci (f ) este (m ) - măsurabil pe (A ).

Dovadă

Prin presupunere, (f_ {n} rightarrow f ( text {pointwise}) ) pe (A-Q_ {0}, m Q_ {0} = 0. ) De asemenea, (f_ {n} ) este ( mathcal {M} ) - măsurabil pe

[
A-Q_ {n}, m Q_ {n} = 0, quad n = 1,2, dots
]

( (Q_ {n} ) nu trebuie să fie același.)

Lăsa

[
Q = bigcup_ {n = 0} ^ { infty} Q_ {n};
]

asa de

[
m Q leq sum_ {n = 0} ^ { infty} m Q_ {n} = 0.
]

Conform corolarului 2 din §1, toate (f_ {n} ) sunt ( mathcal {M} ) - măsurabile pe (AQ ) (de ce?) Și (f_ {n} rightarrow f )
(în sens) pe (A-Q, ) ca (A-Q subseteq A-Q_ {0}. )

Astfel, conform teoremei 4 din §1, (f ) este ( mathcal {M} ) -măsurabil pe (A-Q. ) Ca (m Q = 0 ), aceasta
este rezultatul dorit. (pătrat)

Corolar ( PageIndex {2} )

Dacă (f = g (a. E. (M)) ) pe (A ) și (f ) este (m ) - măsurabil pe (A, ) la fel este (g ).

Dovadă

Prin presupunere, (f = g ) pe (A-Q_ {1} ) și (f ) este ( mathcal {M} ) - măsurabil pe (A-Q_ {2} ) , cu (m Q_ {1} = m Q_ {2} = 0 ).

Să fie (Q = Q_ {1} cup Q_ {2}. ) Apoi (m Q = 0 ) și (g = f ) pe (A-Q. ) (De ce? () )

Prin corolarul 2 din §1, (f ) este ( mathcal {M} ) - măsurabil pe (A-Q ). Prin urmare, așa este (g ), așa cum se susține. (pătrat)

Corolar ( PageIndex {3} )

Dacă (f: S rightarrow left (T, rho ^ { prime} right) ) este (m ) -măsurabil pe (A, ) atunci

[
f = lim _ {n rightarrow infty} f_ {n} ( text {uniform}) text {on} A-Q (m Q = 0),
]

pentru unele hărți (f_ {n}, ) toate elementare pe (A-Q ).

Dovadă

Adăugați dovada aici și va fi ascunsă automat

(Compară Corolarul 3 cu Teorema 3 din §1).

În mod similar, toate celelalte propoziții din §1 sunt transferate la funcții aproape măsurabile (adică (m ) -măsurabile). Rețineți, totuși, că termenul "măsurabil" din §§1 și 2 a însemnat întotdeauna (" mathcal {M} ) -măsurabil". Aceasta implică (m ) - măsurabilitate (take (Q = emptyset), ), dar conversa nu reușește. (A se vedea nota (2, ) totuși.)

Încă obținem următorul rezultat.

Corolar ( PageIndex {4} )

Dacă funcțiile

[
f_ {n}: S rightarrow E ^ {*} quad (n = 1,2, ldots)
]

sunt (m ) - măsurabile pe un set (A, ) așa sunt și

[
sup f_ {n}, inf f_ {n}, overline { lim} f_ {n}, text {și} underline { lim} f_ {n}
]

(Folosiți Lema 1 din §2).

În mod similar, teorema 2 din §2 trece la (m ) - funcții măsurabile.

Nota 2. Dacă (m ) este completă (cum ar fi măsura Lebesgue și măsurile LS), atunci pentru (f: S rightarrow E ^ {*} left (E ^ {n}, C ^ {n} right), m- ) și ( mathcal {M} ) - măsurabilitatea coincide (a se vedea problema 3 de mai jos).

II. Măsurabilitate și continuitate. Pentru a studia legătura dintre aceste noțiuni, afirmăm mai întâi două leme, adesea tratate ca definiții.

Lemă ( PageIndex {1} )

(A operatorname {map} f: S rightarrow E ^ {n} left (C ^ {n} right) ) is ( mathcal {M} ) - măsurabil pe (A ) if
[
A cap f ^ {- 1} [B] în mathcal {M}
]
pentru fiecare set Borel (echivalent, set deschis) (B ) în (E ^ {n} left (C ^ {n} right) ).

Dovadă

A se vedea Probleme (8-10 ) în §2 pentru o schiță a dovezii.

Lemă ( PageIndex {2} )

(A operatorname {map} f: (S, rho) rightarrow left (T, rho ^ { prime} right) ) este relativ continuu pe (A subseteq S ) if pentru orice open set (B subseteq left (T, rho ^ { prime} right), ) setul (A cap f ^ {- 1} [B] ) este deschis în ((A , rho) ) ca subspatiu al ((S, rho) ).
(Acest lucru este valabil și pentru „deschis” înlocuit cu „închis”.)

Dovadă

În capitolul 4, §1, nota de subsol (4, f ) este relativ continuă pe (A ) dacă restricția sa la (A ) (numiți-o (g: A dreapta T) ) este continuă în sensul obișnuit.
Acum, prin problema 15 (( mathrm {iv}) ( mathrm {v}) ) în capitolul 4, §2, cu (S ) înlocuit cu (A, ) aceasta înseamnă că (g ^ {- 1} [B] ) este deschis (închis) (în (A, rho) ) când (B ) este așa în ( left (T, rho ^ { prime} dreapta). ) Dar
[
g ^ {- 1} [B] = {x în A | f (x) in B } = A cap f ^ {- 1} [B].
]
(De ce?) De aceea rezultatul urmează. (pătrat)

Teorema ( PageIndex {1} )

Fie (m: mathcal {M} rightarrow E ^ {*} ) o măsură topologică în ((S, rho). ) Dacă (f: S rightarrow ) (E ^ { n} left (C ^ {n} right) ) este relativ continuu pe un set (A in mathcal {M}, ) este ( mathcal {M} ) -măsurabil pe ( A).

Dovadă

Să fie deschis (B ) în (E ^ {n} left (C ^ {n} right). ) Prin Lema 2,
[
A cap f ^ {- 1} [B]
]
este deschis (i n (A, rho). ) Prin urmare, conform teoremei 4 din capitolul 3, §12,
[
A cap f ^ {- 1} [B] = A cap U
]
pentru unele seturi deschise (U ) din ((S, rho) ).
Acum, prin presupunere, (A ) este în ( mathcal {M}. ) La fel și (U, ) așa cum ( mathcal {M} ) este topologic (( mathcal {M} supseteq mathcal {G}) ).
Prin urmare
[
A cap f ^ {- 1} [B] = A cap U in mathcal {M}
]
pentru orice deschidere (B subseteq E ^ {n} left (C ^ {n} right). ) Rezultatul urmează prin Lema 1. ( pătrat )

Nota 3. Conversa nu reușește. De exemplu, funcția Dirichlet (Exemplu (( mathrm {c}) ) din Capitolul 4, §1) este L-măsurabilă (chiar simplă), dar discontinuă peste tot.
Nota 4. Lema 1 și teorema 1 sunt valabile pentru o hartă (f: S rightarrow left (T, rho ^ { prime} right), ), cu condiția ca (f [A] ) să fie separabilă, adică
[
f [A] subseteq overline {D}
]
pentru un set numărabil (D subseteq T ) (cf. Problema 11 din §2).
* III. Pentru măsuri puternic regulate (definiția 5 din capitolul 7, §7), obținem următoarea teoremă.

* Teorema ( PageIndex {2} )

(Luzin). Fie (m: mathcal {M} rightarrow E ^ {*} ) o măsură puternic regulată în ((S, rho) ). Fie (f: S rightarrow left (T, rho ^ { prime} right) ) fi (m ) - măsurabil pe (A ).
Apoi dat ( varepsilon> 0, ) există un set închis (F subseteq A (F in mathcal {M}) ) astfel încât
[
m (A-F) < varepsilon
]
și (f ) este relativ continuu pe (F ).
(Rețineți că dacă (T = E ^ {*}, rho ^ { prime} ) este ca în problema 5 din capitolul 3, §11.)

Dovadă

Prin presupunere, (f ) este ( mathcal {M} ) - măsurabil pe un set
[
H = A-Q, m Q = 0;
]
deci prin problema 7 din §1, (f [H] ) este separabil în (T ). Putem presupune în siguranță că (f ) este ( mathcal {M} ) - măsurabil pe (S ) și că toate din (T ) sunt separate. (Dacă nu, înlocuiți (S ) și (T ) cu (H ) și (f [H], ) restricționând (f ) la (H, ) și (m ) la ( mathcal {M} ) - setează în interiorul (H; ) vezi și problemele 7 și 8 de mai jos.)
Apoi, prin problema 12 din §2, putem repara globuri (G_ {1}, G_ {2}, ldots ) ​​în (T ) astfel încât
[
text {fiecare set deschis} B neq emptyset text {în} T text {este uniunea unei subsecvențe a} left {G_ {k} right }.
]
Acum lăsați ( varepsilon> 0, ) și setați
[
S_ {k} = S cap f ^ {- 1} left [G_ {k} right] = f ^ {- 1} left [G_ {k} right], quad k = 1,2, ldots
]
Prin Corolarul 2 din §2, (S_ {k} in mathcal {M}. ) Deoarece (m ) este puternic regulat, găsim pentru fiecare (S_ {k} ) un set deschis
[
U_ {k} supseteq S_ {k},
]
cu (U_ {k} în mathcal {M} ) și
[
m left (U_ {k} -S_ {k} right) < frac { varepsilon} {2 ^ {k + 1}}.
]
Fie (B_ {k} = U_ {k} -S_ {k}, D = bigcup_ {k} B_ {k}; ) deci (D in mathcal {M} ) și
[
m D leq sum_ {k} m B_ {k} leq sum_ {k} frac { varepsilon} {2 ^ {k + 1}} leq frac {1} {2} varepsilon
]
și
[
U_ {k} -B_ {k} = S_ {k} = f ^ {- 1} left [G_ {k} right].
]
Ca (D = bigcup B_ {k}, ) avem
[
( forall k) quad B_ {k} -D = B_ {k} cap (-D) = emptyset.
]
Prin urmare, cu ( left (2 ^ { prime} right) ),
[
begin {align} ( forall k) quad f ^ {- 1} left [G_ {k} right] cap (-D) & = left (U_ {k} -B_ {k} right ) cap (-D) & = left (U_ {k} cap (-D) right) - left (B_ {k} cap (-D) right) = U_ {k} cap (-D) end {align}.
]
Combinând acest lucru cu ((1), ) avem, pentru fiecare set deschis (B = bigcup_ {i} G_ {k_ {i}} operatorname {în} T ),
[
f ^ {- 1} [B] cap (-D) = bigcup_ {i} f ^ {- 1} left [G_ {k_ {i}} right] cap (-D) = bigcup_ { i} U_ {k_ {i}} cap (-D).
]
deoarece (U_ {k_ {i}} ) sunt deschise în (S ) (prin construcție), setul ((3) ) este deschis în (SD ) ca subspatiu al (S . ) Prin Lemma (2, ) atunci, (f ) este relativ continuu pe (SD, ) sau mai degrabă pe
[
H-D = A-Q-D
]
(deoarece am substituit de fapt (S ) cu (H ) în cursul probei). Ca (m Q = 0 ) și (m D < frac {1} {2} varepsilon ) de ((2) ),
[
m (H-D) ]
În cele din urmă, deoarece (m ) este puternic regulat și (H-D în mathcal {M}, ) există un set închis ( mathcal {M} ) - set
[
F subseteq H-D subseteq A
]
astfel încât
[
m (H-D-F) < frac {1} {2} varepsilon.
]
întrucât (f ) este relativ continuu pe (H-D, ) este cu siguranță așa mai departe (F. ) Mai mult,
[
A-F = (A- (H-D)) cup (H-D-F);
]
asa de
[
m (A-F) leq m (A- (H-D)) + m (H-D-F) < frac {1} {2} varepsilon + frac {1} {2} varepsilon = varepsilon.
]
Aceasta completează dovada. (pătrat)

* Lemă ( PageIndex {3} )

Dat fiind ([a, b] subset E ^ {1} ) și seturi închise disjuncte (A, B subseteq (S, rho), ) există întotdeauna o hartă continuă (g: S rightarrow [a, b] ) astfel încât (g = a ) pe (A ) și (g = b ).

Dovadă

Dacă (A = emptyset ) sau (B = emptyset, ) set (g = b ) sau (g = a ) pe toate (S ).
Dacă, totuși, (A ) și (B ) sunt ambele non-goale, setați
[
g (x) = a + frac {(b-a) rho (x, A)} { rho (x, A) + rho (x, B)}.
]
Deoarece (A ) este închis, ( rho (x, A) = 0 ) if (x în A ) (Problema 15 din Capitolul 3, §14); în mod similar pentru (B. ) Astfel ( rho (x, A) + rho (x, B) neq 0 ).
De asemenea, (g = a ) pe (A, g = b ) pe (B, ) și (a leq g leq b ) pe (S ).
Pentru continuitate, consultați Capitolul 4, §8, Exemplu (( mathrm {e}). ) ( Pătrat )

* Lemă ( PageIndex {4} )

(Tietze). Dacă (f: (S, rho) rightarrow E ^ {*} ) este relativ continuu pe un set închis (F subseteq S, ) există o funcție (g: S rightarrow E ^ { *} ) astfel încât (g = f ) pe (F ),
[
inf g [S] = inf f [F], sup g [S] = sup f [F],
]
și (g ) este continuu pe toate (S ).
(Presupunem că (E ^ {*} ) este metrizat ca în problema 5 din capitolul 3, §11. Dacă (| f | < infty, ) metrica standard din (E ^ {1} ) poate fi folosit.)

Schiță de dovadă

Mai întâi, presupuneți inf (f [F] = 0 ) și ( sup f [F] = 1. ) Setați
[
A = F left (f leq frac {1} {3} right) = F cap f ^ {- 1} left [ left [0, frac {1} {3} right] dreapta]
]
și
[
B = F left (f geq frac {2} {3} right) = F cap f ^ {- 1} left [ left [ frac {2} {3}, 1 right] dreapta].
]
Deoarece (F ) este închis (i n S, ) la fel sunt (A ) și (B ) de Lemma (2. ) (De ce? () )
Întrucât (B cap A = emptyset, ) Lema 3 produce o hartă continuă (g_ {1}: S rightarrow left [0, frac {1} {3} right], ) cu (g_ {1} = 0 ) pe (A, ) și (g_ {1} = frac {1} {3} ) pe (B. ) Set (f_ {1} = f -g_ {1} ) pe (F; ) deci ( left | f_ {1} right | leq frac {2} {3}, ) și (f_ {1} ) este continuu pe (F. )
Aplicând aceiași pași la (f_ {1} ) (cu seturi adecvate (A_ {1}, B_ {1} subseteq F), ) găsiți o hartă continuă (g_ {2}, ) cu (0 leq g_ {2} leq frac {2} {3} cdot frac {1} {3} ) pe (S. ) Apoi (f_ {2} = f_ {1} - g_ {2} ) este continuu și (0 leq f_ {2} leq left ( frac {2} {3} right) ^ {2} ) pe (F ).
Continuând, obțineți două secvențe ( left {g_ {n} right } ) și ( left {f_ {n} right } ) ale funcțiilor reale, astfel încât fiecare (g_ {n} ) este continuu pe (S ),
[
0 leq g_ {n} leq frac {1} {3} left ( frac {2} {3} right) ^ {n-1},
]
și (f_ {n} = f_ {n-1} -g_ {n} ) este definit și continuu pe (F, ) cu
[
0 leq f_ {n} leq left ( frac {2} {3} right) ^ {n}
]
acolo ( left (f_ {0} = f right) ).
Noi pretindem că
[
g = sum_ {n = 1} ^ { infty} g_ {n}
]
este harta dorită.
Într-adevăr, seria converge uniform pe (S ) (Teorema 3 din capitolul 4, §12).
Deoarece toate (g_ {n} ) sunt continue, la fel și (g ) (teorema 2 din capitolul 4, §12). De asemenea,
[
left | f- sum_ {k = 1} ^ {n} g_ {k} right | leq left ( frac {2} {3} right) ^ {n} rightarrow 0
]
on (F ( text {why?}); ) so (f = g ) on (F. ) Mai mult,
[
0 leq g_ {1} leq g leq sum_ {n = 1} ^ { infty} frac {1} {3} left ( frac {2} {3} right) ^ {n} = 1 text {on} S.
]
Prin urmare, inf (g [S] = 0 ) și ( sup g [S] = 1, ) după cum este necesar.
Acum presupune
[
inf f [F] = a < sup f [F] = b quad left (a, b in E ^ {1} right)
]
A stabilit
[
h (x) = frac {f (x) -a} {b-a}
]
astfel încât inf (h [F] = 0 ) și ( sup h [F] = 1. ) (De ce?)
Așa cum se arată mai sus, există o hartă continuă (g_ {0} ) pe (S, ) cu
[
g_ {0} = h = frac {f-a} {b-a}
]
pe (F, ) inf (g_ {0} [S] = 0, ) și ( sup g_ {0} [S] = 1. ) Setați
[
a + (b-a) g_ {0} = g.
]
Apoi (g ) este funcția necesară. (Verifica!)
În cele din urmă, dacă (a, b în E ^ {*} (a

* Teorema ( PageIndex {3} )

(Fréchet). Fie (m: mathcal {M} rightarrow E ^ {*} ) să fie o măsură puternic regulată în ((S, rho). ) Dacă (f: S rightarrow E ^ {*} stânga (E ^ {n}, C ^ {n} dreapta) ) este (m ) -măsurabilă pe (A, ) apoi
[
f = lim _ {i rightarrow infty} f_ {i} (a cdot e. (m)) text {on} A
]
pentru o secvență de hărți (f_ {i} ) continuă pe (S. ) (Presupunem că (E ^ {*} ) trebuie metrizată ca în Lema 4.)

Dovadă

Considerăm (f: S rightarrow E ^ {*} ) (celelalte cazuri se reduc la (E ^ {1} ) prin intermediul componentelor).
Luând ( varepsilon = frac {1} {i} (i = 1,2, ldots) ) în Teorema (2, ) obținem pentru fiecare (i ) un închis ( mathcal { M} ) - set (F_ {i} subseteq A ) astfel încât
[
m left (A-F_ {i} right) < frac {1} {i}
]
și (f ) este relativ continuu pe fiecare (F_ {i}. ) Putem presupune că (F_ {i} subseteq F_ {i + 1} ) (dacă nu, înlocuiți (F_ {i } ) de ( bigcup_ {k = 1} ^ {i} F_ {k}) ).
Acum, Lema 4 produce pentru fiecare (i ) o hartă continuă (f_ {i}: S rightarrow E ^ {*} ) astfel încât (f_ {i} = f ) pe (F_ {i }. ) Completăm dovada arătând că (f_ {i} rightarrow f ) (pointwise) pe set
[
B = bigcup_ {i = 1} ^ { infty} F_ {i}
]
și că (m (A-B) = 0 ).
Într-adevăr, remediați orice (x în B. ) Apoi (x în F_ {i} ) pentru unele (i = i_ {0}, ) deci și pentru (i> i_ {0} ) (deoarece ( left {F_ {i} right } uparrow). ) Ca (f_ {i} = f ) pe (F_ {i}, ) avem
[
left ( forall i> i_ {0} right) quad f_ {i} (x) = f (x),
]
și așa (f_ {i} (x) rightarrow f (x) ) pentru (x în B. ) Ca (F_ {i} subseteq B, ) obținem
[
m (A-B) leq m left (A-F_ {i} right) < frac {1} {i}
]
pentru toate (i. ) Prin urmare (m (A-B) = 0, ) și totul este dovedit. (pătrat)



Comentarii:

  1. Alric

    sentiment ciudat. că doar roboții trăiesc aici

  2. Mac Ghille-Dhuinn

    Răspuns rapid, un semn de minte :)

  3. Kassa

    Sunt final, îmi pare rău, dar deloc nu se apropie de mine. Poate că mai există variante?



Scrie un mesaj