Articole

11.8: Vectori

11.8: Vectori


We are searching data for your request:

Forums and discussions:
Manuals and reference books:
Data from registers:
Wait the end of the search in all databases.
Upon completion, a link will appear to access the found materials.

După cum am văzut de nenumărate ori în această carte, Matematica poate fi utilizată pentru modelarea și rezolvarea problemelor din lumea reală. Pentru multe aplicații, numerele reale sunt suficiente; adică, numerele reale cu unitățile corespunzătoare atașate pot fi folosite pentru a răspunde la întrebări precum „Cât de aproape este cel mai apropiat cuib Sasquatch?” ”Există însă alte momente când aceste tipuri de cantități nu sunt suficiente. Poate că este important să știm, de exemplu, cât de aproape este cel mai apropiat cuib Sasquatch, precum și direcția în care se află. (Prefigurând utilizarea rulmenților în exerciții, poate?) Pentru a răspunde la întrebări precum acestea, care implică atât un răspuns cantitativ, fie magnitudine, împreună cu un direcţie, folosim obiectele matematice numite vectori. Cuvântul „vector” provine din latină vehere însemnând „a transmite” sau „a transporta”.

Un vector este reprezentat geometric ca un segment de linie direcționat în care magnitudinea vectorului este considerată a fi lungimea segmentului de linie și direcția este clarificată cu utilizarea unei săgeți la un punct final al segmentului. Când ne referim la vectori din acest text, vom adopta footnot {Alți autori de manuale folosesc vectori îndrăzneți, cum ar fi ( bf {v} ). Descoperim că scrierea cu caractere aldine pe tablă este incomodă în cel mai bun caz, așa că am ales notația „săgeată”.} Notația „săgeată”, astfel încât simbolul ( vec {v} ) este citit ca „vectorul (v ) '. Mai jos este un vector tipic ( vec {v} ) cu puncte finale (P left (1, 2 right) ) și (Q left (4, 6 right) ). Punctul (P ) se numește punctul inițial sau coadă din ( vec {v} ) și punctul (Q ) se numește punctul terminal sau cap din ( vec {v} ). Deoarece putem reconstitui ( vec {v} ) complet din (P ) și (Q ), scriem ( vec {v} = overrightarrow {PQ} ), unde ordinea punctelor (P ) (punctul inițial) și (Q ) (punctul terminal) sunt importante. (Gândiți-vă la acest lucru înainte de a merge mai departe.)

Deși este adevărat că (P ) și (Q ) determină complet ( vec {v} ), este important să rețineți că, deoarece vectorii sunt definiți în funcție de cele două caracteristici ale acestora, magnitudine și direcție, segmentul de linie direcționată cu aceeași lungime și direcție ca și ( vec {v} ) este considerat a fi același vector cu ( vec {v} ), indiferent de punctul său inițial. În cazul vectorului nostru ( vec {v} ) de mai sus, orice vector care mută trei unități spre dreapta și patru în sus nota de subsol {Dacă această idee de „peste” și „sus” pare familiară, ar trebui. Panta segmentului de linie care conține ( vec {v} ) este ( frac {4} {3} ).} De la punctul său inițial pentru a ajunge la punctul terminal este considerat același vector ca ( vec {v} ). Notația pe care o folosim pentru a surprinde această idee este forma componentă a vectorului, ( vec {v} = left <3,4 right> ), unde primul număr, (3 ), se numește (x ) - textit {component} index {vector! (x ) - component} din ( vec {v} ) și al doilea număr, (4 ), se numește vectorul (y ) - textit {component} index {! (y ) - component} din ( vec {v} ). Dacă am vrea să reconstituim ( vec {v} = left <3,4 right> ) cu punctul inițial (P '(- 2,3) ), atunci am găsi punctul terminal al lui ( vec {v} ) adăugând (3 ) la coordonata (x ) - și adăugând (4 ) la coordonata (y ) - pentru a obține punctul terminal (Q '(1 , 7) ), așa cum se vede mai jos.

Forma componentă a unui vector este ceea ce leagă aceste obiecte geometrice de Algebră și în cele din urmă Trigonometrie. Ne generalizăm exemplul în definiția noastră de mai jos.

Definiție

Să presupunem că ( vec {v} ) este reprezentat de un segment de linie direcționat cu punctul inițial (P left (x_ {0}, y_ {0} right) ) și punctul terminal (Q left (x_ {1}, y_ {1} dreapta) ). forma componentă din ( vec {v} ) este dat de index {forma componentă a unui vector}

[ vec {v} = overrightarrow {PQ} = left label {componentformvector} ]

Folosind limbajul componentelor, avem că doi vectori sunt egali dacă și numai dacă componentele lor corespunzătoare sunt egale. Adică, ( left = left ) dacă și numai dacă (v_ {1} = v_ {1} ') și (v_ {2} = v_ {2}' ). (Din nou, gândiți-vă la acest lucru înainte de a citi mai departe.) Acum ne-am propus să definim operațiile pe vectori. Să presupunem că ni se dau doi vectori ( vec {v} ) și ( vec {w} ). Suma sau rezultant vectorul ( vec {v} + vec {w} ) se obține după cum urmează. Mai întâi, trageți ( vec {v} ). Apoi, trasați ( vec {w} ) astfel încât punctul său inițial să fie punctul terminal al lui ( vec {v} ). Pentru a reprezenta vectorul ( vec {v} + vec {w} ) începem de la punctul inițial al ( vec {v} ) și terminăm la punctul terminal al ( vec {w} ). Este util să ne gândim la vectorul ( vec {v} + vec {w} ) ca la „rezultatul net” al deplasării de-a lungul ( vec {v} ) apoi la deplasarea de-a lungul ( vec {w } ).

Următorul nostru exemplu folosește bine vectorii rezultați și revizuiește rulmenții și Legea Cosinusului. Footnote {Dacă este necesar, revizuiți pagina pageref {rulmenți} și Secțiunea ref {LawofCosines}.}

Exemplu ( PageIndex {1} ): vectorbearingex

Un avion părăsește un aeroport cu o viteză aeriană, adică viteza avionului în raport cu aerul din jurul său. Dacă nu ar fi vânt, viteza aeriană a avionului ar fi aceeași cu viteza observată de la sol, de 175 mile pe oră la un rulment de N (40 ^ { circ} ) E. Un vânt de 35 mile pe oră bate la un rulment de S (60 ^ { circ} ) E. Găsiți adevărata viteză a avionului, rotunjită la cea mai apropiată milă pe oră, și adevăratul rulment al avionului, rotunjit la cel mai apropiat grad.

Soluţie

Nici atât avionul, cât și vântul, ni se dau viteza și direcțiile lor. Cuplarea vitezei (ca mărime) cu direcția este conceptul de textit {velocity} pe care l-am mai văzut de câteva ori în acest manual. Footnote {A se vedea secțiunea ref {circularmotion}, de exemplu.} Permitem ( vec {v} ) indică viteza planului și ( vec {w} ) indică viteza vântului în diagrama de mai jos. Viteza și rulmentul „adevărat” se găsesc analizând vectorul rezultat, ( vec {v} + vec {w} ). Din diagrama vectorială, obținem un triunghi, ale cărui laturi sunt magnitudinea lui ( vec {v} ), care este 175, magnitudinea lui ( vec {w} ), care este 35, și magnitudinea ( vec {v} + vec {w} ), pe care o vom numi (c ). Din informațiile date despre rulmenți, parcurgem geometria obișnuită pentru a determina dacă unghiul dintre laturile de lungime 35 și 175 măsoară (100 ^ { circ} ).

Din Legea cosinusilor, determinăm (c = sqrt {31850 - 12250 cos (100 ^ { circ})} approx 184 ), ceea ce înseamnă că viteza reală a planului este (aproximativ) (184 ) mile pe oră. Pentru a determina adevărata direcție a planului, trebuie să determinăm unghiul ( alfa ). Folosind încă o dată legea cosinusului, nota de subsol {Sau, întrucât unghiul nostru dat, (100 ^ { circ} ), este obtuz, am putea folosi legea sinusurilor fără nicio ambiguitate aici.} Găsim ( cos ( alpha) = frac {c ^ 2 + 29400} {350c} ) astfel încât ( alpha approx 11 ^ { circ} ). Având în vedere geometria situației, adăugăm ( alpha ) la dat (40 ^ { circ} ) și găsim adevăratul rulment al planului ca fiind (aproximativ) N ) 51 ^ { circ} ) E.

Următorul nostru pas este să definim adăugarea de vectori în funcție de componentă pentru a se potrivi cu acțiunea geometrică. Comparați acest lucru cu modul în care adăugarea matricei a fost definită în secțiunea ref {MatArithmetic}. De fapt, în cursuri mai avansate, cum ar fi Algebra liniară, vectorii sunt definiți ca matrice (1 ori n ) sau (n ori 1 ), în funcție de situație.}

Definiție: vectoradd

Să presupunem că ( vec {v} = left ) și ( vec {w} = left ). Vectorul ( vec {v} + vec {w} ) este definit de index {vector! plus! definitia}

[ vec {v} + vec {w} = left ]

Exemplu ( PageIndex {1} ): vectoraddex

Să ( vec {v} = left <3,4 right> ) și să presupunem ( vec {w} = overrightarrow {PQ} ) unde (P (-3,7) ) și (Q (-2,5) ). Găsiți ( vec {v} + vec {w} ) și interpretați această sumă geometric.

Soluţie

Înainte de a putea adăuga vectorii folosind Definiție ref {vectoradd}, trebuie să scriem ( vec {w} ) în formă componentă. Folosind Definiție ref {componentformvector}, obținem ( vec {w} = left <-2 - (- 3), 5-7 right> = left <1, -2 right> ). Prin urmare

[ begin {array} {rcl} vec {v} + vec {w} & = & left <3,4 right> + left <1, -2 right> & = & left <3 + 1, 4 + (-2) right> & = & left <4, 2 right> end {array} ]

Pentru a vizualiza această sumă, desenăm ( vec {v} ) cu punctul său inițial la ((0,0) ) (pentru comoditate), astfel încât punctul său terminal este ((3,4) ). Apoi, graficăm ( vec {w} ) cu punctul său inițial la ((3,4) ). Miscând unul spre dreapta și două în jos, găsim punctul terminal al lui ( vec {w} ) să fie ((4,2) ). Vedem că vectorul ( vec {v} + vec {w} ) are punctul inițial ((0,0) ) și punctul terminal ((4,2) ) deci forma sa componentă este ( left <4,2 right> ), după cum este necesar.

Pentru ca adunarea vectorială să se bucure de aceleași tipuri de proprietăți ca adunarea numărului real, este necesar să extindem definiția vectorilor pentru a include un „vector zero”, ( vec {0} = left <0, 0 right > ). Geometric, ( vec {0} ) reprezintă un punct, pe care îl putem considera un segment de linie direcționat cu aceleași puncte inițiale și terminale. Cititorul poate obiecta la includerea lui ( vec {0} ), deoarece la urma urmei, se presupune că vectorii au atât o mărime (lungime), cât și o direcție. Deși pare clar că magnitudinea ( vec {0} ) ar trebui să fie (0 ), nu este clar care este direcția sa. După cum vom vedea, direcția ( vec {0} ) este de fapt nedefinită, dar acest sughiț minor în fluxul natural al lucrurilor merită beneficiile pe care le obținem incluzând ( vec {0} ) în discuțiile noastre. Avem următoarea teoremă.

Notă: Proprietățile adăugării vectoriale

  • Comutativitate: Pentru toți vectorii ( vec {v} text {și} vec {w} ), ( vec {v} + vec {w} = vec {w} + vec {v} ).
  • Proprietate asociativă: Pentru toți vectorii ( vec {u}, vec {v} text {și} vec {w} ), ( left ( vec {u} + vec {v} right) + vec {w} = vec {u} + left ( vec {v} + vec {w} right) ).
  • Proprietatea de identitate: index {vector! identitate aditivă} Vectorul ( vec {0} ) acționează ca identitate aditivă pentru adunarea vectorială. Adică, pentru toți vectorii ( vec {v} ), [ vec {v} + vec {0} = vec {0} + vec {v} = vec {v}. ]
  • Proprietate inversă: index {vector! aditiv invers} Fiecare vector ( vec {v} ) are un invers aditiv unic, notat (- vec {v} ). Adică, pentru fiecare vector ( vec {v} ), există un vector (- vec {v} ) astfel încât [ vec {v} + (- vec {v}) = ( - vec {v}) + vec {v} = vec {0}. ]

Proprietățile din Teorema ref {vectoradditionprops} sunt ușor verificate folosind definiția adaosului vector. {MatArithmetic} și discuția de acolo.} Pentru proprietatea comutativă, observăm că dacă ( vec {v} = left ) și ( vec {w } = left ) apoi

[ begin {array} {rcl} vec {v} + vec {w} & = & left + left & = & left & = & left & = & vec {w} + vec {v} end {array} ]

Geometric, putem „vedea” proprietatea comutativă realizând că sumele ( vec {v} + vec {w} ) și ( vec {w} + vec {v} ) sunt identice diagonală determinată de paralelogramul de mai jos.

Dovezile proprietăților asociative și identitare procedează în mod similar, iar cititorul este încurajat să le verifice și să ofere diagrame însoțitoare. Existența și unicitatea inversului aditiv este încă o altă proprietate moștenită din numerele reale. Având în vedere un vector ( vec {v} = left ), să presupunem că dorim să găsim un vector ( vec {w} = left ) astfel încât ( vec {v} + vec {w} = vec {0} ). Prin definiția adaosului vectorial, avem ( left = left <0,0 right> ) și prin urmare, (v_ {1} + w_ {1} = 0 ) și (v_ {2} + w_ {2} = 0 ). Obținem (w_ {1} = -v_ {1} ) și (w_ {2} = -v_ {2} (astfel încât ( vec {w} = left <-v_ {1}, -v_ {2} right> ). Prin urmare, ( vec {v} ) are un invers aditiv și, în plus, este unic și poate fi obținut prin formula (- vec {v} = left <-v_ {1}, -v_ {2} right> ). Geometric, vectorii ( vec {v} = left ) și (- vec {v} = left <-v_ {1}, -v_ {2} right> ) au aceeași lungime, dar direcții opuse. Ca urmare, la adăugarea vectorilor geometric, suma ( vec {v} + (- vec {v}) ) are ca rezultat pornirea de la punctul inițial al ( vec {v} ) și terminarea înapoi la punctul inițial al ( vec {v} ) sau, cu alte cuvinte, rezultatul net al mutării ( vec {v} ) atunci (- vec {v} ) nu se mișcă deloc.

Folosind inversul aditiv al unui vector, putem defini diferența a doi vectori, ( vec {v} - vec {w} = vec {v} + (- vec {w}) ). Dacă ( vec {v} = left ) și ( vec {w} = left ) apoi

[ begin {array} {rcl} vec {v} - vec {w} & = & vec {v} + (- vec {w}) & = & left + left <-w_ {1}, - w_ {2} right> & = & left & = & left end {array} ]

Cu alte cuvinte, la fel ca adunarea vectorială, scăderea vectorului funcționează în funcție de componente. Pentru a interpreta geometric vectorul ( vec {v} - vec {w} ), observăm

[ begin {array} {rcll} vec {w} + left ( vec {v} - vec {w} right) & = & vec {w} + left ( vec {v} + (- vec {w}) right) & text {Definition of Vector Subtraction} & = & vec {w} + left ((- vec {w}) + vec {v} dreapta) & text {Commutativity of Vector Addition} & = & ( vec {w} + (- vec {w})) + vec {v} & text {Associativity of Vector Addition} & = & vec {0} + vec {v} & text {Definition of Additive Inverse} & = & vec {v} & text {Definition of Additive Identity} end {array} ]

Aceasta înseamnă că „rezultatul net” al deplasării de-a lungul ( vec {w} ) apoi al deplasării de-a lungul ( vec {v} - vec {w} ) este doar ( vec {v} ) în sine . Din diagrama de mai jos, vedem că ( vec {v} - vec {w} ) poate fi interpretat ca vectorul al cărui punct inițial este punctul terminal al lui ( vec {w} ) și al cărui punct terminal este punctul terminal al ( vec {v} ) așa cum este descris mai jos. De asemenea, merită menționat faptul că în paralelogramul determinat de vectorii ( vec {v} ) și ( vec {w} ), vectorul ( vec {v} - vec {w} ) este una dintre diagonale - cealaltă fiind ( vec {v} + vec {w} ).

În continuare, discutăm scalar multiplicare - adică luând un număr real de ori mai mare decât un vector. Definim multiplicarea scalară pentru vectori în același mod în care am definit-o pentru matrice în secțiunea ref {MatArithmetic}.

Definiție: Multiplicare scalară

Dacă (k ) este un număr real și ( vec {v} = left ), definim (k vec {v} ) prin

[k vec {v} = k left = left ]

Înmulțirea scalară cu (k ) în vectori poate fi înțeleasă geometric ca scalarea vectorului (dacă (k> 0 )) sau scalarea vectorului și inversarea direcției acestuia (dacă (k <0 )) așa cum se arată mai jos.

Rețineți că, prin definiție ref {scalarmultvector}, ((- 1) vec {v} = (-1) left = left <(- 1) v_ {1}, (-1) v_ {2} right> = left <-v_ {1}, - v_ {2} right> = - vec {v} ). Aceasta și alte proprietăți ale multiplicării scalare sunt rezumate mai jos.

Notă: Proprietățile multiplicării scalare

  1. Proprietate asociativă: index {vector! multiplicare scalara! proprietate asociativă a} index {multiplicare scalară! vector! proprietate asociativă a} index {proprietate asociativă! vector! multiplicare scalară} Pentru fiecare vector ( vec {v} ) și scalare (k ) și (r ), ((kr) vec {v} = k (r vec {v}) ).
  2. Proprietatea de identitate: index {vector! multiplicare scalara! identitate pentru} Pentru toți vectorii ( vec {v} ), (1 vec {v} = vec {v} ).
  3. Proprietate inversă aditivă: Pentru toți vectorii ( vec {v} ), (- vec {v} = (-1) vec {v} ). index {vector! invers aditiv}
  4. Proprietatea distributivă a multiplicării scalare peste adăugarea scalară: index {vector! multiplicare scalara! proprietăți distributive} index {proprietate distributivă! vector! multiplicare scalară} index {multiplicare scalară! vector! proprietăți distributive ale} Pentru fiecare vector ( vec {v} ) și scalare (k ) și (r ), [(k + r) vec {v} = k vec {v} + r vec {v} ]
  5. Proprietatea distributivă a multiplicării scalare peste adăugarea de vectori: Pentru toți vectorii ( vec {v} ) și ( vec {w} ) și scalarii (k ), [k ( vec {v} + vec {w}) = k vec {v} + k vec {w} ]
  6. Proprietatea produsului zero:} index {vector! multiplicare scalara! zero proprietate produs} Dacă ( vec {v} ) este vector și (k ) este un scalar, atunci [k vec {v} = vec {0} quad text {dacă și numai dacă } quad k = 0 quad text {or} quad vec {v} = vec {0} ]

Dovada teoremei ref {vectorscalarmultprops}, ca și dovada teoremei ref {vectoradditionprops}, se rezumă în cele din urmă la definiția multiplicării scalare și a proprietăților numerelor reale. De exemplu, pentru a demonstra proprietatea asociativă, lăsăm ( vec {v} = left ). Dacă (k ) și (r ) sunt scalari atunci

[ begin {array} {rcll} (kr) vec {v} & = & (kr) left & & = & left <(kr ) v_ {1}, (kr) v_ {2} right> & text {Definiția multiplicării scalare} & = & left & text {Proprietatea asociativă a multiplicării numărului real} & = & k left & text {Definiția multiplicării scalare} & = & k left (r left right) & text {Definiția multiplicării scalare} & = & k (r vec {v}) & end {array} ]

Proprietățile rămase sunt dovedite în mod similar și sunt lăsate ca exerciții.

Următorul nostru exemplu demonstrează modul în care Teorema ref {vectorscalarmultprops} ne permite să facem același tip de manipulări algebrice cu vectori ca și cu variabilele - în ciuda multiplicării și împărțirii vectorilor. Dacă pedanteria pare familiară, ar trebui. Acesta este același tratament pe care l-am dat Exemplu ref {matrixaddscalarex} în Secțiunea ref {MatArithmetic}. La fel ca în acest exemplu, explicăm soluția cu detalii îngrozitoare pentru a încuraja cititorul să se gândească cu atenție la motivul pentru care fiecare pas este justificat.

Exemplu ( PageIndex {1} ): vectoreqnex

Rezolvați (5 vec {v} - 2 left ( vec {v} + left <1, -2 right> right) = vec {0} ) pentru ( vec {v} ).

Soluţie

[ begin {array} {rcl} 5 vec {v} - 2 left ( vec {v} + left <1, -2 right> right) & = & vec {0} 5 vec {v} + (-1) left [2 left ( vec {v} + left <1, -2 right> right) right] & = & vec {0} 5 vec {v} + [(-1) (2)] left ( vec {v} + left <1, -2 right> right) & = & vec {0} 5 vec {v} + (-2) left ( vec {v} + left <1, -2 right> right) & = & vec {0} 5 vec {v} + left [(- 2) vec {v} + (-2) left <1, -2 right> right] & = & vec {0} 5 vec {v} + left [( -2) vec {v} + left <(- 2) (1), (- 2) (- 2) right> right] & = & vec {0} left [5 vec {v} + (-2) vec {v} right] + left <-2,4 right> & = & vec {0} (5 + (-2)) vec {v} + left <-2,4 right> & = & vec {0} 3 vec {v} + left <-2,4 right> & = & vec {0} left (3 vec {v} + left <-2,4 right> right) + left (- left <-2,4 right> right) & = & vec {0} + left (- left <-2,4 right> right) 3 vec {v} + left [ left <-2,4 right> + left (- left <-2,4 dreapta> dreapta] dreapta] & = & vec {0} + (-1) left <-2,4 right> 3 vec {v} + vec {0} & = & vec {0} + left <(- 1) (- 2), (- 1) (4) right> 3 vec {v} & = & left <2, -4 right> frac {1} {3} left (3 vec {v} right) & = & frac {1} {3} left ( left <2, -4 right> dreapta) left [ left ( frac {1} {3} right) (3) right] vec {v} & = & left < left ( frac {1} {3} dreapta) (2), left ( frac {1} {3} right) (- 4) right> 1 vec {v} & = & left < frac {2} {3}, - frac {4} {3} right> vec {v} & = & left < frac {2} {3}, - frac {4} {3} right> end {array} ]

Se spune că un vector al cărui punct inițial este ((0,0) ) este în index {vector! poziția standard} index {poziția standard a unui vector} textbf {poziția standard}. Dacă ( vec {v} = left ) este reprezentat în poziția standard, atunci punctul său terminal este în mod necesar ( left (v_ {1}, v_ { 2} dreapta) ). (Încă o dată, gândiți-vă la acest lucru înainte de a citi mai departe.)

Trasarea unui vector în poziție standard ne permite să cuantificăm mai ușor conceptele de mărime și direcție ale vectorului. Putem converti punctul ( left (v_ {1}, v_ {2} right) ) în coordonate dreptunghiulare într-o pereche ((r, theta) ) în coordonate polare unde (r geq 0 ). Mărimea lui ( vec {v} ), despre care am spus mai devreme că este lungimea segmentului de linie direcționată, este (r = sqrt {v_ {1} ^ 2 + v_ {2} ^ 2} ) și este notat cu ( | vec {v} | ). Din secțiunea ref {IntroPolar}, știm (v_ {1} = r cos ( theta) = | vec {v} | cos ( theta) ) și (v_ {2} = r sin ( theta) = | vec {v} | sin ( theta) ). Din definiția multiplicării scalare și a egalității vectoriale, obținem

[ begin {array} {rcl} vec {v} & = & left & = & left < | vec {v} | cos ( theta), | vec {v} | sin ( theta) right> & = & | vec {v} | left < cos ( theta), sin ( theta) right> end {array} ]

Acest lucru motivează următoarea definiție.

Definiție: polarformvector

Să presupunem că ( vec {v} ) este un vector cu formă componentă ( vec {v} = left ). Fie ((r, theta) ) o reprezentare polară a punctului cu coordonate dreptunghiulare ( left (v_ {1}, v_ {2} right) ) cu (r geq 0 ).

  1. Vectorul index {! magnitudine! definiția lui} textbf {magnitudine} din ( vec {v} ), notată ( | vec {v} | ), este dată de ( | vec {v} | = r = sqrt {v_ {1} ^ 2 + v_ {2} ^ 2} )
  2. Dacă ( vec {v} neq vec {0} ), index {vector! directie! definiția} direcției textbf {(vector)} a ( vec {v} ), notată ( hat {v} ) este dată de ( hat {v} = left < cos ( theta), sin ( theta) right> )

Luate împreună, obținem ( vec {v} = left < | vec {v} | cos ( theta), | vec {v} | sin ( theta) right> ).

Câteva observații sunt în ordine. În primul rând, observăm că dacă ( vec {v} neq 0 ) atunci chiar dacă există infinit de multe unghiuri ( theta ) care satisfac definiția ref {polarformvector}, stipulația (r> 0 ) înseamnă că toate unghiurile sunt coterminale. Prin urmare, dacă ( theta ) și ( theta ') îndeplinesc ambele condițiile Definiției ref {polarformvector}, atunci ( cos ( theta) = cos ( theta') ) și ( sin ( theta) = sin ( theta ') ) și, ca atare, ( left < cos ( theta), sin ( theta) right> = left < cos ( theta '), sin ( theta') right> ) making ( hat {v} ) este bine definit. footnote {Dacă totul pare familiar, ar trebui. Cititorul interesat este invitat să compare Definiția ref {polarformvector} cu Definiția ref {modulusargumentdefn} în secțiunea ref {PolarComplex}.} Dacă ( vec {v} = vec {0} ), atunci ( vec {v} = left <0, 0 right> ) și știm din secțiunea ref {IntroPolar} că ((0, theta) ) este o reprezentare polară pentru originea oricărui unghi ( theta ). Din acest motiv, ( hat {0} ) este nedefinit. Următoarea teoremă rezumă faptele importante despre magnitudinea și direcția unui vector.

Notă: Proprietăți de magnitudine și direcție

Să presupunem că ( vec {v} ) este un vector. index {vector! magnitudine! proprietățile vectorului} index {! directie! proprietăți ale}

  • ( | vec {v} | geq 0 ) și ( | vec {v} | = 0 ) dacă și numai dacă ( vec {v} = vec {0} )
  • Pentru toate scalarele (k ), ( | k , vec {v} | = | k | | vec {v} | ).
  • Dacă ( vec {v} neq vec {0} ) atunci ( vec {v} = | vec {v} | hat {v} ), astfel încât ( hat { v} = left ( frac {1} { | vec {v} |} right) vec {v} ).

Dovada primei proprietăți din Teorema ref {magdirprops} este o consecință directă a definiției lui ( | vec {v} | ). Dacă ( vec {v} = left ), atunci ( | vec {v} | = sqrt {v_ {1} ^ 2 + v_ {2} ^ 2} ) care este prin definiție mai mare sau egal cu (0 ). Mai mult, ( sqrt {v_ {1} ^ 2 + v_ {2} ^ 2} = 0 ) dacă și numai din (v_ {1} ^ 2 + v_ {2} ^ 2 = 0 ) dacă și numai dacă (v_ {1} = v_ {2} = 0 ). Prin urmare, ( | vec {v} | = 0 ) dacă și numai dacă ( vec {v} = left <0,0 right> = vec {0} ), după cum este necesar.

A doua proprietate este un rezultat al definiției mărimii și multiplicării scalare împreună cu o proprie de radicali. Dacă ( vec {v} = left ) și (k ) este un scalar atunci

[ begin {array} {rcll} | k , vec {v} | & = & | k left | & & = & | left | & text {Definiția multiplicării scalare} & = & sqrt { left (kv_ {1} right) ^ 2 + left (kv_ {2} right) ^ 2} & text {Definiția mărimii } & = & sqrt {k ^ 2v_ {1} ^ 2 + k ^ 2v_ {2} ^ 2} & & = & sqrt {k ^ 2 (v_ {1} ^ 2 + v_ {2 } ^ 2)} & & = & sqrt {k ^ 2} sqrt {v_ {1} ^ 2 + v_ {2} ^ 2} & text {Regula produsului pentru radicali} & = & | k | sqrt {v_ {1} ^ 2 + v_ {2} ^ 2} & text {Since ( sqrt {k ^ 2} = | k | )} & = & | k | | vec {v} | & end {array} ]

Ecuația ( vec {v} = | vec {v} | hat {v} ) în Teorema ref {magdirprops} este o consecință a definițiilor lui ( | vec {v} | ) și ( hat {v} ) și a fost elaborat în discuție chiar înainte de Definiție ref {polarformvector} la pagina pageref {polarformvectorsection}. În cuvinte, ecuația ( vec {v} = | vec {v} | hat {v} ) spune că orice vector dat este produsul mărimii și direcției sale - un concept important de păstrat în minte atunci când studiați și utilizați vectori. Ecuația ( hat {v} = left ( frac {1} { | vec {v} |} right) vec {v} ) este un rezultat al rezolvării ( vec {v } = | vec {v} | hat {v} ) pentru ( hat {v} ) înmulțind nota de subsol {Desigur, pentru a merge de la ( vec {v} = | vec {v} | hat {v} ) to ( hat {v} = left ( frac {1} { | vec {v} |} right) vec {v} ), în esență, „împărțim ambele părți” ale ecuației la scalarul ( | vec {v} | ). Autorii încurajează cititorul să elaboreze detaliile cu atenție pentru a obține o apreciere a proprietăților în joc.} Ambele părți ale ecuației prin ( frac {1} { | vec {v} |} ) și folosind proprietățile teoremei ref {vectorscalarmultprops}. Suntem în așteptare pentru un exemplu.

Exemplu ( PageIndex {1} ):

label {polarformvecex} (~ )

  1. label {resolvecomponents} Găsiți forma componentă a vectorului ( vec {v} ) cu ( | vec {v} | = 5 ) astfel încât atunci când ( vec {v} ) este trasat în poziție standard, se află în Quadrant II și face un unghi (60 ^ { circ} ) notă de subsol {Datorită utilității vectorilor în aplicațiile din lumea reală, vom folosi de obicei măsurarea gradului pentru unghiul când se dă direcția vectorului. Cu toate acestea, din moment ce Carl nu vrea să uitați de radiani, el s-a asigurat că există exemple și exerciții care le folosesc.} Cu axa negativă (x ) -.
  2. Pentru ( vec {v} = left <3, -3 sqrt {3} right> ), găsiți ( | vec {v} | ) și ( theta ), (0 leq theta <2 pi ) astfel încât ( vec {v} = | vec {v} | left < cos ( theta), sin ( theta) right> ).
  3. Pentru vectorii ( vec {v} = left <3,4 right> ) și ( vec {w} = left <1, -2 right> ), găsiți următoarele.
  4. ( hat {v} )
  5. ( | vec {v} | -2 | vec {w} | )
  6. ( | vec {v} -2 vec {w} | )
  7. ( | hat {w} | ) label {preludetounitvector}

Soluţie

  1. Ni se spune că ( | vec {v} | = 5 ) și ni se oferă informații despre direcția sa, astfel încât să putem folosi formula ( vec {v} = | vec {v} | hat {v} ) pentru a obține forma componentă a ( vec {v} ). Pentru a determina ( hat {v} ), apelăm la Definiție ref {polarformvector}. Ni se spune că ( vec {v} ) se află în Quadrant II și face un unghi (60 ^ { circ} ) cu axa negativă (x ) -, deci forma polară a punctului terminal din ( vec {v} ), atunci când este reprezentat în poziția standard este ( left (5, 120 ^ { circ} right) ). (A se vedea diagrama de mai jos.) Astfel ( hat {v} = left < cos left (120 ^ { circ} right), sin left (120 ^ { circ} right) right > = left <- frac {1} {2}, frac { sqrt {3}} {2} right> ), deci ( vec {v} = | vec {v} | hat {v} = 5 left <- frac {1} {2}, frac { sqrt {3}} {2} right> = left <- frac {5} {2}, frac {5 sqrt {3}} {2} right> ).
  2. Pentru ( vec {v} = left <3, -3 sqrt {3} right> ), obținem ( | vec {v} | = sqrt {(3) ^ 2 + (-3 sqrt {3}) ^ 2} = 6 ). În lumina Definiției ref {polarformvector}, putem găsi ( theta ) după care convertim punctul cu coordonate dreptunghiulare ((3, -3 sqrt {3}) ) în formă polară ((r, theta) ) unde (r = | vec {v} |> 0 ). Din secțiunea ref {IntroPolar}, avem ( tan ( theta) = frac {-3 sqrt {3}} {3} = - sqrt {3} ). Deoarece ((3, -3 sqrt {3}) ) este un punct în Quadrant IV, ( theta ) este un unghi Quadrant IV. Prin urmare, alegem ( theta = frac {5 pi} {3} ). Putem verifica răspunsul verificând ( vec {v} = left <3, -3 sqrt {3} right> = 6 left < cos left ( frac {5 pi} {3} right), sin left ( frac {5 pi} {3} right) right> ).
  3. begin {enumerate} Deoarece ni se dă forma componentă a ( vec {v} ), vom folosi formula ( hat {v} = left ( frac {1} { | vec {v} |} right) vec {v} ). Pentru ( vec {v} = left <3,4 right> ), avem ( | vec {v} | = sqrt {3 ^ 2 + 4 ^ 2} = sqrt { 25} = 5 ). Prin urmare, ( hat {v} = frac {1} {5} left <3, 4 right> = left < frac {3} {5}, frac {4} {5} right > ).
  4. Știm din lucrarea noastră de mai sus că ( | vec {v} | = 5 ), deci să găsim ( | vec {v} | -2 | vec {w} | ) , trebuie doar să găsim ( | vec {w} | ). Deoarece ( vec {w} = left <1, -2 right> ), obținem ( | vec {w} | = sqrt {1 ^ 2 + (- 2) ^ 2} = sqrt {5} ). Prin urmare, ( | vec {v} | -2 | vec {w} | = 5 - 2 sqrt {5} ).
  5. În expresia ( | vec {v} -2 vec {w} | ), observați că aritmetica vectorilor este prima, apoi magnitudinea. Prin urmare, primul nostru pas este să găsim forma componentă a vectorului ( vec {v} - 2 vec {w} ). Obținem ( vec {v} - 2 vec {w} = left <3,4 right> - 2 left <1, -2 right> = left <1, 8 right> ) . Prin urmare, ( | vec {v} -2 vec {w} | = | left <1, 8 right> | = sqrt {1 ^ 2 + 8 ^ 2} = sqrt { 65} ).
  6. Pentru a găsi ( | hat {w} | ), mai întâi avem nevoie de ( hat {w} ). Folosind formula ( hat {w} = left ( frac {1} { | vec {w} |} right) vec {w} ) împreună cu ( | vec {w } | = sqrt {5} ), pe care l-am găsit în problema anterioară, obținem ( hat {w} = frac {1} { sqrt {5}} left <1, -2 right> = left < frac {1} { sqrt {5}}, - frac {2} { sqrt {5}} right> = left < frac { sqrt {5}} { 5}, - frac {2 sqrt {5}} {5} right> ). Prin urmare, ( | hat {w} | = sqrt { left ( frac { sqrt {5}} {5} right) ^ 2 + left (- frac {2 sqrt {5 }} {5} right) ^ 2} = sqrt { frac {5} {25} + frac {20} {25}} = sqrt {1} = 1 ). qed

Procesul exemplificat prin numărul ref {resolvecomponents} din Exemplul ref {polarformvecex} de mai sus prin care luăm informații despre magnitudinea și direcția unui vector și găsim forma componentă a unui vector se numește textbf {resolving} un vector în componente. Ca aplicație a acestui proces, revizuim exemplul ref {vectorbearingex} de mai jos.

Exemplu ( PageIndex {1} ): vectorbearingexresolve

Un avion părăsește un aeroport cu o viteză de 175 mile pe oră, cu rulment N ) 40 ^ { circ} ) E. Un vânt de 35 mile pe oră bate la un rulment de S ) 60 ^ { circ} ) E. Găsiți adevărata viteză a avionului, rotunjită la cea mai apropiată milă pe oră, și adevăratul rulment al avionului, rotunjit la cel mai apropiat grad.

Soluţie

Procedăm așa cum am făcut în Exemplul ref {vectorbearingex} și lăsăm ( vec {v} ) să indice viteza avionului și ( vec {w} ) să indice viteza vântului, și să stabilim determinarea ( vec {v} + vec {w} ). Dacă privim aeroportul ca fiind la origine, axa pozitivă (y ) - acționând ca spre nord și axa pozitivă (x ) - acționând ca spre est, vedem că vectorii ( vec {v } ) și ( vec {w} ) sunt în poziție standard și direcțiile lor corespund unghiurilor (50 ^ { circ} ) și respectiv ((- 30 ^ { circ} ). Prin urmare, forma componentă a ( vec {v} = 175 left < cos (50 ^ { circ}), sin (50 ^ { circ}) right> = left <175 cos ( 50 ^ { circ}), 175 sin (50 ^ { circ}) right> ) și forma componentă a ( vec {w} = left <35 cos (-30 ^ { circ }), 35 sin (-30 ^ { circ}) right> ). Deoarece nu avem o modalitate convenabilă de a exprima valorile exacte ale cosinusului și sinusului lui (50 ^ { circ} ), lăsăm ambii vectori în termeni de cosinus și sinus. !} Adding corresponding components, we find the resultant vector (vec{v} + vec{w} = left< 175cos(50^{circ}) + 35cos(-30^{circ }), 175sin(50^{circ}) + 35sin(-30^{circ}) ight>). To find the 'true' speed of the plane, we compute the magnitude of this resultant vector

[ | vec{v} + vec{w}| = sqrt{ (175cos(50^{circ}) + 35cos(-30^{circ}))^2 + (175sin(50^{circ}) + 35sin(-30^{circ}))^2} approx 184]

Hence, the 'true' speed of the plane is approximately 184 miles per hour. To find the true bearing, we need to find the angle ( heta) which corresponds to the polar form ((r, heta)), (r>0), of the point ((x,y) = (175cos(50^{circ}) + 35cos(-30^{circ}), 175sin(50^{circ}) + 35sin(-30^{circ}))). Since both of these coordinates are positive,footnote{Yes, a calculator approximation is the quickest way to see this, but you can also use good old-fashioned inequalities and the fact that (45^{circ} leq 50^{circ} leq 60^{circ}).} we know ( heta) is a Quadrant I angle, as depicted below. Furthermore, [ an( heta) = frac{y}{x} = frac{175sin(50^{circ}) + 35sin(-30^{circ})}{75cos(50^{circ}) + 35cos(-30^{circ})},]

so using the arctangent function, we get ( heta approx 39^{circ}). Since, for the purposes of bearing, we need the angle between (vec{v} + vec{w}) and the positive (y)-axis, we take the complement of ( heta) and find the 'true' bearing of the plane to be approximately N)51^{circ})E.

In part ef{preludetounitvector} of Example ef{polarformvecex}, we saw that (| hat{w} | = 1). Vectors with length 1 have a special name and are important in our further study of vectors.

Definition: Unit Vectors:

Let (vec{v}) be a vector. If (| vec{v} | = 1), we say that (vec{v}) is a extbf{unit vector}.

If (vec{v}) is a unit vector, then necessarily, (vec{v} = | vec{v} | hat{v} = 1 cdot hat{v} = hat{v}). Conversely, we leave it as an exercisefootnote{One proof uses the properties of scalar multiplication and magnitude. If (vec{v} eq vec{0}), consider (| hat{v} | = left| left| left( frac{1}{|vec{v} |} ight) vec{v} ight| ight|). Use the fact that (| vec{v} | geq 0) is a scalar and consider factoring.} to show that (hat{v} = left( frac{1}{| vec{v} |} ight) vec{v}) is a unit vector for any nonzero vector (vec{v}). In practice, if (vec{v}) is a unit vector we write it as (hat{v}) as opposed to (vec{v}) because we have reserved the ')hat{~})' notation for unit vectors. The process of multiplying a nonzero vector by the factor (frac{1}{| vec{v} |}) to produce a unit vector is called index{vector ! normalization} ' extbf{normalizing} the vector,' and the resulting vector (hat{v}) is called the 'unit vector in the extbf{direction} of (vec{v})'. The terminal points of unit vectors, when plotted in standard position, lie on the Unit Circle. (You should take the time to show this.) As a result, we visualize normalizing a nonzero vector (vec{v}) as shrinkingfootnote{ldots if (| vec{v} | > 1) ldots} its terminal point, when plotted in standard position, back to the Unit Circle.

Of all of the unit vectors, two deserve special mention.

Definition: The Principal Unit Vectors:

  • The vector (hat{imath}) is defined by (hat{imath} = left<1,0 ight>)
  • The vector (hat{jmath}) is defined by (hat{imath} = left<0,1 ight>)

We can think of the vector (hat{imath}) as representing the positive (x)-direction, while (hat{jmath}) represents the positive (y)-direction. We have the following 'decomposition' theorem.footnote{We will see a generalization of Theorem ef{ijdecomp} in Section ef{DotProduct}. Stay tuned!}

Note" Principal Vector Decomposition Theorem:

Let (vec{v}) be a vector with component form (vec{v} = left< v_{1} ,v_{2} ight>). Then (vec{v} = v_{1} hat{imath} + v_{2} hat{jmath}). index{vector ! Decomposition Theorem ! Principal}

The proof of Theorem ef{ijdecomp} is straightforward. Since (hat{imath} = left<1,0 ight>) and (hat{jmath} = left< 0,1 ight>), we have from the definition of scalar multiplication and vector addition that

[v_{1} hat{imath} + v_{2} hat{jmath} = v_{1}left<1,0 ight> + v_{2}left<0,1 ight> = left + left<0,v_{2} ight> = left = vec{v}]

Geometrically, the situation looks like this:

We conclude this section with a classic example which demonstrates how vectors are used to model forces. A 'force' is defined as a 'push' or a 'pull.' The intensity of the push or pull is the magnitude of the force, and is measured in Netwons (N) in the SI system or pounds (lbs.))!) in the English system.footnote{See also Section ef{harmomicmotion}.} The following example uses all of the concepts in this section, and should be studied in great detail.

Example (PageIndex{1}): forc

A (50) pound speaker is suspended from the ceiling by two support braces. If one of them makes a (60^{circ}) angle with the ceiling and the other makes a (30^{circ}) angle with the ceiling, what are the tensions on each of the supports?

Soluţie

We represent the problem schematically below and then provide the corresponding vector diagram.

We have three forces acting on the speaker: the weight of the speaker, which we'll call (vec{w}), pulling the speaker directly downward, and the forces on the support rods, which we'll call (vec{T_{ ext{ iny (1)}}}) and (vec{T_{ ext{ iny (2)}}}) (for 'tensions') acting upward at angles (60^{circ}) and (30^{circ}), respectively. We are looking for the tensions on the support, which are the magnitudes (| vec{T_{ ext{ iny (1)}}} |) and (| vec{T_{ ext{ iny (2)}}} |). In order for the speaker to remain stationary,footnote{This is the criteria for 'static equilbrium'.} we require (vec{w} + vec{T_{ ext{ iny (1)}}} + vec{T_{ ext{ iny (2)}}} = vec{0}). Viewing the common initial point of these vectors as the origin and the dashed line as the (x)-axis, we use Theorem ef{magdirprops} to get component representations for the three vectors involved. We can model the weight of the speaker as a vector pointing directly downwards with a magnitude of 50 pounds. That is, (| vec{w} | = 50) and (hat{w} = -hat{jmath} = left<0,-1 ight>). Hence, (vec{w} = 50left<0,-1 ight> = left<0,-50 ight>). For the force in the first support, we get

[ egin{array}{rcl} vec{T_{ ext{ iny (1)}}} & = & | vec{T_{ ext{ iny (1)}}} |left & = & left< dfrac{| vec{T_{ ext{ iny (1)}}} |}{2} , dfrac{| vec{T_{ ext{ iny (1)}}} |sqrt{3}}{2} ight> end{array} ]

For the second support, we note that the angle (30^{circ}) is measured from the negative (x)-axis, so the angle needed to write (vec{T_{ ext{ iny (2)}}}) in component form is (150^{circ}). Hence

[ egin{array}{rcl} vec{T_{ ext{ iny (2)}}} & = & | vec{T_{ ext{ iny (2)}}} |left & = & left<-dfrac{| vec{T_{ ext{ iny (2)}}} |sqrt{3}}{2}, dfrac{| vec{T_{ ext{ iny (2)}}} |}{2} ight> end{array} ]

The requirement (vec{w} + vec{T_{ ext{ iny (1)}}} + vec{T_{ ext{ iny (2)}}} = vec{0}) gives us this vector equation.

[ egin{array}{rcl} vec{w} + vec{T_{ ext{ iny (1)}}} + vec{T_{ ext{ iny (2)}}} & = & vec{0} left<0,-50 ight> + left< dfrac{| vec{T_{ ext{ iny (1)}}} |}{2} , dfrac{| vec{T_{ ext{ iny (1)}}} |sqrt{3}}{2} ight> + left<-dfrac{| vec{T_{ ext{ iny (2)}}} |sqrt{3}}{2}, dfrac{| vec{T_{ ext{ iny (2)}}} |}{2} ight> & = & left<0, 0 ight> left< dfrac{| vec{T_{ ext{ iny (1)}}} |}{2} -dfrac{| vec{T_{ ext{ iny (2)}}} |sqrt{3}}{2}, dfrac{| vec{T_{ ext{ iny (1)}}} |sqrt{3}}{2} + dfrac{| vec{T_{ ext{ iny (2)}}} |}{2} -50 ight> & = & left<0, 0 ight> end{array} ]

Equating the corresponding components of the vectors on each side, we get a system of linear equations in the variables (| vec{T_{ ext{ iny (1)}}} | ( and (| vec{T_{ ext{ iny (2)}}} |).

[left{ egin{array}{lrcl} (E1) & dfrac{| vec{T_{ ext{ iny (1)}}} |}{2} -dfrac{| vec{T_{ ext{ iny (2)}}} |sqrt{3}}{2} & = & 0 (E2) & dfrac{| vec{T_{ ext{ iny (1)}}} |sqrt{3}}{2} + dfrac{| vec{T_{ ext{ iny (2)}}} |}{2} -50 & = & 0 end{array} ight.]

From ((E1)), we get (| vec{T_{ ext{ iny (1)}}} | = | vec{T_{ ext{ iny (2)}}} | sqrt{3}). Substituting that into ((E2)) gives (frac{(| vec{T_{ ext{ iny (2)}}} | sqrt{3})sqrt{3}}{2} + frac{| vec{T_{ ext{ iny (2)}}} |}{2} - 50 = 0) which yields (2| vec{T_{ ext{ iny (2)}}} | - 50 =0). Hence, (| vec{T_{ ext{ iny (2)}}} | = 25) pounds and (| vec{T_{ ext{ iny (1)}}} | = | vec{T_{ ext{ iny (2)}}} | sqrt{3} = 25 sqrt{3}) pounds. qed


Vector informație Length (bp)
pKF18k-2 DNA The pKF pUC-derived vectors contain two amber stop mutations at the kanamycin resistance gene. When transformed with pKF, supE strains, like JM109, will grow on kanamycin-containing plates (sup 0 strains, such as MV1184, will not). The pKF vectors can be used to perform site-directed mutagenesis based on the Oligonucleotide-directed Dual Amber (ODA) method. Moreover, pKF DNA is available for target gene cloning and expression via the lac promoter when transformed into supE hosts. Target genes cloned at the initiation codon (ATG) of the Nde I restriction site (CATATG) have a higher translation efficiency. 2,204
pSTV28, pSTV29 DNA The pSTV vectors contain a beta-galactosidase gene, a pACYC184 origin of replication, a chloramphenicol resistance gene, and a pUC119 multiple cloning site. Since the pSTV plasmids produce fewer copy numbers compared with pUC-type high copy number plasmids, they are suitable for the expression of genes that may be toxic to host cells. The pSTV28 and pSTV29 vectors contain the pACYC184 origin of replication and can be co-transformed with pUC or pBR vectors. 2,999
pTV118N DNA The pTV118N DNA, a phagemid vector, is constructed from a modified pUC118 plasmid. pTV118N DNA contains the sequence CCATGG, which includes the cleavage sequence for the restriction enzyme NcoI as well as the start codon (ATG) for lacZ. This enables target gene expression at the NcoI site, while protein expression is enabled by the vector's lac promoter. The pTV118N vector also contains a lacZ SD sequence. There are eight bases between the lacZ SD sequence and the initiation codon, allowing high level expression of target genes. Induction of single-stranded DNA by helper phage and its subsequent sequencing with RV-N primer enables accurate sequencing from the start codon site, ensuring an insert's correct translation frame. 3,162
pTWV228 DNA The pTWV228 vector contains a pBR322 origin of replication, an ampicillin-resistance gene, an intergenic region (IG region) of the M13 phage DNA, and a beta-galactosidase gene containing the multiple cloning site of pUC118. This vector is low-copy number, which makes it useful during the expression of genes that present potential toxicity to their host. 4,039
pUC118 DNA The pUC118 vectors can be used to prepare single-stranded DNA. pUC118 DNA was constructed by inserting the intergenic region (IG region) of the M13 phage DNA into a pUC18 plasmid. Co-transformation of pUC118 with the M13K07 helper phage induces the production of single-stranded DNA that is packaged into phage particles and released from bacterial cells. Using this system, large (up to 7 kb) and deletion-free single-stranded DNA can be stably obtained. 3,162

Storage

Concentration

250&ndash1,000 µg/ml (except as specifically listed below)

pUC118 BAP-treated DNA: 0.1 µg/µl

Additional product information

Please see the product's Certificate of Analysis for information about storage conditions, product components, and technical specifications. Please see the Kit Components List to determine kit components. Certificates of Analysis and Kit Components Lists are located under the Documents tab.

Takara Bio USA, Inc.
United States/Canada: +1.800.662.2566 &bull Asia Pacific: +1.650.919.7300 &bull Europe: +33.(0)1.3904.6880 &bull Japan: +81.(0)77.565.6999
FOR RESEARCH USE ONLY. NOT FOR USE IN DIAGNOSTIC PROCEDURES. © 2021 Takara Bio Inc. All Rights Reserved. All trademarks are the property of Takara Bio Inc. or its affiliate(s) in the U.S. and/or other countries or their respective owners. Certain trademarks may not be registered in all jurisdictions. Additional product, intellectual property, and restricted use information is available at takarabio.com.

Takara Bio Europe is a member of the Takara Bio Group, a leading life sciences company that is committed to improving the human condition through biotechnology. Through our Takara, Clontech, and Cellartis brands, our mission is to develop high-quality innovative tools and services to accelerate discovery.


A modular lentiviral and retroviral construction system to rapidly generate vectors for gene expression and gene knockdown in vitro and in vivo

The ability to express exogenous cDNAs while suppressing endogenous genes via RNAi represents an extremely powerful research tool with the most efficient non-transient approach being accomplished through stable viral vector integration. Unfortunately, since traditional restriction enzyme based methods for constructing such vectors are sequence dependent, their construction is often difficult and not amenable to mass production. Here we describe a non-sequence dependent Gateway recombination cloning system for the rapid production of novel lentiviral (pLEG) and retroviral (pREG) vectors. Using this system to recombine 3 or 4 modular plasmid components it is possible to generate viral vectors expressing cDNAs with or without inhibitory RNAs (shRNAmirs). In addition, we demonstrate a method to rapidly produce and triage novel shRNAmirs for use with this system. Once strong candidate shRNAmirs have been identified they may be linked together in tandem to knockdown expression of multiple targets simultaneously or to improve the knockdown of a single target. Here we demonstrate that these recombinant vectors are able to express cDNA and effectively knockdown protein expression using both cell culture and animal model systems.

Conflict of interest statement

Competing Interests: The authors have declared that no competing interests exist.

Figures

Figure 1. Modular design and function of…

Figure 1. Modular design and function of pLEG/pREG viral vector expression system.

Figure 2. Overview of pLEG/pREG vectors to…

Figure 2. Overview of pLEG/pREG vectors to express shRNAmirs.

A) A typical four-plasmid LR recombination…

Figure 3. Efficient knockdown of one or…

Figure 3. Efficient knockdown of one or more genes using a pLEG.

Figure 4. Rapid screening of p53 knockdown…

Figure 4. Rapid screening of p53 knockdown using stable and transient pLEG shRNAmir expression.


A lattice as depicted in Figure 11.4 is “a framework or structure of crossed wood or metal strips” — definition from standard dictionary “The Merriam-Webster Dictionary (Pocket Book) NY, 1974. A lattice is determined by a sequence of vectors b0, beu, …, bn−1 (in real n-dimensional ℜ n , which are linearly independent over ) that is

The lattice consists of all points tu n , which may be written as a linear combination of the basis vectors <b eu> with integer coefficients.

The vectors <b eu> are the basis for the lattice .

The lattice in Figure 11.5 consists of all points that are întreg linear combinations of the basis vectors b 1 = (0.125, 0.25), and b 1 = (−0.125, 0.2). The simultaneous diophantine approximation problem is

Dat :

Find : a UGSDA .

Get Computer Security and Cryptography now with O’Reilly online learning.

O’Reilly members experience live online training, plus books, videos, and digital content from 200+ publishers.


Cuprins

Plasmids Edit

Plasmids are double-stranded extra chromosomal and generally circular DNA sequences that are capable of replication using the host cell's replication machinery. [6] Plasmid vectors minimalistically consist of an origin of replication that allows for semi-independent replication of the plasmid in the host. Plasmids are found widely in many bacteria, for example in Escherichia coli, but may also be found in a few eukaryotes, for example in yeast such as Saccharomyces cerevisiae. [7] Bacterial plasmids may be conjugative/transmissible and non-conjugative:

  • conjugative - mediate DNA transfer through conjugation and therefore spread rapidly among the bacterial cells of a population e.g., F plasmid, many R and some col plasmids.
  • nonconjugative - do not mediate DNA through conjugation, e.g., many R and col plasmids.

Plasmids with specially-constructed features are commonly used in laboratory for cloning purposes. These plasmid are generally non-conjugative but may have many more features, notably a "multiple cloning site" where multiple restriction enzyme cleavage sites allow for the insertion of a transgene insert. The bacteria containing the plasmids can generate millions of copies of the vector within the bacteria in hours, and the amplified vectors can be extracted from the bacteria for further manipulation. Plasmids may be used specifically as transcription vectors and such plasmids may lack crucial sequences for protein expression. Plasmids used for protein expression, called expression vectors, would include elements for translation of protein, such as a ribosome binding site, start and stop codons.

Viral vectors Edit

Viral vectors are generally genetically engineered viruses carrying modified viral DNA or RNA that has been rendered noninfectious, but still contain viral promoters and also the transgene, thus allowing for translation of the transgene through a viral promoter. However, because viral vectors frequently are lacking infectious sequences, they require helper viruses or packaging lines for large-scale transfection. Viral vectors are often designed for permanent incorporation of the insert into the host genome, and thus leave distinct genetic markers in the host genome after incorporating the transgene. For example, retroviruses leave a characteristic retroviral integration pattern after insertion that is detectable and indicates that the viral vector has incorporated into the host genome.

Artificial chromosomes Edit

Artificial chromosomes are manufactured chromosomes in the context of yeast artificial chromosomes (YACs), bacterial artificial chromosomes (BACs), or human artificial chromosomes (HACs). An artificial chromosome can carry a much larger DNA fragment than other vectors. [8] YACs and BACs can carry a DNA fragment up to 300,000 nucleotides long. Three structural necessities of an artificial chromosome include an origin of replication, a centromere, and telomeric end sequences. [9]

Transcription of the cloned gene is a necessary component of the vector when expression of the gene is required: one gene may be amplified through transcription to generate multiple copies of mRNAs, the template on which protein may be produced through translation. [10] A larger number of mRNAs would express a greater amount of protein, and how many copies of mRNA are generated depends on the promoter used in the vector. [11] The expression may be constitutive, meaning that the protein is produced constantly in the background, or it may be inducible whereby the protein is expressed only under certain condition, for example when a chemical inducer is added. These two different types of expression depend on the types of promoter and operator used.

Viral promoters are often used for constitutive expression in plasmids and in viral vectors because they normally force constant transcription in many cell lines and types reliably. [12] Inducible expression depends on promoters that respond to the induction conditions: for example, the murine mammary tumor virus promoter only initiates transcription after dexamethasone application and the Drosophilia heat shock promoter only initiates after high temperatures.

Some vectors are designed for transcription only, for example for in vitro mRNA production. These vectors are called transcription vectors. They may lack the sequences necessary for polyadenylation and termination, therefore may not be used for protein production.

Expression vectors produce proteins through the transcription of the vector's insert followed by translation of the mRNA produced, they therefore require more components than the simpler transcription-only vectors. Expression in different host organism would require different elements, although they share similar requirements, for example a promoter for initiation of transcription, a ribosomal binding site for translation initiation, and termination signals.

Prokaryotes expression vector Edit

  • Promoter - commonly used inducible promoters are promoters derived from lac operon and the T7 promoter. Other strong promoters used include Trp promoter and Tac-Promoter, which are a hybrid of both the Trp and Lac Operon promoters. (RBS) - follows the promoter, and promotes efficient translation of the protein of interest.
  • Translation initiation site - Shine-Dalgarno sequence enclosed in the RBS, 8 base-pairs upstream of the AUG start codon.

Eukaryotes expression vector Edit

Eukaryote expression vectors require sequences that encode for:

    : Creates a polyadenylation tail at the end of the transcribed pre-mRNA that protects the mRNA from exonucleases and ensures transcriptional and translational termination: stabilizes mRNA production.
  • Minimal UTR length: UTRs contain specific characteristics that may impede transcription or translation, and thus the shortest UTRs or none at all are encoded for in optimal expression vectors. : Vectors should encode for a Kozak sequence in the mRNA, which assembles the ribosome for translation of the mRNA.

Modern artificially-constructed vectors contain essential components found in all vectors, and may contain other additional features found only in some vectors:


11.8: Vectors

Condiție preliminară: Vectors in C++ STL

Vectors are known as dynamic arrays with the ability to resize itself automatically when an element is inserted or deleted, with their storage being handled automatically by the container.

Vector of Vectors is a two-dimensional vector with a variable number of rows where each row is vector. Each index of vector stores a vector which can be traversed and accessed using iterators. It is similar to an Array of Vectors but with dynamic properties.

Insertion in Vector of Vectors

Elements can be inserted into a vector using the push_back() function of C++ STL.

Below example demonstrates the insertion operation in a vector of vectors. The code creates a 2D vector by using the push_back() function and then displays the matrix.

This function pushes vector v2 into vector of vectors v1. Therefore v1 becomes < <1, 2, 3>>.

This function pushes vector v2 into existing vector of vectors v1 and v1 becomes v1 = < <1, 2, 3>, <4, 5, 6>>

Below is the example to demonstrate insertion into a vector of vectors.

Removal or Deletion in a Vector of Vectors

Elements can be removed from a vector of vectors using the pop_back() function of C++ STL.

Below example demonstrates the removal operation in a vector of vectors. The code removes elements from a 2D vector by using the pop_back() function and then displays the matrix.
Syntax:

Example 1: Let the vector of vectors be vector v = < < 1, 2, 3 >, < 4, 5, 6 >, < 7, 8, 9 >>

This function removes element 9 from the last row vector. Therefore v becomes < < 1, 2, 3 >, < 4, 5, 6 >, < 7, 8 >>.

This function removes element 6 from the last second row vector. Therefore v becomes < < 1, 2, 3 >, < 4, 5 >, < 7, 8 >>.


Design and Engineering of Deimmunized Vaccinia Viral Vectors

Vaccinia viral (VV) vectors are increasingly used in oncolytic virus therapy and vaccine development for cancer and infectious diseases. However, their effectiveness is hindered by the strong anti-viral immune response induced by the viral vector. In this review, we discuss the strategies to deimmunize vaccinia viral vector. One approach is to mask the virus from the neutralization antibody responses by mapping and eliminating of B-cell epitopes on the viral membrane proteins. The recombinant VVs contain one or more viral glycoproteins with mutations in the neutralizing antibody epitopes, resulting in viral escape from neutralization. In addition, a regulator of complement activation (e.g., CD55) can be expressed on the surface of the virus particle, leading to increased resistance to complement-mediated neutralization.

Keywords: complement deimmunization immunogenicity neutralizing antibody oncolytic vaccinia virus.

Conflict of interest statement

Kevin Song is an intern of Icell Kealex Therapeutics. Kevin Song’s current contact information: DeBakey High School for Health Professions. Mariya Viskovska is an employee of Icell Kealex Therapeutics.


11.8: Vectors

Module 7: Introduction to Vectors

In this module, we'll cover the foundational concepts for working with vectors in R. Understanding how R stores information in vectors, and the way in which operations are executed in vectorized form is key to understanding how to efficiently write the R programming language.

Vectors are collections of elements, all of the same type (numeric, character, etc.), which you can store in a variable. For example, if you wanted to store the names "Sarah" and "Arup" both in the same variable, you could do so in a vector. The syntax for creating vectors is to use the built in c function, which stands for combine. The c function accepts comma separated arguments of the same type, și returns a single vector of those elements.

Once created, you are unable to change the number of elements in a vector. However, you could create a new vector by combining a new element with an existing vector.

Indexing is the processes of retrieving values from a vector. Termenul index refers to an element's position in a vector. Vector elements are indexed starting with 1 , which is distinct from zero-indexed languages, whose first element in a vector is accessed with the number 0 . If you want to retrieve a value from a vector, you'll do so by typing an index (or series of incices) after a vector inside of square-brackets ( [] ). The first element in a vector has position (index) 1 .

As stated above, you can retrieve a single value from a vector by placing an index inside of square-brackets after the vector:

This syntax should look familiar from other times that you've printed out a variable. As it turns out, in R, everything is a vector. Even when you create a variable storing the number 7 ( x <- 7 ), R creates a vector of length 1, and puts the number 7 in the first position. This is why printing out a variable with a single element in it provides you with an index of that value:

If you pass a negative-index into the square-brackets, R will return all elements cu exceptia the (negative) index specified.

Passing a out-of-range value into the square brackets will return NA , which stands for Not Available:

As you can imagine, you may want to access multiple elements inside of a vector. To do so, you can pass a vector of indices into your square brackets:

If you find that a bit messy, you can store your indicies ( c(1,2) ) in a variable, and then pass that variable into the square-brackets:

Recall the seq function from module-6 which produced a sequence of numbers. A handy shorthand for the sequence function is the colon operator ( a:b ), which returns a vector from a to b (incrementing by 1 ). This allows you to write nicely readable code such as this:

This easily reads as return vector elements in positions 2 through 5.

In the section above, we used a vector of indices to retrieve values from a vector. An alternative is to use a vector of boolean values to indicate which values you want to return. For example:

This may seem a bit strange, but consider the case in which you want to select elements from a vector that meet a certain criteria. You could first create a vector of boolean values that meet that criteria, then use that vector of boolean values to retrieve the elements of interest:

We can even combine the second and third lines of code into a single statement. You can think of the following statement as saying shoe.sizes where shoe.sizes is greater than 6.5. This is a valid statement because the equality inside of the square-brackets ( [shoe.sizes > 6.5] ) returns a vector of boolean values, which is then used to select the elements out of the shoe.sizes vector:

Understanding vector indexing is crucial for being able to ask real world questions of our datasets. To practice working with vectors, see exercise-1.

While we are unable to change the number of elements within a vector, we sunt able to change the values within a vector. To achieve this, we isolate the element of interest on the left-hand side of our assignment, and then assign the element a new value:

And of course, there's no reason that you can't select multiple elements on the left-hand side, and assign them multiple values:

We can do even more advanced element replacement by understanding the idea of recycling (see below).

When performing mathematical transformations on vectors, it's important to understand how R computes the combination of two vectors. When performing vector arithmetic, elements are combined member-wise. In other words, each element from one vector is modified by the element in the same corresponding position in a modifying vector. For example:

While you're unable to use mathematical operators (namely, + ) to combine character vectors, you can use the paste function to concatenate the character elements from two vectors.

R will also apply a function to each element within a vector by default. For example, consider the substr function that takes a sub-string of a set of characters from a starting position to a final position:

If we pass a vector of character values to the substr function, it will perform the same task on each element in the vector.

This is extremely powerful, because many other programming languages require the explicit iteration through elements in a collection.

In the next section, we'll discuss the concept of recycling to explain how R treats vector arithmetic for vectors of different length.

Recycling refers to what R does in cases when there are an unequal number of elements in two vectors that are being combined. If R is tasked with performing a vectorized operation with two vectors of unequal length, it will reuse (recycle) elements from the shorter vector. For example:

In the example above, R first combined the elements in the first position of each vector ( 1 + 1 ). Then, it combined elements from the second position ( 2 + 2 ). When it got to the third element (which only was present in v1 ), it went back to the beginning of v1 to select a value, yielding 3 + 1 .

Note, R may provide a warning message, notifying you that the vectors are of different length. This is important, because this may be indicative of an error (i.e., you thought the vectors were of the same length, but overlooked it).

Let's move towards a more useful example. Imagine you had a vector of values in which you wanted to replace all numbers greater that 10 with the number 10. You can leverage recycling to repeat an element of length 1 for each element you wish to replace:

In this example, the number 10 get recycled for each element in which v1 is greater than 10 ( v1[v1>10] ).


11.8: Vectors

Expression Vectors Market - Industry Analysis, Market Size, Share, Trends, Application Analysis, Growth And Forecast 2019 - 2024

List of Tables

1 US Expression Vectors Market Size 2018
2 Canada Expression Vectors Market Share 2018
3 Brazil Expression Vectors Market Outlook 2019 - 2023
4 Mexico Expression Vectors Market Research 2018
5 Germany Expression Vectors Market Trends 2019 - 2023
6 Creșterea pieței vectorilor de expresie din Franța 2019 - 2023
Cererea pieței din Marea Britanie pentru vectorii de expresie 2019 - 2023
8 Segmentarea pieței vectorilor de expresie din Italia 2018
9 Analiza pieței Rusia Expression Vectors 2019 - 2023
10 venituri pe piața vectorilor de expresie din China 2019 - 2023
11 Volumul pieței din Japonia a vectorilor de expresie 2019 - 2023
12 potențialul pieței din Coreea de Sud pentru vectorii de expresie 2019 - 2023
13 lideri de piață în India Expression Vectors 2018
14 Previziuni pentru piața vectorilor de expresie din Arabia Saudită 2019 - 2023
15 Kuwait Expression Vectors Valoarea de piață 2018


Browserul dvs. nu acceptă panza.

O modalitate alternativă de a specifica un vector este de a da amploarea și unghiul pe care îl face cu fiecare dintre axe. Cele trei unghiuri sunt denumite de obicei $ alpha, beta $ și $ gamma $ (alfa, beta și gamma) unde $ alpha $ este unghiul dintre vector și axa $ x $, $ beta $ este unghiul dintre vector și axa $ y $ și $ gamma $ este unghiul dintre vector și axa $ z $.

Cosinusurile sunt deseori numite $ l $, $ m $ și $ n $ unde $ l = cos ( alpha) $, $ m = cos ( beta) $ și $ n = cos ( gamma) $

'return s> // ============================================= ============= funcția drawBraces (inCanvasID, inSize) else if (inSize == 3) context.lineWidth = lw context.beginPath () context.moveTo (x + tab, y-tab) context.lineTo (x, y-tab) context.lineTo (x, y + h) context.lineTo (x + tab, y + h) context.stroke () x + = w context.beginPath () context.moveTo (x-tab, y-tab) context.lineTo (x, y-tab) context. lineTo (x, y + h) context.lineTo (x-tab, y + h) context.stroke ()> // ====================== =================================== function submitAnswers (inQs) else > else > >> i ++> sAns = sAns.slice (0, -1) // strip trailing | if (sAns) //console.log(submitData) $ .ajax ('> else '>> $ (ans.QID) .html (s)>)>, eroare: function (returnData) >). apoi (funcție (date, stare, xhr) <$ ('# csrf'). html (xhr.getResponseHeader ('csrf'))>)> else > // ============================================ ============== funcția addMatrixElements (inStr1, inStr2) else > // =============================================== =========== funcția decodeMark (inStr) else if (inStr) ') //console.log(arr) for (var i = 0 i

MyBaseline este conceput pentru învățare. Sunt oferite exemple și tutoriale pentru a îmbunătăți înțelegerea. Acestea sunt revizuite în mod constant pentru a evita erorile, dar nu putem garanta corectitudinea completă a întregului conținut. În timpul utilizării acestui site sunteți de acord să citiți și să acceptați condițiile noastre de utilizare și politica de confidențialitate.


Priveste filmarea: 1060 TICE Vectors (Iulie 2022).


Comentarii:

  1. Akihn

    Și nu este așa))))

  2. Mazusida

    Cred că faci o greșeală. Pot dovedi asta. Trimiteți -mi un e -mail la pm.



Scrie un mesaj