Articole

4.2: Rezolvarea sistemelor prin substituție

4.2: Rezolvarea sistemelor prin substituție



We are searching data for your request:

Forums and discussions:
Manuals and reference books:
Data from registers:
Wait the end of the search in all databases.
Upon completion, a link will appear to access the found materials.

În această secțiune introducem o tehnică algebrică pentru rezolvarea sistemelor a două ecuații în două necunoscute numită metoda substituției. Mai întâi, rezolvați oricare dintre ecuații pentru oricare dintre variabile, apoi înlocuiți rezultatul în cealaltă ecuație. Rezultatul este o ecuație într-o singură variabilă. Rezolvați acea ecuație, apoi înlocuiți rezultatul în oricare dintre celelalte ecuații pentru a găsi variabila necunoscută rămasă.

Exemplu ( PageIndex {1} )

Rezolvați următorul sistem de ecuații:

[2x-5 y = -8 label {Eq4.2.1} ]

[y = 3x-1 label {Eq4.2.2} ]

Soluţie

Ecuația ref {Eq4.2.2} este deja rezolvată pentru (y ). Înlocuiți ecuația ref {Eq4.2.2} în ecuația ref {Eq4.2.1}. Aceasta înseamnă că vom înlocui (3x − 1 ) cu (y ) în ecuația ref {Eq4.2.1}.

[ begin {align} 2x-5y & = -8 quad { color {Red} text {Equation}} ref {Eq4.2.1} 2x-5 ({ color {Red} 3x-1 }) & = -8 quad { color {Red} text {Substitute} 3x-1 text {for} y text {in}} ref {Eq4.2.1} end {align} nonumber ]

Acum rezolvați pentru (x ).

[ begin {align} 2x-15x + 5 & = -8 quad color {Red} text {Distribute} -5 -13x + 5 & = -8 quad color {Red} text { Simplifica. } -13x & = -13 quad color {Red} text {Subtract} 5 text {din ambele părți,} x & = 1 quad color {Red} text {Împarte ambele părți la } -13 end {align} nonumber ]

Așa cum am văzut în Rezolvarea sistemelor prin grafic, soluția sistemului este punctul de intersecție a celor două linii reprezentate de ecuațiile din sistem. Aceasta înseamnă că putem înlocui răspunsul (x = 1 ) în oricare dintre ecuații pentru a găsi valoarea corespunzătoare a (y ). Alegem să substituim (1 ) cu (x ) în ecuația ref {Eq4.2.2}, apoi să rezolvăm pentru (y ), dar veți obține exact același rezultat dacă înlocuiți (1 ) pentru (x ) în ecuația ref {Eq4.2.1}.

[ begin {align} y & = 3x-1 quad { color {Red} text {Equation}} ref {Eq4.2.2} y & = 3 (1) -1 quad color { Roșu} text {Substituire} 1 text {pentru} x y & = 2 quad color {Roșu} text {Simplificare. } end {align} nonumber ]

Prin urmare, ((x, y) = (1, 2) ) este soluția sistemului.

Verifica: Pentru a arăta că soluția ((x, y) = (1, 2) ) este o soluție a sistemului, trebuie să arătăm că ((x, y) = (1, 2) ) îndeplinește ambele ecuații ref {Eq4.2.1} și ref {Eq4.2.2}.

Înlocuiți ((x, y) = (1, 2) ) în ecuația ref {Eq4.2.1}:

[ begin {align} 2 x-5 y & = - 8 2 (1) -5 (2) & = - 8 2-10 & = - 8 - 8 & = - 8 end {aliniat} nonumber ]

Astfel, (1,2) satisface ecuația ref {Eq4.2.1}.

Înlocuiți ((x, y) = (1, 2) ) în ecuația ref {Eq4.2.2}:

[ begin {array} {l} {y = 3 x-1} {2 = 3 (1) -1} {2 = 3-1} {2 = 2} end {array } fără număr ]

Astfel, (1,2) satisface ecuația ref {Eq4.2.2}.

Deoarece ((x, y) = (1, 2) ) satisface ambele ecuații, este o soluție a sistemului.

Exercițiu ( PageIndex {1} )

Rezolvați următorul sistem de ecuații:

[ begin {align} 9 x + 2 y & = - 19 y & = 13 + 3 x end {align} nonumber ]

Răspuns

((-3,4))

Metoda de substituție

Metoda de substituție implică acești pași:

  1. Rezolvați oricare ecuație pentru oricare dintre variabile.
  2. Înlocuiți rezultatul de la pasul unu în cealaltă ecuație. Rezolvați ecuația rezultată.
  3. Înlocuiți rezultatul de la pasul doi în oricare dintre ecuațiile sistemului inițiale sau ecuația rezultată de la pasul unu (oricare dintre acestea pare cel mai ușor), apoi rezolvați pentru a găsi variabila necunoscută rămasă.

Exemplu ( PageIndex {2} )

Rezolvați următorul sistem de ecuații:

[5x-2y = 12 label {Eq4.2.3} ]

[4x + y = 6 label {Eq4.2.4} ]

Soluţie

Primul pas este rezolvarea oricărei ecuații pentru oricare variabilă. Aceasta înseamnă că putem rezolva prima ecuație pentru (x ) sau (y ), dar înseamnă și că am putea rezolva mai întâi a doua ecuație pentru (x ) sau (y ). Dintre aceste patru opțiuni posibile, rezolvarea celei de-a doua ecuații ref {Eq4.2.4} pentru (y ) pare cea mai ușoară cale de a începe.

[ begin {align} 4x + y & = 6 quad { color {Red} text {Equation}} ref {Eq4.2.4} y & = 6-4x quad color {Red} text {Scade} 4x text {din ambele părți. } end {align} nonumber ]

Apoi, înlocuiți (6−4x ) cu (y ) în ecuația ref {Eq4.2.3}.

[ begin {align} 5x-2y & = 12 quad { color {Red} text {Equation}} ref {Eq4.2.3} 5x-2 (6-4x) & = 12 quad { color {Red} text {Substitute} 6-4 x text {for} y text {in}} ref {Eq4.2.3} 5x-12 + 8x & = 12 quad color {Red} text {Distribute} -2 13x-12 & = 12 quad color {Red} text {Simplify. } 13x & = 24 quad color {Red} text {Add} 12 text {pe ambele părți. } x & = dfrac {24} {13} quad color {Red} text {Împarte ambele părți la} 13 end {align} nonumber ]

În cele din urmă, pentru a găsi valoarea (y ) -, înlocuiți (24/13 ) cu (x ) în ecuația (y = 6−4x ) (puteți înlocui și (24/13 ) pentru (x ) în ecuații ref {Eq4.2.3} sau ref {Eq4.2.4}).

[ begin {align} y & = 6-4x y & = 6-4 left ( dfrac {24} {13} right) quad color {Red} text {Substitute} 24/13 text {for} x text {in} y = 6-4x y & = dfrac {78} {13} - dfrac {96} {13} quad color {Red} text {Multiply, apoi faceți fracții echivalente. } y & = - dfrac {18} {13} quad color {Red} text {Simplify. } end {align} nonumber ]

Prin urmare, ((x, y) = (24/13, −18 / 13) ) este soluția sistemului.

Verifica: Să folosim calculatorul grafic pentru a verifica soluția. Mai întâi, stocăm (24/13 ) în (X ) cu următoarele apăsări de taste (vezi rezultatul din Figura ( PageIndex {3} )).

Acum, ștergeți ecranul calculatorului apăsând tasta CLAR , apoi introduceți partea stângă a ecuației ref {Eq4.2.3} cu următoarele apăsări de taste (consultați rezultatul din Figura ( PageIndex {4} )).

Exercițiu ( PageIndex {2} )

Rezolvați următorul sistem de ecuații:

[ begin {align} x-2 y & = 13 4 x-3 y & = 26 end {align} nonumber ]

Răspuns

((13 / 5,-26 / 5))

Exemplu ( PageIndex {3} )

Rezolvați următorul sistem de ecuații:

[3x-2y = 6 label {Eq4.2.5} ]

[4x + 5y = 20 label {Eq4.2.6} ]

Soluţie

Împărțirea la (- 2 ) oferă fracții mai ușor de tratat decât împărțirea la (3 ), (4 ) sau (5 ), deci să începem prin rezolvarea ecuației ( ref {Eq4.2.5} ) pentru tine).

[ begin {align} 3x-2y & = 6 quad { color {Red} text {Equation}} ref {Eq4.2.5} -2y & = 6-3x quad color {Red} text {Subtract} 3 x text {din ambele părți. } y & = dfrac {6-3 x} {- 2} quad color {Red} text {Împarte ambele părți la} -2 y & = -3+ dfrac {3} {2 } x quad color {Red} text {Împarte ambele} 6 text {și} -3 x text {la} -2 text {folosind proprietatea distributivă. } end {align} nonumber ]

Înlocuiți (- 3+ dfrac {3} {2} x ) cu (y ) în ecuația ref {Eq4.2.6}

[ begin {align}
4x + 5y & = 20 quad { color {Red} text {Equation}} ref {Eq4.2.6}
4x + 5 left (-3+ dfrac {3} {2} x right) & = 20 quad color {Red} text {Substitute} -3+ dfrac {3} {2} x text { pentru tine
4x-15 + dfrac {15} {2} x & = 20 quad color {Red} text {Distribuiți} 5
8x-30 + 15x & = 40 quad color {Red} text {Ștergeți fracțiile prin multiplicare}
23x & = 70 quad color {Red} text {Simplify. Adăugați} 30 text {pe ambele părți. }
x & = dfrac {70} {23} quad color {Red} text {Împarte ambele părți la} 23
end {align} nonumber ]

Pentru a găsi (y ), înlocuiți (70/23 ) cu (x ) în ecuația (y = -3 + dfrac {3} {2} x ). De asemenea, puteți înlocui (70/23 ) cu (x ) în ecuații ref {Eq4.2.5} sau ref {Eq4.2.6} și obțineți același rezultat.

[ begin {align} y & = -3+ dfrac {3} {2} x y & = -3+ dfrac {3} {2} left ( dfrac {70} {23} dreapta) quad color {Red} text {Substitute} 70/23 text {for} x y & = - dfrac {69} {23} + dfrac {105} {23} quad color {Roșu} text {Înmulțiți. Faceți fracții echivalente. } y & = dfrac {36} {23} quad text {Simplificați. } end {align} nonumber ]

Prin urmare, ((x, y) = (70 / 23,36 / 23) ) este soluția sistemului.

Verifica: Pentru a verifica această soluție, să folosim calculatorul grafic pentru a găsi soluția sistemului. Știm deja că (3x - 2y = 6 ) este echivalent cu (y = -3 + dfrac {3} {2} x ). Să rezolvăm, de asemenea, ecuația ref {Eq4.2.6} pentru (y ).

[ begin {align} 4x + 5y & = 20 quad { color {Red} text {Equation}} ref {Eq4.2.6} 5y & = 20-4x quad color {Red} text {Scade} 4 x text {din ambele părți. } y & = dfrac {20-4 x} {5} quad color {Red} text {Împarte ambele părți la} 5 y & = 4- dfrac {4} {5} x quad color {Red} text {Împarte ambele} 20 text {și} -4 x text {la} 5 text {folosind proprietatea distributivă. } end {align} nonumber ]

Introduceți (y = -3 + dfrac {3} {2} x ) și (y = 4- dfrac {4} {5} x ) în Da= meniul calculatorului grafic (vezi Figura 4.32).

apasă pe ZOOM și selectați 6: ZStandard. presa 2 CALC pentru a deschide CALCULATI meniu, selectați 5: intersectează, apoi apăsați tasta INTRODUCE tastați de trei ori succesiv pentru a introduce „Da” la interogările „Prima curbă”, „A doua curbă” și „Ghiciți”. Rezultatul este prezentat în Figura ( PageIndex {7} ).

În partea de jos a ferestrei de vizualizare din Figura ( PageIndex {7} ), rețineți cum sunt stocate coordonatele punctului de intersecție în variabile X și Da. Fără a muta cursorul, (variabilele X și Da conține coordonatele cursorului), ieșiți din fereastra de vizualizare apăsând Al 2-lea renunțare, care este situat deasupra MOD cheie. Apoi apăsați tasta CLAR pentru a șterge ecranul calculatorului.

Acum apăsați tasta ( mathrm {X}, mathrm {T}, theta, mathrm {n} ), apoi MATEMATICĂ butonul de pe calculator:

Selectați 1: ►Frac, apoi apăsați tasta INTRODUCE tasta pentru a produce echivalentul fracțional al conținutului zecimal al variabilei (X ) (vezi Figura ( PageIndex {9} )).

Repetați procedura pentru variabila (Y ). Introduce:

Exercițiu ( PageIndex {3} )

Rezolvați următorul sistem de ecuații:

[ begin {align} 3 x-5 y & = 3 5 x-6 y & = 2 end {align} nonumber ]

Răspuns

((-8 / 7,-9 / 7))

Cazuri excepționale revizuite

Este complet posibil să aplicați metoda de substituție unui sistem de ecuații care fie au un număr infinit de soluții, fie nu au deloc soluții. Să vedem ce se întâmplă dacă faci asta.

Exemplu ( PageIndex {4} )

Rezolvați următorul sistem de ecuații:

[2 x + 3 y = 6 label {Eq4.2.7} ]

[y = - dfrac {2} {3} x + 4 label {Eq4.2.8} ]

Soluţie

Ecuația ref {Eq4.2.8} este deja rezolvată pentru (y ), deci să substituim (- dfrac {2} {3} x + 4 ) cu (y ) în Ecuația ref {Eq4. 2.7}.

[ begin {align} 2x + 3y & = 6 quad { color {Red} text {Equation}} ref {Eq4.2.7} 2x + 3 left (- dfrac {2} {3 } x + 4 right) & = 6 quad color {Red} text {Substitute} - dfrac {2} {3} x + 4 text {for} y 2x-2x + 12 & = 6 quad color {Red} text {Distribuiți} 3 12 & = 6 quad color {Red} text {Simplify. } end {align} nonumber ]

Bunătate! Ce s-a întâmplat cu (x )? Cum ar trebui să rezolvăm pentru (x ) în această situație? Cu toate acestea, rețineți că afirmația rezultată, (12 = 6 ), este falsă, indiferent de ce folosim pentru (x ) și (y ). Acest lucru ar trebui să ne dea un indiciu că nu există soluții. Poate că avem de-a face cu linii paralele?

Să rezolvăm ecuația ref {Eq4.2.7} pentru (y ), punând ecuația în formă de interceptare a pantei, pentru a ajuta la determinarea situației.

[ begin {align} 2x + 3y & = 6 quad { color {Red} text {Equation}} ref {Eq4.2.7} 3y & = -2x + 6 quad color {Red} text {Scade} 2 x text {din ambele părți. } y & = - dfrac {2} {3} x + 2 quad color {Red} text {Împarte ambele părți la} 3 end {align} nonumber ]

Astfel, sistemul nostru este echivalent cu următoarele două ecuații.

[ begin {align} y & = - dfrac {2} {3} x + 2 y & = - dfrac {2} {3} x + 4 end {align} nonumber ]

Aceste linii au aceeași pantă (- 2/3 ), dar diferite (y ) - interceptări (una are (y ) - interceptare ((0,2) ), cealaltă are (y ) - interceptare ((0,4) )). Prin urmare, acestea sunt două linii paralele distincte, iar sistemul nu are nicio soluție.

Exercițiu ( PageIndex {4} )

Rezolvați următorul sistem de ecuații:

[ begin {align} x & = dfrac {4} {3} y-7 6 x-8 y & = - 3 end {align} nonumber ]

Răspuns

Nici o soluție

Exemplu ( PageIndex {5} )

Rezolvați următorul sistem de ecuații:

[2x-6y = -8 label {Eq4.2.9} ]

[x = 3y-4 label {Eq4.2.10} ]

Soluţie

Ecuația ref {Eq4.2.10} este deja rezolvată pentru (x ), deci să substituim (3y − 4 ) cu (x ) în Ecuația ref {Eq4.2.9}.

[ begin {align} 2x-6y & = -8 quad { color {Red} text {Equation}} ref {Eq4.2.9} 2 (3y-4) -6y & = -8 quad color {Red} text {Substitute} 3 y-4 text {for} x 6y-8-6y & = -8 quad color {Red} text {Distribuiți} 2 -8 & = -8 quad color {Red} text {Simplify. } end {align} nonumber ]

Bunătate! Ce s-a întâmplat cu (x )? Cum ar trebui să rezolvăm pentru (x ) în această situație? Cu toate acestea, rețineți că afirmația rezultată, (- 8 = −8 ), este o afirmație adevărată de data aceasta. Poate că acesta este un indiciu că avem de-a face cu aceeași linie? Să punem ambele ecuații ref {Eq4.2.9} și ref {Eq4.2.10} în formă de interceptare a pantei, astfel încât să le putem compara.

Rezolvați ecuația ref {Eq4.2.9} pentru (y ):

[ begin {align} 2 x-6 y & = - 8 - 6 y & = - 2 x-8 y & = dfrac {-2 x-8} {- 6} y & = dfrac {1} {3} x + dfrac {4} {3} end {align} nonumber ]

Rezolvați ecuația ref {Eq4.2.10} pentru (y ):

[ begin {align} x & = 3 y-4 x + 4 & = 3 y dfrac {x + 4} {3} & = y y & = dfrac {1} {3 } x + dfrac {4} {3} end {align} nonumber ]

Prin urmare, liniile au aceeași pantă și aceeași interceptare (y ) și sunt exact aceleași linii. Astfel, există un număr infinit de soluții. Într-adevăr, orice punct de pe ambele linii este o soluție. Exemple de puncte de soluție sunt ((- 4,0) ), ((- 1,1) ) și ((2,2) ).

Exercițiu ( PageIndex {5} )

Rezolvați următorul sistem de ecuații:

[ begin {align} -28 x + 14 y & = - 126 y & = 2 x-9 end {align} nonumber ]

Răspuns

Există un număr infinit de soluții. Exemple de puncte de soluție sunt ((0, −9) ), ((5,1) ) și ((- 3, −15) ).

Bacsis

Când înlocuiți o ecuație în alta și variabila dispare, luați în considerare:

  1. Dacă afirmația rezultată este falsă, atunci aveți două linii paralele distincte și nu există nicio soluție.
  2. Dacă afirmația rezultată este adevărată, atunci aveți aceleași linii și există un număr infinit de soluții.

Algebra 4.2 Rezolvarea sistemelor de ecuații cu metoda de substituție

Cei 5 pași pentru rezolvarea sistemelor folosind metoda de substituție.

1. _______ una dintre variabilele dintr-una din ecuații.

2. _______ cantitatea găsită în pasul 1 din cealaltă ecuație.

3. _______ ecuația rezultată.

4 .________ valoarea de la pasul 3 în oricare dintre ecuațiile originale. Apoi ______ pentru variabila rămasă.

5. _______ soluția în ambele ecuații originale.

Dacă ajungeți la o soluție care nu este egală, cum ar fi 4 = 6, cum ar trebui scris răspunsul?

Aceasta înseamnă că setul de soluții reprezintă ________ linii.

SISTEMUL DE CONTRADICȚIE ESTE INCONSISTENT

Dacă ajungeți la o soluție care este egală, cum ar fi 8=8 și ai obținut asta după y = -2x + 4 a fost soluția la prima ecuație, cum ar trebui scris răspunsul?

Aceasta înseamnă că setul de soluții reprezintă linia ___________.

ECUAȚIILE DE IDENTITATE SUNT DEPENDENTE

Un număr este cu 3 mai mic decât de două ori celălalt număr. Dacă suma a două numere este 27, găsiți numerele.

1. Fie ____ egal cu un număr.
2. Fie ____ egal cu celălalt număr.
3. Scrieți ecuația unui număr în comparație cu celălalt. Cum ar fi: x = ___y - __
4. Folosiți metoda de substituție.


5.2 Rezolvarea sistemelor de ecuații prin înlocuire

Rezolvarea sistemelor de ecuații liniare prin grafic este o modalitate bună de a vizualiza tipurile de soluții care pot rezulta. Cu toate acestea, există multe cazuri în care rezolvarea unui sistem prin grafic este incomodă sau imprecisă. Dacă graficele se extind dincolo de grila mică cu X și y ambele între −10 și 10, graficarea liniilor poate fi greoaie. Și dacă soluțiile sistemului nu sunt întregi, poate fi greu să le citiți valorile exact dintr-un grafic.

În această secțiune, vom rezolva sisteme de ecuații liniare prin metoda de substituție.

Rezolvați un sistem de ecuații prin înlocuire

Vom folosi același sistem pe care l-am folosit mai întâi pentru grafic.

Mai întâi vom rezolva una dintre ecuații pentru oricare X sau y. Putem alege oricare dintre ecuații și rezolvăm pentru oricare dintre variabile - dar vom încerca să facem o alegere care să ușureze munca.

Apoi înlocuim această expresie în cealaltă ecuație. Rezultatul este o ecuație cu o singură variabilă - și știm cum să le rezolvăm!

După ce vom găsi valoarea unei variabile, vom înlocui acea valoare într-una din ecuațiile originale și vom rezolva cealaltă variabilă. În cele din urmă, verificăm soluția noastră și ne asigurăm că face ambele ecuații adevărate.

Vom completa toate aceste etape acum în Exemplul 5.13.

Exemplul 5.13

Cum se rezolvă un sistem de ecuații prin substituire

Rezolvați sistemul prin substituție. <2 x + y = 7 x - 2 y = 6 <2 x + y = 7 x - 2 y = 6


Cum se rezolvă sisteme de ecuații prin înlocuire

Substituirea este cea mai rapidă metodă de rezolvare a unui sistem de două ecuații în două variabile. Metoda poate fi, de asemenea, utilizată pentru a găsi soluția unui sistem de trei sau mai multe ecuații în trei sau mai multe variabile, dar durează mai mult.

În această lecție, vă vom vorbi rezolvând un sistem de 2 ecuații liniare în 2 variabile.

Rezolvarea sistemelor de ecuații prin substituție

Metoda de substituție implică trei pași. Sunt:

& emsp & # 10031 Rearanjați o ecuație pentru a izola una dintre variabilele pe o parte.

& emsp & # 10031 Înlocuiți expresia astfel obținută în cealaltă ecuație pentru a rezolva pentru cealaltă variabilă.

& emsp & # 10031 Conectați valoarea înapoi la una dintre ecuații pentru a rezolva variabila izolată inițial.

Să înțelegem pașii cu acest sistem liniar.

În sistemul de mai sus, variabila y este izolată. Deci, pasul 1 este deja realizat. Acum, să substituim expresia pentru y în a doua ecuație.

Aplicând proprietatea distributivă, avem:

Combinând termeni similari, obținem:

Scăzând 12 din ambele părți, avem:

Împărțind ambele părți la 7, obținem:

7x7 = 77

Acum ultimul pas! Trebuie să reconectăm această valoare a x-ului la una dintre ecuații. Să-l conectăm y = x + 6.

Astfel, soluția sistemului liniar este (1, 7).

Să aruncăm o privire la un alt exemplu.

Rezolvați 4x - 6y = –16 și 8x + 2y = 24 folosind metoda de substituție.

Să alegem a doua ecuație de data aceasta. Rezolvând a doua ecuație pentru y, obținem:

Înlocuind acum y în prima ecuație, avem:

Putem pune această valoare x înapoi în oricare dintre ecuațiile date și să rezolvăm pentru y.

Am rearanjat ecuația 2 și avem o expresie pentru y all set!

Acum, tot ce trebuie să facem este doar să înlocuim valoarea lui x în aceasta.

Astfel, soluția este (x, y) = (2, 4).

Verifică-ți soluția!
Puteți verifica dacă soluția dvs. este corectă prin înlocuirea valorilor x și y din ecuații.
Conectând (2, 4) în ecuația 1, veți obține:
⇨ 4(2) – 6(4) = –16
8 – 24 = –16
–16 = –16 ✔

Conectând (2, 4) în ecuația 2, veți obține:
⇨ 8(2) + 2(4) = 24
16 + 8 = 24
24 = 24 ✔

Ce variabilă se izolează atunci când se rezolvă un sistem cu înlocuire

Nu contează ce ecuație alegeți sau ce variabilă rezolvați mai întâi, soluția sistemului rămâne aceeași. Să luăm un exemplu pentru a ilustra acest fapt.

Rezolvați acest sistem prin substituire.

V-am arătat soluția pas cu pas începând cu x, precum și cu y.

Izolând x de ecuația 1, avem:

& ensp & # 8680 –x + y - y = –4 - y
& emsp & emsp [Scăderea y din ambele părți]

& ensp & # 8680 –x = –4 - y & emsp [Combinarea termenilor asemănători]

& ensp & # 8680 x = 4 + y & emsp [Se înmulțește cu –1]

Acum, substituind x în ecuația 2, avem:

& ensp & # 8680 4 (4) + 4y - 3y = 10
& emsp & emsp [Aplicarea proprietății distributive]

& ensp & # 8680 16 + y = 10 & emsp [Combinarea termenilor similari]

& ensp & # 8680 16 + y - 16 = 10 - 16
& emsp & emsp [Scăderea a 16 din ambele părți]

Conectând înapoi y în x = 4 + y, obținem:

Prin urmare, setul de soluții este (–2, –6).

Izolând y de ecuația 1, avem:

& ensp & # 8680 –x + y + x = –4 + x & emsp [Adăugarea x pe ambele părți]

& ensp & # 8680 y = –4 + x & emsp [Combinarea termenilor asemănători]

Acum, înlocuind y în ecuația 2, avem:

& ensp & # 8680 4x - 3 (–4) - 3x = 10
& emsp & emsp [Aplicarea proprietății distributive]

& ensp & # 8680 x + 12 = 10 & emsp [Combinarea termenilor asemănători]

& ensp & # 8680 x + 12 - 12 = 10 - 12
& emsp & emsp [Scăderea a 12 din ambele părți]

Conectând înapoi x în y = –4 + x, obținem:

Prin urmare, setul de soluții este (–2, –6).

După cum puteți vedea, soluția în ambele cazuri este aceeași. Deci, începeți cu un pas care este cel mai convenabil și simplu.

Esența a ceea ce am învățat până acum!

Rezolvarea unui sistem de ecuații în două variabile folosind substituția este ușoară și rapidă!

Pentru a rezolva prin substituție, trebuie să urmați un proces în trei pași care implică izolarea unei variabile, substituirea expresiei și re-substituirea valorii.

Indiferent ce ecuație alegeți și ce variabilă rezolvați mai întâi, soluția sistemului de ecuații rămâne aceeași.

Rafinează-ți practica cu foile noastre de lucru Sisteme de rezolvare a ecuațiilor liniare printabile gratuit!


Resurse deschise pentru Algebra Colegiului Comunitar

În secțiunea 4.1, ne-am concentrat pe rezolvarea sistemelor de ecuații prin grafic. În plus față de consumul de timp, graficarea poate fi o metodă incomodă pentru a determina soluția exactă atunci când soluția are un număr mare, fracții sau zecimale. Există două metode simbolice pentru rezolvarea sistemelor de ecuații liniare, iar în această secțiune vom folosi una dintre ele: substituția.

Figura 4.2.1. Lecție video alternativă

Subsecțiunea 4.2.1 Rezolvarea sistemelor de ecuații folosind substituția

Exemplul 4.2.2. Interviul.

În 2014, New York Times 1 (nyti.ms/2pupebT) a postat următoarele despre film, „The Interview”:

„Interviul” a generat aproximativ ( $ 15 ) milioane în vânzări și închirieri online în primele patru zile de disponibilitate, a declarat Sony Pictures duminică.

Sony nu a spus cât de mult din acest total reprezentau închirieri digitale ( $ 6 ) față de vânzări ( $ 15 ). Studioul a spus că au fost aproximativ două milioane de tranzacții per total.

Câteva zile mai târziu, Joey Devilla a subliniat în mod inteligent în blogul său 2 http://www.joeydevilla.com/2014/12/31/ că există suficiente informații pentru a găsi cantitatea vânzărilor față de închirieri. Folosind algebra, putem scrie un sistem de ecuații și îl putem rezolva pentru a găsi cele două mărimi. 3 Deși, deoarece informațiile date utilizează valori aproximative, soluțiile pe care le vom găsi vor fi doar aproximări.

În primul rând, vom defini variabile. Avem nevoie de două variabile, deoarece există două cantități necunoscute: câte vânzări au fost și câte închirieri au fost. Fie (r ) numărul de tranzacții de închiriere și fii (s ) numărul de tranzacții de vânzare.

Dacă nu sunteți sigur cum să scrieți o ecuație din informațiile de bază, utilizați unitățile pentru a vă ajuta. Unitățile fiecărui termen dintr-o ecuație trebuie să se potrivească, deoarece putem adăuga doar cantități similare. Atât (r ) cât și (s ) sunt în tranzacții. Articolul spune că numărul total de tranzacții este de (2 ) milioane. Așadar, prima noastră ecuație va adăuga numărul total de tranzacții de închiriere și vânzări și va stabili valoarea egală cu (2 ) milioane. Ecuația noastră este:

Prețul fiecărei închirieri a fost ( $ 6 text <.> ) Aceasta înseamnă că problema ne-a oferit o rată din (6 , frac < text> < text> ) pentru a lucra cu. Unitatea tarifară sugerează că acest lucru ar trebui înmulțit cu ceva măsurat în tranzacții. Este logic să înmulțiți cu (r text <,> ) și apoi numărul de dolari generați din închirieri a fost (6r text <.> ) În mod similar, prețul fiecărei vânzări a fost ( $ 15 text <,> ) deci venitul din vânzări a fost de (15s text <.> ) Venitul total a fost de ( $ 15 ) milioane, pe care îl putem reprezenta cu această ecuație:

Iată sistemul nostru de ecuații:

Pentru a rezolva sistemul, vom folosi metoda. Ideea este de a folosi unu ecuație pentru a găsi o expresie care este egală cu (r ), dar, inteligent, nu folosește variabila „ (r text <.> )” Apoi, înlocuiți aceasta cu (r ) în alte ecuaţie. Acest lucru te lasă cu unu ecuație care are numai unu variabil.

Prima ecuație din sistem este ușor de rezolvat pentru (r text <:> )

Acest lucru ne spune că expresia (2 <,> 000 <,> 000-s ) este egală cu (r text <,> ), astfel încât să putem substitui pentru (r ) în a doua ecuație:

Acum avem o ecuație cu o singură variabilă, (s text <,> ) pentru care vom rezolva:

începe 6 (2 <,> 000 <,> 000-s) + 15s amp = 15 <,> 000 <,> 000 12 <,> 000 <,> 000-6s + 15s amp = 15 <,> 000 <,> 000 12 <,> 000 <,> 000 + 9s amp = 15 <,> 000 <,> 000 9s amp = 3 <,> 000 <,> 000 divideunder < 9s> <9> amp = divideunder <3 <,> 000 <,> 000> <9> s amp = 333 <,> 333. overline <3> end

În acest moment, știm că (s = 333 <,> 333. overline <3> text <.> ) Acest lucru ne spune că din (2 ) milioane de tranzacții, aproximativ (333 <, > 333 ) provin din vânzări online. Reamintim că am rezolvat prima ecuație pentru (r text <,> ) și am găsit (r = 2 <,> 000 <,> 000-s text <.> )

Pentru a verifica răspunsul nostru, vom vedea dacă (s = 333 <,> 333. overline <3> ) și (r = 1 <,> 666 <,> 666. overline <6> ) fac ecuații originale adevărate:

În rezumat, au existat aproximativ (333 <,> 333 ) exemplare vândute și aproximativ (1 <,> 666 <,> 667 ) exemplare închiriate.

Observație 4.2.3.

În exemplul 4.2.2, noi ales pentru a rezolva ecuația (r + s = 2 <,> 000 <,> 000 ) pentru (r text <.> ) Am fi putut la fel de ușor să rezolvăm pentru (s ) și să înlocuim rezultatul în a doua ecuație. Concluzia sumară ar fi fost aceeași.

Observație 4.2.4.

În exemplul 4.2.2, am rotunjit valorile soluției deoarece doar numerele întregi au sens în contextul problemei. A fost OK să rotunjim, deoarece informațiile originale cu care trebuia să lucrăm erau rotunjite. De fapt, ar fi OK să rotunjim și mai mult la (s = 330 <,> 000 ) și (r = 1 <,> 700 <,> 000 text <,> ) atâta timp cât comunicăm clar că am rotunjit și valorile noastre sunt aspre.

În alte exerciții în care nu există context și nimic nu sugerează că numerele date sunt aproximări, nu este în regulă rotunjirea și toate răspunsurile trebuie comunicate cu valorile lor exacte.

Exemplul 4.2.5.

Rezolvați sistemul de ecuații folosind substituția:

Pentru a folosi substituția, trebuie să rezolvăm unu a variabilelor din unu a ecuațiilor noastre. Privind ambele ecuații, va fi cel mai ușor de rezolvat pentru (x ) în prima ecuație:

Apoi, înlocuim (x ) în a doua ecuație cu (8-2y text <,> ) oferindu-ne o ecuație liniară într-o singură variabilă, (y text <,> ) pe care o putem rezolva :

Acum că avem valoarea pentru (y text <,> ) trebuie să găsim valoarea pentru (x text <.> ) Am rezolvat deja prima ecuație pentru (x text <,> ) deci aceasta este cea mai ușoară ecuație de utilizat.

Pentru a verifica această soluție, înlocuim (x ) cu (4 ) și (y ) cu (2 ) în fiecare ecuație:

Concluzionăm atunci că acest sistem de ecuații este adevărat atunci când (x = 4 ) și (y = 2 text <.> ) Soluția noastră este punctul ((4,2) ) și scriem soluția setat ca ( <(4,2) > text <.> )

Punctul de control 4.2.6.
Exemplul 4.2.7.

Rezolvați acest sistem de ecuații folosind substituția:

Trebuie să rezolvăm unu a variabilelor din unu a ecuațiilor noastre. Privind la ambele ecuații, va fi cel mai ușor de rezolvat pentru (y ) în a doua ecuație. Coeficientul (y ) din acea ecuație este cel mai mic.

Rețineți că în acest exemplu, există fracții odată ce rezolvăm pentru (y text <.> ) Ar trebui să avem grijă cu pașii care urmează ca fracțiunea aritmetică să fie corectă.

Înlocuiți (y ) în prima ecuație cu ( frac <11> <2> + frac <5> <2> x text <,> ) oferindu-ne o ecuație liniară într-o singură variabilă, ( x text <,> ) pe care îl putem rezolva:

Acum că avem valoarea pentru (x text <,> ) trebuie să găsim valoarea pentru (y text <.> ) Am rezolvat deja a doua ecuație pentru (y text <,> ) deci aceasta este cea mai ușoară ecuație de utilizat.

Pentru a verifica această soluție, înlocuim (x ) cu (- 3 ) și (y ) cu (- 2 ) în fiecare ecuație:

Concluzionăm atunci că acest sistem de ecuații este adevărat când (x = -3 ) și (y = -2 text <.> ) Soluția noastră este punctul ((- 3, -2) ) și scriem setul de soluții ca ( <(- 3, -2) > text <.> )

Exemplul 4.2.8. Ștergerea denumitorilor de fracții înainte de rezolvare.

Rezolvați sistemul de ecuații folosind metoda de substituție:

Când un sistem de ecuații are coeficienți de fracție, poate fi util să se ia măsuri care să înlocuiască fracțiile cu numere întregi. Cu fiecare ecuație, putem înmulți fiecare parte cu cel mai mic multiplu comun dintre toți numitorii.

În prima ecuație, cel mai mic multiplu comun al numitorilor este (6 text <,> ) deci:

În a doua ecuație, cel mai mic multiplu comun al numitorilor este (4 text <,> ) deci:

Acum avem acest sistem care este echivalent cu sistemul original de ecuații, dar nu există coeficienți de fracție:

A doua ecuație este deja rezolvată pentru (x text <,> ), așa că vom înlocui (x ) în prima ecuație cu (2y + 4 text <,> ) și avem:

Și am rezolvat pentru (y text <.> ) Pentru a găsi (x text <,> ) știm (x = 2y + 4 text <,> ) deci avem:

Soluția este ((- 2, -3) text <.> ) Verificarea acestei soluții este lăsată ca exercițiu.

Punctul de control 4.2.9.

Pentru referință sumară, iată procedura generală.

Procesul 4.2.10. Rezolvarea sistemelor de ecuații prin substituție.

Pentru a rezolva un sistem de ecuații prin substituție,

Rezolvați una dintre ecuații pentru una dintre variabile.

Înlocuiți această expresie în alte ecuaţie. Acum ar trebui să existe o singură variabilă în acea ecuație.

Rezolvați acea ecuație pentru singura variabilă rămasă.

Înlocuiți acea valoare într-o ecuație anterioară și rezolvați cealaltă variabilă.

Verificați soluția în ecuațiile originale.

Subsecțiunea 4.2.2 Aplicații ale sistemelor de ecuații

Exemplul 4.2.11. Două rate diferite ale dobânzii.

Notah a făcut câteva achiziții mari cu cele două cărți de credit ale sale într-o lună și a preluat un total de ( $ 8 <,> 400 ) datorii de pe cele două cărți. Nu a efectuat nicio plată în prima lună, așa că cele două datorii ale cardului de credit au început să acumuleze dobândă. În luna respectivă, cardul său Visa a perceput dobânzi (2 \% ), iar Mastercard a perceput dobânzi (2,5 \% ). Din această cauză, datoria totală a lui Notah a crescut cu ( $ 178 text <.> ) Câți bani a perceput Notah pe fiecare card?

Pentru început, vom defini două variabile pe baza celor două necunoscute. Fie (v ) suma încărcată pe cardul Visa (în dolari) și fie (m ) suma încărcată pe Mastercard (în dolari).

Pentru a determina ecuațiile noastre, observați că ni se dau două totaluri diferite. Le vom folosi pentru a forma cele două ecuații ale noastre. Suma totală taxată este ( $ 8 <,> 400 ), deci avem:

Celălalt total care ni s-a dat este suma totală a dobânzii, ( 178 $ text <,> ) care este, de asemenea, în dolari. Visa a fost taxată cu (v ) dolari și acumulează dobânzi (2 \% ). Deci (0,02v ) este valoarea dobânzii în dolari care provine din utilizarea acestui card. În mod similar, (0,025 m ) este suma în dolari a dobânzii de la utilizarea Mastercard. Împreună:

Pentru a rezolva acest sistem prin substituție, observați că va fi mai ușor de rezolvat pentru una dintre variabilele din prima ecuație. Vom rezolva acea ecuație pentru (v text <:> )

Acum vom înlocui (8400-m ) cu (v ) în a doua ecuație:

În cele din urmă, putem determina valoarea (v ) utilizând ecuația anterioară în care am izolat (v text <:> )

Pe scurt, Notah a perceput ( 6400 $ ) pe Visa și ( 2000 $ ) pe Mastercard. Ar trebui să verificăm dacă aceste numere funcționează ca soluții la sistemul nostru original și că au sens în context. (De exemplu, dacă unul dintre aceste numere ar fi negativ sau ar fi ceva mic ca (. 50 text <,> ) nu ar avea sens ca datorii pe cardul de credit.)

Următoarele două exemple sunt numite, deoarece implică amestecarea a două cantități împreună pentru a forma o combinație și vrem să aflăm cât din fiecare cantitate să amestecăm.

Exemplul 4.2.12. Amestecând soluții cu două concentrații diferite.

LaVonda este un barman meticulos și trebuie să servească (600 ) mililitri de Rob Roy, un cocktail alcoolic care este (34 \% ) alcool în volum. Principalele ingrediente sunt scotch care este alcool (42 \% ) și vermut care este alcool (18 \% ). Câți mililitri din fiecare ingredient ar trebui să se amestece pentru a face concentrația de care are nevoie?

Cele două necunoscute sunt cantitățile fiecărui ingredient. Fie (s ) cantitatea de scotch (în mL) și fie (v ) cantitatea de vermut (în mL).

O cantitate care ne-a fost dată în problemă este de 600 ml. Deoarece acesta este volumul total al băuturii mixte, trebuie să avem:

To build the second equation, we have to think about the alcohol concentrations for the scotch, vermouth, and Rob Roy. It can be tricky to think about percentages like these correctly. One strategy is to focus on the amount (in mL ) of alcohol being mixed. If we have (s) milliliters of scotch that is (42\%) alcohol, then (0.42s) is the actual amount (in mL ) of alcohol in that scotch. Similarly, (0.18v) is the amount of alcohol in the vermouth. And the final cocktail is 600 mL of liquid that is (34\%) alcohol, so it has (0.34(600)=204) milliliters of alcohol. All this means:

To solve this system, we'll solve for (s) in the first equation:

And then substitute (s) in the second equation with (600-v ext<:>)

As a last step, we will determine (s) using the equation where we had isolated (s ext<:>)

In summary, LaVonda needs to combine 400 mL of scotch with 200 mL of vermouth to create 600 mL of Rob Roy that is (34\%) alcohol by volume.

As a check for Example 4.2.12, we will use to see that our solution is reasonable. Since LaVonda is making a (34\%) solution, she would need to use more of the (42\%) concentration than the (18\%) concentration, because (34\%) is closer to (42\%) than to (18\% ext<.>) This agrees with our answer because we found that she needed 400 mL of the (42\%) solution and 200 mL of the (18\%) solution. This is an added check that we have found reasonable answers.

Example 4.2.13 . Mixing a Coffee Blend.

Desi owns a coffee shop and they want to mix two different types of coffee beans to make a blend that sells for ($12.50) per pound. They have some coffee beans from Columbia that sell for ($9.00) per pound and some coffee beans from Honduras that sell for ($14.00) per pound. How many pounds of each should they mix to make (30) pounds of the blend?

Before we begin, it may be helpful to try to estimate the solution. Let's compare the three prices. Since ($12.50) is between the prices of ($9.00) and ($14.00 ext<,>) this mixture is possible. Now we need to estimate the amount of each type needed. The price of the blend (($12.50) per pound) is closer to the higher priced beans (($14.00) per pound) than the lower priced beans (($9.00) per pound). So we will need to use more of that type. Keeping in mind that we need a total of (30) pounds, we roughly estimate (20) pounds of the ($14.00) Honduran beans and (10) pounds of the ($9.00) Columbian beans. How good is our estimate? Next we will solve this exercise exactly.

To set up our system of equations we define variables, letting (C) be the amount of Columbian coffee beans (in pounds) and (H) be the amount of Honduran coffee beans (in pounds).

The equations in our system will come from the total amount of beans and the total cost. The equation for the total amount of beans can be written as:

To build the second equation, we have to think about the cost of all these beans. If we have (C) pounds of Columbian beans that cost ($9.00) per pound, then (9C) is the cost of those beans in dollars. Similarly, (14H) is the cost of the Honduran beans. And the total cost is for (30) pounds of beans priced at ($12.50) per pound, totaling (12.5(30)=37.5) dollars. All this means:

Or without units and carrying out the multiplication on the right:

To solve the system, we'll solve the first equation for (C ext<:>)

Next, we'll substitute (C) in the second equation with (30-H ext<:>)

Since (H=21 ext<,>) we can conclude that (C=9 ext<.>)

In summary, Desi needs to mix (21) pounds of the Honduran coffee beans with (9) pounds of the Columbian coffee beans to create this blend. Our estimate at the beginning was pretty close, so we feel this answer is reasonable.

Subsection 4.2.3 Solving Special Systems of Equations with Substitution

Remember the two special cases we encountered when solving by graphing in Subsection 4.1.2? If the two lines represented by a system of equations have the same slope, then they might be separate lines that never meet, meaning the system has no solutions. Or they might coincide as the same line, in which case there are infinitely many solutions represented by all the points on that line. Let's see what happens when we use the substitution method on each of the special cases.

Example 4.2.14 . A System with No Solution.

Solve the system of equations using the substitution method:

Since the first equation is already solved for (y ext<,>) we will substitute (2x-1) for (y) in the second equation, and we have:

Even though we were only intending to substitute away (y ext<,>) we ended up with an equation where there are no variables at all. This will happen whenever the lines have the same slope. This tells us the system represents either parallel or coinciding lines. Since (2=3) is false no matter what values (x) and (y) might be, there can be no solution to the system. So the lines are parallel and distinct. We write the solution set using the empty set symbol: the solution set is (emptyset ext<.>)

To verify this, re-write the second equation, (4x-2y=3 ext<,>) in slope-intercept form:

So the system is equivalent to:

Now it is easier to see that the two lines have the same slope but different (y)-intercepts. They are parallel and distinct lines, so the system has no solution.

Example 4.2.15 . A System with Infinitely Many Solutions.

Solve the system of equations using the substitution method:

Since (y=2x-1 ext<,>) we will substitute (2x-1) for (y) in the second equation and we have:

Even though we were only intending to substitute away (y ext<,>) we ended up with an equation where there are no variables at all. This will happen whenever the lines have the same slope. This tells us the system represents either parallel or coinciding lines. Since (2=2) is true no matter what values (x) and (y) might be, the system equations are true no matter what (x) is, as long as (y=2x-1 ext<.>) So the lines coincide. We write the solution set as (<(x,y)mid y=2x-1> ext<.>)

To verify this, re-write the second equation, (4x-2y=2 ext<,>) in slope-intercept form:

Now it is easier to see that the two equations represent the same line. Every point on the line is a solution to the system, so the system has infinitely many solutions. The solution set is (<(x,y) mid y=2x-1> ext<.>)

Reading Questions 4.2.4 Reading Questions

Give an example of a system of two equations in (x) and (y) where it would be nicer to solve the system using substitution than by graphing the two lines that the equations define. Explain why substitution would be nicer than graphing for your example system.

What might be a good first step if you have a system of two linear equations in two variables where there are fractions appearing in the equations?

In an application problem, thinking about the can help you understand how to set up equations.


4.2: Solving Systems by Substitution

Systems of Linear Equations:
Solving by Substitution
(page 4 of 7)

The method of solving "by substitution" works by solving one of the equations (you choose which one) for one of the variables (you choose which one), and then plugging this back into the other equation, "substituting" for the chosen variable and solving for the other. Then you back-solve for the first variable.

Here is how it works. (I'll use the same systems as were in a previous page.)

2X &ndash 3y = &ndash2
4
X + y = 24

The idea here is to solve one of the equations for one of the variables, and plug this into the other equation. It does not matter which equation or which variable you pick. There is no right or wrong choice the answer will be the same, regardless. But &mdash some choices may be better than others.

For instance, in this case, can you see that it would probably be simplest to solve the second equation for " y = ", since there is already a y floating around loose in the middle there? I could solve the first equation for either variable, but I'd get fractions, and solving the second equation for X would also give me fractions. It wouldn't be "wrong" to make a different choice, but it would probably be more difficult. Being lazy, I'll solve the second equation for y :

4 X + y = 24
y = &ndash4 X + 24

Now I'll plug this in ("substitute it") for " y " in the first equation, and solve for X :

2X &ndash 3(&ndash4X + 24) = &ndash2
2X + 12X &ndash 72 = &ndash2
14X = 70
X = 5 Copyright © Elizabeth Stapel 2003-2011 All Rights Reserved

Now I can plug this X -value back into either equation, and solve for y . But since I already have an expression for " y = ", it will be simplest to just plug into this:

y = &ndash4(5) + 24 = &ndash20 + 24 = 4

Then the solution is (X, y) = (5, 4) .

Warning: If I had substituted my " &ndash4 X + 24 " expression into the same equation as I'd used to solve for " y = ", I would have gotten a true, but useless, statement:

4X + (&ndash4X + 24) = 24
4X &ndash 4X + 24 = 24
24 = 24

Twenty-four does equal twenty-four, but who cares? So when using substitution, make sure you substitute into the other equation, or you'll just be wasting your time.

y = 36 &ndash 9X
3
X + y/3 = 12

We already know (from the previous lesson ) that these equations are actually both the same line that is, this is a dependent system. We know what this looks like graphically: we get two identical line equations, and a graph with just one line displayed. But what does this look like algebraically?

The first equation is already solved for y , so I'll substitute that into the second equation:

3 X + (36 &ndash 9 X )/3 = 12
3 X + 12 &ndash 3 X = 12
12 = 12

Well, um. yes, twelve does equal twelve, but so what?

I did substitute the primul equation into the al doilea equation, so this unhelpful result is not because of some screw-up on my part. It's just that this is what a dependent system looks like when you try to find a solution. Remember that, when you're trying to solve a system, you're trying to use the second equation to narrow down the choices of points on the first equation. You're trying to find the one single point that works in both equations. But in a dependent system, the "second" equation is really just another copy of the first equation, and toate the points on the one line will work in the other line.

In other words, I got an unhelpful result because the second line equation didn't tell me anything new. This tells me that the system is actually dependent, and that the solution is the whole line:

solution: y = 36 &ndash 9X

This is always true, by the way. When you try to solve a system and you get a statement like " 12 = 12 " or " 0 = 0 " &mdash something that's true, but unhelpful (I mean, duh!, of course twelve equals twelve!) &mdash then you have a dependent system. We already knew, from the previous lesson, that this system was dependent, but now you know what the algebra looks like.

(Keep in mind that your text may format the answer to look something like " (t, 36 &ndash 9t) ", or something similar, using some variable, some "parameter", other than " X ". But this "parametrized" form of the solution means the exact same thing as "the solution is the line y = 36 &ndash 9X ".)

7X + 2y = 16
&ndash21
X &ndash 6y = 24

Neither of these equations is particularly easier than the other for solving. I'll get fractions, no matter which equation and which variable I choose. So, um. I guess I'll take the first equation, and I'll solve it for, um, y , because at least the 2 (from the " 2y ") will divide evenly into the 16 .

7X + 2y = 16
2y = &ndash7X + 16
y = &ndash( 7 /2 )X + 8

Now I'll plug this into the other equation:

&ndash21X &ndash 6(&ndash( 7 /2 )X + 8) = 24
&ndash21X + 21X &ndash 48 = 24
&ndash48 = 24

In this case, I got a nonsense result. All my math was right, but I got an obviously wrong answer. So what happened?

Keep in mind that, when solving, you're trying to find where the lines intersect. What if they don't intersect? Then you're going to get some kind of wrong answer when you assume that there is a solution (as I did when I tried to find that solution). We knew, from the previous lesson, that this system represents two parallel lines. But I tried, by substitution, to find the intersection point anyway. And I got a "garbage" result. Since there wasn't any intersection point, my attempt led to utter nonsense.

solution: no solution (inconsistent system)

This is always true, by the way. When you get a nonsense result, this is the algebraic indication that the system of equations is inconsistent.

Note that this is quite different from the previous example. Warning: A true-but-useless result (like " 12 = 12 ") is quite different from a nonsense "garbage" result (like " &ndash48 = 24 "), just as two identical lines are quite different from two parallel lines. Don't confuse the two. A useless result means a dependent system which has a solution (the whole line) a nonsense result means an inconsistent system which has no solution of any kind.


Past Papers | GCSE Papers | AS Papers

In our archive section you can find links to various websites that have old past papers in the pdf format. Enter the search term in the box below and click the 'search archive' button.

Here are 9 results for solving simultaneous equations by substitution:

1. 7_1 LINEAR AND NONLINEAR SYS OF EQNS.pdf
academics.utep.edu
7.1 LINEAR AND NONLINEAR SYSTEMS OF &hellip 2 &bull Use the method of substitution to solve systems of linear equations in two variables. &bull Use the method of substitution to solve systems

2. Simultaneous Equations - Solving by substitution.pdf
www.flinders.edu.au
L SIMULTANEOUS EQUATIONS C entre Solving by &hellip SIMULTANEOUS EQUATIONS. Solving by substitution . This can be checked by substituting back into both original equations to ensure that the left-hand and

3. A18simultsubs.pdf
Title: Simultaneous equations and the method of &hellip Title: Simultaneous equations and the method of substitution. Target: On completion of this worksheet you should be able to solve quadratic and linear simultaneous .

4. web-simultaneous1.pdf
Simultaneous linear equations - Mathematics &hellip 2. Solving simultaneous equations - method of substitution Howcanwehandlethetwoequationsalgebraicallysothatwedonothavetodrawgraphs?We .

5. mc-ty-simultaneous-2009-1.pdf
Simultaneous linear equations - Mathematics &hellip Simultaneous linear equations mc-simultaneous-2009-1 The purpose of this section is to look at the solution of simultaneous linear equations. We will see that solving .


Math Review of Solving Systems by Substitution

One of the ways to solve systems of equations is by graphing the equations. However, graphing the equations is not always the most accurate method to solve them. If one variable in a system is represented in terms of the other variable in the system, the systems can be solved by substitution.

Using Substitution

Suppose one of the equations in the system is x + y = 5 and the other equation is x = y +1. The expression y +1 can be substituted for x, so that y +1 +y =5. Then, there is just one variable so that 2y +1 =5, 2y +1 -1 = 5-1, or 2y = 4, or y =2. In order to check, substitute the value of y to solve for x, such that x +2 = 5, or x +2-2 = 5-2, or x = 3. Check the second equation also, so that 3 =2 +1. That is the way to use substitution to solve a system of equations.

Isolating the Variables

Sometimes, the variables cannot be isolated as easily in a system of equations, but the system of substitution can still be used. Suppose the equations were x-2y = 8 and 2x +y = 8. The first equation can be rearranged such that x = 8 +2y. Using substitution, the second equation then becomes 2(8 +2y) +y =8, or 16 +4y +y =8. As before, there is only one variable, such that 5y = 8-16 or 5y=-8, or y = -8/5. Again, check the value of x, so that x – (2)(-8/5) =8, or x +16/5 =8. (Notice how the sign changes when two negative values are multiplied.) Then multiply both sides by 5, so that 5x +16 = 40, or 5x =24 or x = 24/5. To check the first equation, 24/5 – 2[-8/5] equals 24/5 +16/5 = 40/5, or 8. To check the second equation 2 (24/5) – (8/5) = 48/5 – 8/5) = 40/5 = 8.

Understanding the Problem and Developing a Plan

Math problems that are written in words can often be translated into systems of equations, then solved by using substitution. Suppose the statement were “The sum of two numbers is 82. One number is 12 more than the other. What is the larger number?” The first sentence can be represented by the equation x +y = 82. The second sentence can be represented by the equation x=12 +y.

Problem-Solving: Solving the Problem and Checking the Answer

To solve the problem, take the system of equations and use substitution, so that 12 +y +y = 82, then 2y = 82-12, or 2y = 70, then y = 70/2, or 35. Using the second equation to solve for x, 12 +35 = 47, and using the first equation, 47 +35 = 82.

Interested in math tutoring services? Learn more about how we are assisting thousands of students each academic year.

SchoolTutoring Academy is the premier educational services company for K-12 and college students. We offer tutoring programs for students in K-12, AP classes, and college. To learn more about how we help parents and students in Columbia, SC: visit: Tutoring in Columbia, SC


The Substitution Method

First, let's review how the substitution property works in general.

Substitution Example 1

Let's re-examine system pictured up above.

$ ed = 2x + 1 ext < and > ed = 4x -1 $

We are going to use substitution like we did in review example 2 above.

Now we have 1 equation and 1 unknown, we can solve this problem as the work below shows.

The last step is to again use substitution, in this case we know that x = 1, but in order to find the y value of the solution, we just substitute x = 1 into either equation.

$ y = 2x + 1 y = 2cdot ed <1>+ 1 = 2 + 1 =3 oxed< ext< or you use the other equation>> y = 4x -1 y = 4cdot ed<1>- 1 y = 4 - 1 = 3 oxed < ( 1,3) >$

Substitution Example 2

What is the solution of the system of equations below:

Identify the best equation for substitution and then substitute into other equation.

Step 2

Substitute the value of x (-4 in this case) into either equation.

$ y = 2x + 1 y = 2cdot ed <-4>+ 1 = -8 + 1 = -7 2y = 3x - 2 2y = 3cdot-4 -2 oxed< ext< or you use the other equation>> 2y = 3x -2 2y = 3 ( ed<-4>) -2 2y = -12 -2 2y = -14 frac<1><2>cdot2y =frac<1><2>cdot-14 y = -7 $

You can also solve the system by graphing and see a picture of the solution below:

Substitution Practice Problems

Problema 1

Solve the system below using substitution

The solution of this system is the point of intersection: (-1, 0).

$ y = x + 1 quad y = 2x + 2 hspace <1.2cm>downarrow hspace <1.4cm>downarrow hspace <6mm>x + 1 = 2x + 2 hspace <7mm> ext<->x hspace <1.4cm> ext<->x hspace <7mm> ule<3.2cm> <0.25mm> hspace <1.7cm>1 = x + 2 hspace <1.6cm> ext<->2 hspace <1.4cm> ext<->2 hspace <7mm> ule<3.2cm> <0.25mm> hspace <1.2cm>-1 = x hspace <1.6cm>downarrow hspace <5mm>y = 2x + 2 hspace <7mm>y = 2 * (-1) + 2 = 0 [5mm] ext hspace <3mm>(-1, 0) $

Problema 2

Use substitution to solve the following system of linear equations:

Set the Two Equations equal to each other then solve for x

Substitute the x value, -2, into the value for 'x' for either equation to determine y coordinate of solution

The solution is the point (-2, -7)

Problema 3

Use the substitution method to solve the system:

This system of lines has a solution at the point (2, 9).

Problema 4

Use substitution to solve the system:

This system has an infinite number of solutions. Because 12x + 4 = 12x is always true for all values of x.

Problema 5

Solve the system of linear equations by substitution

These lines have the same slope (slope = 1) so they never intersect.

Problema 6

Use the substitution method to solve the system:

The solution of this system is (1, 3).

Problema 7

Use substitution to solve the system:

Whenever you arrive at a contradiction such as 3 = 4, your system of linear equations has no solutions.
When you use these methods (substitution, graphing, or elimination) to find the solution what you're really asking is at what


Priveste filmarea: Sisteme de ecuatii: metoda substitutiei, metoda reducerii. (August 2022).