Articole

Expansiunea Taylor

Expansiunea Taylor


We are searching data for your request:

Forums and discussions:
Manuals and reference books:
Data from registers:
Wait the end of the search in all databases.
Upon completion, a link will appear to access the found materials.

Tipul special de serie cunoscut sub numele de serie Taylor, ne permite să exprimăm orice funcție matematică, reală sau complexă, în termeni de n derivate. Seria Taylor poate fi numită și serie de puteri deoarece fiecare termen este o putere de (x ), înmulțită cu o constantă diferită

[f (x) = a_0x ^ 0 + a_1x ^ 1 + a_2x ^ 2 + a_3x ^ 3 + ... a_nx ^ n ]

(a_0, ; a_1, dots, a_n ) sunt determinate de funcțiile derivate. De exemplu, constanta (a_3 ) se bazează pe a treia derivată a funcției, (a_6 ) pe a șasea derivată sau (f ^ {(6)} x ) și așa mai departe.

Este evident că o funcție cu un număr finit de derivate ar avea un număr finit de termeni, ca (f (x) = x ^ 4, ; f '(x) = 4x ^ 3, ; f' '( x) = 12x ^ 2, ; f '' '(x) = 24x, ; f ^ {(4)} (x) = 24 ). Pe de altă parte, funcțiile infinit diferențiate, cum ar fi funcțiile exponențiale și trigonometrice, ar fi exprimate ca o serie infinită, a cărei precizie în exprimarea funcției ar fi determinată de numărul de termeni ai seriei utilizate.

Dovada teoremei lui Taylor implică o combinație dintre teorema fundamentală a calculului și teorema valorii medii, unde integrăm o funcție, (f ^ {(n)} (x) ) pentru a obține (f (x) ). Aceste două teoreme spun:

[ begin {align} & text {F.T.C:} ; & int_ {a} ^ {x} f ^ {(n)} (x) cdot Delta x & = f ^ {(n-1)} (x) -f ^ {(n-1)} (a ) & text {MVT:} ; & int_ {a} ^ {x} f ^ {(n)} (x) cdot Delta x & = f ^ {(n)} (c) cdot (x-a). end {align} ]

O revizuire rapidă a teoremei valorii medii ne spune că:

[ int_ {a} ^ {x} f '(x) cdot Delta x = f' (c) cdot (x-a). ]

.

Prin urmare, știm:

[f ^ {(n)} (c) cdot (xa) = int_ {a} ^ {x} f ^ {(n)} (x) cdot Delta (x) = f ^ {(n -1)} (x) -f ^ {(n-1)} (a) ]

sau

[f ^ {(n)} (c) cdot (x-a) = f ^ {(n-1)} (x) -f ^ {(n-1)} (a). ]

Acum putem integra funcția (f = f ^ {(n)} (x) ) o dată. Integrarea laturii stângi ne oferă:

[ int_ {a} ^ {x} f ^ {(n)} (c) cdot (xa) cdot Delta x = f ^ {(n)} (c) int_ {a} ^ {x } (xa) = f ^ {(n)} (c) dfrac {(xa) ^ 2} {2}. ]

(f ^ {(n)} (x) ) este doar o constantă și este egal cu (n ) a derivată evaluată la un moment dat (c ), între (a ) și ( X).

Și integrând partea dreaptă:

[ begin {align} int_ {a} ^ {x} f ^ {(n-1)} (x) cdot Delta x- int_ {a} ^ {x} f ^ {(n-1 )} (a) cdot Delta x & = left [f ^ {(n-2)} (x) -f ^ {(n-2)} (a) right] -f ^ {(n- 1)} (a) int_ {a} ^ {x} Delta x & text {(Reținând $ f ^ {(n-1)} (a) $ este o constantă)} & = left [f ^ {(n-2)} (x) -f ^ {(n-2)} (a) right] -f ^ {(n-1)} (a) (xa). end {align} ]

Combinarea celor două rezultate ne oferă:

[f ^ {(n)} (c) dfrac {(xa) ^ 2} {2} = f ^ {(n-2)} (x) -f ^ {(n-1)} (a) (xa). ]

Dacă ne integrăm din nou, a treia oară, ajungem pe partea stângă:

[ int_ {a} ^ {x} f ^ {(n)} (c) dfrac {(xa) ^ 2} {2} cdot Delta x = f ^ {(n)} (c) dfrac {(xa) ^ 3} {3 cdot 2 cdot 1} ; ; ; text {sau} ; ; ; f ^ {(n)} (c) dfrac {(x-a) ^ 3} {3!}. ]

În partea dreaptă avem:

[ int_ {a} ^ {x} f ^ {(n-2)} (x) cdot Delta x - int_ {a} ^ {x} f ^ {(n-2)} (a) cdot Delta x - int_ {a} ^ {x} f ^ {(n-1)} (a) (xa) cdot Delta x = left [f ^ {(n-3)} (x) -f ^ {(n-3)} (a) right] -f ^ {(n-2)} (a) int_ {a} ^ {x} 1 cdot Delta x - f ^ {(n-1)} (a) int_ {a} ^ {x} (xa) cdot Delta x ]

Combinând cele două părți:

[f ^ {(n)} (c) dfrac {(xa) ^ 3} {3!} = left [f ^ {(n-3)} (x) - f ^ {(n-3) } (a) right] -f ^ {(n-2)} (a) (xa) - f ^ {(n-1)} (a) dfrac {(xa) ^ 2} {2}. ]

Integrarea întregii mase pentru a patra oară, de unde am început cu funcția (y = f ^ {(n)} (x) ), oferă așa cum probabil ați ghicit deja din model:

[f ^ {(n)} (c) dfrac {(xa) ^ 4} {4!} = left [f ^ {(n-4)} (x) - f ^ {(n-4) } (a) right] -f ^ {(n-3)} (a) dfrac {(xa)} {1!} - f ^ {(n-2)} (a) dfrac {(xa) ^ 2} {2!} - f ^ {(n-1)} (a) dfrac {(xa) ^ 3} {3!}. ]

Până acum modelul ar trebui să fie clar. Dacă integrăm (n ) ori succesive pentru a găsi în cele din urmă (f (x) ) ajungem la o concluzie remarcabilă:

[f ^ {(n)} (c) dfrac {(xa) ^ n} {n!} = f (x) -f (a) -f '(a) dfrac {(xa)} {1 !} - f '' (a) dfrac {(xa) ^ 2} {2!} - f '' '(a) dfrac {(xa) ^ 3} {3!} dots dots -f ^ {(n-2)} dfrac {(xa) ^ {(n-2)}} {(n-2)!} -f ^ {(n-1)} dfrac {(xa) ^ {(n -1)}} {(n-1)!} ]

ceea ce simplifică:

[f (x) = sum_ {k = 0} ^ {n-1} f ^ {(k)} (a) dfrac {(xa) ^ k} {k!} + f ^ {(n) } (c) dfrac {(xa) ^ n} {n!}. ]

Ceea ce se spune este că orice funcție poate fi exprimată ca o serie a derivatelor sale ((n-1) ), fiecare evaluată în orice punct, (a ), plus derivata sa (n ) a evaluată la un punct între (a ) și (x ). Deoarece termenii seriei sunt:

[f (x) = f (a) + f '(a) (xa) + f' '(a) dfrac {(xa) ^ 2} {2!} + f' '' (a) dfrac {(xa) ^ 3} {3!} + dots dots + f ^ {(n)} (c) dfrac {(xa) ^ n} {n!}. ]

Trebuie să știm nu numai valoarea lui (f (x) ) la (f (a) ), ci și la (f '(a) ), (f' '(a) ), (f '' '(a) ) etc ... pentru a găsi (f (x) ), unde (x ), este orice alt număr decât (a ).

Ultimul termen al seriei Taylor diferă ușor de termenii anteriori. Trebuie să puteți calcula (f ^ {(n)} (c) dfrac {(xa) ^ n} {n!} ) Pentru a (c ) undeva între (a ) și (X).

Într-o funcție ușor diferențiată, cum ar fi (f (x) = dfrac {x ^ 4} {8} ), derivata (n ) este întotdeauna o constantă, astfel încât (f ^ {(n)} ( c) ) este acea constantă particulară indiferent de (c ) în (f ^ {(n)} (c) ). De exemplu:

[f (x) = dfrac {x ^ 4} {8}, ; f '(x) = dfrac {x ^ 3} {2}, ; f '' (x) = dfrac {3x ^ 2} {2}, ; f '' '(x) = 3x, ; f ^ {(4)} (x) = 3. ]

În acest caz, (f ^ {(n)} (c) = f ^ {(4)} (x) = 3 ), care va fi întotdeauna 3 indiferent de ceea ce introduceți în funcție. Amintiți-vă (n ) a derivată se referă la ultima derivată a funcției.

Pentru a scrie sau calcula o serie Taylor pentru (f (x) = dfrac {x ^ 4} {2} ) trebuie mai întâi să calculăm derivatele sale (n ), ceea ce am făcut deja mai sus. Seria Taylor este definită ca:

[ begin {align} f (x) & = sum_ {k = 0} ^ {n-1} f ^ {(n)} (a) dfrac {(xa) ^ n} {n!} + f ^ {(n)} (c) dfrac {(xa) ^ n} {n!} f (x) & = f (a) + f '(a) dfrac {(xa)!} { 2!} + Dots + f ^ {(4)} (c) dfrac {(xa) ^ 4} {4!} dfrac {x ^ 4} {2} & = dfrac {a ^ 4 } {2} + 2a ^ 3 (xa) + 6a ^ 2 dfrac {(xa ^ 2)} {2!} + 12a dfrac {(xa) ^ 3} {3!} + 12 dfrac {(xa ) ^ 4} {4!}. end {align} ]

Simplificând-o obținem:

[ dfrac {x ^ 4} {2} = dfrac {a ^ 4} {2} + 2a ^ 3 (xa) + 3a ^ 2 (xa) ^ 2 + 2a (xa) ^ 3 + dfrac { (xa) ^ 4} {12}. ]

Cel mai ușor număr de ales pentru (a ) este probabil 1, deși puteți alege orice număr doriți pentru (a ), atâta timp cât derivatele sale (n ) sunt definite la (a ) .

Înlocuind (a ) cu 1 se obține:

[f (x) = dfrac {x ^ 4} {2} = dfrac {1} {2} +2 (x-1) +3 (x-1) ^ 2 + 2 (x-1) ^ 3+ dfrac {(x-1) ^ 4} {2}. ]

Acum, să evaluăm (f (x) ) la (x = 6 ) folosind seria Taylor:

[ begin {align} f (6) & = dfrac {6 ^ 4} {2} = dfrac {1} {2} +2 (5) +3 (5) ^ 2 + 2 (5) ^ 3+ dfrac {(5) ^ 4} {2} & = dfrac {6 ^ 4} {2} = 0,5 + 10 + 75 + 250 + 312,5 & = dfrac {1296} {2} = 648 & = 648 end {align} ]

Suma seriei de termeni corespunde exact; totuși, după cum puteți vedea, scrierea unei serii Taylor pentru o funcție ușor diferențiată nu este un lucru practic de făcut. De exemplu, în această serie a trebuit să calculăm în ultimul termen ( dfrac {(5) ^ 4} {2} ) pentru a găsi (f (6) ) sau ( dfrac {(6) ^ 4} {2} ). Acum, dacă am fi capabili să calculăm cu ușurință (5 ^ 4 ) atunci nu ar fi mult mai ușor să găsim (6 ^ 4 ) direct fără a fi nevoie să parcurgem o serie de calcule și însumări?

Răspunsul este da și, prin urmare, viața seriei Taylor finite este de scurtă durată.


Calculați expansiunea Taylor a unei funcții

Calculatorul din seria Taylor permite calcularea expansiunii Taylor a unei funcții.

Descriere :

Online calculator serie Taylor ajută la determinarea Expansiunea Taylor a unei funcții la un punct. Expansiunea Taylor a unei funcții într-un punct este o aproximare polinomială a funcției din apropierea acelui punct. Gradul de aproximare polinomială utilizat este ordinea expansiunii Taylor.

Calculatorul poate calcula expansiunea Taylor a funcțiilor comune.

De exemplu, pentru a calcula expansiunea lui Taylor la 0 din funcția cosinus la ordinea 4, pur și simplu introduceți taylor_series_expansion (`cos (x) x04`) după calcul, rezultatul este returnat.

Pentru a calcula dl la 0 din funcția exponențială la ordinea 5, pur și simplu introduceți taylor_series_expansion (`exp (x) x05`), după calcul, rezultatul este returnat.

Pentru a calcula expansiunea lui Taylor la 0 din `f: x-> cos (x) + sin (x) / 2`, pentru a comanda 4, pur și simplu introduceți taylor_series_expansion (` cos (x) + sin (x) / 2x04`) după calcul, rezultatul este returnat.

Calculatorul din seria Taylor permite calcularea expansiunii Taylor a unei funcții.


Expansiunea Taylor

O funcție cu o singură variabilă poate fi extinsă în jurul unui punct dat de seria Taylor:

Când este mic, termenii de ordin superior pot fi neglijați, astfel încât funcția să poată fi aproximată ca o funcție pătratică

sau chiar o funcție liniară

O funcție multi-variabilă poate fi, de asemenea, extinsă de seria Taylor:

care poate fi exprimat în formă vectorială ca:

unde este un vector și și sunt respectiv vectorul gradient și matricea Hessian (derivate de ordinul întâi și al doilea într-o singură variabilă) a funcției definite ca:

Dacă a doua derivată a este continuă, atunci, adică, este simetrică.

Când este mic (adică este mic), atunci poate fi aproximat printr-o funcție pătratică cu un termen de eroare de ordinul trei

sau chiar o funcție liniară cu un termen de eroare de ordinul doi

Un set de funcții multi-variabile () poate fi exprimat ca o funcție vectorială

Extinderea Taylor a componentei ith () este:

Primii doi termeni ai acestor componente pot fi scrise în formă vectorială:

unde este definită matricea iacobiană peste funcția vectorială:

Cu toate acestea, termenul de ordinul doi nu mai poate fi exprimat sub formă de matrice, deoarece necesită notație tensorială.

Rețineți că matricea Hessiană a unei funcții poate fi obținută ca matrice Iacobiană a vectorului gradient al:

Rețineți că și poate să nu fie întotdeauna la fel. Când există mai multe ecuații decât variabile, problema este supra-constrânsă.


Imaginați-vă că ați fost luat prizonier și plasat într-o celulă întunecată. Captorii dvs. spun că vă puteți câștiga libertatea, dar numai dacă puteți produce o valoare aproximativă de 8,1 3 sqrt [3] <8,1> 3 8. 1

. Mai rău decât atât, aproximarea dvs. trebuie să fie corectă la cinci zecimale! Chiar și fără un calculator în celulă, puteți folosi primii termeni din seria Taylor pentru x 3 sqrt [3] 3 x

Cu siguranță nu vom putea calcula un număr infinit de termeni într-o expansiune din seria Taylor pentru o funcție. Cu toate acestea, pe măsură ce se calculează mai mulți termeni în expansiunea seriei Taylor a unei funcții, aproximarea funcției respective este îmbunătățită.


Funcții trigonometrice

Din nou, ne restrângem atenția la așa-numita serie Maclaurin. Reamintim că seria lui Taylor scrisă pentru vecinătatea punctului x = x_0.

Funcția cosinusului

La început avem nevoie de derivate. Sa vedem:

Deci, la al patrulea pas, obținem funcția inițială și, prin urmare, vom obține derivate în aceeași succesiune.

Acum, trebuie să găsim derivate la punctul x_0 = 0.

Deci avem valori ale derivatelor în următoarea secvență: 0, -1,0,1 și așa mai departe. Prin urmare, puterile ciudate ale lui x sunt absente, deoarece lângă ele există zerouri. De asemenea, semnele înainte chiar de puteri alternează începând cu -, apoi +, apoi - și așa mai departe. Să înlocuim toate acestea cu formula generală:

În graficul următor putem vedea funcția f (x) = cos și aproximările sale prin polinoame pentru n = 0, n = 1 și n = 2.

Funcția sinusoidală

Acum, să luăm în considerare funcția sinusoidală:

Extinderea sinusului în seria Taylor este similară cu cosinusul. La început găsim derivate la punctul x_0 = 0. Sa vedem:

Din nou, la pasul 4 vom obține funcția inițială și, prin urmare, vom obține derivate în aceeași succesiune. Astfel, avem valori ale derivatelor în următoarea succesiune: 1,0, -1,0 și așa mai departe. De această dată chiar și puterile lui x sunt absente, deoarece zero-urile stau lângă termenii corespunzători. De asemenea, semnele din fața puterilor ciudate ale lui x alternează începând cu +, apoi -, apoi + și așa mai departe. Să le înlocuim cu formula generală:

Aici & # 8217s graficul funcției f (x) = sin și aproximările sale prin polinoame cu n = 0, n = 1 și n = 2.

Următoarele expansiuni merită memorate:

Există încă două extensii aplicate pe scară largă, puteți obține formulele în mod similar de unul singur:

Acest lucru este suficient pentru rezolvarea problemelor, deși verificați dacă există mai multe extinderi ale funcțiilor comune, dacă este necesar.


Exemplu: Aproximarea integralelor „imposibile”

În lucrările practice, mulți oameni se obișnuiesc să folosească „regula generală” conform căreia eroarea numerică la trunchierea unei serii este aproximativ la fel de mare ca primul termen neglijat. În prima noastră încercare la acest exemplu, acel termen a fost integral al x 4/24, care s-a dovedit a fi 1/216 = 0.00463 (mai mică decât toleranța solicitată de 0.01). Observați că este mai mică decât eroarea riguroasă legată de un factor e. Dacă limita superioară în integrare ar fi fost mult mai mare decât 1, factorul suplimentar e c ar fi putut fi foarte mare! Prin urmare, regula generală poate fi periculoasă dacă este folosită neglijent.

Cu toate acestea, în anumite circumstanțe speciale, regula generală este exact corectă! Acest lucru se întâmplă atunci când seria Taylor satisface „teorema alternativă de estimare a seriei” (Stewart, p. 632), care este utilizată de Stewart pentru a rezolva probleme de acest tip. De exemplu, dacă exponentul din integrandul exemplului nostru ar fi fost -x 2 (de fapt o integrală mai utilă, datorită legăturii sale cu probabilitatea!) am avea Exemplul 8 al lui Stewart, pp. 660-661.


Cuprins

Filosoful grec antic Zeno din Elea a venit pentru prima dată cu ideea acestei serii. Rezultatul este paradoxul numit „parodocul lui zeno”. El credea că ar fi imposibil să adăugăm un număr infinit de valori și să obținem o singură valoare finită ca rezultat.

Un alt filosof grec, Aristotel, a venit cu un răspuns la întrebarea filosofică. Cu toate acestea, Arhimede a venit cu o soluție matematică folosind metoda sa de epuizare. El a reușit să demonstreze că atunci când ceva este împărțit într-un număr infinit de piese minuscule, acestea se vor adăuga în continuare la un singur întreg atunci când toate vor fi adăugate la loc. [1] Vechiul matematician chinez Liu Hui a dovedit același lucru câteva sute de ani mai târziu. [2]

Cele mai vechi exemple cunoscute ale seriei Taylor sunt opera lui Mādhava din Sañgamāgrama din India în anii 1300. [3] Mai târziu, matematicienii indieni au scris despre lucrarea sa cu funcțiile trigonometrice ale sinusului, cosinusului, tangentei și arctangentei. Niciuna dintre scrierile sau înregistrările lui Mādhava nu există încă astăzi. Alți matematicieni și-au bazat lucrările pe descoperirile lui Mādhava și au lucrat mai mult cu aceste serii până în anii 1500.

James Gregory, un matematician scoțian, a lucrat în această zonă în anii 1600. Gregory a studiat seria Taylor și a publicat mai multe serii Maclaurin. În 1715, Brook Taylor a descoperit o metodă generală de aplicare a seriei la toate funcțiile. (Toate cercetările anterioare au arătat cum să se aplice metoda numai funcțiilor specifice.) [4] Colin Maclaurin a publicat un caz special al seriei Taylor în anii 1700. Această serie, care se bazează în jurul valorii de zero, se numește Seria Maclaurin.

O serie Taylor poate fi utilizată pentru a descrie orice funcție ƒ(X) care este o funcție lină (sau, în termeni matematici, „infinit diferențiată”.) Funcția ƒ poate fi real sau complex. Seria Taylor este apoi utilizată pentru a descrie cum arată funcția în vecinătatea unui număr A.

Această serie Taylor, scrisă ca o serie de putere, arată ca:

Această formulă poate fi, de asemenea, scrisă în notație sigma ca:

Aici n! este factorialul n. ƒ (n) (A) este nderivatul al ƒ la punct A. a < displaystyle a> este un număr din domeniul funcției. Dacă seria Taylor a unei funcții este egală cu acea funcție, funcția se numește „funcție analitică”.


O modalitate ușoară de a vă aminti expansiunea din seria Taylor

Extinderea Taylor este una dintre cele mai frumoase idei din matematică. Intuiția este simplă: majoritatea funcțiilor sunt netede în intervalele care ne interesează. Și polinoamele sunt, de asemenea, netede. Deci, pentru fiecare funcție lină, ar trebui să putem scrie un polinom care să-l aproximeze destul de bine.

Și, de fapt, dacă polinomul nostru conține suficienți termeni, acesta va fi exact egal cu funcția originală. Deoarece polinoamele sunt mai ușor de lucrat cu aproape orice alt tip de funcție, acest lucru transformă de obicei problemele dificile în cele ușoare.

Taylor for r mula este cheia. Ne oferă o ecuație pentru expansiunea polinomială pentru fiecare funcție netedă f. Cu toate acestea, deși intuiția din spatele ei este simplă, formula reală nu este. Poate fi destul de descurajant pentru începători și chiar și experților le este greu să-și amintească dacă nu l-au văzut de ceva vreme.

În această postare, vă voi explica un truc rapid și ușor pe care îl folosesc pentru a obține formula Taylor de la zero ori de câte ori am probleme cu amintirea ei.

Începând de la Scratch

Ideea din spatele expansiunii Taylor este că putem rescrie fiecare funcție netedă ca o sumă infinită de termeni polinomiali. Primul pas este deci să notăm un polinom general de gradul n. Iată-l:

Unde a0, a1, ... sunt coeficienți pe fiecare termen polinomial, și c este o constantă care reprezintă unde de-a lungul axei x vrem să începem aproximarea noastră (dacă nu ne pasă de unde începem, lăsați c = 0, care este cunoscut tehnic mai degrabă ca Maclaurin decât ca Taylor). Această serie - cunoscută sub numele de „serie de putere” - poate fi scrisă în formă închisă după cum urmează:

Scopul aici este de a găsi o modalitate inteligentă de a găsi coeficienții a0, a1, ... în acea ecuație, având în vedere o funcție f și o valoare inițială a lui c. Iată logica pentru a face acest lucru. Polinoamele sunt netede, astfel încât să garanteze că acestea pot fi diferențiate. Adică, putem calcula prima, a doua, a treia și așa mai departe derivatele acestora.

Deci, începând cu polinomul de mai sus, să luăm primele derivate ale acestuia, astfel:


Mai multe despre

Expansiunea seriei Taylor

Expansiunea seriei Taylor reprezintă o funcție analitică f(X) ca o sumă infinită de termeni în jurul punctului de expansiune X = A :

f (x) = f (a) + f ′ (a) 1! (x - a) + f ″ (a) 2! (x - a) 2 +… = ∑ m = 0 & # 8734 f (m) (a) m! ⋅ (x - a) m

Expansiunea seriei Taylor necesită o funcție pentru a avea derivate până la o ordine infinită în jurul punctului de expansiune.

Expansiunea seriei Maclaurin

Expansiunea seriei Taylor în jur X = 0 se numește expansiune din seria Maclaurin:

f (x) = f (0) + f ′ (0) 1! x + f ″ (0) 2! x 2 +… = ∑ m = 0 & # 8734 f (m) (0) m! x m

Dacă utilizați al treilea argument a și ExpansionPoint pentru a specifica punctul de extindere, prevalează valoarea specificată prin ExpansionPoint.

Dacă var este un vector, atunci punctul de expansiune a trebuie să fie un scalar sau un vector de aceeași lungime ca var. Dacă var este un vector și a este un scalar, atunci a se extinde într-un vector de aceeași lungime ca var cu toate elementele egale cu a.

Dacă punctul de expansiune este infinit sau infinit negativ, atunci Taylor calculează expansiunea seriei Laurent, care este o serie de putere în 1 / var.

Puteți utiliza funcția sympref pentru a modifica ordinea de ieșire a polinoamelor simbolice.


Priveste filmarea: Série de Taylor e Mac-Laurin - Cálculo 1 #40 Aplicação incrível de Derivadas (Iulie 2022).


Comentarii:

  1. Pryderi

    Blog frumos, dar merită să adăugați mai multe informații

  2. Kegami

    Sunt absolut de acord cu tine. Ideea este bună, sunt de acord cu tine.

  3. Brawley

    Ai absoluta dreptate.

  4. Amichai

    Hmm ... chiar se întâmplă.

  5. Pete

    Da Gândire abstractă



Scrie un mesaj