Articole

8.5: Seria alternativă și convergența absolută - Matematică

8.5: Seria alternativă și convergența absolută - Matematică


We are searching data for your request:

Forums and discussions:
Manuals and reference books:
Data from registers:
Wait the end of the search in all databases.
Upon completion, a link will appear to access the found materials.

Toate testele de convergență pe care le-am folosit necesită ca secvența subiacentă ( {a_n } ) să fie o secvență pozitivă. (Putem relaxa acest lucru cu teorema 64 și putem afirma că trebuie să existe un (N> 0 ) astfel încât (a_n> 0 ) pentru toți (n> N ); adică ( {a_n } ) este pozitiv pentru toate, cu excepția unui număr finit de valori ale lui (n ).)

În această secțiune explorăm serii a căror însumare include termeni negativi. Începem cu o formă de serie foarte specifică, în care termenii însumării alternează între a fi pozitivi și negativi.

Definiția 34: serie alternativă

Fie ( {a_n } ) o secvență pozitivă. Un alternând seriile este o serie a formei

[ sum limits_ {n = 1} ^ infty (-1) ^ na_n qquad text {sau} qquad sum limits_ {n = 1} ^ infty (-1) ^ {n + 1 }un.]

Reamintim că termenii seriei armonice provin din secvența armonică ( {a_n } = {1 / n } ). O serie alternativă importantă este Seria armonică alternativă:

[ sum limits_ {n = 1} ^ infty (-1) ^ {n + 1} dfrac1n = 1- dfrac12 + dfrac13- dfrac14 + dfrac15- dfrac16 + cdots ]

Seria geometrică poate fi, de asemenea, serie alternativă când (r <0 ). De exemplu, dacă (r = -1 / 2 ), seria geometrică este

[ sum limits_ {n = 0} ^ infty left ( dfrac {-1} {2} right) ^ n = 1- dfrac12 + dfrac14- dfrac18 + dfrac1 {16} - dfrac1 { 32} + cdots ]

Teorema 60 afirmă că serile geometrice converg atunci când (| r | <1 ) și oferă suma: ( sum limits_ {n = 0} ^ infty r ^ n = dfrac1 {1-r} ). Când (r = -1 / 2 ) ca mai sus, găsim

[ sum limits_ {n = 0} ^ infty left ( dfrac {-1} {2} right) ^ n = dfrac1 {1 - (- 1/2)} = dfrac 1 {3 / 2} = dfrac23. ]

Există o teoremă de convergență puternică pentru alte serii alternative care îndeplinesc câteva condiții.

teorema 70: test alternativ de serie

Fie ( {a_n } ) o secvență pozitivă, descrescătoare, unde ( lim limits_ {n to infty} a_n = 0 ). Apoi

[ sum limits_ {n = 1} ^ infty (-1) ^ {n} a_n qquad text {și} qquad sum limits_ {n = 1} ^ infty (-1) ^ { n + 1} a_n ] converg.

Ideea de bază din spatele teoremei 70 este ilustrată în Figura ( PageIndex {1} ). O secvență pozitivă, descrescătoare ( {a_n } ) este afișată împreună cu sumele parțiale

[S_n = sum limits_ {i = 1} ^ n (-1) ^ {i + 1} a_i = a_1-a_2 + a_3-a_4 + cdots + (- 1) ^ {n + 1} a_n. ]

Deoarece ( {a_n } ) scade, cantitatea cu care (S_n ) sare în sus / în jos scade. Mai mult, termenii impari ai lui (S_n ) formează o secvență mărită, în timp ce termenii pari ai lui (S_n ) formează o secvență mărită, mărginită. Deoarece secvențele delimitate, monotonice converg (a se vedea teorema 59) și termenii abordării 0 ( {a_n } ), se poate arăta că termenii impari și pari ai (S_n ) converg la aceeași limită comună (L ), suma seriei.

Exemplu ( PageIndex {1} ): aplicarea testului de serie alternativă

Determinați dacă testul seriei alternative se aplică fiecărei serii următoare.

  1. ( sum limits_ {n = 1} ^ infty (-1) ^ {n + 1} dfrac {1} {n} )
  2. ( sum limits_ {n = 1} ^ infty (-1) ^ n dfrac { ln n} {n} )
  3. ( sum limits_ {n = 1} ^ infty (-1) ^ {n + 1} dfrac {| sin n |} {n ^ 2} )

Soluţie

  1. Aceasta este seria armonică alternativă așa cum am văzut anterior. Secvența de bază este ( {a_n } = {1 / n } ), care este pozitivă, descrescătoare și se apropie de 0 ca (n to infty ). Prin urmare, putem aplica testul seriei alternative și putem concluziona că această serie converge.
    În timp ce testul nu precizează la ce converge seria, vom vedea mai târziu că ( sum limits_ {n = 1} ^ infty (-1) ^ {n + 1} dfrac1n = ln2. )
  2. Secvența de bază este ( {a_n } = { ln n / n } ). Acest lucru este pozitiv și se apropie de 0 ca (n to infty ) (utilizați regula L'Hopital). Cu toate acestea, secvența nu scade pentru toate (n ). Este simplu să calculați (a_1 = 0 ), (a_2 approx0.347 ), (a_3 approx 0.366 ) și (a_4 approx 0.347 ): secvența crește cel puțin pentru primii 3 termeni.

    Nu concluzionăm imediat că nu putem aplica testul alternativ al seriei. Mai degrabă, luați în considerare comportamentul pe termen lung al ( {a_n } ). Tratând (a_n = a (n) ) ca o funcție continuă a (n ) definită pe ([1, infty) ), putem lua derivata sa: [a ^ prime (n) = dfrac {1- ln n} {n ^ 2}. ] Derivatul este negativ pentru toți (n geq 3 ) (de fapt, pentru toți (n> e )), adică (a ( n) = a_n ) scade pe ([3, infty) ). Putem aplica testul alternativ al seriei atunci când începem cu (n = 3 ) și concluzionăm că ( sum limits_ {n = 3} ^ infty (-1) ^ n dfrac { ln n } {n} ) converge; adăugarea termenilor cu (n = 1 ) și (n = 2 ) nu schimbă convergența (adică aplicăm teorema 64).

    Lecția importantă aici este că, la fel ca înainte, dacă o serie nu reușește să îndeplinească criteriile testului seriei alternative doar pentru un număr finit de termeni, putem aplica în continuare testul.

  3. Secvența de bază este ( {a_n } = | sin n | / n ). Această secvență este pozitivă și abordează (0 ) ca (n to infty ). Cu toate acestea, nu este o secvență descrescătoare; valoarea (| sin n | ) oscilează între (0 ) și (1 ) ca (n to infty ). Nu putem elimina un număr finit de termeni pentru a face ca ( {a_n } ) să scadă, de aceea nu putem aplica testul Seriei alternative.

    Rețineți că acest lucru nu înseamnă că concluzionăm că seria divergă; de fapt, converge. Pur și simplu nu putem concluziona pe baza teoremei 70.

Ideea cheie 31 oferă suma unor serii importante. Două dintre acestea sunt

[ sum limits_ {n = 1} ^ infty dfrac1 {n ^ 2} = dfrac { pi ^ 2} 6 approx 1.64493 quad text {și} quad sum limits_ {n = 1} ^ infty dfrac {(- 1) ^ {n + 1}} {n ^ 2} = dfrac { pi ^ 2} {12} approx 0.82247. ]

Aceste două serii converg la sumele lor la rate diferite. Pentru a fi exacți la două locuri după zecimal, avem nevoie de 202 de termeni din prima serie, deși doar 13 din a doua. Pentru a obține 3 locuri de precizie, avem nevoie de 1069 de termeni din prima serie, deși doar 33 din a doua. De ce a doua serie converge mult mai repede decât prima?

Deși există mulți factori implicați în studierea ratelor de convergență, structura alternativă a unei serii alternative ne oferă un instrument puternic atunci când se aproxima suma unei serii convergente.

teorema 71: teorema alternativă de aproximare a seriilor

Fie ( {a_n } ) o secvență care îndeplinește ipotezele testului de serie alternativă și fii (S_n ) și (L ) parțială (n ^ text {th} ) sume și, respectiv, suma oricărei ( sum limits_ {n = 1} ^ infty (-1) ^ {n} a_n ) sau ( sum limits_ {n = 1} ^ infty (- 1) ^ {n + 1} a_n ). Apoi

  1. (| S_n-L |
  2. (L ) este între (S_n ) și (S_ {n + 1} ).

Partea 1 a teoremei 71 afirmă că (n ^ text {th} ) suma parțială a unei serii alternative convergente va fi în (a_ {n + 1} ) din suma sa totală. Luați în considerare seria alternativă la care ne-am uitat înainte de enunțul teoremei, ( sum limits_ {n = 1} ^ infty dfrac {(- 1) ^ {n + 1}} {n ^ 2} ). Deoarece (a_ {14} = 1/14 ^ 2 aproximativ 0,0051 ), știm că (S_ {13} ) se află în (0,0051 ) din suma totală.

Mai mult, partea 2 a teoremei afirmă că, din moment ce (S_ {13} aproximativ 0,8252 ) și (S_ {14} aproximativ 0,8201 ), știm că suma (L ) se află între (0,8201 ) și (0,8252 ). O utilizare a acestui lucru este cunoașterea faptului că (S_ {14} ) este corectă la două poziții după zecimal.

Unele serii alternante converg încet. În Exemplu ( PageIndex {1} ) am determinat seria ( sum limits_ {n = 1} ^ infty (-1) ^ {n + 1} dfrac { ln n} {n} ) convergea. Cu (n = 1001 ), găsim ( ln n / n aproximativ 0,0069 ), ceea ce înseamnă că (S_ {1000} aproximativ 0,1633 ) este corect la unul, poate două, după zecimal. Deoarece (S_ {1001} aproximativ 0,1564 ), știm că suma (L ) este (0,1564 leq L leq0,1633 ).

Exemplu ( PageIndex {2} ): Aproximarea sumei seriei alternative convergente

Aproximați suma următoarelor serii, corecte până la (0,001 ).

1. ( Sum limits_ {n = 1} ^ infty (-1) ^ {n + 1} dfrac {1} {n ^ 3} qquad 2. sum limits_ {n = 1} ^ infty (-1) ^ {n + 1} dfrac { ln n} {n} ).

Soluţie

  1. Folosind teorema 71, vrem să găsim (n ) unde (1 / n ^ 3 <0.001 ): [ begin {align *} dfrac1 {n ^ 3} & leq 0.001 = dfrac {1 } {1000} n ^ 3 & geq 1000 n & geq sqrt [3] {1000} n & geq 10. end {align *} ] Let (L ) be suma acestei serii. În partea 1 a teoremei, (| S_9-L | Putem folosi partea 2 a teoremei pentru a obține un rezultat și mai precis. După cum știm că termenul (10 ​​^ text {th} ) al seriei este (- 1/1000 ), putem calcula cu ușurință (S_ {10} = 0.901116 ). Partea 2 a teoremei afirmă că (L ) este între (S_9 ) și (S_ {10} ), deci (0.901116
  2. Vrem să găsim (n ) unde ( ln (n) / n <0,001 ). Începem prin a rezolva ( ln (n) / n = 0,001 ) pentru (n ). Acest lucru nu poate fi rezolvat algebric, așa că vom folosi metoda lui Newton pentru a aproxima o soluție.

    Fie (f (x) = ln (x) /x-0.001 ); vrem să știm unde (f (x) = 0 ). Presupunem că (x ) trebuie să fie „mare”, astfel încât presupunerea noastră inițială va fi (x_1 = 1000 ). Amintiți-vă cum funcționează metoda lui Newton: dată o soluție aproximativă (x_n ), următoarea noastră aproximare (x_ {n + 1} ) este dat de [x_ {n + 1} = x_n - dfrac {f (x_n)} {f ^ prime (x_n)}. ]

    Găsim (f ^ prime (x) = big (1- ln (x) big) / x ^ 2 ). Aceasta dă [ begin {align *} x_2 & = 1000 - dfrac { ln (1000) /1000-0.001} { big (1- ln (1000) big) / 1000 ^ 2} & = 2000. end {align *} ]

    Folosind un computer, descoperim că metoda lui Newton pare să convergă la o soluție (x = 9118.01 ) după 8 iterații. Luând următorul număr întreg mai sus, avem (n = 9119 ), unde ( ln (9119) / 9119 = 0,000999903 <0,001 ).

    Din nou folosind un computer, găsim (S_ {9118} = -0.160369 ). Partea 1 a teoremei afirmă că aceasta se află în (0,001 ) din suma reală (L ). Cunoscând deja termenul 9.119 (^ text {th} ), putem calcula (S_ {9119} = -0.159369 ), adică (- 0.159369

Observați cum prima serie convergea destul de repede, unde aveam nevoie de doar 10 termeni pentru a atinge precizia dorită, în timp ce a doua serie avea peste 9.000 de termeni.

Unul dintre rezultatele celebre ale matematicii este că seria armonică, ( sum limits_ {n = 1} ^ infty dfrac1n ) divergă, totuși seria armonică alternativă, ( sum limits_ {n = 1} ^ infty (-1) ^ {n + 1} dfrac1n ), converge. Noțiunea că alternarea semnelor termenilor dintr-o serie poate face ca o serie să convergă ne conduce la următoarele definiții.

Definiția 35: convergență absolută și condițională

  1. O serie ( sum limits_ {n = 1} ^ infty a_n ) converge absolut dacă converge ( sum limits_ {n = 1} ^ infty | a_n | ).
  2. O serie ( sum limits_ {n = 1} ^ infty a_n ) converge condiționat dacă ( sum limits_ {n = 1} ^ infty a_n ) converge, dar ( sum limits_ {n = 1} ^ infty | a_n | ) divergă.

Astfel spunem că seria armonică alternativă converge condiționat.

Exemplu ( PageIndex {3} ): Determinarea convergenței absolute și condiționate.

Determinați dacă următoarele serii converg absolut, condiționat sau diverg.

1. ( Sum limits_ {n = 1} ^ infty (-1) ^ n dfrac {n + 3} {n ^ 2 + 2n + 5} qquad 2. sum limits_ {n = 1 } ^ infty (-1) ^ n dfrac {n ^ 2 + 2n + 5} {2 ^ n} qquad 3. sum limits_ {n = 3} ^ infty (-1) ^ n dfrac {3n-3} {5n-10} )

Soluţie

  1. Putem arăta seria [ sum limits_ {n = 1} ^ infty left | (-1) ^ n dfrac {n + 3} {n ^ 2 + 2n + 5} right | = sum limits_ {n = 1} ^ infty dfrac {n + 3} {n ^ 2 + 2n + 5} ] divergă folosind testul de comparare a limitei, comparând cu (1 / n ).

    Seria ( sum limits_ {n = 1} ^ infty (-1) ^ n dfrac {n + 3} {n ^ 2 + 2n + 5} ) converge utilizând testul alternativ al seriei; concluzionăm că converge condiționat.

  2. Putem arăta seria [ sum limits_ {n = 1} ^ infty left | (-1) ^ n dfrac {n ^ 2 + 2n + 5} {2 ^ n} right | = sum limits_ {n = 1} ^ infty dfrac {n ^ 2 + 2n + 5} {2 ^ n} ] converge folosind Testul raportului.

    Prin urmare, concluzionăm că ( sum limits_ {n = 1} ^ infty (-1) ^ n dfrac {n ^ 2 + 2n + 5} {2 ^ n} ) converge absolut.

  3. Seria [ sum limits_ {n = 3} ^ infty left | (-1) ^ n dfrac {3n-3} {5n-10} right | = sum limits_ {n = 3} ^ infty dfrac {3n-3} {5n-10} ] divergă folosind testul de termen (n ^ text {th} ), deci nu converge absolut .

    Seria ( sum limits_ {n = 3} ^ infty (-1) ^ n dfrac {3n-3} {5n-10} ) nu reușește condițiile testului de serie alternativă ca ((3n- 3) / (5n-10) ) nu se apropie de (0 ) ca (n to infty ). Putem afirma în continuare că această serie divergă; ca (n to infty ), seria adaugă și scade efectiv (3/5 ) din nou și din nou. Acest lucru face ca secvența sumelor parțiale să oscileze și să nu convergă.

    Prin urmare, seria ( sum limits_ {n = 1} ^ infty (-1) ^ n dfrac {3n-3} {5n-10} ) divergă.

Știind că o serie converge ne permite să facem două afirmații importante, date în următoarea teoremă. Primul este că convergența absolută este „mai puternică” decât convergența regulată. Adică, doar pentru că converge ( sum limits_ {n = 1} ^ infty a_n ), nu putem concluziona că ( sum limits_ { n = 1} ^ infty | a_n | ) va converge, dar cunoașterea unei serii converge ne spune absolut că ( sum limits_ {n = 1} ^ infty a_n ) va converge.

Unul dintre motivele pentru care acest lucru este important este că testele noastre de convergență necesită ca succesiunea subiacentă a termenilor să fie pozitivă. Luând valoarea absolută a termenilor unei serii în care nu toți termenii sunt pozitivi, suntem deseori capabili să aplicăm un test adecvat și să determinăm convergența absolută. La rândul său, acest lucru determină convergerea seriei care ni se oferă.

A doua afirmație se referă la rearanjamente de serie. Când aveți de-a face cu un set finit de numere, suma numerelor nu depinde de ordinea în care sunt adăugate. (Deci (1 + 2 + 3 = 3 + 1 + 2 ).) Poate fi surprins să aflăm că atunci când avem de-a face cu un set infinit de numere, aceeași afirmație nu este întotdeauna adevărată: unele liste infinite de numere pot fi rearanjate în ordine diferite pentru a obține sume diferite. Teorema afirmă că termenii unei serii absolut convergente pot fi rearanjate în orice mod fără a afecta suma.

teorema 72: teorema convergenței absolute

Fie ( sum limits_ {n = 1} ^ infty a_n ) o serie care converge absolut.

  1. ( sum limits_ {n = 1} ^ infty a_n ) converge.
  2. Fie ( {b_n } ) orice reorganizare a secvenței ( {a_n } ). Apoi
    [ sum limits_ {n = 1} ^ infty b_n = sum limits_ {n = 1} ^ infty a_n. ]

În exemplul 8.5.3, am determinat că seria din partea 2 converge absolut. Teorema 72 ne spune că converge seria (pe care am putea să o determinăm și folosind testul seriei alternative).

Teorema afirmă că rearanjarea termenilor unei serii absolut convergente nu afectează suma acesteia. Aceasta implică faptul că poate suma unei serii convergente condiționate se poate schimba pe baza aranjamentului termenilor. Într-adevăr, se poate. Teorema de rearanjare Riemann (numită după Bernhard Riemann) afirmă că orice serie convergentă condiționată poate avea termenii săi rearanjați astfel încât suma să fie orice valoare dorită, inclusiv ( infty )!

De exemplu, luați în considerare încă o dată seria alternativă armonică. Am afirmat că

[ sum limits_ {n = 1} ^ infty (-1) ^ {n + 1} dfrac1n = 1- dfrac12 + dfrac13- dfrac14 + dfrac15- dfrac16 + dfrac17 cdots = ln 2, ]

(vezi Ideea cheie 31 sau Exemplul 8.5.1).

Luați în considerare rearanjarea în care fiecare termen pozitiv este urmat de doi termeni negativi:

[1- dfrac12- dfrac14 + dfrac13- dfrac16- dfrac18 + dfrac15- dfrac1 {10} - dfrac1 {12} cdots ]

(Convingeți-vă că acestea sunt exact aceleași numere ca și cele din seria Alternative Harmonic, doar într-o ordine diferită.) Acum grupați câțiva termeni și simplificați:

[ begin {align *}
left (1- dfrac12 right) - dfrac14 + left ( dfrac13- dfrac16 right) - dfrac18 + left ( dfrac15- dfrac1 {10} right) - dfrac1 {12} + cdots & =
dfrac12- dfrac14 + dfrac16- dfrac18 + dfrac1 {10} - dfrac {1} {12} + cdots & =
dfrac12 left (1- dfrac12 + dfrac13- dfrac14 + dfrac15- dfrac16 + cdots right) & = dfrac12 ln 2.
end {align *} ]

Reamenajând termenii seriei, am ajuns la o sumă diferită! (S-ar putea încerca să susțină că seria armonică alternativă nu converge de fapt la ( ln 2 ), deoarece rearanjarea termenilor seriei nu ar trebui modificați suma. Cu toate acestea, testul alternativ al seriei demonstrează că această serie converge la (L ), pentru un anumit număr (L ), iar dacă rearanjarea nu modifică suma, atunci (L = L / 2 ), ceea ce implică ( L = 0 ). Dar teorema alternativă a aproximării seriei arată rapid că (L> 0 ). Singura concluzie este că rearanjarea emph {a} schimbat suma.) Acesta este un rezultat incredibil.

Încheiem aici studiul testelor pentru a determina convergența. Coperta din spate a acestui text conține un tabel care rezumă testele pe care cineva le poate găsi utile.

În timp ce seriile sunt demne de studiat în sine, obiectivul nostru final în cadrul calculului este studiul Seriei Power, pe care îl vom lua în considerare în secțiunea următoare. Vom folosi seria de putere pentru a crea funcții în care ieșirea este rezultatul unei însumări infinite.


9.5 Seria alternativă și convergența absolută

Testele de convergență serie pe care le-am folosit necesită ca secvența subiacentă să fie o secvență pozitivă. (Putem să relaxăm acest lucru cu teorema 9.2.5 și să afirmăm că trebuie să existe un N & gt 0 astfel încât un n & gt 0 pentru toate n & gt N, adică să fie pozitiv pentru toate, cu excepția unui număr finit de valori ale lui n.)

În această secțiune explorăm serii a căror însumare include termeni negativi. Începem cu o formă de serie foarte specifică, în care termenii însumării alternează între a fi pozitivi și negativi.

Definiție 9.5.1 Seria alternativă

Fie o secvență pozitivă. O serie alternativă este o serie a formei

∑ n = 1 ∞ (- 1) n ⁢ b n sau ∑ n = 1 ∞ (- 1) n + 1 ⁢ b n.

Vrem să credem că o secvență alternativă este legată de o secvență pozitivă de a n = (- 1) n ⁢ b n.

Reamintim că termenii din seria armonică provin din secvența armonică = <1 / n>. O serie alternativă importantă este seria armonică alternativă:

∑ n = 1 ∞ (- 1) n + 1 ⁢ 1 n = 1 - 1 2 + 1 3 - 1 4 + 1 5 - 1 6 + ⋯

Seria geometrică poate fi, de asemenea, serie alternativă atunci când r & lt 0. De exemplu, dacă r = - 1/2, seria geometrică este

∑ n = 0 ∞ (- 1 2) n = 1 - 1 2 + 1 4 - 1 8 + 1 16 - 1 32 + ⋯

Teorema 9.2.1 afirmă că serile geometrice converg când | r | & lt 1 și dă suma: ∑ n = 0 ∞ r n = 1 1 - r. Când r = - 1/2 ca mai sus, găsim

∑ n = 0 ∞ (- 1 2) n = 1 1 - (- 1/2) = 1 3/2 = 2 3.

Există o teoremă de convergență puternică pentru alte serii alternative care îndeplinesc câteva condiții.

Teorema 9.5.1 Test de serie alternativă

Fie o secvență pozitivă, descrescătoare, unde lim n → ∞ ⁡ b n = 0. Apoi

∑ n = 1 ∞ (- 1) n ⁢ b n și ∑ n = 1 ∞ (- 1) n + 1 ⁢ b n

Ideea de bază din spatele teoremei 9.5.1 este ilustrată în figura 9.5.1. O secvență pozitivă, descrescătoare este prezentată împreună cu sumele parțiale

S n = ∑ i = 1 n (- 1) i + 1 ⁢ b i = b 1 - b 2 + b 3 - b 4 + ⋯ + (- 1) n + 1 ⁢ b n.

Deoarece scade, cantitatea cu care S n sare în sus și în jos scade. Mai mult, termenii impari ai lui S n formează o secvență mărită, în timp ce termenii pari ai lui S n formează o secvență mărită, mărginită. Întrucât secvențele delimitate, monotonice converg (vezi teorema 9.1.6) și termenii abordării 0, vom arăta mai jos că termenii impari și pari ai lui S n converg la aceeași limită comună L, suma seriei.

S n Figura 9.5.1: ilustrarea convergenței cu testul seriei alternative.

Deoarece este o secvență descrescătoare, avem b n - b n + 1 ≥ 0. Vom considera sumele parțiale și impare separat. În primul rând, luați în considerare sumele parțiale.

S 2 = b 1 - b 2 ≥ 0 din moment ce ⁢ b 2 ≤ b 1
S 4 = b 1 - b 2 + b 3 - b 4 = S 2 + b 3 - b 4 ≥ S 2 din moment ce ⁢ b 3 - b 4 ≥ 0
S 6 = S 4 + b 5 - b 6 ≥ S 4 din moment ce ⁢ b 5 - b 6 ≥ 0
S 2 ⁢ n = S 2 ⁢ n - 2 + b 2 ⁢ n - 1 - b 2 ⁢ n ≥ S 2 ⁢ n - 2 din moment ce ⁢ b 2 ⁢ n - 1 - b 2 ⁢ n ≥ 0

0 ≤ S 2 ≤ S 4 ≤ S 6 ≤ ⋯ ≤ S 2 ⁢ n ≤ ⋯

deci este o secvență în creștere. Dar putem scrie și

S 2 ⁢ n = b 1 - b 2 + b 3 - b 4 + b 5 - ⋯ - b 2 ⁢ n - 2 + b 2 ⁢ n - 1 - b 2 ⁢ n
= b 1 - (b 2 - b 3) - (b 4 - b 5) - ⋯ - (b 2 ⁢ n - 2 - b 2 ⁢ n - 1) - b 2 ⁢ n

Fiecare termen dintre paranteze este pozitiv și b 2 ⁢ n este pozitiv, deci avem S 2 ⁢ n ≤ b 1 pentru toți n. Acum avem secvența sumelor parțiale, , este în creștere și delimitată mai sus astfel încât converge teorema 9.1.6 . Deoarece știm că converge, vom presupune că limita este L sau

Apoi determinăm limita secvenței sumelor parțiale impare.

lim n → ∞ ⁡ S 2 ⁢ n + 1 = lim n → ∞ ⁡ (S 2 ⁢ n + b 2 ⁢ n + 1)
= lim n → ∞ ⁡ S 2 ⁢ n + lim n → ∞ ⁡ b 2 ⁢ n + 1
= L + 0
= L

Atât sumele parțiale, cât și cele impare converg la L, deci avem lim n → ∞ ⁡ S n = L, ceea ce înseamnă că seria este convergentă. ∎

Priveste filmarea:
Seria alternativă - Un alt exemplu 4 de la https://youtu.be/aOiZvfFAMW8

Exemplul 9.5.1 Aplicarea testului de serie alternativă

Determinați dacă testul seriei alternative se aplică fiecărei serii următoare.

1. ⁢ ∑ n = 1 ∞ (- 1) n + 1 ⁢ 1 n 2. ⁢ ∑ n = 2 ∞ (- 1) n ⁢ ln ⁡ nn 3. ⁢ ∑ n = 1 ∞ (- 1) n + 1 ⁢ | sin ⁡ n | n 2

Aceasta este seria armonică alternativă așa cum am văzut anterior. Secvența subiacentă este = <1 / n>, care este pozitivă, descrescătoare și se apropie de 0 ca n → ∞. Prin urmare, putem aplica testul seriei alternative și putem concluziona că această serie converge.

În timp ce testul nu precizează la ce converge seria, vom vedea mai târziu că ∑ n = 1 ∞ (- 1) n + 1 ⁢ 1 n = ln ⁡ 2.

Secvența subiacentă este = <(ln ⁡ n) / n>. Acest lucru este pozitiv pentru n ≥ 2 și lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ n n = lim n → ∞ ⁡ 1 n = 0 (utilizați regula lui L’Hôpital). Cu toate acestea, secvența nu scade pentru toate n. Este simplu să calculăm b 1 ≈ 0.347, b 2 ≈ 0.366 și b 3 ≈ 0.347: secvența crește cel puțin pentru primii 2 termeni.

Nu concluzionăm imediat că nu putem aplica testul alternativ al seriei. Mai degrabă, luați în considerare comportamentul pe termen lung al lui . Tratând b n = b ⁢ (n) ca o funcție continuă a lui n definită pe [2, ∞), putem lua derivata sa:

Derivata este negativă pentru toate n ≥ 3 (de fapt, pentru toate n & gt e), adică b ⁢ (n) = b n scade pe [3, ∞). Putem aplica testul alternativ al seriei când începem cu n = 3 și concluzionăm că ∑ n = 3 ∞ (- 1) n ⁢ ln ⁡ nn converge adăugând termenii cu n = 2 nu schimbă convergența (adică, aplicăm Teorema 9.2.5).

Lecția importantă aici este că, ca și până acum, dacă o serie nu reușește să îndeplinească criteriile testului seriei alternative doar pentru un număr finit de termeni, putem aplica în continuare testul.

Secvența subiacentă este = <| sin ⁡ n | / n 2>. Această secvență este pozitivă și se apropie de 0 ca n → ∞. Cu toate acestea, nu este o secvență descrescătoare a valorii | sin ⁡ n | oscilează între 0 și 1 ca n → ∞. Nu putem elimina un număr finit de termeni pentru a face descrescător, prin urmare nu putem aplica testul seriei alternative.

Rețineți că acest lucru nu înseamnă că concluzionăm că seria divergă de fapt, ci converge. Pur și simplu nu putem concluziona acest lucru pe baza teoremei 9.5.1.

Unul dintre rezultatele faimoase ale matematicii este că Seria armonică, ∑ n = 1 ∞ 1 n divergă, totuși Seria armonică alternativă, ∑ n = 1 ∞ (- 1) n + 1 ⁢ 1 n, converge. Noțiunea că alternarea semnelor termenilor dintr-o serie poate face ca o serie să convergă ne conduce la următoarele definiții.

Definiție 9.5.2 Convergență absolută și condițională

O serie ∑ n = 1 ∞ a n converge absolut dacă ∑ n = 1 ∞ | a n | converge.

O serie ∑ n = 1 ∞ a n converge condiționat dacă ∑ n = 1 ∞ a n converge, dar ∑ n = 1 ∞ | a n | divergă.

Astfel spunem că seria armonică alternativă converge condiționat.

Exemplul 9.5.2 Determinarea convergenței absolute și condiționate.

Determinați dacă următoarele serii converg absolut, condiționat sau diverg.
1. ∑ n = 1 ∞ (- 1) n ⁢ n + 3 n 2 + 2 ⁢ n + 5 2. ∑ n = 3 ∞ (- 1) n ⁢ 3 ⁢ n - 3 5 ⁢ n - 10

∑ n = 1 ∞ | (- 1) n ⁢ n + 3 n 2 + 2 ⁢ n + 5 | = ∑ n = 1 ∞ n + 3 n 2 + 2 ⁢ n + 5

divergă folosind testul de comparare a limitei, comparativ cu 1 / n.

Secvența scade monoton, astfel încât seria so n = 1 ∞ (- 1) n ⁢ n + 3 n 2 + 2 ⁢ n + 5 converge folosind seria alternativă Test concluzionăm că converge condiționat.

∑ n = 3 ∞ | (- 1) n ⁢ 3 ⁢ n - 3 5 ⁢ n - 10 | = ∑ n = 3 ∞ 3 ⁢ n - 3 5 ⁢ n - 10

divergă folosind Testul divergenței, deci nu converge absolut.

Seria ∑ n = 3 ∞ (- 1) n ⁢ 3 ⁢ n - 3 5 ⁢ n - 10 nu reușește condițiile testului de serie alternativă deoarece (3 ⁢ n - 3) / (5 ⁢ n - 10) nu se apropie 0 ca n → ∞. Putem afirma în continuare că această serie diferă ca n → ∞, seria adaugă și scade efectiv 3/5 din nou și din nou. Acest lucru face ca secvența sumelor parțiale să oscileze și să nu convergă.

Prin urmare, seria ∑ n = 1 ∞ (- 1) n ⁢ 3 ⁢ n - 3 5 ⁢ n - 10 divergă.

Știind că o serie converge ne permite să facem două afirmații importante, date în următoarea teoremă. Primul este că convergența absolută este „mai puternică” decât convergența regulată. Adică, doar pentru că converge ∑ n = 1 ∞ a n, nu putem concluziona că ∑ n = 1 ∞ | a n | va converge, dar cunoașterea unei serii converge ne spune absolut că ∑ n = 1 ∞ a n va converge.

Teorema 9.5.2 Teorema convergenței absolute

Fie ∑ n = 1 ∞ a n o serie care converge absolut.

Fie orice reamenajare a secvenței . Apoi

Unul dintre motivele pentru care acest lucru este important este că testele noastre de convergență necesită ca succesiunea subiacentă a termenilor să fie pozitivă. Luând valoarea absolută a termenilor unei serii în care nu toți termenii sunt pozitivi, suntem deseori capabili să aplicăm un test adecvat și să determinăm convergența absolută. La rândul său, acest lucru determină convergerea seriei care ni se oferă.

A doua afirmație se referă la rearanjările seriilor. Când aveți de-a face cu un set finit de numere, suma numerelor nu depinde de ordinea în care sunt adăugate. (Deci 1 + 2 + 3 = 3 + 1 + 2.) Poate fi surprins să aflăm că atunci când avem de-a face cu un set infinit de numere, aceeași afirmație nu este întotdeauna valabilă: unele liste infinite de numere pot fi rearanjate în ordine diferite pentru a realiza sume diferite. Teorema afirmă că termenii unei serii absolut convergente pot fi rearanjate în orice mod fără a afecta suma.

Teorema afirmă că rearanjarea termenilor unei serii absolut convergente nu afectează suma acesteia. Aceasta implică faptul că poate suma unei serii convergente condiționate se poate schimba pe baza aranjamentului termenilor. Într-adevăr, se poate. Teorema de rearanjare Riemann (numită după Bernhard Riemann) afirmă că orice serie convergentă condiționată poate avea termenii săi rearanjați astfel încât suma să fie orice valoare dorită sau infinit.

Înainte de a lua în considerare un exemplu, afirmăm următoarea teoremă care ilustrează modul în care structura alternativă a unei serii alternative este un instrument puternic atunci când se aproxima suma unei serii convergente.

Teorema 9.5.3 Teorema de aproximare a seriei alternative

Fie o secvență care îndeplinește ipotezele Testului Seriei Alternante și S n și L să fie a n-a sumă parțială și, respectiv, suma oricărei ∑ n = 1 ∞ (- 1) n ⁢ bn sau ∑ n = 1 ∞ (- 1) n + 1 ⁢ bn. Apoi

L este între S n și S n + 1.

Partea 1 a teoremei 9.5.3 afirmă că a n-a sumă parțială a unei serii alternative convergente va fi cuprinsă între b n + 1 din suma sa totală. Luați în considerare seria alternativă la care ne-am uitat înainte de enunțul teoremei, ∑ n = 1 ∞ (- 1) n + 1 n 2. Deoarece b 14 = 1/14 2 ≈ 0,0051, știm că S 13 se află la 0,0051 din suma totală.

Mai mult, partea 2 a teoremei afirmă că, din moment ce S 13 ≈ 0.8252 și S 14 ≈ 0.8201, știm că suma L se află între 0.8201 și 0.8252. O utilizare a acestui lucru este cunoașterea faptului că S 14 este corectă la două poziții după zecimal.

Unele serii alternante converg încet. În Exemplul 9.5.1 am determinat seria convergentă ∞ n = 2 ∞ (- 1) n + 1 ⁢ ln ⁡ n n. Cu n = 1001, găsim (ln ⁡ n) / n ≈ 0,0069, ceea ce înseamnă că S 1000 ≈ 0,1633 este corect la unul, poate două, după zecimal. Din moment ce S 1001 ≈ 0.1564, știm că suma L este 0.1564 ≤ L ≤ 0.1633.

Exemplul 9.5.3 Aproximarea sumelor seriilor alternante convergente

Aproximați suma următoarelor serii, corecte până la 0,001.

1. ⁢ ∑ n = 1 ∞ (- 1) n + 1 ⁢ 1 n 3 2. ⁢ ∑ n = 1 ∞ (- 1) n + 1 ⁢ ln ⁡ n n.

Folosind teorema 9.5.3, vrem să găsim n unde 1 / n 3 ≤ 0,001:

1 n 3 ≤ 0.001 = 1 1000
n 3 ≥ 1000
n ≥ 1000 3
n ≥ 10 .

Fie L suma acestei serii. Prin partea 1 a teoremei, | S 9 - L | & lt b 10 = 1/1000. Putem calcula S 9 = 0,902116, care teorema noastră se află la 0,001 din suma totală.

Putem folosi partea 2 a teoremei pentru a obține un rezultat și mai precis. După cum știm, al 10-lea termen al seriei este - 1/1000, putem calcula cu ușurință S 10 = 0,901116. Partea 2 a teoremei afirmă că L este între S 9 și S 10, deci 0.901116 & lt L & lt 0.902116.

Vrem să găsim n unde (ln ⁡ n) / n ≤ 0,001. Începem prin rezolvarea (ln ⁡ n) / n = 0,001 pentru n. Acest lucru nu poate fi rezolvat algebric, așa că vom folosi metoda lui Newton pentru a aproxima o soluție.

Fie f ⁢ (x) = ln ⁡ (x) / x - 0,001 vrem să știm unde f ⁢ (x) = 0. Presupunem că x trebuie să fie „mare”, deci presupunerea noastră inițială va fi x 1 = 1000. Reamintim cum funcționează metoda lui Newton: dată fiind o soluție aproximativă x n, următoarea noastră aproximare x n + 1 este dată de

x n + 1 = x n - f ⁢ (x n) f ′ ⁢ (x n).

Găsim f ′ ⁢ (x) = (1 - ln ⁡ (x)) / x 2. Asta da

x 2 = 1000 - ln ⁡ (1000) / 1000 - 0.001 (1 - ln ⁡ (1000)) / 1000 2
= 2000 .

Folosind un computer, descoperim că metoda lui Newton pare să convergă la o soluție x = 9118.01 după 8 iterații. Luând următorul număr întreg mai sus, avem n = 9119, unde ln ⁡ (9119) / 9119 = 0,000999903 & lt 0,001.

Din nou folosind un computer, găsim S 9118 = - 0.160369. Partea 1 a teoremei afirmă că aceasta se încadrează în 0,001 din suma reală L. Cunoscând deja cel de-al nouălea termen, putem calcula S 9119 = - 0,159369, adică

Observați cum prima serie convergea destul de repede, unde aveam nevoie de doar 10 termeni pentru a atinge precizia dorită, în timp ce a doua serie avea peste 9.000 de termeni.

Acum, luăm în considerare încă o dată seria alternativă armonică. Am afirmat că

∑ n = 1 ∞ (- 1) n + 1 ⁢ 1 n = 1 - 1 2 + 1 3 - 1 4 + 1 5 - 1 6 + 1 7 ⁢ ⋯ = ln ⁡ 2,

Luați în considerare rearanjarea în care fiecare termen pozitiv este urmat de doi termeni negativi:

1 - 1 2 - 1 4 + 1 3 - 1 6 - 1 8 + 1 5 - 1 10 - 1 12 ⁢ ⋯

(Convingeți-vă că acestea sunt exact aceleași numere ca și cele din seria alternativă armonică, doar într-o ordine diferită.) Acum grupați câțiva termeni și simplificați:

( 1 - 1 2 ) - 1 4 + ( 1 3 - 1 6 ) - 1 8 + ( 1 5 - 1 10 ) - 1 12 + ⋯ =
1 2 - 1 4 + 1 6 - 1 8 + 1 10 - 1 12 + ⋯ =
1 2 ⁢ ( 1 - 1 2 + 1 3 - 1 4 + 1 5 - 1 6 + ⋯ ) = 1 2 ⁢ ln ⁡ 2.

Reamenajând termenii seriei, am ajuns la o sumă diferită. (S-ar putea încerca să susținem că seria armonică alternativă nu converge de fapt la ln ⁡ 2, deoarece rearanjarea termenilor seriei nu ar trebui modificați suma. Cu toate acestea, Testul Seriei Alternative demonstrează că această serie converge la L, pentru un anumit număr L, iar dacă rearanjarea nu schimbă suma, atunci L = L / 2, implicând L = 0. Dar teorema alternativă a aproximării seriei arată rapid că L & gt 0. Singura concluzie este că rearanjarea făcut schimbați suma.) Acesta este un rezultat incredibil.

We mentioned earlier that the Integral Test did not work well with series containing factorial terms. The next section introduces the Ratio Test, which does handle such series well. We also introduce the Root Test, which is good for series where each term is raised to a power.


8.5: Alternating Series and Absolute Convergence - Mathematics

Be sure to check back, because this may change during the semester.

All numbers indicate sections from APEX Calculus, Version 3.0, and check the Errata for corrections to the text.

For Friday September 1 (Due 8/31 @ 8:00 pm)

Section 6.1 Substitution

  1. Substitution attempts to undo one of the techniques of differentiation. Which one is it?
  2. Use u-substitution to find an antiderivative of ( f(x) = 3x^2 cos(x^3) )
  3. Explain why ( dst int cos(x) sin(x)^2 dx) and ( dstint fracdx ) are essentially the same integral after performing a substitution.

Submit answers through onCourse

For Monday September 4

Labor Day. No class meeting or reading assignment due.

For Wednesday September 6 (Due 9/5 @ 8:00 pm)

Section 2.7 Derivatives of Inverse Functions

  1. Why do you think we are studying the inverse trig functions now?
  2. Find an antiderivative of ( f(x) = dst frac< 1 + x^6>)

Submit answers through onCourse

For Friday September 8 (Due 9/7 @ 8:00 pm)

Section 6.2 Integration by Parts

  1. Integration by parts attempts to undo one of the techniques of differentiation. Which one is it?
  2. Use integration by parts to find an antiderivative of (f(x) = 2x e^<4x>)

Submit answers through onCourse

For Monday September 11 (Due 9/10 @ 8:00 pm)

Section 6.2 Integration by Parts

Submit answers through onCourse

For Wednesday September 13 (Due 9/12 @ 8:00 pm)

Section 5.5 Numerical Integration

  1. Why would you ever want to numerically approximate an integral?
  2. Which would you expect to be MOST accurate: a Right Hand approximation, a Trapezoidal approximation, or a Simpson's approximation? De ce?
  3. Which would you expect to be LEAST accurate: a Right Hand approximation, a Trapezoidal approximation, or a Simpson's approximation? De ce?

Submit answers through onCourse

For Friday September 15 (Due 9/14 @ 8:00 pm)

Section 7.2 Volume by Cross-Sectional Area Disk and Washer

  1. Let R be the rectangle formed by the x-axis, the y-axis, and the lines y=1 and x=4. Describe the shape of the solid formed when R is rotated about the x-axis.
  2. Let T be the triangle formed by the lines y=2x, x=2 and the x-axis. Describe the shape of the solid formed when T is rotated about the line y = -1.

Submit answers through onCourse

For Monday September 18

Section 7.2 Volume by Cross-Sectional Area Disk and Washer

Re-read the section, but no Reading Questions for today

For Wednesday September 20 (Due 9/19 @ 8:00 pm)

Section 7.4 Arc Length and Surface Area

  1. Set up the integral that gives the length of the curve ( y=sin(2x)) from (x=0) to ( x=2pi).
  2. Set up the integral that gives the surface area of the surface formed when the curve ( y=x^2 + 2) from (x=0) to (x=3) is rotated about the x-axis.

Submit answers through onCourse

For Friday September 22 (Due 9/21 @ 8:00 pm)

Section 6.7 L'Hopital's Rule

  1. Does l'Hopital's Rule apply to ( dst lim_ frac) ? Why or why not?
  2. Does l'Hopital's Rule apply to ( dst lim_ frac)? Why or why not?
  3. For each limit in #1 and #2 where l'Hopital's applies, use it to find the limit.

Submit answers through onCourse

For Monday September 25 (Due 9/24 @ 8:00 pm)

Section 6.8 Improper Integration

  1. Explain why ( dstint_1^ frac<1>dx ) is improper.
  2. Explain why ( dstint_0^1 frac<1>dx ) is improper.
  3. Explain why ( dstint_<-1>^1 frac<1>dx ) is improper.

Submit answers through onCourse

For Wednesday September 27 (Due 9/26 @ 8:00 pm)

Section 6.8 Improper Integration

  1. If the improper integral ( int_1^ g(x) dx ) converges, what can you conclude about the improper integral ( int_1^ f(x) dx )?
  2. If the improper integral ( int_1^ f(x) dx ) diverges, what can you conclude about the improper integral ( int_1^ g(x) dx ) ?
  3. If the improper integral ( int_1^ f(x) dx ) converges, what can you conclude about the improper integral ( int_1^ g(x) dx ) ?

Submit answers through onCourse

For Friday September 29 (Due 9/28 @ 8:00 pm)

  1. Does the following sequence converge or diverge? Be sure to explain your answer.
    1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, . . .
  2. Find a symbolic expression for the general term ak of the sequence 1, 2, 4, 8, 16, 32, . . .
  3. Is the following sequence bounded? Is it monotone? Explica. [ 1, -frac<1><2>, frac<1><4>, -frac<1><8>, frac<1><16>, -frac<1><32>, ldots ]

Submit answers through onCourse

For Monday October 2 (Due 10/1 @ 8:00 pm)

Section 8.2 Infinite Series

  1. There are two sequences associated with every series. What are they?
  2. Does the geometric series ( dst sum left( frac<1><4> ight)^k) converge or diverge? De ce?
  3. Does the geometric series ( dst sum left( frac ight)^k) converge or diverge? De ce?

Submit answers through onCourse

For Wednesday October 4 (Due 10/3 @ 8:00 pm)

Q & A for Exam 1. No Reading Assignment for today.

For Friday October 6 (Due 10/5 @ 8:00 pm)

Section 8.2 Infinite Series

  1. What does the n th -Term Theorem tell you about the series ( dst sum 2^k )?
  2. What does the n th -Term Theorem tell you about the series ( dst sum frac<1>)?

Submit answers through onCourse

For Monday October 9

Fall Break. No class meeting or reading assignment due.

For Wednesday October 11 (Due 10/10 @ 8:00 pm)

Section 8.3 Integral and Comparison Tests

  1. What does the Integral Test tell you about the series ( dst sum frac<1>)?
  2. What does the Integral Test tell you about the series ( dst sum frac<1>> )?
  3. What does the Direct Comparison Test tell you about the series ( dst sum frac<1>> )?

Submit answers through onCourse

For Friday October 13 (Due 10/12 @ 8:00 pm)

Section 8.3 Integral and Comparison Tests

  1. Use the Limit Comparison Test to show that ( dstsum frac<1>) converges.
  2. Explain why it would have been more difficult to apply the Direct Comparison Test to this series.

Submit answers through onCourse

For Monday October 16 (Due 10/15 @ 8:00 pm)

Section 8.5 Alternating Series and Absolute Convergence

  1. Why does this series converge?
  2. How closely does ( S_<50>), the 50th partial sum, approximate the value of the series? De ce?

Submit answers through onCourse

For Wednesday October 18

Section 8.5 Alternating Series and Absolute Convergence

Re-read the section, but no Reading Questions for today

For Friday October 20 (Due 10/19 @ 8:00 pm)

Section 8.6 Power Series

  1. How do power series differ from the series we have looked at up to this point?
  2. What is the interval of convergence of a power series? Explain in your own words.

Submit answers through onCourse

For Monday October 23 (Due 10/22 @ 8:00 pm)

Section 8.7 Taylor Polynomials

    Explain the basic idea of constructing the n-th degree Taylor polynomial for a function f(x). Do not give the formula, but describe the idea in your own words in a few sentences.

Submit answers through onCourse

For Wednesday October 25 (Due 10/24 @ 8:00 pm)

Section 8.8 Taylor Series

  1. What is the difference between a Taylor series and a Maclaurin series?
  2. Why would you ever want to compute a Taylor series for a function like sin(x)?

Submit answers through onCourse

For Friday October 27 (Due 10/26 @ 8:00 pm)

Section 12.1 Introduction to Multivariable Functions

  1. Describe the level curves of the function (f(x,y)= x^2 - y)
  2. Describe the level surfaces of the function (g(x,y,z)=x^2+y^2+z^2)

Submit answers through onCourse

For Monday October 30 (Due 10/29 @ 8:00 pm)

Section 12.3 Partial Derivatives

  1. For a function (f(x,y)), what information does ( f_x(2,3)) give?
  2. How many second-order partial derivatives does a function (g(x,y)) have? De ce?

Submit answers through onCourse

For Wednesday November 1 (Due 10/31 @ 8:00 pm)

Q & A for Exam 2. No Reading Assignment for today.

For Friday November 3

Moving Monday's class (10/30) here due to power outage on campus.

For Monday November 6 (Due 11/5 @ 8:00 pm)

Section 10.2 An Introduction to Vectors
Section 10.3 The Dot Product

  1. Give the unit vector in the same direction as ( vec<,v>=langle 2,3 angle)
  2. If the dot product ( vec<,u>cdot vec<,v>=0), what does this tell you about the vectors?

Submit answers through onCourse

For Wednesday November 8 (Due 11/7 @ 8:00 pm)

Section 12.6 Directional Derivatives

  1. What does the directional derivative ( D_> f(a,b)) measure?
  2. If (f(x,y) = 3xy^2 + 2x-4y^2), what is ( abla f(x,y)) ?

Submit answers through onCourse

For Thursday November 9

Section 12.8 Extreme Values

You should think about these questions while reading, but you do not need to submit answers.

  1. Where can the local extrema of a function f(x,y) occur?
  2. Why does the term "saddle point" make sense?

For Friday November 10

Section 12.8 Extreme Values

Re-read the section, but no Reading Questions for today

For Monday November 13 (Due 11/12 @ 8:00 pm)

Section 13.1 Iterated Integrals and Area

  1. Why would you want to calculate an iterated integral?
  2. Why would you want to switch the order of integration in an iterated integral?

Submit answers through onCourse

For Wednesday November 15 (Due 11/14 @ 8:00 pm)

Section 13.2 Double Integration and Volume

  1. If (f(x,y)) is a function of two variables and (R) is a rectangle in the xy-plane, what does ( intint_R f(x,y), dA) measure?
  2. Explain the idea of Fubini's Theorem in a couple of sentences in your own words.

Submit answers through onCourse

For Friday November 17

No class. I will be at a conference.

For Monday November 20

Section 13.2 Double Integration and Volume

Re-read the section, but no Reading Questions for today

For Wednesday November 22

Thanksgiving Break. No class meetings or reading assignments due.

For Friday November 24

Thanksgiving Break. No class meetings or reading assignments due.

For Monday November 27 (Due 11/26 @ 8:00 pm)

Section 9.4 Introduction to Polar Coordinates

  1. What do the coordinates ( (r, heta)) in polar coordinates measure?
  2. Why do you think we are studying polar coordinates now?
  3. Is the graph of the polar function ( r = 4cos( heta) ) is the graph of a function y=f(x)? Explica.

Submit answers through onCourse

For Wednesday November 29 (Due 11/28 @ 8:00 pm)

Q & A for Exam 3. No Reading Assignment for today.

For Friday December 1 (Due 11/30 @ 8:00 pm)

Section 13.3 Double Integration with Polar Coordinates

  1. Describe the shape of a polar "rectangle."
  2. Why would you ever want to use polar coordinates to evaluate a double integral?

Submit answers through onCourse

For Monday December 4 (Due 12/3 @ 8:00 pm)

Section 13.3 Double Integration with Polar Coordinates

Re-read the section, but no Reading Questions for today

For Wednesday December 6 (Due 12/5 @ 8:00 pm)

Section 13.4 Center of Mass

  1. Why do we need to use calculus to compute center of mass?
  2. When using a double integral to calculate ( M_x), the moment about the x-axis, what is the reason for multiplying the density function ( delta(x,y)) by (y) rather than by ( x)?

Submit answers through onCourse

For Friday December 8

The BIG Picture for the semester. No Reading Assignment for today.

For Monday November XY (Due XY @ 8:00 pm)

Submit answers through onCourse

For Wednesday November XY (Due XY @ 8:00 pm)

Submit answers through onCourse

For Friday November XY (Due XY @ 8:00 pm)

Submit answers through onCourse


Text Website


Calculus II MAT 1505 Syllabus

7.1 Integration by Parts
7.2 Trigonometric Integrals (Optional)
7.3 Trigonometric Substitution (Optional)
7.4 Int. of Rational Fns by Partial Frac. (Optional)
7.7 Approximate Integration
7.8 Improper Integrals

Chapter 8: Further Applications of Integration

8.1 Arc Length
8.4 Applications to Economics and Biology
8.5 Probability

Chapter 11: Infinite Sequences and Series

11.1 Sequences
11.2 Series (emphasize geometric series)
11.3 The Integral Test & Estimates of Sums
11.4 The Comparison Test
11.5 Alternating Series
11.6 Absolute Convergence, Ratio & Root Tests
11.8 Power Series**
11.9 Representations of Functions as Power Series**
11.10 Taylor and Maclaurin Series**
11.11 Application of Taylor Polynomials
** emphasize these sections

Chapter 10: Parametric Equations and Polar Coordinates

10.1 Curves Defined by Parametric Equations
10.2 Calculus with Parametric Equations
10.3 Polar Coordinates
10.4 Areas and Lengths in Polar Coordinates

Chapter 9: Differential Equations (if time allows)

9.1 Modeling with Differential Equation (Optional)
9.2 Direction Fields & Euler's Method (Optional)
9.3 Separable Equations (Optional)
9.4 Models for Population Growth (Optional)

This material is covered over a 14 week (56 class hours) semester.

Faculty have the option of utilizing WebAssign, a web-based supplement to our textbook. This portal provides graded and practice homework problems, online quizzes, video instruction and an eBook. WebAssign registration requires an access code, which is included with the text purchased from the Villanova Bookstore.

Note: If you choose to rent/purcase a book that comes without a WebAssign code, you will be required to purchase the registration code separately if your instructor uses WebAssign.

Upon the start of each semester, students will received a second code, called a class enrollment code, from their instructor. This code enrolls them into the specific course set up by their instructor for that semester.

Computer Algebra System (CAS)

Instructors will be using Maple or a comparable Computer Algebra System in the course. Students will work with the software interface to integrate numerically and symbolically, to solve differential equations, to explore the convergence or divergence of a series, as well as understand Taylor series.


Verify Account

Note: Please check your Spam or Junk folder, in case you didn't receive the email with verification code.

Mathematics-I

  • 4.0 4.5 -->
  • Publisher : uLektz Learning Solutions Private Limited
  • Course Code : MA6151
  • Author : uLektz
  • University : Anna University, Tamil Nadu

This is a digital eBook. No physical copy of this ebook will be delivered. This ebook can be accessed only through this web platform or uLektz readers supported mobile app..

Subiecte
UNIT I MATRICES

1.1 Eigen values and Eigen vectors of a real matrix

1.2 Characteristic equation

1.3 Properties of eigenvalues and eigenvectors

1.4 Statement and applications of Cayley - Hamilton Theorem

1.5 Diagonalization of matrices

1.6 Reduction of a quadratic form to canonical form by orthogonal transformation

1.7 Nature of quadratic forms

UNIT II SEQUENCES AND SERIES

2.3 Series of positive terms

2.7 Series of positive and negative terms

2.8 Absolute and conditional convergence

UNIT III APPLICATIONS OF DIFFERENTIAL CALCULUS

3.1 Curvature in Cartesian co-ordinates

3.2 Centre and radius of curvature

3.6 Evolute as envelope of normals

UNIT IV DIFFERENTIAL CALCULUS OF SEVERAL VARIABLES

4.4 Differentiation of implicit functions

4.5 Jacobian and properties

4.6 Taylor‟s series for functions of two variables

4.7 Maxima and minima of functions of two variables

4.8 Lagrange‟s method of undetermined multipliers.

UNIT V MULTIPLE INTEGRALS

5.1 Double integrals in Cartesian and polar coordinates

5.2 Change of order of integration

5.3 Area enclosed by plane curves

5.4 Change of variables in double integrals

5.5 Area of a curved surface

Publisher Detail:
  • Publisher Name uLektz Learning Solutions Private Limited
  • Course Email Id [email protected]
  • Abordare No. 100, Lake View Estate,Kundrathur Main Road,Porur - 600 116.
  • Url https://www.ulektz.com

No Preview is available for this book


Math 231/249, Honors Calculus II

A second course in calculus, focusing on sequences and series, but also covering techniques of integration, parametric equations, polar coordinates, and complex numbers. While covering the same basic material as the standard sections, this honors class does so in more detail, including some additional topics. As such, it is for those students who, regardless of their major, are particularly interested in, and excited by, mathematics. In addition, a score of 5 on the AP Calculus AB exam, or a grade of "A" in Math 220 or 221 is required for enrollment. Students who enroll in this course must also register for Math 249 Q1H, the "honors supplement", with CRN 32044.

Grading:

  • Weekly Homework (15%). Homework will be assigned during each lecture and due at the beginning of class each Wednesday. No late homework will be accepted however, your lowest homework grade will be dropped so you are effectively allowed one infinitely late assignment. Collaboration on homework is permitted, nay encouraged. However, you must write up your solutions individually and understand them completely. You may use a computer or calculator on the HW for experimentation and to check your answers, but may not refer to it directly in the solution, e.g. "by Mathematica" is not an acceptable justification for deriving one equation from another. (Also, computers and calculators will not be allowed on the exams, so it's best not to get too dependent on them.)
  • Three in-class exams (20% each). These will be closed-book, calculator-free exams, though you will be allowed to bring one piece of paper with handwritten formulas. They will be on Fridays, in particular, September 19, October 17, and November 14.
  • A final exam (25%) Our final exam is scheduled for Friday, December 12 from 1:30-4:30 pm.

Manual

  • Smith and Minton, Calculus: Early Transcendental Functions, 3rd edition, McGraw Hill, 2006 or 2007.

We will be covering Chapters 6-9, so either the "Single Variable" or "Full" version of this book is fine. As to the future value of the longer version for those planning on taking Math 241 (Calculus III), the honors sections of that course do nu use this text, though some, but not all, of the standard sections do.


8.5: Alternating Series and Absolute Convergence - Mathematics

Absolute and Conditional Convergence In
your own words, describe the difference between absolute
and conditional convergence of an alternating series.

Răspuns

An Alternating series is absolutely converges if absolute value of series converges
An Alternating series is conditionally converges if absolute value of series diverges

Subiecte

Calculus of a Single Variable

Discuţie

Top Calculus 2 / BC Educators
Kayleah T.
Kristen K.

University of Michigan - Ann Arbor

Michael J.
Joseph L.
Calculus 2 / BC Bootcamp

Integration Review - Intro

In mathematics, integratio…

Definite vs Indefinite

In grammar, determiners ar…

Recommended Videos

In your own words, state t…

Absolute and conditional c…

Absolute and conditional c…

Absolute and conditional c…

Absolute and conditional c…

Absolute and conditional c…

Absolute and conditional c…

Absolute and conditional c…

Absolute and conditional c…

Absolute and conditional c…

Watch More Solved Questions in Chapter 9

Video Transcript

So here is a difference of absolute today. So absolutes. Conventions. This means the absolute value of secrets. Serious. I'm very juice. That's conditional. Convergence mean they're serious convergence. Come on, I just But he's Ah, absolutes if I do of the area's dime, mergers diverges.


Full Texts PDF : Calculus I (v2) Calculus II (v2)

Section 2.7 Derivatives of Inverse Functions

Section 6.2 Integration by Parts

Section 6.3 Trigonometric Integrals

Section 6.4 Trigonometric Substitution

Section 6.5 Partial Fraction Decomposition

Section 6.7 L'Hopital's Rule

Section 6.8 Improper Integration

Section 8.1 Secvențe

Section 8.2 Infinite Series

Section 8.3 Integral and Comparison Tests

Section 8.4 Ratio and Root Tests

Section 8.5 Alternating Series and Absolute Convergence


Calculus Early Transcendentals: Integral & Multi-Variable Calculus for Social Sciences

In this chapter we have a closer look at so-called , which arise in the study of analytic functions. A power series is basically an infinite degree polynomial that represents some function. Since we know a lot more about polynomial functions than arbitrary functions, this allows us to readily differentiate, integrate, and approximate some functions using power series.

Subsection 6.8.1 Power Series

Recall that the sum of a geometric series can be expressed using the simple formula:

if (|x|lt 1 ext<,>) and that the series diverges when (|x|ge 1 ext<.>) At the time, we thought of (x) as an unspecified constant, but we could just as well think of it as a variable, in which case the series

is a function, namely, the function (k/(1-x) ext<,>) as long as (|x|lt 1 ext<:>) Looking at this from the opposite perspective, this means that the function (k/(1-x)) can be represented as the sum of an infinite series. Why would this be useful? While (k/(1-x)) is a reasonably easy function to deal with, the more complicated representation (sum kx^n) does have some advantages: it appears to be an infinite version of one of the simplest function types — a polynomial. Later on we will investigate some of the ways we can take advantage of this ‘infinite polynomial’ representation, but first we should ask if other functions can even be represented this way.

The geometric series has a special feature that makes it unlike a typical polynomial—the coefficients of the powers of (x) are all the same, namely (k ext<.>) We will need to allow more general coefficients if we are to get anything other than the geometric series.

Definition 6.63 . Power Series Centred Around Zero.

A is a series of the form

where the (a_n) are real numbers.

As we did in the section on sequences, we can think of the (a_n) as being a function (a(n)) defined on the non-negative integers.

It is important to remember that the (a_n) do not depend on (x ext<.>)

Example 6.64 . Power Series Convergence.

Determine the values of (x) for which the power series (dssum_^infty ) converges.

We can investigate convergence using the Ratio Test:

Thus when (|x|lt 1) the series converges and when (|x|>1) it diverges, leaving only two values in doubt. When (x=1) the series is the harmonic series and diverges when (x=-1) it is the alternating harmonic series (actually the negative of the usual alternating harmonic series) and converges. Thus, we may think of (dssum_^infty ) as a function from the interval ([-1,1)) to the real numbers.

A bit of thought reveals that the Ratio Test applied to a power series will always have the same nice form. In general, we will compute

assuming that (ds lim |a_|/|a_n|) exists:

Then the series converges if (L|x|lt 1 ext<,>) that is, if (|x|lt 1/L ext<,>) and diverges if (|x|>1/L ext<.>)

Only the two values (x=pm1/L) require further investigation.

The value (1/L) is called the .

Thus the series will always define a function on the interval ((-1/L,1/L) ext<,>) that perhaps will extend to one or both endpoints as well.

This interval is referred to as the .

This interval is essentially the domain of the power series .

Then no matter what value (x) takes the limit is (0 ext<.>)

The series converges for all (x) and the function is defined for all real numbers.

Then no matter what value (x) takes the limit is infinite.

The series converges only when (x=0 ext<.>)

We can make these ideas a bit more general. Consider the series

This looks a lot like a power series, but with ((x+2)^n) instead of (x^n ext<.>) Let's try to determine the values of (x) for which it converges. This is just a geometric series, so it converges when

So the interval of convergence for this series is ((-5,1) ext<.>) The centre of this interval is at (-2 ext<,>) which is at distance 3 from the endpoints, so the radius of convergence is 3, and we say that the series is centred at (-2 ext<.>)

Interestingly, if we compute the sum of the series we get

Multiplying both sides by 1/3 we obtain

which we recognize as being equal to

so we have two series with the same sum but different intervals of convergence.

This leads to the following definition:

Definition 6.65 . Power Series Centred Around (a).

A centred at (a) has the form

where the (a) and (a_n) are real numbers.

Notă: The power series centred at zero given in Definition 6.63 is a special case of the above definition when (a=0 ext<.>)

Convergence of a Power Series.

Given a power series (sum a_n(x-a)^n) and its radius of convergence (R ext<,>) the series behaves in one of three ways:

The series converges absolutely for (x) with (|x-a| lt R ext<,>) it diverges for (x) with (|x-a| > R ext<,>) and at (x=a-R) and (x=a+R) further investigation is needed.


8.5: Alternating Series and Absolute Convergence - Mathematics

Math 132 Syllabus

Some sections will be covered only in part. For indication of what is to be covered and what not, see the parenthetical qualifications below.

Chapter 4 - Antiderivatives
4.10 Antiderivatives

Chapter 5 - Integrals
5.1 Area and distances
5.2 The definite integral
5.3 The Fundamental Theorem of Calculus
5.4 Indefinite integrals and the Net Change Theorem
5.5 The Substitution Rule

Chapter 6 - Applications of Integration
6.1 Area between curves
6.2 Volumes

Chapter 7 - Techniques of Integration
7.1 Integration by parts
7.2 Trigonometric integrals
7.3 Trigonometric substitution
7.4 Integration of rational functions by partial fractions [just the case of a rational function whose denominator can be factored as (x - r)(x - s) with distinct r, s]
7.7 Approximate integration (omit error bounds formulas)
7.8 Improper integrals

Chapter 11 - Infinite Sequences and Series
11.1 Sequences
11.2 Series
11.3 The Integral Test and estimates of sums
11.4 The comparison tests
11.5 Alternating series
11.6 Absolute convergence the Ratio and Root Tests (omit subsection Rearrangements)
11.7 Strategy for testing series (for review)
11.8 Power series
11.9 Representation of functions as power series
11.10 Taylor and Maclaurin series (omit subsection Multiplication and Division of Power Series)
11.12 Applications of Taylor Polynomials (only the subsection Approximating functions by Polynomials)

Chapter 8 - Applications of Integration
8.1 Arc Length
8.5 Probability - omitted for Fall 2007

Chapter 10 - Parametric Equations and Polar Coordinates
10.1 Curves defined by parametric equations
10.2 Calculus with parametric curves (only subsections Tangents and Arc Length not Area and Surface Area)
10.3 Polar coordinates
10.4 Areas and length in polar coordinates