Articole

6.3: Funcții trigonometrice inverse

6.3: Funcții trigonometrice inverse



We are searching data for your request:

Forums and discussions:
Manuals and reference books:
Data from registers:
Wait the end of the search in all databases.
Upon completion, a link will appear to access the found materials.

În secțiunile anterioare, am evaluat funcțiile trigonometrice în diferite unghiuri, dar uneori trebuie să știm ce unghi ar produce o valoare specifică sinus, cosinus sau tangentă. Pentru aceasta, avem nevoie de funcții inverse. Reamintim că pentru o funcție unu la unu, dacă (f (a) = b ), atunci o funcție inversă ar satisface (f ^ {- 1} (b) = a ).

Probabil că deja recunoașteți o problemă - faptul că funcțiile sinus, cosinus și tangente nu sunt funcții individuale. Pentru a defini inversul acestor funcții, va trebui să restricționăm domeniul acestor funcții pentru a produce o nouă funcție care este unu-la-unu. Alegem un domeniu pentru fiecare funcție care include unghiul zero.

Pe aceste domenii restrânse, putem defini sinusul invers, cosinusul invers și funcțiile tangente inverse.

FUNCȚII INVERSE SIN, COSINE ȘI TANGENTE și inversele acestora

Pentru unghiurile din intervalul ( left [- dfrac { pi} {2}, dfrac { pi} {2} right] ), dacă ( sin left ( theta right) = a ), apoi ( sin ^ {- 1} left (a right) = theta )

( sin ^ {- 1} left (x right) ) are domeniul [-1, 1] și intervalul ( left [- dfrac { pi} {2}, dfrac { pi} {2} dreapta] )

( Sin ^ {- 1} left (x right) ) este uneori numit arcsine funcție și notat ( arcsin left (a right) ).

Pentru unghiurile din intervalul ( left [0, pi right] ), dacă ( cos left ( theta right) = a ), atunci ( cos ^ {- 1} left (a right) = theta )

( cos ^ {- 1} left (x right) ) are domeniul [-1, 1] și intervalul ( left [0, pi right] )

( Cos ^ {- 1} left (x right) ) este uneori numit arccosine funcție și notat ( arccos left (a right) ).

Pentru unghiurile din intervalul ( left (- dfrac { pi} {2}, dfrac { pi} {2} right) ), dacă ( tan left ( theta right) = a ), apoi ( tan ^ {- 1} left (a right) = theta )

( tan ^ {- 1} left (x right) ) are domeniul tuturor numerelor reale și intervalul ( left (- dfrac { pi} {2}, dfrac { pi} {2 } dreapta))

( Tan ^ {- 1} left (x right) ) este uneori numit arctangent funcție și notat ( arctan left (a right) ).

Graficele funcțiilor inverse sunt prezentate aici:

Observați că ieșirea fiecăreia dintre aceste funcții inverse este un (unghi ).

Exemplu ( PageIndex {1} )

A evalua

  1. ( sin ^ {- 1} left ( dfrac {1} {2} right) )
  2. ( sin ^ {- 1} left (- dfrac { sqrt {2}} {2} right) )
  3. ( cos ^ {- 1} left (- dfrac { sqrt {3}} {2} right) )
  4. ( tan ^ {- 1} left (1 right) )

Soluţie

a) Evaluarea ( sin ^ {- 1} left ( dfrac {1} {2} right) ) este aceeași cu întrebarea ce unghi ar avea o valoare sinusoidală de ( dfrac {1} {2 } ). Cu alte cuvinte, ce unghi ( theta ) ar satisface ( sin left ( theta right) = dfrac {1} {2} )?

Există mai multe unghiuri care ar satisface această relație, cum ar fi ( dfrac { pi} {6} ) și ( dfrac {5 pi} {6} ), dar știm că avem nevoie de unghiul din interval de ( sin ^ {- 1} left (x right) ), intervalul ( left [- dfrac { pi} {2}, dfrac { pi} {2} right ] ), deci răspunsul va fi [ sin ^ {- 1} left ( dfrac {1} {2} right) = dfrac { pi} {6} nonumber ]

Amintiți-vă că inversul este un funcţie deci pentru fiecare intrare vom obține exact o ieșire.

b) Evaluând ( sin ^ {- 1} left (- dfrac { sqrt {2}} {2} right) ), știm că ( dfrac {5 pi} {4} ) și ( dfrac {7 pi} {4} ) au ambele o valoare sinusoidală de (- dfrac { sqrt {2}} {2} ), dar niciunul nu se află în intervalul ( left [- dfrac { pi} {2}, dfrac { pi} {2} right] ). Pentru aceasta, avem nevoie de unghiul negativ coterminal cu ( dfrac {7 pi} {4} ). [ sin ^ {- 1} left (- dfrac { sqrt {2}} {2} right) = - dfrac { pi} {4} nonumber ]

c) Evaluând ( cos ^ {- 1} left (- dfrac { sqrt {3}} {2} right) ), căutăm un unghi în intervalul ( left [0, pi right] ) cu o valoare a cosinusului (- dfrac { sqrt {3}} {2} ). Unghiul care satisface acest lucru este [ cos ^ {- 1} left (- dfrac { sqrt {3}} {2} right) = dfrac {5 pi} {6} nonumber ]

d) Evaluând ( tan ^ {- 1} left (1 right) ), căutăm un unghi în intervalul ( left (- dfrac { pi} {2}, dfrac { pi} {2} right) ) cu o valoare tangentă 1. Unghiul corect este [ tan ^ {- 1} left (1 right) = dfrac { pi} {4} nonumber ]

Exercițiu ( PageIndex {1} )

A evalua

  1. ( sin ^ {- 1} left (-1 right) )
  2. ( tan ^ {- 1} left (-1 right) )
  3. ( cos ^ {- 1} left (-1 right) )
  4. ( cos ^ {- 1} left ( dfrac {1} {2} right) )
Răspuns

a) (- dfrac { pi} {2} )

b) (- dfrac { pi} {4} )

c) ( pi )

d) ( dfrac { pi} {3} )

Exemplu ( PageIndex {2} )

Evaluați ( sin ^ {- 1} left (0,97 right) ) folosind calculatorul.

Soluţie

Deoarece ieșirea funcției inverse este un unghi, calculatorul dvs. vă va oferi o valoare de grad dacă este în modul grad și o valoare radian dacă este în modul radian.

În modul radian, [ sin ^ {- 1} (0,97) aproximativ 1,3252 nonumber ]

În modul grad, [ sin ^ {- 1} left (0,97 right) approx 75,93 {} ^ circ nonumber ]

Exercițiu

Evaluați ( cos ^ {- 1} left (-0.4 right) ) folosind calculatorul.

Răspuns

[1.9823 text {sau} 113.578 mathrm {{} ^ circ} nonumber ]

În secțiunea 5.5, am lucrat cu trigonometria pe un triunghi dreptunghiular pentru a rezolva laturile unui triunghi având o latură și un unghi suplimentar. Folosind funcțiile trig inverse, putem rezolva unghiurile unui triunghi drept dat de două laturi.

Exemplu ( PageIndex {3} )

Rezolvați triunghiul pentru unghiul ( theta ).

Soluţie

Din moment ce cunoaștem ipotenuza și latura adiacentă unghiului, este logic să folosim funcția cosinusului.

[ cos left ( theta right) = dfrac {9} {12} nonumber ] Folosind definiția inversului,

[ theta = cos ^ {- 1} left ( dfrac {9} {12} right) nonumber ] Evaluare

[ theta approx 0.7227 text {, sau despre} 41.4096 mathrm {{} ^ circ} nonumber ]

Există momente când trebuie să compunem o funcție trigonometrică cu o funcție trigonometrică inversă. În aceste cazuri, putem găsi valori exacte pentru expresiile rezultate

Exemplu ( PageIndex {4} )

Evaluează ( sin ^ {- 1} left ( cos left ( dfrac {13 pi} {6} right) right) ).

Soluţie

a) Aici, putem evalua direct interiorul compoziției.

[ cos left ( dfrac {13 pi} {6} right) = dfrac { sqrt {3}} {2} nonumber ]

Acum, putem evalua funcția inversă așa cum am făcut mai devreme.

[ sin ^ {- 1} left ( dfrac { sqrt {3}} {2} right) = dfrac { pi} {3} nonumber ]

Exercițiu ( PageIndex {3} )

Evaluează ( cos ^ {- 1} left ( sin left (- dfrac {11 pi} {4} right) right) ).

Răspuns

[ sin left (- dfrac {11 pi} {4} right) = - dfrac { sqrt {2}} {2}. cos ^ {- 1} left (- dfrac { sqrt {2}} {2} right) = dfrac {3 pi} {4} nonumber ]

Exemplu ( PageIndex {5} )

Găsiți o valoare exactă pentru ( sin left ( cos ^ {- 1} left ( dfrac {4} {5} right) right) ).

Soluţie

Începând cu interiorul, putem spune că există un unghi, așa că ( theta = cos ^ {- 1} left ( dfrac {4} {5} right) ), ceea ce înseamnă ( cos left ( theta right) = dfrac {4} {5} ) și căutăm ( sin left ( theta right) ). Putem folosi identitatea pitagorică pentru a face acest lucru.

[ sin ^ {2} left ( theta right) + cos ^ {2} left ( theta right) = 1 nonumber ] Folosind valoarea noastră cunoscută pentru cosinus
[ sin ^ {2} left ( theta right) + left ( dfrac {4} {5} right) ^ {2} = 1 nonumber ] Rezolvare pentru sinus
[ sin ^ {2} left ( theta right) = 1- dfrac {16} {25} nonumber ]
[ sin left ( theta right) = pm sqrt { dfrac {9} {25}} = pm dfrac {3} {5} nonumber ]

Deoarece știm că cosinusul invers dă întotdeauna un unghi pe intervalul ( left [0, pi right] ), știm că sinusul acelui unghi trebuie să fie pozitiv, deci [ sin left ( cos ^ {- 1} left ( dfrac {4} {5} right) right) = sin ( theta) = dfrac {3} {5} nonumber ]

Exemplu ( PageIndex {6} )

Găsiți o valoare exactă pentru ( sin left ( tan ^ {- 1} left ( dfrac {7} {4} right) right) ).

Soluţie

În timp ce am putea folosi un te similarchnique ca în ultimul exemplu, vom demonstra aici o tehnică diferită. Din interior, știm că există un unghi deci ( tan left ( theta right) = dfrac {7} {4} ). Putem imagina acest lucru ca laturile opuse și adiacente pe un triunghi dreptunghiular.

Folosind teorema lui Pitagora, putem găsi ipotenuza acestui triunghi:

[4 ^ {2} + 7 ^ {2} = hipotenuză ^ {2} nonumber ]

[hipotenuză = sqrt {65} nonumber ]

Acum, putem reprezenta sinusul unghiului ca parte opusă împărțită la hipotenuză.

[ sin left ( theta right) = dfrac {7} { sqrt {65}} nonumber ]

Aceasta ne oferă compoziția dorită

[ sin left ( tan ^ {- 1} left ( dfrac {7} {4} right) right) = sin ( theta) = dfrac {7} { sqrt {65} } .fără număr]

Exercițiu ( PageIndex {4} )

Evaluează ( cos left ( sin ^ {- 1} left ( dfrac {7} {9} right) right) ).

Răspuns

Să ( theta = sin ^ {- 1} left ( dfrac {7} {9} right) ) deci [ sin ( theta) = dfrac {7} {9} nonumber ]

Folosind Identitate pitagorică, ( sin ^ {2} theta + cos ^ {2} theta = 1 ), deci [ left ( dfrac {7} {9} right) ^ {2} + cos ^ {2} theta = 1 nonumber ]

Rezolvare, [ cos left ( sin ^ {- 1} left ( dfrac {7} {9} right) right) = cos left ( theta right) = dfrac {4 sqrt {2}} {9} nonumber ]

De asemenea, putem găsi compoziții care implică expresii algebrice

Exemplu ( PageIndex {7} )

Găsiți o expresie simplificată pentru ( cos left ( sin ^ {- 1} left ( dfrac {x} {3} right) right) ), pentru (- 3 le x le 3 ).

Soluţie

Știm că există un unghi ( theta ) astfel încât ( sin left ( theta right) = dfrac {x} {3} ). Folosind teorema lui Pitagora,

[ sin ^ {2} left ( theta right) + cos ^ {2} left ( theta right) = 1 nonumber ] Folosind expresia noastră cunoscută pentru sinus
[ left ( dfrac {x} {3} right) ^ {2} + cos ^ {2} left ( theta right) = 1 nonumber ] Rezolvare pentru cosinus
[ cos ^ {2} left ( theta right) = 1- dfrac {x ^ {2}} {9} nonumber ]
[ cos left ( theta right) = pm sqrt { dfrac {9-x ^ {2}} {9}} = pm dfrac { sqrt {9-x ^ {2}} } {3} nonumber ]

Deoarece știm că sinusul invers trebuie să dea un unghi pe intervalul ( left [- dfrac { pi} {2}, dfrac { pi} {2} right] ), putem deduce că cosinusul acelui unghi trebuie să fie pozitiv. Acest lucru ne dă

[ cos left ( sin ^ {- 1} left ( dfrac {x} {3} right) right) = dfrac { sqrt {9-x ^ {2}}} {3} fără număr]

Exercițiu ( PageIndex {5} )

Găsiți o expresie simplificată pentru ( sin left ( tan ^ {- 1} left (4x right) right) ), pentru (- dfrac {1} {4} le x le dfrac {1} {4} ).

Răspuns

Fie ( theta = tan ^ {- 1} left (4x right) ), deci ( tan ( theta) = 4x ). Putem reprezenta acest lucru pe un triunghi ca ( tan ( theta) = dfrac {4x} {1} ).

Hipotenuza triunghiului ar fi ( sqrt { left (4x right) ^ {2} +1} ). [ sin left ( tan ^ {- 1} left (4x right) right) = sin ( theta) = dfrac {4x} { sqrt {16x ^ {2} +1}} fără număr]

Subiecte importante ale acestei secțiuni

  • Funcții trig inverse: arcsine, arccosine și arctangent
  • Restricții de domeniu
  • Evaluarea inverselor folosind valorile cercului unitar și calculatorul
  • Simplificarea expresiilor numerice care implică funcțiile trig inverse
  • Simplificarea expresiilor algebrice care implică funcțiile trig inverse

Formule trigonometrice inverse

În Trigonometrie aflăm despre relațiile dintre unghiuri și laturi într-un triunghi unghiular. În mod similar, avem funcții de trigonometrie inversă. Funcțiile trigonometrice de bază sunt sin, cos, tan, cosec, sec și cot. Funcțiile trigonometrice inverse pe de altă parte sunt notate ca sin -1 x, cos -1 x, cot -1 x, tan -1 x, cosec -1 x și sec -1 x. În acest articol, să învățăm funcțiile trigonometrice inverse cu câteva exemple rezolvate.


Anterior am aflat asta în f(X) și f –1 (X) erau invers, atunci f(f –1 (X)) = X și f –1 (f(X)) = X. Același lucru este valabil și pentru funcțiile trigonometrice, cu o excepție. Domeniul funcțiilor inverse trebuie aplicat.

Compoziția funcțiilor trigonometrice inverse

Dacă –1 ≤ X ≤ 1 și (- frac<π><2>) ≤ y ≤ ( frac<π><2> ), apoi păcatul (păcatul –1 (X)) = X și păcatul –1 (păcatul (y)) = y

Dacă –1 ≤ X ≤ 1 și 0 ≤ yπ, apoi cos (cos –1 (X)) = X și cos –1 (cos (y)) = y

Dacă X este un număr real și (- frac<π><2>) ≤ y ≤ ( frac<π><2> ), apoi tan (tan –1 (X)) = X și bronz –1 (bronz (y)) = y

Nu uitați să aveți grijă ca domeniul și gama compoziției să fie menținute. Lucrați prin compoziție din interior spre exterior.

Exemplul 1: evaluați compozițiile funcțiilor de declanșare inversă

Evaluează a) ( sin left ( arcsin frac <1> <2> right) ), b) ( cos left ( cos ^ <–1>frac<2π> <3> right) ), c) tan (arctan –10).

Soluţie
  1. ( sin left ( arcsin frac <1> <2> right) ): arcsin este funcția interioară, iar domeniul arcsin este –1 ≤ X ≤ 1. ( frac <1> <2> ) se află în acest domeniu. ( arcsin left ( frac <1> <2> right) = frac<π><6> ), apoi găsiți ( sin left ( frac<π><6> right) = frac <1> <2> ). Deci ( sin left ( arcsin frac <1> <2> right) = frac<π><6>).
  2. ( cos left ( cos ^ <–1>frac<2π> <3> right) ): cos –1 este funcția interioară, iar domeniul cos –1 este –1 ≤ X ≤ 1. ( frac <2π> <3> approx 2 ), deci ( frac <2π> <3> ) este în afara domeniului și, prin urmare, nu există o soluție pentru ( cos left ( cos ^ <–1>frac<2π> <3> right) ).
  3. tan (arctan –10): arctan este funcția interioară, iar domeniul arctan este orice număr real. –10 este un număr real, deci tan (arctan –10) = –10.
Încercați-l 1

Evaluează a) sin (sin –1 (0.345)) și b) ( cos left ( cos ^ <–1>–frac<2> <3> right) ).

Răspunsuri

Exemplul 2: evaluați compozițiile funcțiilor de declanșare inversă

Evaluează a) ( arcsin left ( sin frac<π><3> right) ), b) ( arccos left ( cos frac <5π> <4> right) ) și c) tan –1 (tan π).

Soluţie

( arcsin left ( sin frac<π><3> right) ): Lucrați din interior spre exterior. ( sin frac<π> <3> = frac < sqrt <3>> <2> ) deci

(Amintiți-vă că gama de arccos este 0 ≤ yπ.)

tan –1 (tan π): bronz π = 0 deci

tan –1 (tan π)
= tan –1 (0)
= 0

(Amintiți-vă că intervalul de tan -1 este (- frac<π><2>) ≤ y ≤ ( frac<π><2>).)

Încercați-l 2

Evaluează a) ( arctan left ( tan frac <3π> <4> right) ) și b) sin –1 (sin (–0.354)).

Răspunsuri

Compoziția funcțiilor trigonometrice poate fi, de asemenea, rezolvată folosind triunghiuri dreptunghiulare. Folosiți funcția interioară pentru a desena un triunghi dreptunghiular, apoi folosiți triunghiul pentru a evalua funcția exterioară.

Utilizarea unui triunghi drept pentru rezolvarea compoziției funcțiilor trigonometrice
  1. Desenați un triunghi dreptunghiular pentru a reprezenta funcția interioară. Două părți trebuie etichetate.
  2. Folosiți teorema lui Pitagora pentru a rezolva partea cealaltă.
  3. Folosiți triunghiul pentru a evalua funcția trigonometrică exterioară.

Exemplul 3: evaluați o compoziție mixtă a funcțiilor Trig

Evaluează a) ( cos left ( arcsin frac <3> <5> right) ) și b) ( tan left ( cos ^ <–1> left (- frac <2 > <3> right) right) ).

Începeți cu funcția interioară, ( arcsin frac <3> <5> ). ( sin x = frac), deci desenează un triunghi dreptunghiular în cadranul 1 și etichetează unghiul acut după origine. Partea opusă este 3, iar hipotenuza este 5. Vezi Figura 2. Folosiți teorema lui Pitagora pentru a găsi cealaltă parte.

3 2 + b 2 = 5 2
b = 4

Acum evaluați funcția exterioară, cos, a unghiului.

Începeți cu funcția interioară, ( cos ^ <–1>left(–frac<2> <3> right) ) și desenați un triunghi dreptunghiular. Deoarece raportul laturilor este negativ, trageți triunghiul în cadranul negativ al funcției trigonometrice inverse. Pentru cos –1 cadranul negativ este cadranul 2. Etichetați unghiul după origine și partea adiacentă –2 și hipotenuză 3. Vezi Figura 3. Folosiți teorema lui Pitagora pentru a găsi cealaltă parte.

(–2) 2 + b 2 = 3 2
(b = sqrt <5> )

Acum evaluați funcția exterioară, bronz, a unghiului.

Încercați-l 3

Evaluați ( sin left ( arctan left (- frac <12> <5> right) right) )).

Răspuns

Exemplul 4: Compoziția funcțiilor trigonometrice folosind X

Rescrieți ca expresie algebrică a) sin (arccos (X)) și b) tan (sin –1 (2X)).

Desenați un triunghi dreptunghiular și etichetați laturile. Raportul laturilor este (x = frac<1> ). Deoarece funcția interioară este ( arccos left ( frac<1> dreapta) ), partea adiacentă este X iar hipotenuza este 1. Vezi Figura 4. Utilizați teorema lui Pitagora pentru a găsi o expresie pentru partea a treia.

X 2 + b 2 = 1 2
b 2 = 1 – X 2
(b = sqrt <1 - x ^ <2>> )

Acum evaluați funcția externă, sinus.

Desenați un triunghi dreptunghiular și etichetați laturile. Raportul laturilor este (2x = frac <2x> <1> ). Deoarece funcția interioară este ( sin ^ <–1> left ( frac <2x> <1> right) ), partea opusă este 2X iar hipotenuza este 1. Vezi Figura 5. Utilizați teorema lui Pitagora pentru a găsi o expresie pentru partea a treia.

A 2 + (2X) 2 = 1 2
A 2 + 4X 2 = 1
A 2 = 1 – 4X 2
(a = sqrt <1 - 4x ^ <2>> )

Acum evaluați funcția exterioară, tangentă.

Încercați 4

Rescrieți ca expresie algebrică: ( cos left ( arctan left ( frac.)<2> right) right) ).

Răspuns

6.3: Funcții trigonometrice inverse

Funcțiile trigonometrice inverse sunt funcțiile inverse ale funcțiilor trigonometrice. Există inversuri ale sinus, cosinus, cosecant, tangent, cotangent și secant funcții. Acestea sunt, de asemenea, denumite funcții arcus, funcții antitrigonometrice sau funcții ciclometrice. Aceste funcții inverse în trigonometrie sunt folosite pentru a obține unghiul cu oricare dintre rapoartele de trigonometrie. Să discutăm în detaliu fiecare funcție trigonometrică inversă.

Arcsine

funcția arcsine este un invers al funcției sinus notate cu sin -1 x. Returnează unghiul al cărui sinus corespunde numărului furnizat.

sinθ = (Opus / Hipotenuză)

=> sin -1 (Opus / Hipotenuză) = θ

Teorema inversului păcatului este: d / dx sin -1 x = 1 / √ (1 & # 8211 x 2)

sin (θ) = x

acum,

f (x) = sin -1 x .. (eq1)

valoarea substitutivă a păcatului în eq (1)

f (sin (θ)) = θ

f '(sin (θ)) cos (θ) = 1 .. diferențierea ecuației

noi stim aia,

sin 2 θ + cos 2 θ = 1

asa de,

cos = √ (1 & # 8211 x 2)

f '(x) = 1 / √ (1 & # 8211 x 2)

acum,

d / dx sin -1 x = 1 / √ (1 & # 8211 x 2)

de aici s-a dovedit.

Arccosine

funcția arccosine este un invers al funcției sinus notate cu cos -1. Returnează unghiul al cărui cosinus corespunde numărului furnizat.

cosθ = (Hipotenuză / Adiacent)

=> cos -1 (Hipotenuză / Adiacent) = θ

Teorema cos invers este: d / dx cos -1 (x) = -1 / √ (1 & # 8211 x 2)

cos (θ) = x

θ = arccos (x)

dx = dcos (θ) = −sin (θ) dθ .. diferențiați ecuația

acum,

noi stim aia,

sin 2 + cos 2 = 1

asa de,

cos = √ (1 & # 8211 x 2)

−sin (θ) = −sin (arccos (x)) = -√ (1 & # 8211 x 2)

dθ / dx = −1 / sin (θ) = -1 / √ (1 & # 8211 x 2)

asa de,

dθ / dx cos -1 (x) = -1 / √ (1 & # 8211 x 2)

de aici s-a dovedit.

Arctangent

funcția arctangentă este un invers al funcției tangente notate cu tan -1. Returnează unghiul a cărui tangentă corespunde numărului furnizat.

tanθ = (Opus / Adiacent)

=> tan -1 (Opus / Adiacent) = θ

Teorema inversului bronzului este: d / dx tan -1 (x) = 1 / (1 + x 2)

tan (θ) = x

θ = arctan (x)

noi stim aia,

tan 2 θ + 1 = sec 2 θ

dx / dθ = sec 2 y .. funcția de diferențiere a bronzului

dx / dθ = 1 + x 2

prin urmare,

dθ / dx = 1 / (1 + x 2)

de aici s-a dovedit.

Restricționarea domeniilor de funcții pentru a le face inversabile

  • ƒ: [−π / 2, π / 2] ⇒ [-1, 1] este definit ca ƒ (x) = sin (x) și este o bijecție, deci există invers. Inversul păcatului -1 se mai numește arcsin și funcțiile inverse sunt numite și funcții arc.
  • ƒ: [- π / 2, π / 2] ⇒ [−1, 1] este definit ca sinθ = x ⇔ sin -1 (x) = θ, θ aparține lui [−π / 2, π / 2] și x aparține lui [−1, 1].

În mod similar, restricționăm domeniile cos, tan, cot, sec, cosec, astfel încât să fie inversabile.

Domeniul și gama de funcții inverse

Utilizarea funcțiilor trigonometrice inverse cu un calculator

Într-un calculator științific, este posibil să se găsească funcții trigonometrice inverse, precum și funcții trigonometrice. Pentru a găsi funcțiile trigonometrice ale unui unghi, introduceți unghiul ales în grade sau radiani. Sub calculator, șase funcții trigonometrice vor apărea sinus, cosinus, tangent, cosecant, secant și cotangent. În mod similar pentru a găsi funcții trigonometrice inverse într-un calculator științific, mergeți la butonul Shift din calculator și apăsați-l, apoi selectați orice funcție trigonometrică standard, cum ar fi sinus, cosinus, tangentă, cosecantă, secantă și cotangentă. Acest lucru vă va permite să utilizați funcții trigonometrice inverse. După ce ați selectat funcția trigonometrică, introduceți parametrul, fie în radiani sau grade, fie în cazul funcțiilor inverse, introduceți valorile care se află în domeniul funcției respective, iar calculatorul științific îl va rezolva.

Funcții trigonometrice inverse

Funcții periodice:

Deoarece funcțiile trigonometrice sunt periodice, funcțiile lor inverse sunt variate pentru a o scrie în formatul standard, folosim ecuațiile furnizate mai jos.

arcsin (x) = (-1) n arc sin x + πn

arccos (x) = ± arccos x + 2πn

arctan (x) = arctan (x) + πn

arccot ​​(x) = arccot ​​(x) + πn

unde n = 0, ± 1, ± 2,….

Înlocuirea funcțiilor trigonometrice în diferite funcții:

Derivate ale funcțiilor trigonometrice inverse:

d / dx sin -1 (x) = 1 / √ (1 & # 8211 x 2)

d / dx cos -1 (x) = -1 / √ (1 & # 8211 x 2)

d / dx tan -1 (x) = 1 / (1 + x 2)

d / dx cot -1 (x) = -1 / (1 + x 2)

Proprietățile diferitelor funcții trigonometrice

Setul 1: Proprietăți ale păcatului

1) sin (θ) = x ⇔ sin -1 (x) = θ, θ ∈ [-π / 2, π / 2], x ∈ [-1, 1]

2) sin -1 (sin (θ)) = θ, θ ∈ [-π / 2, π / 2]

3) sin (sin -1 (x)) = x, x ∈ [-1, 1]

Setul 2: Proprietățile cos

4) cos (θ) = x ⇔ cos -1 (x) = θ, θ ∈ [0, π], x ∈ [-1, 1]

5) cos -1 (cos (θ)) = θ, θ ∈ [0, π]

6) cos (cos -1 (x)) = x, x ∈ [-1, 1]

Set 3: Proprietăți de bronz

7) tan (θ) = x ⇔ tan -1 (x) = θ, θ ∈ [-π / 2, π / 2], x ∈ R

8) tan -1 (tan (θ)) = θ, θ ∈ [-π / 2, π / 2]

9) tan (tan -1 (x)) = x, x ∈ R

Setul 4: Proprietățile pătuțului

10) cot (θ) = x ⇔ cot -1 (x) = θ, θ ∈ [0, π], x ∈ R

11) pat -1 (pat (θ)) = θ, θ ∈ [0, π]

12) pat (pat -1 (x)) = x, x ∈ R

Set 5: Proprietăți sec

13) sec (θ) = x ⇔ sec -1 (x) = θ, θ ∈ [0, π] & # 8211 <π / 2>, x ∈ (-∞, -1] ∪ [1, ∞)

14) sec -1 (sec (θ)) = θ, θ ∈ [0, π] & # 8211 <π / 2>

15) sec (sec -1 (x)) = x, x ∈ (-∞, -1] ∪ [1, ∞)

Setul 6: Proprietăți ale cosec

16) cosec (θ) = x ⇔ cosec -1 (x) = θ, θ ∈ [-π / 2, π / 2] & # 8211 <0>, x ∈ (-∞, -1] ∪ [1, ∞)

17) cosec -1 (cosec (θ)) = θ, θ ∈ [-π / 2, π] & # 8211 <0>

18) cosec (cosec -1 (x)) = x, x ∈ (-∞, -1] ∪ [1, ∞)

Setul 7: Alte formule trigonometrice inverse

19) sin -1 (-x) = -sin -1 (x), x ∈ [-1, 1]

20) cos -1 (-x) = π & # 8211 cos -1 (x), x ∈ [-1, 1]

21) tan -1 (-x) = -tan -1 (x), x ∈ R

22) cot -1 (-x) = π & # 8211 cot -1 (x), x ∈ R

23) sec -1 (-x) = π & # 8211 sec -1 (x), x ∈ (-∞, -1] ∪ [1, ∞)

24) cosec -1 (-x) = -cosec -1 (x), x ∈ (-∞, -1] ∪ [1, ∞)

  • sin -1 (-1/2) = -sin -1 (1/2)
  • cos -1 (-1/2) = π -cos -1 (1/2)
  • tan -1 (-1) = π -tan -1 (1)
  • pătuț -1 (-1) = -pătuț -1 (1)
  • sec -1 (-2) = π -sec -1 (2)
  • cosec -1 (-2) = -cosec -1 (x)

Setul 8: Suma a două funcții trigonometrice

25) sin -1 (x) + cos -1 (x) = π / 2, x ∈ [-1, 1]

26) tan -1 (x) + cot -1 (x) = π / 2, x ∈ R

27) sec -1 (x) + cosec -1 (x) = π / 2, x ∈ (-∞, -1] ∪ [1, ∞)

sin -1 (x) + cos -1 (x) = π / 2, x ∈ [-1, 1]

să păcătuim -1 (x) = y

acum,

x = sin y = cos ((π / 2) - y)

⇒ cos -1 (x) = (π / 2) - y = (π / 2) −sin -1 (x)

deci, sin -1 (x) + cos -1 (x) = π / 2

tan -1 (x) + cot -1 (x) = π / 2, x ∈ R

Fie tan -1 (x) = y

acum, pat (π / 2 - y) = x

⇒ pat -1 (x) = (π / 2 - y)

tan -1 (x) + cot -1 (x) = y + π / 2 - y

deci, tan -1 (x) + cot -1 (x) = π / 2

În mod similar, putem demonstra și teorema sumei arcsec și arccosec.

Setul 9: Conversia funcțiilor trigonometrice

28) sin -1 (1 / x) = cosec -1 (x), x≥1 sau x≤ − 1

29) cos -1 (1 / x) = sec -1 (x), x ≥ 1 sau x ≤ −1

30) tan -1 (1 / x) = −π + cot -1 (x)

sin -1 (1 / x) = cosec -1 (x), x ≥ 1 sau x ≤ −1

să, x = cosec (y)

1 / x = sin (y)

⇒ sin -1 (1 / x) = y

⇒ sin -1 (1 / x) = cosec -1 (x)


6.3 Funcții trigonometrice inverse

1 Capitolul 6 Funcții periodice Funcții trigonometrice inverse În această secțiune, veți: Obiective de învățare Înțelegeți și utilizați funcțiile de sinus invers, cosinus și tangente Găsiți valoarea exactă a expresiilor care implică funcțiile de sinus invers, cosinus și tangente Utilizați un calculator pentru a evalua funcții trigonometrice inverse Găsiți valori exacte ale funcțiilor compozite cu funcții trigonometrice inverse. Pentru orice triunghi dreptunghi, având în vedere un alt unghi și lungimea unei laturi, ne putem da seama care sunt celelalte unghiuri și laturi. Dar dacă ne sunt date doar două laturi ale unui triunghi dreptunghiular? Avem nevoie de o procedură care să ne conducă de la un raport de laturi la un unghi. Aici intră în joc noțiunea de funcție inversă la o funcție trigonometrică. În această secțiune, vom explora funcțiile trigonometrice inverse. Înțelegerea și utilizarea funcțiilor sinusului invers, cosinusului și funcțiilor tangente Pentru a utiliza funcții trigonometrice inverse, trebuie să înțelegem că o funcție trigonometrică inversă anulează ceea ce face funcția trigonometrică originală, așa cum este cazul oricărei alte funcții și a acesteia. Cu alte cuvinte, domeniul funcției inverse este domeniul funcției originale și invers, așa cum este rezumat în Figura Figura 6.54 De exemplu, dacă f (x) = sin x, atunci am scrie f 1 (x) = sin 1 x. Rețineți că păcatul 1 x nu înseamnă 1 sinx. Următoarele exemple ilustrează funcțiile trigonometrice inverse: Deoarece sin & pi 6 = 1, atunci & pi 6 = sin 1 1. Din moment ce cos (& pi) = 1, atunci & pi = cos 1 (1). Deoarece tan & pi 4 = 1, atunci & pi 4 = tan 1 (1). În secțiunile anterioare, am evaluat funcțiile trigonometrice în diferite unghiuri, dar uneori trebuie să știm ce unghi ar produce o valoare specifică sinus, cosinus sau tangentă. Pentru aceasta, avem nevoie de funcții inverse. Reamintim că, pentru o funcție unu la unu, dacă f (a) = b, atunci o funcție inversă ar satisface f 1 (b) = a. Rețineți că funcțiile sinus, cosinus și tangente nu sunt funcții unu la unu. Graficul fiecărei funcții ar eșua testul liniei orizontale. De fapt, nicio funcție periodică nu poate fi unu-la-unu, deoarece fiecare ieșire din intervalul său corespunde cel puțin unei intrări în fiecare perioadă și există un număr infinit de perioade. Ca și în cazul altor funcții care nu sunt one-to-one, va trebui să restricționăm domeniul fiecărei funcții pentru a produce o nouă funcție care este one-to-one. Alegem un domeniu pentru fiecare funcție care include numărul 0. Figura 6.55 prezintă graficul funcției sinus limitate la & pi, & pi și graficul funcției cosinusului limitat la [0, & pi].

2 864 Capitolul 6 Funcții periodice Figura 6.55 (a) Funcția sinusoidală pe un domeniu restricționat de & pi, & pi (b) Funcția cosinus pe un domeniu restricționat de [0, & pi] Figura 6.56 prezintă graficul funcției tangente limitate la & pi, & pi . Figura 6.56 & pi, & pi Funcția tangentă pe un domeniu restricționat din Aceste alegeri convenționale pentru domeniul restricționat sunt oarecum arbitrare, dar au caracteristici importante, utile. Fiecare domeniu include originea și unele valori pozitive și, cel mai important, fiecare are ca rezultat o funcție one-toone care este inversabilă. Alegerea convențională pentru domeniul restricționat al funcției tangente are, de asemenea, proprietatea utilă că se extinde de la o asimptotă verticală la următoarea în loc să fie împărțită în două părți de o asimptotă. Pe aceste domenii restricționate, putem defini funcțiile trigonometrice inverse. Funcția de sinus invers y = sin 1 x înseamnă x = sin y. Funcția de sinus invers este uneori numită funcția arcsine și arcsinx notat. y = sin 1 x are domeniul [1, 1] și domeniul & pi, & pi Funcția cosinusului invers y = cos 1 x înseamnă x = cos y. Funcția inversă a cosinusului este uneori numită funcție arccosine și arccos notată x. y = cos 1 x are domeniul [1, 1] și domeniul [0, & pi] Funcția tangentă inversă y = tan 1 x înseamnă x = tan y. Funcția tangentă inversă este uneori numită funcție arctangentă și notată arctan x. Acest conținut este disponibil gratuit la adresa

3 Capitolul 6 Funcții periodice 865 y = tan 1 x are domeniu (,) și interval & pi, & pi Graficele funcțiilor inverse sunt prezentate în Figura 6.57, Figura 6.58 și Figura Observați că ieșirea fiecăreia dintre aceste funcții inverse este o număr, un unghi în măsură radiană. Vedem că sin 1 x are domeniul [1, 1] și intervalul & pi, & pi, cos 1 x are domeniul [1,1] și domeniul [0, & pi], iar tan 1 x are domeniul tuturor numerelor reale și intervalul & pi , & pi. Pentru a găsi domeniul și gama funcțiilor trigonometrice inverse, comutați domeniul și gama funcțiilor originale. Fiecare grafic al funcției trigonometrice inverse este o reflectare a graficului funcției originale despre linia y = x. Figura 6.57 Funcția sinus și funcția sinus invers (sau arcsinus) Figura 6.58 Funcția cosinus și funcția cosinus invers (sau arccosin)

4 866 Capitolul 6 Funcții periodice Figura 6.59 Funcția tangentă și funcția tangentă inversă (sau arctangentă) Relații pentru funcțiile sinusului invers, cosinusului și tangentei Pentru unghiurile din intervalul & pi, & pi, dacă sin y = x, atunci sin 1 x = y . Pentru unghiurile din intervalul [0, & pi], dacă cos y = x, atunci cos 1 x = y. Pentru unghiurile din intervalul & pi, & pi, dacă tan y = x, atunci tan 1 x = y. Exemplul 6.4 Scrierea unei relații pentru o funcție inversă Dat fiind sin 5 & pi, scrieți o relație care implică sinusul invers. Soluție Utilizați relația pentru sinusul invers. Dacă sin y = x, atunci sin 1 x = y. În această problemă, x = și y = 5 & pi 1. sin 1 () 5 & pi Dat fiind cos (0.5), scrieți o relație care implică cosinusul invers. Acest conținut este disponibil gratuit la adresa

5 Capitolul 6 Funcții periodice 867 Găsirea valorii exacte a expresiilor care implică funcțiile sinusului invers, cosinusului și funcțiilor tangente Acum că putem identifica funcțiile inverse, vom învăța să le evaluăm. Pentru majoritatea valorilor din domeniile lor, trebuie să evaluăm funcțiile trigonometrice inverse folosind un calculator, interpolând dintr-un tabel sau folosind o altă tehnică numerică. La fel cum am făcut cu funcțiile trigonometrice originale, putem da valori exacte pentru funcțiile inverse atunci când folosim unghiurile speciale, în mod specific & pi 6 (30), & pi 4 (45) și & pi (60), precum și reflexiile lor în alte cadrane. 3 Având în vedere o valoare de intrare specială, evaluați o funcție trigonometrică inversă. 1. Găsiți unghiul x pentru care funcția trigonometrică originală are o ieșire egală cu intrarea dată pentru funcția trigonometrică inversă. Dacă x nu se află în intervalul definit al inversului, găsiți un alt unghi y care se află în intervalul definit și are același sinus, cosinus sau tangent ca x, în funcție de care corespunde funcției inverse date. Exemplul 6.5 Evaluarea funcțiilor trigonometrice inverse pentru valori speciale de intrare Evaluați fiecare dintre următoarele. A. păcat 1 1 b. păcat 1 c. cos 1 3 d. tan 1 (1) Soluție a. Evaluarea păcatului 1 1 este la fel ca determinarea unghiului care ar avea o valoare sinusoidală 1. Cu alte cuvinte, ce unghi x ar satisface sin (x) = 1? Există mai multe valori care ar satisface această relație, cum ar fi & pi 6 și 5 & pi 6, dar știm că avem nevoie de unghiul din intervalul & pi, & pi, deci răspunsul va fi sin 1 1 = & pi. Amintiți-vă că inversul este o funcție, deci pentru fiecare intrare vom obține exact 6 o ieșire. b. Pentru a evalua păcatul 1, știm că 5 & pi 4 și 7 & pi 4 au ambele o valoare sinusoidală de, dar niciunul nu se află în intervalul & pi, & pi. Pentru aceasta, avem nevoie de unghiul negativ coterminal cu 7 & pi 4: sin 1 () = & pi 4. c. Pentru a evalua cos 1 3, căutăm un unghi în intervalul [0, & pi] cu o valoare de cosinus de 3. Unghiul care satisface acest lucru este cos 1 3 = 5 & pi 6.

6 868 Capitolul 6 Funcții periodice d. Evaluând tan 1 (1), căutăm un unghi în intervalul & pi, & pi cu o valoare tangentă 1. Unghiul corect este tan 1 (1) = & pi Evaluează fiecare dintre următoarele. A. păcatul 1 (1) b. tan 1 (1) c. cos 1 (1) d. cos 1 1 Utilizarea unui calculator pentru a evalua funcțiile trigonometrice inverse Pentru a evalua funcțiile trigonometrice inverse care nu implică unghiurile speciale discutate anterior, va trebui să folosim un calculator sau alt tip de tehnologie. Majoritatea calculatoarelor științifice și a aplicațiilor de emulare a calculatorului au taste sau butoane specifice pentru funcțiile sinus invers, cosinus și tangente. Acestea pot fi etichetate, de exemplu, SIN-1, ARCSIN sau ASIN. În capitolul anterior, am lucrat cu trigonometria pe un triunghi dreptunghiular pentru a rezolva laturile unui triunghi cu o latură și un unghi suplimentar. Folosind funcțiile trigonometrice inverse, putem rezolva unghiurile unui triunghi dreptunghi dat de două laturi și putem folosi un calculator pentru a găsi valorile la câteva zecimale. În aceste exemple și exerciții, răspunsurile vor fi interpretate ca unghiuri și vom folosi & theta ca variabilă independentă. Valoarea afișată pe calculator poate fi în grade sau radiani, deci asigurați-vă că setați modul adecvat aplicației. Exemplul 6.6 Evaluarea sinusului invers pe un calculator Evaluați sin 1 (0,97) folosind un calculator. Solution Because the output of the inverse function is an angle, the calculator will give us a degree value if in degree mode and a radian value if in radian mode. Calculators also use the same domain restrictions on the angles as we are using. In radian mode, sin 1 (0.97) In degree mode, sin 1 (0.97) Note that in calculus and beyond we will use radians in almost all cases. 6.1 Evaluate cos 1 ( 0.4) using a calculator. This content is available for free at

7 Chapter 6 Periodic Functions 869 Given two sides of a right triangle like the one shown in Figure 6.60, find an angle. Figure If one given side is the hypotenuse of length h and the side of length a adjacent to the desired angle is given, use the equation &theta = cos 1 a h.. If one given side is the hypotenuse of length h and the side of length p opposite to the desired angle is given, use the equation &theta = sin 1 p h. 3. If the two legs (the sides adjacent to the right angle) are given, then use the equation &theta = tan 1 p a. Example 6.7 Applying the Inverse Cosine to a Right Triangle Solve the triangle in Figure 6.61 for the angle &theta. Figure 6.61 Solution Because we know the hypotenuse and the side adjacent to the angle, it makes sense for us to use the cosine function. cos &theta = 9 1 &theta = cos 1 ( 9 1 ) &theta 0.77 or about Apply definition of the inverse. Evaluate.

8 870 Chapter 6 Periodic Functions 6. Solve the triangle in Figure 6.6 for the angle &theta. Figure 6.6 Finding Exact Values of Composite Functions with Inverse Trigonometric Functions There are times when we need to compose a trigonometric function with an inverse trigonometric function. In these cases, we can usually find exact values for the resulting expressions without resorting to a calculator. Even when the input to the composite function is a variable or an expression, we can often find an expression for the output. To help sort out different cases, let f (x) and g(x) be two different trigonometric functions belonging to the set and let f 1 (y) and g 1 (y) be their inverses. Evaluating Compositions of the Form f(f(y)) and f(f(x)) For any trigonometric function, f f 1 (y) = y for all y in the proper domain for the given function. This follows from the definition of the inverse and from the fact that the range of f was defined to be identical to the domain of f 1. However, we have to be a little more careful with expressions of the form f 1 f (x). Compositions of a trigonometric function and its inverse sin(sin 1 x) = x for 1 x 1 cos(cos 1 x) = x for 1 x 1 tan(tan 1 x) = x for < x < sin 1 (sin x) = x only for &pi x &pi cos 1 (cos x) = x only for 0 x &pi tan 1 (tan x ) = x only for &pi < x < &pi Is it correct that sin 1 (sin x) = x? No. This equation is correct if x belongs to the restricted domain &pi, &pi, but sine is defined for all real input values, and for x outside the restricted interval, the equation is not correct because its inverse always returns a value in &pi, &pi. The situation is similar for cosine and tangent and their inverses. For example, sin 1 sin 3&pi 4 = &pi 4. This content is available for free at

9 Chapter 6 Periodic Functions 871 Given an expression of the form f 1 (f(&theta)) where f(&theta) = sin &theta, cos &theta, or tan &theta, evaluate. 1. If &theta is in the restricted domain of f, then f 1 ( f (&theta)) = &theta.. If not, then find an angle ϕ within the restricted domain of f such that f (ϕ) = f (&theta). Then f 1 f (&theta) = ϕ. Example 6.8 Using Inverse Trigonometric Functions Evaluate the following: 1. sin 1 sin &pi 3. sin 1 sin &pi 3 3. cos 1 cos &pi 3 4. cos 1 cos &pi 3 Solution a. &pi is in 3 &pi, &pi, so sin 1 sin &pi 3 = &pi 3. b. &pi is not in 3 &pi, &pi, but sin &pi 3 = sin &pi 3, so sin 1 sin &pi 3 = &pi 3. c. &pi 3 is in [0, &pi], so cos 1 cos &pi 3 = &pi 3. d. &pi 3 is not in [0, &pi], but cos &pi 3 = cos &pi 3 because cosine is an even function. e. &pi is in [0, &pi], so cos 1 3 cos &pi 3 = &pi Evaluate tan 1 tan &pi 8 and tan 1 tan 11&pi 9. Evaluating Compositions of the Form f(g(x)) Now that we can compose a trigonometric function with its inverse, we can explore how to evaluate a composition of a trigonometric function and the inverse of another trigonometric function. We will begin with compositions of the form f 1 g(x). For special values of x, we can exactly evaluate the inner function and then the outer, inverse function. However, we can find a more general approach by considering the relation between the two acute angles of a right triangle where one is &theta, making the other &pi &theta. Consider the sine and cosine of each angle of the right triangle in Figure 6.63.

10 87 Chapter 6 Periodic Functions Figure 6.63 relationships Right triangle illustrating the cofunction Because cos &theta = b c = sin &pi &theta, we have sin 1 (cos &theta) = &pi &theta if 0 &theta &pi. If &theta is not in this domain, then we need to find another angle that has the same cosine as &theta and does belong to the restricted domain we then subtract this angle from &pi. Similarly, sin &theta = a c = cos &pi &theta, so cos 1 (sin &theta) = &pi &theta if &pi &theta &pi. These are just the function- cofunction relationships presented in another way. Given functions of the form sin 1 (cos x) and cos 1 (sin x), evaluate them. 1. If x is in [0, &pi], then sin 1 (cos x) = &pi x.. If x is not in [0, &pi], then find another angle y in [0, &pi] such that cos y = cos x. 3. If x is in &pi, &pi, then cos 1 (sin x) = &pi x. sin 1 (cos x) = &pi y 4. If x is not in &pi, &pi, then find another angle y in &pi, &pi such that sin y = sin x. cos 1 (sin x) = &pi y Example 6.9 Evaluating the Composition of an Inverse Sine with a Cosine Evaluate sin 1 cos 13&pi 6 a. by direct evaluation. b. by the method described previously. Solution a. Here, we can directly evaluate the inside of the composition. cos( 13&pi 6 ) = cos(&pi 6 + &pi) = cos( &pi 6 ) = 3 Now, we can evaluate the inverse function as we did earlier. This content is available for free at

11 Chapter 6 Periodic Functions 873 b. We have x = 13&pi 6, y = &pi 6, and sin 1 3 = &pi 3 sin 1 cos 13&pi 6 = &pi &pi 6 = &pi Evaluate cos 1 sin 11&pi 4. Evaluating Compositions of the Form f(g(x)) To evaluate compositions of the form f g 1 (x), where f and g are any two of the functions sine, cosine, or tangent and x is any input in the domain of g 1, we have exact formulas, such as sin cos 1 x = 1 x. When we need to use them, we can derive these formulas by using the trigonometric relations between the angles and sides of a right triangle, together with the use of Pythagoras s relation between the lengths of the sides. We can use the Pythagorean identity, sin x + cos x = 1, to solve for one when given the other. We can also use the inverse trigonometric functions to find compositions involving algebraic expressions. Example 6.30 Evaluating the Composition of a Sine with an Inverse Cosine Find an exact value for sin cos Solution Beginning with the inside, we can say there is some angle such that &theta = cos 1 4 5, which means cos &theta = 4 5, and we are looking for sin &theta. We can use the Pythagorean identity to do this. sin &theta + cos &theta = 1 sin &theta + ( 4 5 ) = 1 sin &theta = Use our known value for cosine. Solve for sine. sin &theta = ± 9 5 = ± 3 5 Since &theta = cos is in quadrant I, sin &theta must be positive, so the solution is 3. See Figure

12 874 Chapter 6 Periodic Functions Figure 6.64 Right triangle illustrating that if cos &theta = 4 5, then sin &theta = 3 5 We know that the inverse cosine always gives an angle on the interval [0, &pi], so we know that the sine of that angle must be positive therefore sin cos = sin &theta = Evaluate cos tan Example 6.31 Evaluating the Composition of a Sine with an Inverse Tangent Find an exact value for sin tan Solution While we could use a similar technique as in Example 6.9, we will demonstrate a different technique here. From the inside, we know there is an angle such that tan &theta = 7. We can envision this as the opposite and adjacent 4 sides on a right triangle, as shown in Figure Figure 6.65 A right triangle with two sides known Using the Pythagorean Theorem, we can find the hypotenuse of this triangle. This content is available for free at

13 Chapter 6 Periodic Functions = hypotenuse hypotenuse = 65 Now, we can evaluate the sine of the angle as the opposite side divided by the hypotenuse. This gives us our desired composition. sin &theta = 7 65 sin tan = sin &theta = 7 65 = Evaluate cos sin Example 6.3 Finding the Cosine of the Inverse Sine of an Algebraic Expression Find a simplified expression for cos sin 1 x 3 for 3 x 3. Solution We know there is an angle &theta such that sin &theta = x 3. sin &theta + cos &theta = 1 Use the Pythagorean Theorem. 3 x + cos &theta = 1 Solve for cosine. cos &theta = 1 x 9 cos&theta = ± 9 x 9 = ± 9 x 3 Because we know that the inverse sine must give an angle on the interval &pi, &pi, we can deduce that the cosine of that angle must be positive. cos sin 1 x 3 = 9 x Find a simplified expression for sin tan 1 (4x) for 1 4 x 1 4.

14 876 Chapter 6 Periodic Functions Access this online resource for additional instruction and practice with inverse trigonometric functions. Evaluate Expressions Involving Inverse Trigonometric Functions ( Visit this website ( for additional practice questions from Learningpod. This content is available for free at

15 Chapter 6 Periodic Functions EXERCISES Verbal 106. Why do the functions f (x) = sin 1 x and g(x) = cos 1 x have different ranges? Since the functions y = cos x and y = cos 1 x are inverse functions, why is cos 1 cos &pi 6 not equal to &pi 6? Explain the meaning of &pi 6 = arcsin(0.5) Most calculators do not have a key to evaluate sec 1 (). Explain how this can be done using the cosine function or the inverse cosine function Why must the domain of the sine function, sin x, be restricted to &pi, &pi for the inverse sine function to exist? Discuss why this statement is incorrect: arccos(cos x) = x for all x. Determine whether the following statement is true or false and explain your answer: arccos( x) = &pi arccos x. Algebraic For the following exercises, evaluate the expressions sin sin 1 1 cos cos 1 tan 1 (1) tan 1 3 tan 1 ( 1) 10. tan tan For the following exercises, use a calculator to evaluate each expression. Express answers to the nearest hundredth cos 1 ( 0.4) arcsin(0.3) 14.

16 878 Chapter 6 Periodic Functions arccos cos 1 (0.8) tan 1 (6) For the following exercises, find the angle &theta in the given right triangle. Round answers to the nearest hundredth For the following exercises, find the exact value, if possible, without a calculator. If it is not possible, explain why sin 1 (cos(&pi)) tan 1 sin(&pi) cos 1 sin &pi 3 tan 1 sin &pi 3 sin 1 cos &pi tan 1 sin 4&pi 3 sin 1 sin 5&pi 6 tan 1 sin 5&pi cos sin sin cos This content is available for free at

17 Chapter 6 Periodic Functions sin tan cos tan cos sin 1 1 For the following exercises, find the exact value of the expression in terms of x with the help of a reference triangle. 14. tan sin 1 (x 1) 143. sin cos 1 (1 x) 144. cos sin 1 1 x cos tan 1 (3x 1) tan sin 1 x + 1 Extensions For the following exercises, evaluate the expression without using a calculator. Give the exact value sin 1 1 cos 1 + sin 1 3 cos 1 (1) cos 1 3 sin 1 + cos 1 1 sin 1 (0) For the following exercises, find the function if sin t = x x cos t sec t cot t cos sin 1 x x tan 1 x x + 1 Graphical Graph y = sin 1 x and state the domain and range of the function. Graph y = arccos x and state the domain and range of the function. Graph one cycle of y = tan 1 x and state the domain and range of the function. For what value of x does sin x = sin 1 x? Use a graphing calculator to approximate the answer. 157.

18 880 Chapter 6 Periodic Functions For what value of x does cos x = cos 1 x? Use a graphing calculator to approximate the answer. Real-World Applications 158. Suppose a 13-foot ladder is leaning against a building, reaching to the bottom of a second-floor window 1 feet above the ground. What angle, in radians, does the ladder make with the building? 159. Suppose you drive 0.6 miles on a road so that the vertical distance changes from 0 to 150 feet. What is the angle of elevation of the road? 160. An isosceles triangle has two congruent sides of length 9 inches. The remaining side has a length of 8 inches. Find the angle that a side of 9 inches makes with the 8-inch side Without using a calculator, approximate the value of arctan(10,000). Explain why your answer is reasonable. 16. A truss for the roof of a house is constructed from two identical right triangles. Each has a base of 1 feet and height of 4 feet. Find the measure of the acute angle adjacent to the 4-foot side The line y = 3 x passes through the origin in the x,y-plane. What is the measure of the angle that the line makes with 5 the positive x-axis? 164. The line y = 3 x passes through the origin in the x,y-plane. What is the measure of the angle that the line makes with 7 the negative x-axis? 165. What percentage grade should a road have if the angle of elevation of the road is 4 degrees? (The percentage grade is defined as the change in the altitude of the road over a 100-foot horizontal distance. For example a 5% grade means that the road rises 5 feet for every 100 feet of horizontal distance.) 166. A 0-foot ladder leans up against the side of a building so that the foot of the ladder is 10 feet from the base of the building. If specifications call for the ladder's angle of elevation to be between 35 and 45 degrees, does the placement of this ladder satisfy safety specifications? 167. Suppose a 15-foot ladder leans against the side of a house so that the angle of elevation of the ladder is 4 degrees. How far is the foot of the ladder from the side of the house? This content is available for free at

19 Chapter 6 Periodic Functions 881 CHAPTER 6 REVIEW KEY TERMS amplitude the vertical height of a function the constant A appearing in the definition of a sinusoidal function arccosine another name for the inverse cosine arccos x = cos 1 x arcsine another name for the inverse sine arcsin x = sin 1 x arctangent another name for the inverse tangent arctan x = tan 1 x inverse cosine function the function cos 1 x, which is the inverse of the cosine function and the angle that has a cosine equal to a given number inverse sine function the function sin 1 x, which is the inverse of the sine function and the angle that has a sine equal to a given number inverse tangent function the function tan 1 x, which is the inverse of the tangent function and the angle that has a tangent equal to a given number midline the horizontal line y = D, where D appears in the general form of a sinusoidal function periodic function a function f (x) that satisfies f (x + P) = f (x) for a specific constant P and any value of x phase shift the horizontal displacement of the basic sine or cosine function the constant C B sinusoidal function any function that can be expressed in the form f (x) = Asin(Bx C) + D or f (x) = Acos(Bx C) + D KEY EQUATIONS Sinusoidal functions f (x) = Asin(Bx C) + D f (x) = Acos(Bx C) + D Shifted, compressed, and/or stretched tangent function y = A tan(bx C) + D Shifted, compressed, and/or stretched secant function y = A sec(bx C) + D Shifted, compressed, and/or stretched cosecant function y = A csc(bx C) + D Shifted, compressed, and/or stretched cotangent function y = A cot(bx C) + D KEY CONCEPTS 6.1 Graphs of the Sine and Cosine Functions Periodic functions repeat after a given value. The smallest such value is the period. The basic sine and cosine functions have a period of &pi. The function sin x is odd, so its graph is symmetric about the origin. The function cos x is even, so its graph is symmetric about the y-axis.

20 88 Chapter 6 Periodic Functions The graph of a sinusoidal function has the same general shape as a sine or cosine function. In the general formula for a sinusoidal function, the period is P = &pi. See Example 6.1. B In the general formula for a sinusoidal function, A represents amplitude. If A > 1, the function is stretched, whereas if A < 1, the function is compressed. See Example 6.. The value C B in the general formula for a sinusoidal function indicates the phase shift. See Example 6.3. The value D in the general formula for a sinusoidal function indicates the vertical shift from the midline. See Example 6.4. Combinations of variations of sinusoidal functions can be detected from an equation. See Example 6.5. The equation for a sinusoidal function can be determined from a graph. See Example 6.6 and Example 6.7. A function can be graphed by identifying its amplitude and period. See Example 6.8 and Example 6.9. A function can also be graphed by identifying its amplitude, period, phase shift, and horizontal shift. See Example Sinusoidal functions can be used to solve real-world problems. See Example 6.11, Example 6.1, and Example Graphs of the Other Trigonometric Functions The tangent function has period &pi. f (x) = Atan(Bx C) + D is a tangent with vertical and/or horizontal stretch/compression and shift. See Example 6.14, Example 6.15, and Example The secant and cosecant are both periodic functions with a period of &pi. f (x) = Asec(Bx C) + D gives a shifted, compressed, and/or stretched secant function graph. See Example 6.17 and Example f (x) = Acsc(Bx C) + D gives a shifted, compressed, and/or stretched cosecant function graph. See Example 6.19 and Example 6.0. The cotangent function has period &pi and vertical asymptotes at 0, ± &pi, ± &pi. The range of cotangent is (, ), and the function is decreasing at each point in its range. The cotangent is zero at ± &pi, ± 3&pi. f (x) = Acot(Bx C) + D is a cotangent with vertical and/or horizontal stretch/compression and shift. See Example 6.1 and Example 6.. Real-world scenarios can be solved using graphs of trigonometric functions. See Example Inverse Trigonometric Functions An inverse function is one that undoes another function. The domain of an inverse function is the range of the original function and the range of an inverse function is the domain of the original function. Because the trigonometric functions are not one-to-one on their natural domains, inverse trigonometric functions are defined for restricted domains. For any trigonometric function f (x), if x = f 1 (y), then f (x) = y. However, f (x) = y only implies x = f 1 (y) if x is in the restricted domain of f. See Example 6.4. Special angles are the outputs of inverse trigonometric functions for special input values for example, &pi 4 = tan 1 (1) and &pi 6 = sin 1 1. See Example 6.5. This content is available for free at

21 Chapter 6 Periodic Functions 883 A calculator will return an angle within the restricted domain of the original trigonometric function. See Example 6.6. Inverse functions allow us to find an angle when given two sides of a right triangle. See Example 6.7. In function composition, if the inside function is an inverse trigonometric function, then there are exact expressions for example, sin cos 1 (x) = 1 x. See Example 6.8. If the inside function is a trigonometric function, then the only possible combinations are sin 1 (cos x) = &pi x if 0 x &pi and cos 1 (sin x) = &pi x if &pi x &pi. See Example 6.9 and Example When evaluating the composition of a trigonometric function with an inverse trigonometric function, draw a reference triangle to assist in determining the ratio of sides that represents the output of the trigonometric function. See Example When evaluating the composition of a trigonometric function with an inverse trigonometric function, you may use trig identities to assist in determining the ratio of sides. See Example 6.3. CHAPTER 6 REVIEW EXERCISES Graphs of the Sine and Cosine Functions For the following exercises, graph the functions for two periods and determine the amplitude or stretching factor, period, midline equation, and asymptotes f (x) = 3cos x f (x) = 1 4 sin x 170. f (x) = 3cos x + &pi f (x) = sin x &pi f (x) = 3sin x &pi f (x) = cos x 4&pi f (x) = 6sin 3x &pi f (x) = 100sin(50x 0) Graphs of the Other Trigonometric Functions For the following exercises, graph the functions for two periods and determine the amplitude or stretching factor, period, midline equation, and asymptotes f (x) = tan x f (x) = tan x &pi f (x) = 3tan(4x)

22 884 Chapter 6 Periodic Functions 179. f (x) = 0.cos(0.1x) For the following exercises, graph two full periods. Identify the period, the phase shift, the amplitude, and asymptotes f (x) = 1 3 sec x 181. f (x) = 3cot x 18. f (x) = 4csc(5x) 183. f (x) = 8sec 1 4 x 184. f (x) = 3 csc 1 x 185. f (x) = csc(x + &pi) For the following exercises, use this scenario: The population of a city has risen and fallen over a 0-year interval. Its population may be modeled by the following function: y = 1, ,000sin 0.68x), where the domain is the years since 1980 and the range is the population of the city What is the largest and smallest population the city may have? 187. Graph the function on the domain of [0, 40] What are the amplitude, period, and phase shift for the function? 189. Over this domain, when does the population reach 18,000? 13,000? 190. What is the predicted population in 007? 010? For the following exercises, suppose a weight is attached to a spring and bobs up and down, exhibiting symmetry Suppose the graph of the displacement function is shown in Figure 6.66, where the values on the x-axis represent the time in seconds and the y-axis represents the displacement in inches. Give the equation that models the vertical displacement of the weight on the spring. This content is available for free at

23 Chapter 6 Periodic Functions 885 Figure At time = 0, what is the displacement of the weight? 193. At what time does the displacement from the equilibrium point equal zero? 194. What is the time required for the weight to return to its initial height of 5 inches? In other words, what is the period for the displacement function? Inverse Trigonometric Functions For the following exercises, find the exact value without the aid of a calculator sin 1 (1) 196. cos tan 1 ( 1) 198. cos sin sin 1 cos &pi cos 1 tan 3&pi 4 0. sin sec 1 3 5

24 886 Chapter 6 Periodic Functions 03. cot sin tan cos sin cos 1 x x Graph f (x) = cos x and f (x) = sec x on the interval [0, &pi) and explain any observations. 07. Graph f (x) = sin x and f (x) = csc x and explain any observations. 08. Graph the function f (x) = 1 x 3! x3 + 5! x5 7! x7 on the interval [ 1, 1] and compare the graph to the graph of f (x) = sin x on the same interval. Describe any observations. CHAPTER 6 PRACTICE TEST For the following exercises, sketch the graph of each function for two full periods. Determine the amplitude, the period, and the equation for the midline. 09. f (x) = 0.5sin x 10. f (x) = 5cos x 11. f (x) = 5sin x 1. f (x) = sin(3x) 13. f (x) = cos x + &pi f (x) = 5sin 3 x &pi f (x) = 3cos 1 3 x 5&pi f (x) = tan(4x) 17. f (x) = tan x 7&pi f (x) = &picos(3x + &pi) 19. f (x) = 5csc(3x) 0. f (x) = &pisec &pi x This content is available for free at

25 Chapter 6 Periodic Functions f (x) = csc x + &pi 4 3 For the following exercises, determine the amplitude, period, and midline of the graph, and then find a formula for the function.. Give in terms of a sine function. 3. Give in terms of a sine function.

26 888 Chapter 6 Periodic Functions 4. Give in terms of a tangent function. For the following exercises, find the amplitude, period, phase shift, and midline. 5. y = sin &pi 6 x + &pi 3 6. y = 8sin 7&pi 6 x + 7&pi The outside temperature over the course of a day can be modeled as a sinusoidal function. Suppose you know the temperature is 68 F at midnight and the high and low temperatures during the day are 80 F and 56 F, respectively. Assuming t is the number of hours since midnight, find a function for the temperature, D, in terms of t. 8. Water is pumped into a storage bin and empties according to a periodic rate. The depth of the water is 3 feet at its lowest at :00 a.m. and 71 feet at its highest, which occurs every 5 hours. Write a cosine function that models the depth of the water as a function of time, and then graph the function for one period. For the following exercises, find the period and horizontal shift of each function. 9. g(x) = 3tan(6x + 4) 30. n(x) = 4csc 5&pi 3 x 0&pi Write the equation for the graph in Figure 6.67 in terms of the secant function and give the period and phase shift. This content is available for free at

27 Chapter 6 Periodic Functions 889 Figure If tan x = 3, find tan( x). 33. If sec x = 4, find sec( x). For the following exercises, graph the functions on the specified window and answer the questions. 34. Graph m(x) = sin(x) + cos(3x) on the viewing window [ 10, 10] by [ 3, 3]. Approximate the graph s period. 35. Graph n(x) = 0.0sin(50&pix) on the following domains in x : [0, 1] and [0, 3]. Suppose this function models sound waves. Why would these views look so different? 36. Graph f (x) = sin x x on 0.5, 0.5 and explain any observations. For the following exercises, let f (x) = 3 5 cos(6x). 37. What is the largest possible value for f (x)? 38. What is the smallest possible value for f (x)? 39. Where is the function increasing on the interval [0, &pi]? For the following exercises, find and graph one period of the periodic function with the given amplitude, period, and phase shift. 40. Sine curve with amplitude 3, period &pi 3, and phase shift (h, k) = &pi 4, 41. Cosine curve with amplitude, period &pi 6, and phase shift (h, k) = &pi 4, 3 For the following exercises, graph the function. Describe the graph and, wherever applicable, any periodic behavior, amplitude, asymptotes, or undefined points. 4. f (x) = 5cos(3x) + 4sin(x)

28 890 Chapter 6 Periodic Functions 43. f (x) = e sint For the following exercises, find the exact value. 44. sin tan cos cos 1 sin(&pi) 48. cos 1 tan 7&pi cos sin 1 (1 x) 50. cos 1 ( 0.4) 51. cos tan 1 x For the following exercises, suppose sin t = 5. tan t 53. csc t x x Given Figure 6.68, find the measure of angle &theta to three decimal places. Answer in radians. Figure 6.68 For the following exercises, determine whether the equation is true or false. 55. arcsin sin 5&pi 6 = 5&pi arccos cos 5&pi 6 = 5&pi 6 This content is available for free at

29 Chapter 6 Periodic Functions The grade of a road is 7%. This means that for every horizontal distance of 100 feet on the road, the vertical rise is 7 feet. Find the angle the road makes with the horizontal in radians.


6.3: Inverse Trigonometric Functions

The inverse trigonometric functions

The command restart cleans up Maple's memory completely. In this way we start with a clean worksheet.

In Maple the inverse trigonometric functions (see: Stewart, 1.6) are already built in.

Look at example 13 of 1.6:

Note the difference between arcsin(1/2) și arcsin(0.5) :

Also example 14 of 1.6 is no big deal for Maple:

The exercises 63 (a) and (b), 64 (a) and 66 (b) of 1.6 also don't lead to any difficulties:

Also the exercies 67 (a) and (b) and 68 (a) can be done without any problem:

Exercise 68 (b) leads to some more problems:

However, if we help Maple a little bit, then we succeed. We have: cos(2x)=1-2sin^2(x) . So:

& gt cos(2*arcsin(5/13))=1-2*(sin(arcsin(5/13)))^2

The exercises 69 up to and including 71 can be done without any problem:

Exercise 72 leads to a difficulty:

Again, if we help Maple a little bit, then we succeed. We have: sin(2x)=2sin(x)cos(x) . Hence:

& gt sin(2*arccos(x))=2*sin(arccos(x))*cos(arccos(x))

On the interval [-Pi/2,Pi/2] the functions y=sin(x) și y=arcsin(x) are each other inverses. The garphs are reflected in the line y=x .

Exercise 76 is also interesting:

For all X pentru care arcsin(x) exists, that is for -1<=x<=1 , we have: -Pi/2<=arcsin(x)<=Pi/2 . Then we have: sin(arcsin(x))=x . However, Maple also produces the value X pentru X outside the interval [-1,1] .

Although sin(x) exists for all values of X , arcsin(sin(x)) only equals X on the interval -Pi/2<=x<=Pi/2 .

In 3.6 of Stewart the derivatives of the inverse trigonometric functions are derived:

& gt diff(arcsin(x),x)diff(arccos(x),x)diff(arctan(x),x)

& gt D(arcsin)D(arccos)D(arctan)

The latter commands produce functions with the advantage, for instance, that you can compute values of the function easily:

This can also be done by differentiating the expresie arcsin(x) cu privire la X and then substitute the value 1/2 pentru X :

Still this can be simplified to 1/[2(1+x^2)] . Check:

This implies that the function f(x)=arctan(x)-2arctan(x-sqrt(1+x^2)) is constant (the derivative equals zero):

& gt f:=x->arctan(x)-2*arctan(x-sqrt(1+x^2))

Apparently we have: arctan(x)-2arctan(x-sqrt(1+x^2))=Pi/2 for all X . This is illustrated by the following graph:


Principal Value of Inverse Trigonometric Functions

Let us recall that the principal value of a inverse trigonometric function at a point X is the value of the inverse function at the point X , which lies in the range of principal branch. For instance, the principal value of cos −1 (√3/2) is π/6. Since π /6 ∈ [0, π].

When there are two values, one is positive and the other is negative such that they are numerically equal, then the principal value of the inverse trigonometric function is the positive one. Now, we list out the principal domain și range de trigonometric functions si domain și range de inverse trigonometric functions .


Example 4.12

Find the principal value of

Soluţie

(i) Let cosec -1 (-1) = y . Then, cosec y = -1

Din moment ce range of principal value branch of y= cosec -1 x is [- π / 2 , π / 2] <0>and


Thus, the principal value of cosec -1 (-1) is – π/2 .

(ii) Let y = sec -1 (-2) . Then, sec y = -2 .

By definition, the range of the principal value branch de y = sec -1 X is [0,π ] <π 2="">.

Let us find y in [0,π ] – <π / 2> such that sec y = -2 .

Now, cos y =- 1/2 = -cos π/3 = cos (π – π/3 ) = cos 2π/3 . Therefore, y = 2π/3 .

Since 2π/3 ∈ [0, π ] <π 2="">, the principal value of sec -1 (-2) is 2π/3 .

Example 4.13

Find the value of sec -1 (- 2√3 / 2)

Soluţie


Example 4.14

If cot -1 ( 1/7 ) = θ , find the value of cos θ .

Soluţie

By definition, cot −1 x ∈ (0, π ) .

Therefore, cot -1 (1/7) = θ implies cot θ ∈ (0,π ) .


But cot -1 ( 1/7 ) = θ implies cot θ = 1/7 and hence tan θ = 7 and θ is acute.

Using tan θ = 7/1 , we construct a right triangle as shown . Then, we have, cosθ = 1/ 5√2 .

Example 4.15

S how that , X > 1 .


Differentiating Inverse Trigonometric Functions

I seem to recall my professor forgetting how to deriving this. This is what I showed him:

Since #tany = x/1# and #sqrt(1^2 + x^2) = sqrt(1+x^2)# , #sec^2y = (sqrt(1+x^2)/1)^2 = 1+x^2#

I think he originally intended to do this:

#y=cot^(-1)x#
#cot y=x#
#-csc^2y (dy)/(dx)=1#
#(dy)/(dx)=-1/(csc^2y)#
#(dy)/(dx)=-1/(1+cot^2y)# using trig identity: #1+cot^2 theta=csc^2 theta#
#(dy)/(dx)=-1/(1+x^2)# using line 2: #cot y = x#

The trick for this derivative is to use an identity that allows you to substitute #x# back in for #y# because you don't want leave the derivative as an implicit function substituting #x# back in will make the derivative an explicit function.

Most people remember this
#f'(x)=1/>#
as one of derivative formulas however, you can derive it by implicit differentiation.

Let us derive the derivative.
Let #y=sin^<-1>x# .

By rewriting in terms of sine,
#siny=x#

By implicitly differentiating with respect to #x# ,
#cosy cdot /=1#

By dividing by #cosy# ,
#/=1/cosy#


Get help from the ultimate trig problem solver ‒ Lumist

It is a smart choice to utilize useful resources when solving inverse trig functions. Want to know how to solve inverse trig functions? Lumist, this trig problem solver app is particularly useful for algebraic, calculus and trigonometric equations/problems. Some of the math content supported by Lumist, but not limited to, are numbers, decimals, fractions, roots and powers, algebraic expressions, complex numbers, quadratic equations/inequations. The more advanced concepts are linear equations/inequations, absolute equations/inequations, calculus, binomial theorem, and trigonometric equations.

The Lumist app is undoubtedly one of the best apps you will encounter to help you with math problems. This app uses the camera on your phone coupled with augmented reality to solve inverse trig functions. All you need to do is to point your phone’s camera at the paper containing the equation or math problem you are looking to solve, and it will give you the answer by actually reading and recognizing the problem itself with AI Tech. It reads the problem and solves it instantly, and all you need is your device’s camera.

Explore animated homework answer videos with key concepts, crafted to increase your learning stamina with interactive Q&A features. Both Algebra 2 & pre-calculus will be supported in the app and help you master the methods of how to do inverse trig functions.

There are also tons of trigonometry video tutorials provided on Lumist youtube channel. It provides plenty of examples and practice problems such as inverse sine, cosine, and tangent functions.

Learn how to solve Inverse Trig Function with a trig problem solver app and download our app. Download link:


Priveste filmarea: Me Salva! TRG13 - Trigonometria - Funções inversas:arcoseno, arcocosseno, arcotangente (August 2022).