Articole

6.5: Operele și algebrele lor - Matematică

6.5: Operele și algebrele lor - Matematică



We are searching data for your request:

Forums and discussions:
Manuals and reference books:
Data from registers:
Wait the end of the search in all databases.
Upon completion, a link will appear to access the found materials.

În teorema 6.77 am descris modul în care decorarea cospanelor construiește o categorie de hipergraf dintr-un functor monoidal simetric. Apoi am explorat cum funcționează acest lucru în cazul în care funcționarul de decorare este cumva „toate graficele de circuite pe un set de noduri”.

În această carte, am dedicat o mare atenție diferitelor tipuri de teorii compoziționale, de la precomenzi monoidale la categorii închise compacte până la categorii de hipergraf. Cu toate acestea, pentru o aplicație pe care o aveți cândva în minte, poate fi cazul în care niciuna dintre aceste teorii nu este suficientă. Aveți nevoie de o structură diferită, personalizată pentru o anumită situație. De exemplu, în [VSL15] autorii au dorit să compună sisteme dinamice continue cu proprietăți teoretice de control și și-au dat seama că, pentru ca feedback-ul să aibă sens, diagramele de cablare nu ar putea implica ceea ce au numit „trecerea firelor”.

Deci, pentru a închide discuția noastră despre structurile compoziționale, vrem să schițăm rapid ceva ce putem folosi ca un fel de structură meta-compozițională, cunoscută sub numele de operadă. Am văzut în secțiunea 6.4.3 că putem construi circuite electrice dintr-un functor monoidal simetric FinSet A stabilit. În mod similar, vom vedea că putem construi exemple de noi structuri algebrice din funcționarii operadului O → A stabilit.

Operadele proiectează schemele de cablare

Înțelegerea faptului că circuitele sunt morfisme într-o categorie de hipergraf este utilă: înseamnă că putem aduce mecanismele teoriei categoriilor la înțelegerea circuitelor electrice. De exemplu, putem construi funcționori care exprimă compoziționalitatea semanticii circuitului, adică cum să derivăm funcționalitatea întregului din funcționalitatea și tiparul de interacțiune al pieselor. Sau putem folosi baza teoretică a categoriei pentru a relaționa circuite cu alte tipuri de sisteme de rețea, cum ar fi graficele de flux de semnal. În cele din urmă, teoremele de bază ale coerenței pentru categoriile monoidale și categoriile închise compacte ne spun că diagramele de cablare oferă un raționament sunet și complet în aceste setări.

Cu toate acestea, un rezultat poate nesatisfăcător este că categoria hipergrafului introduce artefacte precum domeniul și codomainul unui circuit, care nu sunt inerente structurii circuitelor sau compoziției lor. Circuitele au o singură interfață limită, nu „domenii” și „codomains”. Acest lucru nu înseamnă că modelul de mai sus nu este util: în multe aplicații, un spațiu vectorial nu are o bază preferată, dar este adesea util să alegeți unul astfel încât să putem folosi matrici (sau grafice de flux de semnal!). Dar ar merita să existe un model teoretic de categorie care să reprezinte mai direct structura compozițională a circuitelor. În general, dorim ca modelul teoretic al categoriei să se potrivească aplicației dorite ca o mănușă. Să schițăm rapid cum se poate face acest lucru.

Să revenim la schemele de cablare pentru o secundă. Am văzut că diagramele de cablare pentru categoriile de hipergraf arată în principiu astfel:

Rețineți că dacă ați avea o cutie cu A și B în stânga și D în partea dreaptă, puteți conecta diagrama de mai sus chiar în interiorul acesteia și puteți obține un nou circuit deschis. Aceasta este mișcarea de bază a operadelor.

Dar înainte de a explica acest lucru, să ajungem acolo unde am spus că vrem să mergem: la un model în care nu există porturi în stânga și porturi în dreapta, există doar porturi. Vrem un model mai succint de compoziție pentru schemele de circuite; ceva care arată mai mult așa:

Vedeți cum diagramele Eq. (6,89) și echiv. (6.90) sunt de fapt exact la fel în

termenii modelului de interconectare? Singura diferență este că acesta din urmă nu are distincție stânga / dreapta: am pierdut exact ceea ce am vrut să pierdem.

Costul este că „cutiile” f , g, h, k în ec. (6.90) nu mai au o distincție stânga / dreapta; sunt doar cercuri acum. Acest lucru nu ar fi rău, cu excepția faptului că înseamnă că nu mai pot reprezenta morfisme într-o categorie - așa cum se obișnuia mai sus, în ecuație. (6.89) deoarece morfismele dintr-o categorie prin definiție au un domeniu și un domeniu de cod. Noile noastre cercuri nu au o astfel de distincție. Deci, acum avem nevoie de un mod cu totul nou de a ne gândi categoric la „cutii”: dacă nu mai sunt morfisme într-o categorie, care sunt acestea? Răspunsul se găsește în teoria operelor.

Pentru a înțelege operele, vom descoperi că trebuie să parcurgem una dintre schimbările de nivel despre care am discutat prima dată în secțiunea 1.4.5. Observați că, pentru cospanele decorate, definim un hipergraf categorie folosind un monoidal simetric functor. Aceasta amintește de scurta noastră discuție despre teoriile algebrice din secțiunea 5.4.2, unde am definit ceva numit teoria monoizilor ca un prop M și definim monoizii folosind funcționorii M → A stabilit; vezi Remarca 5.74.

În același mod, putem vizualiza categoria Cospan (_ {FinSet} ) ca un fel de „teorie a categoriilor de hipergraf”, și astfel definim categoriile de hipergraf ca funcții Cospan (_ {FinSet} ) → A stabilit.

Deci asta este ideea. O operadă O va defini o teorie sau o gramatică a compoziției și funcționarii operadei O → A stabilit, cunoscut sub numele de O-algebre, va descrie anumite aplicații care se supun acelei gramatici.

Definiție aspră 6.91.

Pentru a specifica un operadă O,

(i) se specifică o colecție T, ale cărui elemente se numesc tipuri;

(ii) pentru fiecare tuplu (t(_{1}), ..., t (_ {n} ),t) de tipuri, se specifică un set O (t(_{1}), ..., t (_ {n} );t), ale cărui elemente se numesc operații de aritate (t(_{1}), . , t (_ {n} ); t);

(iii) pentru fiecare pereche de tupluri (s(_{1}), ..., s (_ {m} ), t(_{eu si (t(_{1}), ..., t (_ {n} ), t), se specifică o funcție

◦ (_ {i} ): O (s(_{1}), ..., s (_ {m} ); t (_ {i} )) × O (t(_{1}), ..., t (_ {n} ); t) → O (t(_{1}), ..., t (_ {i-1} ), s(_{1}), ..., s (_ {m} ), t (_ {i + 1} ), ..., t (_ {n} ); t);

numit substituţie; și

(iv) pentru fiecare tip t, se specifică un ID de operație (_ {t} ) ( in ) O(t ; t) numit operațiunea de identitate.

Acestea trebuie să respecte legile generalizate de identitate și asociativitate.

Să ignorăm tipurile pentru o clipă și să ne gândim la ce modelează această structură. Intuiția este că o operadă constă din, pentru fiecare n, un set de operații de aritate n adică toate operațiile care acceptă n argumente. Dacă facem o operație f de aritate m, și conectați ieșirea la eu argumentul unei operații g de aritate n, ar trebui să facem o operație de aritate m + n - 1: avem m argumente de completat m, iar restul n - 1 argumente de completat m. Ce operație de aritatem + n - 1 primim? Acest lucru este descris de funcția de substituire ◦ (_ {i} ), care spune că obținem operația f ◦ (_ {i} )g (eu nu(m + n - 1). Condițiile de coerență spun că aceste funcții ◦ (_ {i} ) surprind următoarea imagine intuitivă:

Tipurile ne permit apoi să specificăm, bine, tipurile de intrări de argumente pe care le ia fiecare funcție. Deci, prepararea ceaiului este o operație cu 2 arii, o operație cu arity 2, pentru că necesită două lucruri. Pentru a face ceai aveți nevoie de apă caldă și aveți nevoie de niște frunze de ceai.

Exemplul 6.92.

Gramaticile fără context sunt pentru operade, precum graficele pentru categorii. Să schițăm ce înseamnă asta. În primul rând, o gramatică fără context este o modalitate de a descrie un anumit set de „categorii sintactice” care pot fi formate dintr-un set de simboluri. De exemplu, în limba engleză avem categorii sintactice precum substantive, determinanți, adjective, verbe, fraze nominale, fraze prepoziționale, propoziții etc. Simbolurile sunt cuvinte, de ex. pisică, câine, urmărește.

Pentru a defini o gramatică fără context pe un anumit alfabet, se specifică unele reguli de producție, care spun cum să formați o entitate într-o anumită categorie sintactică dintr-o grămadă de entități din alte categorii sintactice. De exemplu, putem forma o sintagmă nominală dintr-un determinant (cel), un adjectiv (fericit) și un substantiv (băiat). Gramaticile fără context sunt importante atât în ​​lingvistică, cât și în informatică. În primele, ele reprezintă un mod de bază de a vorbi despre structura propozițiilor în limbile naturale. În cele din urmă, acestea sunt cruciale atunci când proiectează parsere pentru limbaje de programare.

Deci, la fel ca graficele prezintă categorii libere, gramaticile fără context prezintă operade libere. Această idee a fost observată pentru prima dată în [HMP98].

Operați din categorii monoidale simetrice

Vom vedea în Definiția 6.97 că o clasă mare de operade provin din categorii monoidale simetrice. Înainte de a explica acest lucru, oferim câteva exemple. Poate că cea mai importantă operă este cea a A stabilit.

Exemplul 6.93.

Operada A stabilit de seturi are

(i) Seturi X ca tipuri.

(ii) Funcții X(_{1}) × ··· × X (_ {n} ) →Da ca operații de aritate (X(_{1}), ..., X (_ {n} ); Da).

(iii) Înlocuire definită de

(g ◦ (_ {i} )f )(X(_{1}), ..., X (_ {i-1} ), w(_{1}), ..., w (_ {m} ), X (_ {i + 1} ), ..., X (_ {n} ))
= g (X(_{1}), ..., X (_ {i-1} ), f (w(_{1}), ..., w (_ {m} )), X (_ {i + 1} ), ..., X (_ {n} )

Unde f (în) A stabilit(W(_{1}), ..., W (_ {m} ); X (_ {i} )), g (în) A stabilit(X(_{1}), ..., X (_ {n} ); Da), și, prin urmare g ◦ (_ {i} ) f este o funcție

(g ◦ (_ {i} ) f ): X(_{1}) × ··· × X (_ {i-1} ) ×W(_{1}) × ··· × W (_ {m} ) × X (_ {i + 1} ) × ··· × X (_ {n} ) →Da

(iv) ID-ul identităților (_ {X} ) ( in ) A stabilit(X ; X) sunt date de funcția de identitate id (_ {X} ): X X.

Apoi oferim un exemplu care ne amintește la ce serveau toate aceste lucruri de operă: schemele de cablare.

Exemplul 6.94.

Operada Cospan a cospanelor cu set finit are

(i) Numere naturale A ( in ) ( mathbb {N} ) ca tipuri.

(ii) Cospani A ( underline {_ {1}} ) + ··· + A ( underline {_ {n}} ) → p b de mulțimi finite ca operații de aritate (A(_{1}), ..., A (_ {n} ); b).

(iii) Înlocuire definită prin împingere.

(iv) ID-ul identităților (_ {a} ) ( in ) A stabilit(A; A) tocmai dat de identitatea cospan ( underline {a} ) stackrel {id (_ { underline {a}} ) { rightarrow} ( underline {a} ) stackrel {id (_ { underline {a}} )} { leftarrow} ( underline {a} ) ).

Acesta este analogul operadic al categoriei monoidale (Cospan (_ {FinSet} ), 0, +).

Putem descrie operații în această operă folosind diagrame așa cum am desenat mai sus. De exemplu, iată o imagine a unei operații:

Aceasta este o operație de arity ( ( underline {3} ), ( underline {3} ), ( underline {4} ), ( underline {2} ); 3). De ce? Cercurile marcate f și g au 3 porturi, h are 4 porturi, k are 2 porturi, iar cercul exterior are 3 porturi: 3, 3, 4, 2; 3.

Deci, cât de exact este ecuația. (6.95) un morfism în această operă?

Ei bine, un morfism al acestui ( underline {3} ) + ( underline {3} ) + ( underline {4} ) + ( underline {2} ) stackrel {a} { rightarrow} underline {p} stackrel {b} { leftarrow} underline {3} ).

În diagrama de mai sus, vârful ( underline {p} ) este setul ( underline {7} ), deoarece există 7 noduri în diagramă. Functia A trimite fiecare port pe unul dintre cercurile mici către nodul la care se conectează și funcția b trimite fiecare port al cercului exterior către nodul la care se conectează.

Suntem capabili să descriem fiecare operație din operad Cospan ca schemă de cablare. Este adesea util să ne gândim la operade ca la descrierea unei gramatici a schemei de cablare. Operația de substituție a operadei înseamnă inserarea unei diagrame de cablare într-un cerc sau cutie într-o altă diagramă de cablare.

Exercițiul 6.96.

1. Luați în considerare următorul cospan f (în) Cospan(2, 2; 2):

Desenați-l ca o diagramă de cablare cu două cercuri interioare, fiecare cu două porturi și un cerc exterior cu două porturi.

2. Desenați schema de cablare corespunzătoare următoarei cospan g (în) Cospan(2, 2, 2; 0):

3. Calculați spațiul g ◦(_{1}) f . Care este aritatea sa?

4. Desenați spațiul g ◦(_{1}) f . Îl vedeți ca pe o substituție? ♦

Putem transforma orice categorie monoidală simetrică într-o operadă într-un mod care generează cele două exemple de mai sus.

Definiție 6.97.

Pentru orice categorie monoidală simetrică (C, Eu, ⊗), există o operadă O (_ {C} ), numită operad subiacent C, definit ca având:

(i) Ob (C) ca tipuri.

(ii) morfisme C(_{1}) ⊗ ··· ⊗ C (_ {n} ) →D în C ca operațiuni de aritate (C(_{1}), ..., C (_ {n} ); D).

(iii) substituția este definită de

(f ◦ (_ {i} ) g) := f ◦ (id, ..., id, g, am facut)

(iv) identitatea identității (_ {a} ) ( in ) O (_ {C} ) (A ; A) definit de id (_ {a} ).

De asemenea, putem transforma orice functor monoidal în ceea ce se numește un functor de operad.

Opera pentru recuzită hipergrafă

Un functor de operad duce tipurile unei operade la tipurile altora și apoi operațiile primei la operațiile celei de-a doua într-un mod care respectă acest lucru.

Definiția Rpugh 6.98.

Să presupunem că sunt date două operade O și P cu colecții de tipuri T și U respectiv. Pentru a specifica un functor operad F : O → P,

(i) una specifică o funcție f : T U.
(ii) Pentru toate ariile (t(_{1}), . , t (_ {n} ); t) în O, se specifică o funcție

F : O (t(_{1}), ..., t (_ {n} ); t) → P (f (t(_{1})), ..., f (t (_ {n} )); f (t))

astfel încât compoziția și identitățile sunt păstrate.

La fel ca funcționorii cu valoare set C → A stabilit din orice categorie C prezintă un interes deosebit - le-am văzut ca instanțe de baze de date în capitolul 3 așa suntem A stabilit-functori evaluați O → A stabilit de la orice operă O.

Definiție 6.99.

Un algebră pentru o operadă O este un functor de operadă F : O → A stabilit.

Ne putem gândi la funcționorii O → A stabilit ca definirea unui set de modalități posibile de a umple casetele într-o schemă de cablare. Într-adevăr, fiecare cutie dintr-o diagramă de cablare reprezintă un tip t a operadei date O și a unei algebre F : O → A stabilit va lua un tip t și returnează un set F(t) de umpluturi pentru cutie t. Mai mult, având în vedere o operație (de exemplu, o schemă de cablare) f (eu nu(t1, . , tn; t), obținem o funcție F(f) care ia un element din fiecare set F(teu) și returnează un element de F(t). De exemplu, este nevoie n circuite cu interfață t1, . , tn respectiv și returnează un circuit cu graniță t.

Exemplul 6.100.

Pentru circuitele electrice, tipurile sunt din nou seturi finite, T = Ob (FinSet), unde fiecare set finit t (în) T corespunde unei celule cu t porturi. La fel ca înainte, avem un set Circ (t) de umpluturi, și anume setul de circuite electrice cu acela t-terminale marcate. Ca algebră de operă, Circ: Cospan A stabilit transformă schemele de conectare ca aceasta

în formule care construiesc un nou circuit dintr-o grămadă de circuite existente.

În cazul desenat mai sus, am obține un morfism Circ (φ) ( in ) A stabilit(Circ (2), Circ (2), Circ (2); Circ (0)), adică o funcție

Circ (φ): Circ (2) × Circ (2) × Circ (2) → Circ (0).

Am putea aplica această funcție celor trei elemente din Circ (2) prezentate aici

iar rezultatul ar fi circuitul închis de la începutul capitolului:

Acest lucru amintește de povestea pentru cospanele decorate: lipirea umpluturilor împreună pentru a forma categorii de hipergraf. Un avantaj al construcției decorate de copan este că se obține o categorie explicită (unde morfismele au domenii și codomains și, prin urmare, pot fi compuse asociativ), echipate cu structuri Frobenius care ne permit să ocolim stricturile domeniilor și codomains. Perspectiva operadei are alte avantaje. În primul rând, întrucât cospanele decorate pot produce doar unele categorii de hipergraf, Cospan-algebrele pot produce orice categorie de hipergraf.

Propunerea 6.101.

Există o echivalență între Cospan-algebre și recuzită pentru hipergraf.

Un alt avantaj al utilizării operadelor este că se poate varia operada în sine, de la Cospan la ceva similar (cum ar fi opera de „cobordisme”) și obține reguli de compoziționalitate ușor diferite.

De fapt, operele cu complexitate suplimentară în definiția lor - pot fi personalizate chiar mai mult decât toate structurile compoziționale definite până acum. De exemplu, putem defini operații de diagrame de cablare în care diagramele de cablare trebuie să respecte condiții precise mult mai specifice decât constrângerile unei categorii, cum ar fi necesitatea ca diagrama în sine să nu aibă fire care să treacă direct prin ea. De fapt, operadele sunt suficient de puternice pentru a se defini: aproximativ vorbind, există o operadă pentru operade: categoria operadelor este echivalentă cu categoria algebrelor pentru o anumită operadă [Lei04, Exemplul 2.2.23]. În timp ce operele pot fi, desigur, generalizate din nou, ele încheie marșul nostru printr-o ierarhie informală a structurilor compoziționale, de la preordonări la categorii la categorii monoidale la operade.


Priveste filmarea: Obliczanie wartości wyrażeń algebraicznych - Matematyka Szkoła Podstawowa i Gimnazjum (August 2022).