Articole

18.7: Transformări liniare fracționate

18.7: Transformări liniare fracționate



We are searching data for your request:

Forums and discussions:
Manuals and reference books:
Data from registers:
Wait the end of the search in all databases.
Upon completion, a link will appear to access the found materials.

Exercițiu ( PageIndex {1} )

Urmăriți videoclipul „Transformările Möbius dezvăluite” de Douglas Arnold și Jonathan Rogness. (Este disponibil pe YouTube.)

Planul complex ( mathbb {C} ) extins cu un număr ideal ( infty ) se numește plan complex extins. Este notat cu ( hat { mathbb {C}} ), deci ( hat { mathbb {C}} = mathbb {C} cup { infty } )

A transformare liniară fracționată sau Transformarea Möbius din ( hat { mathbb {C}} ) este o funcție a unei variabile complexe (z ) care poate fi scrisă ca

(f (z) = dfrac {a cdot z + b} {c cdot z + d}, )

unde coeficienții (a ), (b ), (c ), (d ) sunt numere complexe care îndeplinesc (a cdot d - b cdot c not = 0 ). (Dacă (a cdot d - b cdot c = 0 ) funcția definită mai sus este o constantă și nu este considerată a fi o transformare liniară fracționată.)

În cazul (c not = 0 ), presupunem că

(f (-d / c) = infty quad text {și} quad f ( infty) = a / c; )

iar dacă (c = 0 ) presupunem

(f ( infty) = infty. )


Transformări neliniare ale vârstei la diagnostic, dimensiunea tumorii și numărul de ganglioni limfatici pozitivi în predicția rezultatului clinic în cancerul de sân

Fundal: Factorii de prognostic în cancerul de sân sunt adesea măsurați la scară continuă, dar clasificați pentru luarea deciziilor clinice. Scopul principal al acestui studiu a fost de a evalua dacă luarea în considerare a efectelor neliniare continue ale celor trei factori de vârstă la diagnostic, dimensiunea tumorii și numărul de ganglioni limfatici pozitivi îmbunătățește prognosticul. Acești factori vor fi incluși cel mai probabil în managementul pacienților cu cancer de sân și în viitor, după o implementare preconizată a profilării expresiei genice pentru luarea deciziilor de tratament adjuvant.

Metode: Patru mii patru sute patruzeci și șapte și 1132 de femei cu cancer mamar primar au constituit setul de derivare și, respectiv, de validare. Efectele potențiale neliniare asupra pericolului jurnal al recidivelor la distanță ale celor trei factori au fost evaluate pe parcursul a 10 ani de urmărire. S-au folosit modele Cox de complexitate crescândă succesiv: predictori dihotomizați, predictori clasificați în trei sau patru grupuri și predictori transformați folosind polinoame fracționate (FP) sau spline cubice restricționate (RCS). Performanța predictivă a fost evaluată prin indexul C al lui Harrell.

Rezultate: Folosind transformări FP, au fost detectate efecte neliniare pentru dimensiunea tumorii și numărul de ganglioni limfatici pozitivi în analize univariabile. Cu toate acestea, pentru vârstă, transformările neliniare nu au îmbunătățit în mod semnificativ potrivirea modelului în comparație cu transformarea identității liniare. Așa cum era de așteptat, indicele C a crescut odată cu creșterea complexității modelului pentru modelele multivariabile, inclusiv cei trei factori. Permițând mai mult de un punct de tăiere pe factor, indicele C a crescut de la 0,628 la 0,674. Câștigul suplimentar, măsurat de indicele C, atunci când se utilizează transformări FP sau RCS a fost modest (0,695 și, respectiv, 0,696). Indicii C corespunzători pentru aceste patru modele din setul de validare, pe baza acelorași transformări și estimări ale parametrilor din setul de derivare, au fost 0,675, 0,700, 0,706 și 0,701.

Concluzii: S-a constatat că clasificarea fiecărui factor în trei până la patru grupuri îmbunătățește prognosticul în comparație cu dihotomizarea. Câștigul suplimentar prin permiterea efectelor neliniare continue modelate de FP sau RCS a fost modest. Cu toate acestea, natura continuă a acestor transformări are avantajul de a face posibilă formarea grupurilor de risc de orice dimensiune.

Cuvinte cheie: Cancer de sân Categorii continue Polinoame fracționare Spline prognostice.

Declarație privind conflictul de interese

Aprobarea etică și consimțământul de participare

Studiul a fost aprobat de Comitetul Regional de Revizuire Etică de la Universitatea Lund, Lund Suedia (LU 240-01) și realizat în conformitate cu codul de etică al Asociației Medicale Mondiale.

Deoarece studiul tratează materialul de parafină arhivistică, de multe ori vechi de câteva decenii, nu a fost posibilă obținerea consimțământului informat de la toți pacienții. Cu toate acestea, toate datele au fost analizate și prezentate anonim. În plus, o notă a fost publicată în ziarul local, informând toți pacienții anteriori cu cancer de sân despre posibilitatea de a contacta grupul de cercetare dacă nu doreau ca țesutul lor tumoral să fie utilizat în studii științifice. Această procedură a fost acceptată de Comitetul regional de evaluare etică.

Consimțământul pentru publicare

Consultați secțiunea de aprobare și consimțământ de etică de mai sus.

Interese concurente

Autorii declară că nu au interese concurente.

Nota editorului

Springer Nature rămâne neutru în ceea ce privește revendicările jurisdicționale din hărțile publicate și afilierile instituționale.


Dovadă că există o transformare fracțională liniară unică care mapează trei puncte distincte la trei puncte distincte în planul complex extins.

Următoarea este o teoremă și o dovadă din Variabilele complexe de Herb Silverman. Cifrele îndrăznețe sunt părți pe care nu le înțeleg în dovadă.

Teorema: Având în vedere trei puncte distincte, $ z_1, z_2, z_3 $ în planul $ z $ extins și trei puncte distincte $ w_1, w_2, w_3 $ în planul $ w $ extins, există o transformare biliniară unică $ w = t (z) $ astfel încât $ T (z_k) = w_k $ pentru $ k = 1,2,3 $.

Dovadă. Mai întâi presupunem că niciunul dintre cele șase puncte nu este $ infty $. Fie $ w = T (z) = frac$. Dorim să rezolvăm pentru $ a, b, c, $ și $ d $ în termeni de $ z_1, z_2, z_3, w_1, w_2, $ și $ w_3 $. Sună mai complicat decât este. Pentru $ k = 1,2,3, $ avem $ w-w_k = frac- frac= frac <(ad-bc) (z-z_k)> <(cz + d) (cz_k + d)> (3.9) $

Înmulțind (3.10) cu (3.11) avem $ frac <(w-w_1) (w_2-w_3)> <(w-w_3) (w_2-w_1)> = frac <(z-z_1) (z_2-z_3 )> <(z-z_3) (z_2-z_1)> (3.12) $ Rezolvarea pentru $ w $ în termeni de $ z $ și cele șase puncte oferă transformarea dorită. Dacă unul dintre puncte ar fi punctul la $ infty $, să spunem $ z_3 = infty $, (3.12) ar fi modificat luând limita pe măsură ce $ z_3 $ se apropia de $ infty $. În acest caz, am avea $ frac <(w-w_1) (w_2-w_3)> <(w-w_3) (w_2-w_1)> = frac (3.13)$

Corolar. Având în vedere trei puncte distincte, $ z_1, z_2, z_3 $ în planul $ z $ extins există o transformare biliniară unică $ w = T (z) $ astfel încât $ T (z_1) = 0, T (z_2) = 1, T (z_3) = infty $ și este dat de $ w = frac <(z-z_1) (z_2-z_3)> <(z-z_3) (z_2-z_1)> $.

În primul rând, nu văd cum să obțin transformarea dorită. Am găsit o expresie pentru $ w $ în ceea ce privește toate celelalte variabile (care pare complicat) și am găsit $ T (z_1) = w_1 $ și $ T (z_2) = w_2 $. Cu toate acestea, nu primesc $ T (z_3) = w_3 $. De fapt, dacă ne uităm la (3.12) și conectăm $ z_3 $ în locul lui $ z $, fracția din partea dreaptă nu este nici măcar definită, deoarece numitorul este $. Deci, nu văd cum putem obține rezultatul dorit din această expresie. De fapt, nu înțeleg de ce autorul își propune să găsească o expresie pentru $ w $ prin multiplicarea fracțiilor. Care poate fi raționamentul din spatele acestui lucru?

Mai mult, nu înțeleg partea când unul dintre puncte este $ infty $. Este logic să luați limita ca $ z_3 to infty $, dar cum aduce aceasta expresia (3.13)?

În cele din urmă, pentru corolar, din nou, acesta este similar cu prima întrebare, cred că ar trebui să folosim (3.12) și să conectăm pur și simplu valorile corespunzătoare $ w_k $, dar în cazul $ T (z_3) = infty $, expresia pur și simplu nu are sens pentru mine. Cum are sens $ frac <(w-w_1) (w_2- infty)> <(w- infty) (w_2-w_1)> $?

Aș aprecia foarte mult dacă cineva îmi clarifică întrebările de mai sus, am probleme cu citirea acestei pagini din cauza acestor.


3 Răspunsuri 3

Explicarea motivației cuiva este mai mult o întrebare psihologică decât una matematică, dar iată câteva observații. Dacă scriem o transformare liniară în linia proiecțională peste un câmp, orice câmp nu neapărat numerele complexe, ca o ecuație matricială și apoi trageți înapoi punctele proiective (x: y) și (x ': y') pe linia afină ca x / y și x '/ y', avem x '/ y' = (a (x / y) + b) / (c (x / y) + d). Linia proiectivă complexă este aceeași cu Planul Argand, care este planul euclidian real cu un punct suplimentar corespunzător punctului (1: 0) de pe linia proiecțională. Este, de asemenea, același, prin proiecție stereografică, ca suprafața sferei în spațiul 3 euclidian real. Revenind la linia proiectivă, această transformare păstrează raportul încrucișat, din care decurg multe alte rezultate. Sper că acest lucru ajută la motivație!

Pentru un domeniu simplu conectat $ Omega $, datorită teoremei de mapare Riemann, acesta este biholomorf (sau echivalent conform) fie

Transformările liniare fracționate sunt elementele din grupele de automorfism $ mathrm( hat < mathbb>) = Bigg < frac : ad-bc neq 0 Bigg > $ $ mathrm( mathbb) = Bigg < : a neq 0 Bigg > $ $ mathrm( mathbb) = Bigg < frac< barz + bar> : | a | ^ 2 - | b | ^ 2 = 1 Bigg > $

Strămoșii noștri matematici au descoperit că harta $ z la 1 / z $ are o proprietate interesantă: păstrează familia de linii și cercuri. Deoarece orice hartă de forma $ z to az + b $ are, de asemenea, aceeași proprietate, compozițiile unor astfel de hărți păstrează această familie. Astfel de compoziții sunt tocmai așa-numitele transformări liniare fracționare.


1 Răspuns 1

Sub proiecția stereografică, putem identifica puncte pe sfera riemman $ hat < mathbb> = mathbb cup < infty > $ cu puncte pe sfera unității, $ S ^ 2 $. Dacă două puncte $ x, y in hat < mathbb> $ sunt mapate la $ p, q în S ^ 2 $ respectivley, metrica acordală $ d (x, y) = | p-q | $ cu metrica euclidiană obișnuită pe $ mathbb^ 3 $ pentru o dovadă puteți privi aceste note grozave (care explică și demonstrează și formulele pentru proiecția stereografică, pe care le voi folosi implicit mai târziu).

Denotați proiecția stereografică cu $ pi: hat < mathbb> la S ^ 2 $. Deoarece distanța este luată cu privire la punctele de pe $ S ^ 2 $, enunțul este echivalent cu a spune că, pentru o transformare mobius dată $ M: hat < mathbb> to hat < mathbb> $, funcția $ pi circ M circ pi ^ <-1> $ este continuă în raport cu distanța euclidiană. Putem scrie fiecare transformare mobius ca o compoziție de hărți liniare $ z to az $ (Denotat $ H_a $), o inversiune $ z la 1 / z $ (denotată $ I $) și o traducere $ z to z + b $ (Desemnat $ M_b $). Deci, dacă știm că $ pi circ H_a circ pi ^ <-1> $, $ pi circ M_b circ pi ^ <-1> $ și $ pi circ I circ pi ^ <-1> $ sunt continue în ceea ce privește distanța euclidiană - putem termina, deoarece avem:

$ pi circ (M circ N) circ pi ^ <-1> = pi circ M circ pi ^ <-1> circ pi circ N circ pi ^ <- 1 > $

Iar compoziția hărților continue este continuă. Deci, trebuie doar să verificăm oricare dintre aceste cazuri. În acest moment am scurt timp, așa că voi da doar exemplul de $ I $, sper să mă extind mâine cu privire la modul de a face celelalte cazuri, dar se pot face în mod similar. Poate, de asemenea, voi avea o cale cu mai puține calcule - sunt sigur că există o modalitate mult mai elegantă de a o face.

Deci, pentru cazul $ I $ - scrieți un punct pe $ S ^ 2 $ ca $ (t, u, v) $. Apoi $ pi ^ <-1> (t, u, v) = frac<1-v>$ . (Ignore now from the point $(0,0,1)$ - the north pole - which is mapped to $infty$ ). Now, $I(pi^<-1>(t,u,v))=frac<1-v>(t-iu) $. Acum, aplicând $ pi $ dă punctul $ (2 cdot frac <(1-v) t>, -2 cdot frac <(1-v) u>, frac <(1-v) ^ 2 t ^ 2 + (1-v) ^ 2 u ^ 2- (t ^ 2 + u ^ 2) ^ 2> <(1-v) ^ 2 t ^ 2 + (1-v) ^ 2 u ^ 2 + (t ^ 2 + u ^ 2) ^ 2>) = (t, - u, -v) $. Urmărind unde merge punctul $ infty $, vedem că $ (0,0,1) $ merge la $ (0,0, -1) $. Prin urmare, aceasta este o cartografiere continuă (este continuă în oricare dintre coordonatele sale - funcționează și cazul în care ne apropiem de polul nord). Geometric, aceasta este o rotație în jurul axei x, deci acesta este un alt mod de a vedea că este continuu.

EDIT: Am încercat să mă gândesc la modalități de a finaliza celelalte cazuri fără calcule dezordonate (ceea ce se poate face). Am venit cu o interpretare drăguță doar pentru un tip special de hărți liniare - le puteți descompune în continuare, la multiplicarea cu un element de forma $ z to e ^z $ pentru $ theta $ real și $ z to az $ pentru $ a & gt0 $. Dacă vă gândiți la asta, primul tip de traduceri corespunde rotațiilor în jurul axei Z: dacă rotiți planul, proiecția se va roti.


Holm, D.D., Marsden, J.E., Ratiu, T., Weinstein, A .: Stabilitatea neliniară a echilibrelor fluide și plasmatice. Fizic. Reprezentant. 123, 1–116 (1985)

Olver, P.J .: Aplicațiile grupurilor de minciuni la ecuațiile diferențiale. Springer, New York (1993)

Serre, D .: Sisteme de legi de conservare: hiperbolicitate, entropii, unde de șoc. Cambridge University Press, Cambridge (1999)

Krasilshchik, I.S., Vinogradov, A.M .: Simetriile și legile de conservare pentru ecuațiile diferențiale ale fizicii matematice. Societatea Americană de Matematică, Providence (1999)

Dafermos, C.M .: Legile conservării hiperbolice în fizica continuă. Springer, Berlin (2000)

Godunov, S.K., Romenskii, E.I .: Elements of Continuum Mechanics and Conservation Laws. Kluwer, New York (2003)

Kosmann-Schwarzbach, Y .: Teoremele Noether. Legile invarianței și conservării în secolul al XX-lea. Springer, New York (2011)

Ibragimov, NKh, Avdonina, E.D .: Autoadjuncție neliniară, legi de conservare și construirea de soluții de ecuații diferențiale parțiale folosind legi de conservare. Russ. Matematica. Surv. 68(5), 889–921 (2013)

Avdonina, E.D., Ibragimov, N.H., Khamitova, R .: Soluții exacte de ecuații gazdinamice obținute prin metoda legilor de conservare. Comun. Știință neliniară. Număr. Simul. 18(9), 2359–2366 (2013)

Noether, E .: Invariante Variationsprobleme. Nachr. König. Gesell. Wissen., Göttingen, Math.-Phys. Kl., Heft 2, 235–257 (1918). Traducere engleză. în Transp. Teoria Stat. Fizic. 1(3), 186–207 (1971)

Ibragimov, N.H .: Probleme variaționale invariabile și legi de conservare. Teoretic. Matematica. Fizic. 1(3), 267–276 (1969)

Ibragimov, N.H .: Grupuri de transformare în fizica matematică. Moscova, Nauka (1983). Traducere engleză. Grupuri de transformare aplicate fizicii matematice, Reidel, Dordrecht (1985)

Ibragimov, N.H .: Analiza grupului de minciuni elementare și ecuații diferențiale ordinare. Wiley, Chichester (1999)

Ibragimov N.H. (Ed.): Manualul CRC pentru analiza grupului Lie a ecuațiilor diferențiale. Vol. 1. Simetriile, soluțiile exacte și legile de conservare (1994). Vol. 2. Aplicarea în inginerie și științe fizice (1995). Vol.3. Noi tendințe în evoluțiile teoretice și metodele de calcul (1996). CRC Press Inc., Boca Raton, Florida (1994-1996)

Riewe, F .: Mecanica lagrangiană și hamiltoniană neconservatoare. Fizic. Pr. E. 53(2), 1890–1899 (1996)

Agrawal, O.P .: Formularea ecuațiilor Euler-Lagrange pentru probleme variaționale fracționare. J. Math. Anal. Aplic. 272(1), 368–379 (2002)

Baleanu, D., Muslih, S.I., Tas, K .: Analiza fracționară hamiltoniană a sistemelor de derivate de ordin superior. J. Math. Fizic. 47(10), 103503 (2006)

Baleanu, D., Muslih, S.I., Rabei, E.M .: Despre ecuațiile fracționate Euler – Lagrange și Hamilton și generalizarea fracționată a derivatei de timp total. Neliniar Dyn. 53(1–2), 67–74 (2008)

Baleanu, D .: Despre cuantizarea fracțională și principiile variaționale fracționare. Comun. Știință neliniară. Număr. Simul. 14(6), 2520–2523 (2009)

Herzallah, M.A.E., Baleanu, D .: Ecuații de ordin fracțional Euler – Lagrange și formularea ecuațiilor hamiltoniene. Neliniar Dyn. 58(1–2), 385–391 (2009)

Agrawal, O.P .: Probleme variaționale generalizate și ecuații Euler-Lagrange. Calculator. Matematica. Aplic. 59(5), 1852–1864 (2010)

Agrawal, O.P., Muslih, S.I., Baleanu, D .: Calcul variațional generalizat în termeni de derivate fracționare multi-parametri. Comun. Știință neliniară. Număr. Simul. 16(12), 4756–4767 (2011)

Herzallah, M.A.E., Baleanu, D .: Ecuațiile fracționate Euler – Lagrange revizuite. Neliniar Dyn. 69(3), 977–982 (2012)

Lazo, M.J., Torres, D.F.M .: Lema fundamentală DuBois – Reymond a calculului fracționat al variațiilor și o ecuație Euler-Lagrange care implică doar derivate ale caputo. J. Optimiz. Teoretic. Aplic. 156(1), 56–67 (2013)

Frederico, G.S.F., Torres, D.F.M .: O formulare a teoremei lui Noether pentru probleme fracționare ale calculului variațiilor. J. Math. Anal. Aplic. 334(2), 834–846 (2007)

Atanackovic, T.M., Konjik, S., Pilipovic, S., Simic, S .: Probleme variaționale cu derivatele fracționare: condiții de invarianță și teorema Nöthers. Anal neliniar. 71(5–6), 1504–1517 (2009)

Malinowska, A.B .: O formulare a teoremei de tip Noether fracționată pentru Lagrangieni multidimensionali. Aplic. Matematica. Lett. 25(11), 1941–1946 (2012)

Odzijewicz, T., Malinowska, A.B., Torres, D.F.M .: Teorema lui Noether pentru problemele variaționale fracționate de ordin variabil. Cent. Euro. J. Phys. 11(6), 691–701 (2013)

Bourdin, L., Cresson, J., Greff, I .: O teoremă fracțională continuă / discretă Noethers. Comun. Știință neliniară. Număr. Simul. 18(4), 878–887 (2013)

Long, Z.X., Zhang, Y .: Teorema fracțională Noether bazată pe integralul fracționat exponențial extins. Int. J. Teoretic. Fizic. 53(3), 841–855 (2014)

Frederico, G.S.F., Torres, D.F.M .: Legi de conservare fracționată în teoria controlului optim. Neliniar Dyn. 53(3), 215–222 (2008)

Zhang, S.-H., Chen, B.-Y., Fu, J.-L .: Formalismul Hamilton și simetria Noether pentru sistemele mecanico-electrice cu derivate fracționate. Bărbie. Fizic. B. 21(10), 100202 (2012)

Metzler, R., Klafter, J .: Ghidul mersului aleatoriu spre difuzie anormală: o abordare dinamică fracționată. Fizic. Reprezentant. 339(1), 1–77 (2000)

Hilfer, R .: Aplicații ale calculului fracțional în fizică. World Scientific, Singapore (2000)

Klages, R., Radons, G., Sokolov, I.M (eds.): Anomalous Transport: Foundations and Applications. Willey-VCH, Berlin (2008)

Mainardi, F .: Calcul fracțional și valuri în viscoelasticitate liniară. Imperial College Press, Londra (2010)

Klafter, J., Lim, S.C., Metzler, R. (eds.): Fractional Dynamics: Recent Advances. World Scientific, Singapore (2011)

Baleanu, D., Diethelm, K., Scalas, E., Trujillo, J.J .: Calcul fracțional: modele și metode numerice. World Scientific, Singapore (2012)

Uchaikin, V., Sibatov, R .: Cinetică fracțională în solide: transport de sarcini anormale în semiconductori, dielectrici și nanosisteme. World Scientific, Singapore (2013)

Gazizov, R.K., Kasatkin, A.A., Lukashchuk, SYu .: Grupuri de transformare continuă a ecuațiilor diferențiale fracționate. Vestnik UGATU 9, 125-135 (2007). (in rusa)

Gazizov, R.K., Kasatkin, A.A., Lukashchuk, SYu .: Proprietăți de simetrie ale ecuațiilor de difuzie fracționată. Fizic. Scr. T136, 014016 (2009)

Gazizov, R.K., Kasatkin, A.A., Lukashchuk, SYu .: Ecuații diferențiale fracționate: schimbarea variabilelor și simetriile nelocale. Ufa Math. J. 4(4), 54–67 (2012)

Ibragimov, N.H .: O nouă teoremă de conservare. J. Math. Anal. Aplic. 333, 311–328 (2007)

Ibragimov, N.H .: Legi neliniare de autoadjuncție și conservare. J. Phys. A: Matematică. Teoretic. 44, 432002 (2011)

Ibragimov, N.H .: Autoadjuncție neliniară în construirea legilor de conservare. Arc. ALGA 7/8, 1–39 (2010–2011)

Araslanov, A.M., Galiakberova, L.R., Ibragimov, N.H., Ibragimov, R.N .: Vectorii conservați pentru un model de fluxuri atmosferice neliniare în jurul suprafeței rotative sferice. Matematica. Model. Nat. Fenomen. 8(1), 1–17 (2013)

Gandarias, M.L., Bruzon, MS, Rosa, M .: Legi neliniare de autoadjuncție și conservare pentru o ecuație Fisher generalizată. Comun. Știință neliniară. Număr. Simul. 18(7), 1600–1606 (2013)

Bozhkov, Y., Dimas, S., Ibragimov, N.H .: Legile de conservare pentru un sistem Korteweg-de Vries modificat cu coeficient variabil cuplat într-un model fluid cu două straturi. Comun. Știință neliniară. Număr. Simul. 18(5), 1127–1135 (2013)

Alexandrova, A.A., Ibragimov, N.H., Lukashchuk, V.O .: Clasificarea grupului și legile de conservare a ecuației de filtrare neliniară cu un parametru mic. Comun. Știință neliniară. Număr. Simul. 19(2), 364–370 (2014)

Baikov, V.A., Ibragimov, N.H., Zheltova, I.S., Yakovlev, A.A .: Legile de conservare pentru modelele de filtrare în două faze. Comun. Știință neliniară. Număr. Simul. 19(2), 383–389 (2014)

Gandarias, M.L .: Legile de conservare pentru o ecuație de mediu poros prin generatoare non-clasice. Comun. Știință neliniară. Număr. Simul. 19(2), 371–376 (2014)

Samko, S., Kilbas, A., Marichev, O .: Integrale și derivate fracționale: teorie și aplicații. Gordon și Breach, New York (1993)

Kilbas, A.A., Srivastava, H.M., Trujillo, J.J .: Teoria și aplicațiile ecuațiilor diferențiale fracționare. Elsevier, Amsterdam (2006)

Uchaikin, V .: Derivate fracționate pentru fizicieni și ingineri. V.I: Context și teorie. Springer-Higher Education Press, Beijing (2013)

Lukashchuk, SYu .: Extensii fracționate în timp ale ecuațiilor Liouville și Zwanzig. Cent. Euro. J. Phys. 11(6), 740–749 (2013)


Cartografierea cercurilor printr-o transformare fracțională liniară

Interacționați pe desktop, mobil și cloud cu Wolfram Player gratuit sau alte produse Wolfram Language.

O transformare fracțională liniară (sau transformarea M & # xF6bius) în planul complex este o mapare conformă care are forma , Unde , , , și sunt complexe, cu . Transformarea transformă cercuri în plan în cercuri în plan, unde liniile drepte pot fi considerate a fi cercuri cu rază infinită.

În această demonstrație, cercul roșu se transformă în cercul albastru al formei .

Contribuție: Izidor Hafner & # xA0 (februarie 2016)
Conținut deschis licențiat sub CC BY-NC-SA


Blogul otidiot & # 039s

Singurele LFT-uri de care ai nevoie vreodată

Să luăm în considerare transformările fracționare liniare în care coeficienții sunt toți întregi și. Deoarece înmulțirea tuturor coeficienților cu o constantă nu modifică transformarea, putem înmulți totul cu -1 oricând dorim (de exemplu, pentru a face un coeficient ales pozitiv). Reamintim, de asemenea, că scrierea transformării ca matrice nu este un lucru complet nerezonabil de făcut, deoarece compozitele transformărilor sunt determinate corect prin multiplicarea matricii. Voi vorbi despre secvența acestor matrici, așa că să fie matricea mea originală

Dacă, atunci cerința înseamnă asta și putem alege. Atunci transformarea noastră este pur și simplu. Deoarece este un număr întreg, am putea scrie acest lucru ca.

Dacă, atunci există un astfel încât. Vă las să verificați următoarele:

Scriind această matrice cea mai dreaptă ca, ne uităm la o altă matrice cu coeficienți întregi al căror determinant este 1. Deci putem repeta procesul, găsind numere întregi și LFT-uri cu. Procesul trebuie să se oprească în cele din urmă, deoarece toate sunt numere întregi non-negative. În cele din urmă, una dintre ele va fi 0 și deja ne-am ocupat de astfel de transformări în paragraful anterior.

Să luăm în considerare acest lucru, pe care l-am folosit anterior. De asemenea, permiteți (ați putea observa că aceasta este matricea identității). Atunci relația noastră de mai sus este. Acesta este,

Colecția de matrice cu care am lucrat, matricile 2 și # 2152 cu coeficienți întregi al căror determinant este 1, tind să se numească grup modular și tocmai am arătat asta și putem fi înmulțiți împreună pentru a vă oferi orice element al grupului. Mai oficial, ei & # 8220 generează & # 8221 grupul. S-ar putea să vă descurcați și să spuneți că din punct de vedere tehnic aceste matrice sunt într-adevăr grup liniar special , și rețineți că grupul modular este într-adevăr coeficientul acestui grup în care spuneți că două matrice sunt aceleași dacă una este de -1 ori cealaltă.

Un lucru interesant despre acest proces este că este doar procesul prin care treci pentru a găsi cel mai mare divizor comun al și. Algoritmul standard (Euclid & # 8217s) constă în faptul că, dacă există un număr întreg astfel încât unde. Următorul pas este să repetați procesul, scriind, cu. Iterând, veți găsi astfel încât, și în cele din urmă a este 0, iar procesul se oprește.

S-ar putea să fiți puțin îngrijorat (în mod justificat) că acest proces pare să privească și să părăsească și să iasă din imagine. Dacă te uiți la ceea ce am făcut cu matricele, procesul nostru a luat-o și a scris-o ca și, și a depins de și. În etapa finală a procesului, unde -coeficientul este 0, am ajuns cu un -coeficient de 1, dar -coeficientul va fi o funcție a valorilor și, astfel, acele valori apar și se obișnuiesc, în cele din urmă. Desigur, de vreme ce, cunoașterea unuia sau este suficient pentru a-l determina pe celălalt (presupunând că știi și). Ar trebui să vă gândiți că și sunt variabilele suplimentare care rulează în Erglid & # 8217s alrgorithm atunci când faceți versiunea & # 8220 extins & # 8221.

Am vorbit despre toate acestea în termeni de matrice, dar amintiți-vă că matricile reprezintă transformări fracționare liniare. Matricea este transformarea, iar puterea este atunci. Acestea sunt doar traduceri orizontale. Matricea este transformarea. Cu relațiile noastre dintre cele de mai sus, vedem că am putea scrie

Hurra pentru fracții continue! Desigur, simt că aș seta ceva înapoi. Conectarea îmi va oferi o fracțiune continuă pentru, dar spuneam că vine din gândirea la cel mai mare divizor comun al și. Ei bine.

[Actualizați 20091203: Eroarea I și # 8217m preocupată de mai sus provine din unele relații libere cu sfârșitul procedurii iterative. Lăsând, vom ajunge la ceva de genul unde, adică. Așa că ajungem să spunem. Și asta depinde de inițială, probabil într-un mod astfel încât conectarea la fracțiune să aibă sens.]

Ceea ce am spus este că fiecare matrice 2 & # 2152 cu coeficienți în și determinant 1 poate fi scrisă în termeni de și. Cu toate acestea, ați putea dori să utilizați în loc de. Parcurgând în esență același proces ca înainte, cu unele semne minus stropite în mod corespunzător, se poate determina acest lucru și poate fi folosit, în loc de și, pentru a genera oricare dintre matricile pe care le luăm în considerare. Care este avantajul peste? O modalitate de a afirma avantajul, pentru povestea noastră, este că aplicarea punctelor din jumătatea superioară a planului le lasă în jumătatea superioară a planului (și în mod similar pentru jumătatea inferioară), în timp ce întoarce punctele în jumătatea superioară a planului la jumătatea inferioară. Ar trebui să ne gândim la acest lucru un avantaj, deoarece toate cercurile noastre Ford se află în jumătatea superioară a planului. Dacă reveniți la discuția de ieri, veți observa că l-am folosit în factorizare.

Deci, oricum, și sunt singurele LFT-uri de care aveți nevoie. Puteți verifica rapid acest lucru și, de asemenea (nu la fel de repede). Dacă scrieți, atunci cred că veți spune că grupul modular este generat de și și poate stabili un izomorfism între grupul modular și produsul liber al grupului ciclic de ordinul 2 cu grupul ciclic de ordinul 3. Că & # 8217s ceva.

LFT-uri și cercurile Ford

Având în vedere 4 numere complexe,, putem considera transformarea fracțională liniară (LFT)

Ei bine, 4 numere sunt suficiente pentru a face o matrice. Există vreun motiv mai bun pentru a lega transformarea fracțională liniară cu această matrice?

Să presupunem că aveți două matrice și. Apoi produsul este după cum urmează:

Dacă luați compozitul celor două transformări fracționare liniare, adică,

și apoi jucați simplificând această expresie timp de câteva minute, obțineți LFT

care este exact LFT-ul corespunzător matricei produsului de mai sus. Deci, dacă nu altceva, scrierea LFT-urilor ca matrici în acest fel nu ne va duce în rătăcire când ne gândim la compozite.

Această idee nu este lipsită de confuzie, oricum pentru mine. În general, când vă gândiți la o matrice 2 & # 2152 de valori complexe, vă gândiți la acea matrice ca la o hartă liniară, ceea ce nu facem mai sus. În schimb, cred că spunem că & # 8220monoidul & # 8221 (grup fără inversuri) a matricilor 2 și # 2152, acționează (în sens tehnic) ca transformări fracționare liniare. Cred că există și modalități mai bune de a spune ce se întâmplă.

Cred că este, de asemenea, important să rețineți că două matrice diferite pot corespunde aceluiași LFT. De exemplu, reprezintă același LFT ca. Mai general, dacă este orice valoare complexă (diferită de zero), atunci reprezintă același LFT ca. Cred că se poate gândi la un spațiu -vectorial (izomorf la) și apoi gândiți-vă la spațiul său proiectiv (coeficientul în care doi și # 8220vecori și # 8221 (matricile aici) sunt aceleași atunci când diferă printr-un multiplu scalar (complex) ), pe care eu îl voi denumi. Atunci cred că spun că acțiunea de pe este de fapt o acțiune a coeficientului. Nu sunt sigur dacă acesta este un punct de vedere util (sau, într-adevăr, corect).

Ieri, când vorbeam despre cum să imaginez ce face un LFT, am notat o factorizare a LFT ca un compozit. Noua noastră notație ne oferă un alt mod de a scrie acea factorizare (amintim și pe care am presupus-o):

Așa cum este frecvent util, vom presupune că (într-adevăr, această factorizare pare să o necesite & # 8211 Cred că îmi lipsește ceva undeva, îl vede cineva?). Observați că este determinantul matricei care reprezintă LFT-ul nostru. Putem apoi să multiplicăm toate intrările din matricea noastră (fără a schimba LFT, așa cum s-a discutat mai sus) cu, și să obținem o matrice cu determinantul 1. Să facem acest lucru, făcând.

Ieri, când lucram la factorizarea de mai sus, am avut doar o idee de genul unde mă duc. Cred că astăzi am de două ori mai mult decât atât, așa că vreau să scriu din nou factorizarea. Lasă-mă să-l scriu ca

Deci, ce legătură cu cercurile Ford? Amintiți-vă că pentru o fracție redusă, cercul Ford asociat este cercul centrat cu cu raza. În urma lui Rademacher (și, probabil, a altora), să spunem că fractiunea & # 8220 & # 8221 primește, de asemenea, un cerc Ford și # 8220 & # 8221, linia din avion. Acesta nu este un lucru atât de urât de făcut, deoarece are proprietățile de tangență despre care am vorbit când vorbeam despre cercurile Ford. Oricum, haideți să ne gândim la aplicarea transformării noastre, ca compozit dat mai sus, și să vedem ce se întâmplă cu această linie. Vom presupune că și suntem toți întregi.

Primul pas este traducerea liniară. Deoarece este real (deoarece sunt numere întregi), această traducere este o deplasare orizontală, care rămâne neschimbată.

În continuare, care este. Gândindu-vă la un punct de pe linie, puteți determina rapid dacă coordonatele sale polare sunt. Transformarea este compusă din: (1) inversiune față de cercul unitar (punctul devine), (2) reflexie pe axa orizontală (dând) și, în final (3) multiplicare cu -1 (dând, deoarece acestea sunt coordonate polare). Acest punct final este. Pe măsură ce variază, variază și în acest interval și astfel obținem graficul curbei polare. Dacă vă cunoașteți curbele polare, știți cum arată acest lucru & # 8230

Deci, primele două transformări iau linia către cercul cu centrul (0,1 / 2) și raza 1/2. Următorul din compozitul nostru este multiplicarea cu, care este doar o scalare (de când). Această scalare duce cercul nostru la cercul cu centrul și raza. În cele din urmă, ultima transformare este o altă traducere orizontală, lăsând cercul nostru centrat la. Recunoaștem acest lucru ca cercul Ford pentru fracție (atâta timp cât fracția este redusă).

Nu a fost atât de distractiv? Dacă doriți să vă mai gândiți la asta, s-ar putea să vă convingeți că orice punct deasupra liniei va fi mutat într-un punct din interiorul cercului Farey rezultat din acest proces.

Oricum, suficient din mine. Sperăm că mâine voi avea ceva mai multă idee despre ce vorbesc. Totuși, nu conta pe asta.


Algoritm pentru S-box

Această secțiune tratează în principal structura cutiei noastre S. Înainte de a discuta algoritmul constitutiv, trebuie să parcurgem câteva fapte fundamentale.

O funcție (f: < mathbb >_<2>^ rightarrow < mathbb > _ <2> ) se numește a Funcția booleană. Definim a funcție vectorială booleană (F: < mathbb >_<2>^ rightarrow < mathbb >_<2>^) la fel de

unde (x = (x_ <1>, , x_ <2>, ldots, x_) în < mathbb >_<2>^) și fiecare dintre (f_) Pentru (1 le i le m ) este o funcție booleană denumită funcție booleană coordonată. Un (n times n ) S-box este definit cu precizie ca o funcție booleană vectorială (S: < mathbb >_<2>^ rightarrow < mathbb >_<2>^) .

În acest stadiu, pare destul de practic să înțelegem proprietățile structurale ale câmpului Galois folosit pentru a construi o cutie S. În general pentru orice prim p, Câmp Galois (GF (p ^) ) este dat de inelul factorului (< mathbb >_

[X] / & lt eta (x) & gt ) unde ( eta (x) în < mathbb >_

[X] ) este un polinom ireductibil de grad n.

Pentru o casetă S (8 times 8 ), folosim (GF (2 ^ <8>) ). În standardele avansate de criptare (AES), construcția lui (GF (2 ^ <8>) ) se bazează pe polinomul de gradul 8 ireductibil ( eta (x) = x ^ <8> + x ^ <4> + x ^ <3> + x + 1 ). În Hussain și colab. (2013b), ( eta (x) = x ^ <8> + x ^ <4> + x ^ <3> + x ^ <2> + x + 1 ) este utilizat ca polinom generator. Aici alegem ( eta (x) = x ^ <8> + x ^ <6> + x ^ <5> + x ^ <4> +1 ) ca polinom ireductibil care generează idealul maxim (& lt eta (x) & gt ) din domeniul ideal principal (< mathbb > _ <2> [X] ). Este important de reținut că putem alege orice polinom ireductibil de gradul 8 pentru construirea (GF (2 ^ <8>) ), cu toate acestea, alegerea generării polinomului poate afecta calculele noastre, deoarece operațiile binare sunt efectuate modulo polinomul utilizat (a se vedea Benvenuto 2012 for details).

Generally the construction of an S-box requires a nonlinear bijective map. In literature many algorithms based on such maps or their compositions are presented to synthesize cryptographically strong S-boxes. We present the construction of S-box based on an invertible nonlinear map known as the fractional linear transformation. It is a function of the form (frac) generally defined on the complex plain (>) such that A, b, c and (d in >) satisfy the non-degeneracy condition (ad-bc e 0) . The set of these transformations forms a group under the composition. The identity element in this group is the identity map and the the inverse (frac<-cz+a>) of (frac) is assured by the condition (ad-bc e 0) . One can easily observe that the algebraic expression of this map has a combined effect of inversion, dilation, rotation and translation. The nonlinearity and algebraic complexity of the fractional linear transformation motivates the idea to employ this map for byte substitution.

For the proposed S-box we apply fractional linear transformation g on the Galois field discussed above, i.e. (g:GF(2^<8>) ightarrow GF(2^<8>)) given by (g(t)=frac) , where (a,, b,, c) and (din GF(2^<8>)) such that (ad-bc e 0) and t varies from 0 to (255 in GF(2^<8>)) . We may choose any values for parameters A, b, c și d that satisfy the condition (ad-bc e 0) . Here, for calculations, we take (a=29=00011101,, b=15=00001111,,c=8=00001000) and (d=9=00001001) . One may observe that as we are working on a finite field, g(t) needs to be explicitly defined at (t=47) (at which denominator vanishes), so in order to keep g bijective we may define the transformation as given below

Following the binary operations defined on the Galois field (Benvenuto 2012), we calculate the images of g as shown in Table 1.

Thus the images of the above defined transformation yield the elements of the proposed S-box (see Table 2).

It is important to mention that an (8 imes 8) S-box has 8 constituent Boolean functions. A Boolean function f este balanced if () and () have same cardinality or the Hamming weight HW ((f)=2^) . The significance of the balance property is that the higher the magnitude of a function’s imbalance, the more likelihood of a high probability linear approximation being obtained. Thus, the imbalance makes a Boolean function weak in terms of linear cryptanalysis. Furthermore, a function with a large imbalance can easily be approximated by a constant function. All the Boolean functions (f_,,i le i le 8) , involved in the S-box as shown in Table 2 satisfy the balance property. Hence, the proposed S-box is balanced. It might be of interest that in order to choose feasible parameters leading to balanced S-boxes satisfying all other desirable properties (as discussed in the next section), one can use constraint programming, a problem solving strategy which characterises the problem as a set of constraints over a set of variables (Kellen 2014 Ramamoorthy et al. 2011).

An S-box is used to convert the plain data into the encrypted data, it is therefore essential to investigate the comparative performance of the S-box. We, in the next section, analyse the newly designed S-box through various indices to establish the forte of our proposed S-box.


Output feedback control of linear fractional transformation systems subject to actuator saturation

In this paper, the control problem for a class of linear parameter varying (LPV) plant subject to actuator saturation is investigated. For the saturated LPV plant depending on the scheduling parameters in linear fractional transformation (LFT) fashion, a gain-scheduled output feedback controller in the LFT form is designed to guarantee the stability of the closed-loop LPV system and provide optimised disturbance/error attenuation performance. By using the congruent transformation, the synthesis condition is formulated as a convex optimisation problem in terms of a finite number of LMIs for which efficient optimisation techniques are available. The nonlinear inverted pendulum problem is employed to demonstrate the effectiveness of the proposed approach. Moreover, the comparison between our LPV saturated approach with an existing linear saturated method reveals the advantage of the LPV controller when handling nonlinear plants.


Priveste filmarea: Matematica Spatii vectoriale 006 Sisteme de generatori Dependenta liniara Baze (August 2022).