Articole

5.5: Transformări individuale și individuale

5.5: Transformări individuale și individuale



We are searching data for your request:

Forums and discussions:
Manuals and reference books:
Data from registers:
Wait the end of the search in all databases.
Upon completion, a link will appear to access the found materials.

obiective de invatare

  1. Determinați dacă o transformare liniară este pe sau una la una.

Fie (T: mathbb {R} ^ n mapsto mathbb {R} ^ m ) o transformare liniară. Definim gamă sau imagine de (T ) ca set de vectori de ( mathbb {R} ^ {m} ) care sunt de forma (T left ( vec {x} right) ) (echivalent, (A vec {x} )) pentru unele ( vec {x} in mathbb {R} ^ {n} ). Este obișnuit să scrieți (T mathbb {R} ^ {n} ), (T left ( mathbb {R} ^ {n} right) ) sau ( mathrm {Im} stânga (T dreapta) ) pentru a indica acești vectori.

Lemă ( PageIndex {1} ): Gama unei transformări a matricei

Fie (A ) o matrice (m times n ) unde (A_ {1}, cdots, A_ {n} ) denotă coloanele lui (A. ) Apoi, pentru un vector ( vec {x} = left [ begin {array} {c} x_ {1} vdots x_ {n} end {array} right] ) în ( mathbb {R} ^ n ),

[A vec {x} = sum_ {k = 1} ^ {n} x_ {k} A_ {k} ]

Prin urmare, (A left ( mathbb {R} ^ n right) ) este colecția tuturor combinațiilor liniare ale acestor produse.

Dovadă

Acest lucru rezultă din definiția multiplicării matricei.

Această secțiune este dedicată studierii a două caracterizări importante ale transformărilor liniare, numite unu la unu și pe. Le definim acum.

Definiție ( PageIndex {1} ): One to One

Să presupunem că ( vec {x} _1 ) și ( vec {x} _2 ) sunt vectori în ( mathbb {R} ^ n ). O transformare liniară (T: mathbb {R} ^ n mapsto mathbb {R} ^ m ) se numește unu la unu (adesea scris ca (1-1) ) dacă ori de câte ori ( vec {x} _1 neq vec {x} _2 ) rezultă că: [T left ( vec {x} _1 right ) neq T left ( vec {x} _2 right) ]

În mod echivalent, dacă (T left ( vec {x} _1 right) = T left ( vec {x} _2 right), ) atunci ( vec {x} _1 = vec {x} _2 ). Astfel, (T ) este unu la unu dacă nu ia niciodată doi vectori diferiți la același vector.

A doua caracterizare importantă este apelată.

Definiție ( PageIndex {2} ): Onto

Fie (T: mathbb {R} ^ n mapsto mathbb {R} ^ m ) o transformare liniară. Apoi se numește (T ) pe dacă ori de câte ori ( vec {x} _2 in mathbb {R} ^ {m} ) există ( vec {x} _1 in mathbb {R} ^ {n} ) astfel încât ( T left ( vec {x} _1 right) = vec {x} _2. )

Adesea numim o transformare liniară care este unu-la-unu injecţie. În mod similar, o transformare liniară care este pe este adesea numită a surjecție.

Următoarea propunere este un rezultat important.

Teorema ( PageIndex {1} ): One to One

Fie (T: mathbb {R} ^ n mapsto mathbb {R} ^ m ) o transformare liniară. Atunci (T ) este unu la unu dacă și numai dacă (T ( vec {x}) = vec {0} ) implică ( vec {x} = vec {0} ).

Dovadă

Trebuie să dovedim două lucruri aici. Mai întâi, vom demonstra că dacă (T ) este unu la unu, atunci (T ( vec {x}) = vec {0} ) implică faptul că ( vec {x} = vec {0 } ). În al doilea rând, vom arăta că dacă (T ( vec {x}) = vec {0} ) implică faptul că ( vec {x} = vec {0} ), atunci rezultă că (T ) este unu la unu. Reamintim că o transformare liniară are proprietatea că (T ( vec {0}) = vec {0} ).

Să presupunem mai întâi că (T ) este unu la unu și considerăm (T ( vec {0}) ). [T ( vec {0}) = T left ( vec {0} + vec {0} right) = T ( vec {0}) + T ( vec {0}) ] și deci, adăugând inversul aditiv al lui (T ( vec {0}) ) pe ambele părți, se vede că (T ( vec {0}) = vec {0} ). Dacă (T ( vec {x}) = vec {0} ) trebuie să fie cazul ( vec {x} = vec {0} ) deoarece tocmai s-a arătat că (T ( vec {0}) = vec {0} ) și (T ) se presupune că sunt unu la unu.

Acum presupunem că dacă (T ( vec {x}) = vec {0}, ) atunci rezultă că ( vec {x} = vec {0}. ) Dacă (T ( vec {v}) = T ( vec {u}), ) apoi [T ( vec {v}) - T ( vec {u}) = T left ( vec {v} - vec { u} right) = vec {0} ] care arată că ( vec {v} - vec {u} = 0 ). Cu alte cuvinte, ( vec {v} = vec {u} ) și (T ) este unul la unu.

Rețineți că această propunere spune că dacă (A = left [ begin {array} {ccc} A_ {1} & cdots & A_ {n} end {array} right] ) atunci (A ) este unu la unu dacă și numai dacă ori de câte ori [0 = sum_ {k = 1} ^ {n} c_ {k} A_ {k} ] rezultă că fiecare scalar (c_ {k} = 0 ).

Vom arunca acum un exemplu de unu la unu și transformarea liniară.

Exemplu ( PageIndex {1} ): A One to One și Onto Linear Transformation

Să presupunem că [T left [ begin {array} {c} x y end {array} right] = left [ begin {array} {rr} 1 & 1 1 & 2 end { array} right] left [ begin {array} {r} x y end {array} right] ] Apoi, (T: mathbb {R} ^ {2} rightarrow mathbb { R} ^ {2} ) este o transformare liniară. Este (T ) pe? Este unul la unu?

Soluţie

Amintiți-vă că, deoarece (T ) poate fi exprimat ca multiplicare a matricei, știm că (T ) este o transformare liniară. Vom începe prin a ne uita la. Deci, să presupunem că ( left [ begin {array} {c} a b end {array} right] în mathbb {R} ^ {2}. ) Există ( left [ begin {array} {c} x y end {array} right] in mathbb {R} ^ 2 ) astfel încât (T left [ begin {array} {c} x y end {array} right] = left [ begin {array} {c} a b end {array} right]? ) Dacă da, atunci de când ( left [ begin {array} {c} a b end {array} right] ) este un vector arbitrar în ( mathbb {R} ^ {2}, ) va urma că (T ) este pe.

Această întrebare vă este familiară. Se întreabă dacă există o soluție la ecuația [ left [ begin {array} {cc} 1 & 1 1 & 2 end {array} right] left [ begin {array} {c } x y end {array} right] = left [ begin {array} {c} a b end {array} right] ] Acesta este același lucru cu cererea unei soluții pentru următorul sistem de ecuații. [ begin {array} {c} x + y = a x + 2y = b end {array} ] Configurați matricea augmentată și reduceți rândul. [ left [ begin {array} {rr | r} 1 & 1 & a 1 & 2 & b end {array} right] rightarrow left [ begin {array} {rr | r} 1 & 0 & 2a-b 0 & 1 & ba end {array} right] label {ontomatrix} ] Puteți vedea din acest punct că sistemul are o soluție. Prin urmare, am arătat că pentru orice (a, b ), există un ( left [ begin {array} {c} x y end {array} right] ) astfel încât ( T left [ begin {array} {c} x y end {array} right] = left [ begin {array} {c} a b end {array} right] ) . Astfel (T ) este pe.

Acum vrem să știm dacă (T ) este unul la unu. Prin propoziție [prop: onetoonematrices] este suficient să arătăm că (A vec {x} = 0 ) implică ( vec {x} = 0 ). Luați în considerare sistemul (A vec {x} = 0 ) dat de: [ left [ begin {array} {cc} 1 & 1 1 & 2 end {array} right] left [ begin {array} {c} x y end {array} right] = left [ begin {array} {c} 0 0 end {array} right] ]

Acesta este același cu sistemul dat de

[ begin {array} {c} x + y = 0 x + 2y = 0 end {array} ]

Trebuie să arătăm că soluția acestui sistem este (x = 0 ) și (y = 0 ). Configurând matricea mărită și reducerea rândurilor, ajungem cu [ left [ begin {array} {rr | r} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 end {array} right] ]

Acest lucru ne spune că (x = 0 ) și (y = 0 ). Revenind la sistemul original, acest lucru spune că dacă

[ left [ begin {array} {cc} 1 & 1 1 & 2 end {array} right] left [ begin {array} {c} x y end {array } right] = left [ begin {array} {c} 0 0 end {array} right] ]

apoi [ left [ begin {array} {c} x y end {array} right] = left [ begin {array} {c} 0 0 end {array} right] ]

Cu alte cuvinte, (A vec {x} = 0 ) implică faptul că ( vec {x} = 0 ). Prin propoziție [prop: onetoonematrices], (A ) este unu la unu, deci (T ) este, de asemenea, unul la unu.

De asemenea, am fi putut vedea că (T ) este unul la unu din soluția noastră de mai sus pentru on. Privind matricea dată de [ontomatrix], puteți vedea că există un unic soluție dată de (x = 2a-b ) și (y = b-a ). Prin urmare, există un singur vector, în special ( left [ begin {array} {c} x y end {array} right] = left [ begin {array} {c} 2a-b ba end {array} right] ) astfel încât (T left [ begin {array} {c} x y end {array} right] = left [ begin {array} { c} a b end {array} right] ). Prin urmare, prin definiție [def: onetoone], (T ) este unu la unu.

Exemplu ( PageIndex {2} ): o transformare activă

Fie (T: mathbb {R} ^ 4 mapsto mathbb {R} ^ 2 ) o transformare liniară definită de [T left [ begin {array} {c} a b c d end {array} right] = left [ begin {array} {c} a + d b + c end {array} right] mbox {pentru toate} left [ begin {array} {c} a b c d end {array} right] in mathbb {R} ^ 4 ] Dovediți că (T ) este pe dar nu unul la unu.

Soluţie

Puteți demonstra că (T ) este de fapt liniar.

Pentru a arăta că (T ) este pe, să fie ( left [ begin {array} {c} x y end {array} right] ) să fie un vector arbitrar în ( mathbb {R } ^ 2 ). Luând vectorul ( left [ begin {array} {c} x y 0 0 end {array} right] în mathbb {R} ^ 4 ) avem [T left [ begin {array} {c} x y 0 0 end {array} right] = left [ begin {array} {c} x + 0 y + 0 end {array} right] = left [ begin {array} {c} x y end {array} right] ] Aceasta arată că (T ) este pe.

Prin propoziție [prop: onetoonematrices] (T ) este unu la unu dacă și numai dacă (T ( vec {x}) = vec {0} ) implică faptul că ( vec {x} = vec {0} ). Observați că [T left [ begin {array} {r} 1 0 0 -1 end {array} right] = left [ begin {array} {c} 1 + - 1 0 + 0 end {array} right] = left [ begin {array} {c} 0 0 end {array} right] ] Există un vector diferit de zero ( vec { x} ) în ( mathbb {R} ^ 4 ) astfel încât (T ( vec {x}) = vec {0} ). Rezultă că (T ) nu este unul la unu.

Exemplele de mai sus demonstrează o metodă pentru a determina dacă o transformare liniară (T ) este unu la unu sau pe. Se pare că matricea (A ) a (T ) poate furniza aceste informații.

Teorema ( PageIndex {2} ): Matricea unei transformări One to One sau Onto

Fie (T: mathbb {R} ^ n mapsto mathbb {R} ^ m ) o transformare liniară indusă de matricea (m times n ) (A ). Atunci (T ) este unul la unu dacă și numai dacă rangul lui (A ) este (n ). (T ) este pe dacă și numai dacă rangul lui (A ) este (m ).

Luați în considerare Exemplul [exa: ontotransformare]. Mai sus am arătat că (T ) era pe dar nu unul la unu. Acum putem folosi această teoremă pentru a determina acest fapt despre (T ).

Exemplu ( PageIndex {3} ): o transformare activă

Fie (T: mathbb {R} ^ 4 mapsto mathbb {R} ^ 2 ) o transformare liniară definită de [T left [ begin {array} {c} a b c d end {array} right] = left [ begin {array} {c} a + d b + c end {array} right] mbox {pentru toate} left [ begin {array} {c} a b c d end {array} right] in mathbb {R} ^ 4 ] Dovediți că (T ) este pe dar nu unul la unu.

Soluţie

Folosind teorema [thm: matrixonetooneonto] putem arăta că (T ) este pe dar nu unul la unu din matricea lui (T ). Reamintim că pentru a găsi matricea (A ) a (T ), aplicăm (T ) fiecăruia dintre vectorii de bază standard ( vec {e} _i ) din ( mathbb {R} ^ 4 ). Rezultatul este matricea (2 times 4 ) dată de [A = left [ begin {array} {rrrr} 1 & 0 & 0 & 1 0 & 1 & 1 & 0 end { array} right] ] Din fericire, această matrice este deja sub formă redusă-eșalon. Rangul lui (A ) este (2 ). Prin urmare, conform teoremei de mai sus (T ) este pe dar nu unu la unu.

Reamintim că, dacă (S ) și (T ) sunt transformări liniare, putem discuta despre compozitul lor notat (S circ T ). Următoarele examinează ce se întâmplă dacă atât pe (S ) cât și (T ) sunt pe.

Exemplu ( PageIndex {4} ): compus din transformări

Fie (T: mathbb {R} ^ k mapsto mathbb {R} ^ n ) și (S: mathbb {R} ^ n mapsto mathbb {R} ^ m ) transformări liniare. Dacă (T ) și (S ) sunt pe, atunci (S circ T ) este pe.

Soluţie

Să ( vec {z} in mathbb {R} ^ m ). Deoarece (S ) este pe, există un vector ( vec {y} în mathbb {R} ^ n ) astfel încât (S ( vec {y}) = vec {z} ). Mai mult, deoarece (T ) este pe, există un vector ( vec {x} în mathbb {R} ^ k ) astfel încât (T ( vec {x}) = vec {y } ). Astfel [ vec {z} = S ( vec {y}) = S (T ( vec {x})) = (ST) ( vec {x}), ] care arată că pentru fiecare ( vec {z} in mathbb {R} ^ m ) există și ( vec {x} in mathbb {R} ^ k ) astfel încât ((ST) ( vec {x}) = vec {z} ). Prin urmare, (S circ T ) este pe.

Următorul exemplu arată același concept în ceea ce privește transformările unu-la-unu.

Exemplu ( PageIndex {5} ): compus din transformări One to One

Fie (T: mathbb {R} ^ k mapsto mathbb {R} ^ n ) și (S: mathbb {R} ^ n mapsto mathbb {R} ^ m ) transformări liniare. Dovediți că dacă (T ) și (S ) sunt unu la unu, atunci (S circ T ) este unul la unu.

Soluţie

Pentru a demonstra că (S circ T ) este unul la unu, trebuie să arătăm că dacă (S (T ( vec {v})) = vec {0} ) rezultă că ( vec {v} = vec {0} ). Să presupunem că (S (T ( vec {v})) = vec {0} ). Deoarece (S ) este unu la unu, rezultă că (T ( vec {v}) = vec {0} ). În mod similar, deoarece (T ) este unu la unu, rezultă că ( vec {v} = vec {0} ). Prin urmare, (S circ T ) este unul la unu.


Cred că veți putea răspunde la această întrebare dacă cineva este dispus să explice terminologia:

  • Care este expresia & quotunu la unu& quot înseamnă.
  • Care este litera mare de capital $ P $
  • Ce cuvântul & quotpe& quot înseamnă.
  • etc.

Care este litera mare de capital $ P $?

Răspuns: $ P $ este ansamblul tuturor polinoamelor.

Ce este un polinom?

Câteva exemple de polinoame sunt prezentate mai jos:

  • $ f (x) = 56,4 * x ^ 9 16,78 * x ^ 4 + x + 99,1 $
  • $ g (x) = 5 * x ^ 3 16,78 * x ^ 2 + x + 1,6 $
  • $ h (x) = pi * x ^ 100 $
  • $ i (x) = pi $
  • $ j (x) = 0 $
  • $ k (x) = x $

Spre deosebire de majoritatea matematicienilor, găsesc definirea prin exemplu a fi foarte util.

Un polinom este o funcție similară cu $ 5 * x ^ <3> + x + <8> $ (fără funcții sinusoidale, doar $ x $ ridicat la o anumită putere)

Ce faci Unu la unu și Pe Rău?

Să presupunem că aveți o mașină.

Există un set de intrări valide în mașină.

Există un set de ieșiri valide către mașină.

Să presupunem că singurele intrări permise în mașină sunt $ -2 $, $ -1 $, $, 1 $ și 2 $

Scoate o bucată de hârtie. Rotiți hârtia lateral și trageți o linie verticală în mijlocul hârtiei, astfel încât hârtia să fie tăiată în două jumătăți.

Desenați fiecare intrare către mașină în stânga liniei.

Trageți fiecare ieșire către mașină la dreapta liniei.

O mașină de intrare-ieșire este & quotunu la unu& quot când fiecare punct de ieșire are zero sau o linie care trage din el.

Dacă aparatul este $ (x ^ 2) $, atunci rețineți că intrările $ -2 $ și 2 $ au aceeași ieșire 4 $. Astfel, mașina $ (x ^ 2) $ este NU & quotunu la unu. & quot

Formularea & quotunu la unu& quot provine dintr-un fel de presupunere implicită că fiecare punct din intrări are exact o linie care iese din el. Când este adevărat, fiecare punct de pe intrare se potrivește cu exact un punct din ieșire. Este o relație foarte unu la unu.

Un exemplu de relație unu-la-unu ar fi cuplurile căsătorite dintr-un sat, cu condiția ca:

  • fiecare soț are cel mult o soție.
  • fiecare soție are cel mult un soț.
  • toată lumea este căsătorită
    • nu există burlaci sau burlaci
    • nu există bărbați singuri sau femei singure

    Ce înseamnă & quot * către & quot?

    Diagrama punctelor și a liniilor este afișată dacă fiecare punct din dreapta are cel puțin o linie care iese din ea.

    O mașină cu intrări și ieșiri este & quotpe& quot când, pentru orice ieșire, există cel puțin o intrare care produce ieșirea respectivă.

    De exemplu, un distribuitor automat în stil mai vechi s-ar putea potrivi cu combinații număr-litere (cum ar fi 4E) la sifon. Să presupunem că există un sifon (de ex. Dr. Pepper) astfel încât să nu existe un cod (sau un buton) cu numărul de literă pe care un client să îl poată introduce pentru a obține acea marcă de sifon. Asta ar fi o problemă. Nimeni nu l-ar cumpăra vreodată. Soda ar sta în interiorul aparatului ani de zile până când vor înlocui aparatul cu unul care are o interfață cu ecran tactil cu imagini în loc de litere și numere.

    Derivatul

    În comentariile dvs., ați spus că nu ați luat calculul.

    Deci, probabil că nu știți ce este un derivat.

    Rețineți că derivat de $ x ^

    $ este $ x ^ <(p-1)> $

    • Înmulțiți noul lucru cu vechiul exponent.
    • Scoateți unul din exponentul vechi pentru a obține noul exponent.

    De exemplu, derivatul lui $ 2 * x ^ <7> $ este $ 2 * 7x ^ <6> $

    Dacă aveți multe lucruri adăugate, luați derivatul fiecărei piese și apoi adăugați piesele împreună.

    Anti-derivate

    anti-derivat anulează luarea derivatului.

    Există mulți $ mathtt$ din $ (x ^

    )$ .
    De obicei, $ left ( dfrac> + c right) $ este anti-derivatul lui $ (x ^

    )$ ,
    unde $ c $ este orice număr vechi, cum ar fi 25 $ sau 31.662 $

    Anti-derivatul este opusul derivatului.

    Singura excepție este $ p = -1 $. În acest caz, $ x ^ p = dfrac <1>$

    Dacă $ p = -1 $, derivatul lui $ x ^ p $ este $ log ( vert x vert) $

    Memento: Care a fost întrebarea dvs. pentru teme

    Determinați dacă transformarea liniară $ T $ este una-la-una, pe sau nici una.

    $ T: P → P $ definit de $ T (p) = p ′ $
    Pentru orice polinom $ p $, $ T (p) $ este derivatul lui $ p $

    Reformularea exercițiului pentru teme

    Transformarea derivatului este & quotunu la unu& quot dacă (și numai dacă) nu există două polinoame diferite $ p $ și $ q $ astfel încât $ p ′ $ este derivata lui $ p $ și $ p ^ < prime> $ este derivata lui $ q $

    Este transformarea derivatului & quotunu la unu& quot?

    Sugestie pentru & quotunu la unu& quot:
    Derivata oricărei constante (de exemplu $ 1 $, $ 2 $ sau $ pi $) este zero.
    Un anti-derivat de $ este orice număr constant vechi, cum ar fi $ 59 $

    De asemenea, vi se cere dacă, pentru orice polinom $ p ^ < prime> $, există cel puțin un polinom $ p $ astfel încât derivata lui $ p $ să fie $ p ^ < prime> $? Dacă da, atunci transformarea derivatului este & quotpe& quot


    Ce trebuie să faci?

    Din fericire, trăim într-o epocă în care există o mulțime de opțiuni pentru a ne facilita jocurile astăzi, voi aborda câteva dintre avantajele și dezavantajele unei opțiuni la care probabil nu v-ați gândit mult: jocurile cu un GM și un singur jucător, altfel cunoscut sub numele de jocuri unu la unu.

    Jocurile individuale par să câștige un pic de tracțiune în ultimii ani, odată cu lansarea recentă a Pelgrane Press Cthulhu Confidențial, Sine Nomine Publishing’s Scarlet Heroesși Expeditional Retreat Press Aventuri 1 la 1 linie pentru RPG Pathfinder care îmi vine în minte.

    Kelly și cu mine ne implicăm în jocuri individuale în mod regulat (minți din jgheaburi, vorbim aici de zaruri și fișe de personaje) și considerăm că este o modalitate excelentă de a ne bucura de timp unul cu celălalt, dar există câteva capcane de reținut, de asemenea.


    Definiție (transformări one-to-one)

    este unu la unu dacă, pentru fiecare vector

    Observație

    Un alt cuvânt pentru unu la unu este injectiv.

    Iată câteva moduri echivalente de a spune asta

    Iată câteva moduri echivalente de a spune asta

    are mai mult de o soluţie

    Exemplu (Funcțiile unei variabile)
    Exemplu (O transformare cu cuvânt real: robotică)
    Teorema (transformări matriciale individuale)

    fie transformarea matricială asociată. Următoarele afirmații sunt echivalente:

    Dovadă

    Enunțurile 1, 2 și 3 sunt traduceri reciproce. Echivalența 3 și 4 rezultă din această observație cheie din secțiunea 3.1: dacă

    are o singură soluție, atunci

    are o singură soluție, de asemenea, sau este inconsecventă. Echivalența 4, 5 și 6 este o consecință a acestei note importante din secțiunea 3.2, iar echivalența 6 și 7 rezultă din faptul că rangul unei matrice este egal cu numărul de coloane cu pivote.

    Reamintim că echivalent înseamnă că, pentru o matrice dată, fie toate afirmațiile sunt adevărate simultan, fie toate sunt false.

    Exemplu (O transformare a matricei care este unu-la-unu)
    Exemplu (O transformare a matricei care nu este unu-la-unu)
    Exemplu (O transformare a matricei care nu este unu-la-unu)
    Exemplu (O transformare a matricei care nu este unu-la-unu)

    Cele trei exemple anterioare pot fi rezumate după cum urmează. Să presupunem că

    este o transformare a matricei care este nu unu la unu. Prin teoremă, există o soluție netrivială a

    Aceasta înseamnă că spațiul nul al

    nu este spațiul zero. Toți vectorii din spațiul nul sunt soluții pentru

    Dacă calculați un vector diferit de zero

    în spațiul nul (prin reducerea rândului și găsirea formei parametrice a setului de soluții de


    1 Răspunsul 1

    Se pare că o persoană nu poate aparține mai multor companii. Deci, puteți face din Primar un atribut al Persoanei. Reduce complexitatea modelului: aveți nevoie doar de asocierea unu-la-mulți. Cu toate acestea, crește complexitatea logicii de afaceri: (1) Trebuie să obțineți contactul principal prin

    ceea ce nu este la fel de ușor ca citirea unei proprietăți de navigare și (2) aveți nevoie de logică pentru a vă asigura că o singură persoană este primară.

    Dacă doriți să păstrați modelul actual, ar trebui să salvați mai întâi compania și contactele acesteia și apoi să atribuiți contactul principal într-o a doua tranzacție. Când o faceți într-o singură tranzacție EF poate seta cele două chei străine generate în același timp. Trebuie să creeze compania mai întâi pentru FK în persoană și Persoana mai întâi pentru FK în companie.


    5.5: Transformări individuale și individuale

    Pentru părinți

    Oferirea unei experiențe sigure pe internet pentru studenții noștri este o prioritate absolută în districtul școlar Anderson cinci. Chromebookurile oferă studenților acces filtrat la o multitudine de resurse de internet. Consola de gestionare a Chromebookurilor Google Apps for Education ne permite să gestionăm de la distanță Chromebookurile și setările acestora. Toți profesorii din districtul școlar Anderson cinci au acces la Google Classroom, care le permite profesorilor să acceseze cu ușurință documentele studenților, precum și să monitorizeze activitatea elevilor în timp ce se află în clasa lor, prin integrarea cu utilități terțe.

    Consola de administrare ne permite, de asemenea, să filtrăm conținutul pentru studenții care iau Chromebookurile acasă.

    Vă rugăm să utilizați următoarele link-uri pentru a accesa resursele pe care vi le puteți găsi utile:


    5.5: Transformări individuale și individuale

    Funcții, mapări, hărți, transformări, operatori. Pe, unu-la-unu, surjectiv, injectiv, bijectiv, identitate, produs, funcții inverse. Grup de transformări pe un set. Permutare. Grup simetric Sn.

    Def. A stabilit. O colecție finită sau infinită de obiecte complet arbitrare.

    1) Ansamblul numerelor 1, 2,. , n

    2) Setul de variabile independente x1, X2,. , Xn

    3) Ansamblul tuturor punctelor unui plan

    4) Ansamblul tuturor triunghiurilor din plan

    5) Ansamblul tuturor râurilor din China.

    Def. Funcție (sau mapare, hartă, transformare, operator). Să presupunem că fiecărui element dintr-o mulțime A i se atribuie, într-un fel sau altul, un element unic al unei mulțimi B. Numim astfel de atribuții a funcție (sau mapare, hartă, transformare, operator). Dacă lăsăm f să denumească aceste sarcini, scriem

    care citește & # 8220f este o funcție a lui A în B & # 8221. Mulțimea A se numește domeniul lui f și B se numește co-domeniul lui f. Dacă funcția atribuie b & # 949 B lui a & # 949 A spunem că b este imaginea lui a. Imaginea a este notată cu f (a), care citește & # 8220f din a & # 8221. Se numeste valoarea lui f la a sau imaginea unui sub f . Elementul a se numește preimaginea din b. Dacă P este orice subset al lui A, atunci f (P) reprezintă ansamblul de imagini al elementelor lui P și dacă Q este orice subset al lui B, atunci f -1 (Q) denotă setul de elemente ale lui A care sunt mapate în Q. Numim f (P) imaginea lui P și f -1 (Q) imaginea inversă sau preimaginea lui Q.

    Sin. cartografiere, hartă, transformare, operator

    Într-o funcție dintr-o mulțime A într-o mulțime B, mai multe elemente ale lui A pot imagina toate în același element din B. În Fig. 1 elementele a și b ambele imagine în 1. De asemenea, întregul set B poate să nu fie acoperit. Vezi Figura 1.

    Gama unei funcții. Gama unei funcții constă din acele elemente ale co-domeniului în care funcția este mapată. Co-domeniul constă din întregul set de elemente care sunt mapate în. În Fig. 1 gama constă din elemente 1, 2, 3 și 5, în timp ce co-domeniul constă din întregul set B.

    este notat cu f (A). Rețineți că f (A) este un subset al lui B.

    Obiectele mulțimilor A și B pot fi destul de arbitrare. Setul A ar putea reprezenta numere întregi, numere reale, numere complexe, vectori, matrici, funcții etc. La fel pentru mulțimea B.

    1] Aria unui cerc este o funcție a razei sinusul unui unghi este o funcție a unghiului logaritmul unui număr este o funcție a numărului. Expresia y = 3x 2 + 7 definește y ca o funcție a lui x unde se specifică faptul că domeniul este (de exemplu) setul de numere reale.

    2] Ecuația matricei y = Ax unde A este o matrice mxn și x și y sunt vectori din două spații vectoriale diferite definește o funcție dintr-un spațiu vectorial în altul. Domeniul este format din spațiul vectorial V și co-domeniul este format din spațiul vectorial W cu x în V și y în W. Matricea A reprezintă funcția care poate fi privită ca un operator # 8220 și care funcționează pe un vector pentru a produce altul. .

    este o funcție care atribuie un număr real unei funcții reale f (x) definită pe intervalul [0,1].

    Pe funcție. Se spune că o funcție este & # 8220onto & # 8221 dacă fiecare element din co-domeniul B este imaginea unui element din domeniul A. Cu toate acestea, mai multe elemente ale lui A pot fi mapate în același element al lui B. Vezi Figura 2.

    Sin. funcție surjectivă, surjecție.

    Funcție unu la unu. Se spune că o funcție este & # 8220one-to-one & # 8221 dacă fiecare element al domeniului A se mapează într-un element diferit al co-domeniului B. Elementele diferite imagine în elemente diferite. Nu există imagini din două elemente în același element. Cu toate acestea, este posibil ca întregul set B să nu fie acoperit. Vezi Figura 3

    Sin. funcție injectivă, injecție.

    Funcția bijectivă. O funcție care este atât one-to-one, cât și pe.

    Funcții egale. Dacă f și g sunt funcții definite pe același domeniu D și dacă f (a) = g (a) pentru fiecare a D, atunci funcțiile f și g sunt egale și scriem f = g.

    Funcția de identitate. Fie A orice set. Funcția f: A & # 8594 A este definită prin formula f (x) = x, adică f atribuie fiecărui element din A elementul însuși. Atunci f se numește funcția de identitate sau transformarea identității pe A. Este funcția I: A & # 8594 A care lasă fiecare punct al lui A fix.

    Funcție constantă. O funcție f a lui A în B se numește funcție constantă dacă același element b B este atribuit fiecărui element din A. Cu alte cuvinte, f: A & # 8594 B este o funcție constantă dacă intervalul lui f este format dintr-o singură element. Vezi Figura 4.

    Exemplu. Fie f: R & # 8594 R definit prin formula f (x) = 3. Atunci f este o funcție constantă, deoarece 3 este atribuit fiecărui element al domeniului R.

    Funcția produsului. Fie f o funcție a lui A în B și fie g o funcție a lui B, co-domeniul lui f, în C. Vezi Figura 5. Fie a un element în A. Atunci imaginea sa f (a) este în B care este domeniul g. În consecință, putem găsi imaginea lui f (a) sub maparea g, adică putem găsi g (f (a)). Astfel avem o regulă care atribuie fiecărui element un A un element corespunzător g (f (a)) C. Cu alte cuvinte, avem o funcție de A în C. Această nouă funcție se numește funcția produsului sau funcția de compoziție a lui f și g și este notat cu

    Mai pe scurt, dacă f: A & # 8594 B și g: B & # 8594 C atunci definim o funcție (g f): A & # 8594 C de

    Aici & # 8801 este folosit pentru a însemna egal prin definiție.

    Asociativitatea produselor funcțiilor. Fie dacă f: A & # 8594 B, g: B & # 8594 C și h: C & # 8594 D.

    Apoi, așa cum este ilustrat în Figura 6, putem forma funcția produsului gf: A & # 8594 C și apoi funcția h (gf): A & # 8594 D.

    În mod similar, așa cum este ilustrat în Figura 7, putem forma funcția produsului hg: B & # 8594 D și apoi funcția (hg) f: A & # 8594 D.

    Ambele (h (gf) și (hg) f sunt funcții ale lui A în D. O teoremă de bază a funcțiilor afirmă că aceste funcții sunt egale.

    & # 160f: A & # 8594 B, g: B & # 8594 C și h: C & # 8594 D. Apoi

    Astfel multiplicarea funcțiilor se supune Legii asociative pentru multiplicare. Ca o consecință a acestei teoreme putem scrie

    Def. Funcție inversă . Funcția care anulează exact efectul unei funcții date. Fie f o funcție a lui A în B și g o funcție a lui B în A. Atunci g este inversul lui f dacă gf = I unde I este funcția de identitate. Astfel, g anulează efectul lui f, lăsând nemodificat setul A. Notăm inversa unei funcții f cu f -1. Astfel, dacă funcția f posedă un invers f -1, atunci f -1 f = I.

    Existența funcțiilor inverse. O funcție f poate avea sau nu un invers. Am văzut că o funcție poate atribui aceeași imagine în B mai multor elemente din A. Vezi Figura 1 de mai sus. O funcție care face acest lucru nu poate avea un invers. Nu există nicio funcție care să ofere acel tip de mapare. Prin definiție, funcțiile au o singură valoare. Pentru a exista o funcție inversă pentru o funcție dată f maparea trebuie să fie una-la-unu. În plus, o mapare nu poate acoperi întregul co-domeniu. Acest lucru provoacă o problemă suplimentară.

    Cartografierea unui set în sine. Fie G să reprezinte o mapare (sau transformare) a unui set S în sine. Fiecare element a & # 8712 S este mapat într-un element b & # 8712 S. Mai multe elemente ale lui S pot fi mapate în același element al lui S și, în plus, nu fiecare element al lui S trebuie să fie imaginea unui element al lui S. Se poate vedea că G nu este neapărat nici pe, nici unul-la-unu.

    Exemple de acest tip de cartografiere sunt frecvente în matematică. Funcții precum y = 5x 3 și y = sin x reprezintă mapări din mulțimea numerelor reale în mulțimea numerelor reale.

    Fie J (S) să reprezinte mulțimea tuturor mapărilor posibile ale lui G pe mulțimea finită S = <>1, A2,. , An). Atunci J (S) conține n n elemente, deoarece fiecare element aeu & # 8712 S poate fi mapat pe oricare dintre n elementele a1, A2,. , An.

    Fiecare cartografiere G a unui set finit S poate fi dată prin intermediul unui tabel format din două rânduri cu rândul superior format din numele elementelor lui S într-o ordine arbitrară și al doilea rând format din imaginile elementelor de deasupra lor . De exemplu

    denotă transformarea setului de numere 1, 2, 3, 4 în care numerele 1, 2, 3, 4 trec în numerele 2, 4, 1, 3, respectiv. Cu toate acestea, ordinea elementelor din rândul de sus este imaterială și

    Transformări individuale. Fie G & # 697 o mapare care este atât pe cât și pe una-la-unu. Fie O (S) să reprezinte mulțimea tuturor mapărilor posibile ale lui G & # 697 pe setul S = <>1, A2,. , An). Atunci O (S) este un subset al lui J (S).

    Teorema 1. O (S) este închisă în ceea ce privește multiplicarea transformării.

    Teorema 2. Pentru o transformare T & # 8712 O (S),

    unde I este transformarea identității.

    Să luăm acum în considerare un concept important, conceptul de a grup de transformări. Termenul & # 8220transformation & # 8221 înseamnă același lucru cu funcția. Termenii sunt folosiți în mod interschimbabil.

    Def. Grup de transformări pe un set S. Orice set G de transformări unu-la-unu (adică funcții) ale unui set S asupra sa care îndeplinește condițiile axiomatice pentru a fi un grup, adică

    1) Închidere (dacă transformările f și g sunt în G, la fel este și produsul lor fg)

    2) Legea asociativă este valabilă adică f (gh) = (fg) h

    3) Existența unui element de identitate

    4) Existența inverselor, adică dacă transformarea f este în G, la fel este și inversul său f -1

    Rețineți că grupul G poate fi fie un grup finit, fie un grup infinit. Nu se face nicio stipulare cu privire la aceasta.

    Acum luați în considerare următorul set important: setul tuturor permutărilor posibile ale unui set S de n obiecte asupra sa. Acesta îndeplinește toate cerințele axiomatice ale unui grup.

    Def. Permutare. O operație care înlocuiește un set de n obiecte cu unul dintre n-urile sale! permutări.

    Def. Grupul simetric Sn pe n litere. Grupul tuturor permutărilor posibile pe n obiecte.

    & # 160 & # 160 & # 160Lipschutz. Teoria setului. Cap. 4

    & # 160 & # 160 & # 160 Lipchutz. Algebră liniară. p. 121

    & # 160 & # 160 & # 160 James și James. Dicționar de matematică

    & # 160 & # 160 & # 160 Birkhoff, MacLane. Un sondaj asupra algebrei moderne. p. 119 - 123


    Cuprins

    Pentru o pereche între X și Da (Unde Da nu trebuie să fie diferit de X) pentru a fi o bijecție, patru proprietăți trebuie să dețină:

    1. fiecare element al X trebuie asociat cu cel puțin un element de Da,
    2. niciun element de X poate fi asociat cu mai multe elemente din Da,
    3. fiecare element al Da trebuie asociat cu cel puțin un element de X, și
    4. niciun element de Da poate fi asociat cu mai multe elemente din X.

    Proprietățile satisfăcătoare (1) și (2) înseamnă că o asociere este o funcție cu domeniul X. Este mai frecvent să vezi proprietățile (1) și (2) scrise ca o singură afirmație: Fiecare element al X este asociat cu exact un element de Da. Se spune că funcțiile care satisfac proprietatea (3) sunt "pe Da "și se numesc surjecții (sau funcții surjective). Se spune că funcțiile care satisfac proprietatea (4) sunt „funcții unu la unu” și se numesc injecții (sau funcții injective). [3] With this terminology, a bijection is a function which is both a surjection and an injection, or using other words, a bijection is a function which is both "one-to-one" and "onto". [1] [4]

    Batting line-up of a baseball or cricket team Edit

    Consider the batting line-up of a baseball or cricket team (or any list of all the players of any sports team where every player holds a specific spot in a line-up). The set X will be the players on the team (of size nine in the case of baseball) and the set Y will be the positions in the batting order (1st, 2nd, 3rd, etc.) The "pairing" is given by which player is in what position in this order. Property (1) is satisfied since each player is somewhere in the list. Property (2) is satisfied since no player bats in two (or more) positions in the order. Property (3) says that for each position in the order, there is some player batting in that position and property (4) states that two or more players are never batting in the same position in the list.

    Seats and students of a classroom Edit

    In a classroom there are a certain number of seats. A bunch of students enter the room and the instructor asks them to be seated. After a quick look around the room, the instructor declares that there is a bijection between the set of students and the set of seats, where each student is paired with the seat they are sitting in. What the instructor observed in order to reach this conclusion was that:

    1. Every student was in a seat (there was no one standing),
    2. No student was in more than one seat,
    3. Every seat had someone sitting there (there were no empty seats), and
    4. No seat had more than one student in it.

    The instructor was able to conclude that there were just as many seats as there were students, without having to count either set.

    • For any set X, the identity function1X: XX, 1X(X) = X is bijective.
    • The function f: RR, f(X) = 2X + 1 is bijective, since for each y there is a unique X = (y − 1)/2 such that f(X) = y. More generally, any linear function over the reals, f: RR, f(X) = ax + b (where a is non-zero) is a bijection. Each real number y is obtained from (or paired with) the real number X = (yb)/a.
    • The function f: R → (−π/2, π/2), given by f(X) = arctan(X) is bijective, since each real number X is paired with exactly one angle y in the interval (−π/2, π/2) so that tan(y) = X (that is, y = arctan(X)). If the codomain (−π/2, π/2) was made larger to include an integer multiple of π/2, then this function would no longer be onto (surjective), since there is no real number which could be paired with the multiple of π/2 by this arctan function.
    • The exponential function, g: RR, g(X) = e X , is not bijective: for instance, there is no X în R astfel încât g(X) = −1, showing that g is not onto (surjective). However, if the codomain is restricted to the positive real numbers R + ≡ ( 0 , + ∞ ) ^<+>equiv left(0,,+infty ight)> , then g would be bijective its inverse (see below) is the natural logarithm function ln.
    • The function h: RR + , h(X) = X 2 is not bijective: for instance, h(−1) = h(1) = 1, showing that h is not one-to-one (injective). However, if the domain is restricted to R 0 + ≡ [ 0 , + ∞ ) _<0>^<+>equiv left[0,,+infty ight)> , then h would be bijective its inverse is the positive square root function.
    • By Cantor-Bernstein-Schroder theorem, given any two sets X și Y, and two injective functions f: X → Y și g: Y → X, there exists a bijective function h: X → Y.

    A bijection f with domain X (indicated by f: X → Y in functional notation) also defines a converse relation starting in Y and going to X (by turning the arrows around). The process of "turning the arrows around" for an arbitrary function does not, in general, yield a function, but properties (3) and (4) of a bijection say that this inverse relation is a function with domain Y. Moreover, properties (1) and (2) then say that this inverse function is a surjection and an injection, that is, the inverse function exists and is also a bijection. Functions that have inverse functions are said to be invertible. A function is invertible if and only if it is a bijection.

    Stated in concise mathematical notation, a function f: X → Y is bijective if and only if it satisfies the condition

    for every y în Y there is a unique X în X with y = f(X).

    Continuing with the baseball batting line-up example, the function that is being defined takes as input the name of one of the players and outputs the position of that player in the batting order. Since this function is a bijection, it has an inverse function which takes as input a position in the batting order and outputs the player who will be batting in that position.


    5.5: One-to-One and Onto Transformations

    5 Now when Jesus saw the crowds, he went up on a mountainside and sat down. His disciples came to him, 2 and he began to teach them.

    The Beatitudes (A)

    3 “Blessed are the poor in spirit,
    for theirs is the kingdom of heaven. (B)
    4 Blessed are those who mourn,
    for they will be comforted. (C)
    5 Blessed are the meek,
    for they will inherit the earth. (D)
    6 Blessed are those who hunger and thirst for righteousness,
    for they will be filled. (E)
    7 Blessed are the merciful,
    for they will be shown mercy. (F)
    8 Blessed are the pure in heart, (G)
    for they will see God. (H)
    9 Blessed are the peacemakers, (I)
    for they will be called children of God. (J)
    10 Blessed are those who are persecuted because of righteousness, (K)
    for theirs is the kingdom of heaven. (L)

    11 “Blessed are you when people insult you, (M) persecute you and falsely say all kinds of evil against you because of me. (N) 12 Rejoice and be glad, (O) because great is your reward in heaven, for in the same way they persecuted the prophets who were before you. (P)

    Salt and Light

    13 “You are the salt of the earth. But if the salt loses its saltiness, how can it be made salty again? It is no longer good for anything, except to be thrown out and trampled underfoot. (Q)

    14 “You are the light of the world. (R) A town built on a hill cannot be hidden. 15 Neither do people light a lamp and put it under a bowl. Instead they put it on its stand, and it gives light to everyone in the house. (S) 16 In the same way, let your light shine before others, (T) that they may see your good deeds (U) and glorify (V) your Father in heaven.

    The Fulfillment of the Law

    17 “Do not think that I have come to abolish the Law or the Prophets I have not come to abolish them but to fulfill them. (W) 18 For truly I tell you, until heaven and earth disappear, not the smallest letter, not the least stroke of a pen, will by any means disappear from the Law until everything is accomplished. (X) 19 Therefore anyone who sets aside one of the least of these commands (Y) and teaches others accordingly will be called least in the kingdom of heaven, but whoever practices and teaches these commands will be called great in the kingdom of heaven. 20 For I tell you that unless your righteousness surpasses that of the Pharisees and the teachers of the law, you will certainly not enter the kingdom of heaven. (Z)

    Murder (AA)

    21 “You have heard that it was said to the people long ago, ‘You shall not murder, [a] (AB) and anyone who murders will be subject to judgment.’ 22 But I tell you that anyone who is angry (AC) with a brother or sister [b] [c] will be subject to judgment. (AD) Again, anyone who says to a brother or sister, ‘Raca,’ [d] is answerable to the court. (AE) And anyone who says, ‘You fool!’ will be in danger of the fire of hell. (AF)

    23 “Therefore, if you are offering your gift at the altar and there remember that your brother or sister has something against you, 24 leave your gift there in front of the altar. First go and be reconciled to them then come and offer your gift.

    25 “Settle matters quickly with your adversary who is taking you to court. Do it while you are still together on the way, or your adversary may hand you over to the judge, and the judge may hand you over to the officer, and you may be thrown into prison. 26 Truly I tell you, you will not get out until you have paid the last penny.

    Adultery

    27 “You have heard that it was said, ‘You shall not commit adultery.’ [e] (AG) 28 But I tell you that anyone who looks at a woman lustfully has already committed adultery with her in his heart. (AH) 29 If your right eye causes you to stumble, (AI) gouge it out and throw it away. It is better for you to lose one part of your body than for your whole body to be thrown into hell. 30 And if your right hand causes you to stumble, (AJ) cut it off and throw it away. It is better for you to lose one part of your body than for your whole body to go into hell.

    Divorce

    31 “It has been said, ‘Anyone who divorces his wife must give her a certificate of divorce.’ [f] (AK) 32 But I tell you that anyone who divorces his wife, except for sexual immorality, makes her the victim of adultery, and anyone who marries a divorced woman commits adultery. (AL)

    Oaths

    33 “Again, you have heard that it was said to the people long ago, ‘Do not break your oath, (AM) but fulfill to the Lord the vows you have made.’ (AN) 34 But I tell you, do not swear an oath at all: (AO) either by heaven, for it is God’s throne (AP) 35 or by the earth, for it is his footstool or by Jerusalem, for it is the city of the Great King. (AQ) 36 And do not swear by your head, for you cannot make even one hair white or black. 37 All you need to say is simply ‘Yes’ or ‘No’ (AR) anything beyond this comes from the evil one. [g] (AS)

    Eye for Eye

    38 “You have heard that it was said, ‘Eye for eye, and tooth for tooth.’ [h] (AT) 39 But I tell you, do not resist an evil person. If anyone slaps you on the right cheek, turn to them the other cheek also. (AU) 40 And if anyone wants to sue you and take your shirt, hand over your coat as well. 41 If anyone forces you to go one mile, go with them two miles. 42 Give to the one who asks you, and do not turn away from the one who wants to borrow from you. (AV)

    Love for Enemies

    43 “You have heard that it was said, ‘Love your neighbor [i] (AW) and hate your enemy.’ (AX) 44 But I tell you, love your enemies and pray for those who persecute you, (AY) 45 that you may be children (AZ) of your Father in heaven. He causes his sun to rise on the evil and the good, and sends rain on the righteous and the unrighteous. (BA) 46 If you love those who love you, what reward will you get? (BB) Are not even the tax collectors doing that? 47 And if you greet only your own people, what are you doing more than others? Do not even pagans do that? 48 Be perfect, therefore, as your heavenly Father is perfect. (BC)


    Section 3.6 The Invertible Matrix Theorem ¶ permalink

    This section consists of a single important theorem containing many equivalent conditions for a matrix to be invertible. This is one of the most important theorems in this textbook. We will append two more criteria in Section 5.1.

    Invertible Matrix Theorem

    be the matrix transformation

    The following statements are equivalent:

    has a unique solution for each

    Proof

    pivots if and only if its reduced row echelon form is the identity matrix

    This happens exactly when the procedure in Section 3.5 to compute the inverse succeeds.

    The null space of a matrix is

    if and only if the matrix has no free variables, which means that every column is a pivot column, which means

    These follow from this recipe in Section 2.5 and this theorem in Section 2.3, respectively, since

    pivots if and only if has a pivot in every row/column.

    has at least one solution for every

    if and only if the columns of

    has at most one solution for every

    if and only if the columns of

    are linearly independent by this theorem in Section 3.2. Hence

    has exactly one solution for every

    if and only if its columns are linearly independent and span

    This is the content of this theorem in Section 3.5.

    To reiterate, the invertible matrix theorem means:

    There are two kinds of square matrices:

    For invertible matrices, all of the statements of the invertible matrix theorem are true.

    For non-invertible matrices, all of the statements of the invertible matrix theorem are false.

    The reader should be comfortable translating any of the statements in the invertible matrix theorem into a statement about the pivots of a matrix.

    Other Conditions for Invertibility

    The following conditions are also equivalent to the invertibility of a square matrix

    They are all simple restatements of conditions in the invertible matrix theorem.


    Priveste filmarea: transformando um rifle cano de (August 2022).