Articole

2.7: Ecuații diferențiale exacte - Matematică

2.7: Ecuații diferențiale exacte - Matematică



We are searching data for your request:

Forums and discussions:
Manuals and reference books:
Data from registers:
Wait the end of the search in all databases.
Upon completion, a link will appear to access the found materials.

Luați în considerare ecuația

[f (x, y) = C. nonumber ]

Luând gradientul pe care îl obținem

[f_x (x, y) hat { textbf {i}} + f_y (x, y) hat { textbf {j}} = 0. nonumber ]

Putem scrie această ecuație sub formă diferențială ca

[f_x (x, y) , dx + f_y (x, y) , dy = 0. nonumber ]

Acum împărțiți cu (dx ) (nu ne prefacem că suntem riguroși aici) pentru a obține

[f_x (x, y) + f_y (x, y) dfrac {dy} {dx} = 0. nonumber ]

Care este o ecuație diferențială de prim ordin. Scopul acestei secțiuni este de a merge înapoi. Asta dacă o ecuație diferențială dacă este de forma de mai sus, căutăm funcția originală (f (x, y) ) (numită a funcție potențială). O ecuație diferențială cu o funcție potențială se numește corect. Dacă ați avut calcul vectorial, acesta este același lucru cu găsirea funcțiilor potențiale și utilizarea teoremei fundamentale a integralelor de linie.

Exemplu ( PageIndex {1} )

Rezolva

[4xy + 1 + (2x ^ 2 + cos y) y '= 0. nonumber ]

Soluţie

Căutăm o funcție (f (x, y) ) cu

[f_x (x, y) = 4xy + 1 nonumber ]

și

[f_y (x, y) = 2x ^ 2 + cos y. fără număr ]

Integrați prima ecuație față de (x ) pentru a obține

[f (x, y) = 2x ^ 2y + x + C (y). fără număr ]

Observați, deoarece (y ) este tratat ca o constantă, scriem (C (y) ). Acum luați derivata parțială cu privire la (y ) pentru a obține

[f_y (x, y) = 2x ^ 2 + C '(y). nonumber ]

Avem două formule pentru (f_y (x, y) ), astfel încât să le putem seta egale una cu cealaltă.

[2x ^ 2 + cos y = 2x ^ 2 + C '(y) nonumber ]

Acesta este

[C '(y) = cos , y nonumber ]

sau

[C (y) = sin , y. Nonumber ]

Prin urmare

[f (x, y) = 2x ^ 2y + x + sin , y. fără număr ]

Soluția la ecuația diferențială este

[2x ^ 2y + x + sin , y = C. nonumber ]

Această metodă funcționează întotdeauna? Raspunsul este nu. Putem spune dacă metoda funcționează amintind că pentru o funcție cu derivate parțiale continue, parțialele mixte sunt independente de ordine. Acesta este

[f_ {xy} = f_ {yx}. nonumber ]

Dacă avem ecuația diferențială

[M (x, y) + N (x, y) y '= 0 nonumber ]

atunci spunem că este un ecuație diferențială exactă dacă

[M_y (x, y) = N_x (x, y). fără număr ]

Teorema (Soluții pentru a obține ecuații diferențiale exacte)

Fie (M ), (N ), (M_y ) și (N_x ) să fie continue cu

[M_y = N_x. Nonumber ]

Apoi există o funcție (f (x, y) ) cu

(f_x = M ) și (f_y = N )

astfel încât

[f (x, y) = C nonumber ]

este o soluție la ecuația diferențială

[M (x, y) + N (x, y) y '= 0. Nonumber ]

Exemplu ( PageIndex {2} )

Rezolvați ecuația diferențială

[y + (2xy - e ^ {- 2y}) y '= 0. fără număr ]

Soluţie

Noi avem

[M (x, y) = y nonumber ]

și

[N (x, y) = 2xy - e ^ {- 2y}. fără număr ]

Acum calculează

[M_y = 1 ; ; ; text {și} ; ; ; N_x = 2y. fără număr ]

Deoarece nu sunt egale, găsirea unei funcții potențiale (f ) este fără speranță. Cu toate acestea, există o licărire de speranță dacă ne amintim cum am rezolvat ecuațiile diferențiale liniare de ordinul întâi. Am înmulțit ambele părți cu un factor de integrare (m ). Facem asta aici pentru a obține

[mM + mN_y '= 0. nonumber ]

Pentru ca acest lucru să fie exact trebuie să avem

[(mM) _y = (mN) _x. fără număr ]

Utilizarea regulii produsului oferă

[m_yM + mM_y = m_xN + mN_x. fără număr ]

Acum avem o nouă ecuație diferențială care, din păcate, este mai dificil de rezolvat decât ecuația diferențială originală. Simplificăm ecuația presupunând că fie m este o funcție de numai (x ), fie numai (y ). Dacă este doar o funcție (x ), atunci (m_y = 0 ) și

[mM_y = m_xN + mN_x. nonumber ]

Rezolvând pentru (m_x ), obținem

[m_x = dfrac {M_y-N_x} {N}. fără număr ]

Dacă aceasta este doar o funcție de (y ), atunci vom putea găsi un factor de integrare care implică numai (y ). Dacă este doar o funcție (y ), atunci (m_x = 0 ) și

[m_yM + mM_y = mN_x. fără număr ]

Rezolvând pentru (m_y ), obținem

[m_y = dfrac {N_x-M_y} {M} m. nonumber ]

Dacă aceasta este doar o funcție de (y ), atunci vom putea găsi un factor de integrare care implică numai (y ).

Pentru exemplul nostru

[m_y = dfrac {N_x - M_y} {M} m = dfrac {2y-1} {y} m = (2- frac {1} {y}) m. nonumber ]

Separarea dă

[ dfrac {dm} {m} = (2- frac {1} {y}) , dy. fără număr ]

Integrarea dă

[ln , m = 2y - ln , y. fără număr ]

[m = e ^ {2y - ln , y} = y ^ {- 1} e ^ {2y}. fără număr ]

Înmulțirea ambelor părți ale ecuației diferențiale originale cu (m ) dă

[y (y ^ {- 1} e ^ {2y}) + (y ^ {- 1} e ^ {2y}) (2xy - e ^ {- 2y}) y '= 0 nonumber ]

[ implică e ^ {2y} + (2xe ^ {2y} - frac {1} {y}) y '= 0. fără număr ]

Acum vedem asta

[M_y = 2e ^ {2y} = N_x. fără număr ]

Ceea ce ne spune că ecuația diferențială este exactă. Prin urmare, avem

[f_x (x, y) = e ^ {2y}. fără număr ]

Integrarea cu privire la (x ) dă

[f (x, y) = xe ^ {2y} + C (y). fără număr ]

Acum luând derivata parțială cu privire la (y ) dă

[f_y (x, y) = 2xe ^ {2y} + C '(y) = 2xe ^ {2y} - frac {1} {y}. nonumber ]

Astfel încât

[C '(y) = frac {1} {y}. fără număr ]

Integrarea dă

[C (y) = ln , y. fără număr ]

Soluția finală este

[xe ^ {2y} + ln , y = 0. nonumber ]


Asistent universitar: James Hateley
E-mail: [email protected]
Locația biroului: RH 419
Program de lucru: 10: 00- 11: 00 T m

Text obligatoriu: Dinamică neliniară și haos, de S. Strogatz

Notare: Temă săptămânală 40%, examen intermediar 20%, examen final 40%.

Teme și examene: Problemele cu temele vor fi atribuite în fiecare joi. Aceste sarcini vor fi transformate în următoarea zi de joi, la începutul secțiunii de discuții. Nu vor fi acceptate sarcini întârziate, dar cel mai mic scor pentru teme va fi renunțat. Va exista un examen intermediar și un examen final. Examenele sunt „carte închisă” - nu sunt cărți, note sau telefoane.


Ecuatii diferentiale

12.6 Soluția ecuațiilor diferențiale inexacte utilizând factori de integrare

Dacă avem un ecuație diferențială inexactă

nu putem folosi metoda secțiunii anterioare. Cu toate acestea, unele diferențiale inexacte produc un diferențial exact atunci când sunt înmulțite cu o funcție cunoscută sub numele de factor integrator. Dacă funcția g(X, y) este un factor integrator pentru diferențialul din ecuație. (12.78), atunci

este o ecuație diferențială exactă care poate fi rezolvată prin metoda secțiunii anterioare. O soluție pentru ecuație. (12.79) va fi, de asemenea, o soluție pentru ecuație. (12,78).

Exemplul 12.11

Rezolvați ecuația diferențială

Transformăm ecuația în forma Pfaffiană,

Dacă un diferențial inexact are un factor de integrare, s-a demonstrat că are un număr infinit de factori de integrare. Din păcate, nu există o procedură generală pentru găsirea unui factor de integrare decât prin încercare și eroare.

Exercițiul 12.14

Arătați că 1 / y 2 este un factor de integrare pentru ecuația din exemplul anterior și arătați că duce la aceeași soluție.


3.यथातथ (यथार्थ) अवकल समीकरण में समानयन वाले समीकरण की समस्याएं (ecuații reductibile la probleme de ecuație diferențiale exacte), समाकलन गुणक ज्ञात करने की विधि की समस्याएं (Metode de aflare a problemelor de integrare a factorilor) यथयथ अवकलर और उत्तर (Întrebări și răspunsuri la ecuația diferențială exactă) -

(1) left (x ^ <3> + xy ^ <4> right) d x + 2 y ^ <3> dy = 0 (2.) left (x ^ <2> + y ^ < 2> dreapta) d x-2 xydy = 0 (3.) left (x ^ <2> + y ^ <2> + x right) d x + xydy = 0 (4.) left (x ^ <3> -2 y ^ <2> right) d x + 2 xydy = 0 (5) left (2 x ^ <3> y ^ <2> +4 x ^ <2> y + 2 xy ^ <2> + xy ^ <4> +2 y right) d x + 2 left (y ^ <3> -x ^ <2> y + x right) dy = 0
उत्तर (Răspunsuri):

(1.) frac<>>> <2> left (x ^ <2> + y ^ <4> -1 right) = c (2.) x ^ <2> -y ^ <2> = cx (3. ) frac <1> <4> x ^ <4> + frac <1> <2> x ^ <2> y ^ <2> + frac <1> <3> x ^ <3> = c (4.) x + frac>> = c (5) left (2 x ^ <2> y ^ <3> +4 x y + y ^ <4> right) e ^= c
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर यथातथ (यथार्थ) अवकल समीकरण में समानयन वाले समीकरण (Equations Reducible to Exact Differential Equation), समाकलन गुणक ज्ञात करने की विधि (Metode de aflare a factorului integrator) को ठीक हैं से


Date și anunțuri de curs:

Examenele intermediare și finale:

Vor fi două examene intermediare, unul în februarie / martie și unul în aprilie (datele exacte vor fi stabilite ulterior). Ambele examene vor avea 50 de minute și vor fi susținute în timpul orei. Examenul final este deja programat pentru joi, 5 mai, 9 AM-12 Noon.

  • Toate anunțurile relevante vor fi listate aici. Reveniți frecvent (nu uitați să reîmprospătați browserul) pentru actualizări.
  • Date importante și sărbători de clasă:
    • Vineri, 29 ianuarie: TERMENUL DE ADĂUGARE / DROP
    • Sâmbătă, 5 mar - Duminică, 13 mar: FĂRĂ CLASĂ (vacanță de primăvară)
    • Vineri, 18 mar: TERMENUL DE RETRAGERE
    • Joi, 5 mai, 9 AM - 12 Noon: EXAMEN FINAL

    Ecuații diferențiale exacte & # 8211 Pagina 2

    Integrați prima ecuație cu privire la variabila (x ) presupunând că (y ) este o constantă. Acest lucru produce:

    Aici am introdus o funcție diferențiată continuă ( varphi left (y right) ) în loc de constantă (C. )

    Conectați funcția (u left ( right) ) în a doua ecuație:

    Obținem ecuația pentru derivată ( varphi & # 8217 left (y right): )

    Integrarea oferă funcția ( varphi left (y right): )

    Deci, funcția (u left ( right) ) este dat de

    Prin urmare, soluția generală a ecuației este definită de următoarea expresie implicită:

    unde (C ) este un număr real arbitrar.

    Exemplul 3.

    Mai întâi verificăm această ecuație pentru exactitate:

    Vedem că (< large frac << partial Q >> << partial x >> normalsize> = < large frac << partial P >> << partial y >> normalsize> , ) astfel încât această ecuație să fie exactă. Găsiți funcția (u left ( right) ) din sistemul de ecuații:

    Acum, diferențiind această expresie față de (y ) și echivalând-o cu ( large frac << partial u >> << partial y >> normalsize, ) găsim derivata ( varphi & # 8217 left (y right): )

    Ca rezultat, găsim (< varphi left (y right)> ) și întreaga funcție (u left ( dreapta):)

    Astfel, soluția generală a ecuației diferențiale este

    Exemplul 4.

    Această ecuație diferențială este exactă deoarece

    Găsim funcția (u left ( right) ) din sistemul a două ecuații:

    Prin integrarea ecuației 1 față de variabila (x, ) avem

    Conectând ecuația (2 ), obținem

    Astfel, funcția (u left ( dreapta) ) este

    astfel încât soluția generală a ecuației diferențiale este dată de formula implicită:

    Exemplul 5.

    În primul rând, determinăm dacă această ecuație este exactă:

    După cum puteți vedea, (< large frac << partial Q >> << partial x >> normalsize> = < large frac << partial P >> << partial y >> normalize>. ) Prin urmare, această ecuație este exactă. Găsiți funcția (u left ( dreapta), ) satisfacerea sistemului de ecuații:

    Integrarea primei ecuații oferă:

    unde ( varphi left (y right) ) este o anumită funcție necunoscută a (y ) care va fi definită ulterior.

    Înlocuim rezultatul în a doua ecuație a sistemului:

    Prin integrarea ultimei expresii, găsim funcția ( varphi left (y right): )

    Astfel, soluția generală a ecuației diferențiale date are forma:

    Exemplul 6.

    Verificați ecuația pentru exactitate convertindu-l în formă standard:

    Derivatele parțiale sunt

    Prin urmare, ecuația dată este exactă. Prin urmare, putem scrie următorul sistem de ecuații pentru a determina funcția (u left ( dreapta):)

    În cazul dat, este mai convenabil să se integreze a doua ecuație în raport cu variabila (y: )

    Acum diferențiem această expresie în raport cu variabila (x: )

    Astfel, soluția generală a ecuației diferențiale sub formă implicită este dată de expresia:

    Soluția particulară poate fi găsită folosind condiția inițială (y left (1 right) = 1. ) Înlocuind valorile inițiale, găsim constanta (C: )


    Exemplul 1

    Rezolvați ecuația diferențială $ (e ^ x sin y - 2y sin x) + (e ^ x cos y + 2 cos x) frac

    = 0$ .

    Mai întâi trebuie să verificăm dacă ecuația diferențială este într-adevăr exactă. Fie $ M (x, y) = e ^ x sin y - 2y sin x $ și fie $ N (x, y) = e ^ x cos y + 2 cos x $. Derivata parțială a $ M $ față de $ y $ și derivata parțială a $ N $ față de $ x $ sunt respectiv:

    Deci într-adevăr această ecuație diferențială este exactă. Fie $ psi (x, y) $ funcția astfel încât:

    Din prima ecuație, avem că $ frac < partial> < partial x> psi (x, y) = e ^ x sin y - 2y sin x $. Dacă integrăm ambele părți în raport cu $ x $ atunci avem:

    Rețineți că nu avem o constantă de integrare, ci o „funcție” de integrare, $ h (y) $. Acest lucru se datorează faptului că dacă ar fi să diferențiem parțial ambele părți ale ecuației de mai sus cu privire la $ x $, atunci orice funcție de $ y $ ar dispărea.

    Acum luăm ecuația de mai sus și o diferențiem parțial în raport cu $ y $ pentru a obține:

    Avem două expresii pentru $ frac < partial> < partial y> psi (x, y) $ - cea de deasupra și $ frac < partial> < partial y> psi (x, y ) = N (x, y) = e ^ x cos y + 2 cos x $. Comparând aceste două, vedem că $ h '(y) = 0 $. Prin urmare $ h (y) = C $, și deci:

    Prin urmare, soluția la ecuația noastră diferențială este de forma $ psi (x, y) = D $, unde $ D $ este o constantă arbitrară. În absorbția constantei $ C $ în $ D $, avem atunci:


    2.7: Ecuații diferențiale exacte - Matematică

    Ecuațiile diferențiale sunt folosite pentru a descrie o mulțime de fenomene fizice. Ne ajută să observăm ceva care se întâmplă în viața reală și să-l pună într-o formă matematică. La acest nivel, ne preocupă în principal ecuațiile diferențiale liniare și de ordinul întâi. O ecuație diferențială în „y” este liniară dacă toate derivatele lui y apar doar primei puteri. Deci are forma dacă toate derivatele lui y apar doar primei puteri. Deci are forma,

    Coeficienții pot depinde doar de variabilele independente. Rețineți că comanda poate fi arbitrară de mare. Vom analiza exact ecuațiile diferențiale. Aceste ecuații sunt ecuații diferențiale de ordinul întâi.

    Ecuații diferențiale exacte

    Este o ecuație diferențială de ordinul întâi care arată ca,

    M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0

    Are o funcție specială I (x, y) ale cărei derivate parțiale pot fi puse în locul lui M și N cum ar fi,

    Rezolvarea acestor ecuații înseamnă găsirea acelei funcții I (x, y) = C.

    Verificarea dacă o ecuație este sau nu exactă:

    Să presupunem că există o funcție de soluție I (x, y). Apoi,

    Ar trebui să ajungă la fel. Deci, pentru a verifica dacă ecuația este exactă sau nu, calculați pur și simplu aceste derivate parțiale. Deci, acum că am verificat dacă ecuația este exactă, vom trece la găsirea soluției la această ecuație.

    Calculul soluției ecuațiilor diferențiale exacte:

    1. (cu x ca variabilă independentă)
    2. (cu y ca variabilă independentă)

    Deci, atunci soluția generală devine,

    Exemple de probleme

    Intrebarea 1: Rezolvați: (3x 2 y 3 & # 8211 5x 4) dx + (y + 3x 3 y 2) dy = 0

    Aici, M (x, y) = 3x 2 y 3 & # 8211 5x 4 și N (x, y) = y + 3x 3 y 2

    Mai întâi verificați dacă această ecuație este exactă sau nu,

    Deoarece ambele sunt aceleași, ecuația este exactă.



    Acum, să găsim soluția acestei ecuații,

    Eu

    Observați că scriem f (y) în locul constantei de integrare „C”, deoarece am avut y ca parametru fix în timp ce îl integrăm, dar știm că este o variabilă, deci trebuie să calculăm f (y).

    Noi stim,

    Să & # 8217s conectați f (y) în soluția generală,

    Aceasta este soluția generală pentru această ecuație diferențială exactă.

    Intrebarea 2: Rezolvați ecuația diferențială pentru următoarele:

    (x 2 + 3y 2) dy + 2xydx = 0

    M (x, y) = 2xy, N (x, y) = x 2 + 3y 2

    Prin urmare, ecuația este exactă.

    Soluția acestei ecuații: I (x, y) =

    Înlocuind I (x, y) obținut:

    Puneți valoarea lui f (y) în I (x, y):

    I (x, y) = x 2 y + y 3 + C

    Aceasta este soluția generală pentru ecuația diferențială exactă.

    Întrebarea 3: Rezolvați e y dx + (2y + xe y) dy = 0

    M (x, y) = e y, N (x, y) = (2y + xe y)

    Rezolvarea

    Prin urmare, ecuația dată este ecuația exactă.

    Soluția ecuației: I (x, y) =

    Se știe că dI / dy = N (x, y)

    Înlocuind I (x, y):

    Prin urmare, soluția pentru ecuația exactă obținută este,


    Factor integrator

    Aceasta este, de asemenea, o altă metodă pentru rezolvarea ecuațiilor diferențiale liniare.

    Ecuația de mai sus reprezintă o ecuație diferențială liniară de primul ordin. P și Q sunt fie constante, fie funcții ale lui x. Următorii pași oferă o schiță a modului de rezolvare a ecuației liniare de ordinul întâi al acestei forme utilizând factorul de integrare.

    Pasul 1: Scrieți ecuația diferențială dată în formă , unde P și Q sunt fie constante, fie funcții ale lui x.

    Pasul 2: Găsiți factorul integrator

    Pasul 3: Scrieți soluția ecuației diferențiale ca

    Notă: În caz, ecuația diferențială de ordinul întâi este în formă , unde P1 și Q1 sunt constante sau funcții ale lui y. Apoi iar soluția ecuației diferențiale este dată de

    Exemple de probleme

    Întrebarea 1: Găsiți soluția generală a următoarei ecuații,

    Ecuația se potrivește cu forma dată mai sus, deci aici P = -1 și Q = cosx.

    Prin urmare,

    Înmulțind ambele părți ale ecuației cu I.F.

    Integrând ambele părți ale ecuației prin I.F, obținem

    Punând această valoare în ecuația inițială,

    Aceasta este soluția generală a ecuației diferențiale date.


    Întrebarea 2: Găsiți soluția generală a ecuației diferențiale,

    P = -3 / (x + 1), Q = (x + 1) 4

    Mai întâi, găsiți I.F.

    I.F. =

    Înmulțiți prin integrarea factorului pe ambele părți:

    Integrează ambele părți:

    Prin urmare, ecuația generală este:

    y = (x + 1) 3 (0,5x 2 + x + c)

    Întrebarea 3: Soluția generală a ecuației diferențiale va fi?

    Mai întâi, găsiți I.F & # 8217

    P = 3 / x, Q = e x / x 3

    I.F =

    Prin urmare, I.F = x 3

    Multiplicarea factorului de integrare pe ambele părți,



    Integrează ambele părți,

    Factori speciali de integrare

    Până acum am învățat totul despre ecuațiile diferențiale exacte și cum să le rezolvăm, dar există uneori întâlnim anumite ecuații care sunt „aproape exacte”, dar nu ecuații diferențiale exacte, deoarece acestea nu sunt Exacte, dar sunt formate din ecuații diferențiale exacte prin efectuarea unor schimbări în ele. Dacă putem urmări înapoi și face din nou ecuația exactă, problema va fi ușor rezolvată.

    Pentru a urmări înapoi factorul de integrare exact, înmulțiți ecuația cu un factor de integrare special & # 8216 cunoscut sub numele de SAU (în funcție de declarația problemei).

    Factor de integrare folosind doar x

    Să presupunem că ecuația dată este exactă, M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0 [Aproape Exact]

    Să multiplicați acest lucru cu factorul integrator special

    /> × M (x, y) dx + /> × N (x, y) dy = 0

    Acum, pentru a face exactă ecuația de mai sus, trebuie să existe o anumită valoare a formula pentru factorul de integrare specială,


    Întrebare: Rezolvați ecuația diferențială, (1 + y 2) dx + xydy = 0

    Pentru început, trebuie mai întâi să verificăm exactitatea ecuației diferențiale

    dM / dy = 2y, dN / dx = y

    Acum, deoarece ecuația nu este exactă, trebuie să aflăm factorul de integrare care trebuie ajustat în ecuație pentru a o face exactă.

    (dM / dy- dN / dx) = 2y-y = y

    1 / N= y / (xy) = 1 x

    Aici ne-am gândit că ecuația depinde doar de x.

    Prin urmare, factorul de integrare este

    Separați variabilele și integrați ambele părți,

    Am obținut valoarea factorului de integrare, înmulțiți acest lucru cu ecuația noastră originală

    (x + xy 2) dx + x 2 ydy = 0

    Verificând din nou exactitatea,

    dM / dy = 2xy, dN / dx = 2xy

    Integrează M și N ca de obicei,

    M (x, y) =

    Înlocuiți pentru a determina f (y)

    Urmează f (y) = C unde, C este o constantă.

    Prin urmare, soluția generală devine,

    Factor de integrare folosind doar y

    În mod similar, ecuația exactă poate fi obținută prin înmulțirea ecuației aproape exacte cu factorul integrator special , formula este dată ca,

    Întrebare: Rezolvați ecuația diferențială, (2y 2 + 2y + 4x 2) dx + (2xy + x) dy = 0

    Pentru început, trebuie să verificăm dacă următoarea ecuație este exactă sau nu,

    dM / dy = (4y +2), dN / dx = (2y +1)



    dM / dy ≠ dN / dx

    Pentru a găsi factorul de integrare, rezolvați valoarea lui

    = 1 / x

    Deoarece valoarea obținută este pur o funcție a lui x, putem concluziona că factorul integrator special este

    = e lnx = x

    Înmulțiți factorul de integrare special cu ecuația originală,

    x [(2y 2 + 2y + 4x 2) dx + (2xy + x) dy] = 0

    (2xy 2 + 2xy + 4x 3) dx + (2x 2 y + x 2) dy = 0

    Găsirea exactității ecuației diferențiale obținute,

    dM / dy = (4xy + 2x), dN / dx = (4xy + 2x)

    Acum putem integra M și N ca de obicei,

    Prin urmare, Soluție: x 2 y 2 + x 2 y + x 4 = C


    Având un subset simplu conectat și deschis D de R 2 și două funcții Eu și J care sunt continue pe D, o ecuație diferențială ordinară implicită de ordinul întâi a formei

    I (x, y) d x + J (x, y) d y = 0,

    se numește an ecuație diferențială exactă dacă există o funcție continuu diferențiată F, numit funcție potențială, [1] [2] astfel încât

    O ecuație exactă poate fi prezentată și în următoarea formă:

    I (x, y) + J (x, y) y ′ (x) = 0

    unde aceleași constrângeri pe Eu și J aplicați pentru ca ecuația diferențială să fie exactă.

    Nomenclatura „ecuației diferențiale exacte” se referă la diferențialul exact al unei funcții. Pentru o funcție F (x 0, x 1, ..., x n - 1, x n) < displaystyle F (x_ <0>, x_ <1>. X_,X_)>, derivata exactă sau totală față de x 0 < displaystyle x_ <0>> este dată de

    Exemplu Edit

    este o funcție potențială pentru ecuația diferențială

    În aplicațiile fizice funcțiile Eu și J sunt de obicei nu numai continue, ci chiar continuu diferențiabile. Teorema lui Schwarz ne oferă apoi un criteriu necesar pentru existența unei funcții potențiale. Pentru ecuațiile diferențiale definite pe seturi conectate simplu, criteriul este chiar suficient și obținem următoarea teoremă:

    Având în vedere o ecuație diferențială a formei (de exemplu, când F are o pantă zero în direcția x și y la F(X,y)):

    I (x, y) d x + J (x, y) d y = 0,

    cu Eu și J diferențiat continuu pe un subset simplu conectat și deschis D de R 2 apoi o funcție potențială F există dacă și numai dacă

    Având în vedere o ecuație diferențială exactă definită pe un subset simplu conectat și deschis D de R 2 cu funcție potențială F, o funcție diferențiată f cu (X, f(X)) în D este o soluție dacă și numai dacă există un număr real c astfel încât

    putem găsi local o funcție potențială prin

    pentru y, Unde c este un număr real, putem construi apoi toate soluțiile.

    Conceptul de ecuații diferențiale exacte poate fi extins la ecuații de ordinul doi. [3] Luați în considerare începutul cu ecuația exactă de primul ordin:


    Explorați subiectele acoperite în acest curs cu MIT Crosslinks, un site web care evidențiază conexiunile dintre anumite cursuri STEM de licență MIT și recomandă materiale de studiu specifice de la OCW și alții. Află mai multe.

    Arthur Mattuck, Haynes Miller, Jeremy Orloff și John Lewis. 18.03SC Ecuații diferențiale. Toamna 2011. Institutul de Tehnologie din Massachusetts: MIT OpenCourseWare, https://ocw.mit.edu. Licență: Creative Commons BY-NC-SA.

    Pentru mai multe informații despre utilizarea acestor materiale și licența Creative Commons, consultați Termenii de utilizare.

    Despre MIT OpenCourseWare

    MIT OpenCourseWare este o publicație online de materiale de la peste 2.500 de cursuri MIT, care împărtășesc liber cunoștințele cu cursanții și educatorii din întreaga lume. Aflați mai multe & raquo

    & copia 2001 & ndash2018
    Institutul de tehnologie din Massachusetts

    Utilizarea de către dvs. a site-ului MIT OpenCourseWare și a materialelor este supusă licenței noastre Creative Commons și altor termeni de utilizare.


    Priveste filmarea: Sisteme de ecuații diferențiale-2, Alexandru Negrescu, Universitatea Politehnica din București (August 2022).