Articole

4: Valori proprii și vectori proprii - Matematică

4: Valori proprii și vectori proprii - Matematică


We are searching data for your request:

Forums and discussions:
Manuals and reference books:
Data from registers:
Wait the end of the search in all databases.
Upon completion, a link will appear to access the found materials.

4: Valori proprii și vectori proprii - Matematică

Algebra 9
teoria numerelor, variabile, operatori, exponențiere, rădăcini pătrate,. Geometrie analitică 4
linii, plane, distanțe, intersecții,. Calculul 11
funcții, derivate, integrale, extreme, rădăcini, limite,. Geometrie 7
forme, triunghiuri, patrulatere, cercuri,. Algebra liniară 15
vectori, combinații liniare, independență, punct produs, produs transversal,. Trigonometrie 4
sinus, cosinus, tangent,.


Polinom caracteristic¶

Cum găsim de fapt vectori proprii și valori proprii? Să luăm în considerare o matrice pătrată generală (A in mathbb^) cu vectori proprii ( mathbf in mathbb^ n ) și valori proprii ( lambda in mathbb) astfel încât:

După scăderea din partea dreaptă:

Prin urmare, rezolvăm un sistem omogen de ecuații liniare, dar dorim să găsim soluții non-banale ( ( mathbf neq mathbf <0> )). Amintiți-vă din secțiunea privind spațiile nule că un sistem omogen va avea soluții diferite de zero dacă matricea sistemului este singulară, adică

Acesta este un polinom de grad (n ) cu rădăcini ( lambda_1, lambda_2, dots, lambda_k ), (k leq n ). Acest polinom este denumit polinom caracteristic lui (A ), unde rădăcinile polinomului sunt valorile proprii. Vectorii proprii sunt apoi găsiți prin conectarea fiecărei valori proprii înapoi în ((A - lambda I) mathbf = mathbf <0> ) și rezolvarea acestuia.

Exemplu¶

Să găsim valorile proprii și vectorii proprii ai următoarei matrice (A in mathbb^ <3 ori 3> ):

Polinomul caracteristic este:

Rădăcinile acestui polinom, care sunt valorile proprii, sunt // ( lambda_ <1, 2, 3> = 2, 2 pm sqrt <2> //). Acum, pentru a găsi vectorii proprii, trebuie să conectăm aceste valori la ((A - lambda I) mathbf = 0) .

unde (x_1 ), (x_2 ) și (x_3 ) sunt intrări ale vectorului propriu ( mathbf). Soluția poate fi evidentă pentru unii, dar să o calculăm rezolvând acest sistem de ecuații liniare. Să o scriem cu o matrice mărită și să o reducem la RREF schimbând primul și al doilea rând și scăzând primul rând (al doilea după schimbare) din ultimul rând:

Așa cum era de așteptat, nu există o soluție unică, deoarece am solicitat înainte ca // ((A - lambda I) ) să fie singular. Prin urmare, putem parametrica prima ecuație: (x_1 = -x_3 ) în termenii variabilei libere (x_3 = t, t in mathbb). Citim din a doua ecuație că (x_2 = 0 ). Setul de soluții este atunci (<(-t, 0, t) ^ T, t in mathbb> ). Dacă lăsăm (t = 1 ) atunci vectorul propriu ( mathbf_1 ) corespunzător valorii proprii ( lambda_1 = 2 ) este ( mathbf_1 = (-1, 0, 1) ^ T ). Facem acest lucru pentru că ne pasă doar de direcția vectorului propriu și o putem scala în mod arbitrar.

Lăsăm la latitudinea cititorilor să se convingă că ceilalți doi vectori proprii sunt ((1, sqrt <2>, 1) ^ T ) și ((1, - sqrt <2>, 1) ^ T ).

Exemplu: multiplicitate algebrică și geometrică¶

Ecuația caracteristică este ( det (A - lambda I) = ( lambda - 1) ( lambda - 1) ( lambda + 1) = ( lambda - 1) ^ 2 ( lambda + 1) = 0 ).

Vedem că valorile proprii sunt ( lambda_1 = 1, lambda_2 = -1 ), unde ( lambda_1 ) se repetă de două ori. Prin urmare, spunem că multiplicitate algebrică, care este numărul de câte ori se repetă o valoare proprie, din ( lambda_1 ) este 2 și din ( lambda_2 ) este 1.

Să găsim acum vectorii proprii corespunzători acestor valori proprii. Pentru ( lambda_1 = 1 ):

Singura constrângere pe vectorul nostru propriu este că (x_3 = 0 ), în timp ce nu există constrângeri pe (x_1 ) și (x_2 ) - ele pot fi orice dorim. În astfel de cazuri, încercăm totuși să definim cât mai mulți vectori proprii liniari independenți, care nu trebuie să fie egali cu multiplicitatea algebrică a unei valori proprii. În cazul nostru, putem defini cu ușurință doi vectori liniar independenți alegând (x_1 = 1, x_2 = 0 ) pentru un vector și (x_1 = 0, x_2 = 1 ) pentru celălalt. Prin urmare, am reușit să obținem doi vectori proprii liniari independenți care să corespundă aceleiași valori proprii:

Numărul de vectori proprii liniari independenți care corespund unei valori proprii ( lambda ) se numește multiplicitate geometrică a acelei valori proprii. Multiplicitatea algebrică a lui ( lambda ) este egală sau mai mare decât multiplicitatea sa geometrică. O valoare proprie pentru care multiplicitatea algebrică (& gt ) multiplicitate geometrică este numită, destul de dur, o defect valoarea proprie.

Acum luați în considerare valoarea proprie nerepetată ( lambda_2 = -1 ):

Avem (x_1 = 0, x_2 = 0 ) și nu există nicio constrângere pe (x_3 ), deci acum (x_3 ) poate fi orice număr dorim. Pentru simplitate, alegem să fie 1. Atunci vectorul propriu este pur și simplu


Problema nr.3

Soluție:

În această problemă avem doi vectori proprii ai matricei 2 & # 2152 menționați în problemă. Matricea dată este o matrice triunghiulară superioară, dacă observați!

Și știm din proprietăți că, valorile proprii ale U.T.M sau L.T.M = Principal elemente diagonale

Prin urmare, valorile proprii ale matricei date sunt, Λ1 = 1 și Λ2 = 2

Acum, înlocuind valoarea matricei A, primul vector propriu (X1) și Λ1 în ecuație,

A * X1 = Λ1 * X1,

după efectuarea înmulțirii matricilor, putem calcula valoarea unui,

1 + 2a = 1, ceea ce dă a = 0

vă rugăm să consultați imaginea

în mod similar, înlocuind valoarea matricei A, al doilea vector propriu (X2) și Λ2 în ecuație,

A * X2 = Λ2 * X2,

după efectuarea înmulțirii matricilor, putem calcula valoarea lui b,


Iată cea mai importantă definiție din acest text.

Definiție

Prefixul german „eigen” se traduce aproximativ prin „sine” sau „propriu”. Un vector propriu al

este un vector care este dus la un multiplu al său prin transformarea matricei

ceea ce explică poate terminologia. Pe de altă parte, „propriul” este adesea tradus ca „caracteristic”, ne putem gândi la un vector propriu ca descriind o proprietate intrinsecă sau caracteristică a

Valorile proprii și vectorii proprii sunt doar pentru matrici pătrate.

Vectorii proprii sunt prin definiție nenul. Valorile proprii pot fi egale cu zero.

Nu considerăm vectorul zero ca un vector propriu: de vreme ce

valoarea proprie asociată ar fi nedefinită.

Dacă cineva îți dă o matrice

Pe de altă parte, dată doar matricea

nu este deloc evident cum să găsim vectorii proprii. Vom învăța cum să facem acest lucru în secțiunea 6.2.

Exemplu (verificarea vectorilor proprii)
Exemplu (verificarea vectorilor proprii)
Exemplu (Un vector propriu cu valoare proprie

sunt coliniar cu originea. Deci, un vector propriu al

zaceți pe aceeași linie prin origine. În acest caz,

valoarea proprie este factorul de scalare.

Pentru matricile care apar ca matrice standard a unei transformări liniare, este adesea cel mai bine să desenăm o imagine, apoi să găsim vectorii proprii și valorile proprii geometric, studiind ce vectori nu sunt deplasați din linia lor. Pentru o transformare care este definită geometric, nu este necesar nici măcar să-i calculăm matricea pentru a găsi vectorii proprii și valorile proprii.


Prelime matematice

Acum, deoarece este o schimbare a matricei de bază, fiecare dintre coloanele sale dă coordonatele unui vector de bază de o anumită bază. Să numim acea bază și să fie elementele bazei respective. Acum, dacă luăm ecuația de mai sus și ne înmulțim cu pe dreapta, observăm că

Adică, coloana -th a este egală cu coloana -th a, care este doar de câte ori coloana -th a. Deoarece fiecare coloană a este doar o combinație liniară a coloanelor din, totuși, avem

Aceasta înseamnă că, atunci când conectăm coloana a-a a la transformarea liniară reprezentată de, primim înapoi un multiplu al acelei coloane. Numind transformarea liniară, avem asta

Se numesc vectori precum a căror imagine sub este doar un multiplu al vectorului vectori proprii de . Acest multiplu, cel de mai sus, se numește an valoare proprie de . Acești vectori proprii și valori proprii sunt asociate cu o anumită transformare liniară, așa că atunci când vorbim despre vectorii proprii și valorile proprii ale unei matrice, ne referim cu adevărat la vectorii proprii și la valorile proprii ale transformării reprezentate de acea matrice. Observați că acest lucru înseamnă că valorile proprii sunt independente de baza aleasă, deoarece matricile similare reprezintă aceeași transformare doar cu privire la baze diferite, matricile similare au aceleași valori proprii.

Am presupus că este similar cu o matrice diagonală de mai sus, dar acest lucru nu este întotdeauna adevărat. Dacă este similar cu o matrice diagonală, să zicem, atunci așa cum tocmai am arătat, coloanele sunt vectorii proprii ai. Deoarece acestea formează coloanele unei matrice non-singulare, vectorii proprii ai formează o bază pentru spațiul vectorial. De asemenea, dacă vectorii proprii de formează o bază, să luăm acei vectori de bază ca coloane ale.

Deci o matrice este diagonalizabil (similar cu o matrice diagonală) dacă și numai dacă vectorii ei proprii formează o bază pentru spațiul vectorial.


a) Înmulțirea scalară: dacă înmulțim o coloană a unei matrice cu k determinantul se înmulțește cu k.

b) Adunarea vectorială: determinantul unei sume de vectori este egal cu suma determinanților.

c) Dacă vectorii sunt liniar dependenți, determinantul este egal cu zero.

d) Determinantul unei matrici de identitate este egal cu unul.

e) Dacă schimbăm locul a două coloane / rânduri, se schimbă semnalul determinantului.

f) Dacă A este o matrice pătrată, atunci

g) Dacă A, B sunt matrice pătrate n x n. Apoi


Ecuații de valori proprii în algebră liniară și para

În primul rând să analizăm ecuațiile valorii proprii în algebră liniară. Să presupunem că avem o matrice (pătrată) cu dimensiuni și că este un vector de coloană în dimensiuni. Ecuația corespunzătoare a valorii proprii va fi de formă cu un număr scalar (real sau complex, în funcție de tipul de spațiu vectorial). Putem exprima ecuația anterioară în ceea ce privește componentele sale, presupunând, ca de obicei, o anumită alegere specifică a bazei, utilizând regulile multiplicării matricei, scalarul este cunoscut sub numele de valoare proprie ecuației, în timp ce vectorul este cunoscut ca asociat vector propriu.

Caracteristica cheie a unor astfel de ecuații este aceea că aplicarea unei matrice vectorului revine vectorul original - până la o redimensionare generală; În general, vor exista mai multe soluții la ecuația valorii proprii, fiecare caracterizată printr-o valoare proprie specifică și vectori proprii. Rețineți că, în unele cazuri, există soluții degenerate, prin care o matrice dată are doi sau mai mulți vectori proprii care sunt egali.

Pentru a determina valorile proprii ale matricei, trebuie să evaluăm soluțiile așa-numitei ecuație caracteristică a matricei, definită ca unde este matricea identitară a dimensiunilor și este determinantul.

Această relație rezultă din ecuația valorii proprii din punct de vedere al componentelor. Prin urmare, condiția autovaloră poate fi scrisă ca un set de ecuații liniare cuplate care admit soluții non-banale numai dacă determinantul matricei dispare (așa-numita condiție Cramer), conducând astfel la ecuația caracteristică.

Odată ce am rezolvat ecuația caracteristică, ajungem cu valori proprii,.

Putem determina apoi vectorul propriu corespunzător rezolvând sistemul corespunzător de ecuații liniare

Să ne reamintim că în dimensiuni determinantul unei matrici este evaluat ca în timp ce expresia corespunzătoare pentru o matrice aparținând unui spațiu vectorial în dimensiuni va fi dată în termenii expresiei anterioare

Să ilustrăm cum să calculăm valorile proprii și vectorii proprii luând în considerare un spațiu vectorial. Luați în considerare următoarea matrice care a asociat următoarea ecuație caracteristică. Aceasta este o ecuație pătratică pe care știm să o rezolvăm exact și descoperim că cele două valori proprii sunt și.

În continuare putem determina vectorii proprii asociați și. Pentru prima, ecuația care trebuie rezolvată este de unde găsim condiția că: o proprietate importantă a ecuațiilor valorii proprii este că vectorii proprii sunt fixați doar la o starea generală de normalizare. Acest lucru ar trebui să fie clar din definiția sa: dacă un vector satisface, atunci vectorul cu o constantă va satisface, de asemenea, aceeași ecuație. Deci, atunci constatăm că valoarea proprie a asociat un vector propriu și într-adevăr se poate verifica acest lucru așa cum am vrut să demonstrăm. Ca exercițiu, puteți încerca să obțineți expresia vectorului propriu corespunzător celei de-a doua valori proprii.


Exemplu

Să presupunem că trebuie să găsim valori proprii și vectori proprii de matrice G.

Mai întâi vom obține ecuația caracteristică din matrice G

apoi extindem determinantul pentru a forma o ecuație în termeni de lambda.

În cele din urmă, vom găsi valorile lambda (valori proprii) rezolvând ecuația.

Avem valorile proprii acum trebuie să găsim vectori proprii. Începând cu lambda = 5

După efectuarea multiplicării matricei obținem

Raportul dintre x11 și x12 este 1: (-1) deci primul vector propriu al matricei G este

În mod similar, putem găsi vectorul propriu al matricei G când lambda = (-1)

și al doilea vector propriu al matricei G este


Găsirea vectorilor proprii

După ce ați găsit valorile proprii, sunteți acum gata să găsiți vectorul propriu (sau vectorii proprii) pentru fiecare valoare proprie.

Pentru a găsi vectorul propriu (sau vectorii proprii) asociați cu o valoare proprie dată, rezolvați pentru ## vec## în ecuația matricei ## (A & # 8211 lambda I) vec = vec <0> ##. Această acțiune trebuie efectuată pentru fiecare valoare proprie.

Exemplul 2: Găsiți vectorii proprii pentru matricea ## A = begin 1 & amp 3 -1 & amp 5 end.##

(Aceasta este aceeași matrice ca în Exemplul 1.)

Lucrați pentru ## lambda = 4 ##

Pentru a găsi un vector propriu asociat cu ## lambda = 4 ##, vom rezolva ecuația matricei ## (A & # 8211 4I) vec = vec <0> ## pentru ## vec##. În loc să scriu ecuația matricei ca un sistem de ecuații, voi lua o comandă rapidă și voi folosi reducerea rândurilor pe matrice ## A & # 8211 4I. ## După reducerea rândurilor, voi scrie sistemul de ecuații care sunt reprezentate de matricea redusă.

În lucrarea prezentată aici, eu și # 8217m presupunând că sunteți capabil să rezolvați un sistem de ecuații în formă de matrice, folosind operații de rând pentru a obține o matrice echivalentă în formă de eșalon de rând redus. Folosind operații de rând pe ultima matrice de mai sus, descoperim că matricea de mai sus este echivalentă cu ## begin 1 & amp -1 0 & amp 0 end.##

Ultima matrice reprezintă acest sistem de ecuații:

Putem scrie asta ca ## vec = începe x_1 x_2 end = x_2 begin 1 1 end##, unde ## x_2 ## este un parametru.

Un vector propriu pentru ## lambda = 4 ## este ## begin 1 1 end.##

Acesta nu este singurul vector propriu posibil pentru ## lambda = 4 ## orice multiplu scalar (cu excepția multiplului zero) va fi, de asemenea, un vector propriu.

Ca o verificare, asigurați-vă că ## begin 1 & amp 3 -1 & amp 5 end începe 1 1 end = 4 începe 1 1 end##, arătând astfel că ## A vec = lambda vec## pentru perechea noastră EigenVector / EigenVector.

Lucrați pentru ## lambda = 2 ##

Folosind operațiile de rând pentru a obține ultima matrice în formă de eșalon de rând redus, descoperim că ultima matrice de mai sus este echivalentă cu ## begin 1 & amp -3 0 & amp 0 end.##

Această matrice reprezintă următorul sistem de ecuații:

Putem scrie asta ca ## vec = începe x_1 x_2 end = x_2 begin 3 1 end##, unde ## x_2 ## este un parametru.

Un vector propriu pentru ## lambda = 2 ## este ## begin 3 1 end.##

Ca o verificare, asigurați-vă că ## begin 1 & amp 3 -1 & amp 5 end începe 3 1 end = 2 începe 3 1 end##.

Pentru ultimul exemplu, ne vom uita la o matrice 3 x 3.

Exemplul 3: Găsiți valorile proprii și vectorii proprii pentru matricea ## A = begin 1 & amp 0 & amp -4 0 & amp 5 & amp 4 -4 & amp 4 & amp 3 end.##

Deoarece acest exemplu tratează o matrice 3 x 3 în loc de matricea 2 x 2 din exemplele anterioare, lucrarea este considerabil mai lungă. Soluția pe care o ofer nu va arăta nivelul de detaliu al exemplelor anterioare. Lăsați cititorilor acestui articol să descopere detaliile pe care le-am omis.

(Partea A și # 8211 Găsirea valorilor proprii)

Setați ## | A & # 8211 lambda I | ## la 0 și rezolvați pentru ## lambda ##.

## Rightarrow begin 1 & # 8211 lambda & amp 0 & amp -4 0 & amp 5 & # 8211 lambda & amp 4 -4 & amp 4 & amp 3 & # 8211 lambda end = 0##

## Rightarrow - lambda ^ 3 + 9 lambda ^ 2 + 9 lambda & # 8211 81 = 0 ##

## Rightarrow ( lambda & # 8211 9) ( lambda ^ 2 & # 8211 9) = 0 ##

∴ Valorile proprii sunt ## lambda = 9 ##, ## lambda = 3 ## și ## lambda = -3. ##

Am omis o mulțime de pași de mai sus, așa că ar trebui să vă convingeți, extinzând determinantul și luând în considerare polinomul de gradul III rezultat, că valorile afișate sunt cele corecte.

(Partea B și # 8211 Găsirea vectorilor proprii)

Voi arăta o schiță a lucrării pentru ## lambda = 9 ##, dar voi arăta doar rezultatele pentru celelalte două valori proprii, ## lambda = 3 ## și ## lambda = -3 ##.

Lucrați pentru ## lambda = 9 ##

Ultima matrice din dreapta este echivalentă cu ## begin 2 & amp 0 & amp 1 0 & amp 1 & amp -1 2 & amp -2 & amp 3 end.##

Folosind operații de rând pentru a pune această matrice în formă de eșalon de rând redus, ajungem la această matrice complet redusă:

Această matrice reprezintă următorul sistem de ecuații:

Putem scrie acest sistem în formă vectorială, ca

## vec = începe x_1 x_2 x_3 end = x_3 begin - frac 1 2 1 1 end##, unde ## x_3 ## este un parametru.

Un vector propriu pentru ## lambda = 9 ## este ## begin - frac 1 2 1 1 end.##

Orice multiplu diferit de zero al acestui vector propriu este, de asemenea, un vector propriu, deci la fel de bine am fi putut alege ## begin -1 2 2 end## pentru vectorul propriu.

La fel ca înainte, ar trebui să vă verificați întotdeauna munca, verificând dacă ## begin 1 & amp 0 & amp -4 0 & amp 5 & amp 4 -4 & amp 4 & amp 3 end începe -1 2 2 end = 9 începe -1 2 2 end.##

Rezultate pentru ## lambda = 3 ## și ## lambda = -3 ##

Folosind aceeași procedură ca mai sus, constat că un vector propriu pentru ## lambda = 3 ## este ## begin -2 -2 1 end## și că un vector propriu pentru ## lambda = -3 ## este ## begin 1 - frac 1 2 1 end. ## Dacă doriți să evitați fracțiile, este convenabil să alegeți ## begin 2 -1 2 end## pentru un vector propriu pentru ## lambda = -3. ##

Rezumatul pentru exemplul 2

Pentru matricea acestui exemplu, valorile proprii sunt ## lambda = 9 ##, ## lambda = 3 ## și ## lambda = -3. ## În aceeași ordine, un set de vectori proprii pentru aceștia valorile proprii este ## left < begin-1 2 2 end, începe -2 & # 8211 2 1 end, începe 2 -1 2 end right >. ##

Fost profesor universitar de matematică timp de 19 ani a predat o varietate de limbaje de programare. Fost scriitor tehnic timp de 15 ani la o mare firmă de software cu sediul în Redmond, WA. Facultate asociată actuală la un colegiu comunitar din apropiere, predând cursuri în C ++ și arhitectură / limbaj de asamblare a computerelor.
Îmi place să pășesc în afara traseului în Parcul Național Olimpic, precum și să călăresc și să joc cu cele patru motociclete ale mele.


Priveste filmarea: Seminar 4: Aplicații liniare, vectori și valori proprii (Iulie 2022).


Comentarii:

  1. Dimitur

    it seems to me, you are wrong

  2. Jerett

    În el, ceva este și pentru mine, se pare că este o idee bună. Sunt de acord cu tine.

  3. Telfor

    A fost interesant de citit, dar a fost scris puțin uscat. Citeşte mai mult :)

  4. Prentiss

    Bravo, este doar o idee grozavă

  5. Saleh

    Cred că nu ai dreptate. Scrie -mi în pm.

  6. Sedgewic

    Este remarcabil, este o frază foarte valoroasă



Scrie un mesaj