Articole

2: Sisteme de ecuații și matrice - Matematică

2: Sisteme de ecuații și matrice - Matematică



We are searching data for your request:

Forums and discussions:
Manuals and reference books:
Data from registers:
Wait the end of the search in all databases.
Upon completion, a link will appear to access the found materials.

2: Sisteme de ecuații și matrice - Matematică

Reclamație DMCA

Dacă credeți că conținutul disponibil prin intermediul site-ului web (așa cum este definit în Termenii și condițiile noastre) încalcă unul sau mai multe drepturi de autor, vă rugăm să ne anunțați furnizând o notificare scrisă („Notificare de încălcare”) care conține informațiile descrise mai jos către persoana desemnată agent listat mai jos. Dacă Tutorii Varsity iau măsuri ca răspuns la o Notificare de încălcare, va face o încercare de bună credință de a contacta partea care a pus la dispoziție un astfel de conținut prin intermediul celei mai recente adrese de e-mail, dacă este cazul, furnizată de către o astfel de parte Tutorilor Varsity.

Notificarea dvs. de încălcare poate fi transmisă părții care a pus la dispoziție conținutul sau unor terțe părți, cum ar fi ChillingEffects.org.

Vă rugăm să rețineți că veți fi răspunzător pentru daune (inclusiv costurile și onorariile avocaților) dacă declarați în mod eronat că un produs sau activitate vă încalcă drepturile de autor. Astfel, dacă nu sunteți sigur că conținutul localizat sau legat de site-ul web vă încalcă drepturile de autor, ar trebui să luați în considerare mai întâi contactarea unui avocat.

Urmați acești pași pentru a depune o notificare:

Trebuie să includeți următoarele:

O semnătură fizică sau electronică a proprietarului drepturilor de autor sau a unei persoane autorizate să acționeze în numele său O identificare a drepturilor de autor despre care se pretinde că a fost încălcat o descriere a naturii și locației exacte a conținutului pe care pretindeți că îl încălcați, în suficient detalii pentru a permite Tutorilor Varsity să găsească și să identifice în mod pozitiv acel conținut, de exemplu, avem nevoie de un link către întrebarea specifică (nu doar numele întrebării) care conține conținutul și o descriere a porțiunii specifice a întrebării - o imagine, o link, text, etc - reclamația dvs. se referă la numele dvs., adresa, numărul de telefon și adresa de e-mail și o declarație a dvs.: (a) că credeți cu bună credință că utilizarea conținutului despre care pretindeți că vă încalcă drepturile de autor este neautorizat prin lege sau de către proprietarul drepturilor de autor sau agentul respectivului proprietar (b) că toate informațiile conținute în notificarea dvs. privind încălcarea dreptului sunt corecte și (c) sub pedeapsa mărturiei mincinoase, că sunteți fie proprietarul drepturilor de autor sau o persoană autorizată să acționeze în numele lor.

Trimiteți reclamația agentului nostru desemnat la:

Charles Cohn Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
Louis, MO 63105


Sisteme de ecuații liniare

Descărcați videoclipul din iTunes U sau Internet Archive.

JOEL LEWIS: Bună. Bine ați venit înapoi la recitare. Ați învățat în cursuri despre matrici și diferitele aplicații ale acestora, iar una dintre ele este rezolvarea sistemelor de ecuații liniare. Deci am aici un sistem de trei ecuații liniare pentru tine. 2x plus c * z este egal cu 4, x minus y plus 2z este egal cu pi și x minus 2y plus 2z este egal cu minus 12. Deci, ceea ce aș dori să faceți este următorul.

Găsiți valoarea lui c - sau toate valorile lui c-- pentru care, în primul rând, există o soluție unică la acest sistem. În al doilea rând, pentru care sistemul omogen corespunzător are o soluție unică. Amintiți-vă că sistemul omogen corespunzător este sistemul în care tocmai înlocuiți aceste constante din dreapta cu 0. Deci este un sistem cu aspect foarte similar. Laturile din stânga sunt la fel, dar laturile din dreapta sunt înlocuite cu 0. Deci, doriți să găsiți valoarea lui c pentru care acest sistem are o soluție unică, valoarea lui c pentru care sistemul omogen corespunzător are o soluție unică, precum și valorile lui c pentru care sistemul omogen corespunzător are infinit de multe soluții.

Rețineți că nu vă cer să rezolvați acest sistem de ecuații, deși sunteți binevenit să faceți acest lucru dacă doriți. Deși, desigur, dacă puteți sau nu, ar putea depinde de valoarea lui c. Deci, de ce nu întrerupeți videoclipul, luați puțin timp pentru a găsi soluțiile la aceste trei întrebări, reveniți și îl putem rezolva împreună.

Deci, sperăm că veți avea ceva noroc în rezolvarea acestor probleme. Să începem să le lucrăm împreună. Deci, de fapt, voi lua părțile a și b împreună în același timp.

Și motivul pentru care voi face acest lucru este că un lucru pe care l-ați învățat este că un sistem are o soluție unică pentru, pe partea dreaptă - scuze - un sistem are o soluție unică, ca aceasta, un sistem pătrat de ecuații liniare are o soluție unică dacă și numai dacă are o soluție unică, indiferent de partea dreaptă. Deci, în special, răspunsul la a și răspunsul la b sunt exact aceleași.

Deci, valorile lui c pentru care acest sistem are o soluție unică sunt exact aceleași cu valorile lui c pentru care sistemul omogen are o soluție unică. Acum, soluțiile vor fi diferite, desigur. Dar valoarea lui c - sau valorile lui c - care îl fac soluționabil în mod unic, îl fac soluționabil în mod unic pentru toate părțile din dreapta.

Și deci care valori ale lui c sunt acelea? Ei bine, acestea sunt valorile lui c pentru care matricea coeficientului din partea stângă este inversabilă. Deci, dacă matricea coeficientului din partea stângă este inversabilă, atunci putem rezolva acest sistem și vom obține o soluție unică. Dacă nu este inversabil, atunci fie nu putem rezolva acest sistem - cum ar fi, nu există soluții - fie putem rezolva acest sistem, dar există infinit de multe soluții.

Deci, în ambele întrebări a și b, solicităm valoarea lui c pentru care matricea coeficientului din partea stângă este inversabilă și va fi atunci când vom avea o soluție unică. Deci, de unde știm când o matrice este inversabilă? Ei bine, hai să notăm care este matricea în primul rând.

Deci, această matrice M pe care o urmărim este egală cu matricea 2, 0, c 1, minus 1, 2 1, minus 2, 2. Deci aceasta este matricea coeficientului M a sistemului respectiv și vrem să știm pentru ce valorile lui c este inversabilă.

Ei bine, când este o matrice inversabilă? O matrice este inversabilă - matricea pătrată este inversabilă - exact atunci când are un determinant diferit de zero. Deci, trebuie doar să ne uităm la determinantul acestei matrice. Deci, ați învățat cum să calculați determinanții matricilor, cred.

Deci, haideți, în acest caz, să avem det M. Deci este o sumă sau o diferență de șase termeni diferiți și l-ați putea obține, de exemplu, prin expansiunea Laplace, dacă doriți. Așa că voi scrie doar care sunt cei șase termeni. Deci este de 2 ori minus 1 ori 2, plus 0 ori 2 ori 1, plus c ori 1 ori minus 2, minus c ori minus 1 ori 1, minus 2 ori minus 2 ori 2, minus 0 ori 1 ori 2. Deci acesta este determinantul acestei matrici.

Puteți obține fie doar amintind ce termeni sunt care și care obțin un semn plus și care obțin un semn minus, fie făcând expansiunea Laplace, fie prin orice alte trucuri pe care s-ar putea să le cunoașteți. Deci, acum trebuie să știm dacă acest determinant este sau nu 0. Deci, să aflăm ce este acesta.

Deci, acesta este ... permiteți-mi să încep să îl simplific. Deci, acesta este minus 4 plus 0 minus 2c - acesta este minus minus c, deci plus c - acesta este minus minus 8, deci plus 8, care este egal cu 4 minus c. Deci, determinantul - corect, doi dintre acești termeni sunt 0, așa că trebuie doar să-i las. Deci determinantul acestei matrice este 4 minus c. Și ceea ce ne interesează este atunci când acest determinant este diferit de zero.

Deci, în special, pentru c care nu este egal cu 0 - scuze, pentru c nu egal cu 4 - când c nu este 4, determinantul lui M nu este 0. Deci, atunci când c nu este 4, determinantul lui M nu este 0, deci ambele sisteme - atât sistemul original, cât și sistemul omogen corespunzător - au o soluție unică. Deci, atunci când c nu este 4 - deci pentru majoritatea valorilor lui c - determinantul nu este 0, iar sistemul are o soluție unică.

Deci, când c este egal cu 4, ce se întâmplă? Ei bine, când c este egal cu 4, suntem în cazul de jos. Suntem în cazul în care sistemul omogen are infinit de multe soluții. BINE? Așa că lasă-mă să scriu asta aici.

Când c este egal cu 4 - Voi abrevia din nou - sistemul omogen are - Voi folosi acest simbol - acest tip de simbol lateral lateral înseamnă infinit, așa că îl voi folosi pentru infinit multe soluții. Deci, atunci când c este 4, sistemul omogen are infinit de multe soluții. Și s-ar putea să fii curios ... Ei bine, așa că lasă-mă să mai spun un lucru despre asta. Știm când matricea coeficientului nu este inversabilă că sistemul are zero sau infinit de multe soluții. Dar sistemul omogen are întotdeauna o soluție. Are întotdeauna soluția în care totul este 0. Nu? De aceea, știm că aici sunt infinit de mulți.

Și un lucru pe care l-ai putea întreba este că poți găsi altele? Puteți găsi soluții care nu sunt doar [0, 0, 0]? Și răspunsul este da. Deci, acest lucru merge acum dincolo de când v-am cerut să faceți, dar cred că este, știți, un lucru interesant de văzut. Deci, dacă ai vrut să găsești o altă soluție, ce știi? Ei bine, să ne întoarcem la ecuațiile pe care le-am avut.

Deci, atunci când avem de-a face cu un sistem omogen, laturile din partea dreaptă sunt 0. Deci, voi pur și simplu tăia aceste laturi din dreapta și le vom înlocui cu 0, astfel încât să nu ne confundăm. Deci acesta este 0, 0 și 0. Deci, avem de-a face cu acest sistem: 2x plus c * z este egal cu 0, x minus y plus 2z este egal cu 0 și x minus 2y plus 2z este egal cu 0.

OK, deci dacă doriți o soluție [x, y, z] la acest sistem, ce știți? Ei bine, din a doua ecuație, știi că vectorul [x, y, z] este ortogonal cu vectorul 1, minus 1, 2. De unde știi asta? Deoarece această parte din stânga, x minus y plus 2z, este egală cu [x, y, z] punct 1, minus 1, 2.

Și în mod similar din a treia ecuație, știți că vectorul [x, y, z] este ortogonal cu vectorul 1, minus 2, 2, deoarece această parte din stânga este egală cu [x, y, z] punctul 1, minus 2, 2. Da? Și este egal cu 0. Deci, din a doua și a treia ecuație, știți că sunteți în căutarea unui vector care să fie ortogonal atât pentru x, fie pentru scuze - ambele 1, minus 1, 2 și 1, minus 2, 2 .

Cum obțineți un vector perpendicular pe doi vectori cunoscuți? Ei bine, pur și simplu le luați produsul încrucișat. Deci, să ne întoarcem aici. Deci, pentru a găsi unul, luați un produs încrucișat din două rânduri ale matricei de coeficienți. Deci, în acest caz, de exemplu, putem lua aceste rânduri, 1, minus 1, 2 și 1, minus 2, 2. Deci, de exemplu, vectorul 1, minus 1, 2 - OK - traversează vectorul 1 , minus 2, 2.

Acum mi-am cam epuizat spațiul de bord, așa că nu am de gând să aflu exact ce este acest vector pentru tine. Dar dacă doriți, puteți verifica cu siguranță. Puteți calcula acest produs încrucișat cu formula noastră frumoasă pentru produsul încrucișat. Vă va oferi ceva vector și apoi puteți verifica dacă acel vector este într-adevăr o soluție a sistemului omogen. Deci, aceasta ne va oferi o a doua soluție a sistemului omogen. Nontrivial spunem, pentru că nu este doar soluția 0.

Deci, pentru a recapitula rapid, am avut un sistem de ecuații liniare. Acum am tăiat care a fost partea originală din partea dreaptă. Aveam un sistem de ecuații liniare și căutam o alegere de c pentru care acel sistem avea o soluție unică și pentru care sistemul omogen corespunzător avea o soluție unică. Iar valorile lui c care fac acea funcționare sunt tocmai valorile lui c astfel încât matricea coeficientului are un determinant diferit de zero. Așa că este adevărat pentru ambele părți a și b.

Și pentru partea c, când căutam ce valori ale lui c oferă sistemului omogen infinit de multe soluții, răspunsul este orice altă valoare a lui c. Orice valoare a lui c pentru care matricea coeficientului are 0 determinant vă va oferi infinit de multe soluții în cazul omogen, iar în cazurile neomogene vă va oferi 0 soluții sau infinit de multe soluții.

Și apoi, la sfârșit, am discutat pe scurt o modalitate de a găsi soluții netriviale în cazul omogen, atunci când există infinit de multe soluții. Așa că voi termina aici.


Sisteme de ecuații și matrice liniare

Declinare de responsabilitate: Conceptele pe care trebuie să le cunoașteți pe foaie nu sunt neapărat all inclusive, dar ar trebui să fie un ghid
principalele concepte de știut și tipuri de probleme pe care să le puteți rezolva pe măsură ce studiați pentru test.

Secțiunea 2.1: Sisteme de ecuații liniare
& # 8226 Să poată rezolva sisteme de ecuații liniare (2 ecuații și 2 variabile)
algebric folosind metoda de eliminare și metodă de substituție.
& # 8226 Să fie capabil să rezolve grafic sistemul de ecuații liniare (nu uitați că trebuie
scrieți ecuațiile pe care le-ați conectat la calculator, schițați graficul și
etichetați soluția)
& # 8226 Înțelegeți diferitele tipuri de soluții pentru un sistem de 2 ecuații și 2
variabile care pot fi obținute algebric (o soluție, fără o soluție, la infinit
multe soluții) și modul în care se corelează cu soluția grafică (liniile interceptează la
un punct, liniile sunt paralele sau aceeași linie de două ori)
& # 8226 Știți ce înseamnă atunci când se spune că un sistem de ecuații liniare este consistent,
inconsecvent, independent sau dependent.

Secțiunea 2.2: Utilizarea matricelor pentru rezolvarea sistemelor de ecuații liniare.
& # 8226 Înțelegeți ce este o matrice și să puteți determina dimensiunea (adică dimensiunea) unei
matrice
& # 8226 Să poți scrie un sistem de ecuații liniare ca o matrice augmentată
& # 8226 Înțelegeți ce înseamnă pentru o matrice să se afle în RREF (Reduced Row Echelon
Form) și să puteți determina dacă o matrice este sau nu în RREF.
& # 8226 Să fie capabil să rezolve un sistem de ecuații liniare folosind Eliminarea Gaussiană. Tu
trebuie să fie capabil să rezolve un sistem care să prezinte algebric toate operațiile de rând și
obțineți matricea în RREF pentru a obține soluția.
& # 8226 Înțelegeți cum să interpretați o matrice în RREF pentru a determina soluția
sistem (amintiți-vă că un sistem poate avea o singură soluție, fără soluții sau infinit
multe soluții). Dacă aveți un număr infinit de soluții pentru sistem, fiți
capabil să ofere soluțiile în termenii uneia dintre variabile și să enumere câteva soluții
la sistem.

Secțiunea 2.3: Aplicații care implică sisteme de ecuații liniare
& # 8226 Folosiți calculatorul pentru a obține o matrice augmentată în RREF.
& # 8226 Având în vedere o problemă de aplicație, fiți capabil să setați un sistem de ecuații liniare și
rezolvați sistemul pentru a obține soluția. Nu uitați să vă identificați variabilele
complet (adică lăsați x = numărul de bilete în regiunea de nivel superior etc.) și utilizați unități
pentru răspunsuri.

Secțiunea 3.1: Adăugarea matricei și multiplicarea scalară
& # 8226 Să fie capabil să adauge și să scadă matrici (și să știe când se adaugă matricea sau
scăderea este nedefinită)
& # 8226 Să poată efectua multiplicarea scalară pe o matrice

Secțiunea 3.2: Înmulțirea matricei și inversele
& # 8226 Să poți efectua multiplicarea matricei (și să știi când este multiplicarea matricei
nedefinit).
& # 8226 Înțelegeți ce este o matrice de identitate.
& # 8226 Înțelegeți ce este o matrice inversă și dacă aveți 2 matrici, puteți să arătați una
matricea este matricea inversă a celeilalte.
& # 8226 Pentru o matrice 2x2, puteți găsi matricea inversă folosind o formulă. Notă: Pe un
test sau examen nu vi se va cere să găsiți matricea inversă a unei matrice 2x2
folosind formula din această secțiune. Cu toate acestea, poate doriți să cunoașteți formula
ca o altă metodă pentru găsirea matricei inverse a unei matrici 2x2 dacă alegeți acest lucru.
& # 8226 Înțelegeți ce tipuri de matrice au o matrice inversă.
& # 8226 Înțelegeți ce înseamnă pentru o matrice să fie Singulară și Inversibilă.

Secțiunea 3.3: Rezolvarea ecuațiilor matricei (Utilizarea matricei inverse pentru rezolvarea sistemelor de
Ecuatii lineare)

& # 8226 Să fie capabil să găsească matricea inversă algebric (sau să se determine algebric dacă un
matricea inversă nu există) a niciunei matrice de dimensiuni pătrate folosind operațiile de rând
(adică configurați matricea augmentată și utilizați operațiile de rând pentru a obține matricea în RREF)
& # 8226 Să puteți utiliza calculatorul grafic pentru a găsi o matrice inversă (sau să determinați dacă un
matricea inversă nu există). Dați matrice inversă folosind valori exacte și nu
aproximări (convertiți zecimalele repetate în formă de fracție)
& # 8226 Să poți scrie un sistem de ecuații liniare (cele cu același număr de
ecuații ca variabile) ca produs al matricilor și scrieți ca o ecuație matricială
AX = B. Folosind matricea & # 8220A & # 8221, puteți rezolva un sistem de ecuații folosind inversul
matricea lui A, (adică A & # 87221) și rezolvați sistemul de ecuații folosind matricea inversă
și multiplicarea matricei.
& # 8226 Înțelegeți restricțiile utilizării matricei inverse pentru a rezolva sisteme liniare
ecuații (funcționează numai pe sisteme independente (adică au un sistem unic
soluţie). Va trebui să utilizați alte metode algebrice pentru a determina dacă
sistemul este dependent (infinit de multe soluții) sau inconsecvent (fără soluții)

Secțiune on-line: Cramer & # 8217s Regula:
& # 8226 Să fie capabil să calculeze determinantul unei matrice 2x2
& # 8226 Să poți folosi regula Cramer & # 8217s pentru a rezolva un sistem de 2 ecuații și 2 variabile.
& # 8226 Înțelegeți restricțiile de utilizare a regulii Cramer & # 8217s (obțineți determinantul zero în
numitor) pentru a rezolva un sistem de ecuații liniare (numai pot rezolva sisteme care
sunt independente - adică au o soluție unică. Trebuie să utilizați alte metode algebrice
pentru a determina dacă sistemul este dependent (infinit de multe soluții) sau inconsecvent
(fără soluții).

Secțiunea 4.1: Graficarea inegalităților liniare
& # 8226 Având în vedere o inegalitate liniară sau un sistem de inegalități liniare, să puteți grafica
regiunea soluției (asigurați-vă că puteți găsi interceptările x și y (adică orizontale și
interceptări verticale algebric)
& # 8226 Să poată determina toate punctele de colț ale regiunii soluției (să poată
găsește algebric punctele de colț care nu sunt interceptări)

Secțiunea 4.2: Rezolvarea grafică a problemelor de programare liniară.
& # 8226 Având în vedere o problemă de programare liniară, puteți găsi soluția optimă și
valoare optimă. Va trebui să puteți grafica constrângerile și să determinați
regiunea fezabilă, găsiți toate punctele de colț către regiunea fezabilă și utilizați
funcție obiectivă pentru a găsi soluția optimă (adică maximă sau minimă
valoare). Înțelegeți cazurile în care s-ar putea să nu existe o soluție optimă (dacă este posibil
regiunea este nelimitată). Va trebui să puteți găsi interceptările x și y
(interceptări orizontale și verticale) algebric și găsiți puncte de colț care sunt
nu interceptează algebric.
& # 8226 Având în vedere o problemă a aplicației, puteți identifica variabilele și veniți cu
funcția obiectivă și toate constrângerile și rezolvați programarea liniară
problemă.

Rezumatul metodelor pentru rezolvarea sistemului de ecuații liniare:
Având în vedere orice sistem de 2 ecuații și 2 variabile, ar trebui să puteți rezolva folosind
următoarele metode:
& # 8226 Grafic
& # 8226 Metoda eliminării
& # 8226 Metoda de substituție
& # 8226 Eliminarea Gaussiană (algebric și folosind calculatorul & caracteristica # 8211 rref)
& # 8226 Metoda matricei inverse (să poată găsi matricea inversă algebric și prin
calculator)
& # 8226 Cramer & # 8217s Regula

Având în vedere orice sistem de 3 ecuații și 3 variabile, ar trebui să puteți rezolva folosind
următoarele metode:
& # 8226 Eliminarea Gaussiană (algebric și folosind calculatorul & caracteristica # 8211 rref)
& # 8226 Metoda matricei inverse (să fie capabil să găsească matricea inversă algebric și prin
calculator


Rezolvarea sistemelor liniare

Până acum am văzut cum un sistem de ecuații liniare poate fi transformat într-o ecuație matricială, făcând sistemul mai ușor de rezolvat.

poate fi scris în felul următor:

Acum, mărind matricea cu vectorul din dreapta și folosind operații de rând, această ecuație poate fi ușor rezolvată manual. Cu toate acestea, dacă sistemul nostru nu ar avea intrări întregi frumoase, rezolvarea acestuia manual folosind reducerea rândurilor ar putea deveni foarte dificilă. MATLAB ne oferă o modalitate mai ușoară de a obține un răspuns.

Un sistem de acest tip are forma Topor = b, astfel încât să putem introduce aceste numere în MATLAB folosind următoarele comenzi:

Observați că pentru vectorul coloană b , includem punct și virgulă după fiecare intrare pentru a ne asigura că intrările sunt pe rânduri diferite. Dacă în schimb am fi tastat

am fi obținut un vector rând, care nu este același lucru. Acum că am definit A și b, comanda

vom găsi soluția la ecuația noastră Topor = b dacă există. În acest caz, ne spune MATLAB

Vă rugăm să aveți grijă să introduceți comanda A b. Are o bară inversă (), nu o diagonală înainte (/).

Luați în considerare sistemul de ecuații

Convertiți acest sistem de ecuații într-o ecuație matricială a formei Cx = d . Rezolvați-l manual și înregistrați soluția în document.

Introduceți matricea C și vectorul coloanei d în MATLAB și utilizați comanda

Ne-am aștepta să obținem vectorul coloanei d în MATLAB dacă executăm comanda C * x, nu? Cu alte cuvinte, C * x-d ar trebui să fie zero. Introduceți această expresie în MATLAB:

Discrepanța din ultima parte a exercițiului de mai sus se datorează pur și simplu unei erori de rotunjire. Veți observa că eroarea este un vector înmulțit cu un număr foarte mic, unul de ordinul 10 -15. Dar de ce există deloc vreo eroare? La urma urmei, rezolvarea prin reducerea rândurilor a dat numere foarte frumoase, nu? Răspunsul este în modul în care MATLAB stochează numerele. În acest calcul, MATLAB reprezintă numere în „formă cu virgulă mobilă”, ceea ce înseamnă că le reprezintă în notație științifică cu o precizie de aproximativ 10-14. Astfel, când vedeți 10-14 în calcule în timpul acestui curs, este de obicei echivalent cu zero.

Din păcate, există dezavantaje în utilizarea comenzii x = C d. Să le explorăm acum.

Luați în considerare sistemul de ecuații

Așa cum ați făcut în exercițiul anterior, introduceți matricea corespunzătoare C și vectorul coloanei d în MATLAB. Apoi tastați

Rețineți ieșirea ciudată. Includeți-l în scriere. Acum mergeți mai departe și rezolvați acest sistem de mână. Câte variabile gratuite aveți în soluția dvs.? Pe baza răspunsului dvs., puteți explica de ce ați primit mesajul de eroare atunci când încercați să utilizați comanda x = C d?

Pentru a rezolva cazul sistemelor inconsistente sau a sistemelor cu infinit de multe soluții, uneori poate fi mai bine să folosiți MATLAB pur și simplu pentru a reduce rândul matricii și apoi să citiți singur soluțiile. Din fericire, MATLAB are o comandă care efectuează eliminarea Gaussiană pentru tine.

Luați în considerare următorul sistem omogen de ecuații:

Introduceți matricea corespunzătoare C și vectorul coloanei d în MATLAB. Acum vrem să efectuăm reducerea rândurilor pe matricea mărită [C | d]. Comanda care efectuează reducerea rândului în MATLAB este rref (numele înseamnă „formă de eșalon de rând redus”). Introduceți

Reamintim din clasă că putem folosi acest formular redus pentru a vedea că x1 = 3,5x3 și că x2 = -12x3 . Aici, x3 este variabila gratuită și putem alege orice valoare dorim pentru ea odată ce o facem, celelalte două variabile sunt fixate. De exemplu, dacă alegem x3 = 2, apoi x1 = 7 și x2 = -24. Există infinit de multe soluții, deoarece există infinit de multe alegeri pentru valoarea lui x3 , dar toți urmează acest model.

Luați în considerare sistemul omogen de ecuații

Utilizând comanda rref, scrieți soluția generală la acest sistem de ecuații. Câte variabile gratuite sunt necesare?

Acum că am văzut instrumentele de bază MATLAB pentru rezolvarea sistemelor liniare, să trecem la câteva aplicații.


Subsecțiunea 2.3.1 Ecuația matricei

În această secțiune introducem un mod foarte concis de a scrie un sistem de ecuații liniare:

sunt vectori (în general de dimensiuni diferite), deci mai întâi trebuie să explicăm cum să înmulțim o matrice cu un vector.

Observație

În această carte, o facem nu rezervați scrisorile

pentru numerele de rânduri și coloane ale unei matrice. Dacă scriem „

Definiție

este combinația liniară

Exemplu

pentru a avea sens, numărul de intrări de

trebuie să fie același cu numărul de coloane din

folosim intrările din

ca coeficienți ai coloanelor din

într-o combinație liniară. Vectorul rezultat are același număr de intrări ca numărul de rânduri de

are acel număr de intrări.

Proprietățile produsului Matrix-Vector
Definiție

A ecuația matricei este o ecuație a formei

este un vector ai cărui coeficienți

În această carte vom studia două întrebări complementare despre o ecuație matricială

    Având în vedere o alegere specifică de

care sunt toate soluțiile

Prima întrebare seamănă mai mult cu întrebările cu care ați putea fi obișnuiți de la cursurile anterioare de algebră.

A doua întrebare este poate un concept nou pentru dvs. Teorema rangului din secțiunea 2.9, care este punctul culminant al acestui capitol, ne spune că cele două întrebări sunt strâns legate.

Ecuații matriciale și ecuații vectoriale

Luați în considerare ecuația vectorială

Acest lucru este echivalent cu ecuația matricei

este echivalent cu ecuația vectorială

Exemplu
Patru moduri de a scrie un sistem liniar

Acum avem patru moduri echivalente de scriere (și de gândire la) un sistem de ecuații liniare:

În special, toate cele patru au același set de soluții.

Ne vom mișca înainte și înapoi liber între cele patru moduri de a scrie un sistem liniar, iar și iar, pentru restul cărții.

Un alt mod de a calcula

Definiția de mai sus este un mod util de a defini produsul unei matrice cu un vector atunci când vine vorba de înțelegerea relației dintre ecuațiile matricei și ecuațiile vectoriale. Aici oferim o definiție care este mai bine adaptată la calcule de mână.

Definiție

A vector de rând este o matrice cu un rând. produs a unui vector rând de lungime


Sistem de două ecuații liniare în formă de matrice

În acest tutorial vom converti ecuațiile de linii drepte în formă matricială. Mai întâi vom discuta o ecuație liniară sub formă de matrice.

O ecuație liniară:
Să considerăm că ecuația unei linii drepte este dată ca:
[ax + by + c = 0 , , , , < text <& # 8211 & # 8211 & # 8211 >> left (< text> dreapta) ]

Ecuația (i) este o ecuație liniară și cele două variabile, $ x $ și $ y $, pot fi scrise în formă matricială după cum urmează:

Ecuația (i) devine
[începe Rightarrow ax + by = & # 8211 c Rightarrow left [ right] = left [<& # 8211 c> right] end ]

Poate fi scris în continuare ca
[începe Rightarrow left [< begin<*<20>> a & ampb end> dreapta] left [< begin<*<20>> x y end> right] = left [<& # 8211 c> right] AX = C end ] Unde $ A = left [< begin<*<20>> a & ampb end> dreapta] $ este matricea coeficientului, $ X = left [< begin<*<20>> x y end> right] $ este o matrice variabilă și $ C = left [<& # 8211 c> right] $ este matricea constantă.

Acum vom discuta sistemul a două ecuații sub formă de matrice.

Un sistem de două ecuații liniare
Să considerăm că sistemul a două ecuații de drepte este dat ca:
[începe x + y + = 0 , , , , < text <& # 8211 & # 8211 & # 8211 >> left (< text> dreapta) x + y + = 0 , , , , < text <& # 8211 & # 8211 & # 8211 >> left (<< text>> dreapta) end ]

Ecuația (i) și (ii) sunt ecuații liniare și două variabile, $ x $ și $ y $, pot fi scrise sub formă de matrice după cum urmează:


Sistem de ecuații și matrice

Bine, așa că am nevoie de ajutor. Am aceste probleme de cuvinte pe care trebuie să le fac pentru teme, așa:

Arcadia Arcadium din Lynchburg, Tennessee folosește 3 jetoane colorate diferite pentru mașinile lor de joc. Pentru 20 $ puteți cumpăra oricare dintre următoarele amestecuri de jetoane: 14 aur, 20 argint și 24 bronz SAU, 20 aur, 15 argint și 19 bronz SAU, 30 aur, 5 argint și 13 bronz.

Aceste probleme îmi spun să scriu un sistem de ecuații (și am făcut-o!), Care este:

14x + 20y + 24z = 20
20x + 15y + 19z = 20
30x + 5y + 13z + 20

x reprezintă valoarea aurului
y reprezintă valoarea argintului
z reprezintă valoarea bronzului

Apoi a trebuit să reprezint sistemul ca o matrice, care este:

14 20 24 x 20
20 15 19 și 20
30 5 13 z 20

Tot ce vreau să știu este cum îmi dau seama de valoarea monetară a fiecărui jeton? Ar putea cineva să-mi explice cum fac asta?

Subhotosh Khan

Super Moderator

Bine, așa că am nevoie de ajutor. Am aceste probleme de cuvinte pe care trebuie să le fac pentru teme, așa:

Arcadia Arcadium din Lynchburg, Tennessee folosește 3 jetoane colorate diferite pentru mașinile lor de joc. Pentru 20 $ puteți cumpăra oricare dintre următoarele amestecuri de jetoane: 14 de aur, 20 de argint și 24 de bronz SAU, 20 de aur, 15 de argint și 19 de bronz SAU, 30 de aur, 5 de argint și 13 de bronz.

Aceste probleme îmi spun să scriu un sistem de ecuații (și am făcut-o!), Care este:

14x + 20y + 24z = 20
20x + 15y + 19z = 20
30x + 5y + 13z + 20

x reprezintă valoarea aurului
y reprezintă valoarea argintului
z reprezintă valoarea bronzului

Apoi a trebuit să reprezint sistemul ca o matrice, care este:

14 20 24 x 20
20 15 19 și 20
30 5 13 z 20

Tot ce vreau să știu este cum îmi dau seama de valoarea monetară a fiecărui jeton? Ar putea cineva să-mi explice cum fac asta?

Pentru o recenzie rapidă - accesați:

HallsofIvy

Membru de elită

De ce l-ai scris ca o matrice? Aceasta este o metodă perfect bună, dar faptul că menționați „quotmatrices” mă face să cred că trebuie să știți ceva despre ele!

Aveți ( displaystyle begin14 & amp 20 & amp 24 20 & amp 15 & amp 19 30 & amp 5 & amp 13 endîncepex y z end= începe20 20 20 end)
Scriind-o așa, lucrul evident de făcut este să găsești invers matrice a matricei coeficientului, apoi înmulțiți ambele părți cu aceasta. Adică, rezolvați Ax = b prin multiplicarea ambelor părți cu ( displaystyle A ^ <-1> ): ( displaystyle A ^ <-1> Ax = x = A ^ <-1> x ),

O altă modalitate de a rezolva un sistem de ecuații de genul acesta este să scriem matricea & quotaugmented & quot:
( displaystyle begin14 & amp 20 & amp 24 & amp 20 20 & amp 15 & amp 19 & amp 20 30 & amp 5 & amp 13 & amp 20 end)
și & quotrow reduce & quot, astfel încât primele trei coloane să fie ( displaystyle begin 1 & amp 0 & amp 0 0 & amp 1 & amp 0 0 & amp 0 & amp 1 end) și ultima coloană va da x, y și z.

Dar voi recunoaște că eu personal nu aș folosi deloc „quotmatrices”. Din ecuația ( displaystyle 14x + 20y + 24z = 20 ) putem împărți la 2 pentru a obține ( displaystyle 7x + 10y + 12z = 10 ). A doua ecuație este ( displaystyle 20x + 15y + 19z = 20 ). Dacă înmulțim acea ecuație cu 2, prima ecuație cu 3 și scăzem a doua din prima, obținem ( displaystyle (40x + 30y + 38z) - (21x + 30y + 36z) = 60-20 ) sau ( displaystyle 19x + 2z = 40 ), eliminând y. Scădeți ( displaystyle 7x + 10y + 12x = 10 ) din, să zicem, de două ori a treia ecuație, ( displaystyle 60x + 10y + 26z = 40 ), pentru a obține ( displaystyle 53x + 14z = 30 ). Acum avem două ecuații în două necunoscute. Manipulați acele ecuații pentru a elimina una dintre acestea.


Introducere în matrici și sisteme de ecuații


O matrice este o matrice dreptunghiulară de numere dispuse în rânduri și coloane. Numim fiecărui număr din această matrice un element al matricei. Când scriem o matrice, de obicei înglobăm matricea între paranteze. Matricile (plural) vin în mai multe dimensiuni, determinate de numărul de rânduri și de numărul de coloane. Dacă o matrice are n rânduri și m coloane, atunci spunem că dimensiunea matricei este m x n, citiți & quotm de n & quot. Următoarele sunt exemple de matrice de diferite dimensiuni.

Când enumerăm rânduri și coloane ale unei matrice date, numărăm rândurile de sus în jos și numărăm coloanele de la stânga la dreapta. Deoarece o matrice este o matrice de numere, vedem adesea matrice utilizate pentru a înregistra informații, mai ales dacă rândurile și coloanele o matrice poate fi înțeleasă pentru a reprezenta categorii. Ca atare, putem folosi cu siguranță matrici pentru a înregistra informații pertinente despre un sistem de ecuații liniare - coeficienți ai variabilelor, precum și constante pe partea dreaptă a ecuațiilor din sistem.

Aici adoptăm o convenție de a folosi variabile cu indică mai degrabă decât variabile de literă individuale pentru a evita posibilele dificultăți în numărul de litere disponibile. Construim o matrice 2 x 3, numită matrice augmentată pentru sistem, în care fiecare rând reprezintă informații pentru o anumită ecuație și fiecare coloană reprezintă fie coeficienții unei variabile, fie constantele din partea dreaptă a ecuațiilor.

Scriem această matrice după cum urmează.

Observați corespondența dintre rândurile acestei matrice și ecuațiile din sistem, precum și corespondența dintre coloanele matricei și coeficienții și termenii constanți din ecuații. Linia verticală nu are un scop real decât să servească drept memento vizual al localizării semnelor egale în sistem și, prin urmare, o separare între coeficienții variabilelor și constantele din partea dreaptă a ecuațiilor. Înainte de a aprofunda utilizarea acestor matrice augmentate care reprezintă sisteme, ne vom opri pentru a prezenta o anumită terminologie și notație. Reamintim că în metoda eliminării am avut trei operații pe care le-am putea folosi pentru a produce sisteme echivalente de ecuații liniare. Avem o colecție similară de operații pe rând pe care le realizăm pe matrice. Spunem că două matrice sunt echivalente în rând dacă una este obținută din cealaltă printr-o secvență de operații pe rând. Aceste operațiuni sunt după cum urmează:

  • Schimbați două rânduri.
  • Înmulțiți (toate elementele din) un rând cu orice constantă diferită de zero și înlocuiți acel rând cu rezultatul.
  • Înmulțiți (toate elementele din) un rând cu orice constantă și adăugați (elementele corespunzătoare) la orice alt rând, înlocuind al doilea rând din această sumă cu rezultatul.

Efectuarea oricărei secvențe a acestor operații are ca rezultat o matrice echivalentă cu rândul.

Observați similitudinea dintre aceste operațiuni și operațiunile utilizate în metoda eliminării. Folosim o notație stenogramă similară pentru a indica efectuarea unei anumite operații de rând.

Notare pentru operațiuni pe rând


În cazul în care o matrice este matricea mărită care reprezintă un sistem de ecuații liniare, efectuarea unei operații de rând pe matrice este echivalentă cu efectuarea operației corespunzătoare pe un sistem de ecuații. Deci, matricile echivalente în rânduri reprezintă sisteme echivalente de ecuații liniare. Pentru a demonstra cum se utilizează matricile augmentate pentru a găsi soluții la sistemele de ecuații liniare, vom arăta operațiuni paralele în metoda de eliminare și operațiile de rând corespunzătoare.


Priveste filmarea: SISTEMA DE EQUAÇÕES Substituição e Adição - Prof. Robson Liers - Mathematicamente (August 2022).